Energie im elektrostatischen Feld I Energie im - ate.uni

Energie im elektrostatischen Feld I
-107-
Bisherige Energiekonzepte
(1) Energie und
Feldtheorie:
Begriff der Energie ist kein Teil der ursprünglichen Feldtheorie:
Muss über Energiesatz und Äquivalenzen bestimmt werden.
(2) Arbeit und elektrostatisches Potential:
out Wmech = F dl = q E dl = WFeld
E dl > 0
in
out
WFeld
= WFeld
= q E dl := We W
:= e
q
Potential,
Potentialfeld
(Folie 29 ff.)
We = q
Elektrische
Feldenergie
Die Äquivalenz zwischen elektrischer Feldenergie und mechanischer Arbeit ist sinnvoll,
weil der Prozess der Umwandlung reversibel ist.
Energie im elektrostatischen Feld II
-108-
Beispiel: «Analogie Feld Druckfeder»
Q
>
0
q
>
0
E
P1
F
Arbeit gegen
Coulombkraft;
Energiespeicherung.
Druckfeder
P1
Arbeit gegen
die Federkraft;
Feder speichert
potenzielle Energie.
P2
Feld leistet Arbeit;
potenzielle Energie
wird abgegeben.
F
P2
Feder entspannt sich
und leistet Arbeit;
potenzielle Energie
wird abgegeben.
1
Energie im elektrostatischen Feld III
-109-
Die elektrische Energiedichte
(3) Parallelplattenanordnung:
• Ausschnitt der Fläche F
einer unendlich ausgedehnten Parallelplattenanordnung.
• Feldgrössen:
E=
D=
(Folie 101)
E ez
D ez Dz = (4) Parallelplattenanordnung als Energiespeicher:
Q = F = F Dz
QU 1
1
WC =
= F Dz E d = Dz E V
2
2
2
U12 = E dl = E d
1
1 1 WC = Dz E V = D E V = D E V
2
2
2
1
WC = QU
2
(2)
(1)
(Folie 47)
Energie im elektrostatischen Feld IV
-110-
Die elektrische Energiedichte
(5) Elektrische Feldenergie:
WC =
1 D E V =:We 2
(6) Energiedichte:
1 We = D E V
2
1 we = D E
2
(7) Diskussion:
Konzeptionell hatten wir ja
beim D-Feld dafür gesorgt,
dass die Materialeigenschaften (Dipoldichte, Polarisation)
als Feldgrösse in die Theorie
eingehen. Aus diesem Grund
sind auch «Materialenergie»
und Feldenergie nicht mehr
unterscheidbar. Hier: Material
(int. Feld) lädt die Platten auf.
• Verallgemeinerung skalar vektoriell scheint für
die Parallelplattenanordnung plausibel.
• In anisotropen Materialien müssen E-und D-Felder
in ihren Richtungen nicht zwingend übereinstimmen.
Die Beziehungen für We bzw. we gelten trotzdem.
• In permanent polarisierten Materialien (Elektreten)
kann die Richtung des E-Feldes dem D-Feld entgegengesetzt sein: negative Energie(-dichte)! Material
ist «Feld-Quelle» und nicht die externe Spannungsquelle, welche die Platten bisher aufgeladen hatte.
2
Energie im elektrostatischen Feld V
-111-
Zum Energieinhalt des Feldraumes
(1) Raumgebiet und Quellengebiet:
1
V: der gesamte Raum (!!)
We = we dV = D E dV
2
V
V
Der statische Fall: E = grad div ( s v ) v grad s + sdiv v
(aus der Vektorranalysis)
div D = D E = Dgrad = div D div D =
= div D
(
(
)
)
1
1
We = D E dV = div D dV
2 V
2 V
(
))
(
Energie im elektrostatischen Feld VI
-112-
Zum Energieinhalt des Feldraumes
(1) Raumgebiet und Quellengebiet:
Divergenzsatz (Folie 75)
1
1
1
We = div D dV = dV DdF
2 V
2 V
2 V
(
(
))
Integrationsgebgiet ( nur innerhalb von VQ):
1
1
dV = dV
2 V
2 VQ
O(xn): Landau-Symbol;
wächst höchstens
so schnell wie xn.
(vergl. Aussage aus Folie 24)
Verhalten auf der Fernkugel V:
(r ) = O
D ( r ) =O
( r ) ( r ) D ( r ) =O r
( )
( r )
1
3
2
lim
Dd
F= 0
r V ( r )
3
Energie im elektrostatischen Feld VII
-113-
Zum Energieinhalt des Feldraumes
(2) Zusammenfassung der Resultate:
1
We = D E dV
2 V
1
We = dV
2 VQ
• Unendliches Integrationsgebiet V ,
eventuell mühsame Berechnung.
• Endliches Integrationsgebiet
VQ, einfacher zu rechnen.
• Alte Vorstellung: Ladung ist
Träger von Energie (vergl.
auch Folie 107).
• Moderne Vorstellung: Feld ist
Träger von Energie.
Resultat aus
Folie 112 ist
immer korrekt.
• Resultat setzt ein Bezugspotential gemäss 0 = () := 0 voraus,
ansonsten wächst We hier um:
In der Quantenelektrodynamik, welche
das Ladungsteilchen in die Theorie mit
einschliesst, haben Potentialfelder
einen Realstatus (Masse Energie):
Gutes Argument für Ladungsneutralität!
0 Qges
1
We = 0 dV =
2
2 VQ
-114-
Energie im elektrostatischen Feld VIII
Zum Energieinhalt des Feldraumes
(3) Rückblick auf Folie 112 bei endlicher Normierung des Potentials:
= + 0
Endlich normiertes Potential
0 Qges
1
We = 0 dV =
2
2 VQ
Energiezwuwachs aus Folie 113
Aber anhand von Folie 112 gilt auch:
0
1
0 DdF = 0 DdF = 0 div
D
dV
=
Qges =
2 V
2 V 2
2 V
Zum Gesamtenergieinhalt des endlich normierten Potentials:
= We
1
1
Dd
F = We + We We = We We = dV 2 VQ
2 V
4
Energie im elektrostatischen Feld IX
-115-
Zum Energieinhalt des Feldraumes
(4) Zur Feldenergie zwischen Punktladungen:
1
1
We = dV = dV dV
2 V
2 V V 4 r r Qi
Mit Hilfe des
CoulombIntegrals
aus Folie
31 bzw. 85.
