Winkelfunktionen

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Trigonometrie - Winkelfunktionen
Kapitel: Winkelfunktionen Sinus / Kosinus / Tangens
289
Bezeichnungen
im rechtwinkeligen
Dreieck
290
Trigonometrischer
Pythagoras
a
b
c

Gegenkathete, liegt  gegenüber
Ankathete, liegt  an
Hypotenuse, die längste Seite, liegt gegenüber vom rechten Winkel
Winkel, der von Ankathete und Hypotenuse eingeschlossen wird
sin2   cos2   1;
 sin  
2
  cos    1;
2
sin2   cos2   1;
 sin  
291
Winkelfunktionen am
Einheitskreis
2
  cos    1;
2
Die Abszisse eines beliebigen Punktes am
Einheitskreis heißt Cosinus des Winkels .
sin 
tan  
;
cos 
cot  
Die Ordinate eines beliebigen Punktes am
Einheitskreis heißt Sinus des Winkels .
1
cos 
;

tan  sin 
Der Quotient aus sin  und cos heißt
Tangens des Winkels .
a Gegenkathete

c
Hypotenuse
Der Quotient aus cos j und
sin j heißt Kotangens des Winkels .
Vorzeichen, abhängig vom Quadranten
Q2 : pos Q1: pos
Q3 : neg Q4 : neg
b Ankathete
cos   
c Hypotenuse
Vorzeichen, abhängig vom Quadranten
Q2 : neg Q1: pos
Q3 : neg Q4 : pos
tan   cot   1;
292
Sinus –
Winkelfunktion
293
Kosinus –
Winkelfunktion
294
Tangens –
Winkelfunktion
tan  
a Gegenkathete sin 


b
Ankathete
cos 
Vorzeichen, abhängig vom Quadranten
Q2 : neg Q1: pos
Q3 : pos Q4 : neg
295
Kotangens –
Winkelfunktion
cot  
b
Ankathete
1


a Gegenkathete tan 
Vorzeichen, abhängig vom Quadranten
Q2 : neg Q1: pos
Q3 : pos Q4 : neg
620
621
Sekans Winkelfunktion
Kosekans Winkelfunktion
sin  
sec  x  
Der Sekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das
Verhältnis von Hypotenuse zu Ankathete und somit
der Kehrwert der Kosinusfunktion.
1
cos  x 
sec2  x   1 tan2  x 
csc  x  
1
sin x 
csc 2  x   1  cot 2  x 
Stand vom: 18.04.2016
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Vorzeichen, abhängig vom Quadranten
Q2 : neg Q1: pos
Q3 : neg Q4 : pos
Der Kosekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das
Verhältnis von Hypotenuse zu Gegenkathete und
somit der Kehrwert der Sinusfunktion.
Vorzeichen, abhängig vom Quadranten
Q2 : pos Q1: pos
Q3 : neg Q4 : neg
Für dieses Werk nehmen wir u.a. §40f und §6 UrhG in Anspruch.
Es darf unentgeltlich weitergegeben, jedoch nicht verändert werden.
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Trigonometrie - Winkelfunktionen
Kapitel: Winkelfunktionen Sinus / Kosinus / Tangens

0
296
Wichtige
Winkelfuntionswerte,
die man auswendig
kennen sollte
30
45
60
90
297
Reduktionsformeln
für Winkelfunktionen
rad sin  cos  tan  cot 

0
0
1
0

6

4

3

2
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
3
1
1
3
3
3
1
0

0

rad sin  cos  tan  cot 
180 
0
1
0


360 2 1
0
0
sin     sin ;
cos     cos ;
sin   sin 180      sin     
cos    cos 180       cos      
  sin180       sin     ;
  cos 180       cos      ;


sin   cos  90      cos     ;
2



cos   sin 90      sin    ;
2

tan     tan;
tan    tan180       tan     
 tan180      tan    ;


tan   cot  90      cot     ;
2

Die Berechnung jedes beliebigen
Winkelfunktionswerts, lässt sich auf die
Berechnung des Winkelfunktionswerts
zwischen 0 ° und 90 ° bzw. zwischen 0 und /2
zurückführen.
sin      sin   cos   cos   cos ;
298
Additionstheoreme 1. Summensatz
Winkelfunktionen
cos       cos   cos   sin   sin;
tan   tan
tan     
;
1  tan   tan
cot      
cot   cot   1
;
cot   cot 
sin   sin  2  sin
299
Additionstheoreme 2. Summensatz
Winkelfunktionen


