Das Potential des elektrischen Feldes

Das Potential des elektrischen Feldes
1. Zeichne für folgende Ladungensverteilungen die Äquipotentiallinien ein.
Quelle: Elektrodynamik Sommer 2003, Prof. Thomas Müller, Universität Karlsruhe,
Blatt 1
Lösung: .
~ ist ein homogenes Feld parallel zur z-Achse mit Ez = E.
2. E
(a) Berechne das Potential ϕA bzw. ϕB in A (ax ay az ) bzw. B (bx by bz ) bezüglich
des Punktes P0 (x0 y0 z0 ) sowie ϕ′A bzw. ϕ′B bezüglich P′0 (x′0 y0′ z0′ ). Berechne
die Spannung UAB in B bezüglich A einmal mit ϕ und einmal mit ϕ′ .
V
(b) Berechne die Größen aus Teilaufgabe (a) speziell für E = Ez = 300 m
, P0 (0 0 0),
′
P0 (1 cm 3 cm − 2 cm), A (1 cm − 2 cm 2 cm) und B (−3 cm 4 cm 5 cm).
 




0
ax − x 0
bx − x 0
−→
−−→
~ =  0 , −
Lösung: (a) E
P0 A =  ay − y0 , P0 B =  by − y0 
E
az − z0
bz − z0
−→
−→
~ ·−
~ ·−
ϕA = −E
P0 A = (z0 − az ) E, ϕB = −E
P0 B = (z0 − bz ) E
ϕA ′ = (z0′ − az ) E,
ϕB ′ = (z0′ − bz ) E
UAB = ϕB − ϕA = (az − bz ) E = ϕB ′ − ϕA ′
1
(b) ϕA = −6 V, ϕB = −15 V, ϕA ′ = −12 V, ϕB ′ = −21 V, UAB = −9 V
−2 V
das Potential bezüglich des Ursprungs
3 m
in den Punkten A (−3 cm 1 cm) und B (4 cm 1 cm). Berechne die Spannung UAB in
B bezüglich A.
~ =
3. Berechne im homogenen Feld E
−→
−2
~
Lösung: ϕA = −E · OA = −
3
→
−2
~ ·−
ϕB = −E
OB = −
3
UAB = ϕB − ϕA = 0,14 V
V
−0,03
·
m = −0,09 V
0,01
m
V
0,04
m = 0,05 V
·
0,01
m
4. Am Ort A (0 a) befindet sich die Punktladung Q. Berechne das Potential ϕ(x) auf
der x-Achse, wenn einmal ein unendlich ferner Punkt und ein anderes Mal der
Ursprung als Bezugspunkt gewählt wird. Skizziere die Grafen der beiden Potentialfunktionen für Q > 0. Berechne URS für R (5 cm 0), S (9 cm 0), Q = −10−8 C und
a = 12 cm.
Lösung: Bezugspunkt ∞:
Q
√
ϕ∞ (x) =
4 πε0 a2 + x2
Bezugspunkt O:
y
Q
a
r
ϕ0 (x) = ϕ∞ (x) + C
ϕ0 (0) = 0 = ϕ∞ (0) + C
x
x
ϕ
Q
=⇒ C = −ϕ∞ (0) = −
4 πε0 a
Q
1
1
ϕ0 (x) =
· √
−
4 πε0
a2 + x 2 a
URS = ϕ∞ (9 cm)−ϕ∞ (5 cm) = 92 V
ϕ∞
x
ϕ0
5. An den Orten A (0 0 a) und B (0 0 − a) befindet sich jeweils die Punktladung Q.
(a) Berechne das Potential ϕ(x, y) in der xy-Ebene, wenn ein unendlich ferner
Punkt als Bezugspunkt gewählt wird.
(b) Berechne URS für R (33 cm 56 cm 0) und S (16 cm 63 cm 0).
(c) r sei die Entfernung des Punktes P (x y 0) vom Ursprung O. Berechne die
Spannung U(r) = UOP in P bezüglich O. Wie groß ist U(∞) für Q = e und
a = 10−15 m?
2
Lösung: (a) Die Entfernung von A oder B zum Punkt (x|y|0) ist R =
2Q
Q
p
=
4 π ε0 R
2 π ε0 x2 + y 2 + a2
(b) OR = OS = 65 cm =⇒ URS = ϕ(S) − ϕ(R) = 0
Q
Q
√
−
(c) U (r) = UOP = ϕ(P) − ϕ(O) =
2
2
2 π ε0 a
2 π ε0 r + a
e
U (∞) = −
= −2,88 · 106 V
2 π ε0 a
ϕ(x, y) =
p
x 2 + y 2 + a2 .
~ r ) und das Potential ϕ(~r) der geladenen z-Achse mit der
6. Berechne das Feld E(~
.
konstanten Längenladungsdichte ̺ = dQ
dz
 
