Wahrscheinlichkeit und Zufall

Wahrscheinlichkeit und Zufall
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
16. Juni 2009
Dr. Katja Krüger
Universität Paderborn
1
Inhalt
¾ Ereignisse
E i i
und
d deren
d
W
Wahrscheinlichkeit
h h i li hk i
¾ Laplace-Regel
¾ Baumdiagramm und Pfadregel
2
Vergleich von Ergebnissen und Ereignissen
Aufgabenbeispiel Würfeln aus den KMK-Bildungsstandards für die Primarstufe
3
Gewinnchancen bei einfachen
Zufallsexperimenten vergleichen
Aufgabenbeispiel Würfeln aus den KMK-Bildungsstandards für die Primarstufe
4
Er i niss und deren
Ereignisse
d r nW
Wahrscheinlichkeit
hrsch inlichk it
5
Mathematisierung zufallshaltiger Situationen:
Ereignisse
Oft iinteressiert
Of
i
man sich
i h nicht
i h fü
für einzelne
i
l A
Ausfälle
f ll eines
i
Zufallsversuchs, sondern für mehrere Ausfälle, die alle eine
bestimmte Eigenschaft haben. Durch Angabe der Eigenschaft
werden die Ausfälle, die diese Eigenschaft haben, zu einer
Menge zusammengefasst z.B. beim beim Würfeln mit zwei
Würfeln:
f
• Pasch: A= {(1/1), (2/2), ...(5/5), (6/6)}.
• Augensumme 10: B= {(5/5), (6/4), (4/6)}.
¾ Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge Ω.
Ω
A
B
6
Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten
beim zweifachen Würfeln
p(Augensumme 10)
= 3/36
Neue Wege 6
(2006), S. 221
p(Pasch) 6/36
p(Pasch)=6/36
Man addiert die Wahrscheinlichkeiten der Ausfälle, die zu
einem Ereignis
g
gehören.
g
7
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Kenntt man die
K
di Wahrscheinlichkeit
W h h i li hk it für
fü jeden
j d A
Ausfall,
f ll d
der zu
dem Ereignis gehört, dann kann man die Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses A angeben: Man addiert die
Wahrscheinlichkeiten der Ausfälle, die zu A gehören.
P ( A) =
∑ P(ω )
ω∈A
∈A
z.B. die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch beim zweifachen Würfeln
P(" Pasch
P h" ) =
= p((1 / 1) ) + p (((2 / 2) ) + ... p((6 / 6) )
1
1
1
1
1
1
+ + + + +
36 36 36 36 36 36
6 1
=
=
36 6
8
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
g
Sonderfälle
Sonderfälle:
–
–
Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ∅: P(∅) = 0
Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses Ω: P(Ω) = 1
9
Wahrscheinlichkeiten des
Gegenereignisses Ā
Ω
A
A
Ein Ereignis
E
E
A umfasst
f
alle
ll Ausfälle
f ll der
d Ergebnismenge,
E
b
die
d
eine bestimmte Eigenschaft haben. Alle Ausfälle, die diese
Eigenschaft nicht haben, bilden das Gegenereignis Ā.
Da alle Ausfälle entweder zum Ereignis oder zu seinem
Gegenereignis gehören, müssen die Wahrscheinlichkeiten der
beiden Ereignisse
g
zusammen gleich
g
der Summe der
Wahrscheinlichkeiten aller Ausfälle, also gleich 1 sein.
Die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses A und
seines Gegenereignisses Ā ergänzen sich zu 1.
1
()
P ( A) + P A = 1
z.B. die Wahrscheinlichkeit für keinen Pasch beim zweifachen Würfeln
P(P h) =
P(Pasch)
6 1
1 5
=
⇒ P(kein
k i Pasch
P h) = 1 − =
36 6
6 6
10
Grundeigenschaften der
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen
Ω
A
B
11
B r chnun von
Berechnung
v nW
Wahrscheinlichkeiten
hrsch inlichk it n
12
Laplace Versuche
Laplace-Versuche
¾ W
Wahrscheinlichkeiten
h h i li hk it lassen
l
sich
i h leicht
l i ht berechnen,
b
h
wenn alle
ll
Ausfälle der jeweiligen Ergebnismenge gleichwahrscheinlich sind.
