Biot-Savart

Formelsammlung
Felder und Komponenten I
von Stephan Senn, D-ITET
Inhaltsverzeichnis
Elektrostatik .............................................................................................................. 4
Coulomb’sches Gesetz: Kraft zwischen Ladungen................................................................ 4
Elektrische Feldstärke E......................................................................................................... 4
Satz von Gauss in der Elektrostatik........................................................................................ 4
Mechanische Arbeit................................................................................................................ 4
Elektrisches Potential und Spannung ..................................................................................... 4
Kapazität................................................................................................................................. 5
Energie im Kondensator......................................................................................................... 5
Dipolmoment.......................................................................................................................... 5
Dipoldichte, Polarisation, Polarisationsfeld P........................................................................ 5
Dielektrisches Verschiebungsfeld D ...................................................................................... 5
Spiegelladungsverfahren ........................................................................................................ 6
Bildladungsverfahren ............................................................................................................. 6
Grundgleichungen .................................................................................................................. 6
Gleichstrom............................................................................................................... 6
Der galvanische Strom ........................................................................................................... 6
Leitfähigkeit σ und Stromdichte J.......................................................................................... 6
Stromdichte J und Strombelag α............................................................................................ 7
Leistung P und Leistungsdichte pj.......................................................................................... 7
Widerstand R.......................................................................................................................... 7
Superposition von Leitern ...................................................................................................... 7
Grundgleichungen .................................................................................................................. 8
Magnetostatik ........................................................................................................... 8
Analogon zum Coulomb’schen Gesetz .................................................................................. 8
Magnetische Feldstärke H...................................................................................................... 8
Magnetisches Dipolmoment................................................................................................... 8
Magnetisierung, magnetische Polarisation Pm ....................................................................... 9
Magnetische Induktion und magnetische Flussdichte B ........................................................ 9
Einteilung der magnetischen Stoffe ....................................................................................... 9
Gesetz von Biot-Savart: Wirkung des elektrischen Stromes ................................................. 9
Durchflutungsgesetz............................................................................................................. 10
Lorentz-Kraft........................................................................................................................ 10
Feldprobleme mit Permanentmagneten................................................................................ 10
Grundgleichungen ................................................................................................................ 10
Analogie der Strömungsfelder .............................................................................. 11
Materialgleichungen ............................................................................................... 11
Grundgleichungen ................................................................................................................ 11
Stephan Senn, D-ITET
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28.08.2004
Homogenes / Inhomogenes Material.................................................................................... 11
Lineares / Nichtlineares Material ......................................................................................... 11
Isotropes / Anisotropes Material .......................................................................................... 12
Zeitvariable Magnetfelder ...................................................................................... 12
Induktionsgesetz................................................................................................................... 12
Induktivität L........................................................................................................................ 12
Energie in einer stromdurchflossenen Spule........................................................................ 12
Induktive Spannung und induktiver Strom .......................................................................... 13
Lenz’sche Regel oder Vorzeichenkonvention...................................................................... 13
Selbstinduktion..................................................................................................................... 13
Gegeninduktivität ................................................................................................................. 13
Phasordarstellung .................................................................................................. 13
Maxwell-Gleichungen ............................................................................................. 14
In Integralform ..................................................................................................................... 14
In Differentialform ............................................................................................................... 14
Maxwell-Gleichungen in Phasordarstellung ........................................................ 14
In Integralform ..................................................................................................................... 14
In Differentialform ............................................................................................................... 14
Grenzbedingungen ................................................................................................. 15
Allgemeiner Fall: keine idealen Leiter, keine Grenzfolien .................................................. 15
Spezialfall: ideale Leiter, Grenzfolien ................................................................................. 15
Potentiale des elektromagnetischen Feldes ........................................................ 15
Die Wellengleichung............................................................................................... 15
Form der homogenen Wellengleichung ............................................................................... 15
Allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung ........................................................ 15
Lösung inhomogener Wellengleichungen............................................................................ 16
Die Wellengleichungen in der Elektrodynamik ................................................................... 16
Überprüfung der Ergebnisse auf ihren physikalischen Sachverhalt..................................... 16
Lösung der homogenen Wellengleichungen in der Elektrodynamik ................................... 16
Der stationäre Zustand........................................................................................... 16
Wellenverhalten ................................................................................................................... 17
Praktische Abschätzungen.................................................................................................... 17
Quasistatische Situation ....................................................................................................... 17
Gesamtenergien im statischen Fall....................................................................................... 17
Energie und Leistung im elektromagnetischen Feld........................................... 18
Energiedichtefeld ................................................................................................................. 18
Poynting’sches Energiekonzept ........................................................................................... 18
Poynting-Theorem................................................................................................................ 18
Das komplexe Poynting-Theorem (Phasordarstellung) ....................................................... 19
Schein-, Wirk- und Blindleistung für sinusoidale Zeitfunktionen ....................................... 19
Zweipolparameter und Felder................................................................................ 19
Zustandsgrösse U ................................................................................................................. 19
Zustandsgrösse I................................................................................................................... 20
Stephan Senn, D-ITET
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28.08.2004
Zustandsgrösse P .................................................................................................................. 20
Kenngrösse C ....................................................................................................................... 20
Kenngrösse L........................................................................................................................ 20
Kenngrösse R ....................................................................................................................... 20
Anhang .................................................................................................................... 21
Vektoranalysis...................................................................................................................... 21
Koordinatensysteme ............................................................................................................. 23
Einheiten............................................................................................................................... 24
Konstanten und Relationen .................................................................................................. 24
Quellenverzeichnis................................................................................................. 25
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Elektrostatik
Coulomb’sches Gesetz: Kraft zwischen Ladungen
G
Fi =
QiQ j G
⋅ e ji
4πε 0 r 2
Es gilt das Superpositionsprinzip:
G G
G
G G
Q0 N Q j ( r0 − rj )
Q
F0 =
F
(r ) =
∑
3
G
G
4πε 0
4πε 0 j =1 r0 − rj
1
⋅
ρ: Raumladungsdichte
Q: Ladung
∫∫∫
G
G
G
ρ ( r ')( r − r ')
G G 3
r −r'
V'
dV '
r: Radius, Abstand
Elektrische
Feldstärke E
G
G
G G
F (r )
Q G
E (r ) =
=
er
4πε 0 r 2
q
Nach dem Superpositionsprinzip gilt:
G G
G G
G G
1 N Q j ( r − rj )
1
E (r ) =
E
(r ) =
∑
3
G
G
4πε 0 j =1 r − rj
4πε 0
∫∫∫
G
G
G
ρ ( r ')( r − r ')
G G 3
r −r'
V'
dV '
Satz von Gauss in der Elektrostatik
G
G
ψ ∂V = w
∫∫ E ⋅ dF =
∂V
1
ε 0 ∫∫∫
V
ρ dV
Merke: Die Ladung eines Leiters ist auf dessen Oberfläche verteilt.
Mechanische Arbeit
G G G
WΓ = Q0 ⋅ ∫ E ( r ) ⋅ dl
Γ
Elektrisches Potential und Spannung
G
U12
r2
G G
G
G
U12 = ϕ ( r1 ) − ϕ ( r2 ) = ∫ E ⋅ dl
G
r1
G
r
G G
G
G
G
ϕ ( r ) = ϕ ( r ) − ϕ ( ra ) = − ∫ E ⋅ dl
G
ra
G
ϕ (r ) =
1
4πε 0
N
Qj
∑ rG − rG
j =1
G
G
G WrGa ( r )
G
1
ρ ( r ')
ϕ rGa ( r ) =
ϕ (r ) =
G G dV '
q
4πε 0 ∫∫∫
r −r'
V'
G
G
Normierungspunkte: ϕ ( ra ) = 0 , ϕ rGa ( ra ) = 0
1
2
j
Merke: Für einen beliebigen geschlossenen Weg Γ0 gilt:
G G
G G
E
v∫ ⋅ dl = 0 mit r = ra
Γ0
Dies ist zugleich auch die Charakterisierung des elektrostatischen Feldes E. Das
Potential hängt somit nur vom Anfangs- und Endpunkt ab, ist also wegunabhängig.
Somit ist E ein konservatives Feld; ein Potentialfeld. Man spricht auch von einem
wirbelfreien Feld. Es gilt zudem:
G G
rot ( E ) = 0
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Kapazität
Q = CU
Energie im Kondensator
Q
Q
Q 2 QU CU 2
⋅ dQ =
=
=
2C
2
2
C
0
W = ∫ dW = ∫ U (Q ) ⋅ dQ = ∫
Dipolmoment
G
G
p = Qd
+Q
p
-Q
Dipoldichte, Polarisation, Polarisationsfeld P
•
•
•
•
G
 1
G 
Allgemein: P = lim 
⋅∑ pj 
∆V →0 ∆V
j


