Algebra Gleichungen
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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.3 Algebra Gleichungen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055 - 654 12 87 Ausgabe: Februar 2009 Version 1 www.ibn.ch 15. Februar 2014 Version 2 TG 3 3 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN Seite 2 Inhaltsverzeichnis 3 Mathematik BiVo 3 Mathematik 3.3 Algebra Gleichungen 3.3.1 Gleichungen mit einer Variablen 3.3.1.1 Einführung und allgemeine Regeln 3.3.1.2 Das Lösen von einfachen Gleichungen 3.3.1.3 Lösungsschemas 1. Grades mit einer Unbekannten 3.3.2 Gleichungen mit mehreren Variablen 3.3.2.1 Additions- und Subtraktionsmethode 3.3.2.2 Gleichsetzungsmethode 3.3.2.3 Einsetzmethode 3.3.3 Quadratische Gleichungen 3.3.3.1 Gleichungen 2. Grades mit einer Unbekannten 3.3.4 Textgleichungen Mathematik Probleme umfassend bearbeiten Verstehen und anwenden Erinnern TD Technische Dokumentation BET Bearbeitungstechnik TG 3.1 Technologische Grundlagen Mathematik 3.1.1 Arithmetische Operationen - Operationen mit bestimmten und allgemeinen Zahlen - Berechnungen mit Zehnerpotenzen - Umrechnungen von Grössenordnungen mit Massvorsätzen 3.1.1 Logische Operationen - Duales Zahlensystem Wahrheitstabelle Grundoperationen der Logik: AND, OR, NOT 3.1.1 Algebraische Gleichungen - Gleichungen 1. Grades und rein quadratische Gleichungen - Gleichungen 2. Grades mit Bezug zu den Fächern dieses Lehrplans 3.1.2 Geometrische Grössen - Länge, Fläche, Volumen Seiten im rechtwinkligen Dreieck (Pythagoras) Trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens (0-90°) Darstellung der Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion im Einheitskreis und als Liniendiagramm 3.1.2 Grafische Darstellungen - Diagrammarten - Darstellungen im rechtwinkligen Koordinatensystem mit linearen und nichtlinearen Massstäben 3.1.2 Grafische Darstellungen - Strecke, Pfeil als Mass einer Grösse (Vektor) - Addition und Subtraktion mit zwei Grössen - Addition und Subtraktion mit mehreren Grössen EST Elektrische Systemtechnik KOM Kommunikationstechnik www.ibn.ch 15. Februar 2014 Version 2 TG 3 3 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN Seite 3.3 Algebra Gleichungen 3.3.1 Gleichungen mit einer Variablen 3.3.1.1 Einführung und allgemeine Regeln 3 Werden Grössen miteinander durch ein Gleichheitszeichen verbunden, so entsteht eine Gleichung. Eine Gleichung ist nur richtig, wenn beide Seiten wertmässig gleich sind, z.B: 2 ⋅ 3 + 5 = 11 Ist in einer Gleichung ein Glied unbekannt, so wird die Gleichnung Bestimmungsgleichung genannt; die unbekannte (x) kann bestimmt werden. z.B: 2+ X =5 dabei ist X =3 denn 2+3=5 Gleichungen werden unterschieden nach dem Grad der Unbekannten: Gleichungen 1. Grades mit einer Unbekannten (Lineare Gleichungen) ax + b = c Gleichungen 2. Grades mit einer Unbekannten (Quadratische Gleichungen) ax 2 + bx = c Treten bei einer Gleichung mehrere Unbekannten auf, so bezeichnet man diese der Reihe nach mit x, y, z, u, v und w. Eine Gleichung kann anschaulich mit einer Waage verglichen werden, welche im Gleichgewicht