Solche Zufallsversuche nennt man auch Laplace-Versuche nach
Pierre Simon Laplace (1749 - 1827), einem berühmten
französischen Mathematiker und Physiker.
¾ Für Laplace
Laplace-Versuche
Versuche, aber auch nur für diese
diese, lässt sich die
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses p(E) nach einer einfachen
Regel berechnen, der Laplace-Regel:
p( E ) =
Anzahl der für das Ereignis günstigen Fälle
Anzahl aller möglichen Fälle
Die Laplace-Regel gilt nur im Falle der Gleichwahrscheinlichkeit der
möglichen Ausfälle!
13
„Théorie analytiques des probabilités
probabilités“
von Pierre Simon de Laplace (1812)
„Die Theorie des Zufalls ermittelt die gesuchte
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
g
durch Zurückführung
g
aller Ereignisse derselben Art auf eine gewisse Anzahl gleich
möglicher Fälle … und durch Bestimmung der dem Ereignis
günstigen Fälle. Das Verhältnis dieser Zahl zu der aller
möglichen Fälle ist das Maß dieser Wahrscheinlichkeit, die
also nichts anderes als ein Bruch ist, dessen Zähler die Zahl
der günstigen Fälle und dessen Nenner die Zahl aller
möglichen Fälle ist“.
Zitiert nach Kütting 2008,
2008 S
S. 26
p( E ) =
Anzahl der für das Ereignis günstigen Fälle
A hl aller
Anzahl
ll möglichen
ö li h Fälle
Fäll
14
Beispiel 1: Einfache Urnenziehung
Aus einer Urne mit zwei roten und drei weißen Kugeln wird
eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
sie weiß
ß ist?
• 1. Modellierung Ω = {r, w}.
Für das Ereignis "eine weiße Kugel ziehen" gibt es einen ("günstigen")
A f ll nämlich
Ausfall,
ä li h w. Ab
Aber die
di W
Wahrscheinlichkeit
h h i li hk it hi
hierfür
fü iistt k
keineswegs
i
0,5.
• 2. Modellierung: Ω = { r1, r2, w1, w2, w3}
Wir können diesen Zufallsversuch künstlich zu einem Laplace-Versuch
machen indem wir die Kugeln durchnummerieren.
machen,
durchnummerieren Nun besteht beim
Zufallsversuch "einmaliges Ziehen" die Ergebnismenge aus 5 Ausfällen.
Für das Ereignis "eine weiße Kugel ziehen" gibt es 3 günstige Ausfälle,
nämlich w1,
w1 w2,
w2 w3
w3. Das Ereignis hat also die Wahrscheinlichkeit
p(weiße Kugel)=3/5=0,6.
15
Wahl eines/r geeigneten
Stichprobenraumes /Ergebnismenge
16
Beispiel
p 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Augensummen beim Werfen zweier Würfel
1. Modellierung Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
Bei dieser Ergebnismenge sind nicht alle Augensummen
gleichwahrscheinlich Fasst man die einzelnen Augensummen als
gleichwahrscheinlich.
Ereignisse auf, so kann man deren Wahrscheinlichkeit mit der LaplaceRegel nur berechnen, wenn alle Ausfälle der zugrunde liegenden
g
m g gleichwahrscheinlich
g
sind.
Ergebnismenge
2. Welche Modellierung eignet sich zur Berechnung der
W h h i li hk it ?
Wahrscheinlichkeiten?
