Sphärische Trigonometrie. Berechnungen - ETH E

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Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
Hans Walser
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
ii
Inhalt
1 Sphärische Trigonometrie....................................................................... 1
1.1 Worum geht es? ............................................................................ 1
1.2 Der Seiten-Cosinus-Satz................................................................... 1
1.3 Zusammenhang mit der Trigonometrie des ebenen Dreieckes ........................ 3
1.4 Das Polardreieck............................................................................ 4
1.5 Der Winkel-Cosinus-Satz ................................................................. 5
1.6 Der Sinus-Satz.............................................................................. 7
1.7 Weitere Formeln der Sphärischen Trigonometrie....................................... 7
1.8 Kombinatorischer Aspekt ................................................................. 8
1.9 Rechtwinklige sphärische Dreiecke ...................................................... 9
1.10 Zusammenstellung der Formeln........................................................11
2 Berechnungen ...................................................................................11
2.1 Angepasste Koordinaten..................................................................11
2.1.1 Polarkoordinaten in der Ebene .....................................................11
2.1.1.1 Archimedische Spiralen........................................................12
2.1.1.2 Logarithmische Spiralen.......................................................13
2.1.2 Kugelkoordinaten im Raum ........................................................14
2.1.3 Analogie im 4D-Raum...............................................................15
2.2 Inhaltsberechnungen ......................................................................16
2.2.1 Kreisflächeninhalt....................................................................16
2.2.2 Kugelinhalt ...........................................................................18
2.2.3 Inhalt der 4D-Hyperkugel...........................................................18
2.2.4 Allgemeine Formeln für Inhalt und Oberfläche...................................19
Literatur ............................................................................................20
Anhang: Kreisscheiben...........................................................................21
1995
1996
1999
2001
2002
Erstausgabe
Korrektur von Fehlern
Erweiterungen. Graphische Überarbeitung
Erweiterungen. Neue Moduleinteilung
Fehlerbereinigungen
[email protected]
1 Sphärische Trigonometrie
1. 1 Worum geht es?
Wir bezeichnen die sphärischen Dreiecke entsprechend den Dreiecken der ebenen Geometrie.
C
M
γ
b
β
α
a
B
c
A
Bezeichnungen
Trotzdem besteht aber ein wichtiger Unterschied zur ebenen Geometrie: Eine Dreiecksseite kann jetzt auch als Winkel aufgefasst werden. So kann zum Beispiel die Seite a
als Winkel ∠BMC interpretiert werden. Auf der Einheitskugel (mit Radius 1) ist das Bogenmaß dieses Winkels die Länge der Seite a. In der sphärischen Trigonometrie werden
deshalb auch Seiten als Argumente trigonometrischer Funktionen erscheinen. Ein weiterer
Unterschied zur ebenen Trigonometrie besteht darin, dass die drei Winkel eines sphärischen Dreieckes nicht mehr voneinander abhängig sind. Aus diesen Gründen hat die
sphärische Trigonometrie eine interessantere Struktur als die ebene Trigonometrie. Wir
werden aber sehen, dass sich die ebene Trigonometrie als Grenzfall aus der sphärischen
Trigonometrie ergibt.
Wo nichts anderes vermerkt ist, werden wir in diesem Abschnitt mit der Einheitskugel
arbeiten.
1. 2 Der Seiten-Cosinus-Satz
z
γ
b
A
N=C
a
B
c
M
y
x
Spezielle Lage des Dreieckes A B C
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
2
Ein gegebenes sphärisches Dreieck ABC können wir so auf der Kugel herumschieben,
dass die Ecke C auf den Nordpol auf der z-Achse und die Ecke A auf den Nullmeridian in
der x,z-Ebene zu liegen kommen. Dann hat lediglich der Punkt B keine spezielle Lage.

