V13 Elektrisches Dipolfeld, EKG - Medizinische Hochschule Hannover
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V13 Elektrisches Dipolfeld, EKG Bei der Erregung und Erregungsleitung in Nerven und Muskeln spielen elektrische Potentialdifferenzen an den Zellmembranen und daraus resultierende elektrische Felder eine bedeutende Rolle. Die Aktionspotentiale des Herzmuskels erzeugen im Körper zeitlich und räumlich variable Felder, die mit dem Modell eines in Betrag und Richtung veränderlichen elektrischen Dipols beschrieben werden können. An geeigneten Stellen der Körperoberfläche lassen sich so Spannungssignale ableiten, deren Registrierung (EKG) sich zu einer wichtigen Methode in der Herzdiagnostik entwickelt hat. 1. Theoretische Grundlagen 1.1. Stichworte zur Vorbereitung Im Folgenden geht es um Kraftwirkungen, die in der Umgebung von elektrischen Ladungen beobachtet werden. Diese elektrostatische Wechselwirkung beschreibt man mit der Vorstellung, daß ein elektrisch geladener Körper eine Veränderung des umgebenden Raums verursacht, die als elektrisches Feld bezeichnet wird. Als Meßgröße definiert man die elektrische Feldstärke. Diese ist wie die durch das Feld hervorgerufene Kraft eine gerichtete Größe. Felder können zur Veranschaulichung durch Feldlinien dargestellt werden; das sind Hilfslinien, die an jedem Punkt des Raumes durch ihre Tangente die Richtung der Kraftwirkung des Feldes in diesem Punkt veranschaulichen. 1.2. Elektrische Ladungen im nichtleitenden Raum 1.2.1. Das Kraftfeld eines Monopols: Ausgehend vom COULOMB-Gesetz Gl.(1.1), das die Kraft F zwischen zwei elektrischen Ladungen Q und q im Abstand r voneinander in nichtleitender Umgebung beschreibt, kann man ein elektrisches Kraftfeld ableiten. 1 Qq F er 4 r² (1.1) Die Konstante , die vom Medium, dem sog. Dielektrikum, abhängt, heißt DielektrizitätsKonstante. Betrachtet man die Ladung Q als ortsfestes Kraftzentrum und die Ladung q als bewegliche positive Probeladung, so gibt der Vektor e r als Einheitsvektor die Richtung vom Zentrum zur Probeladung q an. Das Ladungszentrum wird auch als Pol bezeichnet. Dividiert man die Kraft F durch die Probeladung q, dann ergibt dieser Quotient die von der Ladung Q verursachte elektrische Feldstärke: 1 Q E er 4 r ² V 13.1 (1.2) Das elektrische Feld E einer Ladung Q ist also ein räumlich ausgedehntes, radiales Vektorfeld (Abb. 1.1). Gl. (1.2) gilt sowohl für positive als auch für negative Ladungen Q, wobei die Richtung von E relativ zu e r durch das Vorzeichen von Q gegeben ist. Der Feldstärkevektor E weist demnach von einer positiven Ladung weg und auf eine negative Ladung zu. Die Dichte der gezeichneten Feldlinien gibt die Stärke des Feldes an. Abb. 1.1. Elektrisches Feld eines Monopols (Feldlinien durchgezogen, Äquipotentiallinien gestrichelt gezeichnet) 1.2.2. Das Potentialfeld eines Monopols: Zur Verschiebung der Probeladung q im konstanten Abstand um das Zentrum, also auf einer Kreislinie, braucht man keine Kraft aufzuwenden, da die elektrische Kraft immer senkrecht zur Kreislinie steht. Es ist also keine Energie für diese Verschiebung nötig. Wir befinden uns auf einer sog. Äquipotentiallinie, die sich im ebenen Fall als konzentrischer Kreis darstellt und die Feldlinien senkrecht schneidet. Im dreidimensionalen Raum liegen die Punkte gleichen Potentials um einen elektrischen Monopol auf konzentrischen Kugelflächen. Der Begriff Potential wird hier ganz analog zur potentiellen Energie benutzt. Bewegt man sich vom positiven Kraftzentrum mit einer positiven Probeladung weg, so wird diese beschleunigt und verliert potentielle Energie. Im Kraftzentrum hat man also ein großes Potential, das für große Abstände hiervon verschwindet. Das Potential im Abstand r von der Ladung Q wird definiert als: 1 Q 4 r (1.3) Man gewinnt daraus die potentielle Energie der Mechanik, indem man Gl. (1.3) mit der Probeladung q multipliziert. Wpot q (1.4) V 13.2 Wpot q 1 Q 4 r (1.5) Die Differenz zweier Potentialwerte an verschiedenen Orten wird als elektrische Spannung U12 zwischen diesen Orten bezeichnet: U 12 1 2 . (1.6) Spannung und Potential müssen demnach die gleiche Einheit, das Volt, besitzen. 