x
Lösung: Der Punkt ~r = y  hat von der z-Achse
z
p
∗
den Abstand r = x2 + y 2 . Nach Gauss
ist der Betrag der Feldstärke im Abstand
r ∗ von der z-Achse
z
r∗
~
E
̺
E(r ) =
2πε0 r ∗
∗
~
r
~ ist
Der Einheitsvektor in Richtung von E
 
x
1
y 
~e = p
x2 + y 2 0
r∗
und damit
y
x
 
x
̺
~ r) =
y 
E(~
2πε0 (x2 + y 2 )
0
Wählt man einen Punkt mit dem Abstand r0 von der z-Achse als Bezugspunkt des Potentials, dann ist das Potential im Abstand r ∗ von der z-Achse
ϕ(r ∗ ) = −
Zr∗
r0
̺
E(r) dr = −
2πε0
Zr∗
r0
dr
̺
r∗
=−
ln
r
2πε0 r0
7. Das Be+ -Ion
Ein einfaches Modell des Be+ -Ions:
Q1 = 4 e als Punktladung im Zentrum
Q2 = −2 e auf einer Kugelfläche um das Zentrum mit dem Radius r1
Q3 = −e auf einer Kugelfläche um das Zentrum mit dem Radius r2 = 2 r1
3
(a) Berechne die Feldstärke E(r), ausgedrückt durch e, r1 und Naturkonstanten.
Zeichne den Verlauf von E(r) mit r1 =
b 2 cm und E1 = lim+ E(r) =
b 2 cm.
r→r1
(b) Berechne die Spannung U∞ 1 am Ort der inneren Elektronenschale bezüglich
eines unendlich weit entfernten Punktes zunächst allgemein und dann für r1 =
2,0 · 10−11 m.
(c) Bei dieser Teilaufgabe darf vereinfachend angenommen werden, dass das Ion
in Ruhe bleibt: Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Proton zentral auf ein
Be+ -Ion geschossen werden, damit es die innere Elektronenschale gerade noch
erreicht? Welche Beschleunigung erfährt das Proton ganz knapp vor dem Erreichen der inneren Schale?
Lösung:
E


4 e für 0 ≦ r < r1
(a) Q(r) = 2 e für r1 ≦ r < r2


e
für r > r2
 e

für 0 ≦ r < r1

2


 π ε0er
für r1 < r < r2
E(r) =
2 π ε0 r 2



e


für r > r2
4 π ε0 r 2
2E1
E(r2− ) =
E1
4
E(r2+ ) =
E1
8
E1
0
r1
r2
r
(b) Mit r2 = 2 r1 folgt
e
1
2e
1
3e
U∞ 1 = U ∞ 2 + U2 1 =
+
·
−
= 108 V ≈ 1,1 · 102 V
=
4 π ε0 r2 4 π ε0
r1 r2
8 π ε0 r1
s
2 e U∞ 1
m
mp 2
m
e2
= 6,9 · 1020 2
(c)
v = e · U∞ 1 , v =
= 1,4 · 105 , a =
2
mp
s
s
2 π ε0 mp r12
8. Berechne das Verhältnis aus elektrischer Kraft und Gravitationskraft auf das Elektron im Wasserstoffatom. Der Radius des H-Atoms ist r = 5,29 · 10−11 m.
Lösung:
e2 r 2
e2
Fe
=
=
= 2,27 · 1039
Fg
4πε0 r 2 Gme mp
4πε0 Gme mp
4