1
= dV dV
2 V V 4 r r ri rj
Qj
N verschiedene Punktladungen:
Qi dQi = ( ri ) dV = dV
Q j dQ j = rj dV = dV
Qi Q j
1 N N
We = 2 i =1 j =1 4 ri rj
( )
j i
Energie im elektrostatischen Feld X
-116-
Wechselwirkungsenergie und Selbstenergie
(1) Diskrete Raumladungszonen:
N VN
V1
1
V2
n( e)
2
(i ) n
n
Vn
Merke:
( e)
n 0 N =1
Bei nur einem Raumladungsgebiet verschwindet der externe Beitrag.
1 N
We = n n dV
2 n=1 Vn
Energie des
Gesamtsystems
gemäss Folie 113.
Ansatz:
n( e) = k
n = n(i ) + n( e)
Durch die Raumladung n
alleine erzeugtes Potential
k n
Äusseres durch i i n
aufgeprägtes Potential
1 N
1 N
(i )
We = n n dV + n( e) n dV
2 n=1 Vn
2 n=1 Vn
Selbstenergie
Wechselwirkungsenergie
5
Energie im elektrostatischen Feld XI
-117-
Wechselwirkungsenergie und Selbstenergie
(2) Beispiel: «Verschiedene Punktladungen»
Qi
ri rj
Qj
Qi Q j
1 N N
S
WW
S
We = + We = We + We
2 i =1 j =1 4 ri rj
j i
Wechselwirkungsenergie
(Folie 115)
RQ i 0
Qi2
W = W =
i=1
i=1 8 0 RQ i
N
Punktladung!
Punktladung sei ein
kleines Kügelchen mit
Radius RQ, dessen
Oberfläche mit Q geladen ist (Folie 127).
Die Punktladung ist ein
theoretisches Modell!
Selbstenergie
S
e
N
S
ei
In einem System von Ladungen kann die Selbstenergie
weggelassen werden, wenn sie unabhängig von der externen Ladungskonfiguration ist, d.h. die Ladung ist starr
oder hat kleine Ausdehnung veglichen zu den Abständen.
In den meisten Fällen gilt daher WeWW als die Energie We.
Energie im elektrostatischen Feld XII
-118-
Wechselwirkungsenergie und Selbstenergie
(2) Beispiel: «Verschiedene Punktladungen»
Qi
ri rj
Qj
Qi Q j
1 N N
We = 2 i =1 j =1 4 ri rj
j i
Frage: Beschreibt dieser Ausdruck aus Folie 117
wirklich die Wechselwirkungsenergie?
N
Qi Q j
Qj
1 N N
1 N
We = =
Q
i 2 i =1 j =1 4 ri rj 2 i =1
j =1 4 ri rj
j i
Antwort: Ja !
j i
Folie 116
N
1 N
1 N
= Qi j ( ri ) = Qi i( e) = WeWW
2 i =1
2 i =1
j =1
j i
6
-119-
Energie im elektrostatischen Feld XIII
Wechselwirkungsenergie und Selbstenergie
(3) Zu den Grössenordnungen:
V1
2
We = E dV
2 V
V2
1
2
E2
E1
E
E = E1 + E2
2
E = E1 + E2 E1 + E2 =
2 2
= E1 + E2 + 2 E1 E2
E1 E2 E1 E2 0
2 2
E1 + E2 2 E1 E2
(
(
)(
)(
)
)
W
We
WS
e1
+ e2
2
2
We = E1 dV + E2 dV + 2 E1 E2 dV
2 V
2 V
2 V
& :
WW
S
Gleicheit nur
dann, wenn
die Gebiete
vollständig
überlappen!
-120-
Energie im elektrostatischen Feld XIV
Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»
(1) Potential der homogen geladenen Kugelschale:
R
KR
dQ
(r ) =
rQP
r
0
dA = R 2 sin d d
dQ = 0 dA
P
=
(r)
1
dV r
r
4 0 V
CoulombIntegral
(Folie 31)
0
1
dA
4 0 K R rQP
2
rQP
= R 2 + r 2 2 Rr cos
ri := ri
2rQP drQP = 2 Rr sin d
drQP
1
dA Rd drQP
=
=
r
rQP Rr sin d
rQP
7
Energie im elektrostatischen Feld XV
-121-
Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»
(1) Potential der homogen geladenen Kugelschale:
R
dQ
rQP
r
P
0
1
dA =
4 0 K R rQP
r+ R 2 0
KR
(r ) =
1
=
4 0 rR
0
0R
d drQP =
r
R
rQP
= 0
2 0 r
0R
0
R
r+ R
r R
r
0 R2
r r > R
= 0
0 R r < R
0
Energie im elektrostatischen Feld XVI
-122-
Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»
(2) Diskussion der homogen geladenen Kugelschale:
Q = 0 4 R 2
0R
0
R
r
0 R2
Q
r r > R 4 r
0
(r ) = 0
Q
0 R r < R 0
4 0 R
• Das Potentialfeld einer geladenen Kugelfläche
ist gleich demjenigen einer Punktladung deren
Ladungsmenge derjenigen der Kugel entspricht.
• Das Potential im Innern der Schale ist konstant:
Das Innere ist demnach feldfrei (Folien 21, 26).
8
-123-
Energie im elektrostatischen Feld XVII
Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»
(3) Potential der homogen geladenen Vollkugel:
dr R
r
KR
r
0
P
Ansatz: Vollkugel in Kugelschalen diskretisieren deren Flächenladungsdichte ' beträgt.
Die Potentiale der Kugelschalen überlagern
unter Verwendung des vorherigen Resultats
aus Folie 122.