→
Für den Vektor MA erhalten wir:
 sin b 
MA =  0 


 cosb

→
Die Seite b ist die Zenitdistanz des Punktes A und wird hier als Winkel verwendet. Analog folgt:
 sin a cos γ 
MB =  sin asin γ 


 cos a 

→

→

→
Der Zwischenwinkel dieser beiden Vektoren MA und MB ist die Seite c. Da diese beiden Vektoren die Länge 1 haben, gilt nach dem Skalarprodukt
cosc =

→ 
→
MA ⋅ MB

→ 
→
=
sin bsin a cos γ +0+cos b cos a
,
1
MA ⋅ MB
also:
cosc = cos a cosb + sin asin b cos γ
Dies ist der Seiten-Cosinus-Satz. Er gilt in jedem sphärischen Dreieck, da die zur Herleitung verwendete spezielle Lage in der Schlussformel nicht mehr erscheint.
c
a
γ
b
α
β
Zyklische Vertauschung
Durch zyklische Vertauschung erhalten wir die drei Formeln:
Seiten-Cosinus-Satz
cosc = cos a cosb + sin asin b cos γ
cos a = cosb cosc + sin bsin c cos α
cosb = cosc cos a + sin csin a cos β
Eine Anwendung des Seiten-Cosinus-Satzes ist die Berechnung des sphärischen Abstandes zwischen zwei Kugelpunkten P(ϕ P , λ P ) und Q ϕ Q , λ Q , welche durch ihre geographischen Breiten und Längen gegeben sind.
(
)
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
3
z
N
π
2
P
−
2
π
−ϕQ
λQ − λ P
ϕ
Q
c
P
y
x
Bogenlänge von P nach Q
Zusammen mit dem Nordpol N erhalten wir ein sphärisches Dreieck NPQ, von dem zwei
Seiten, nämlich NP = π2 − ϕ P und NQ = π2 − ϕ Q , sowie deren Zwischenwinkel λ Q − λ P
gegeben sind, und die gegenüberliegende Seite c = PQ gesucht ist. Der Seiten-CosinusSatz liefert:
(
cosc = cos
π
2
)
− ϕ Q cos( π2 − ϕ P ) + sin
(
π
2
)
(
− ϕ Q sin( π2 − ϕ P ) cos λ Q − λ P
)
Wegen cos( π2 − ϕ ) = sin ϕ und sin( π2 − ϕ ) = cos ϕ ergibt sich daraus:
(
cosc = sin ϕ Q sin ϕ P + cos ϕ Q cos ϕ P cos λ Q − λ P
)
Die so berechnete Seite c ist dann die Bogenlänge auf der Einheitskugel. Für eine beliebige Kugel muss noch mit dem Kugelradius r multipliziert werden. Somit gilt:
(
(
c = r arccos sin ϕ Q sin ϕ P + cos ϕ Q cos ϕ P cos λ Q − λ P
))
Beispiel: Für den Bogen c mit den Endpunkten P(30°S, 60° W ) , Q(60° N, 60° E ) erhalten wir:
cosc = sin(60°)sin( −30°) + cos(60°)cos( −30°)(60° −(−60°)) = − 83 3
12
4 4
3 1424
3 1
424
3 1424
3 14
4244
3
3
2
− 12
1
2
3
2
− 12
Somit erhalten wir für c den Winkel
(
)
c = arccos − 83 3 ≈ 130.5053° ≈ 2.2777,
und für den zugehörigen Bogen auf der Erdkugel die Länge 14 500 km.
