Magnetfelder

Teil III
Magnetfelder
1
Kapitel 1
Ergänzungen zur
Vektorrechnung
Für die Berechnung von Magnetfeldern werden wieder Vektoren benötigt. Diesmal werden jedoch fast alle Berechnungen in R3 sein. Im Vergleich zu den elektrostatischen Feldern spielt zudem die Darstellung von Vektoren (und nicht nur
Punkten) in Zylinderkoordinaten eine viel größere Rolle. Desweiteren benötigen
wir jetzt das Vektorprodukt von Vektoren.
Wir beginnen zunächst mit einer Wiederholung zur Vektorrechnung mit kartesischen Koordinaten.
1.1
Wiederholung
Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem werden Vektoren in der
Form


vx
~v = vx · ~ex + vy · ~ey + vz · ~ez =  vy 
vz
dargestellt. Dabei sind ~ex , ~ey und ~ez die Basisvektoren vom kartesischen Koordinatensystem.
Der Betrag (Länge/Norm) von Vektoren wird wie folgt berechnet:
q
v = |~v | = vx2 + vy2 + vz2 .
Vektoren mit Betrag 1 werden als Einheitsvektoren oder normierte Vektoren
bezeichnet. Jedem Vektor ~v 6= ~0 ist der Einheitsvektor ~v 0 := ~v /|~v | zugeordnet.
Einfache Rechenoperationen sind Addition und Subtraktion, Multiplikation mit
Skalaren und Skalarprodukt:
~a ± ~b = (ax ± bx ) · ~ex + (ay ± by ) · ~ey + (az ± bz ) · ~ez ,
λ · ~a
~a · ~b
=
=
(λax ) · ~ex + (λay ) · ~ey + (λaz ) · ~ez ,
ax · b x + ay · b y + az · b z .
3
4
KAPITEL 1. ERGÄNZUNGEN ZUR VEKTORRECHNUNG
Für das Skalarprodukt gilt
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos(φ),
wobei φ der von den Vektoren eingeschlossene Winkel ist. Außerdem gelten das
Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz.
Beispiel 1.1.1. Es sei
~ ... die magnetische Feldstärke,
B
~ ... der Flächenvektor einer ebenen Fläche,
A
~
B
I I
I
~
A
6
I
φ
~ steht senkrecht auf der Fläche
d.h. der Vektor A
und sein Betrag entspricht dem Flächeninhalt.
~ ist ein Vektorfeld
Die magnetische Feldstärke B
~ homogen
und somit i.a. ortsabhängig. Ist aber B
(d.h. in jedem Punkt der Fläche gleich), so ist
~ ·A
~ = A · B · cos(φ)
Φ := B
der magnetische Fluss durch die Fläche A.
 
1
~ =  2  V s gegeben. Wir
Es sei eine homogene magnetische Feldstärke B
m2
4
wollen den magnetischen Fluß durch die Dreiecksfläche mit den Eckpunkten
P1 = (0, 0, 0),
P2 = (1m, 3m, 0m)
und
P3 = (6m, −2m, 0m)
berechnen.
~ ermitteln. Dazu benötigen wir den FlächenWir müssen zunächst den Vektor A
−−−→
−−−→
inhalt des Dreiecks. Dies ist hier jedoch einfach, weil P1 P2 und P1 P3 einen
rechten Winkel einschließen. Es ist also
√
√
−−−→ −−−→
A = 1/2 · |P1 P2 | · |P1 P3 | = 1/2 · 10m · 40m = 10m2 .
~ ist ein Vielfaches von
Außerdem liegt das Dreieck in der x − y–Ebene, d.h. A
~ = 10m2 · ~ez . Also ist
~ez . Wir erhalten somit den Flächenvektor A
 
 
1
0
V
s
~ ·A
~= 2 
 0  10m2 = 40V s.
Φ=B
·
m2
4
1
Aufgabe 1.1.1. An einem Körper greifen die folgenden Kräfte




 
1
−2
1
F~1 =  −4  N, F~2 =  1  N und F~3 =  0  N
5
−3
1
an. Geben Sie die Winkel zwischen der Gesamtkraft und den Vektoren ~ex , ~ey
und ~ez an.
1.2. KOORDINATENTRANSFORMATION
1.2
5
Koordinatentransformation
Im R3 haben wir drei wichtige Koordinatensysteme zur Darstellung von Punkten
kennengelernt - kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten. Die Ortsvektoren von Punkten waren wie folgt gegeben:


x
Kartesische Koordinaten (x, y, z): ~r(P ) =  y 
 z

ρ cos(ϕ)
Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z):
~r(P ) =  ρ sin(ϕ) 
z


r sin(θ) cos(ϕ)
Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ):
~r(P ) =  r sin(θ) sin(ϕ) 
r cos(θ)
z
Dabei ist
6
ρ der Abstand von P zur z-Achse (ρ ≥ 0),
r der Abstand von P zum Koordinatenursprung (r ≥ 0),
P
θ der Winkel (0 ≤ θ ≤ π) zwischen der
−−→
positiven z-Achse und Vektor OP ,
r
O θ
ϕ
x
y
ρ
P′
ϕ der Winkel (0 ≤ ϕ ≤ 2π) zwischen der
−−→
positiven x-Achse und Ortsvektor OP ′ ,
wobei P ′ die Projektion von P in die
x − y–Ebene ist.
Die Basisvektoren in den Koordinatensystemen entsprechen den normierten
Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien. Man erhält die Basisvektoren also
durch Ableiten und Normieren des Ortsvektors. Für kartesische Koordinaten ist
dies trivial. Man erhält die kanonische Basis.
Die Basisvektoren für das kartesische Koordinatensystem sind
 


 
1
0
0
~ex =  0  , ~ey =  1  , ~ez =  0  .
0
0
1
Beispiel 1.2.1. Um in Zylinderkoordinaten den Basisvektor ~eϕ zu erhalten,
müssen wir ~r(P ) nach ϕ ableiten und anschließend den Vektor normieren:

 



ρ cos(ϕ)
−ρ sin(ϕ)
− sin(ϕ)
∂ 
normieren
ρ sin(ϕ)  =  ρ cos(ϕ) 
=⇒
~eϕ =  cos(ϕ)  .
∂ϕ
z
0
0
Die Basisvektoren für Zylinderkoordinaten sind ortsabhängig. Sie lauten




 
cos(ϕ)
− sin(ϕ)
0
~eρ =  sin(ϕ)  , ~eϕ =  cos(ϕ)  , ~ez =  0  .
0
0
1
6
KAPITEL 1. ERGÄNZUNGEN ZUR VEKTORRECHNUNG
Aufgabe 1.2.1. Berechnen Sie die Basisvektoren ~eρ und ~ez im Zylinderkoordinatensystem durch Ableiten des Ortsvektors und anschließendes Normieren.
Aufgabe 1.2.2. Zeigen Sie, dass der Basisvektor ~eϕ für Zylinderkoordinaten
und Kugelkoordinaten übereinstimmt.
Die Basisvektoren in Kugelkoordinaten sind




sin(θ) cos(ϕ)
cos(θ) cos(ϕ)
~er =  sin(θ) sin(ϕ)  , ~eθ =  cos(θ) sin(ϕ)  ,
cos(θ)
− sin(θ)
Sie sind ortsabhängig und zueinander orthogonal.