G G G G
P = P0 + Pv ( E )
G
G
An Materie gebundene Raumladungsdichte: ρ geb ( r ) = − div ( P )
G G
G
P
⋅
dF
=
−
div
P
Weiter gilt nach Gauss: − w
(
)dV = ∫∫∫ ρ geb dV
∫∫
∫∫∫
∂V
V
V
Dielektrisches
Verschiebungsfeld
D
G
G
•
•
Polarisation: P = ε 0 χ e E
mit der elektrischen Suszeptibilität χe
relative Dielektrizitätskonstante: ε r = 1 + χ e
•
•
Permittivität: ε = ε 0ε r
totale Ladungsdichte: ρtot = ρ frei + ρ geb
•
dielektrisches
G
G G Verschiebungsfeld:
G
G
G
G
G
D = ε 0 E + P = ε 0 E + ε 0 χ e E = ε 0 ⋅ (1 + χ e ) ⋅ E = ε 0 ⋅ ε r ⋅ E = ε E
G G
Für die totale Raumladungsdichte gilt: w
∫∫ D ⋅ dF = ∫∫∫ ρtot dV
•
∂V
V
G G
Merke: Ist ρ geb = 0 dann ist P = 0 und es gilt:
G
G
G G
ρtot = ρ frei D = ε 0 E
w
∫∫ D ⋅ dF = ∫∫∫ ρ frei dV
∂V
V
Bei homogen, linear, isotropem Material darf ε0 durch ε ersetzt werden.
Die Beziehungen bleiben erhalten.
Anmerkung: Es wird hier immer homogen, linear, isotropes Material vorausgesetzt.
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Spiegelladungsverfahren
Symmetrieachse
Q
Q
d/2
Um die resultierende Kraft einer Ladung Q vor einer ungeladenen
Metallplatte zu berechnen, bedient man sich folgendem Trick: Man spiegelt
die Ladung Q an der Symmetrieachse der Metallplatte und berechnet dann
die Kraft zwischen diesen Ladungen. Die berechnete Kraft entspricht dann
genau der Kraft der Ladung Q zur Metallplatte. Nach dem Coulomb’schen
Gesetz gilt also:
1 Q2
⋅
F=
4πε 0 d 2
Bildladungsverfahren
Mit dem Satz von Gauss kann man zeigen, dass das Feld einer Punktladung im Zentrum einer
Kugel das genau gleiche E-Feld ergibt wie eine homogene Kugelflächenladung. Dies führt auf
die Idee, bei gekrümmten Oberflächen J Punktladungen Qj unbekannter Stärke im
Elektrodeninnern anzuordnen. Zur j-ten Punkt- oder Bildladung (am Ort rj) gehört dann das
folgende Potential:
G
G
G
1
mit ϕ j ( r ) =
ϕ ( r ) = Q jϕ j ( r )
G G
4π r − rj
Man bestimmt nun die Ladungen Qj. Die Elektrodenladung ergibt sich als Summe aller
Bildladungen innerhalb der Elektrode.
Grundgleichungen
Es wird homogenes, lineares sowie isotropes Material ohne feste Polarisation vorausgesetzt.
G G
G
• rot ( E ) = 0 ⇒ E = − grad (ϕ )
G
ρ
• div ( E ) =
ε
•
Poisson-Gleichung: ∆ϕ = −
ρ0
ε
Gleichstrom
Merke: Diese Beziehungen gelten nur im statischen Fall. Sie sind also unabhängig von der
Zeit t.
Der galvanische Strom
I=
∆Q
∆t
Leitfähigkeit σ und Stromdichte J
Für metallische Leiter und für eine Reihe weiterer Stoffe gilt das Ohm’sche Gesetz:
G
G
J =σE
Weiter gilt:
G G
J
w
∫∫ ⋅ dF = 0
∂V
G G
J
v∫ ⋅ dl = 0
Γ0
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Merke: An Grenzflächen kann die Stromdichte nicht springen, sondern muss zwangsläufig
stetig sein.
Stromdichte J und Strombelag α
Strombelag α
G I G
α = ⋅ en
L
Stromdichte J
G I G
J = ⋅ en
F
F
L
I
en
I
en
Trick: Felder von sehr dünnen Folien und Grenzschichten können durch die Superposition
von parallelen Einzelströmen elegant gelöst werden.
Leistung P und Leistungsdichte pj
P=
∆W = UI ∆t = ∆QU
pj =
G2
∆W G G 1 G 2
= E⋅J = J =σ E
V ∆t
σ
∆W
= UI
∆t
P = ∫∫∫ p j dV
V
Widerstand R
Nach dem Ohm’schen Gesetz gilt:
U
R=
I
Daraus folgt:
G G
P
1
R = 2 = 2 ∫∫∫ J ⋅ EdV
I
I V
Superposition von Leitern
Gegeben sei der Querschnitt eines Rundleiters:
Nur der grau schattierte Teil der Querschnittsfläche wird vom Strom durchflossen. In
den weissen Kreisflächen fliesst kein Strom. Das E- und H-Feld ist hier aber nicht null,
sondern konstant.
Die Berechnung der E- und H-Felder kann wesentlich vereinfacht werden, wenn dieser Leiter
als Superposition von Rundleitern aufgefasst wird. Es gilt dann:
=
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J
+
-J
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+ -J
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Man muss nun lediglich die E- und H-Felder der einzelnen Leiter bestimmen. Die
Superposition der E- und H-Felder der einzelnen Leiter ergibt das resultierende E- und HFeld.
Grundgleichungen
Es wird homogenes, lineares und isotropes Material voraugesetzt.
G G
G
• rot ( J ) = 0 ⇒ J = −σ grad (ϕ )
G
G
G
• div ( J ) = 0 ⇒ J = rot ( H )
G G
• Poisson-Gleichungen: ∆J = 0 , ∆ϕ = 0
Magnetostatik
Man beachte die Analogie zur Elektrostatik.1
Analogon zum Coulomb’schen Gesetz
G
pp G
mit der Polstärke p
F j = i j 2 e ji
4πµ0 r
Mit dem Superpositionsprinzip gilt:
G G
G
p0 N p j ( r0 − rj )
F0 =
∑
4πµ0 j =1 rG0 − rGj 3
Merke: Es gibt keine magnetischen Monopole! Es handelt sich hier nur um eine
Modellvorstellung.
Magnetische
Feldstärke H
G
G
G G
F (r )
p G
H (r ) =
er
=
4πµ0 r 2
p
Mit dem Superpositionsprinzip gilt:
G G
G G
1 N p j ( r − rj )
H (r ) =
∑
4πµ0 j =1 rG − rGj 3
Magnetisches
Dipolmoment
G
G
m = pd
+p
m
-p
1
p bezeichnet hier die magnetische Polstärke; nicht zu verwechseln mit dem elektrischen Dipolmoment in der
Elektrostatik.
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Magnetisierung, magnetische Polarisation Pm
•
•
G
 1
Allgemein: M = lim 
∆V →0 ∆V