Für die Flächenladungsdichte der Schale gilt:
= 0 dr R 0 r 2
0 R 3
dr =
3 0 r
0 0 r
(r ) = r
R
2
0 r dr + 0 r dr = 0
r 0
0 r
2 0
0
r > R
r2 R2 r < R
3
-124-
Energie im elektrostatischen Feld XVIII
Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»
(4) Diskussion der geladenen Vollkugel:
dr r
KR
0 R 2
3 0
R r
0 R 3
3 r
P
0
(r ) = 2
0
0 R 2 r 2 0 3 4
Q = 0 R 3
3
Q
4 r
0
(r ) = 2
3Q R 2 r 8 0 R 3 3 r
R
r > R
r < R
r > R
r < R
9
Energie im elektrostatischen Feld XIX
-125-
Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»
(5) Allgemeine Diskussion über das Potential der geladenen Kugel:
• Sowohl bei der geladene Kugelschale als
auch bei der geladenen Vollkugel zeigt das
Potential ausserhalb der Kugel (r > R) das
Abklingverhalten einer Punktladung:
Q = 0 4 R 2
Q
(r ) =
3
4 0 r
Q = 0 43 R
: Kugelschale
: Vollkugel
• Dieses verhalten ist selbstverständlich in
bestem Einklang mit dem Satz von Gauss
der Elektrostatik (Folie 82 und 84).
Energie im elektrostatischen Feld XX
-126-
Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»
(6) Energie der homogen geladenen Vollkugel:
We =
1
2
dV =
VQ
R
R
1
4 02 2 r 2 2
2
r
4
r
dr
=
R r dr
( ) 0
4 0 0 3
2 0
4 02 R 5
3Q 2
We =
=
15 0
20 0 R
Feldenergie einer geladenen Vollkugel mit
Radius R und einer Gesamtladung Q bzw.
einer konstanten Raumladungsdichte 0.
(7) Im Raum verteilte Feldenergie oder lokale «Ladungsfederpannungsenergie»?
• Die im Quellenvolumen VQ berechnete Energie We stellt sich,
wegen der gegenseitigen Abstossung der dQ‘s als «Federspannungsenergie» (Folie 108) im Volumen VQ dar.
• Einbringen der dQ‘s gegen das Feld: We ist Feldenergie in V.
• Das berechnete We ist die elektrostatische Selbstenergie der
geladenen Vollkugel: d.h. Feld- und «Spannungsenergie».
10
-127-
Energie im elektrostatischen Feld XXI
Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»
(8) Energie der homogen geladene Kugelschale:
0 R
02 R
1
1
2 02 R 3
We = dV = 0 dA =
dA =
0
2 0 2 VQ
2 KR 0
KR
2 02 R 3
Q2
We =
=
0
8 0 R
Feldenergie einer geladenen Kugelschale
mit Radius R und einer Gesamtladung Q
bzw. der entsprechenden konstanten
Flächenladungsdichte 0.
• Bei gegebener, konstanter Ladungsmenge Q ist die
Energie umso grösser, je kleiner die Kugel wird
(folgt dem zweiten Term der Energiebeziehung).
Fazit:
• Die Abstossungskräfte nehmen demnach auch zu
(über die Arbeit beim Aufbauen der Ladung).
• Wie ist die Situation beim Elektron ?
-128-
Energie im elektrostatischen Feld XXII
Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»
(9) Elektronenradius Re aus der Selbstenergie des Elektrons:
Aus der Teilchenphysik: Die Bindungsenergie, welche gebraucht wird, um das Elektron trotz der Abstossungskräfte zusammen zu halten, manifestiert sich im Sinne der
Beziehung von Einstein als Elektronenmasse me. Die Bindungsenergie muss daher
der Selbstenergie/Feldenergie des Elektrons entsprechen: mec02 = We.
Vollkugel:
We =
!
3e2
= me c02
20 0 Re
Kugelschale:
We =
!
e2
= me c02
8 0 Re
3e2
Re =
20 0 me c02
e2
Re =
8 0 me c02
Re =1.69034 10 15 m 1.69 fm
Re = 1.408617 1015 m 1.41 fm
11
-129-
Energie im elektrostatischen Feld XXIII
Fazit: «Klassischer Elektronenradius»
• In den Tabellenwerken wird der folgende Wert für
den klassischen Elektronenradius angegeben:
Re = 2.817940325 ( 28 ) fm
• Es ist eine reine Rechengrösse, welche unterschiedlich definiert werden kann.
e2
3
W
=
e
5 4 R 0
e
Voll
e2
1
W
=
e
2 4 R 0
e
Schale
• Die Tabellenversion beruht auf der geladenen Kugelschale und berechnet wohl eher den Durchmesser.
• Nein: Die Tabellenversion beruht auf dem gemeinsamen Faktor des Energieausdrucks für die
Vollkugel bzw. für die Kugelschale.
• In hochenergetischen Streuexperimenten wird
allerdings festgestellt, dass die Ausdehnung des
Elektrons um mindestens einen Faktor 100 kleiner
sein muss !
-130-
Energie im elektrostatischen Feld XXIV
Energie eines Dipols im externen Feld
E ( e)
+Q +
Q –
Vergleiche hierzu die ersten
Spekulationen auf Folie 62!
Wechselwirkungsenergie:
( e)
WeWW
+ = + Q +
+( e) = ( e) ( r+ )
(
( e)
WeWW
= Q ( e) = ( e) ( r )
)
WeWW = Q +( e) ( e) = Q ( e)
+( e) ( e) = ( e) = grad ( e) =
= E ( e)
WeWW = Q E ( e) = p E ( e)
p : Dipolmoment
12
Energie im elektrostatischen Feld XV
-131-
Zusammenfassung zur Energie
2
2
1
1
We = D E dV = E dV =
D dV
2 V
2 V
2 V
2
We = grad dV
2 V
• Unterscheidung zwischen Selbstenergie Wechselwirkungsenergie.
1
We = dV
2 VQ
• Definition des Elektronenradius‘.
