Bachelor thesis

TE- und TM-Moden im
Wellenleiter
Sebastian Raubitzek
30. September 2014 in Graz
Bachelorarbeit
betreut von
Ao.Univ.-Prof. Mag. Dr.rer.nat. Ulrich Hohenester
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Was ist ein Wellenleiter? . . . . . .
1.2 Elektromagnetische Wellenleiter . .
1.2.1 Metallische Hohlwellenleiter
1.2.2 Dielektrische Wellenleiter . .
.
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3
3
3
5
7
2 Theoretische Ableitung
9
2.1 Ableitung TE und TM - Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Eigenwertproblem: rechteckiger Wellenleiter . . . . . . . . . . . 13
2.3 Eigenwertproblem: zylindrischer Wellenleiter . . . . . . . . . . . 17
3 Darstellung
3.1 Graphische Darstellung der Moden in einem rechteckigen
lenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Graphische Darstellung der Moden in einem zylindrischen
lenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literatur
22
Wel. . . . 22
Wel. . . . 24
26
2
1 Einleitung
1.1 Was ist ein Wellenleiter?
Ein Wellenleiter ist ein Medium, das Wellen führt. Wellenleiter haben viele
Anwendungen in der heutigen Technologie und sind sowohl für die Leitung von
elektromagnetischen/optischen als auch von akustischen Wellen sehr wichtig.
Es gibt viele Möglichkeiten einen Wellenleiter zu realisieren, z.B.:
• Kabelform: Der Wellenleiter ist ein gewöhnliches Kabel, das aus mehreren leitenden Schichten besteht.
• Hohlleiter: Der Wellenleiter ist ein Rohr, dabei bestimmen die Geometrie und die Abmessungen mit welchen Frequenzen sich Wellen darin
ausbreiten können.
• Streifenleiter: Die ganze Struktur wird um eine Dimension verringert und
die Wellen werden nur auf einer Ebene geführt.
• Lichtwellenleiter: Dieser optische Wellenleiter dient zur Übertragung von
Information durch Licht. Laserlicht wird oft in Lichtwellenleitern geführt.
Diese Art von Wellenleiter wird auch für dekorative Zwecke genutzt.
• Schall-Wellenleiter; Beispiele hierfür sind: Schnurtelefon, Stethoskop, Wellenleitereffekt im Ozean, Wellenleitereffekt in der Atmosphäre.
1.2 Elektromagnetische Wellenleiter
Elektromagntische Wellenleiter sind Wellenleiter, die elektromagnetische Wellen führen. Sind die Wellenlängen der elektromagnetischen Wellen im Bereich
von Licht(etwa 350nm bis etwa 2500nm), spricht man von optischen Wellenleitern.
Man unterscheidet dabei zwischen zwei Arten von Wellenleitern, erstens Wellenleiter die mit elektrischen Leitern realisiert sind, dazu zählen der Hohlwellenleiter und das Koaxialkabel, zweitens Wellenleiter die mit Dielektrika
realisiert sind, dazu zählen Lichtwellenleiter bzw. optische Wellenleiter. In
elektromagnetischen Wellenleitern treten TE- und TM-Moden auf(TE steht
für transversal elektrisch und TM steht für transversal magnetisch). Die TEund TM-Moden treten in Wellenleitern, die aus elektrischem Leitermaterial
3
bestehen, getrennt voneinander auf. In dielektrischen Wellenleitern treten die
Moden im Allgemeinen nicht getrennt voneinander auf, stattdessen stellen sich
Hybridmoden ein.
Die Ausbreitung der elektromagnetischen Wellen im Wellenleiter wird durch
die Maxwellgleichungen für die Ausbreitung von Wellen beschrieben,
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~ ×B
~ = µ ∂ E
∇
∂t
~ ·E
~ =0
∇
~ ·B
~ =0 .
∇
Es treten keine Ladungen und Ströme im Wellenleiter auf. Ein sich zeitlich
änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld und umgekehrt, so breiten
sich die Wellen aus.
Die Geometrie und Abmessung elektromagnetischer Wellenleiter spielen eine
entscheidende Rolle bei der Ausbreitung der Wellen. Die Abmessungen bestimmen mit welcher Frequenz Wellen im Wellenleiter geführt werden können,
und diese Eigenschaft ändert sich mit Änderung der Geometrie(hiermit ist der
Querschnitt des Wellenleiters gemeint). So hängt die Grenzfrequenz für einen
rechteckigen Hohlwellenleiter wie folgt von dessen Abmessungen ab,
fmn
1
= √
2 µ
r
m 2 n2
+ 2
a2
b
,
wobei a die Breite und b die Höhe des Wellenleiters ist.