G
G
G G
M = M 0 + M v (H )
G 
j

∑m
j
•
G
G
An Materie gebundene magnetische Raumladungsdichte: ρ m , geb ( r ) = − µ0div ( M )
G G
G
Weiter gilt nach Gauss: − w
∫∫ µ0 M ⋅ dF = ∫∫∫ − µ0div( M )dV = ∫∫∫ ρm,gebdV
•
JJG
G
Pm = µ0 M
•
∂V
V
V
Magnetische Induktion
und magnetische Flussdichte B
G
G
•
•
Magnetisierung: M = χ m H
mit der magnetischen Suszeptibilität χm
relative Permeabilität: µ r = 1 + χ m
•
•
Permeabilität: µ = µ0 µ r
totale magnetische Ladungsdichte: ρ m ,tot = ρ m , geb
Die totale magnetische Ladungsdichte entspricht der gebundenen magnetischen
Ladungsdichte.
Merke: Es gibt keine freien magnetischen Ladungen! ρ m , frei = 0
•
•
magnetische
G
G Induktion:
G
G
G
G
G
G
B = µ0 ( H + M ) = µ0 H + µ0 χ m H = µ0 ⋅ (1 + χ m ) ⋅ H = µ0 ⋅ µ r ⋅ H = µ H
Für die totale magnetische Raumladungsdichte gilt:
G G 1
1
B
w
∫∫ ⋅ dF = ∫∫∫ ρm,tot dV = ∫∫∫ ρm,gebdV
µ0
∂V
V
µ0
V
Merke: Ist die gebundene magnetische Ladungsdichte null, dann gilt:
G G
Begründung: ρ m , geb = 0
w
∫∫ B ⋅ dF = 0
∂V
Anmerkung: Es wird hier immer homogen, linear, isotropes Material vorausgesetzt.
Einteilung der magnetischen Stoffe
•
•
ferromagnetische Stoffe: µ r ≈ 102...106
paramagnetische Stoffe: µ r > 1
•
diamagnetische Stoffe: µ r < 1
Gesetz von Biot-Savart: Wirkung des elektrischen Stromes
Stromschleife:G
G G
G G
I dl '× ( r − r ')
H (r ) =
∫S rG − rG ' 3
4π v
JJG
G
G
I dl × ∆r
dH =
G
4π ∆r 3
Stephan Senn, D-ITET
allgemeine Form:
G G
G G
G G
I
J ( r ) × ( r − r ')
H (r ) =
dV '
G G 3
4π ∫∫∫
r −r'
V'
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dl
r-r’
Durchflutungsgesetz
G
G
G
G
v∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dF
∂F
F
Lorentz-Kraft
JJG G
JJG G
G
dF = µ0 ⋅ ( I dl × H 0 ) = I dl × B0
G
G G
F = q( v × B )
dl
B
Merke: Man benutze die rechte Hand. Der Daumen zeigt in die Richtung des Stromes und
die Finger zeigen in Richtung des B- bzw. H-Feldes.
Feldprobleme
mit Permanentmagneten
G
G
•
•
rot ( H ) = J 0
G
G
div ( H ) = − div ( M 0 )
Grundgleichungen
Es wird hGomogenes
, lineares und isotropes Material ohne feste Magnetisierung vorausgesetzt.
G
• rot ( H ) = J 0
G
G
G 1
• div ( H ) = 0 ⇒ H = rot ( A)
µ
G
• Coulomb-Eichung: div ( A) = 0
G
G
• Poisson-Gleichung: ∆A = − µ J 0
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Analogie der Strömungsfelder
Merkmal:
Kenngrössen
Fluss
In der Elektrostatik:
J E σ
Elektrischer Fluss, Strom:
G G
I = ∫∫ J ⋅ dF
In der Magnetostatik:
B H µ
Magnetischer Fluss:
G G
Φ = ∫∫ B ⋅ dF
Spannung
Elektrische Spannung:
G G
U = ∫ E ⋅ dl
Magnetische Spannung:
G G
Θ = ∫ H ⋅ dl
Elektrischer Widerstand:
U
R=
I
G
G
J =σE
G G
G G
J
⋅
dF
=
E
0
w
∫∫
v∫ ⋅ dl = 0
Magnetischer Widerstand:
Θ
Rm =
Φ
G
G
B = µH
G G
G G
B
⋅
dF
=
0
B
w
∫∫
v∫ ⋅ dl = 0
F
Γ
Widerstand
Ohm’sches Gesetz
Homogenes,
lineares, isotropes
Material
∂V
F
Γ
Γ
∂V
Γ
kein elektr. Stromfluss durch das Material!
Anmerkung: Oft wird der magnetische Fluss in einen Nutzfluss Φ (eigentlicher Fluss) und
einem Streufluss ΦS (Leckfluss) aufgeteilt.
Merke: In der Magnetostatik kann mit den Grössen Fluss, Spannung und Widerstand genau
gleich gearbeitet werden wie in der Elektrostatik. Insbesondere können auch hier
Ersatzschaltbilder gezeichnet werden. Maschen- und Knotenregel sind ebenfalls
gültig.
Materialgleichungen
Grundgleichungen
εG, µ, σ GsindG Materialparameter,
G
G
G die im allgemeinen auch komplex sein können. Es gilt:
mit µ ≠ µ0 ∧ ε > ε 0 , µ = µ r µ0 , ε = ε rε 0
D = ε E + P B = µH + µM
G
G
J =σE
mit σ ≥ 0
Die Leitfähigkeit σ ist meist linear vom E-Feld abhängig und richtungsunabhängig (isotrop).
Homogenes / Inhomogenes Material
Bei homogenem Material ist die Permettivität ε, die Permeabilität µ sowie die Leitfähigkeit
nicht vom Ort abhängig, sondern überall konstant. Bei Ortsabhängigkeit spricht man von
inhomogenem Material. Es gilt also:
• Homogenes Material: ε r = const , µ r = const , σ = const
G
G
G
• Inhomogenes Material: ε r = ε r ( r ) , µ r = µ r ( r ) , σ = σ ( r )
Lineares / Nichtlineares Material
Bei linearem Material ist die Polarisation P sowie die Magnetisierung M linear vom E- bzw.
H-Feld abhängig. Die Leitfähigkeit σ ist linear vom E-Feld abhängig. Im anderen Fall spricht
man von nichtlinearem Material.
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•
•
LGineares Material
:G
G
G G
G
G
G
G
G
P = ε0χeE
D = ε 0 E + P = ε 0 E + ε 0 χ e E = ε 0 ⋅ (1 + χ e ) ⋅ E = ε 0 ⋅ ε r ⋅ E = ε E
G
G
G
G G
G
G
G
G
G
M = χmH
B = µ0 ( H + M ) = µ0 H + µ0 χ m H = µ0 ⋅ (1 + χ m ) ⋅ H = µ0 ⋅ µ r ⋅ H = µ H
G
G
J =σE
NGichtlineares
G G
G G G Material:
D = Eε 0 + P
P = P( E , H )
G
G G G
G G
M = M (E, H )
B = µ0 ( H + M )
G
G
J ≠σE
Isotropes / Anisotropes Material
Bei isotropem Material ist die Permettivität ε, die Permeabilität µ und die Leitfähigkeit σ
nicht von der Richtung abhängig. Bei Richtungsabhängigkeit spricht man von anisotropem
Material. Die Beschreibung der Permettivität, der Leitfähigkeit sowie der Permeabilität
erfordert dann einen Tensor, der meist Diagonalgestalt aufweist.
• Isotropes Material: ε r = const , µ r = const
•
 ε11
ε r =  ε 21
ε
 31
 σ 11
I 
σ r =  σ 21
σ
 31
I
Anisotropes Material:
ε12 ε13 
 µ11 µ12 µ13 
I 