We =
Felder
• Selbstenergie ist stets grösser als
die Wechselwirkungsenergie.
• Energie des Dipols im E-Feld.
Ladung
1
dV dV
8 VQ VQ r r We =
Qi Q j
1
8 i =1 j =1 ri rj
N
N
j i
Kräfte im elektrostatischen Feld I
-132-
Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»
Batterie
dl
dl
Virtuelle
Verschiebung
Virtuelle
Verschiebung
(a) Ladung auf den leitenden
Körpern wird konstant gehalten.
(1) Die Anordnung:
(2 Experimente)
(b) Potential auf den leitenden
Körpern wird konstant gehalten.
• Ladungsverteilung Q3 befindet sich im externen Feld von Q1 und Q2.
• Es sind die Kräfte auf diese Ladungsverteilung Q3 zu bestimmen.
• Kräfte ermittelt man über die Arbeit bei «virtuellen Verschiebungen».
13
Kräfte im elektrostatischen Feld II
-133-
Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»
(2) Energie der Anordnung:
• Den Ladungen Qi seien jeweils die La-
dungsverteilungen i zugeordnet.
• Das «externe» Feld wird jeweils von den
Raumladungsdichten i erzeugt ( i = 1,2).
• Die elektrostatische Energie der gesamten
Anordnung:
We = WeS + WeWW
*) Das Theorem von Earnshaw: Eine
Ladungsverteilung kann unter alleinigem
Einfluss äusserer elektrischer Felder, d.h.
durch die resultierenden Coulomb-Kräfte,
niemals in eine stabile Lage gebracht
werden: Es braucht zusätzliche Kräfte.
• Die Energie der «mechanischen» Anord-
nung ist die Energie, um die geladene Anordnung (alle Ladungsverteilungen) in
ihrer Position zusammenzuhalten:*)
Wm = { Rückstellarbeit }
Kräfte im elektrostatischen Feld III
-134-
Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»
(3) Energieerhaltung:
• Das Prinzip der Energieerhaltung fordert
für die Gesamtenergie der Anordnung:
d
(We +Wm ) = 0
dt
bzw.
(4) Virtuelle Verschiebung:
Die Verschiebung der Elektrode durchzuführen ist ein reines Gedankenexperiment !
dWe =
dWe + dWm = 0
We
We
We
dx +
dy +
dz = gradWe dl
x
y
z
dWm = F dl
14
Kräfte im elektrostatischen Feld IV
-135-
Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»
(5) Fall (a): Ladung Qi = const.:
F = gradWe Q=const.
=const.
Die elektrostatische Kraft auf eine Ladungsverteilung als Funktion der Energie des
externen Feldes in dieser Verteilung.
Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»
ist ein Gedankenexperiment, bei dem eine
Raumladungszone (Elektrode, etc.) einer
virtuellen Verschiebung unterzogen wird.
Die geleistete Arbeit kann über die Erhaltung der Energie als Änderung der FeldEnergie interpretiert werden. Energieänderungen als Funktion von (verschwindend)
kleinen Verschiebungen ergeben Kräfte.
dWe + dWm = 0 Energieerhaltung
gradWe dl + F dl = 0
F dl = gradWe dl
F = gradWe
Kräfte im elektrostatischen Feld V
-136-
Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»
(6) Fall (b): Potential i = const.:
Bei konstanten Potentialen i wird die VerSchiebung der Raumladungszone (Elektrode
3) in allen Elektroden eine Ladungsänderung
dQi bewirken. Diese muss von der Spannungsquelle nachgeliefert werden; hierbei
gibt Quelle die folgende Energie ab:
N
dWQuelle = i dQi
(cf. Folie 107)
i=1
gradWe dl + F dl = 2gradWe dl
F = + gradWe i =const.
Uij =const.
dWe + dWm = dWQuelle
1 N
dWe = i dQi
2 i=1
dWQuelle = 2dWe
Energieerhaltung
Wechselwirkungsenergie
(Folie 118)
Vergleich
15
Kräfte im elektrostatischen Feld VI
-137-
Diskussion
• Der Faktor 1/2 beruht auf dem Umstand, dass
1 N
dWe = i dQi
2 i=1
das Potential mit dem Einbringen der Ladung
(zur Erzeugung der betrachteten Ladungsverteilung) mit aufgebaut wird, währenddessen
die Spannungsquelle ihre Ladung gegen das
bestehende Potential aller bereits erzeugten
Ladungsverteilungen «anschieben» muss.
N
dWQuelle = i dQi
i=1
• Der Formalismus des «Prinzips der virtuellen
Verschiebung» ist noch in der alten Vorstellung
verhaftet, dass die Ladung Träger der Energie
ist (cf. Folie 113).
F = gradWe Q=const.
=const.
F = + gradWe i =const.
• Dass die Kraft vom Gradienten der Gesamtenergie abhängt lässt sich sicher auch in Richtung einer rein feldtheoretischen Beschreibung
operationalisieren (später auf Folie 154 ff.).
Uij =const.
• Der Gradient beschreibt die Variation der Gesamtenergie hinsichtlich der «virtuellen Freiheitsgrade».
Kräfte im elektrostatischen Feld VII
-138-
Beispiel: «Ladungsdruck im Elektron»
(1) Das Elektron als homogen geladene Kugelschale:
F
e
VQ
(Selbstenergie We
der Kugelschale
siehe Folie 128).
p=
e2 e2
=
F = gradWe = grad e
r
8 0 r 8 0 r 2
e2 er p A er dr = F e
er dr
r dr =
8 0 r 2 dl
dl
p dV
F
e2
F
Druck auf die
Elektronenp= =
=
e
r
oberfläche.