Für einen zylindrischen Hohlwellenleiter verhält es sich ein wenig anders, und
die Frequenz ergibt sich zu
fnm =
cnm
√
2πa µ
,
wobei a der Radius des Zylinders ist. Die Parameter m und n sind in beiden
Fällen die Ordnungsparameter der Moden im Wellenleiter. Ist die Frequenz
genau die Grenzfrequenz, dann kann sich gar keine Welle ausbreiten; ist die
Frequenz kleiner der Grenzfrequenz, werden die Feldkomponenten imaginär.
Eingegangen wird hier im Folgenden auf Hohlwellenleiter, die aus Leitermaterial bestehen, und deren Wellenmoden, die das Hauptthema dieser Arbeit
sind, sowie auf dielektrische Wellenleiter, deren Durchmesser kleiner als die
Wellenlänge der geführten Welle ist.
4
1.2.1 Metallische Hohlwellenleiter
Die hier besprochenen Wellenleiter sind metallische Hohlwellenleiter. Ein perfekter metallischer Hohlwellenleiter besteht aus einem Rohr unendlicher Ausdehnung in Ausbreitungsrichtung der Welle, das Rohr selbst ist ein perfekter
Leiter, d.h. es treten keine Felder im Leiter auf, das Innere ist Vakuum oder
Luft.
Die bestimmenden Gleichungen für die Transversalkomponenten, abgeleitet
aus den Maxwellgleichungen, sind:
E0,x
i
= 2
ω µ − k 2
∂B0,z
∂E0,z
+ω
k
∂x
∂y
E0,y
i
= 2
ω µ − k 2
∂B0,z
∂E0,z
−ω
k
∂y
∂x
,
,
∂B0,z
∂E0,z
k
− ωµ
∂x
∂y
∂B0,z
∂E0,z
k
+ ωµ
∂y
∂x
B0,x
i
= 2
ω µ − k 2
B0,y
i
= 2
ω µ − k 2
,
.
Offensichtlich wird die Form der Transversalkomponenten durch die Longitudinalkomponenten bestimmt, welche widerum durch folgende Eigenwertgleichungen bestimmt werden:
∂2
∂2
2
2
+
+
ω
µ
−
k
E0,z = 0 ,
∂x2 ∂y 2
∂2
∂2
2
2
+
+
ω
µ
−
k
B0,z = 0 .
∂x2 ∂y 2
Für diese Eigenwertgleichungen können folgende Lösungen gefunden werden:
i. E0,z = 0, transversal-elektrische Welle, kurz: TE-Welle
ii. B0,z = 0, transversal-magnetische Welle, kurz: TM-Welle
iii. E0,z = 0 und B0,z = 0, transversal-elektro-magnetische Welle, kurz: TEMWelle
5
iv. E0,z 6= 0 und B0,z 6= 0, Hybrid-Wellen
Lösung (iii.) kann in einem Hohlwellenleiter nicht auftreten und Lösung (iv.)
wird vernachlässigt. In einem Hohlwellenleiter treten unterschiedliche Moden
für die einzelnen Wellen auf, siehe (Abbildung 1).
Abbildung 1:
TE10 -Mode in einem zylindrischen Wellenleiter
6
Abbildung 2: Ein typischer Hohlwellenleiter
Quelle: Wikipedia
Anwendungen von Hohlwellenleiter sind:
• In Mikrowellen-Öfen werden Hohlwellenleiter eingesetzt, damit die Wellen vom Magnetron zum Essen gelangen.
• Allgemein werden Hohlwelleneleiter verwendet, um die von einem Magnetron ausgehende Strahlung zum Ziel zu bringen.
• Die Antennenspeisung für Radaranlagen wird mit Hohlwellenleitern realisiert.
• In Teilchenbeschleunigern werden Hohlwellenleiter zur Speisung der Beschleunigungskammer eingesetzt.
1.2.2 Dielektrische Wellenleiter
In diesem Abschnitt soll im Speziellen auf dielektrische Wellenleiter eingegangen werden. Bei dielektrischen Wellenleitern stellen sich nicht allgemein die
TE- und TM-Moden ein, stattdessen bilden sich Linearkombinationen aus diesen, die sogenannten HE- und EH-Moden, wobei die Reihenfolge jeweils für die
Anteile der elektrischen und magnetischen Felder in den Linearkombinationen
7
steht. Bei dielektrischen Wellenleitern handelt es sich meistens um Lichtwellenleiter. Bei Lichtwellenleitern ist der Brechnungsindex zwischen dem Kern
und dem Manteldielektrikum meistens sehr gering, darum spricht man oft von
schwach führenden Lichtwellenleitern. In diesen sind die Transversalkomponenten annähernd linear polarisiert und es stellen sich die sogennanten LP-Moden
ein(diese bestehen aus HE- und EH-Moden; LP steht dabei für linear polarisiert). Die HE-,EH- sowie die LP-Moden werden je nach Mode mit zwei Indizes
versehen.