ε 22 ε 23  , µ r =  µ21 µ22 µ23  `,
µ

ε 32 ε 33 
 31 µ32 µ33 
σ 12 σ 13 
σ 22 σ 23 
σ 32 σ 33 
Tensoren!
Zeitvariable Magnetfelder
Induktionsgesetz
Ene ist eine ‚nichtelektromagnetische’ Feldstärke, also eine elektrodynamische Grösse. Es gilt:
G
G
G G
G G
d
d
mit
Φ
=
B
E
dl
B
dF
⋅
=
−
⋅
=
−
Φ
∫∫F ⋅ dF
v∫ ne
dt ∫∫
dt
∂F
F
Induktivität L
Φ = L⋅ I
JJG G G
G G
µ dl ' × ( r − r ')
B( r , t ) = I (t ) ⋅
∫F rG − rG ' 3
4π ∂v
JJG
G
G
µ dl ' × ∆r
dB = I (t ) ⋅
G
4π ∆r 3
L=
1 G G
B ⋅ dF
I ∫∫
F
Energie in einer stromdurchflossenen Spule
Φ
Φ
Φ 2 Φ I LI 2
W = ∫ dW = ∫ I (Φ ) ⋅ d Φ = ∫ ⋅ d Φ =
=
=
L
2L
2
2
0
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Induktive Spannung und induktiver Strom
EMK = U ind = −
I ind =
dΦ
dI
= −L
dt
dt
U = − EMK
G G
G G
H
⋅
dl
=
J
∫∫ ⋅ dF
v∫
EMK
R
∂F
F
Lenz’sche Regel oder Vorzeichenkonvention
Die Richtung der induzierten Spannung Uind und des induzierten Stromes Iind ist so gerichtet,
dass das durch den induzierten Strom erzeugte B-Feld dem äusseren B-Feld entgegenwirkt.
Selbstinduktion
Die Induktion in der felderzeugenden Stromschleife selbst heisst Selbstinduktion. Nach der
Lenz’schen Regel ist der zusätzliche induzierte Strom immer gegen die Änderung des
ursprünglichen Stromes gerichtet.
Gegeninduktivität
Sind zwei Leiterschleifen derart zueinander positioniert, dass ein Strom in der einen Schleife
einen Strom in der anderen induzieren kann, so sprechen wir von Gegeninduktivität. Dabei
gelten folgende Gesetze:
dI
dI
dI
dI
U i = Li i + M ij j
U j = L j j + M ji i
M ij = M ji
dt
dt
dt
dt
Li, Lj: Selbstinduktivitäten
Mij, Mji: Gegeninduktivitäten
Phasordarstellung
Es gilt:
A(t ) = Aˆ cos(ω t + ϕ ) = Aˆ [cos(ω t ) cos(ϕ ) − sin(ω t )sin(ϕ )]
A(t ) = Aˆ cos(ϕ ) cos(ω t ) + ( − Aˆ sin(ϕ )) sin(ω t ) = AˆC cos(ω t ) + Aˆ S sin(ω t )
A(t ) = ℜ{ A ⋅ e jωt }
Damit gilt:
AC = Aˆ cos(ω t ) = ℜ{ A}
A = − Aˆ sin(ω t ) = −ℑ{ A}
 = A
ϕ = arg( A)
C
Allgemein gilt dann:
• bei normalen Zeitfunktionen: u(t ) = ℜ{U ⋅ e jω t }
•
G G
G G
bei Zeitfunktionen in Vektorform: E ( r , t ) = ℜ E ( r ) ⋅ e jω t
{
}
G
 ℜ{E x ( r ) ⋅ e jω t }