1. 3 Zusammenhang mit der Trigonometrie des ebenen Dreieckes
Ein sehr kleines sphärisches Dreieck oder ein sphärisches Dreieck auf einer Kugel mit
sehr großem Radius ist beinahe eben. In beiden Fällen ist der zu einer Seite gehörende
Zentriwinkel mit dem Kugelmittelpunkt als Scheitel sehr klein. Wir überlegen uns nun,
was geschieht, wenn die drei Seiten a, b und C des sphärischen Dreieckes sehr klein werden.
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
4
Zunächst ist festzuhalten, dass dabei die drei Winkel α, β und γ nicht klein werden.
Die Grundidee unserer Überlegungen beruht darauf, die trigonometrischen Funktionen in
eine TAYLOR-Reihe zu entwickeln und höhere Glieder wegzulassen. Für kleine x gilt
2
cos x ≈ 1 − x2 und sin x ≈ x . Damit erhalten wir aus dem Seiten-Cosinus-Satz
cosc = cos a cosb + sin asin b cos γ die Beziehung:
(
2
1 − c2 ≈ 1 −
a2
2
)(1 − ) + ab cos γ
b2
2
Der Faktor cos γ kann nicht umgeschrieben werden, da der Winkel γ nicht klein wird.
Ausmultiplikation ergibt:
2
1 − c2 ≈ 1 −
Der Summand
folgt:
a2 b2
2 2
a2
2
−
b2
2
+
a2 b2
2 2
+ ab cos γ
ist vom vierten Grad und kann daher weggelassen werden. Dann
c 2 ≈ a 2 + b 2 − 2ab cos γ
Dies ist der Cosinus-Satz in der ebenen Trigonometrie.
1. 4 Das Polardreieck
Für die Herleitung der weiteren Sätze benötigen wir den Begriff des Polardreiecks und
des Pols.
Die Pole eines Großkreises
Unter den Polen eines Großkreises verstehen wir die beiden Schnittpunkte der Kreisachse
mit der Trägerkugel.
Die Namengebung orientiert sich am Spezialfall der Erdkugel; die beiden Pole des Äquators sind der Nordpol und der Südpol.
Dem Schnittwinkel α zweier Großkreise kann ein Polarbogen zugeordnet werden, indem
je die "äußeren" Pole der beiden Großkreise durch einen Großkreisbogen a* verbunden
werden.
α
A′
A = A′
a∗
α
A
α
a∗
Dem Winkel α wird der Polarbogen a* zugeordnet
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
5
Offensichtlich gilt die Beziehung: α + a∗ = π . Nun können wir das Polardreieck definieren: Das Polardreieck besteht aus den drei Polarbögen a*, b* und c* der drei Winkel α, β
und γ. Das Polardreieck ist also ebenfalls ein sphärisches Dreieck.
c*
B*
A*
b*
a
γ
M
b
a*
C
α
A
β
B
c
C*
Das Polardreieck A*B*C* des sphärischen Dreieckes A B C