Man unterscheidet zwischen Multimodefasern und Monomodefasern, diese unterscheiden sich im Wesentlichen durch deren Durchmesser.
Ist der Durchmesser im Vergleich zur Wellenlänge des Lichts sehr groß, handelt es sich Multimodefasern. Es können sich eine Vielzahl unterschiedlicher
Moden einstellen und überlagern.
Ist der Durchmesser des Wellenleiters kleiner als die Wellenlänge des darin
propagierenden Lichts, dann kann nur eine Mode geführt werden.
Lichtwellenleiter werden in vielen technischen Anwendungen eingesetzt. In der
Nachrichtentechnik werden sie verwendet, da sie im Vergleich zu regulären Kabeln viel geringere Verluste haben. Sie werden vor allem für Informationsübertragung in Extremsituationen eingesetzt, da sie gegenüber Druck und Temperaturänderungen weitgehend unempfindlich sind. Laserlicht wird in Lichtwellenleitern geführt. Auch zur Beleuchtung und Dekoration werden Lichtwellenleiter
verwendet.
Eine sehr interessante Anwendung der Lichtwellenleiter ist das Fangen von
Atomen in der Nanotechnologie. Dazu nimmt man einen schwach führenden
Lichtwellenleiter, erhitzt diesen und streckt ihn, dadurch verschwindet in der
Mitte des Leiters praktisch das Kernmaterial, das Mantelmaterial wird das
neue Kernmaterial und das umgebende Vakuum bildet den neuen Mantel. Die
Bedingungen für die im Wellenleiter laufende Mode müssen erhalten bleiben,
der Leiter wird solange gestreckt, bis der Durchmesser die Wellenlänge der
Mode unterschreitet. Durch den Umstand, dass der Durchmesser geringer als
die Wellenlänge ist, treten die Felder aus dem Wellenleiter heraus, bzw. die
Welle wird am Mantel geführt. Dadurch können Atome, Moleküle oder andere
winzige Strukturen an die im Wellenleiter propagierenden Wellen koppeln und
somit geführt werden [1].
8
2 Theoretische Ableitung
2.1 Ableitung TE und TM - Wellen
Im Folgenden betrachten wir einen hohlen Zylinder undendlicher Ausdehnung.
Das Material des Zylinders sei ein perfekter Leiter, d.h. im Zylindermantel treten keine Felder auf.
Die Maxwellgleichungen für die Ausbreitung von Wellen ohne die Beeinflussung von Strömen und Ladungen lauten:
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~ ×B
~ = µ ∂ E
∇
∂t
~ ·E
~ =0
∇
~ ·B
~ =0 .
∇
(1)
Die Felder für die Ausbreitung in z-Richtung lauten:
~
~ 0 (x, y) exp(ikz) exp(−iωt) ,
E(x,
y, z, t) = E
(2)
~
~ 0 (x, y) exp(ikz) exp(−iωt) .
B(x,
y, z, t) = B
(3)
Die Maxwellgleichungen werden damit zu:
~
~ ,
~ ×E
~ = − ∂ B = iω B
∇
∂t
~
~ = µ ∂ E = −iµω E
~ ,
∇×B
∂t
~ ·E
~ =0 ,
∇
~ ·B
~ =0 .
∇
(4)
(5)
(6)
(7)
~ 0 und B
~ 0 genauer betrachtet. Die Felder E
~ 0 und B
~0
Nun werden die Felder E
hängen nur von x und y ab, auch die Longitudinalkomponenten der Felder
E0,z und B0,z hängen von x und y ab und können damit nicht vernachlässigt
werden.
Die Felder sehen aus wie folgt:


E0,x (x, y)
~

E(x, y, z, t) =
E0,y (x, y)  exp(ikz) exp(−iωt) ,
E0,z (x, y)
9
(8)


B0,x (x, y)
~
B(x,
y, z, t) =  B0,y (x, y)  exp(ikz) exp(−iωt) .