− sin(ϕ)
~eϕ =  cos(ϕ)  .
0
Vektoren bzw. Vektorfelder können wir somit wie folgt schreiben:
~a
=
=
=
ax · ~ex + ay · ~ey + az · ~ez
aρ · ~eρ + aϕ · ~eϕ + az · ~ez
ar · ~er + aθ · ~eθ + aϕ · ~eϕ
(kartesische Koordinaten)
(Zylinderkoordinaten)
(Kugelkoordinaten).
Dabei sind ax , ay , az , aρ , ar , aϕ , aθ ∈ R die Koordinaten bzgl. der einzelnen Koordinatensysteme. Bei Vektorfeldern sind diese Koordinaten ortsabhängig.
In Formeln kommen häufig Vektoren und Vektorfelder vor, die mit unterschiedlichen Koordinatensystemen dargestellt wurden. Dann ist es meist am einfachsten, diese mit einem einheitlichen Koordinatensystem darzustellen. Es muss also
eine Koordinatentransformation durchgeführt werden. Das Vorgehen ist aus der
Linearen Algebra“bekannt.
”
Am einfachsten ist die Transformation von Zylinderkoordinaten bzw. Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten. Wir müssen nur die Formeln für die
Basisvektoren einsetzen und ρ, ϕ bzw. r, θ, ϕ mittels x, y, z darstellen. Es ist
z.B.
p
p
ρ = x2 + y 2 , r = x2 + y 2 + z 2 , tan(ϕ) = y/x, cos(θ) = z/r.
I
~
~eϕ . Dies ist die Feldstärke eines MagnetBeispiel 1.2.2. Sei H(ρ,
ϕ, z) = 2πρ
~
feldes, das durch einen Strom I = I · ~ez entlang der z-Achse erzeugt wird. Wir
ersetzen in der Formel ~eϕ . Anschließend erweitern wir mit ρ, um x = ρ cos(ϕ)
und y = ρ sin(ϕ) einsetzen zu können. Also ist






− sin(ϕ)
−y
−ρ sin(ϕ)
I 
I
I 
~ =
 x 
cos(ϕ)  =
ρ cos(ϕ)  =
H
2πρ
2πρ2
2π(x2 + y 2 )
0
0
0
−yI
xI
=
· ~ex +
· ~ey .
2π(x2 + y 2 )
2π(x2 + y 2 )
Es können natürlich auch Transformationsmatrizen verwendet werden. Wenn
also die Basisvektoren den Spalten der Matrix entsprechen, so gilt z.B. für Zylinderkoordinaten
 



cos(ϕ) − sin(ϕ) 0
ax
aρ
 ay  =  sin(ϕ) cos(ϕ)
0   aϕ  .
az
0
0
1
az
1.3. DAS KREUZPRODUKT (VEKTORPRODUKT)
7
Da wir hier ausschließlich mit orthonormalen Basen arbeiten, ist die inverse
Matrix gleich der transponierten Matrix. Wenn wir also die Basisvektoren als
Zeilen der Matrix verwenden, so gilt

 


aρ
cos(ϕ)
sin(ϕ) 0
ax
 aϕ  =  − sin(ϕ) cos(ϕ) 0   ay  .
az
0
0
1
az
Für Kugelkoordinaten ist dies analog.
p
Beispiel 1.2.3. Sei ~a(x, y, z) = x~ex + y~ey + x2 + y 2~ez ein Vektorfeld, welches
mit kartesischen Koordinaten dargestellt wurde. Wir berechnen
p die Darstellung
mit Zylinderkoordinaten. Mit x = ρ cos(ϕ), y = ρ sin(ϕ) und x2 + y 2 = ρ gilt
 


 

aρ
cos(ϕ)
sin(ϕ) 0
x
ρ
 aϕ  =  − sin(ϕ) cos(ϕ) 0   y  =  0  ,
az
0
0
1
ρ
ρ
d.h. ~a(ρ, ϕ, z) = ρ~eρ + ρ~ez .
Aufgabe 1.2.3. Geben Sie das Vektorfeld ~a(x, y) = x/y · ~ex + ~ey in Zylinderkoordinaten an.
Aufgabe 1.2.4. Es seien 3 unendlich lange, dünne Leiter parallel zur z-Achse
gegeben, in welchen Ströme I1 , I2 bzw. I3 fließen (siehe Abbildung).
y
Es seien die folgenden Werte gegeben:
I3
6
I1 = 35A,
a
c
I2 = 25A,
a = 100mm,
b
I1
b
P
I3 = 45A,
a
I2
- x
b = 80mm .
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke
im Punkt P .
Aufgabe 1.2.5. Es seien 2 unendlich lange, dünne Leiter parallel zur z-Achse
gegeben, in welchen Ströme I1 und I2 fließen (siehe Abbildung).
y
6
Es seien
P
I1 = I2 = I und b = 2a.
c
a
I1
1.3
b
I2
- x
Berechnen Sie die magnetische Feldstärke
im Punkt P .
Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt)
Insbesondere bei der Untersuchung von Magnetfeldern wird neben den bisher
vorgestellten Vektoroperationen noch das sogenannte Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) benötigt.
Es ist nur im 3-dimensionalen Raum definiert.
8
KAPITEL 1. ERGÄNZUNGEN ZUR VEKTORRECHNUNG
Seien zwei Vektoren ~a und ~b gegeben. Dann ist das Kreuzprodukt ~c := ~a × ~b
der Vektor mit den folgenden Eigenschaften:
1. Vektor ~c ist zu ~a und ~b orthogonal, d.h. 0 = ~a · ~c = ~b · ~c.
2. Der Betrag von ~c entspricht dem Flächeninhalt des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms, d.h. c = a · b · sin(ϕ).
3. Die Vektoren ~a, ~b und ~c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
Die Fläche des von ~a und ~b aufgespannten
Parallelogramms ist
~a × ~b
6
~b
3
.
. ϕ
c := A =
~a
=
Grundseite · Höhe
a · (b · sin(ϕ)).