→
Der Vektor MA∗ ist orthogonal zur Ebene des Großkreisbogens a, daher ist dieser Vek
→

→

→
tor MA∗ auch orthogonal zu den beiden Vektoren MB und MC . Durch zyklische Vertauschung folgt:

→

→

→

→

→

→

→

→

→
MA∗ orthogonal zu MB , MC
MB∗ orthogonal zu MC , MA
MC∗ orthogonal zu MA , MB
Daraus folgt aber:

→

→

→

→

→

→

→

→

→
MA orthogonal zu MB∗ , MC∗
MB orthogonal zu MC∗ , MA∗
MC orthogonal zu MA∗ , MB∗
Das heißt, dass das Polardreieck des Polardreieckes wieder das ursprüngliche Dreieck ist,
so wie das Spiegelbild des Spiegelbildes wieder das ursprüngliche Bild ist.
1. 5 Der Winkel-Cosinus-Satz
Da das Polardreieck A*B*C* auch ein sphärisches Dreieck ist, gilt dafür nach dem Seiten-Cosinus-Satz:
cosc∗ = cos a∗ cosb∗ + sin a∗ sin b∗ cos γ ∗
Wegen α + a∗ = π , β + b∗ = π und γ + c∗ = π folgt daraus:
cos( π − γ ) = cos( π − α ) cos( π − β ) + sin( π − α ) sin( π − β ) cos( π − c)
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
6
und schließlich:
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cosc
Dies ist der Winkel-Cosinus-Satz. Er gilt für das ursprüngliche sphärische Dreieck ABC.
Gegenüber dem Seiten-Cosinus-Satz sind die Begriffe "Seiten" und "Winkel" vertauscht,
der Satz hat aber bis auf ein Vorzeichen dieselbe Struktur. Durch zyklische Vertauschung
ergibt sich
Winkel-Cosinus-Satz
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cosc
cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
cos β = − cos γ cos α + sin γ sin α cosb
Als Anwendung berechnen wir die Seitenlänge eines regelmäßigen sphärischen Fünfekkes der folgenden Figur.
Regelmäßige Fünfecke auf der Kugel
Da an jeder Fünfecks-Ecke drei Fünfecke zusammenstoßen, misst ein Innenwinkel 23 π .
Die Innenwinkelsumme beträgt somit 10
3 π , der sphärische Exzess ist gleich
10 π − 3π = 1 π . Dies ist ein Zwölftel der Kugeloberfläche der Einheitskugel; es hat also
3
3
genau zwölf solcher regelmäßiger Fünfecke. Zur Berechnung der Seitenlänge s eines
solchen Fünfeckes unterteilen wir dieses vom Mittelpunkt M aus in fünf gleichschenklige
sphärische Dreiecke.
D
M
E
C
2π
5
π
3
A
s
π
3
B
Unterteilung in gleichschenklige Dreiecke
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
7
Diese gleichschenkligen Dreiecke haben Basiswinkel von 13 π (Hälfte des Innenwinkels
von 23 π ), der Winkel an der Spitze misst 25 π . Wir haben also hier ein Beispiel eines
Dreieckes, von dem alle drei Winkel gegeben sind, aber keine Seite. In der Ebene ist diese Situation nicht möglich, daher gibt es auch keinen dem Winkel-Cosinus-Satz entsprechenden Satz in der ebenen Trigonometrie. Durch Einsetzen erhalten wir
cos 25 π = − cos π3 cos π3 + sin π3 sin π3 cos s
Daraus ergibt sich s ≈ 0.7297 ≈ 41.81°.
1. 6 Der Sinus-Satz
Aus dem Winkel-Cosinus-Satz folgt
cosc =
cos γ +cos α cos β
sin α sin β
und daraus
sin 2 c = 1 − cos2 c =
sin 2 α sin 2 β −cos 2 γ −2 cos γ cos α cos β −cos 2 α cos 2 β
sin 2 α sin 2 β
und weiter
sin 2 csin 2 α sin 2 β =
= −2 cos γ cos α cos β + (1 − cos2 α )(1 − cos2 β ) − cos2 γ − cos2 α cos2 β
= −2 cos γ cos α cos β + 1 − cos2 α − cos2 β + cos2 α cos2 β − cos2 γ − cos2 α cos2 β
= −2 cos γ cos α cos β + 1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ
Die rechte Seite dieser Gleichung ist zyklisch symmetrisch bezüglich der drei Winkel α ,
β und γ. Wir können also links eine zyklische Vertauschung vornehmen, ohne dass sich
am Wert des Ausdrucks etwas ändert. Daher ist sin 2 csin 2 α sin 2 β = sin 2 asin 2 β sin 2 γ ,
also:
sin 2 c
sin 2 γ
=
sin 2 a
sin 2 α
Da die vorkommenden Seiten und Winkel alle kleiner als π sind, sind alle vorkommenden