B0,z (x, y)
(9)
Die Randbedingungen für die Reflexion elektromagnetischer Wellen an einer
Leiteroberfläche sind:
B1⊥ − B2⊥ = 0 ,
(10a)
k
k
E~1 − E~2 = 0 .
(10b)
Das hier behandelte umschließende Medium sei ein perfekter Leiter, damit
sind die Felder in ihm gleich Null und damit die Felder an der Oberfläche auch
gleich Null, die Randbedingunen ergeben sich damit zu:
B1⊥ = B2⊥ = 0
⇒
k
k
E~1 = E~2 = 0
⇒
∂Bz =0 ,
∂n S
(11a)
Ez |S = 0 ,
(11b)
wobei S die Oberfläche des Leiters ist.
Im nächsten Schritt werden das elektrische (8) und das magnetische (9) Feld
in die Maxwellgleichungen (4) und (5) eingesetzt.
Zuerst betrachten wir die Komponenten des magnetischen Felds:
∂E0,z
− ikE0,y = iωB0,x
∂y
,
(12a)
∂E0,z
= iωB0,y
∂x
,
(12b)
∂E0,y ∂E0,x
−
= iωB0,z
∂x
∂y
.
(12c)
ikE0,x −
Es folgen die Komponenten des elektrischen Feldes:
∂B0,z
− ikB0,y = −iωµE0,x
∂y
,
(13a)
∂B0,z
= −iωµE0,y
∂x
,
(13b)
ikB0,x −
10
∂B0,y ∂B0,x
−
= −iωµE0,z
∂x
∂y
.
(13c)
Die Gleichungen (12a), (12b), (13a) und (13b) werden nun durch Einsetzen für
E0,x ,E0,y ,B0,x und B0,y gelöst.
Dies liefert:
∂B0,z
∂E0,z
i
E0,x = 2
+ω
k
,
(14a)
ω µ − k 2
∂x
∂y
E0,y
i
= 2
ω µ − k 2
∂B0,z
∂E0,z
−ω
k
∂y
∂x
,
(14b)
und
B0,x
i
= 2
ω µ − k 2
∂E0,z
∂B0,z
− ωµ
k
∂x
∂y
B0,y
i
= 2
ω µ − k 2
∂B0,z
∂E0,z
k
+ ωµ
∂y
∂x
,
(15a)
.
(15b)
Um die bestimmenden Gleichungen für B0,z und E0,z zu erhalten, müssen die
Gleichungen entkoppelt werden.
Für das elektrische Feld werden (6) und (8) verwendet:
~ ·E
~ = 0 = ∂E0,x + ∂E0,y + ikE0,z
∇
∂x
∂y
.
Für E0,x und E0,y werden (14a) und (14b) eingesetzt. Dies liefert:
∂2
∂2
2
2
+
+
ω
µ
−
k
E0,z = 0 .
∂x2 ∂y 2
(16)
Für das magnetische Feld werden (7) und (9) verwendet:
~ ·B
~ = 0 = ∂B0,x + ∂B0,y + ikB0,z
∇
∂x
∂y
.
Für B0,x und B0,y werden (15a) und (15b) eingesetzt. Dies liefert:
∂2
∂2
2
2
+
+
ω
µ
−
k
B0,z = 0 .
∂x2 ∂y 2
11
(17)
Die Gleichungen (16) und (17) sind Eigenwertgleichungen und müssen für verschiedene Randbedingungen gelöst werden.
Die Lösungen für einen Hohlwellenleiter sind nun:
• Die transversal-elektrische-Welle(TE-Welle): E0,z = 0; E0,x und E0,y
sind imaginär.
• Die transversal-magnetische-Welle(TM-Welle): B0,z = 0; B0,x und B0,y
sind imaginär.
• Eine Hybrid-Welle: E0,z 6= 0 und B0,z 6= 0, Hybrid-Wellen, diese sollen
hier aber vernachlässigt werden.
12
2.2 Eigenwertproblem: rechteckiger Wellenleiter
Zuerst betrachten wir die Lösung für einen rechteckigen Wellenleiter. Es wird
für eine TE-Welle gelöst, d.h. E0,z = 0. Der Wellenleiter habe die Abmessungen
a und b.
Abbildung 3: Frontalansicht des Wellenleiters
Die zu lösende Differentialgleichung lautet:
∂2
∂2
+
+ ω 2 µ − k 2
B0,z (x, y) = 0 .
2
2
∂x
∂y
Es wird ein Separationsansatz gewählt mit:
B0,z (x, y) = X(x) · Y (y) .