G
=  ℜ{E y ( r ) ⋅ e jω t }


 ℜ{E z ( rG ) ⋅ e jω t } 


Für Ableitungen nach der Zeit t gilt:
G G
∂ G G
E ( r , t ) ⇔ jω E ( r )
∂t
Stephan Senn, D-ITET
-13-
28.08.2004
Maxwell-Gleichungen
In Integralform
•
•
G
G
G G
d
B ⋅ dF
∫∫
dt F
∂F
G G
G G d
G G
G G
G
G
H
dl
J
dF
D
dF
J
dF
J
dF
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
∫∫F
∫∫F
∫∫F V
v∫
dt ∫∫
∂F
F
v∫ E ⋅ dl
=−
G
d G
mit J V = D
dt
JV wird Verschiebungsstromdichte genannt.
•
G G
D
w
∫∫ ⋅ dF = ∫∫∫ ρ dV
∂V
•
G G
w
∫∫ B ⋅ dF = 0
V
∂V
In Differentialform
•
•
•
•
G G
∂ G G
rot ( E ( r , t )) = − B( r , t )
∂t
G G
G G
G G
G G
∂ G G
rot ( H ( r , t )) = J ( r , t ) + D ( r , t ) = J ( r , t ) + J V ( r , t )
∂t
G G
G
div ( D ( r , t )) = ρ ( r , t )
G G
div ( B( r , t )) = 0
G
d G
mit J V = D
dt
Maxwell-Gleichungen in Phasordarstellung
In Integralform
•
G G
G G
E
⋅
dl
=
−
j
ω
B
∫∫ ⋅ dF
v∫
∂F
•
F
G G
G G
G G
G G
G
G
v∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dF + jω ∫∫ D ⋅ dF = ∫∫ J ⋅ dF + ∫∫ JV ⋅ dF
∂F
F
F
F
G
G
mit J V = jω D
F
JV wird Verschiebungsstromdichte genannt.
•
G G
D
w
∫∫ ⋅ dF = ∫∫∫ ρ dV
∂V
•
V
G G
B
w
∫∫ ⋅ dF = 0
∂V
In DiffeG rentialform
G
•
•
•
•
G
G
rot ( E ( r )) = − jω B( r )
G G
G G
G G
G G
G G
rot ( H ( r )) = J ( r ) + jω D ( r ) = J ( r ) + J V ( r )
G G
G
div ( D ( r )) = ρ ( r )
G G
div ( B( r )) = 0
Stephan Senn, D-ITET
-14-
G
G
mit J V = jω D
28.08.2004
Grenzbedingungen
Die folgenden Beziehungen gelten auch im stationären Fall in Phasordarstellung.
Allgemeiner
Fall: keine idealen Leiter, keine Grenzfolien
G
G
G
•
•
EiT − EkT = 0
G
G
G
H iT − H kT = 0
•
Din − Dkn = ς
•
J in − J kn = −
•
Bin − Bkn = 0
•
J in +
notwendige Bedingungen!
∂ς
∂t
∂Din 
∂D 
−  J kn + kn  = 0
∂t 
∂t 
Spezialfall:
ideale Leiter, Grenzfolien
G
G
•
•
EiT = 0
notwendige Bedingung!
G
G G
G G G
H iT = a × en ⇒ a = en × H iT
•
Din = ς
•
G ∂ς
J in = −divF (α ) −
∂t
•
•
1
G
G G G 
divF (α ) = lim  ⋅ v
α
⋅ ( dl × en ) 
F →0 F ∫
∂F


Bin = 0
G
∂D
J in + in = − divF (α )
∂t
Potentiale des elektromagnetischen Feldes
Die Potentiale A und
G ϕ genügen folgenden Beziehungen:
G
G
G
∂A
E = − grad (ϕ ) −
und
B = rot ( A)
∂t
Die Bildung dieser Potentiale beruht auf folgenden Grundüberlegungen:
G G
G
G G
G
G
und
div ( w) = 0 ⇒ w = rot ( a )
rot ( v ) = 0 ⇒ v = grad ( s )
Die Wellengleichung
Form der homogenen
Wellengleichung
G
G
G G
∂ 2 F (r , t )
∆F ( r , t ) = c ⋅
∂t 2
Allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung
Die Lösung wird mittels Separationsansatz gefunden. (siehe Analysis III!)
GG
G
G G
F ( r , t ) = ℜ C ⋅ e j⋅(ω t −kr )
mit der Kreisfrequenz ω und dem Wellenvektor k
{
Stephan Senn, D-ITET
}
-15-
28.08.2004
Lösung inhomogener Wellengleichungen
Die Lösung wird in einen homogenen und einen inhomogenen Teil aufgespalten. Das
Problem besteht dann in der Lösung der homogenen Wellengleichung und dem
anschliessenden Lösen der Partikulärlösung, was im allgemeinen nicht einfach ist.
Die Wellengleichungen
in der Elektrodynamik
G
•
•
G
∂2E
∆E = µ0ε 0 2
∂t
G
G
∂2H
∆H = µ0ε 0 2
∂t
Überprüfung der Ergebnisse auf ihren physikalischen Sachverhalt
Auch wenn die einzelnen Wellengleichungen mit ihren Randbedingungen erfüllt sind, so ist
dies keine notwendige Bedingung, dass eine Lösung für das physikalische Problem existiert.
Erst die Koppelung der Ergebnisse sagt aus, ob der physikalische Sachverhalt stimmt. Dieses
Mysterium rührt von der anfänglichen Entkoppelung her, die zwar den Sachverhalt massiv
vereinfacht, jedoch bei der sich auch Fehler einschleichen können. Somit müssen die
Lösungen der Wellengleichungen mittels Koppelung auf ihre Richtigkeit überprüft werden.
Lösung der homogenen Wellengleichungen in der Elektrodynamik
Die Lösung im Vakuum ist eine ebene Welle. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass sie linear
polarisiert ist und dass sie keine Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung besitzt. Zudem
steht das H- und das E-Feld normal zueinander. Es gilt also:
GG
GG
G G
G
G G
G
E ( r , t ) = ℜ E0 ⋅ e j⋅(ω t −kr )
H ( r , t ) = ℜ H 0 ⋅ e j⋅(ω t −kr )
und
{
}
{
Mit den Bedingungen:
G G
G
1 G G
H0 =
( k × E0 )
E0 ⋅ k = 0
ωµ0
}
G G
k ⋅ k = ω 2 µ0ε 0 = k0 2
Der Wellenwiderstand (oder Wellenimpedanz genannt) lautet:
G
E0
µ0
Z= G =
ε0
H0
Der stationäre Zustand
Der stationäre Zustand ist dadurch ausgezeichnet, dass nach Voraussetzung alle Feldgrössen
sinusförmig mit der Kreisfrequenz ω von der Zeit abhängen. Zur Beschreibung eignet sich
daher besonders die Phasorendarstellung. Die Maxwell-Gleichungen sowie die
Grenzbedingungen können vorbehaltlos übernommen werden. Man beachte, dass zur
Beschreibung der Felder komplexe Grössen, also Phasoren, verwendet werden. Man beachte
ausserdem die Vereinfachung:
G j (ω t −krGG )
G
GG
G
G
∂ B ∂ B0 ⋅ e
=
= jω B0 ⋅ e j (ω t −kr ) = jω B
∂t
∂t
(
)
Stephan Senn, D-ITET
(
)
-16-
28.08.2004
Wellenverhalten
•
•
•
•
Wellengleichungen:

∂2  G G
2
∆
+
ω
µε
c

E = 0
∂t 2 


σ
∂2  G G
2
mit ε c = ε − j
∆
+
ω
µε
H =0
c

2 
ω
∂t 

Allgemeine Lösungen
der Wellengleichungen:
stationärer Fall t=0
G G
G − jkrGG G G
G − jkrGG
E ( r ) = E0 ⋅ e
H (r ) = H 0 ⋅ e
Wellenvektor bzw. Wellenzahl:
k 2 = ω 2 µε c = ω 2 µε − jωσ = ωµ (ωε − jσ )
k = β − jα
Dämpfungskonstante α und Phasenkonstante β:
β =ω
µε
2
2
σ 

 +1 +1
 ωε 
α =ω
µε
2
2
σ 

 +1 −1
 ωε 
Praktische Abschätzungen
•
Vergleichswellenlänge:
2π
2π
Approximation bei σ ωε
≈
λ=
β
ω µε
Wenn die Abmessungen des Feldgebiets sehr viel kleiner sind als die
Vergleichswellenlängen, können diese als unendlich gross angenommen werden, und man
kann das Problem als statisches betrachten.
•
Eindringtiefe (Skintiefe):
1
2
δ= ≈
Approximation bei σ ωε
α
ωµσ
Die Eindringtiefe sagt aus, wie weit die elektromagn. Wellen in das Material eindringen.
Bei grosser Dämpfung resultiert eine sehr geringe Eindringtiefe, während bei schwacher
Dämpfung die Wellen fast ungehindert das Material passieren.
Quasistatische Situation
Eine Situation heisst quasistatisch im Volumen V, wenn das Feld innerhalb von V mit guter
Näherung genau gleich wie in der Statik berechnet werden kann.
Gesamtenergien im statischen Fall
GQ ist das Quellgebiet.
•
•
1
ϕρ dV
2 ∫∫∫
GQ
G G
1
Magnetische Energie: Wm = ∫∫∫ J ⋅ AdV
2 GQ
Elektrische Energie: We =
G
G I
G G
I G G I
A
dl
rot
A
dF
B
⋅
=
(
)
⋅
=
⋅ dF
∫
2v
2 ∫∫
2 ∫∫
D
FD
FD
G G
I = J ⋅ dFQ
Für einen dünnen Draht gilt speziell: Wm =
D: Drahtschleife
FD: Flächeninhalt der Schleife
Stephan Senn, D-ITET
-17-
28.08.2004
Energie und Leistung im elektromagnetischen
Feld
Energiedichtefeld
W

G
w( r , t ) = lim  elmag 
V →0
 V 
Poynting’sches Energiekonzept
•
•
•
•
Totale Energiedichte: w = we + wm
1 G G
D⋅E
2
1 G G
Magnetische Energiedichte: wm = B ⋅ H
2
G G G
Poynting-Vektor: S = E × H
Elektrische Energiedichte: we =
Poynting-Theorem
Allgemein gilt:
G G
∂
wdV
pdV
S
=
−
−
⋅ dF
∫∫∫
w
∫∫
∂t ∫∫∫
V
V
∂V
G G
 ∂w

−w
+ p j + pelek + pmag  dV
S ⋅ dF = ∫∫∫ 
∫∫
∂t

∂V
V 
G
G
G
G
G G
1  G ∂P G ∂E 
µ0  G ∂M G ∂H 
pj = J ⋅ E
pelek =  E ⋅
pmag =
− P⋅
−M⋅

H ⋅

∂t
∂t 
2 
∂t
∂t 
2
Energieumwandlungsraten
pelek: Leistungsdichte des elekt. Feldes
pmag: Leistungsdichte de magnet. Feldes
pj: Joule’sche Leistungsdichte
Für homogen, linear, isotropes Material gilt:
G
G
G G
G ∂H
G G
 G ∂E
S ⋅ dF = ∫∫∫  ε E ⋅
−w
+ µH ⋅
+ σ E ⋅ E  dV mit pelek=0 und pmag=0
∫∫
∂t
∂t

∂V
V 
Energieaustausch mit der Umgebung
G G
P = −w
S
∫∫ ⋅ dF
∂V
Vorzeichenkonvention:
Stephan Senn, D-ITET
P > 0 : Das Volumen V nimmt Leistung auf.
P < 0 : Das Volumen V gibt Leistung ab.
-18-
28.08.2004
Das komplexe Poynting-Theorem (Phasordarstellung)
(
)
G G 1 G G
G~ G 1 G G
G G
G* G
S (r ) = E (r ) × H (r )
S (r ) = E (r ) × H (r )
2
2
G G
G G * * G G*
G G*
*
−w
∫∫ S ⋅ dF = ∫∫∫ jω µ H H − ε E E + σ E E dV
∂V
( (
V
(
)
)
)
G~ G
G G
GG
GG
−w
∫∫ S ⋅ dF = ∫∫∫ jω µ H H − ε E E + σ E E dV
∂V
( (
)
)
V
Zeitlicher Mittelwert für pj, we und wm
G G*
G G*
EE
HH
we 0 = ε
wm 0 = µ
4
4
G G*
EE
p j0 = σ
4
Zeitlicher Mittelwert für S
G G
−w
S
∫∫ ⋅ dF = ∫∫∫ ( 2 jω ( wm0 − we0 ) + p j 0 ) dV
∂V
V
Schein-, Wirk- und Blindleistung für sinusoidale Zeitfunktionen
Uˆ ⋅ Iˆ
cos(φ ) = U eff I eff cos(φ )
2
Uˆ ⋅ Iˆ
• Blindleistung: Q =
sin(φ ) = U eff I eff sin(φ )
2
Uˆ ⋅ Iˆ
= U eff I eff = P0 2 + Q 2
• Scheinleistung: P ~ =
2
ˆ
ˆ
U
I
Es gilt: U eff =
, I eff =
2
2
•
Wirkleistung: P0 =
Scheinleistung
P
~
P0
Wirkleistung
Q
Blindleistung
In Phasorschreibweise gilt:
1
1
• Wirkleistung: P0 = ℜ{U ⋅ I * } = ℜ{U * ⋅ I }
2
2
1
1
• Blindleistung: Q = ℑ{U ⋅ I * } = − ℑ{U * ⋅ I }
2
2
1
1
1
1
• Scheinleistung: P ~ = U ⋅ I = U ⋅ I * = U * ⋅ I = U I
2
2
2
2
Zweipolparameter und Felder
Zustandsgrösse U
•
n
G G n
G G
U = ∫ E ⋅ dl = ∑U i = ∑ ∫ E ⋅ dl
Γ
i =1
i =1 Γi
•
G G
G G
d
dΦ
E
v∂∫F ⋅ dl = − dt ∫∫F B ⋅ dF = − dt = −Uind
•
Maschenregel: U ind + ∑U i = 0
n
i=1
Stephan Senn, D-ITET
-19-
28.08.2004
Zustandsgrösse I
•
•
G
 G ∂D  G
I = ∫∫  J +
 ⋅ dF
∂t 
F 
G G
I=v
H
∫ ⋅ dl
∂F
•
G
 G ∂D  G n
Knotenregel: I = w
J +
 ⋅ dF = ∑ I i = 0
∫∫
∂t 
i =1
∂V 
Zustandsgrösse P
•
G G
G G
G
G
G n
P = U ⋅ I = −w
S
⋅
dF
=
−
E
×
H
⋅
dF
=
grad
(
ϕ
)
×
H
⋅
dF
= ∑U i ⋅ I i
∫∫
∫∫
∫∫
w
w
(
∂V
)
(
∂V
Kenngrösse C
•
•
)
∂V
unendlich grosses Integrationsgebiet: C =
beschränktes Integrationsgebiet: C =
1
U2
1
U2
i =1
G G
D
∫∫∫ ⋅ EdV
V∞
∫∫∫ ϕρ dV =
GQ
1
U2
G G
G G