ist. Die Waage bleibt auch im Gleichgewicht, wenn auf beiden Seiten (Waagschalen) die gleiche veränderung stattfindet, z.B. 2kg hinzugefügt werden; analog gilt dies auch bei den Gleichungen. www.ibn.ch 15. Februar 2014 Version 2 TG 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN Seite Die Gleichung bleibt erfüllt, wenn man auf beiden Seiten: „GLEICH BEHANDELT“ 1. die gleiche Zahl addiert, z.B. mit der Zahl 5 2. die gleiche Zahl subtrahiert, z.B. mit der Zahl 3 3. die gleiche Zahl multipliziert, z.B. mit der Zahl 2 4. die gleiche Zahl dividiert, z.B. mit der Zahl 4 5. die Seiten vertauscht www.ibn.ch 4+8 = 12 Grundgleichung 4 + 8 +5 = 12 +5 17 = 17 4 + 8 −3 = 12 −3 9 = 9 (4 + 8) ⋅2 = 12 ⋅2 24 = 24 (4 + 8) : 4 = 12 : 4 3 = 3 4+8 = 12 12 = 4+8 12 = 12 15. Februar 2014 Version 2 4 TG 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN Seite 3.3.1.2 5 Das Lösen von einfachen Gleichungen Das heisst, es ist der Wert der unbekannten Grösse (x) zu bestimmen. Zunächst ist die Gleichung zu ordnen, dass auf der einen Seite nur noch die Unbekannte (x), auf der anderen Seite nur noch die bekannten Glieder zu stehen kommen - ohne das Gleichgewicht zu stören! Oberster Grundsatz für das Auflösen von Gleichungen ist: Beide Seiten müssen gleich behandelt werden Merke: Eine Gleichung bleibt eine wahre Ausssage, wenn man beide Seiten in gleicher Weise verändert, d.h., man kann auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren, oder subtrahieren, mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren. (Ausnahme: Durch Null darf man nicht dividieren) Durch geeignete Anwendung der vier Grundoperationen lässt sich die Unbekannte wie folgt bestimmen: 1. Addition x − 15 = 8 −3 + x = 4 x − 15 +15 = 8 +15 −3 + x +3 = 4 +3 x = 23 = 7 = 4 Probe 23 − 15 www.ibn.ch x Probe = 8 −3 + 7 15. Februar 2014 Version 2 TG 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN Seite 2. Subtraktion x+3 = 5 7 = x+2 x + 3 −3 = 5 −3 7−2 = x + 2 −2 = 2 5 = x x = 5 = −5 = −5 ⋅2 = − 10 x 3. Multiplikation x 5 x ⋅5 5 = 9 = 9 ⋅5 = 45 3x = 27 3x : 3 = 27 : 3 x x 2 x ⋅2 2 x 4. Division 3x 3 = x www.ibn.ch = 27 3 9 2x = 2x 2 = x = 14 14 2 7 15. Februar 2014 Version 2 6 TG 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN Seite 7 Beim Wechseln der Ausdrücke von der einen nach der anderen Seite kann folgende Feststellung abgeleitet werden: Bisherige Lösung Vereinfachte Lösung x+3 = 12 x+3 = 12 x + 3 −3 = 12 −3 x = 12 −3 = 9 = 9 x −5 = 2 x −5 = 2 x − 5 +5 = 2 +5 x = 2 +5 = 7 = 7 x x x x Beim Ordnen der Gleichungen wechselt man die Grössen von der einen Seite auf die andere Seite, indem man das Vorzeichen ändert: Aus + www.ibn.ch wird - und aus - wird + 15. Februar 2014 Version 2 TG 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN Seite 3.3.1.3 Lösungsschemas 1. Grades mit einer Unbekannten 3.3.1.3.1 Gleichung mit ganzen Zahlen Beim Auflösen einer Gleichung mit einer Unbekannten ist wie folgt vorzugehen: Aufgabe x=? Lösung Glieder austauschen (x-Glieder links und Zahlen rechts) Unbekannte isolieren, dabei alle Rechnungen mit denn ganzen Zahlen ausführen Probe Für