A 4 r 2 32 2 0 r 4
(1.60210 C)
( 8.854 10 )(1.40861710
19
32
2
12 F
m
2
15
m
)
4
= 2.331110 30 N m 2
16
Kräfte im elektrostatischen Feld VIII
-139-
Beispiel: «Ladungsdruck im Elektron»
(2) Das Elektron als homogen geladene Vollkugel:
F
e
3e2 3e2
=
F = gradWe = grad er
2
20 0 r 20 0 r
3e2 er p A er dr = F e
er dr
r dr =
20 0 r 2 dl
dl
p dV
Druck an der
F
3e2
F
Elektronen=
e
p= =
r
oberfläche.
A 4 r 2 80 2 0 r 4
VQ
(Selbstenergie We
der Vollkugel siehe
Folie 128).
p=
(
3 1.60210 19 C
(
80 8.854 10
2
12 F
m
)
2
)(1.69034 10
15
m
)
4
= 1.3490310 30 N m 2
Kräfte im elektrostatischen Feld IX
-140-
Beispiel: «Zwei Punktladungen»
F
Q
0
Q
R
1 2
We = i Qi
2 i=1
r
(cf. Folien
118, 136)
Analyse über die Feldenergie für Q = const.:
1 2
1 Q
Q
Q2
We = i Qi = ( Q ) +
Q = 4 0 R
2 i=1
2 4 0 R
4 0 R Q2 er
F = gradWe = r 4 0 r =
Q2
er
2
4 0 R
F=
r= R
Q2 1 =+
er
4 0 r r Q2
er
2
4 0 R
r= R
Dies ist das Coulomb‘sche
Gesetz (Coulombkraft),
wie es uns aus Folie 11
bestens bekannt ist !
17
-141-
Vektoranalysis I
Definition des Operators «Vektorgradient»
(1) Die Jacobi-Matrix:
Folie 40: Der Gradient eines Skalarfeldes ergibt ein Vektorfeld.
Frage:
Welches Gebilde erzeugt der Gradient eines Vektorfeldes?
Antwort: Etwas komplexeres: ein Tensorfeld.
vx
z
• Die Jacobi-Matrix ist eine
Funktionalmatrix und im
quadratischen Fall ein
Tensor 2. Stufe. Tensoren
kommen dann zum Zug,
wenn mehr als nur Betrag
und Richtung dem Raumpunkt zugeordnet werden.
«Vektorgradient» (lässt sich mit Hilfe einer
Jacobi-Matrix darstellen)
• Solche Tensoren werden
z.B. zur Beschreibung von
räumlichen Anisotropien
gebraucht.
vx
grad vx x
v
grad v = grad vy = xy
grad vz vz
x
vx
y
vy
y
vz
y
vy
z =: J v
vz
z -142-
Vektoranalysis II
Definition des Operators «Vektorgradient»
(2) Die Richtungsableitung eines Vektorfeldes:
v ( r + h u ) v ( r ) v
= ( u grad ) v
= lim
h
u h0 v
v
= u u
eu
Mit dem Betrag des Vektor(felde)s u gewichtete Richtungsableitung
nach u des Vektorfeldes v. Diese Richtungsableitung ist ein Vektorfeld.
(3) Der «u-Vektorgradient von v »:
vxx
grad vx (u grad ) v = grad vy u = vxy
vz
grad vz x
vx
y
vy
y
vz
y
vx
z
u x
vy
= J u
v
z u y
vz uz z 18
-143-
Vektoranalysis III
Definition des Operators «Vektorgradient»
(4) Vektoridentität für den Vektorgradienten
(Ohne Herleitung)
grad ( u v ) = ( u grad ) v + u ( rot v ) +
+ ( v grad ) u + v ( rot u )
(5) Stark vereinfachter Fall:
u:
v:
Konstantes Vektorfeld, bzw. konstanter Vektor
Konservatives Vektorfeld; bedeutet:
rot v = 0
grad ( u v ) = ( u grad ) v
Kräfte im elektrostatischen Feld X
-144-
Beispiel: «Kraftwirkung auf den elektrischen Dipol»
(1) Kraftkomponente:
E ( e)
F = gradWe Q=const.
F+
+ F
+
p
F
p
–
–
M
Der Dipol im homogenen E-Feld erfährt keine
Kraftwirkung, da die Kraft auf die positive und
negative Ladung gleich stark, aber entgegengesetzt ist! Er erfährt einzig ein Drehmoment, bis
dass Richtung von E und p übereinstimmen.
p =const.
F = grad p E ( e)
= + grad p E ( e)
(
(
)
)
(Folie 130)
Gemäss Vektoridentität aus
Folie 143 ergibt sich:
( e) E ( e)
F = ( pgrad ) E = p
Nur Feldgradient bewirkt Kraft!
19
-145-
Kräfte im elektrostatischen Feld XI
Beispiel: «Kraftwirkung auf den elektrischen Dipol»
(2) Drehmomentkomponente:
E ( e)
+
p
M = gradWe
p=const.
=
( e) p E e
(
)
( e) M =
p E e
= p E ( e) sin e Moment wirkt
in Richtung des
( e)
abnehmenden
= + p E sin e Winkels !
= p E ( e) e
= p E ( e) e ep
E
(
F
–
M
M = pE
)
Kräfte im elektrostatischen Feld XII
-146-
Beispiel: «Bewegliche Parallelplattenanordnung»
(1) Elektrische Feldgrössen:
y
z
0
+
y
F
+Q
E, D
As = yz
Q
Ag = x z
+Q,
n12
D
F
Q
+Q
; + =
=: Ag
Ag
U = + = E y
D = 0 E
n12 D2 D1 = n12 = ey
D D2
=
x
Siehe Grenzbedingungen Folie 102:
V = Ag y
D = n12
(
)
20
Kräfte im elektrostatischen Feld XIII
-147-
Beispiel: «Bewegliche Parallelplattenanordnung»
(1) Fall (a): Ladung Qi = const.:
y
z
0
+
+Q
F
E, D
As = yz
Q
Ag = x z
F = gradWe
F = 21 0 =
Q =const.