Die Differentialgleichung wird damit zu:
1 ∂ 2 X(x)
1 ∂ 2 Y (y)
+
+ ω 2 µ − k 2 = 0 .
X(x) ∂x2
Y (y) ∂y 2
Mit
1 ∂ 2 X(x)
= −kx2
X(x) ∂x2
,
(18a)
1 ∂ 2 Y (y)
= −ky2
Y (y) ∂y 2
,
(18b)
13
ergibt sich für die Wellenzahl:
−kx2 − ky2 + ω 2 µ − k 2 = 0 .
(19)
Für den X-Anteil wird ein Ansatz für ebene Wellen gewählt:
X(x) = Ax sin(kx x) + Bx cos(kx x) .
Die Randbedingungen sind:
B0,x , B0,y , E0,x , E0,y müssen an den Stellen x = 0 und x = a verschwinden, d.h.
es muss X 0 (x) verschwinden, da in (14a),(14b),(15a),(15b) immer die ersten
Ableitungen auftreten.
X 0 (x) = Ax kx cos(kx x) + Bx kx sin(kx x) ,
X 0 (0) = 0 ⇒ Ax = 0 ,
mπ
;
X 0 (a) = 0 ⇒ kx a = mπ ⇒ kx =
a
m ∈ Z+
0
.
Für die Berechnung des Y-Anteils wird wieder ein Ansatz für ebene Wellen
gewählt:
Y (y) = Ay sin(ky y) + By cos(ky y) .
Die Randbedingungen sind: B0,x , B0,y , E0,x , E0,y müssen an den Stellen y = 0
und y = b verschwinden, wieder muss die erste Ableitung beachtet werden.
Y 0 (y) = Ay ky cos(ky y) + By ky sin(ky y) ,
Y 0 (0) = 0 ⇒ Ay = 0 ,
nπ
Y 0 (b) = 0 ⇒ ky b = nπ ⇒ ky =
; n ∈ Z+
.
0
b
Damit sich überhaupt eine Welle ausbreiten kann, dürfen nicht beide Parameter Null sein, d.h. es kann nur entweder n oder m gleich Null sein, aber nicht
beide.
14
Für die Berechnung der Wellenzahl ergibt sich aus (19) :
k=
q
−kx2 − ky2 + ω 2 µ ,
r
−
k=
m 2 π 2 n2 π 2
− 2 + ω 2 µ .
a2
b
(20)
Nun wir die Grenzfrequenz berechnet, die Grenzfrequenz ist die Frequenz, ab
der sich Wellen ausbreiten können. Zur Berechnung der Grenzfrequenz wird
in (19) k = 0 gesetzt und auf ω umgeformt. Dies liefert:
ωmn
1
=√
µ
r
m2 π 2 n2 π 2
+ 2
a2
b
,
nun wird umgeformt auf f mit ω = 2πf , dies liefert:
fmn
1
= √
2 µ
r
m 2 n2
+ 2
a2
b
.
(21)
Die endgültigen Felder sehen nun so aus:
E0,z (x, y) = 0 ,
B0,z (x, y) = X(x) · Y (y) = Bx By cos
mπx a
B0 cos
cos
nπy mπx b
=
nπy (22)
cos
.
a
b
Dabei wurden Bx und By zusammengefasst als B0 , welches die Eingangsamplitude des Feldes ist. Die x- und y-Komponenten werden aus (14a), (14b),(15a)
und (15b) berechnet. Es wurden folgende Umformungen angewendet:
i a2 b2
i
= 2 2 2
ω 2 µ − k 2
π (a n + b2 m2 )
und
ω = 2πf
15
.
,
(23)
Die x- und y-Komponenten des elektrischen Feldes sind:
E0,x
i a2 b n
mπx
= 2 i B0 f 2 2
cos
2
2
(a n + b m )
a
nπy sin
,
b
(24a)
i a b2 m
mπx
nπy
E0,y = −2 i B0 f 2 2
sin
cos
.
2
2
(a n + b m )
a
b
Die Komponenten des elektrischen Feldes sind vollständig imaginär.
(24b)
Die Komponenten des magnetischen Feldes sind:
B0,x = i B0 f
i a b2 m
r
(a2 n2 + b2 m2 )
m2 n2
mπx
− 2 − 2 + 4 f 2 µ cos
a
b
a
sin
nπy b
,
(25a)
B0,y = i B0 f
i a2 b n
r
−
(a2 n2 + b2 m2 )
m2
a2
−
n2
b2
+ 4 f 2 µ sin
mπx a
cos
nπy b
.