1.2.3. Felder eines Dipols: Betrachtet man zwei ungleichnamige elektrische Pole +Q und -Q im festen Abstand a voneinander, so wird die Anordnung als Dipol bezeichnet (Abb. 1.2). Die Felder der Einzelpole addieren sich dabei vektoriell in jedem Raumpunkt. Auf eine positive Probeladung q wirkt dann im Abstand r1 von der positiven Ladung +Q die Kraft F und mit r2 von der negativen Ladung -Q die Kraft F . Die resultierende Kraft F q ist also die Vektorsumme aus F und F . Entsprechend erhält man die resultierende Feldstärke EDipol , indem man die von den beiden Ladungen verursachten Feldstärken am Beobachtungsort vektoriell addiert. Abb. 1.2. Probeladung q im Feld eines elektrischen Dipols (Feldlinien durchgezogen, Äquipotentiallinien gestrichelt gezeichnet) V 13.3 Also gilt für die geometrische Beschreibung des elektrisches Dipolfeldes: Q 1 EDipol e r1 4 r1² 1 er 2 , r 2² (1.7) worin die Richtung der von den Ladungen +Q bzw. -Q herrührenden Feldkomponenten durch die Einheitsvektoren e r1 und e r 2 festgelegt wird. Das resultierende elektrische Potential stellt sich wie folgt dar: Dipol Q 4 1 r1 1 Q r2 4 r 2 r1 r1 r 2 (1.8) Zu den besonderen Eigenschaften des ungleichnamigen Dipols gehört es, daß die Potentiallinie für = 0, also für den Fall r1 = r2 , eine Gerade ist und als Mittelsenkrechte auf der Verbindungslinie der beiden Pole steht (Abb.1.2). Sie ist damit auch Spiegelachse des Dipols. Im dreidimensionalen Raum gilt entsprechendes für die Spiegelebene des Dipols. Betrachtet man das Dipolfeld in Entfernungen r, die wesentlich größer als die Länge des Dipols a sind, läßt sich der Ausdruck für das Potential Gl. (1.8) weiter vereinfachen. In guter 2 . Näherung kann man dann das Produkt r1 · r2 = r und die Differenz r2 - r1 = a cos setzen, worin der Winkel zwischen Dipolachse a und der Verbindungslinie vom Dipol zum Beobachtungspunkt P ist (Abb. 1.3). mit r a wird : Dipol Q a cos 4 r² (1.9) Auch in dieser Näherung bestätigt sich, daß das Potential auf der Spiegelachse des Dipols (= 90°) verschwindet. Darüber hinaus erkennt man, daß das Potential bei konstantem Abstand r sein Maximum bzw. Minimum auf der Verlängerung der Dipolachse (= 0° oder = 180°) besitzen muß. Abb. 1.3. Zur Berechnung des Dipolpotentials in großer Entfernung (siehe Text) V 13.4 Zur Beschreibung des Potentialfeldes eines beliebig im Raum orientierten Dipols soll der Mittelpunkt der Dipolachse so in den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems gelegt werden, daß sich die Dipolachse in der Koordinatenebene (x, y) befindet (Abb. 1.4). Der positive Pol liegt an der Position (x0, y0) und der negative Pol an der Position (-x0, -y0). In dieser Darstellung bildet die Dipolachse mit der x-Achse einen Winkel . Entsprechend ist die Spiegelachse des Dipols um den gleichen Winkel gegenüber der y-Achse gedreht. Abb. 1.4. Dipol mit Dipolmoment im x-y-Koordinatensystem (siehe Text) Zur Charakterisierung des Dipols definiert man das Dipolmoment D , einen Vektor, dessen Richtung in der Verbindungslinie zwischen den Ladungen liegt und von der negativen zur positiven Ladung zeigt (Abb. 1.4). Der Betrag des Vektors wird aus dem Produkt von Ladung Q mal Abstand a gebildet. Definiert man einen Ortsvektor a der Länge a, der von der negativen zur positiven Ladung weist, so folgt daraus: DQa . (1.10) Wie jeder Vektor kann auch das Dipolmoment als Summe von Teilvektoren, z.B. in Richtung der Koordinatenachsen