bx
ax
Seien zwei Vektoren ~a =  ay  und ~b =  by  gegeben. Dann kann das
bz
az
Kreuzprodukt ~c = ~a × ~b formal mittels Determinanten berechnet werden. Mit
dem Entwicklungssatz erhalten wir
~ex ax bx ay b y ax b x ax b x ~c := ~ey ay by = ~ex − ~ey + ~ez az b z az b z ay b y ~ez az bz 

ay b z − az b y
=  az b x − ax b z  .
ax b y − ay b x

~ =
Aufgabe 1.3.1. Gegeben sei ein Magnetfeld in der y − z–Ebene mit |B|
Vs
◦
,
welches
mit
der
z-Achse
einen
Winkel
von
30
einschließt.
Ein
Elektron
0.6 m
2
ey
mit q = −1.6 · 10−19 As bewege sich mit der Geschwindigkeit ~v = 0.4 · 108 m
s ·~
entlang der y − Achse. Berechnen Sie die Lorentz-Kraft
~ welche auf das Teilchen wirkt.
F~ = q · ~v × B,
Eigenschaften des Kreuzproduktes:
1. ~a × ~a = ~0
2. ~a × ~b = −~b × ~a
3. (~a + ~b) × ~c = ~a × ~c + ~b × ~c
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c (Distributivgesetz)
Für die Einheitsvektoren der bekannten Koordinatensysteme gilt
1. ~ex × ~ey = ~ez ,
2. ~eρ × ~eϕ = ~ez ,
1.3. DAS KREUZPRODUKT (VEKTORPRODUKT)
9
3. ~er × ~eθ = ~eϕ .
Die korrekte Reihenfolge der Vektoren ist durch folgende Diagramme gegeben.
~ez
I
~ex
~ez
I
-
~ey
~eρ
~eϕ
I
-
~eϕ
~er
-
~eθ
Dabei gibt der Pfeil die Reihenfolge der Vektoren im Kreuzprodukt an. Es ist
also z.B. ~eϕ × ~ez = ~eρ , aber ~ey × ~ex = −~ez (vertauschte Reihenfolge bei ~ey , ~ex ).
Aufgabe 1.3.2. Berechnen Sie mit Hilfe des Distributivgesetzes
a)
b)
2~ex × (3~ex + 4~ey − ~ez ),
(~eϕ + ~ez ) × (~ez − ~eϕ ).
Derartige Berechnungen sind aus der Mechanik bekannt.
Beispiel 1.3.1. Ein starrer Körper dreht sich um eine durch den Koordinatenursprung gehende Drehachse mit Winkelgeschwindigkeitsvektor ~ω (in Richtung der Drehachse). Die Tangentialgeschwindigkeit in einem Punkt P ist dann
~v (P ) = ~ω × ~r(P ).
Sei ~ω = ~ez [ 1s ] und ~r(P ) = (3~ex + 3~ey + 2~ez ) [m] der Ortsvektor vom Punkt P .
Dann ist
√
m
m
m
~v (P ) = ~ez × (3~ex + 3~ey + 2~ez ) [ ] = (3~ex − 3~ey ) [ ] = −3 2 · ~eϕ [ ].
s
s
s
Sind Vektoren in unterschiedlichen Koordinatensystemen gegeben, dann sollte
zuerst eine Koordinatentransformation erfolgen.
Aufgabe 1.3.3. Die Kraft eines Magnetfeldes auf ein bewegtes, geladenes Teilchen wird mit der Lorentzkraft berechnet:
~
F~ = q · ~v × B.
√
~ = 2T · ~eϕ gegeben. Ein
Es sei in einem Punkt P = (1m, 1m, 1m) ein Feld B
Elektron q = −1.6 · 10−19 As bewege sich mit einer Geschwindigkeit
1. ~v = 20000 km
ex + ~ey ),
s (~
ex − ~ey ),
2. ~v = 20000 km
s (~
3. ~v = 20000 km
ex + ~ey + ~ez ).
s (~
Berechnen Sie die auf das Teilchen einwirkende Kraft. Unter welcher Bedingung
ist die Kraft Null?
10
KAPITEL 1. ERGÄNZUNGEN ZUR VEKTORRECHNUNG
Kapitel 2
Kurvenintegrale
Analog zu den elektrostatischen Feldern spielen auch bei der Berechnung von
Magnetfeldern Kurvenintegrale (auch Wegintegral oder Linienintegral genannt)
eine wichtige Rolle. Wegintegrale haben wir bisher mit kartesischen Koordinaten berechnet. Jetzt werden wir zusätzlich auf die Wegelemente bei anderen
Koordinatensystemen eingehen.
2.1
Kurven im R3
Bei Wegintegralen bzw. Kurvenintegralen wird entlang einer Kurve integriert.
Bei Magnetfeldern gibt ein solcher Weg meist die Bewegung einer Ladung an.
Bei stromdurchflossenen Leitern entspricht die Kurve dem Leiter.
Eine Beschreibung erfolgt mit Ortsvektoren ~r(t), die
von einem Parameter t abhängen. Also
~r(tA )
~r(t)
t −→ ~r(t) .
:
~r(tB )
Dabei wird der Parameter t ∈ [tA , tE ] meist als Zeit
interpretiert, d.h. ~r(t) ist der Ortsvektor eines bewegten Teilchens zum Teilpunkt t.
Wege bzw. Kurven im R3 können als Funktion von Ortsvektoren


x(t)
~r(t) =  y(t) 
z(t)
mit einer Variablen t ∈ [tA , tB ] beschrieben werden. Dabei geben ~r(tA ) den
Aufpunkt und ~r(tB ) den Endpunkt der Kurve an.
Beispiel 2.1.1. Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter auf der z-Achse
und fließt der Strom in Richtung der z-Achse, so wird als Parameter meist die
11
12
KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE
z-Komponente verwendet. Also ist
~r(z) = z~ez
mit
z ∈ [zA , zE ].
Dabei zeigen ~r(zA ) und ~r(zE ) auf Anfangs- und Endpunkt des Leiters.
Aufgabe 2.1.1. Durch die Kurve