Sinuswerte positiv. Wir können also die Quadrate weglassen und erhalten (mit zyklischer
Vertauschung) den Sinussatz:
Sinus-Satz
sin a sin b sin c
=
=
sin α sin β sin γ
1. 7 Weitere Formeln der Sphärischen Trigonometrie
In der sphärischen Trigonometrie gelten weitere Formeln, welche keine Entsprechung in
der ebenen Trigonometrie haben. Sie lassen sich aus den bis anhin gefundenen Formeln
auf rechnerischem Wege herleiten:
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
8
Cotangens-Satz, erste Gruppe
cot bsin c = cosc cos α + sin α cot β
cot csin a = cos a cos β + sin β cot γ
cot asin b = cosb cos γ + sin γ cot α
Cotangens-Satz, zweite Gruppe
cot bsin a = cos a cos γ + sin γ cot β
cot csin b = cosb cos α + sin α cot γ
cot asin c = cosc cos β + sin β cot α
1. 8 Kombinatorischer Aspekt
Im Unterschied zur ebenen Geometrie sind in der sphärischen Geometrie die sechs Dreieckselemente a, b, c und α , β , γ völlig unabhängig voneinander. In jeder unserer Formeln kommen vier dieser sechs Elemente vor, das heißt man kann aus dreien das vierte
 6
berechnen. Nun gibt es in einer Menge mit 6 Elementen   = 15 Möglichkeiten, deren 4
 4
auszuwählen. Tatsächlich werden mit unseren 15 Formeln genau diese 15 Fälle abgedeckt. Im einzelnen sieht das so aus:
a) Es sind drei Seiten und ein Winkel im Spiel.
α
b
c
γ
β
a
Drei Seiten und ein Winkel
Hier muss der Seiten-Cosinus-Satz verwendet werden:
cosc = cos a cosb + sin asin b cos γ
b) Eine Seite und drei Winkel sind im Spiel.
α
b
c
γ
β
a
Eine Seite und drei Winkel
Hier wird der Winkel-Cosinus-Satz verwendet:
cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
9
c) Zwei Seiten und deren gegenüberliegende Winkel
α
b
c
γ
β
a
Zwei Seiten und deren gegenüberliegende Winkel
Hier wird der Sinus-Satz benötigt:
sin a sin b
=
sin α sin β
d) Zwei Seiten und zwei Winkel, nur ein Paar gegenüberliegender Seite und Winkel
α
b
c
γ
β
a
Zwei Seiten und zwei Winkel
Das ist ein Fall für die Cotangens-Sätze:
cot bsin c = cosc cos α + sin α cot β
1. 9 Rechtwinklige sphärische Dreiecke
Wir untersuchen sphärische Dreiecke mit γ = π2 .
A
C
B
Rechtwinkliges sphärisches Dreieck
Aus dem Seiten-Cosinus-Satz cosc = cos a cosb + sin asin b cos γ erhalten wir:
cosc = cos a cosb
Für kleine rechtwinklige Dreiecke heißt das:
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
2
(
1 − c2 ≈ 1 −
Wenn wir den Summanden
a2 b2
2 2
a2
2
10
)(1 − ) = 1 −
b2
2
a2
2
−
b2
2
+
a2 b2
2 2
, welcher vom vierten Grad ist, weglassen, folgt:
c2 ≈ a2 + b2
Es ist daher berechtigt, von der sphärischen Formel des Pythagoras zu sprechen.
Sphärischer Pythagoras
cosc = cos a cosb
P YTHAGORAS 580 - 496 v.Chr.
(Chorgestühl im Ulmer Münster von Jörg SY R L I N dem Älteren 1469 - 1474)
Der griechische Philosoph PYTHAGORAS von Samos lebte von 580-496 v.Chr. PYder schon bei Lebzeiten eine legendäre Persönlichkeit war, soll ursprünglich
als Kaufmann Ägypten, Kleinasien, Persien und Babylonien bereist haben. 529 v.Chr.
ging er nach Kroton in Unteritalien, wo er den Bund der Pythagoreer gründete, der sich
mit Mathematik, Astronomie und Musik befasste. PYTHAGORAS hat selber keine Schriften
hinterlassen, doch sind uns seine und die Lehren der Mitglieder des Bundes von einigen
Anhängern überliefert worden. Grundlagen der pythagoreischen Philosophie ist eine
Zahlenlehre, die später in eine Zahlenmystik ausartete. Der Name des PYTHAGORAS ist vor
allem durch den nach ihm benannten Lehrsatz bis in unsere Zeit lebendig geblieben; dieser
war in seinem Grundgedanken allerdings bereits den alten Babyloniern bekannt.
THAGORAS,
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
11
1. 10 Zusammenstellung der Formeln
