Winkelfunktionen
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maths2mind® Seite 99 von 183 Trigonometrie - Winkelfunktionen Kapitel: Winkelfunktionen Sinus / Kosinus / Tangens 289 Bezeichnungen im rechtwinkeligen Dreieck 290 Trigonometrischer Pythagoras a b c Gegenkathete, liegt gegenüber Ankathete, liegt an Hypotenuse, die längste Seite, liegt gegenüber vom rechten Winkel Winkel, der von Ankathete und Hypotenuse eingeschlossen wird sin2 cos2 1; sin 2 cos 1; 2 sin2 cos2 1; sin 291 Winkelfunktionen am Einheitskreis 2 cos 1; 2 Die Abszisse eines beliebigen Punktes am Einheitskreis heißt Cosinus des Winkels . sin tan ; cos cot Die Ordinate eines beliebigen Punktes am Einheitskreis heißt Sinus des Winkels . 1 cos ; tan sin Der Quotient aus sin und cos heißt Tangens des Winkels . a Gegenkathete c Hypotenuse Der Quotient aus cos j und sin j heißt Kotangens des Winkels . Vorzeichen, abhängig vom Quadranten Q2 : pos Q1: pos Q3 : neg Q4 : neg b Ankathete cos c Hypotenuse Vorzeichen, abhängig vom Quadranten Q2 : neg Q1: pos Q3 : neg Q4 : pos tan cot 1; 292 Sinus – Winkelfunktion 293 Kosinus – Winkelfunktion 294 Tangens – Winkelfunktion tan a Gegenkathete sin b Ankathete cos Vorzeichen, abhängig vom Quadranten Q2 : neg Q1: pos Q3 : pos Q4 : neg 295 Kotangens – Winkelfunktion cot b Ankathete 1 a Gegenkathete tan Vorzeichen, abhängig vom Quadranten Q2 : neg Q1: pos Q3 : pos Q4 : neg 620 621 Sekans Winkelfunktion Kosekans Winkelfunktion sin sec x Der Sekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Ankathete und somit der Kehrwert der Kosinusfunktion. 1 cos x sec2 x 1 tan2 x csc x 1 sin x csc 2 x 1 cot 2 x Stand vom: 18.04.2016 Die jeweils aktuellste Version findet sich auf: maths2mind.com Vorzeichen, abhängig vom Quadranten Q2 : neg Q1: pos Q3 : neg Q4 : pos Der Kosekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Gegenkathete und somit der Kehrwert der Sinusfunktion. Vorzeichen, abhängig vom Quadranten Q2 : pos Q1: pos Q3 : neg Q4 : neg Für dieses Werk nehmen wir u.a. §40f und §6 UrhG in Anspruch. Es darf unentgeltlich weitergegeben, jedoch nicht verändert werden. maths2mind® Seite 100 von 183 Trigonometrie - Winkelfunktionen Kapitel: Winkelfunktionen Sinus / Kosinus / Tangens 0 296 Wichtige Winkelfuntionswerte, die man auswendig kennen sollte 30 45 60 90 297 Reduktionsformeln für Winkelfunktionen rad sin cos tan cot 0 0 1 0 6 4 3 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 1 1 3 3 3 1 0 0 rad sin cos tan cot 180 0 1 0 360 2 1 0 0 sin sin ; cos cos ; sin sin 180 sin cos cos 180 cos sin180 sin ; cos 180 cos ; sin cos 90 cos ; 2 cos sin 90 sin ; 2 tan tan; tan tan180 tan tan180 tan ; tan cot 90 cot ; 2 Die Berechnung jedes beliebigen Winkelfunktionswerts, lässt sich auf die Berechnung des Winkelfunktionswerts zwischen 0 ° und 90 ° bzw. zwischen 0 und /2 zurückführen. sin sin cos cos cos ; 298 Additionstheoreme 1. Summensatz Winkelfunktionen cos cos cos sin sin; tan tan tan ; 1 tan tan cot cot cot 1 ; cot cot sin sin 2 sin 299 Additionstheoreme 2. Summensatz Winkelfunktionen ; cos 2 2 cos cos cos 2 cos ; 2 2 sin ; 2 2 b.c a.c a.b sin sin sin A 2 2 2 cos cos 2 sin 300 Allgemeines Dreieck Trigonometrische Beziehungen Mit Hilfe des 1. Summensatzes kann man Winkelfunktionen, deren Argumente Summen oder Differenzen sind, in Winkelfunktionen mit einfachen Argumenten umrechnen. Mit Hilfe des 2. Summensatzes kann man Summen oder Differenzen von Winkelfunktionen, auf Produkte von Winkelfunktionen umrechnen. ha b sin c sin; rU hb c sin a sin ; a b c ; 2 sin 2 sin 2 sin hc a sin b sin ; Weiter gilt, auch bei „unüblicher“ Beschriftung, d.h. wenn a oder b als Hypotenuse vorgegeben sind: 301 Allgemeines Dreieck übliche Beschriftungsregeln Üblich ist es, die längste Seite – die Hypotenuse – mit „c“ zu bezeichnen. Der Seite „c“ gegenüber liegt der Winkel „“ Der Seite „a“ gegenüber liegt der Winkel „“ Der Seite „b“ gegenüber liegt der Winkel „“ Die Winkel und die Seiten werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet Stand vom: 18.04.2016 Die jeweils aktuellste Version findet sich auf: maths2mind.com Für dieses Werk nehmen wir u.a. §40f und §6 UrhG in Anspruch. Es darf unentgeltlich weitergegeben, jedoch nicht verändert werden. maths2mind® Seite 101 von 183 Trigonometrie - Winkelfunktionen Kapitel: Winkelfunktionen Sinus / Kosinus / Tangens Der Sinus-Satz wird angewendet, wenn 302 Allgemeines Dreieck Sinus-Satz 303 Allgemeines Dreieck Kosinus-Satz a b c sin sin sin 2 Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sind. Der Kosinus-Satz wird angewendet, wenn a2 b 2 c 2 2ac cos ; b 2 a2 c 2 2ac cos ; 622 623 624 625 626 627 Kosinus Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen Tangens Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen Kotangens Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen Sekans Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen Kosekans Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen sin x tan x 1 cos2 x 3 Seiten 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind. c 2 a2 b 2 2ab cos ; Sinus - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen 1 Seite und 1 Winkel 1 tan x 2 1 cot x 1 2 sec 2 x 1 sec x 1 csc x cos x 1 1 sin2 x 1 tan2 x cot x cot 2 x 1 csc 2 x 1 1 sec x csc x tan x sin x 1 sin x 2 1 cos2 x cos x 1 1 sec2 x 1 cot x csc2 x 1 cot x 1 sin2 x sin x cos x 1 cos2 x 1 1 csc2 x 1 tan x sec2 x 1 sec x 1 1 sin2 x csc x 1 1 tan2 x cos x csc 2 x 1 csc x 1 tan2 x sec x 1 1 2 sin x tan x 1 cos x sec2 x 1 Stand vom: 18.04.2016 Die jeweils aktuellste Version findet sich auf: maths2mind.com Für dieses Werk nehmen wir u.a. §40f und §6 UrhG in Anspruch. Es darf unentgeltlich weitergegeben, jedoch nicht verändert werden.