der x-y-Ebene, dargestellt werden: D Dx e x Dy e y , (1.11) wobei Dx und Dy die Beträge der Dipolvektoren in x- bzw. y-Richtung sind. Durch Umformung gemäß Gl. 1.10 erhält man: D 2 x0 Q e x 2 y 0 Q e y V 13.5 (1.12) oder in Abhängigkeit vom Drehwinkel D Q a cos e x Q a sin e y (1.13) Das Dipolmoment läßt sich demnach als Summe der auf die Achsen projizierten Teilvektoren darstellen. Das elektrische Potential in der Umgebung des Dipols kann dann durch additive Überlagerung der diesen Teildipolen zugeordneten Potentialanteile gebildet wer- den. So erhält man z.B. für das Potential der in der x-Achse liegenden Dipolkomponente an einem beliebigen Ort (x, y) gemäß Gl. (1.8): x ( x, y ) Q 4 1 y 2 ( x x0)² 1 y 2 ( x x0)² (1.14) Liegt der betrachtete Ort auf der x-Achse (y = 0), so reduziert sich der Ausdruck in Gl. (1.14) auf: x ( x,0) 2 x0 Q 4 x ² x0² (1.15) Für die Spannung U12 zwischen zwei festen Punkten auf der x-Achse mit den x-Koordinaten xp und +xp kann man ansetzen: U 12 x ( xp,0) x ( xp,0) . (1.16) Einsetzen gemäß Gl.(1.15) unter Vernachlässigung von x0 gegenüber xp, d.h. für xp >> a, ergibt: bzw. U 12 2 x0 Q 2 , 4 xp ² U 12 1 1 Dx . 2 xp ² (1.17) Daraus erkennt man, daß die Spannung U12 unter der Bedingung, daß der Abstand der Meßpunkte xp sehr groß gegenüber der Dipollänge a ist, zum Betrag der Dipolkomponente Dx in Gl. (1.12) proportional ist: U 12 ~ Dx (1.18) Entsprechende Überlegungen gelten auch für die Projektion des Dipolmoments auf die yAchse Dy und längs dieser Richtung zu beobachtende Potentialdifferenzen. Allgemeiner lassen sich diese Überlegungen auf die Zerlegung des Dipolmoments in beliebige Teilvektoren übertragen. V 13.6 1.3. Elektrischer Dipol in schwachleitender Umgebung Bringt man einen Dipol in eine schwachleitende Umgebung, so kann man ihn als elektrische Spannungsquelle betrachten, deren Pole man über einen räumlich ausgedehnten Leiter miteinander verbunden hat. Folglich fließt in diesem Stromkreis ein elektrischer Strom, so daß man die Ladung zur Aufrechterhaltung des Dipols ständig nachliefern muß. Denkt man sich die Umgebung des Dipols durch ein räumliches Netzwerk von Widerständen realisiert, dann fließen Teilströme parallel zu den elektrischen Feldlinien durch die Widerstände. Statt der Feldlinien kann man hier Stromfäden einführen, die ein elektrisches Strömungsfeld bilden, das analog zum elektrischen Feld eines Ladungsdipols nach Gl. (1.7) beschrieben werden kann. Dazu gehört auch die Beschreibung der Feldverteilung durch Äquipotentiallinien, die im rechten Winkel zu den Stromfäden verlaufen. Nur im Grenzfall einer unendlich ausgedehnten leitenden Umgebung des Dipols entspricht das Bild des Strömungsfeldes exakt dem in Abb. 1.2 dargestellten Feldverlauf. Andernfalls werden die genaue Verteilung der Stromfäden und der Verlauf der Äquipotentiallinien nicht allein durch Größe und Lage des Dipols, sondern auch durch sog. Randbedingungen bestimmt. Dazu gehört die Forderung, daß die Stromfäden an den Begrenzungen des Leiters tangential zur Leiteroberfläche verlaufen, weil kein Strom in die nichtleitende Umgebung fließen kann. Entsprechend enden die Äquipotentiallinien stets senkrecht an der Leiteroberfläche. V 13.7 1.4. Medizinischer Bezug An der Zellmembran von lebenden Körperzellen besteht eine elektrische Membranspannung von etwa 90 Millivolt, die durch negative Ladungen an der Innenseite der Membran und positive Ladungen an ihrer Außenwand hervorgerufen wird (Abb. 1.5.a). Nerven- und Muskelzellen sind in der Lage, diesen Zustand der Polarisation bei Erregung abzubauen, so daß sich die Polarität sogar kurzzeitig umkehrt (Abb. 1.5.b). Die elektrische Erregung einer Muskelfaser, hervorgerufen durch Depolarisation des Membranpotentials, bewirkt eine Kontraktion der Faser. Ein in Erregung befindlicher