x = 3 in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, muss zur identischen Gleichung führen. www.ibn.ch 5x + 3 = 18 5x = 18 − 3 5x = 15 x = x = 15 5 3 5⋅3+ 3 = 18 15 + 3 = 18 = 15 5 18 15. Februar 2014 Version 2 8 TG 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN 3.3.1.3.2 Seite Beispiele mit ganzen Zahlen Beispiel 1 5 x − 21 + 3 x − 13 = 30 5 x + 3x = 30 + 21 + 13 8x = 64 8x = 8 7 x − 38 = −3 − 2 x 7x + 2x = −3 + 38 9x = 35 x = x = Wie schon behandelt sind die Variabeln und die ganzen Zahlen zu isolieren und zusammenzufassen. Beispiel 2 Wie schon behandelt sind die Variabeln und die ganzen Zahlen zu isolieren und zusammenzufassen. Unechter Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln (Zahl + Bruch). 35 9 8 3 9 Bei Bedarf kann auch die gesamte Gleichung mit ( −1) erweitert werden. Beispiel 3 − x + 15 = −8 x − 15 = 8 x = 8 + 15 x = 23 Wie schon behandelt sind nachher die Variabeln und die ganzen Zahlen zu isolieren und zusammenzufassen. Beispiel 4 3a + 2 x − 4b = 5x − b 2 x − 5x = −b − 3a + 4b −3 x = 3b − 3a / :3 Isolieren der Zahlen und Variablen. Durch drei dividieren. −x = b−a / ⋅(−1) Multiplikation mit ( −1) . x = a −b www.ibn.ch 15. Februar 2014 Version 2 9 TG 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN 3.3.1.3.3 Seite Gleichung mit Klammerausdrücken Beim Auflösen einer Gleichung mit einer Unbekannten ist wie folgt vorzugehen: Aufgabe 7(3 x + 1) − 18 = 3( 4 x − 2) + 13 Lösung Klammer auflösen 21x + 7 − 18 = 12 x − 6 + 13 Ordnen 21x − 12 x = −6 + 13 − 7 + 18 9x = 18 x = 2 7(3 ⋅ 2 + 1) − 18 = 3( 4 ⋅ 2 − 2) + 13 7 ⋅ 7 − 18 = 3 ⋅ 6 + 13 = 31 x=? Glieder zusammenfassen Unbekannte isolieren Probe Für x = 2 in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, muss zur identischen Gleichung führen. www.ibn.ch 31 15. Februar 2014 Version 2 10 TG 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN 3.3.1.3.4 Seite 11 Beispiele mit Klammerausdrücken Beispiel 1 40 − ( x + 1)(2 + x) = 4 x − ( 2 + x)( x − 1) 40 − [ 2 x + 2 + x 2 + x] = 4 x − [2 x + x 2 − 2 − x] 40 − 2 x − 2 − x 2 − x = 4x − 2x − x2 + 2 + x 40 − 2 x − 2 − x = 4x − 2x + 2 + x −2 x − x − 4 x + 2 x − x = +2 − 40 + 2 −6 x = −36 6x = 36 x = 6 (a + x)b + (b − x) a = ab ab + bx + ab − ax = ab bx − ax = ab − ab − ab bx − ax = −ab x(b − a ) = −ab Klammern ausrechnen. Klammer nachher auflösen. Zum Glück kommt x 2 auf beiden Seiten mit der gleichen Wertung vor und fällt somit weg! Sortieren der ganzen Zahlen und Variablen. Zusammenfassen. Multiplikation mit (−1) . Variable isolieren. Beispiel 2 x x x www.ibn.ch = = = − ab (b − a ) − ab (b − a ) ab ( a − b) Klammern ausrechnen. Sortieren der ganzen Zahlen und Buchstaben und Variablen. Zusammenfassen. x ausklammern. Dividieren durch (b − a ) . Multiplikation von Zähler und Nenner mit (−1) . 15. Februar 2014 Version 2 TG 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN 3.3.1.3.5 Seite Gleichung mit gebrochenen Zahlen Beim Auflösen einer Gleichung mit einer Unbekannten ist wie folgt vorzugehen: Aufgabe = 7( x + 1) +4 21 8(1 + x) − 18 16 = ( x + 1) +4 3 (1 + x) − 18 2 = ( x + 1) +4 3 Nenner beseitigen durch Erweiterung mit dem k.g.V. = 6 . 