Zufallsversuch
Ergebnismenge
g
g
Einen gelben und einen blauen
Würfel werfen
Ω = {11, 12, 13 ..., 16, 21, 22, 23,
..., 61, 62, ..., 66}
Zweii Würfel
Z
Wü f l werfen
f ohne
h
Beachtung der Reihenfolge
Ω = {11
{11, 12
12, 13
13, 14
14, 15
15, 16
16, 22
22, 23
23,
...,26, 33, 34, … 56, 66}
17
Beispiel
p 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Augensummen beim Werfen zweier Würfel
p(Augensumme 9) =
4/36
p(Augensumme 10)
= 3/36
ω
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(ω))
p(
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
18
Beispiel
p 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Augensummen beim Werfen zweier Würfel
0,18
Wah
hrscheinlichke
eit
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0 06
0,06
0,04
0,02
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Augensumme
ω
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(ω)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
19
Häufigkeitsverteilung der Augensummen beim
Werfen zweier Würfel (n = 180 Versuche)
20
Häufigkeitsverteilung der Augensummen beim
Werfen zweier Würfel (n = 1800)
21
B umdi r mm und Pf
Baumdiagramme
Pfadregeln
dr
ln
22
Ergebnismengen
g
g im Baumdiagramm
g
beim Würfeln mit zwei Würfeln
„Zur Darstellung von Ergebnismengen bei
mehrstufigen Zufallsversuchen lassen
sich Baumdiagramme
g
einsetzen. Man
schreibt dabei an die Knoten des Baumes
die Ergebnisse (oder Ereignisse) und an
die Kanten die Wahrscheinlichkeiten, mit
denen man von einem Knoten zu einem
nächsten Knoten gelangt. An den Enden
der Pfade eines Baumdiagramms können
di dem
die
d
Z
Zufallsexperiment
f ll
i
t zugeordneten
d t
Ergebnisse angegeben werden. Diese
bilden die Ergebnismenge Ω.
In diesem Baumdiagramm haben alle Pfade
bzw. Ergebnisse die gleiche
Wahrscheinlichkeit 1/6·1/6
1/6 1/6 = 1/36,
1/36 da es
sich um einen Laplace-Versuch handelt.
23
Ergebnismenge
g
g und Baumdiagramm
g
beim dreifachen Münzwurf
23=8
Ergebnisse
(Z ; Z ; Z)
(Z ; Z ; W)
Zahl
(Z ; W ; Z)
(Z ; W ; W)
(W ; Z ; Z)
Wappen
(W ; Z ; W)
(W; W ; Z)
(W ; W ; W)
24
Beispiel 3: Urnenziehung
Aus einer
A
i
U
Urne mit
it zweii roten
t und
dd
dreii weißen
iß K
Kugeln
l werden
d
zwei Kugeln mit einem Griff gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass beide rot sind?
¾ 1. Modellierung : Statt „mit einem Griff“ wird zweimal ohne
Zurücklegen gezogen und die Reihenfolge nicht berücksichtigt.
berücksichtigt
Die „natürliche“ Ergebnismenge ist dann W = {rr, rw, ww}.
p(rr) ist jedoch nicht gleich ⅓, da die Ausfälle nicht
gleichwahrscheinlich sind!
¾ 2
2. Modellierung: Wir erzeugen einen Laplace-Versuch
Laplace Versuch durch
„künstliche Vervielfachung“. Die Kugeln gleicher Farbe werden
unterschieden (r1 und r2 sowie w1, w2 und w3). Es wird zweimal
ohne
h Zurücklegen
Z ü kl
gezogen und
d die
di R
Reihenfolge
ih f l b
berücksichtigt.
ü k i hti t
25
Beispiel 3: Urnenziehung
D
Darstellung
ll
des
d Ziehungsprozesses
Zi h
in
i einem
i
B
Baum
Weil zwischen den Kugeln mit gleicher
Farbe jetzt künstlich unterschieden
wird, gibt es mehr Möglichkeiten beim
Ziehen von zwei Kugeln. Wir erhalten
eine
i E
Ergebnismenge
b i
mit
it 20 Ausfällen:
A fäll
• Jeder Pfad entspricht einem möglichen
Ausfall.
• Jeder Ausfall/Pfad ist gleichwahrscheinlich.
gleichwahrscheinlich
Zum Ereignis A, "beide rot", gehören in
diesem Baum zwei Pfade/
Ergebnisse, nämlich (r1,r2) und (r2,r1).