Muskelbezirk, bestehend aus vielen Einzelfasern, verhält sich demnach gegenüber seiner nicht erregten Umgebung elektrisch negativ, was die Ausbildung äußerer elektrischer Felder zur Folge hat. (Im Vergleich hierzu: Das Verhalten von Zink gegenüber Kupfer beim galvanischen Element.) Abb. 1.5. Ladungsverteilung an der Zellmembran a) Membranspannung im polarisierten Zustand b) Depolarisation und resultierende Feldverteilung In Bezug auf die Funktion des Herzens bedeutet das, daß man sich den erregten Herzmuskel auch als eine Spannungsquelle mit zwei Polen unterschiedlicher Polarität vorstellen kann, die aus der Summe vieler Einzelpotentiale zusammengesetzt wurde. Befindet sich ein solcher Summationsdipol in einer schwachleitenden Umgebung - hier also dem Rumpf des mensch lichen Körpers - so kann man ihn physikalisch durch sein Dipolmoment D variabler Richtung und Größe beschreiben, das in seiner Umgebung ein elektrisches Potentialfeld erzeugt (Abb. 1.6). Messungen dieser zeitlich und räumlich veränderlichen Felder als Elektrokardiogramm (EKG) geben dem geschulten Mediziner wertvolle Informationen über die Herztätigkeit. Die Beschreibung der genauen Erregungsabläufe des Herzmuskels und die EKG-Interpretation seien einer späteren physiologischen Betrachtung dieses Themas vorbehalten. V 13.8 Abb. 1.6. Das vom Dipol Herz (gezeichnet durch + - ) in einem bestimmten Zeitpunkt erzeugte elektrische Potentialfeld bei Projektion auf die vordere Thorax- wand. Man legt ein gleichseitiges Dreieck so in das Dipolfeld des Herzens, daß das Dipolmoment D im Mittel in die Ebene des Dreiecks fällt und der Mittelpunkt des Dipols mit dem des Drei ecks übereinstimmt. Der in der Ebene des Dreiecks liegende Vektor D12 kann nun wiederum auf die Dreiecksseiten projiziert werden, so daß sich die Seitenvektoren DRL , DRF und DLF ergeben, deren Abstand vom Dreiecksmittelpunkt immer gleichgroß ist (Abb. 1.7). Beschreibt man den Summationsdipol des Herzens durch das zeitlich variable Dipolmoment, dann liegt es nahe, Größe und Richtung dieses Vektors durch elektrische Potential- bzw. Spannungsmessungen bestimmen zu wollen. Nach den in Kap.1.2.3 abgeleiteten Zusammenhängen sind die zwischen je zwei Eckpunkten des Einthoven-Dreiecks auftretenden Potentialdifferenzen proportional zum Betrag der in ihre Verbindungslinie projizierten Dipolkomponente. Durch Messung dieser Spannungen URL, URF und ULF kann man also eine Vektorgröße rekonstruieren, die in Richtung des Dipolvektors D12 zeigt und zu dessen Betrag proportional ist. V 13.9 Abb. 1.7 EINTHOVEN-Dreieck mit Dipolkomponenten (siehe Text) Aus der Abbildung Abb. 1.7 können folgende Beziehungen abgeleitet werden: URF ~ D12 cos (1.19a) ULF ~ D12 cos (1.19b) URL ~ D12 cos (1.19c) Die drei Winkel , und sind untereinander abhängig. Es gilt: 120 180 , also 60 und 60 180 , also 120 V 13.10 , (1.20) . (1.21) Zur Bestimmung des Winkels zwischen dem Dipolvektor D12 und der Horizontalen bildet man z.B. den Quotienten URF/URL aus den Gleichungen (1.19a) und (1.19c), wobei der Winkel gemäß Gl. (1.20) ersetzt wurde: cos (60 ) URF . URL cos (1.22) Mithilfe bekannter Additionstheoreme für Winkelfunktionen erhält man: cos 60 cos sin 60 sin URF URL cos (1.22a) und durch geeignetes Umformen schließlich eine Bestimmungsgleichung für den Winkel : 1 URF tan cos 60 URL sin 60 (1.23) Mit sind über Gl. (1.20) und Gl. (1.21) auch die Winkel und bestimmt, während Gln. (1.19a) - (1.19c) ein Maß für den Betrag des Dipolmoments liefern. Aus zwei gemessenen Spannungen läßt sich also zu jedem Zeitpunkt die variable Größe und Richtung des Herzdipols, projiziert auf die Ebene, die durch die drei Ableitungspunkte definiert ist, herleiten. Die genaue räumliche Orientierung des Herzdipols läßt sich allerdings erst durch Messung des Potentials