(25b)
Damit sind alle Komponenten der TE-Welle bekannt. Die Berechnung der
Komponenten einer TM-Welle funktioniert genauso. Wobei hier E0 = Ex Ey
die Eingangsamplitude ist.Die Felder sind:
E0,z (x, y) = E0 cos
mπx a
cos
nπy ,
b
(26)
B0,z (x, y) = 0 .
Die zugehörigen Transversalkomponenten sind:
E0,x
a b2 m
= i E0 f 2 2
(a n + b2 m2 )
r
m2 n2
mπx
− 2 − 2 + 4 f 2 µ cos
a
b
a
sin
nπy b
,
(27a)
E0,y = i E0 f
a2 b n
(a2 n2 + b2 m2 )
r
−
m 2 n2
− 2 + 4 f 2 µ sin
a2
b
mπx a
cos
nπy b
(27b)
und
B0,x
mπx
a2 b n
cos
= −2 i E0 µ f 2 2
2
2
(a n + b m )
a
B0,y
a b2 m
mπx
= 2 i E0 µ f 2 2
sin
2
2
(a n + b m )
a
16
sin
cos
nπy ,
b
nπy b
.
(28a)
(28b)
,
2.3 Eigenwertproblem: zylindrischer Wellenleiter
Nun wird die transversal-elektrische Welle in einem zylindrischen Wellenleiter
behandelt, transversal-elektrisch ( TE ) heißt: E0,z = 0 Der Radius des Zylinders sei a, die Welle bewegt sich in z Richtung.
Abbildung 4: Frontalansicht des Wellenleiters
Die zu lösende Differentialgleichung lautet in diesem Fall:
1 ∂
1 ∂2
∂2
+
+
+ ω 2 µ − k 2
∂r2
r ∂r
r2 ∂φ2
B0,z (r, φ) = 0 .
(29)
Zur Vereinfachung wird ω 2 µ − k 2 = k02 gesetzt.
Der Separationsansatz ist:
B0,z (r, φ) = R(r) · Φ(φ) .
Somit wird die Differentialgleichung zu:
∂2
1 ∂R(r)
1 ∂ 2 Φ(φ)
Φ(φ) 2 + Φ(φ)
+ R(r) 2
+ k02 R(r) Φ(φ) = 0 . (30)
2
∂r
r ∂r
r ∂φ
Um die Gleichung zu lösen, werden die separierten Anteile gleich einer Konstanten C ∈ R gesetzt:
r2 ∂ 2 R(r)
1 ∂ 2 Φ(φ)
+ k02 r2 = −
= C
R(r) ∂r
Φ(φ) ∂φ2
17
.
(31)
Zuerst wird der φ -Anteil behandelt, dabei wird, C = n2 gesetzt:
1 ∂ 2 Φ(φ)
−
=C
Φ(φ) ∂φ2
⇒
∂ 2 Φ(φ)
= −n2 Φ(φ) .
2
∂φ
(32)
Es wird der Ansatz:
Φ(φ) = A sin(nφ) + B cos(nφ) ,
(33)
gewählt.
Es muss die zyklische Periodizität der Funktion als Randbedingung erfüllt sein,
d.h. :
Φ(φ) = Φ(φ + 2π) = A sin (n (φ + 2π)) + B cos (n (φ + 2π))
.
(34)
Dies ist erfüllt, wenn n ∈ Z0 .
Nun zum Radialanteil der Differentialgleichung,
r ∂R(r)
r2 ∂ 2 R(r)
+
+ k02 r2 = C = n2
2
R(r) ∂r
R(r) ∂r
.
(35)
Der Radialanteil wird als Besselsche Differentialgleichung identifiziert,
∂R(r)
∂ 2 R(r)
2 2
2
r
+
r
+
k
r
−
n
R(r) = 0 .
0
∂r2
∂r
2
(36)
Bei dieser Form der Gleichung wird n der Ordnungsparameter genannt.
Die Differentialgleichung wird gelöst durch:
R(r) = Ar Jn (k0 r) + Br Yn (k0 r) .
(37)
Dabei sind Jn die Besselfunktionen erster Gattung und Yn die Besselfunktionen zweiter Gattung, diese könne jedoch ausgeschlossen werden, da bei Yn (0)
eine Singularität auftritt.
Die gesamte Lösung der Differentialgleichung ist nun:
B0,z (r, φ) = Ar Jn (k0 r) (A sin(n φ) + B cos(n φ))
18
.