( )
+Q
Ag
2
ey
y
1
We = D E dV
2 V
2
1
=
D dV
2 0 V
F
x
Homogenes D-Feld (Folie 146):
( ( ) y)e
1
2 0
+Q
Ag
We =
1
2 0
2 Ag y
=
1
2 0
=
1
2 0
2
y
2
p = 2 0 ey
( ) A y
2
+Q
Ag
( ) y
+Q
Ag
g
2
Kräfte im elektrostatischen Feld XIV
-148-
Beispiel: «Bewegliche Parallelplattenanordnung»
(1) Fall (a): Ladung Qi = const.:
y
z
0
+
+Q
F
E, D
As = yz
Q
Ag = x z
( ( ))
F
x
1 +Q2
+ Q 2 y ex + Q 2 As ex
F = y
e
x = 2 0 zx 2 = 2 0 Ag2
xz
2
x 0
2
2
+Q
F = + 21 0 A2 As ex
p = + 2 0 ex
( )
g
1
We = D E dV
2 V
2
1
=
D dV
2 0 V
Homogenes D-Feld (Folie 146):
We =
1
2 0
2 Ag y
=
1
2 0
=
1
2 0
( ) A y
2
+Q
Ag
( ) y
+Q
xz
g
2
21
Kräfte im elektrostatischen Feld XV
-149-
Beispiel: «Bewegliche Parallelplattenanordnung»
(2) Fall (b): Potential i = const.:
2
2
Ag
U
1
We = D E dV = 0 E dV = 0 y Ag = 0 U 2
2 V
2 y
2 y
2 V
2
Ag U
ey = 0 Ag ey
F = gradWe U =const. = 0 U 2
2 y 2 y
y 2
2
U
U2
1
We = D E dV = 0 E dV = 0 y Ag = 0 xz
2 V
2 y
2 y
2 V
2
0 U 0 U 2
F = gradWe U =const. = xz ex = As ex
2 y
x 2 y
Kräfte im elektrostatischen Feld XVI
-150-
Fazit: «Bewegliche Parallelplattenanordnung»
Fall (a): Qi = const.:
Fall (b): i = const.:
Ladungsargument:
2
Coulomb-Anziehung
zwischen den Platten.
2
Coulomb-Abstossung
innerhalb der Platten.
2 p = ey
2 0
U p = 0 ey
2 y
2 p = +
ex
2 0
U p = + 0 ex
2 y
2
1
p, =
D
2 0
2
p, = 0 E
2
Frage: Gibt es einen allgemeineren, formalen
Zugang zum «Energieargument»?
(Folie 110)
Energieargument:
p, = we
Der elektrostatische
Druck entspricht der
Energiedichte!
22
-151-
Vektoranalysis I
Das dyadische Produkt
(1) Das Skalarprodukt:
a1 in der linearen Algebra
a := a2 T b1 a b = ( a1 , a2 ) = a1b1 + a2b2 b1 b2 b := b2 Korrekte Schreibweise
a b
Skalarprodukt
«dot product»
(2) Das dyadische Produkt (Dyade):
a1 a := a2 T a1 a1b1
a b = ( b1 , b2 ) = b1 a2 a2b1
b := b2 Vektoranalysis II
a1b2 a b
a2b2 ab
Dyade
«undotted product»
-152-
Das dyadische Produkt
(3) «Undotted Product»:
a1 a1b1c1 + a1b2 c2 = a ( b1c1 + b2 c2 ) = ( b1c1 + b2 c2 ) = a2 a2b1c1 + a2b2 c2 a b c
( )
( a b ) c
a1b1
=
a2b1
a1b2 a1b1
c = a2b2 a2b1
a1b2 c1 a1b1c1 + a1b2 c2 =
a2b2 c2 a2b1c1 + a2b2 c2 a1 a1b1c1 + a1b2 c2 = ( b1c1 + b2 c2 ) a = ( b1c1 + b2 c2 ) = a2 a2b1c1 + a2b2 c2 b c a
( )
( a c ) b
a1c1
=
a2 c1
a1c2 a1c1
b = a2 c2 a2 c1
a1c2 b1 a1b1c1 + a1b2 c2 =
a2 c2 b2 a2b1c1 + a2b2 c2 23
-153-
Vektoranalysis III
Weitere Betrachtungen
(1) Rückblick auf Folie 142 zum «u-Vektorgradienten von v »:
v1
v1 x
(u grad ) v = ( v grad ) u = v x , y u = v2
x
2 J v = ( v grad ) Jacobi-Matrix (Folie 141)
(
)
v1
y
u
v2
y (2) Weitere Vektoridentitäten (Integralbeziehungen):
1
2 v
d
A
v
V v dA =
2 V
(
)
[ v rot v v div v ]dV
V
1
2 v
d
A
+
v
V v dA =
2 V
(
)
v div v dV
V
(ohne
Herleitung;
für später)
Konservatives Feld;
bedeutet:
rot v = 0
Kräfte im elektrostatischen Feld XVII
-154-
Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung
E ( e)
E (tot )
Leitende Kugel im externen
elektrischen Feld.
Das resultierende totale elektrische
Feld um die leitende Kugel.
Frage: Gibt es eine Korrelation zwischen den Verzerrungen
des totalen Feldes und der Kraftwirkung?
24
-155-
Kräfte im elektrostatischen Feld XVIII
Beispiel: «Feldverzerrungen um eine Probeladung»
Q1 =
Q
=: q+
5
Q2 = Q
Q1 =
Q
=: q+
5
Q2 = + Q
Kräfte im elektrostatischen Feld XIX
-156-
Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung
Anmerkung: Würde eine solche Korrelation zwischen
Feldverzerrung im Aussenraum und Kraftwirkung auf den Körper existieren:
MEMS: Fingerkondensator
als mechanischer
Aktuator.
Potentialfeld
(A) Dann wäre die Frage aus Folie 150 nach
einem allgemeineren Zugang – d.h. die
Frage nach der Begründung der Kraftwirkung über die «reine» Feldenergie –
positiv beantwortet.
(B) Dann wären die Kraftfelder Teil der
(elektromagnetischen) Feldtheorie.