R · cos(πt)
~r(t) =  R · sin(πt) 
R·t
mit
t ∈ [0, 10]
wird ein Leiter auf einer Zylinderspule beschrieben. Wieviele Windungen gibt
es? Wie groß ist der Abstand zwischen den einzelnen Windungen?
2.2
Wiederholung zu Kurvenintegralen
Kurvenintegrale bzw. Wegintegrale kennen wir bereits aus der Elektrostatik. Sie
werden z.B. zur Berechnung von Spannungen oder Arbeit verwendet, d.h.
ˆ
ˆ
~
~
~ · ds.
~
W = F · ds bzw. UAB = E
Ausgehend von einer Kurvendarstellung ~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez mit
~ := ~r˙ (t) dt. Dabei ist der Tangentit ∈ [tA , tB ] ist das gerichtete Wegelement ds
alvektor
~r˙ (t) := ẋ(t)~ex + ẏ(t)~ey + ż(t)~ez
die Ableitung der Kurve nach dem Parameter t.
Beispiel 2.2.1. Sei die Kurve ~r(t) = t · ~ez gegeben mit t ∈ [0, 3]. Dann haben
wir also nur eine z-Komponente z(t) = t, d.h. ż(t) = 1. Also ist ~r˙ (t) = ~ez und
~ = ~ez dt.
ds
Beispiel 2.2.2. Für die Kurve