;
 cos
2
2

 
 cos
cos   cos   2  cos
;
2
2

 
 sin
;
2
2
b.c
a.c
a.b
 sin  
 sin 
 sin 
A
2
2
2
cos   cos   2  sin
300
Allgemeines Dreieck Trigonometrische
Beziehungen
Mit Hilfe des 1. Summensatzes kann man
Winkelfunktionen, deren Argumente Summen
oder Differenzen sind, in Winkelfunktionen mit
einfachen Argumenten umrechnen.
Mit Hilfe des 2. Summensatzes kann man
Summen oder Differenzen von
Winkelfunktionen, auf Produkte von
Winkelfunktionen umrechnen.
ha  b  sin   c  sin;
rU 
hb  c  sin   a  sin  ;
a
b
c


;
2  sin 2  sin 2  sin 
hc  a  sin  b  sin  ;
Weiter gilt, auch bei „unüblicher“ Beschriftung,
d.h. wenn a oder b als Hypotenuse vorgegeben
sind:

301
Allgemeines Dreieck übliche
Beschriftungsregeln
Üblich ist es, die längste Seite – die Hypotenuse –
mit „c“ zu bezeichnen.


Der Seite „c“ gegenüber liegt der
Winkel „“
Der Seite „a“ gegenüber liegt der
Winkel „“
Der Seite „b“ gegenüber liegt der
Winkel „“
Die Winkel und die Seiten werden gegen den
Uhrzeigersinn beschriftet
Stand vom: 18.04.2016
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Trigonometrie - Winkelfunktionen
Kapitel: Winkelfunktionen Sinus / Kosinus / Tangens
Der Sinus-Satz wird angewendet, wenn
302
Allgemeines Dreieck Sinus-Satz
303
Allgemeines Dreieck Kosinus-Satz


a
b
c


sin  sin  sin 
2 Seiten und der der größeren Seite
gegenüberliegende Winkel
gegeben sind.
Der Kosinus-Satz wird angewendet, wenn
a2  b 2  c 2  2ac  cos  ;


b 2  a2  c 2  2ac  cos ;
622
623
624
625
626
627
Kosinus Beziehungen
zu den anderen
5 Winkelfunktionen
Tangens Beziehungen
zu den anderen
5 Winkelfunktionen
Kotangens Beziehungen
zu den anderen
5 Winkelfunktionen
Sekans Beziehungen
zu den anderen
5 Winkelfunktionen
Kosekans Beziehungen zu den
anderen
5 Winkelfunktionen
sin  x  
tan  x 
 1  cos2  x  
3 Seiten
2 Seiten und der eingeschlossene
Winkel
gegeben sind.
c 2  a2  b 2  2ab  cos  ;
Sinus - Beziehungen
zu den anderen 5
Winkelfunktionen
1 Seite und 1 Winkel
1  tan  x 
2
1

cot  x   1
2

sec 2  x   1
sec  x 

1
csc  x 
cos  x  
1
 1  sin2  x  
1  tan2  x 
cot  x 

cot 2  x   1

csc 2  x   1
1

sec  x 
csc  x 
tan x  

sin x 
1 sin  x 
2

1 cos2  x 
cos  x 

1
1
 sec2  x   1 
cot  x 
csc2  x  1
cot  x  

1 sin2  x 
sin x 

cos  x 
1 cos2  x 

1
1

 csc2  x   1
tan x 
sec2  x   1
sec  x  
1

1  sin2  x 

csc  x 
1
 1  tan2  x  
cos  x 
csc 2  x   1
csc  x  

1 tan2  x 
sec  x 
1
1



2
sin x 
tan
x


1 cos  x 
sec2  x   1
Stand vom: 18.04.2016
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