(C) Bemerkung: Eine vereinheitlichende
Beschreibung von Kraftfeldern bzw.
mechanischen Spannungsfeldern und
elektromagnetischen Feldern spielt z.B.
in der aktuellen Forschung zu den MEMS
(micro electromechanical systems) eine
immer zentralere Rolle.
25
Kräfte im elektrostatischen Feld XX
-157-
Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung
(1) Energie einer Raumladungsverteilung im externen Feld:
WeWW =
(i ) ( e)
(i )
0
2
E
E
dV
grad ( e) dV = ( e)dV
=
D
2 V
V
V
(
)
Herleitung analog zu den Folien 111-113
Folie 119
(2) Konventionell: Kraft auf eine Raumladungsverteilung im externen Feld:
F = gradWeWW = grad ( r ) ( e) ( r ) dV V
Gradient operiert
nur auf Aufpunkt r.
= ( r ) grad ( e) ( r ) dV = E ( e) dV V
V
F=
(
)
Merke: Das Fehlen des Faktors 1/2 wurde bereits
in der Folie 137 ausführlich diskutiert.
E ( e) dV V VQ
Kräfte im elektrostatischen Feld XXI
-158-
Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung
(3) Modern: Spannungsgleichung des totalen Feldes (im Vakuum):
2 Vektoridentität
E
E dA aus Folie 153
0 E div E dV = 0 E
d
A
+
0
2 V
V
V
für das konser
vative Feld.
0 div E = div D = 2 0
Bei invariantem gilt
E
E
E dA
dV
E
d
A
+
=
grad We grad Weww,
0
2 V
d.h. F(E(tot)) F(E(e))
V
V
(cf. Folien 116, 117)
(
(
2 F = 0 E
d
A
+
E
0 V E dA
2 V
(
«Maxwell‘sche Spannungsgleichung»
(für das elektrische Feld)
)
)
)
Beschreibung des Kraftfeldes F anhand des die
Ladung umgebenden
elektrischen Feldes!
Umgebende Hülle V
heisst Maxwell‘sche-Hülle.
26
Kräfte im elektrostatischen Feld XXII
-159-
Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung
(4) Symmetrische Darstellung der Spannungsgleichung in Dielektrika:
1
F = E
D
d
A
+
E
V DdA
2 V
«Maxwell‘sche
dA = n dA
Spannungsgleichung»
E E (tot )
(
)
(
)
• Die Integranden müssen der Flächendichte der
Kraft entsprechen (elektrostatischer Druck).
E ( V ) n
E DdA = E D dA
(
) (
)
(5) Beispiel: «Metallischer Körper (Elektrode)»
1
1
F
=
E
D
E
D
d
A
p
=
2
V
2
(
)
Druck in
Richtung der
Normalen.
Kräfte im elektrostatischen Feld XXIII
-160-
Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung
(6) Beispiel: «Kapazitiver Aktuator» (Folie 156)
• Metalleinschub der Dicke t
• Plattenabstand: d
• Plattenbreite: B
• Breite des Einschubs: Be B
• Elektrische Feldstärken zwischen
den Platten (z.B. für U = const.):
2 F= 0 E dA + 0 E E dA
S
S
2
2
F = 0 E dA S = d-e f -g b-c
2 S
(
)
U
E =
di
d
di = d t
• Beiträge a-b, g-h, bzw. c-d, e-f
kompensieren sich während der
Integration (wegen Symmetrie).
• Das zweite Integral wird Null
für
d-e, f-g und b-c. (wegen EdA).
27
Kräfte im elektrostatischen Feld XXIV
-161-
Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung
(6) Beispiel: «Kapazitiver Aktuator»
g
e
c
0 B U 2 U2
U2
F=
2 ds + d
s
+
d
s
2
b ( d t )2 2 d d
f (d t )
g
e
c
0 B U 2
U2
U2
=
2 ds +
d
s
+
d
s
2 d d
( d t )2 f
( d t )2 b dA = n dA
= n Bdl
= Bds
ds = n dl
0 B U 2 U2
B 0U 2 B
ex
=
2 d ex d
t
e
=
(
)
x
2 d t d 2 d
( d t )2
Der Metalleinschub wird
vom Feld zwischen den
parallelen Platten
«hineingezogen»!
0 t BU 2 F=
ex
2d ( d t )
Bei U = const. gilt für die
Kraft grad We > 0, der
Einschub vergrössert die
Kapazität und damit We.
Kräfte im elektrostatischen Feld XXV
-162-
Maxwell‘scher Spannungstensor
(1) Zugang über die Flächendichte der Kraft:
1
F = E D dA + E DdA
2 V
V
(
)
(
Die Integranden der Hüllenintegrale ergeben eine Flächenkraftdichte: Lässt sich diese in
geschlosser Form angeben?
)
Ziel: Nur ein Integrand im Hüllenintegral.
F = E E
2 V
= E
E
2 V
= E
E
2 V
(
) dA + E ( E dA )
V
dA + E
E dA
(
)
(
dA + E
E dA
)
V
dA
(
V
)
(
)
Kronecker-Delta
ist hier von der Art
einer Einheitsmatrix.
1 = = 0 dA = dA
28
Kräfte im elektrostatischen Feld XXVI
-163-
Maxwell‘scher Spannungstensor
(1) Zugang über die Flächendichte der Kraft:
F = E
E
d
A
+
E
V
E dA
2 V
= E
E
E
E
d
A
=:
T
V
V
e dA
2
(
)
(
(
)
)
(2) Der elektrostatische Spannungstensor:
F=
T
e dA
V
Te = E E E E 2
(
)
(
)
Mechanische
Spannung =
Flächendichte
der Kraft.
Der elektrostatische Spannungstensor beschreibt die durch die Verzerrung des
totalen elektrischen Feldes entstandene
räumliche Anisotropie der Kraftwirkung. Erst
die Integration über die Maxwell‘sche Hülle
entfaltet die real angreifende Kraftwirkung.