an einer weiteren Meßstelle, die außerhalb der Dreiecksebene liegt, bestimmen. Abb. 1.8 zeigt die räumliche Kurve, welche von der Spitze des Dipolvektors während eines Erregungszyklus des Herzmuskels beschrieben wird. Abb. 1.8. Raumkurve der Vektorspitzenbewegung des Herzdipols während einer Pulsperiode V 13.11 2. Der Versuch 2.1. Aufgabenstellung Mit Hilfe der im Abschnitt 2.3. beschriebenen Meßanordnung ist die Potentialverteilung eines in einem elektrolytischen Trog erzeugten Dipolfeldes auszumessen und graphisch darzustellen. Aus dem Verlauf der Äquipotentiallinien sollen die Position der Pole und die Richtung der Dipolachse ermittelt werden. Die grafische Auswertung der Meßergebnisse erfolgt am PC mit Unterstützung durch ein EXCEL-Programm. Zuvor sind jedoch die dazu notwendigen Messungen durchzuführen und in die vorbereiteten Tabellen zu protokollieren. Anschließend wird die Richtung der Dipolachse alternativ durch Messung der Spannungen zwischen vorgegebenen Eckpunkten eines den Dipol umschließenden EINTHOVEN-Dreiecks bestimmt und mit dem zuvor erhaltenen Ergebnis verglichen. 2.2. Modell für Messungen im Dipolströmungsfeld Im Gegensatz zur bisherigen Betrachtung im unendlich ausgedehnten Raum, befindet sich der Dipol jetzt in einem begrenzten Raum, so daß der Verlauf der Feldlinien durch die Randbedingungen beeinflußt wird. Abb. 2.1. Bipolare Ableitung im elektrischen Potential-Feld eines Dipols bei kreisförmig begrenztem homogenem Medium. Das Potential ist in relativen Einheiten am Rand angegeben. Die quantitative Beschreibung eines solchen Feldes ist so komplex, daß sie hier nicht gezeigt werden kann. Unbeeinflußt bleiben jedoch grundlegende Aussagen, wie z.B. daß sich Feldlinien mit den Äquipotentiallinien rechtwinklig schneiden. Damit fließen die kleinen Ströme vom Dipol, als Batterie gedacht, senkrecht zu den Äquipotentiallinien. Bei der Anordnung in Abb. 2.1 wird ein zylindrischer Raum mit geringer Höhe betrachtet, in dessen Mitte sich der V 13.12 Dipol befindet. Die symmetrischen Eigenschaften des bisherigen Feldes bleiben dadurch erhalten, ebenso die Spiegelachse durch den Mittelpunkt des Dipols und annähernd kreisförmige Äquipotentiallinien in Polnähe. 2.3. Mechanischer Meßanordnung Aufbau und elektrisches Prinzip der Die Meßanordnung besteht einmal aus einem sog. Koordinatenbrett, auf dem sich eine mit Wasser gefüllte zylindrische Schale befindet und zum anderen aus einer elektrischen Meßeinrichtung, die mit den Platinelektroden zur Bildung eines elektrischen Dipols innerhalb der Schale und einer beweglichen Platindrahtsonde verbunden ist (Abb. 2.2). Die Sonde ist an einem Schlitten befestigt, der sich längs eines Lineals verschieben läßt. Das Lineal ist mit einer Skala versehen und repräsentiert die x-Achse des Koordinatensystems. Das Lineal seinerseits ist rechtwinklig an einem Schlitten angebracht, der sich längs einer Führungsstange in y-Richtung bewegen läßt. Über die x-y-Skalen kann die Sonde somit definiert auf jeden Koordinatenpunkt der Meßebene dirigiert werden. Der Dipol selbst befindet sich auf einer Halterung mit seinem Mittelpunkt direkt im Kreismittelpunkt der Schale, wobei die Dipolachse mit der x-Achse einen spitzen Winkel zwischen 30° und 60° bildet. In der waagerecht justierten Schale befindet sich eine elektrisch schwachleitende Flüssigkeit, z.B. Leitungswasser. Abb. 2.2. Mechanischer Aufbau V 13.13 Die elektrische Meßeinrichtung besteht im Wesentlichen aus einer sog. WHEATSTONE'schen Brücke, die anstatt mit Gleichspannung hier mit einer Wechselspannung UG = U~ im Tonfrequenzbereich betrieben wird. Wie bekannt, besteht eine solche Brücke aus zwei parallel geschalteten Spannungsteilern (Abb.2.3). Der eine Teiler dient hier zur Vorgabe einer Teilspannung UT und besteht aus einem