Also ist die Wahrscheinlichkeit für das
Ereignis A:
2
1
p ( A) =
20
=
10
26
Beispiel 3: Urnenziehung
Alternative
l
i Darstellungen
D
ll
des
d Ziehungsprozesses
Zi h
in
i
einem verkürzten „Wahrscheinlichkeitsbaum“
1
4
2
5
3
5
3
4
2
4
2
4
1 2 2
1
p ( A) =" ein Viertel von Zwei Fünftel" = ⋅ =
=
4 5 20 10
27
Beispiel 3: Urnenziehung
Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung
2
5
3
5
1
4
p((r / r ) ) =
3
4
2
4
p ((r / w) ) =
3 2 6
3
⋅ =
=
4 5 20 10
2 3 6
3
p (( w / r ) ) = ⋅ =
=
4 5 20 10
2
4
p (( w / w) ) =
1 2 2
1
⋅ =
=
4 5 20 10
p(" beide Kugeln verschieden" ) =
3 3
6
+ =
10 10 10
2 3 6
3
⋅ =
=
4 5 20 10
M lti li i
Multipliziere
lä
längs d
der Pf
Pfade
d und
d addiere
ddi
di
die Pf
Pfadwahrscheinlichkeiten.
d h h i li hk it
28
Rechenregeln für mehrstufige
Zufallsversuche: Die Pfadregeln
1. Pfadmultiplikationsregel: Bei einem mehrstufigen
Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines durch einen
Pfad dargestellten Ereignisses gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades.
2. Pfadadditionsregel: Setzt sich bei einem mehrstufigen
Zufallsversuch ein Ereignis aus verschiedenen Pfaden
zusammen,, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses durch Addition der einzelnen
Pfadwahrscheinlichkeiten.
29
Eine Aufgabe – verschiedene Lösungen
Drei Würfel werden gleichzeitig geworfen
geworfen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine '1' oder '2' ist (Ereignis E)?
Wir stellen das dreistufige Zufallsexperiment im Baumdiagramm dar und
wenden die Pfadregel an, die ja nicht nur für Laplace-Versuche gilt. Zum
Ereignis
g
E gehört
g
nur ein einziger
g Pfad (rot). Nach der Pfadregel
g werden
die Wahrscheinlichkeiten längs dieses Pfades multipliziert.
p (E ) =
2 2 2 8
⋅ ⋅ =
3 3 3 27
30
Eine Aufgabe – verschiedene Lösungen
Drei Würfel werden gleichzeitig geworfen
geworfen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine '1' oder '2' ist (Ereignis E)?
Wir stellen das dreistufige Zufallsexperiment im Baumdiagramm dar und
wenden die Pfadregel an, die ja nicht nur für Laplace-Versuche gilt. Zum
Ereignis
g
E gehört
g
nur ein einziger
g Pfad (rot). Nach der Pfadregel
g werden
die Wahrscheinlichkeiten längs dieses Pfades multipliziert.
3
8
⎛2⎞
p (E ) = ⎜ ⎟ =
27
⎝3⎠
31
Eine Aufgabe – verschiedene Lösungen
Dreii Wü
D
Würfel
f l werden
d gleichzeitig
l i h i i geworfen.
f
Wie
Wi großß ist
i die
di
Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine '1' oder '2' ist (Ereignis E)?
•
•
Wir erzeugen einen Laplace-Versuch durch „künstliche Vervielfachung“:
Man denke sich die drei Würfel in verschiedenen Farben und
unterscheide dementsprechend auch die Augenzahlen dieser drei Würfel.
Dann gibt es 63 (= 216) mögliche gleichwahrscheinliche Ausfälle (1/1/1),….
(6/6/6).
Jeder Würfel hat aber nur vier Augenzahlen,
Augenzahlen die für das Ereignis E
günstig sind; insgesamt gibt es also 43 (= 64) günstige Ausfälle (3/3/3),…
(6/6/6).
Nach der Laplace − Formel gilt :
p( E ) =
Anzahl der günstigen Ergebnisse
64
8
=
=
Anzahl der möglichen Ergebnisse 216 27
32