Seiten-Cosinus-Satz
cosc = cos a cosb + sin asin b cos γ
cos a = cosb cosc + sin bsin c cos α
cosb = cosc cos a + sin csin a cos β
Winkel-Cosinus-Satz
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cosc
cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
cos β = − cos γ cos α + sin γ sin α cosb
Sinus-Satz
sin a sin b sin c
=
=
sin α sin β sin γ
Cotangens-Satz, erste Gruppe
cot bsin c = cosc cos α + sin α cot β
cot csin a = cos a cos β + sin β cot γ
cot asin b = cosb cos γ + sin γ cot α
Cotangens-Satz, zweite Gruppe
cot bsin a = cos a cos γ + sin γ cot β
cot csin b = cosb cos α + sin α cot γ
cot asin c = cosc cos β + sin β cot α
Sphärischer Pythagoras
cosc = cos a cosb
2 Berechnungen
2. 1 Angepasste Koordinaten
2. 1. 1 Polarkoordinaten in der Ebene
x2
ρ
P
ϕ
x1
Polarkoordinaten
Für viele Kreisprobleme sind die „natürlichsten“ Koordinaten die durch
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
12
x1 = ρ cos ϕ
x2 = ρ sin ϕ
definierten Polarkoordinaten ρ und ϕ . Dabei ist ρ ∈[0,∞[ und ϕ ∈[0,2 π ] .
Für ρ = const.= r erhalten wir die übliche Parameterdarstellung des Kreises.
2. 1. 1. 1 Archimedische Spiralen
Die archimedische Spirale kann in Polarkoordinaten durch eine lineare Funktion ρ (ϕ )
beschrieben werden.
Archimedische Spirale, ρ = 0.1ϕ
A R C H I M E D E S , 287 - 212 v. Chr.
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
13
Archimedische Spiralen spielen in der Technik eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei
Aufwickelprozessen.
Archimedische Spirale bei Aufwickelprozess
2. 1. 1. 2 Logarithmische Spiralen
Eine Exponentialfunktion für ρ (ϕ ) führt zu einer logarithmischen Spirale.
Logarithmische Spirale für ρ = 1.1
ϕ
Logarithmische Spiralen kommen in der Natur an vielen Stellen vor.
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
14
Logarithmische Spirale
2. 1. 2 Kugelkoordinaten im Raum
x3
P
ρ
ϕ
x1
λ
x2
Kugelkoordinaten
Die Kugelkoordinaten ρ, λ , ϕ ergeben sich aus
x1 = ρ cos λ cos ϕ
x2 = ρ sin λ cos ϕ
ρ sin ϕ
x3 =
[
]
mit ρ ∈[0,∞[ , λ ∈[0,2 π ] und ϕ ∈ − π2 , π2 . Für ρ = const.= r erhalten wir die übliche
Parameterdarstellung der Kugel.
Im folgenden Beispiel ist ρ = 0.2 λ + 0.1ϕ , dies ist eine Art Verallgemeinerung der archimedischen Spirale.
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
15
ρ (ϕ , λ ) = 0.1ϕ + 0. 2 λ
Im folgenden Beispiel ist ρ (ϕ , λ ) = 1.2 ϕ + λ , dies ist eine Art Verallgemeinerung der logarithmischen Spirale.
ρ (ϕ , λ ) = 1. 2
ϕ+λ
2. 1. 3 Analogie im 4D-Raum
Wir erhalten in Analogie zu den Kugelkoordinaten die „Hyperkugelkoordinaten“ ρ , α ,
β , γ durch
x1 = ρ cos α cos β cos γ
x2 = ρ sin α cos β cos γ
x3 =
ρ sin β cos γ
x4 =
ρ sin γ
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
16
[
]
[
]
Dabei ist ρ ∈[0,∞[ , α ∈[0,2 π ], β ∈ − π2 , π2 , γ ∈ − π2 , π2 . Im 4D-Raum haben wir
nämlich 16 „Hexadekanten“, da wir vier Koordinaten mit je den zwei Vorzeichen Plus
und Minus haben. Der Parameter α bestreicht 4, die beiden Winkel β und γ je zwei
Hexadekanten. Damit kommen wir auf 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 Hexadekanten.
Für ρ = const.= r erhalten wir eine Parameterdarstellung der 4D-Hypersphäre.
Es ist leicht einzusehen, wie die Sache in höhere Dimensionen fortzusetzen ist.
2. 2 Inhaltsberechnungen
Um den 4D-Inhalt der 4D-Hyperkugel zu berechnen, studieren wir zunächst das Vorgehen in den uns bekannten Dimensionen 2 und 3.
2. 2. 1 Kreisflächeninhalt
Für das Flächenelement erhalten wir in Polarkoordinaten: ρ dϕ dρ
dρ
ρ
ρ dϕ
dϕ
Flächenelement
Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Kreises:
Flächeninhalt =
2π  r
∫
0