R · cos(πt)
~r(t) =  R · sin(πt) 
R·t
ist


−Rπ · sin(πt)
~ =  Rπ · cos(πt)  dt.
ds
R
Zur Erinnerung geben wir die typischen Rechenschritte an.
´
~ entlang einer Kurve von A nach B erhält man wie folgt:
Das Integral F~ ds
1. Es ist die (evtl. frei gewählte) Kurve ~r(t) mit t ∈ [tA , tB ] anzugeben.
2. Es wird die Ableitung ~r˙ (t) berechnet.
3. Wir setzen die Werte von x(t) und y(t) (bzw. z(t)) ins Feld F~ ein.
4. Wir bilden das Skalarprodukt F~ ·~r˙(t) mit den Vektoren aus den Schritten
2. und 3.
5. Das
wird ins Integral eingesetzt und
ˆ tB
ˆ Skalarprodukt
~ :=
(F~ · ~r˙ (t))dt berechnet.
F~ ds
tA
2.3. VERWENDUNG NICHTKARTESISCHER KOORDINATEN
13
Desweiteren werden mitunter die Notationen
~ = |~r˙ (t)|dt
ds := |ds|
ˆ
ˆ tB
|~r˙ (t)|dt
s := ds =
... Länge eines Wegstückes,
... Gesamtlänge der Kurve
tA
verwendet. Die Weglänge s kann bei einfachen Kurven auch als Parameter verd
~r(s) in allen Punkten der Kurwendet werden. Dann ist der Tangentialvektor ds
ve ein Einheitsvektor.
2
x +y
Aufgabe 2.2.1. Gegeben sei das Vektorfeld F~ =
. Berechnen Sie das
2y
´
~ über
Kurvenintegral F~ ds
1. der Strecke von (0, 0) nach (1, 1),
t
2. der Kurve ~r(t) = 2 mit t ∈ [0, 1].
t
2.3
Verwendung nichtkartesischer Koordinaten
Soll mit einem anderen Koordinatensystem statt dem kartesischen gerechnet
werden, ist der Rechenweg ähnlich, aber nicht gleich. Wir betrachten zunächst
die Situation in der Ebene.
Ist eine Kurve in Polarkoordinaten gegeben, so besitzt sie die Darstellung ~r(t) =
r(t)~er (t). Es ändert sich also auch der Richtungsvektor ~er mit dem Parameter
t. Dann gilt (Produktregel/Kettenregel):
d
~
ds = ṙ(t) · ~er + r(t) · ~er dt = ṙ(t) · ~er + r(t)ϕ̇(t) · ~eϕ dt.
dt
~ lautet in der Ebene wie folgt:
Das Wegelement ds
~ = [ẋ(t)~ex + ẏ(t)~ey ] dt
• Kartesische Koordinaten: ds
• Polarkoordinaten:
~ = [ṙ(t)~er + r(t)ϕ̇(t)~eϕ ] dt
ds
Es werden häufig Polarkoordinaten zur Berechnung von Kurvenintegralen verwendet, wenn als Parameter der Radius t = r oder der Winkel t = ϕ verwendet
werden kann. Dann erhält man die folgenden Spezialfälle.
~ = ~er dr.
t = r: Es ist ϕ̇ = 0 und ṙ = 1. Es folgt ds
~ = r~eϕ dϕ.
t = ϕ: Es ist ṙ = 0 und ϕ̇ = 1. Also ist ds
Im ersten Fall liegt die Kurve auf einem Strahl, im zweiten Fall auf einem Kreis.
´
~ bestimmen mit
~ ds
Beispiel 2.3.1. Wir wollen mit Polarkoordinaten UAB = E
~
E(x, y) = x~ex + y~ey und den Punkten A = (2, 0), B = (0, 4) (in kartesischen
Koordinaten).
14
KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE
~ ϕ) = r~er . Das Feld ist also radialsymmetrisch.
In Polarkoordinaten ist E(r,
⌢
Es sei C = (0, 2). Der Kreisbogen AC entspricht einem Kreisbogen mit r = 2
und ϕ ∈ [0, π/2]. Wir verwenden also den Parameter ϕ ∈ [0, π/2] und das
~ = r~eϕ dϕ = 2~eϕ dϕ. Da ~er und ~eϕ orthogonal zueinander sind,
Wegelement ds
~ = 0, d.h. UAC = 0.
~ ds
gilt E
Die Strecke CB liegt auf einem Strahl. Der Winkel ϕ = π/2 bleibt also konstant.
Wir verwenden den Radius r ∈ [2, 4] als Parameter. Das Wegelement ist somit
~ = ~er dr.
ds
~ = r~er · ~er dr = r dr, d.h.
~ · ds
Wir erhalten nun E
4
ˆ 4
2
UCB =
r dr = r /2 = 8 − 2 = 6.
2
2
~ für Zylinder- und KugelkoIn analoger Weise können auch die Wegelemente ds
ordinaten ermittelt werden.
~ im 3-dimensionalen Raum lauten wie folgt:
Die Wegelemente ds
• Kartesische Koordinaten:
~ = [ẋ~ex + ẏ~ey + ż~ez ] dt,
ds
• Zylinderkoordinaten:
~ = [ρ̇~eρ + ρϕ̇~eϕ + ż~ez ] dt,
ds
i
h
~ = ṙ~er + rθ̇~eθ + r sin(θ)ϕ̇~eϕ dt.
ds
• Kugelkoordinaten:
Beispiel 2.3.2 (Linienladung). Ein E-Feld einer Linienladung ist in Zylinderkoordinaten
~ = λ ~eρ .
E
2πǫρ
Wir suchen eine Formel zur Berechnung der Spannung zwischen zwei Punkten
A und B. Sei ~r(t) mit t ∈ [tA , tB ] eine Kurve von A nach B. Dann ist in
Zylinderkoordinaten
~ = [ λ ~eρ ] · [ρ̇~eρ + ρϕ̇~eϕ + ż~ez ] · dt = λρ̇ dt = λ dρ,
~ ds
E
2πǫρ
2πǫρ
2πǫρ
´
ρ
B dρ
λ
λ
d.h. UAB = 2πǫ
ρA ρ = 2πǫ ln(ρB /ρA ).
Beispiel 2.3.3 (Durchflutungsgesetz). Es sei ein stromdurchflossener Leiter
auf der z-Achse gegeben, d.h. I~ = I · ~ez . Dann ist entlang jeder geschlossenen
Kurve, welche die z- Achse umschließt
ˆ
~ .
~ ds
I= H
~ = H(ρ)~eϕ
Wegen der Symmetrie und der Rechtsschraubenregel können wir H
annehmen. Wir integrieren nun entlang eines Kreises mit Radius ρ um die z~ = ~eϕ ρ dϕ mit ϕ ∈ [0, 2π] und somit
Achse. Dann ist ds
ˆ 2π
ˆ
~ ds
~ =
H(ρ)ρ dϕ = 2πH(ρ)ρ.
I= H
ϕ=0
Für das Magnetfeld gilt somit H(ρ) =
I
2πρ .
2.4. INTEGRALE ÜBER VEKTOREN
15
Aufgabe 2.3.1. Gegeben sei ein Vektorfeld F~ = ρ1 ~eϕ in Zylinderkoordinaten.
´
~ entlang eines Kreises mit Radius ρ = 2, z = 1
Berechnen Sie das Integral F~ ds
und ϕ ∈ [0, 2π].
2.4
Integrale über Vektoren
Bei Magnetfeldern werden Integrale oft über vektoriellen Größen berechnet.
Sind die Basisvektoren unabhängig vom Parameter, so kann komponentenweise
integriert werden.
Für Vektorfelder f~(t) = fx (t)~ex + fy (t)~ey + fz (t)~ez mit t ∈ [t1 , t2 ] gilt
ˆ
t2
t1
f~(t) dt =
ˆ
t2
fx (t) dt ~ex +
t1
ˆ
t2
fy (t) dt ~ey +
t1
ˆ
t2
fy (t) dt ~ez .
t1
Für Vektorfelder in R2 gilt dies analog.
Beispiel 2.4.1. Wir wollen das Integral
Radius R und ϕ ∈ [0, π] berechnen.
´
~e
L y
~ über einem Kreisbogen mit
× ds
~ = R~eϕ dϕ. Somit ist
Für den Kreisbogen gilt ds
~ey × R~eϕ dϕ = ~ey × R(− sin(ϕ)~ex + cos(ϕ)~ey ) dϕ = R sin(ϕ)~ez dϕ.
Das gesuchte Integral lautet somit
ˆ
ˆ
~ =
~ey × ds
L
π
R sin(ϕ)~ez dϕ.
0
Wir integrieren also über einem Vektor. Da aber ~ez nicht von der Integrationsvariablen ϕ abhängt, können wir den Vektor vor das Integral ziehen:
ˆ π
ˆ π
R sin(ϕ)~ez dϕ = R~ez
sin(ϕ) dϕ = 2R~ez .
0
0
Das Ergebnis der Integration ist also der Vektor 2R~ez .
Aufgabe 2.4.1. Berechnen Sie das Integral
ˆ 3 2
t
dt.
1
t=0
Auch die Basisvektoren können abhängig von der Integrationsvariablen sein.
Dann muss das Vektorfeld in kartesische Koordinaten umgerechnet werden.
~ = r dϕ · ~eϕ entlang einer Kreislinie integrieren.
Beispiel 2.4.2. Wir wollen ds
Wir suchen also den Vektor
ˆ π
ˆ
~
~
r dϕ · ~eϕ .
ds =
L=
L
0
y6
?
x
-
16
KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE
Leider ist der Vektor ~eϕ von ϕ abhängig, d.h. wir dürfen ~eϕ nicht vor das Integral
ziehen. Wir gehen deshalb ins kartesische Koordinatensystem über. Es ist ~eϕ =
− sin(ϕ)~ex + cos(ϕ)~ey . Also gilt
~
L
=
ˆ
π
r dϕ · (− sin(ϕ)~ex + cos(ϕ)~ey )
ˆ π
ˆ π
sin(ϕ) dϕ +r~ey
cos(ϕ) dϕ
= −r~ex
|0
| 0 {z
}
{z
}
0
=2
=0
= −2r~ex .
Aufgabe 2.4.2. Berechnen Sie das mit Zylinderkoordinaten gegebene Integral
ˆ
π
~eρ dϕ.
ϕ=0
Beachten Sie, dass der Vektor ~eρ von ϕ abhängt.
In den folgenden Kapiteln wollen wir uns einige Anwendungsaufgaben aus der
Elektrotechnik ansehen, welche derartige Integrale verwenden.
2.5
Kraft auf stromdurchflossene Leiter
~ die Flussdichte von einem Magnetfeld. Wenn ein stromdurchflossener
Es sei B
endlicher Leiter in dieses Feld gebracht wird, dann wirkt eine Kraft auf diesen
Leiter. Es gilt
ˆ
~ × B.
~
~
F = I ds
~ das Linienelement des Leiters. Die Richtung dieses Vektors muss
Dabei ist ds
stets in Flussrichtung des Stromes zeigen.
Es wird also die Kurve ~r(t) angegeben, welche die Lage des Leiters beschreibt.
~ = ~r˙ dt und die Integralgrenzen ermittelt. Dann berechnet man
Hieraus werden ds
~ Wenn alle Basisvektoren unabhängig vom Parameter
das Vektorprodukt ~r˙ × B.
t sind, so kann man komponentenweise integrieren. Ist dies nicht der Fall, muss
~ vorher in kartesische Koordinaten umrechnen.
man ~r˙ × B
Beispiel 2.5.1. Auf der z-Achse befinde sich ein unendlich langer Leiter, in
welchem ein Strom I1 in z-Richtung fließt. Dieser Strom erzeugt ein Magnetfeld
mit
~ = I1 µ ~eϕ .
B
2πa
Parallel zur z-Achse sei ein Leiter mit z ∈ [z1 , z2 ] und Abstand a zur z-Achse.
In ihm fließt ein Strom I2 in z-Richtung. Wir wollen die Kraft auf den 2. Leiter
berechnen.
2.5. KRAFT AUF STROMDURCHFLOSSENE LEITER
Wir berechnen die Kraft mit der
Formel
ˆ
~ × B.
~
~
F = I2
ds
17
z
z2
6
L
Dabei benötigen wir die Ortsvektoren zum 2.Leiter und das zugehörige
Kurvenelement
~r(t)
~
ds
= t~ez + a~eρ ,
= ~ez dt .
-
ϕ
x
t ∈ [z1 , z2 ],
a
y
z1
Wir berechnen nun das Vektorprodukt
~ ×B
~ = ~ez dt × I1 µ ~eϕ = I1 µdt ~ez × ~eϕ = I1 µdt (−~eρ )
ds
2πa
2πa
2πa
und setzen dieses mit den Integralgrenzen t ∈ [z1 , z2 ] in das Integral ein. Die
Kraft
ˆ z2
ˆ
µI1 I2 (z2 − z1 )
I1 I2 µ
~
~
~
dt = −
(−~eρ )
~eρ .
ds × B =
F = I2
2πa
2πa
z1
L
wirkt also in Richtung zur z-Achse. Die Leiter ziehen sich gegenseitig an.
Beispiel 2.5.2. Auf der z-Achse befindet sich ein unendlich langer Leiter mit
einem Strom I1 , welcher ein Magnetfeld mit
~ = I1 µ ~eϕ
B
2πa
erzeugt. Ein 2. Leiter liegt in der x-y–Ebene mit Abstand a zur x-Achse und
x ∈ [x1 , x2 ]. Der Strom I2 fließt in Richtung ~ex .
Gesucht ist die Kraft auf den 2. Leiter.
z
6
6
I1
Lösung: Der 2. Leiter ist gegeben
durch die Kurve
r~′ (x) = x~ex +a~ey
x2
mit x ∈ [x1 , x2 ].
a
~ = ~ex dx.
Also ist ds
x1
x
-y
I2
Als nächstes transformieren wir die Flussdichte des Magnetfeldes
~ = I1 µ ~eϕ
B
2πa
in kartesische Koordinaten (siehe Beispiel 1.2.2). Wegen der Lage des 2. Leiters
kann y = a gesetzt werden:




−y
−a
µI
µI
µI
1
1
~ = 1 ~eϕ =
 x =
 x .
B
2πρ
2π(x2 + y 2 )
2π(x2 + a2 )
0
0
18
KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE
Somit gilt
  

1
−a
µI
dx
1
~ ×B
~ =
 0  ×  x  = µI1 xdx ~ez ,
ds
2π(x2 + a2 )
2π a2 + x2
0
0
F~
=
=
x2
ˆ x2
µI1 I2
xdx
1
µI1 I2
2
2 ~
~
=
I2
~ez
~ez · ln(a + x )
ds × B =
2
2
2π
2π
2
x1 a + x
L
x1
2
2
a + x2
µI1 I2
.
~ez · ln
4π
a2 + x21
ˆ
Der zweite Leiter wird also nach oben verschoben.
Beispiel 2.5.3. Auf der z-Achse befindet sich ein unendlich langer Leiter mit
einem Strom I1 , welcher ein Magnetfeld mit einer Flussdichte
~ = I1 µ ~eϕ
B
2πa
erzeugt. Ein zweiter Leiter liegt auf der Strecke AB mit A = (1m, 1m, 1m) und
−−
→
B = (2m, 2m, 2m). Der Strom I2 fließt in Richtung AB. Gesucht ist die Kraft
auf den 2. Leiter.
Lösung: Wir bestimmen zunächst die Strecke AB mittels Geradengleichung und
~ an. Es ist
geben das Linienelement ds




1m
1m
−
→
−
−
→
r~′ (t) = OA + t(AB) =  1m  + t  1m  mit t ∈ [0, 1] und
1m
1m
 
1
~ =  1  m · dt das zugehörige Linienelement.
ds
1
Durch den Strom I1 entlang der z-Achse wird ein Magnetfeld erzeugt. Wir
benötigen nun die Flussdichte dieses Feldes in allen Punkten des zweiten Lei~ in kartesischen Koordinaten an und ersetzen x, y und z
ters. Wir geben also B
mittels r~′ (t). Also gilt




−y
−(1 + t)m
µI
µI
µI
1
1
1
~ =
 x =
 (1 + t)m 
~eϕ =
B
2πρ
2π(x2 + y 2 )
2π(2(1 + t)2 m2 )
0
0


−1
µI1
 1 .
=
4π(1 + t)m
0
Nun können wir das Vektorprodukt ausrechnen und in das Integral einsetzen:


 


1
−1
−1
µI
dt
µI
m
dt
1
1
~ ×B
~ =
 1 × 1 =
 −1  ,
ds
4π(1 + t)m
4π(1 + t)
1
2
0
2.6. DAS GESETZ VON BIOT-SAVART
19