D
dF
ϕ
D
⋅  ϕ1 w
⋅
+
⋅ dF 
2
∫∫
w
∫∫
∂Elek 2
 ∂Elek 1

G G Q
1
⋅ w
D
∫∫ 1 ⋅ dF = U
U ∂Elek
Merke: Anstatt über das ganze Gebiet zu integrieren, genügt es oft nur das Quellgebiet
zu betrachten und über dieses zu integrieren.
C=
Kenngrösse L
•
•
G G
1
B
⋅ HdV
I 2 ∫∫∫
V∞
G G
1
beschränktes Integrationsgebiet: L = 2 ∫∫∫ J ⋅ AdV
I GQ
unendlich grosses Integrationsgebiet: L =
Merke: Anstatt über das ganze Gebiet zu integrieren, genügt es oft nur das Quellgebiet
zu betrachten und über dieses zu integrieren.
•
In dünnen Drähten gilt: L =
1 G G 1 G G Φ
∫D A ⋅ dl = I ∫∫F B ⋅ dF = I
Iv
D
D: Drahtschleife FD: Flächeninhalt der Schleife
Kenngrösse R
•
R=
1
I2
G G
∫∫∫ J ⋅ EdV
V
Stephan Senn, D-ITET
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28.08.2004
Anhang
Vektoranalysis
Nabla-Operator
Rotation2
 ∂ 
 ∂x 
 
G  ∂ 
∇=
 ∂y 
 
 ∂ 
 
 ∂z 
 ∂Fz ∂Fy 
 ∂y − ∂z 


G G  ∂Fx ∂Fz 
G
−
rot ( F ) = ∇ × F = 
∂z
∂x 


 ∂Fy ∂Fx 
 ∂x − ∂y 


Gradient
Divergenz
 ∂φ 
 ∂x 
 
∂φ
grad (φ ) =  
 ∂y 
 
 ∂φ 
 
 ∂z 
G
∂F ∂F ∂F
div ( F ) = x + y + z
∂x
∂y
∂z
Laplace-Operator
G G
∆s = div ( grad ( s )) = ∇ ⋅ ∇( s )
G
G
G
∆v = grad ( div ( v )) − rot ( rot ( v ))
G
ex
G
ey
G
ez
G
∂
rot ( F ) =
∂x
Fx
∂
∂y
Fy
∂
∂z
Fz
operiert auf Skalarfeldern
operiert auf Vektorfeldern
Vektorprodukt
 a x   bx   a y bz − a z by 
G G     

a × b =  a y  ×  by  =  a z bx − a x bz 
a  b  a b − a b 
y x
 z  z  x y
Rechenregeln für Divergenzen
A und B sind Vektorfelder, φ ist ein Skalarfeld, a ist ein konstanter Vektor und c eine
Konstante:
G
• div ( a ) = 0
G
G
G
• div (φ A) = grad (φ ) ⋅ A + φ ⋅ div ( A)
G
G
• div ( cA) = c ⋅ div( A)
G G
G
G
• div ( A + B ) = div ( A) + div ( B )
G G
G
• div ( A + a ) = div ( A)
Rechenregeln für Rotationen
A und B sind Vektorfelder, φ ist ein Skalarfeld, a ist ein konstanter Vektor und c eine
Konstante:
2
Oft wird rot(.) auch mit curl(.) abgekürzt.
Stephan Senn, D-ITET
-21-
28.08.2004
•
•
•
•
•
G
rot ( a ) = 0
G
G
G
rot (φ A) = grad (φ ) × A + φ ⋅ rot ( A)
G
G
rot ( cA) = c ⋅ rot ( A)
G G
G
G
rot ( A + B ) = rot ( A) + rot ( B )
G G
G
rot ( A + a ) = rot ( A)
Rechenregeln für Gradienten
φ und ψ sind Skalarfelder, c ist eine Konstante:
• grad ( c ) = 0
• grad (φψ ) = φ ⋅ grad (ψ ) + grad (φ ) ⋅ψ
• grad (cφ ) = c ⋅ grad (φ )
• grad (φ + ψ ) = grad (φ ) + grad (ψ )
• grad (φ + c) = grad (φ )
Satz von Gauss
G G
G
w
∫∫ v ⋅ dF = ∫∫∫ div(v )dV
∂V
V
bzw.
G G
G
v
v∫ ⋅ dl = ∫∫ div(v )dF
∂F
F
Satz von Stokes
G G
G G
v
⋅
dl
=
rot
(
v
) ⋅dF
∫∫
v∫
∂F
F
Spezielle Vektorfelder
G
• Quellenfreies Vektorfeld: div ( F ) = 0
G
G
G
div ( F ) = 0 ⇔ F = rot ( E )
E ist das Vektorpotentialfeld.
G G
• Wirbelfreies Vektorfeld: rot ( F ) = 0
G G
G
rot ( F ) = 0 ⇔ F = grad (φ )
φ ist das Potential.
G G
G
• Quellen- und wirbelfreies Feld: div ( F ) = 0 , rot ( F ) = 0
∆φ = 0
Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Polar-, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
In Polarkoordinaten:
•
•
•
•
∂φ G 1 ∂φ G
er + ⋅
eϕ
r ∂ϕ
∂r
G
1 ∂ ( r ⋅ Fr ) 1 ∂Fϕ
+ ⋅
div ( F ( r, ϕ )) = ⋅
∂r
r
r ∂ϕ
G
 1 ∂ ( r ⋅ Fϕ ) 1 ∂Fr  G
rot ( F ( r , ϕ )) =  ⋅
− ⋅
⋅ ez
∂r
r ∂ϕ 
r
∂ 2φ 1 ∂φ 1 ∂ 2φ
∆φ ( r, ϕ ) = 2 + ⋅
+ ⋅
∂r
r ∂r r 2 ∂ϕ 2
grad (φ ( r, ϕ )) =
Stephan Senn, D-ITET
-22-
Nur z-Koordinate!
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In Zylinderkoordinaten:
•
•
•
•
∂φ G
1 ∂φ G ∂φ G
eρ + ⋅
e +
e
∂ρ
ρ ∂ϕ ϕ ∂z z
G
1 ∂ ( ρ ⋅ Fρ ) 1 ∂Fϕ ∂Fz
+ ⋅
+
div ( F ( ρ , ϕ , z )) = ⋅
ρ
ρ ∂ϕ ∂z
∂ρ
G
 1 ∂F ∂F  G  ∂F ∂F  G
1  ∂ ( ρ ⋅ Fϕ ) ∂Fρ
−
rot ( F ( ρ , ϕ , z )) =  ⋅ z − ϕ  ⋅ eρ +  ρ − z  ⋅ eϕ + 
∂z 
∂ρ 
∂ϕ
ρ  ∂ρ
 ρ ∂ϕ
 ∂z
2
2
1 ∂  ∂φ  1 ∂ φ ∂ φ
∆φ ( ρ , ϕ , z ) = ⋅
ρ⋅
+
⋅
+
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
grad (φ ( ρ , ϕ , z )) =
 G
 ⋅ ez