-164-
Kräfte im elektrostatischen Feld XXVII
Maxwell‘scher Spannungstensor
(3) Ausgschriebene Tensordarstellung:
Te = E E E E 2
E 2 E 2
Ex Ey
x 2
2
Ey2 2 E
Te = Ey Ex
Ez E y
Ez Ex
(
)
(
)
Anisotropie bedeutet dass der
elektrostatische Druck auch
schiefwinklig am Flächenelement ansetzen kann !
E x Ez Ey Ez 2
Ez2 2 E dF = Te dA
dF = Te dA = Te n dA = pdA p = Te n
(
)
Starke
Anisotropie
(es gibt OffDiagonalElemente)
Angreifende
Kraft an dA
Flächenkraftdichte bei dA
29
-165-
Kräfte im elektrostatischen Feld XXVIII
Maxwell‘scher Spannungstensor
(4) Spannungstensor und resultierende Kräfte:
2
p = Te n = E E n E E n = E E n E n
2
2
(
E E n
(
E
n
)
)
(
)
2
E n
2
2
p = E E n E n
2
(
)
(
)
• Die Flächendichte der Kraft
(der elektrostatische Druck)
greift schiefwinklig am
Flächenelement an.
• Der Spannungstensor beschreibt somit die Anisotropie des Spannungsfeldes.
• In dieser Lesart «schiebt»,
«zieht» und/oder «drückt»
das Feld an der Grenzfläche.
• Kraft wirkt erst an der Grenzschicht und nicht im Volumen.
Kräfte im elektrostatischen Feld XXIX
-166-
Maxwell‘scher Spannungstensor
(4) Spannungstensor und resultierende Kräfte:
• Die Kräfteverhältnisse
am Kondensator werden
durch das erste (oben
links) und letzte (unten
rechts) Szenario wiedergegeben.
• T ist hier als Ten zu
lesen.
• Grenzflächenspannung
(elektrostatischer Druck,
bzw. die Flächendichte
der Kraft) ist immer:
(A) In den Raum mit dem
kleineren orientiert.
(B) In den Raum des
Nichtleiters orientiert.
30
Kräfte im elektrostatischen Feld XXX
-167-
Die Volumendichte der Kraft
(1) Divergenzsatz:
F= T
d
A
=
div
T
dV
=
e
e
f dV
V
V
V
Problem: Was ist die
Divergenz eines Tensorfeldes?
Bisher: Divergenz eines Vektorfeldes Skalarfeld (z.B. Raumladungsdichte)
Neu:
Divergenz eines Tensorfeldes Vektorfeld (z.B. Volumenkraftdichte)
(2) Divergenz des Spannungstensors:
E 2 E 2
x
2
Te = Ey Ex
Ez Ex
Ex Ey
2
Ey2 2 E
Ez E y
(1)
Te Ey Ez = Te( 2 ) 2 T ( 3) 2
Ez 2 E e E x Ez
Vektorfunktionen
analog zum
Vektorgradienten auf
Folie 141.
Kräfte im elektrostatischen Feld XXXI
-168-
Die Volumendichte der Kraft
(2) Divergenz des Spannungsttensors:
div Te(1) div Te := div Te( 2 ) ( 3) div
T
e (
Divergenz der ersten
Vektorfunktion aus
Folie 167.
)
2
div Te(1) = div Ex2 2 E , Ex Ey , Ex Ez =
= x Ex Dx 12 D E + y Ex Dy + z ( Ex Dz ) D
D
D
= Ex xx + yy + zz 12 x D E + Dx x + Dy y + Dz z Ex (
(
(
)) ( )
) ( )(
)
31
-169-
Kräfte im elektrostatischen Feld XXXII
Die Volumendichte der Kraft
(3) Verallgemeinerung auf drei Vektorfunktionen (drei Dimensionen):
div Te(1) = Ex
(
Dx
x
+
Dy
y
+
Dz
z
) ( D E ) + ( D
1 2 x
x x
+ Dy
+ Dz
y
z
) E x
( ) ( Dgrad ) E
grad ( E D ) = grad ( E E ) = grad ( E E ) + ( E E ) grad ( Dgrad ) E = ( E grad ) E + ( E grad ) E = grad ( E E )
3D-Extrapolation:
12 grad E D
E div D
2
-+ :
2
2
Vektoranalysis (Folie 143)
E div D 12 grad E D + Dgrad E =
= E div D 2 grad E E 12 E E grad + 2 grad E E
(
) (
( )
(
)
)
(
)
-170-
Kräfte im elektrostatischen Feld XXXIII
Die Volumendichte der Kraft
(3) Verallgemeinerung auf drei Vektorfunktionen (drei Dimensionen):
E div D 12 grad E D + Dgrad E = E div D 12 E E grad = E 12 E E grad (
) (
)
(
(
)
)
(4) Die Volumendichte der Kraft:
f = div Te = E 12 E E grad (
Quelle
)
Polarisationsinhomogenität
F = f dV
V
(5) Die Volumendichte des Drehmoments:
m=r f
M = mdV
(ohne Herleitung)
V
32
-171-
Kräfte im elektrostatischen Feld XXXIV
Zusammenfassung Kräfte
«Ursprünglich»
«1. Modernisierung»
«2. Modernisierung»
• Ladungen verursachen
die Kräfte.
• Äquivalenz von Feldenergie
und Arbeit (Methode der
virtuellen Verschiebung).
• Verzerrungen des
totalen E-Feldes
korrelieren mit den
Kraftfeldern.
• Coulombkraft, d.h. Fernwirkung.
• Kraftwirkung des E-Feldes.
• Gesamtsystem strebt
zum Energieminimum.
• Ladungstheorie der Kraft.
• Feldenergietheorie der Kraft.
F12 =
1
4 F = Q E
F = ± gradWe ( RB)
Q1 Q2 ( r1 r2 )
3
r1 r2
• Spannungstensor
• Feldtheorie der Kraft.
F= T
e dA
V
F = f dV
V
Die Volumenkraftdichte fällt sozusagen
wieder zurück in die Quellenbeschreibung
der Kräfte (vergleiche z.B. Folie 157).
33