Differenzieller Widerstand

University of Applied
Sciences Cologne
Halbleiter
Tutorium
Differenzieller Widerstand
DW-01
Campus Gummersbach
Dipl.-Ing. (FH)
Dipl.-Wirt. Ing. (FH)
G. Danielak
Stand: 19.03.2006; R0
Um die Steigung einer Funktion in einem Punkt x 0 zu ermitteln, bestimmt man ihren
Differenzialquotienten. Das bedeutet, die Differenz in X-Richtung strebt gegen Null, wodurch auch die
f(x 0 + ∆x) − f(x 0 )
∆y dy
Differenz in Y-Richtung sehr klein ist. Es gilt: f' (x 0 ) = lim
= lim
=
. Damit ist
∆x →0 (x + ∆x) − x
∆x →0 ∆x
dx
0
0
die Steigung im Punkt x 0 bekannt. Grafisch kann man eine Steigung mit Hilfe des Differenzenquotienten
bestimmen. Man legt eine Tangente an den Punkt x 0 und bestimmt die Steigung dieser Tangente
(Gerade) durch den Differenzenquotienten. Hierbei strebt die Differenz ∆x nicht gegen Null, es gilt:
f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ) ∆y
.
mt =
=
(x 0 + ∆x) − x 0
∆x
Für den differenziellen Widerstand in der Elektrotechnik legt man diese Tangente im Arbeitspunkt A,
welcher dem Punkt x 0 in der Mathematik entspricht, an und berechnet den Differenzenquotienten. Dafür
wählt man zwei Punkte aus, die auf dieser Tangente liegen. Wo diese Punkte liegen, spielt keine Rolle. Es
ist dabei wichtig zu beachten, dass der zweite Punkt weiter rechts als der erste Punkt liegt.
I
2
I2
A
IA
I1
1
U1
UA
U2
U
Nach dem ohmschen Gesetz berechnet sich ein Widerstand aus dem Quotienten aus Spannung und Strom.
∆U U 2 − U1
Damit gilt für den differenziellen Widerstand: rd =
=
. Der Kehrwert des Widerstands ist der
∆I
I 2 − I1
I −I
∆I
Leitwert G, der sich berechnet aus: g d =
= 2 1 .
∆U U 2 − U1
In der Elektrotechnik gibt es Bauteile, die eine Kennlinie besitzen, welche einen negativen differenziellen
Widerstand erzeugen. Sie sind in der Elektrotechnik nicht unüblich und werden für das Erzeugen von
Spannungen in Oszillatoren benötigt.
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Für das Bestimmen des Arbeitspunktes A mit seinen Komponenten U A und I A gibt es zwei
Vorgehensweisen. Zum einen können diese Werte angegeben sein. Man weiß, dass ein bestimmter Strom
durch das Bauteil fließt oder eine bestimme Spannung anliegt. Zum anderen können sich diese Werte aus
einer Schaltung heraus ergeben, welche als Quelle für dieses Bauteil fungiert.
Die Quelle selbst wird durch zwei Punkte definiert: Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom. Das
bedeutet, man bestimmt die Leerlaufspannung U 0 und den Ersatzinnenwiderstand R ie , um damit den
Kurzschlussstrom zu berechnen (vgl. grafische Lösung Ersatzspannungsquelle I. Semester). Weil diese
Quelle allerdings eine Mischspannung darstellt, also eine Zusammenschaltung aus einer Gleich- und
Wechselspannungsquelle, betrachtet man zum Berechnen der Leerlaufspannung nur die
Gleichspannungsquelle.
R iq
Uq
≈
rd
UQ
Quelle
Last
Bei offenen Klemmen ist die Leerlaufspannung genau so groß wie die Spannung an der
Gleichspannungsquelle. Der Kurzschlussstrom berechnet sich aus dem Quotienten aus Leerlaufspannung
und Ersatzinnenwiderstand. Bei dieser einfachen Quelle ist der Ersatzinnenwiderstand der Widerstand,
welcher in Reihe zu beiden Quellen liegt (beide Spannungsquellen werden für die Berechnung von R ie
U qe U Q
=
.
kurzgeschlossen). Also gilt: R ie = R iq und I 0 =
R ie R iq
Beide Größen – U 0 und I 0 – werden in das Kennlinien-Diagramm des passiven nichtlinearen Zweipols
(hier symbolisch durch rd dargestellt) eingetragen und miteinander verbunden. Der Schnittpunkt dieser
Quellenkennlinie mit der Kennlinie des Zweipols, also der Last, ergibt den Arbeitspunkt. Von dort aus
wird eine Tangente angelegt und der differenzielle Widerstand wie gehabt berechnet.
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Für das Bestimmen der Wechselleistung PW am differenziellen Widerstand betrachtet man nur die
Wechselspannungsquelle, die Gleichspannungsquelle wird kurzgeschlossen. Damit liegen an der Quelle
zwei Widerstände in Reihe. Zu beachten ist die Angabe der Spannung: Liegt dieser in der Form
u q = û q ⋅ sin(ω t + ϕ ) vor, so muss man die Spitzenspannung û q in den Effektivwert umwandeln, also
û q
. Liegt die Angabe in komplexer Form vor, so ist dies bereits die Effektivgröße: U qeff = U q .
2
Weil beide Widerstände R iq und rd in Reihe liegen kann man die Spannungsteilerregel anwenden, um
U qeff =
den Spannungsabfall der Wechselspannungsquelle an rd zu bestimmen. Die Spannung an rd ist
rd
dementsprechend: U deff =
⋅ U qeff . Durch den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom
R iq + rd
2
U
(ohmsches Gesetz) kann die Wechselleistung an rd bestimmt werden: PW = deff .
rd
Eine Alternative dazu ist die Berechnung des Effektivstromes. Dieser ergibt sich zu: I eff =
2
Demzufolge ist die Leistung an rd : PW = I eff ⋅ rd .
U qeff
R iq + rd
.
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Aufgabe 1:
Bestimme den differenziellen Widerstand rd der unten angegebenen Kennlinie bei
a) U F = 0,20V
b) U F = 0,50V
c) Wie groß ist der differenzielle Widerstand im lokalen Maximum ( U F ≈ 0,10V )?
Welcher idealen Quelle entspricht dies und warum?
IF
mA
10
8
6
4
2
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
UF
V
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Aufgabe 2:
Bestimme zu der unten abgebildeten Aufgabe:
a)
b)
c)
d)
Leerlaufspannung U 0 , Innenwiderstand R ie und Kurzschlussstrom I 0 ;
Den Arbeitspunkt A mit den Größen U A und I A ;
Den differenziellen Widerstand rd im Arbeitspunkt A;
Die Wechselleistung PW , welche im differenziellen Widerstand umgesetzt wird.
Gegeben sind folgende Werte: U Q = 18V , U q = 20mV , R iq = 400Ω
R iq
Uq
i d (t)
≈
u d (t)
rd
UQ
I / mA
10
2
U/V