1
ˆ 1
−1
−1
µI
I
dt
µI
I
1 2 
1 2 
~
~


−1
−1
=
ln |1 + t|
= I2
ds × B =
4π
4π
0 1+t
L
0
2
2


−1
µI1 I2 ln(2) 
−1  .
=
4π
2
ˆ
F~
Aufgabe 2.5.1. In der x-y–Ebene befinde sich ein kreisförmiger stromdurchflossener Leiter mit Strom I und Radius R. Desweiteren sei ein homogenes
~ = B · ~ez gegeben.
Magnetfeld B
Welche Kraft wirkt auf ein Leiterstück mit ϕ ∈ [ϕ1 , ϕ2 ]? Welche Kraft wirkt
insgesamt auf den Leiter?
2.6
Das Gesetz von Biot-Savart
Um einen mit Strom durchflossenen Leiter entsteht ein Magnetfeld. Die Fluss~ dieses Magnetfeldes in einem Punkt P kann mit dem Gesetz von Biotdichte B
Savart
ˆ ~
ds × ~r
~ ) = µI
B(P
4π
r3
~ = B/µ
~
berechnet werden. Analog gilt für die magnetische Feldstärke H
~ )= I
H(P
4π
ˆ ~
ds × ~r
.
r3
Achtung: ~r ist hier der Abstandsvektor. Es zeigt also von den Punkten auf
dem Leiter zum Punkt P . Wenn wir also mit r~′ (P ) den Ortsvektor von P
kennzeichnen und mit r~′ (t) den Kurvenverlauf des Leiters, so ist auch der
Abstandsvektor parameterabhängig und es gilt ~r(t) = r~′ (P ) − r~′ (t).
~ muss der Kurvenvektor r~′ (t) verwendet werden, d.h.
Zur Berechnung von ds
˙
~ = r~′ (t) · dt.
ds
Beispiel 2.6.1. Gegeben ist ein endlicher Leiter auf der z-Achse mit einem
Strom I in Richtung ~ez . Sei P ein Punkt in der x − y–Ebene mit Abstand ρ zur
~ ).
z-Achse. Gesucht ist B(P
Wir verwenden den Satz von BiotSavart
ˆ ~
ds × ~r
Iµ
~
.
B(P ) =
4π L r3
z
z2
~r
Es ist r~′ (P ) = ρ~eρ . Für die Beschreibung des Leiters verwenden
wir den Parameter z, d.h.
r~′ (z) = z~ez
~ = ~ez dz .
ds
mit z ∈ [z1 , z2 ],
6
ϕ
x
ρ
y
s
P
z1
20
KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE
p
ρ2 + z 2 . Wir
Wir erhalten somit den Abstandsvektor ~r = ρ~eρ − z~ez mit r =
berechnen nun das Vektorprodukt
~ × ~r = ~ez dz × (ρ~eρ − z~ez ) = ρ dz ~eϕ
ds
und setzen dieses in die Formel ein. Wir erhalten
ˆ ~
ˆ
ˆ
ρ dz ~eϕ
dz
ds × ~r
µI z2
µIρ~eϕ z2
~ ) = µI
=
B(P
=
3
2
2
3/2
2
2 3/2
4π L r
4π z1 (ρ + z )
4π
z1 (ρ + z )
z2
µIρ~eϕ 1
z
=
2
2
2
1/2
4π ρ (ρ + z ) z1
!
z1
z2
µI~eϕ
p
.
−p
=
4πρ
ρ2 + z22
ρ2 + z12
Der Leiter ist unendlich lang für z2 → ∞ und z1 → −∞. Es gilt dann
1
z
= lim p
lim p
=1
ρ2 + z 2 z→∞ ρ2 /z 2 + 1
z→∞
und somit
~ ∞ (P ) = µI~eϕ (1 + 1) = µI~eϕ .
B
4πρ
2πρ
Aufgabe 2.6.1. Ein unendlich langer Leiter mit einem Knick sei in der x-y–
Ebene gegeben (siehe Skizze).
Zeigen Sie, dass im Punkt
P = (a, 0, 0) mit a > 0
gilt:
~ = µI~ez · (1 − cos(α)) .
B
2πa
sin(α)
I
y 6
j
α
α
a
P
x
Berechnen Sie hierfür mit Hilfe von Beispiel 2.6.1 die magnetischen Flussdichten, welche in P von den beiden Leiterstücken jeweils erzeugt werden.
Beispiel 2.6.2. Wir betrachten eine Leiterschleife in der x-y-Ebene mit Radius
R und Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Es fließe ein Strom entgegen des
Uhrzeigersinns. Wir berechnen die magnetische Flussdichte im Koordinatenursprung:
ˆ ~
ds × ~r
~ = µI
B
.
4π
r3
Berechnungsvariante 1 (Winkel als Parameter): Die Leiterschleife ist gegeben
durch die Ortsvektoren
r~′ (ϕ) = R~eρ (ϕ)
mit dem Winkel
ϕ ∈ [0, 2π].
−→
~ = r~˙′ dϕ = R~eϕ dϕ. Es ist ~r = −
Dann ist ds
OP − r~′ = −R~eρ und r = R. Wir
erhalten
~ × ~r = −R2 dϕ ~eϕ × ~eρ = R2~ez dϕ, d.h.
ds
ˆ
Iµ~ez 2π
Iµ~ez
~
.
B=
dϕ =
4πR 0
2R
2.6. DAS GESETZ VON BIOT-SAVART
21
Berechnungsvariante 2 (Bogenlänge als Parameter): Sei s die Länge des Kreis~ = ~eϕ ds und somit
bogens ab (R, 0) gemessen, d.h. s ∈ [0, 2πR]. Dann ist ds
~ × ~r = ~eϕ ds × (−R~eρ ) = R~ez ds.
ds
Es folgt
~ = Iµ~ez
B
4πR2
ˆ
2πR
ds =
0
Iµ~ez
.
2R
Beispiel 2.6.3. In der y−z–Ebene sei ein Leiter auf einer Parabel z = (y/2)2 /a
gegeben mit y ∈ [−2a, 2a], a > 0. Der Strom fließe von negativem zu positivem
y. Gesucht ist das H-Feld im Punkt P = (0, 0, a).
~ = B/µ,
~
Lösung: Wir verwenden den Satz von Biot-Savart und H
d.h.
~ = I
H
4π
ˆ ~
ds × ~r
.
r3
Als erstes benötigen wir die Kurvenbeschreibung und das Wegelement. Als Parameter verwenden wir dabei t = y/2a, d.h. t ∈ [−1, 1]. Der Leiter ist dann
gegeben durch




0
0
~ =  2a  dt.
r~′ (t) =  2ta 
und ds
2
t a
2ta
Hieraus können wir den Abstandsvektor