Dabei werden die Koeffizienten zusammengeführt und wieder als Eingangsamplitude der Welle festgelegt, Die Koeffizienten des φ-Anteils werden dabei
gleichgesetzt A = B = Aφ :
⇒
Ar Aφ = B0
B0,z (r, φ) = B0 Jn (k0 r) ( sin(n φ) + cos(n φ))
. (38)
Die Randbedingung Ba,z = 0 muss nun noch berücksichtigt werden. Dafür
wird k0 = cnm gesetzt, wobei cnm die m-te Nullstelle der Besselfunktion n-ter
Ordnung ist. Mit m ∈ Z.
Die Berechnung der Wellenzahl erfolgt mit:
k0 =
p
cnm
ω 2 µ − k 2 =
a
r
⇒
k=
−c2nm
+ ω 2 µquad.
a2
(39)
Die Grenzfrequenz ist hier:
k=0
⇒
fnm =
cnm
√
2πa µ
.
(40)
Die Longitudinalkomponenten der Welle sind:
E0,z = 0 ,
(41a)
cnm r
) ( sin(n φ) + cos(n φ))
a
Die übrigen Feldkomponenten sind:
B0,z = B0 Jn (
.
(42)
Das elektrische Feld:
E0,x
i
= 2
ω µ − k 2
∂E0,z
∂E0,z
1
k cos(φ)
− sin(φ)
∂r
r
∂φ
∂B0,z
∂B0,z
1
+ ω sin(φ)
+ cos(φ)
∂r
r
∂φ
E0,y
i
= 2
ω µ − k 2
∂E0,z
∂E0,z
1
k sin(φ)
+ cos(φ)
∂r
r
∂φ
−ω
,
∂B0,z
∂B0,z
1
cos(φ)
− sin(φ)
∂r
r
∂φ
19
(43a)
(43b)
.
Für das magnetische Feld finden wir:
B0,x
i
= 2
ω µ − k 2
∂B0,z
∂B0,z
1
− sin(φ)
k cos(φ)
∂r
r
∂φ
−ω
B0,y
i
= 2
ω µ − k 2
∂E0,z
∂E0,z
1
sin(φ)
+ cos(φ)
∂r
r
∂φ
∂B0,z
∂B0,z
1
+ cos(φ)
k sin(φ)
∂r
r
∂φ
(44a)
,
∂E0,z
∂E0,z
1
+ ω cos(φ)
− sin(φ)
∂r
r
∂φ
(44b)
.
Mit E0,z B0,z eingesetzt liefert dies:
E0,x =
i a B0
2π f
cnm
sin(φ)
cnm
2a
Jn−1
r c
nm
a
r cnm
n
+ cos(φ) Jn
r
a
r c
nm
+ Jn+1
a
(cos(nφ) + sin(nφ))
,
(cos(nφ) − sin(nφ))
(45a)
E0,y
−i a B0
2π f
=
cnm
cnm
r cnm
r cnm
cos(φ)
Jn−1
+ Jn+1
2a
a
r c a
n
nm
− sin(φ) Jn
(cos(nφ) − sin(nφ))
r
a
(cos(nφ) + sin(nφ))
,
(45b)
B0,x
i a B0
=
cnm
r
−c2nm
+ 4π 2 f 2 µ
a2
cos(φ)
cnm
2a
Jn−1
r cnm
n
sin(φ) Jn
(cos(nφ) + sin(nφ)) −
r
a
r c
nm
a
+ Jn+1
r c
nm
a
,
(cos(nφ) − sin(nφ))
(45c)
B0,x
i a B0
=
cnm
r
−c2nm
+ 4π 2 f 2 µ
a2
sin(φ)
cnm
2a
Jn−1
n
r cnm
(cos(nφ) + sin(nφ)) +
cos(φ) Jn
r
a
r c
nm
a
+ Jn+1
r c
nm
a
(cos(nφ) − sin(nφ))
(45d)
20
.