Wendelpotentiometer R. Der andere dagegen wird aus dem räumlichen Flüssigkeitswiderstand zwischen den Polen Q1 und Q2 gebildet, während seine Teilspannung US über die bewegliche Sonde abgegriffen werden kann. Die Teilspannungen werden im Folgenden durch ihre in den Gln. (2.1) definierten Verhältnisse T und S angegeben. T UT UG S US UG (2.1) Abb.2.3. Schema der elektrischen Meßeinrichtung Sind beide Teilspannungen gleich, dann fließt durch das Nullinstrument im Brückenzweig kein Strom. Da die Brückenwechselspannung im Tonfrequenzbereich liegt, könnte man auch das menschliche Gehör über einen Kopfhörer als Nullindikator benutzen. Zur Visualisierung der Wechselspannung wird in der vorhandenen Brückenschaltung ein Oszilloskop als Nullinstrument eingesetzt. Abgleichhinweise: Beim Vergleich von zwei Wechselspannungen können zwischen ihnen Phasenverschiebungen vorliegen, so daß trotz gleicher Amplitude und Frequenz die Spannungsdifferenz nicht zu Null wird. In einem solchen Fall kann der Nullindikator nur auf ein Minimum abgeglichen werden. Achtung: Verschieben Sie das Lineal in der y-Richtung nur mit der linken Hand auf dem an der Führungsstange befestigten Ende! Andernfalls besteht Bruchgefahr!! V 13.14 2.4. Messvorbereitungen Machen Sie sich bitte mit der Meßanordnung an Hand von Abb. 2.2 und Abb. 2.3 vertraut und notieren Sie die Arbeitsplatznummer in Ihr Protokollheft. Beginnen Sie mit den nachfolgenden Grundeinstellungen und folgen erst danach den Meßanweisungen der einzelnen Aufgaben. - Füllstand in der Elektrolytschale prüfen. Er soll so hoch sein, dass die Pole vollständig im Elektrolyten sind und die Sonde ein paar Millimeter eintaucht. - Der Tongenerator soll auf einen Sinuston von ca. 4 kHz und maximale Amplitude eingestellt sein - Das Oszilloskop wird am Y-Verstärker zunächst auf den Meßbereich 100 mV/cm und die Zeitbasis auf 1 ms/cm eingestellt (siehe Bedienungsblatt). - Das Potentiometer wird auf die Mitte bzw. auf T = 0,500 (entspricht Potentialnull) eingestellt. - Die Abtastsonde wird in die Ausgangsposition xv, yv gebracht (Entnehmen Sie die Koordinaten bitte dem Koordinatenbrett und notieren Sie sie im Protokollheft). Nun schalten Sie das Oszilloskop und den Tongenerator ein und prüfen, ob die Differenzspannung der Brücke kleiner als 30 mVss ist (ggf. Betreuung rufen). 2.5. Messungen zur Bestimmung der Spiegelachse des Dipols Zu Beginn der Messung ist die Sonde auf die Dipolmitte zu positionieren. Drehen sie nun am Potentiometer, bis sie ein Minimum am Oszilloskop sehen (Sie sollten bei dem Wert 0,500 starten). Dann fahren sie wie folgt mit der Messung fort. Stellen Sie die y-Koordinate der Abtastsonde auf den ersten Wert der folgenden Tabelle ein. Anschließend wird die Sonde in xRichtung soweit verschoben, bis das Nullinstrument ein Minimum anzeigt. Die gefundenen xKoordinaten werden in die Tabelle eingetragen. Die Tabelle wird so bis zur letzten y-Vorgabe abgearbeitet. Die Ablesegenauigkeit der Zentimeterskalen beträgt bei dieser sowie allen folgenden Messungen 0,05 cm. x y [cm] [cm] ..,.. 15,00 17,00 19,00 21,00 23,00 25,00 27,00 29,00 31,00 33,00 V 13.15 Tab. 2.5.1 T = 0,500 2.6. Messungen zur Bestimmung der Dipolachse Die Achse eines Dipols ergibt sich aus einer Geraden durch die beiden Pole. Da die Äquipotentiallinien in Polnähe noch als Kreise angesehen werden können, kann man die Dipolachse auch aus der Verbindungslinie der Zentren dieser Kreise gewinnen. Messprinzip: Ein beliebiger Kreis kann so von einem Quadrat eingeschlossen werden, daß seine vier Seiten jeweils einmal den Kreis berühren. Diese vier Berührungspunkte werden gesucht, um daraus den Kreis zu bestimmen. Der 1. Schritt bedeutet, dass man sich eine beliebige Höhe über dem Pol aussucht (mind. 5cm Abstand vom Pol und dann so lange auf der x-Achse