 ∫ ρ dρ dϕ = πr 2

 0
Das Flächenelement ρ dϕ dρ kann auch analytisch hergeleitet werden. Aus
r
 ρ cos ϕ 
x (ρ , ϕ ) = 
 mit ρ ∈[0,1] und ϕ ∈[0,2 π ]
 ρ sin ϕ 
ergeben sich die partiellen Ableitungen:
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
r
∂ x (ρ ,ϕ )
∂ρ
r
 cos ϕ 
=
 und
 sin ϕ 
17
r
∂ x (ρ ,ϕ )
∂ϕ
 −ρ sin ϕ 
=

 ρ cos ϕ 
r
∂ x (ρ ,ϕ )
∂ x (ρ ,ϕ )
Die Vektoren ∂ρ dρ und ∂ϕ dϕ spannen das Flächenelement auf. Für das Flächenelement erhalten wir somit:
r
r
 cos ϕ
∂ x (ρ ,ϕ ) ∂ x (ρ ,ϕ )
Flächenelement = det  ∂ρ , ∂ϕ  dρ dϕ = det 
 sin ϕ
−ρ sin ϕ 
 dρ dϕ = ρ dρ dϕ
ρ cos ϕ 
r
r
 cos ϕ −ρ sin ϕ 
∂ x (ρ ,ϕ ) ∂ x (ρ ,ϕ )
Die Matrix  ∂ρ , ∂ϕ  = 
 heißt Jacobische Matrix. Ihre Determi sin ϕ ρ cos ϕ 
nante, multipliziert mit dρ dϕ , ist das Flächenelement.
Mit Maple sieht die Sache so aus:
> with(linalg):
x:=vector([rho*cos(phi),rho*sin(phi)]);
x := [ ρ cos( φ ) ρ sin( φ ) ]
> Jacobische:=jacobian(x,[rho, phi]);
 cos( φ ) -ρ sin( φ )
Jacobische := 

 sin( φ ) ρ cos( φ ) 
> Determinante:=simplify(det(Jacobische));
Determinante := ρ
> Int(Int(Determinante,rho=0..r),phi=0..2*Pi) =
int(int(Determinante,rho=0..r),phi=0..2*Pi);
2π r
 ⌠

⌠
  ρ dρ dφ = r 2 π
⌡ ⌡
0
0
>
Analog können wir nun in den höheren Dimensionen vorgehen.
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
18
2. 2. 2 Kugelinhalt
Aus
 ρ cos λ cos ϕ 
r
x (ρ, λ , ϕ ) =  ρ sin λ cos ϕ  mit ρ ∈[0,1] , λ ∈[0,2 π ] , ϕ ∈ − π2 , π2


 ρ sin ϕ 
[
ergibt sich der Kugelinhalt
4 πr 3
3
]
wie folgt:
> with(linalg):
x:=vector([rho*cos(lambda)*cos(phi),rho*sin(lambda)*cos(phi),
rho*sin(phi)]);
x := [ ρ cos( λ ) cos( φ ) ρ sin( λ ) cos( φ ) ρ sin( φ ) ]
> Jacobische:=jacobian(x,[rho, lambda, phi]);
 cos( λ ) cos( φ ) -ρ sin( λ ) cos( φ ) -ρ cos( λ ) sin( φ )


Jacobische :=  sin( λ ) cos( φ ) ρ cos( λ ) cos( φ ) -ρ sin( λ ) sin( φ ) 


sin( φ )
0
ρ cos( φ )


> Determinante:=simplify(det(Jacobische));
Determinante := cos( φ ) ρ 2
> Int(Int(Int(Determinante,rho=0..r),lambda=0..2*Pi), phi=-Pi/2..Pi/2) =
int(int(int(Determinante,rho=0..r),lambda=0..2*Pi), phi=-Pi/2..Pi/2);
1
2π
2π r

 ⌠

4
⌠
⌠

  cos( φ ) ρ 2 dρ dλ dφ = 3 r 3 π



⌡ ⌡
⌡
1 0
0
-2π
2. 2. 3 Inhalt der 4D-Hyperkugel
Ausgehend von der Darstellung
 ρ cos α cos β cos γ 
 ρ sin α cos β cos γ 
r
 ρ ∈[0,1] , α ∈[0,2 π ], β ∈ − π2 , π2 , γ ∈ − π2 , π2
x (ρ , α , β , γ ) = 
ρ
sin
β
cos
γ