3(1 + x) − 6 ⋅ 18 = 2(1 + x) + 6 ⋅ 4 Klammer ausrechnen bzw- auflösen. 3 + 3 x − 108 = 2 + 2 x + 24 = 2 + 24 + 108 − 3 = 131 x=? Lösung Vereinfachen, Kürzen Sortieren der ganzen Zahlen und Variablen. Zusammenfasen und x isolieren. Probe Für x = 131 in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, muss zur identischen Gleichung führen. 8 + 8x − 18 16 3x − 2 x x 8 + 8 ⋅ 131 − 18 16 8 + 1048 − 18 16 66 − 18 = = = 7(131 + 1) +4 21 924 +4 21 44 + 4 48 = 48 www.ibn.ch 15. Februar 2014 Version 2 12 TG 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN 3.3.1.3.6 Seite 13 Beispiele mit gebrochenen Zahlen Beispiel 1 1 x +8 4 1 x 4 1 x 4 x x = 20 = 20 − 8 = 12 x ausklammern. = 4 ⋅ 12 Multiplikation mit 4 . = 48 Sortieren der ganzen Zahlen und Variablen. Beispiel 2 6 4x + 2x x + 1 6(2 x)( x + 1) 4 x( 2 x)( x + 1) + 2x x +1 6( x + 1) + 4 x( 2 x) 6 x + 6 + 8x 2 6x + 6 6 x − 8x + 4x www.ibn.ch = 4− 2 x 2( 2 x)( x + 1) x = 4(2 x )( x + 1) − 2 ⋅ 2( x + 1) = 4(2 x )( x + 1) − = 8x 2 + 8x − 4 x − 4 = 8x − 4 x − 4 = −4 − 6 2x = −10 x = −5 Zusammenfassen. Erweitern der Gleichung mit dem kgV = 2 x( x + 1) und damit kann der Nenner eliminiert werden. Kürzen und Klammern auflösen. Zum Glück kommt x 2 auf beiden Seiten mit der gleichen Wertung vor und fällt somit weg! Sortieren der ganzen Zahlen und Variablen. Zusammenfassen. 15. Februar 2014 Version 2 TG 3 3 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN 3.3.2 Seite 14 Gleichungen mit mehreren Variablen Bilden Gleichungen mit mehreren Variablen ein Gleichungssystem, so kann man die Lösungsvariablen leicht rechnerisch bestimmen. In der Regel wird die Zahl der Gleichungen mit denen der Variablen übereinstimmen. Bei der rechnerischen Bestimmung der Lösungsvariablen unterscheidet man 3 Verfahren. Mit Hilfe dieser Verfahren versucht man, aus dem Gleichungssystem durch Umformung eine Gleichung mit einer Variablen zu gewinnen. Nachdem man diese Variable bestimmt hat, kann die zweite Variable leicht berechnet werden. 3.3.2.1 Additions- und Subtraktionsmethode Man multipliziert bei dieser Methode eine oder beide Gleichungen so mit Zahlen, daß beim anschließenden Addieren entsprechender Glieder eine Variable fortfällt (bei uns die Variable y). Die entstehende Gleichung mit einer Variablen wird wie üblich gelöst. Um die zweite Variable zu finden, setzt man die ausgerechnete Variable in eine der beiden Gleichungen ein und rechnet sie aus. 3.3.2.2 Gleichsetzungsmethode Bei dieser Methode werden beide Gleichungen nach einer Variablen umgeformt und dann gleichgesetzt. Die entstehende Gleichung mit einer Variablen wird wie üblich gelöst. Um die zweite Variable zu finden, muß man wiederum die ausgerechnete Variable in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Dabei immer die einfachste Gleichung wählen. www.ibn.ch 15. Februar 2014 Version 2 TG 3 3 2 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN MIT MEHREREN VARIABLEN Seite 3.3.2.3 Einsetzmethode Hierbei rechnet man aus einer Gleichung eine Variable aus und setzt sie dann in die andere Gleichung ein. Man erhält