In Kugelkoordinaten:
•
•
•
•
∂φ G 1 ∂φ G
1
∂φ G
er + ⋅
eϑ +
eϕ
⋅
r ∂ϑ
r ⋅ sin(ϑ ) ∂ϕ
∂r
G
 ∂ (sin(ϑ ) ⋅ Fϑ ) ∂Fϕ 
1 ∂ ( r 2 ⋅ Fr )
1
div ( F ( r,ϑ , ϕ )) = 2 ⋅
+
⋅
+
r
∂r
r ⋅ sin(ϑ ) 
∂ϑ
∂ϕ 
G

 ∂ (sin(ϑ ) ⋅ Fϕ ) ∂Fϑ   G
1
⋅
−
rot ( F ( r ,ϑ , ϕ )) = 
 ⋅ er + ...
∂ϑ
∂ϕ  
 r ⋅ sin(ϑ ) 
grad (φ ( r,ϑ , ϕ )) =

1
∂F 1 ∂ ( r ⋅ Fϕ )  G  1 ∂ ( r ⋅ Fϑ ) 1 ∂Fr  G
⋅ r− ⋅
⋅ eϑ +  ⋅
− ⋅
⋅ eϕ
... + 
∂r 
∂r
r ∂ϑ 
r
 r ⋅ sin(ϑ ) ∂ϕ r
∂φ 
∂ 
∂φ 
∂ 2φ 
1 ∂ 
1
1
∆φ ( r,ϑ , ϕ ) = 2 ⋅   r 2 ⋅  +
⋅
⋅
+
⋅
sin(
ϑ
)


∂r  sin(ϑ ) ∂ϑ 
∂ϑ  sin 2 (ϑ ) ∂ϕ 2 
r  ∂r 
Koordinatensysteme
Zylinderkoordinaten
G
G
G
er = cos(ϕ ) ⋅ ex + sin(ϕ ) ⋅ e y
G
G
G
eϕ = − sin(ϕ ) ⋅ ex + cos(ϕ ) ⋅ e y
G G
ez = ez
Kurvenelement
G
G
G
G
ds = drer + ( rdϕ )eϕ + dzez
Flächenelement
G
G
dF = rdϕ dzer
G
G
dF = drdzeϕ
G
G
dF = rdrdϕ ez
Volumenelement
dV = rdrdϕ dz
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Kugelkoordinaten
G
G
G
G
er = sin(ϑ ) ⋅ ( cos(ϕ ) ⋅ ex + sin(ϕ ) ⋅ e y ) + cos(ϑ ) ⋅ ez
G
G
G
G
eϑ = cos(ϑ ) ⋅ ( cos(ϕ ) ⋅ ex + sin(ϕ ) ⋅ e y ) − sin(ϑ ) ⋅ ez
G
G
G
eϕ = − sin(ϕ ) ⋅ ex + cos(ϕ ) ⋅ e y
Kurvenelement
G
G
G
G
ds = drer + ( rdϑ )eϑ + ( r sin(ϑ )dϕ )eϕ
Flächenelement
G
G
dF = r 2 sin(ϑ )dϑ dϕ er
G
G
dF = r sin(ϑ )drdϕ eϑ
G
G
dF = rdrdϑ eϕ
Volumenelement
dV = r 2 sin(ϑ )drdϑ dϕ
Einheiten
Elektrostatik:
 A
J =  2
m 
V 
U = [V ] , R =   = [Ω]
 A
 As 
P= 2
m 
 As 
D= 2
m 
V 
E= 
m
q = [ As ] , I = [ A]
 A
σ = 
Vm 
Elektrodynamik:
C 
C =   = [F ]
V 
Magnetostatik:
 Vs 
B =  2  = [T ]
m 
 A
Θ = [ A] , Rm =  
Vs 
 A
M = 
m
 A
H = 
m
p = [Vs ] , Φ = [Vs ]
Vs 
L =   = [H ]
 A
 J 
w =  3
m 
 J 
S= 2 
m s
Konstanten und Relationen
As
Vm
Vs
Vs
≈ 12.566 ⋅ 10−7
Am
Am
Dielektrizitätskonstante: ε 0 ≈ 8.854 ⋅ 10−12
Permeabilitätskonstante: µ0 = 4π ⋅ 10−7
Stephan Senn, D-ITET
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1T 104 Gauss
1
A
4π ⋅ 10−3 Orsted
m
c=
1
µ0ε 0
Quellenverzeichnis
Die Abbildungen und Inhalte sind den folgenden Quellen entnommen:
• Vorlesungsskript ‚Felder und Komponenten I’ von Dr. P. Leuchtmann und Prof. Dr. R.
Vahldieck
• Formelsammlung von Prof. Dr. F. Detlefsen (TU München)
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