ρ sin γ 

[
erhalten wir mit Maple den 4D-Inhalt der 4D Hyperkugel:
]
[
]
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
19
> with(linalg):
x:=vector([ rho*cos(alpha)*cos(beta)*cos(gamma),
rho*sin(alpha)*cos(beta)*cos(gamma),
rho*sin(beta)*cos(gamma),
rho*sin(gamma)]);
x := [ ρ cos( α ) cos( β ) cos( γ ) ρ sin( α ) cos( β ) cos( γ ) ρ sin( β ) cos( γ ) ρ sin( γ ) ]
> Jacobische:=jacobian(x,[rho, alpha, beta, gamma]);
Jacobische :=
[ cos( α ) cos( β ) cos( γ ) , -ρ sin( α ) cos( β ) cos( γ ) , -ρ cos( α ) sin( β ) cos( γ ) ,
-ρ cos( α ) cos( β ) sin( γ ) ]
[ sin( α ) cos( β ) cos( γ ) , ρ cos( α ) cos( β ) cos( γ ) , -ρ sin( α ) sin( β ) cos( γ ) ,
-ρ sin( α ) cos( β ) sin( γ ) ]
[ sin( β ) cos( γ ) , 0 , ρ cos( β ) cos( γ ) , -ρ sin( β ) sin( γ ) ]
[ sin( γ ) , 0 , 0 , ρ cos( γ ) ]
> Determinante:=simplify(det(Jacobische));
Determinante := cos( β ) cos( γ ) 2 ρ 3
> Int(Int(Int(Int(Determinante,rho=0..r),alpha=0..2*Pi), beta=-Pi/2..Pi/2)
, gamma=-Pi/2..Pi/2)=
int(int(int(int(Determinante,rho=0..r),alpha=0..2*Pi), beta=-Pi/2..Pi/2) ,
gamma=-Pi/2..Pi/2);
1
2π
1
2π
2π r


 ⌠

1
⌠
⌠
⌠


  cos( β ) cos( γ ) 2 ρ 3 dρ dα dβ dγ = 2 r 4 π 2




⌡
⌡ ⌡
⌡
1
1 0
0
-2π -2π
Die 4D-Hyperkugel hat also den 4D-Inhalt
π quadratisch vorkommt.
1 π 2r 4 .
2
Überraschend ist, dass die Kreiszahl
2. 2. 4 Allgemeine Formeln für Inhalt und Oberfläche
Man kann zeigen, dass für den nD-Inhalt der nD-Hyperkugel und den (n – 1)D-Inhalt der
zugehörigen Hypersphäre (das ist die „Oberfläche“ der nD-Hyperkugel) die folgenden
Formeln gelten:
nD-Inhalt der
nD-Hyperkugel
(n – 1)D-Inhalt der
zugehörigen Hypersphäre
n gerade = 2k
1 k 2k
k! π r
k 2k −1
2
( k −1)! π r
n ungerade = 2k + 1
2 2 k +1 k! π k r 2k +1
( 2k +1)!
2 2 k +1
( 2k )!
π k r 2k
Da die Fakultäten schneller wachsen als die Potenzen, verschwinden diese Inhalte für
n → ∞.
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
Literatur
[Berger 1987.2]
20
Berger, Marcel: Geometry II. New York: Springer 1987. ISBN 0387-17015-4
[Bigalke 1984]
Bigalke, Hans Günther: Kugelgeometrie. Otto Salle Verlag, Frankfurt am Main 1984. ISBN 3-7935-5530-5
[Gray 1993]
Gray, Alfred: Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. CRC Press, Boca Raton 1993. ISBN 0-8493-7872-9
[Heitzer 1998]
Heitzer, Johanna: Spiralen, ein Kapitel phänomenaler Mathematik.
Leipzig: Klett 1998. ISBN 3-12-720044-7
[Schröder E 1988] Schröder, Eberhard: Kartenentwürfe der Erde. Teubner Verlag,
Leipzig 1988. ISBN 3-322-00479-1
[Schröder EM 1991] Schröder, Eberhard M.: Vorlesungen über Geometrie. Band 1:
Möbiussche, elliptische und hyperbolische Ebenen. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim 1991. ISBN 3-411-15291-5
Sphärische Trigonometrie. Berechnungen
Anhang: Kreisscheiben
21
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