Die Komponenten einer TE-Welle in einem zylindrischen Wellenleiter sind:
E0,x
i a E0
=
cnm
r
−c2nm
+ 4π 2 f 2 µ
a2
cnm
2a
cos(φ)
Jn−1
n
r cnm
(cos(nφ) + sin(nφ)) −
sin(φ) Jn
r
a
r c
nm
a
+ Jn+1
r c
nm
a
,
(cos(nφ) − sin(nφ))
(46a)
E0,x
i a E0
=
cnm
r
−c2nm
+ 4π 2 f 2 µ
a2
cnm
sin(φ)
2a
n
(cos(nφ) + sin(nφ)) +
cos(φ) Jn
r
Jn−1
r c
nm
r c
nm
+ Jn+1
a
a
r c
nm
a
,
(cos(nφ) − sin(nφ))
(46b)
B0,x =
−i a E0
2π f
cnm
sin(φ)
+
cnm
2a
Jn−1
r c
r cnm
n
cos(φ) Jn
r
a
nm
a
+ Jn+1
r c
nm
a
(cos(nφ) + sin(nφ))
,
(cos(nφ) − sin(nφ))
(46c)
B0,y
i a E0
2π f
=
cnm
cnm
r cnm
r cnm
cos(φ)
Jn−1
+ Jn+1
2a
a
r c a
n
nm
− sin(φ) Jn
(cos(nφ) − sin(nφ))
r
a
(cos(nφ) + sin(nφ))
,
(46d)
21
3 Darstellung
3.1 Graphische Darstellung der Moden in einem
rechteckigen Wellenleiter
Die Darstellung erfolgte mit Mathematica 9. Es wurden nur die Transversalkomponenten der realen Felder dargestellt, d.h. die elektrischen Felder der TMWelle und die magnetischen Felder der TE-Welle. Die Frequenzabhängikeit und
die Vorfaktoren wurden vernachlässigt. Die Moden zeigen keine Unterschiede
für TE- und TM-Wellen.
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0
-6
-4
-2
0246
Abbildung 5:
Farbverteilung der Feldstärken
Die Abmessung des rechteckigen Wellenleiters ist: 0.03 Längeneinheiten in xRichtung und 0.02 Längeneinheiten in y Richtung. Die Bezeichnung der TE
und TM Moden erfolgt nach den modalen Parametern der theoretischen Ableitung m und n, d.h.: TEmn ;TMmn
22
(a) TE10 ,b.z.w. TM10 (b) TE20 , b.z.w. TM20 (c) TE30 , b.z.w. TM30
(d) TE11 , b.z.w. TM11 (e) TE21 , b.z.w. TM21 (f) TE31 , b.z.w. TM31
(g) TE12 , b.z.w. TM12 (h) TE22 , b.z.w. TM22 (i) TE32 , b.z.w. TM32
(j) TE13 , b.z.w. TM13 (k) TE23 , b.z.w. TM23 (l) TE33 , b.z.w. TM33
Abbildung 6: Moden des rechteckigen Wellenleiters
23
3.2 Graphische Darstellung der Moden in einem
zylindrischen Wellenleiter
Die Darstellung erfolgte mit Mathematica 9. Es wurden nur die Transversalkomponenten der realen Felder dargestellt, d.h. die elektrischen Felder der TMWelle und die magnetischen Felder der TE-Welle. Die Frequenzabhängikeit und
die Vorfaktoren wurden vernachlässigt. Die Moden zeigen keine Unterschiede
für TE- und TM-Wellen.
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0
-6
-4
-2
0246
Abbildung 7:
Farbverteilung der Feldstärken
Der Radius des zylindrischen Wellenleiters ist 0.03 Längeneinheiten. Die Bezeichnung der TE und TM Moden erfolgt nach den modalen Parametern der
theoretischen Ableitung m und n, d.h.: TEmn ; TMmn .
24
(a) TE10 ,b.z.w. TM10 (b) TE20 , b.z.w. TM20 (c) TE30 , b.z.w. TM30
(d) TE11 , b.z.w. TM11 (e) TE21 , b.z.w. TM21 (f) TE31 , b.z.w. TM31
(g) TE12 , b.z.w. TM12 (h) TE22 , b.z.w. TM22 (i) TE32 , b.z.w. TM32
(j) TE13 , b.z.w. TM13 (k) TE23 , b.z.w. TM23 (l) TE33 , b.z.w. TM33
Abbildung 8: Moden des zylindrischen Wellenleiters
25
Literatur
[1] Arno Rauschenbeutel.
1/2009:19–21, (2009).
Glasfasern dünner als licht.
Natur & Geist,
[2] K. Hakuta V.I. Balykin F. L. Kien, J.Q. Liang. Field intensity distributions and polarization orientations in a vacuum-clad subwavelength-diameter
optical fiber. Optics Communications, 242:445–455, (2004).
[3] D. J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. Prentice Hall, Upper
Saddle River, New Jersey, USA, 1999.
[4] http://de.wikipedia.org/wiki/Hohlleiter.
[5] http://de.wikipedia.org/wiki/Wellenleiter.
[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Waveguide (electromagnetism).
[7] J.D. Jackson. Classical Electrodynamics 3rd Edition. John Wiley & Sons,
Inc., 111 River Street, Hoboken, USA, 1999.
26