verschiebt, bis sich die Sonde direkt über dem Pol befindet (so gut wie das mit dem Auge erkennbar ist). Dann kommt der 2. Schritt. Die Sonde wird nun auf der y-Achse nach unten geschoben bis ein Minimum auf dem Oszilloskop zu sehen ist, der Punkt(xp,yp) wird notiert. Gleiches Verfahren macht man, um den utneren Punkt zu bestimmen. Für den rechten und den linken Punkt nimmt man zuerst eine x Vorgabe, die mind. 5 cm entfernt ist, schiebt die Sonde dann in Höhe des Pols, und sucht dann durch verschieben auf der x-Achse das Minimum. Abb. 2.4. Mehrfache Iteration zur Bestimmung der Pollagen (siehe Text) Messung: a) Linker Pol Q1: Das Vorgabe-Potentiometer wird auf T = 0,300 Skt (Wahl des Kreises) b) Rechter Pol Q2: Beim zweiten Pol wird das Vorgabe-Potentiometer auf T = 0,700 eingestellt. V 13.16 xp [cm] y-Vorgabe yp [cm] y-Vorgabe Oberer Punkt Oberer Punkt Unterer Punkt Unterer Punkt xp [cm] x-Vorgabe yp [cm] x-Vorgabe Rechter Punkt Rechter Punkt Linker Punkt Linker Punkt Tab. 2.6.1 T = 0,300 Tab. 2.6.2 xp [cm] yp [cm] xp [cm] yp [cm] T = 0,700 2.7. Messungen zur Bestimmung einer offenen Äquipotentiallinie zwischen Pol und Spiegelachse a. Das Vorgabe-Potentiometer wird auf T = 0,550 und die x-Koordinate der Abtastsonde auf den ersten Wert der folgenden Tabelle eingestellt. Anschließend wird die Sonde in y-Richtung so hin und her geschoben, bis das Nullinstrument ein Minimum anzeigt. Der gefundene Wert wird in die Tabelle eingetragen. Die Tabelle wird so bis zur letzten x-Vorgabe abgearbeitet. Analog wird mit dem Rest der Tabelle verfahren, wobei hier die y-Koordinaten vorgegeben sind und das Minimum mit der Variation von x erreicht wird. x [cm] y [cm] x [cm] y [cm] 25,00 26,00 23,00 28,00 21,00 30,00 19,00 32,00 17,00 34,00 15,00 36,00 Tab. 2.7.1 T = 0,550 V 13.17 b. Nutzen Sie das Verfahren aus Teil a und nehmen sie eine weitere beliebige Potenzialline auf. Überlegen Sie sich allerdings vorher wo die Äquipotenziallinie bei eingestelltem Skalenteile ungefähr zu finden ist. Als Anhaltspunkte dienen hier die Skalenteile zu den Polnahen Linien und zur Spiegelachse. Wenn kein klares Minimum zu finden ist, müssen sie sich evtl von der anderen Achse nähern. x [cm] y [cm] x [cm] V 13.18 y [cm] 2.8. Auswertung und Fragen zu den Messungen Begeben Sie sich nach Abschluß der Potentialmessungen an einen der PC-Arbeitsplätze. Die Bedienung des Auswertungsprogramms erfolgt weitgehend intuitiv, sofern man die Hinweise im unteren Bildschirmfenster beachtet. Übertragen Sie Ihre Meßergebnisse aus dem Protokoll in die vorgesehenen Tabellen unter Verwendung des Dezimalkommas. Die ausgedruckten Diagramme dienen als Ausgangsbasis für die weitere grafische Auswertung nach dem in Abb. 2.5. dargestellten Muster. 2.8.1. Die Spiegelachse des Dipols: Die mit Kreisen markierten Meßpunkte definieren die Symmetrieachse des Dipolfeldes. Sie wird vom Programm als bestangepaßte Gerade der Punkteschar in das Diagramm eingetragen. Bestimmen Sie die Steigung m dieser Geraden auf zwei Nachkommastellen genau durch Einzeichnen eines möglichst großen Steigungsdreiecks. m = .,.. Daraus erhält man den Winkel der Spiegelachse des Dipols mit der x-Achse zu: = arc tan m = ..,. ° , und weiter den Neigungswinkel der Dipolachse gegen die x-Achse aus: Dipol = 90° = ..,. ° . Alle Winkelangaben sind auf eine Nachkommastelle zu runden. Man beachte hier das negative Vorzeichen von m bzw. ! 