wiederum eine Gleichung mit einer Variablen, die ausgerechnet werden kann. Die zweite Variable wird durch rückläufiges Einsetzen ausgerechnet. Merke: Je nach Aussehen der Gleichungen wird eine der Methoden gewählt, und zwar die, die am schnellsten zum Ziel führt. www.ibn.ch 15. Februar 2014 Version 2 15 TG 3 3 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN Seite 3.3.3 Quadratische Gleichungen 3.3.3.1 Gleichungen 2. Grades mit einer Unbekannten 16 Man unterscheidet: Rein quadratische Gleichungen Gemischt quadratische Gleichung 3.3.3.1.1 ax 2 + b = 0 ax 2 + bx + c = 0 Rein quadratische Gleichungen Nachfolgend beschränken wir uns auf das Lösen der rein quadratischen Gleichungen, wie sie in der Elektrotechnik in unserer Bildungsstufe vorkommen. Gemischt quadratische Gleichungen werden wir bei den Funktionen genauer ansehen. Schema zur Lösung der Gleichungen: Aufgabe x=? 17 x 2 − 7 = 418 x2 = 418 + 7 17 x2 = 25 x2 = Lösung 1. x2 isolieren (ordnen) 2. Auf beiden Seiten radizieren 25 Eine quadratische Gleichung hat immer zwei Lösungen, denn 5 ⋅ 5 = 25 (−5) ⋅ (−5) = 25 . x = 25 x1 = 5 x2 = −5 In der Praxis gelten normalerweise nur die positiven Lösungen. www.ibn.ch 15. Februar 2014 Version 2 TG 3 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN QUADRATISCHE GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN ZWEITEN GRADES MIT EINER UNBEKANNTEN 3.3.3.1.2 Seite Beispiele von rein quadratischen Gleichungen Beispiel 1 15 x 2 15 x 2 x2 x = 270 x 540 36 6 a2 + x2 x2 x = c2 = c2 − a2 = = = Beispiel 2 www.ibn.ch = Pythagoras c2 − a2 15. Februar 2014 Version 2 17 TG 3 3 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN QUADRATISCHE GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN ZWEITEN GRADES MIT EINER UNBEKANNTEN 3.3.3.1.3 Seite 18 Gemischt quadratische Gleichungen Unter einer quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung mit den Parametern a,b,c und der Unbekannten x von der Form ax2 + bx + c = 0 Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Polynom zweiten Grades. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die Nullstellen einer quadratischen Funktion, also die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen (der eine Parabel ist) mit der x-Achse in der x-y-Ebene. Herleitung der Berechnungsformel: www.ibn.ch 15. Februar 2014 Version 2 TG 3 3 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ALGEBRA GLEICHUNGEN 3.3.4 Seite 19 Textgleichungen Mathematik In der Technik dienen bestimmte Gesetze und Abhängigkeiten, die in Gleichungen (Formeln) festgelegt sind. Dennoch stellt uns der Alltag viele Aufgaben, die zuerst in die geeignete „mathematische Zahlensprache“ übersetzt werden müssen. Dadurch entsteht zunächst folgendes Problem: Erstellung einer geeigneten Zahlengleichung, welche die bekannten Grössen und die unbekannten Zahl, oder das, wonach gefragt wird, enthält. Die Lösung einer Textgleichung zerfällt in folgende Teile: 1. 2. 3. 4. Wahl der Unbekannten (x) Aufstellung der Gleichung Auflösung der Gleichung Probe, ob die gefundene Zahl der Aufgabe genügt www.ibn.ch 15. Februar 2014 Version 2