2.8.2. Die offene Äquipotentiallinie: Verbinden Sie die durch Kreuze gekennzeichneten Meßpunkte mit Hilfe eines Kurvenlineals zu einer glatten Äquipotentiallinie (siehe Abb. 2.5.) V 13.19 2.8.3. Lage des Dipols in der Meßebene: Bestimmen Sie graphisch aus dem Diagramm die Koordinaten der beiden Pole Q1 und Q2. Legen Sie dazu durch die Meßpunkte mit Hilfe einer Kreisschablone einen bestangepaßten Kreis. Dann markieren Sie nach Augenmaß den Kreismittelpunkt und legen durch die beiden Mittelpunkte eine Gerade, die die Dipolachse darstellen soll. Die Mitte der Dipolachse, der Dipolmittelpunkt, sollte im Idealfall der Schnittpunkt mit der Spiegelachse sein. Berechnen Sie den Winkel Dipol der Dipolachse mit der Horizontalen durch Auswertung der ermittelten Pol-Koordinaten (das Ergebnis sollte mit dem zuvor im Abschnitt 2.8.1. bestimmten Wert bis zur ersten Nachkommastelle übereinstimmen). Fassen Sie die Ergebnisse nach folgendem Schema zusammen: linker Pol Q1: xQ1 = .,.. cm yQ1 = .,.. cm rechter Pol Q2: xQ2 = .,.. cm yQ2 = .,.. cm Dipolmittelpunkt: xM = .,.. cm yM = .,.. cm Dipolwinkel: Dipol yQ 2 yQ1 arc tan = ..,. ° xQ 2 xQ1 2.9. Bestimmung der Dipolachse nach EINTHOVENs Idee Es sollen nacheinander die Potentiale in den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Mittelpunkt mit dem Dipolmittelpunkt übereinstimmt, gemessen werden. Zeichnen Sie die Punkte ebenfalls in ihr Diagramm. Potentiale der Eckpunkte Teilspannungen i [Skt] i yi [cm] xi [cm] R 30,30 5,10 UFR = L 30,30 25,10 ULF =. F 13,00 15,10 URL = Dipolwinkel [Skt] Eint = Dazu wird die Abtastsonde nacheinander gemäß der Tabellenangaben auf die Eckpunkte R, L und F positioniert, durch Variation von am Potentiometer das jeweilige Minimum des V 13.20 Brückensignals aufgesucht und die relativen Potentiale R, L und F als Skalenteile des Potentiometers (Null mit drei Nachkommastellen!) notiert. Auswertung: a) Bilden Sie die relativen Potentialdifferenzen UFR, ULF und URL zwischen den Eckpunkten R, L und F, also: UFR F R ULF L F URL R L Überzeugen Sie sich davon, daß die Addition der drei berechneten Spannungswerte Null ergibt, wie es die KIRCHHOFF'sche Maschenregel fordert. b) Mit Hilfe der folgenden Gleichung kann nun der Winkel Eint zwischen der Dipolachse und der Horizontalen berechnet werden (eine Nachkommastelle): E int UFR arc tan 1,155 0,5 URL c) Vergleichen Sie den nach Einthoven bestimmten Winkel Eint mit dem Winkel Dipol aus Abschnitt 2.8.1 bzw. 2.8.2 und geben Sie seine prozentuale Abweichung davon an: E int Dipol 100[%] = [%]. Dipol 2.10. Fragen zur Vertiefung: a) Warum werden die Äquipotentiallinien nicht direkt mit einem Voltmeter gemessen? b) Warum wird die Wheatstone'sche Brücke mit Wechselspannung betrieben? c) Zeigen Sie, daß die Differenz zweier Wechselspannungen, die zeitlich verschoben sein können, trotz gleicher Amplitude und Frequenz nur für einen speziellen Fall zu Null wird. V 13.21 3. Übungsfragen 1. Wodurch machen sich elektrische Felder bemerkbar? Kennen Sie andere Feldarten? 2. Wie lautet das Gesetz, welches die Kraft zwischen zwei Punktladungen beschreibt? Dabei ist die Abhängigkeit vom Abstand r und von der Art des Mediumszu diskutieren. Welche Richtung hat die Kraft ? 3. Wie ist die elektrische Feldstärke im Abstand r von einer Punktladung Q definiert? 4. Was versteht man unter dem Begriff des elektrischen Potentials? 5. Wie verhält sich das Potentialfeld einer Monopol-Ladung? Skizzieren Sie den Verlauf der Äquipotentiallinien und Feldstärkevektoren einer positiven Punktladung. 6. In welcher Einheit wird das Potential gemessen? Welcher Zusammenhang besteht zur Spannung, die ja die gleiche Einheit besitzt? 7. Was versteht man unter einem el. Dipol und dem zugehörigen Dipolmoment? 8. Wo wird das Potential eines elektrischen Dipols bei konstantem Abstand r maximal bzw. minimal? 9. Man zeichne einen Dipolvektor in das Zentrum eines kartesischen Koordinatensystems. In welcher Weise kann man das Dipolmoment durch Teilvektoren längs der Koordinatenachsen darstellen? 10. Welche Grundvoraussetzungen führen zur Idee von EINTHOVEN, die Lage und Größe des Herzdipols durch Spannungsableitungen an den Extremitäten zu registrieren? V 13.22