0
−−→ ~′
~r = OP − r (t) =  −2ta 
und
a − t2 a
r =a·
p
4t2 + (1 − t2 )2 = (1 + t2 )a
berechnen. Wir erhalten somit das Kreuzprodukt

 

0
0
~ × ~r =  2a  ×  −2ta  dt = 2a2 (1 + t2 )~ex dt.
ds
2ta
a − t2 a
Wir setzen alle Zwischenergebnisse in den Satz von Biot-Savart ein. Es folgt
~ = I~ex
H
2πa
ˆ
1
−1
1
t
I~ex
1
dt
I~ex 1 π
=
+ arctan(t)
( + ).
=
(1 + t2 )2
2πa 2(1 + t2 ) 2
2πa
2
4
−1
Aufgabe 2.6.2. In der y − z–Ebene sei ein unendlich langer Leiter auf einer
Parabel z = (y/2)2 /a gegeben mit y ∈ (−∞, ∞), a > 0. Der Strom fließe von
negativem zu positivem y. Gesucht ist das H-Feld im Punkt P = (0, 0, a).
Vergleichen Sie die Aufgabe mit Beispiel 2.6.3. Was ändert sich im Lösungsweg?
22
KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE
Kapitel 3
Mehrfachintegrale
Als magnetischen Fluss, der eine Fläche A durchsetzt, bezeichnet man die Größe
Φ=
¨
~
~ dA.
B
~ die Flussdichte eines gegebenen Magnetfeldes. Vergleicht man MaDabei ist B
gnetfeld und elektrisches Feld, so ist der magnetische Fluss im Magnetfeld vergleichbar zum Strom im elektrischen Feld. Es wird zur Berechnung von magnetischen Kreisen und Induktivität benötigt.
Die Fläche entspricht meist der Fläche, welche von einer Leiterschleife eingeschlossen wird. Das gerichtete Flächenelement ist
~ = ~n 0 · dA,
dA
wobei dA das ungerichtete Flächenelement ist und ~n 0 der Normalenvektor der
Fläche. Wir wollen zunächst die Berechnung für einfache Flächen wiederholen.
3.1
Flächen und Flächenelemente
Eine Fläche im R3 kann man durch einen Ortsvektor beschreiben, der von zwei
Parametern u, v abhängt. Die Koordinaten x, y und z der Flächenpunkte sind
also Funktionen dieser Parameter:


x(u, v)
~r(u, v) =  y(u, v)  = x(u, v) ~ex + y(u, v) ~ey + z(u, v) ~ez .
z(u, v)
Die Parameter u, v ∈ R heißen Flächenparameter.
Zu den Flächen, welche wir bereits untersucht haben, gehören Ebenen, Zylindermantel und Kugeloberfläche.
23
24
KAPITEL 3. MEHRFACHINTEGRALE
Ebenen haben die Darstellung
~r(u, v) = ~r(P0 ) + u~a + v~b
mit
u, v ∈ R .
Dabei ist ~r(P0 ) der Ortsvektor eines Punktes der Ebene. Die Vektoren ~a und ~b
sind die Richtungsvektoren. Sie müssen linear unabhängig sein, d.h. |~a×~b| 6= 0.
Es sind
~
a×~b
,
|~
a×~b|
Normalenvektor:
~n 0 =
ungerichtetes Flächenelement:
gerichtetes Flächenelement:
dA = |~a × ~b| · du · dv,
~ = (~a × ~b) · du · dv.
dA
Wir werden fast ausschließlich mit Ebenen arbeiten. Zur Ergänzung geben wir
aber noch den Zylindermantel und die Kugeloberfläche an.
Der Zylindermantel symm. zur z-Achse mit Radius ρ hat die Darstellung

 

x(ϕ, z)
ρ cos(ϕ)
~r(ϕ, z) =  y(ϕ, z)  =  ρ sin(ϕ)  mit ϕ ∈ [0, 2π], z ∈ R.
z(ϕ, z)
z
Es sind
Normalenvektor:
ungerichtetes Flächenelement:
gerichtetes Flächenelement:
~n 0 = ~eρ ,
dA = ρ · dϕ · dz,
~ = ρ~eρ · dϕ · dz.
dA
Bei der Kugeloberfläche ist der Radius r konstant. Die Winkel θ und ϕ
werden als Parameter verwendet:

 

x(θ, ϕ)
r sin(θ) cos(ϕ)
~r(θ, ϕ) =  y(θ, ϕ)  =  r sin(θ) sin(ϕ)  mit θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].
z(θ, ϕ)
r cos(θ)
Es sind
Normalenvektor:
ungerichtetes Flächenelement:
gerichtetes Flächenelement:
~n 0 = ~er ,
dA = r2 sin(θ) · dϕ · dθ,
~ = r2 sin(θ)~er · dϕ · dθ.
dA
Wenn eine Flächendarstellung ~r(u, v) vorliegt bei der die Parameter u, v auf
Intervalle beschränkt˜sind, dann entsprechen die Intervallgrenzen den Integral~ wobei in einer beliebigen Reihenfolge bzgl. u und
~ dA,
grenzen im Integral
B
v integriert wird.
~ = B(ρ) ·~ez und eine kreisförmige
Beispiel 3.1.1. Gegeben ist ein Magnetfeld B
Leiterschleife mit Radius R in der x-y–Ebene. Wir wollen den magnetischen
Fluss durch die vom Leiter aufgespannte Fläche berechnen.
Mit Zylinderkoordinaten ist ~n 0 = ~ez und dA = ρ · dϕ dρ, und somit gilt
Φ=
¨
~ =
~ dA
B
¨
B(ρ) dA =
ˆ
R
ρ=0
ˆ
2π
ϕ=0
B(ρ)ρ dρ dϕ = 2π
ˆ
R
B(ρ)ρ dρ.
ρ=0
Dies kann ausgerechnet werden, wenn B(ρ) explizit gegeben ist.
3.2. BESTIMMUNG VON INTEGRALGRENZEN
3.2
25
Bestimmung von Integralgrenzen
Bei Flächen- und Volumenintegralen waren die Variablen bisher auf Intervalle
begrenzt. Wir wollen nun diese Einschränkung fallen lassen. Hierzu betrachten
wir zunächst Integrale der Form
¨
f (x, y)dA .
Im Allgemeinen ist die Grundmenge kein Rechteck oder Kreisausschnitt. Die
Variablen sind nicht einfach in Intervallen.
Beispiel 3.2.1. Wir berechnen
˜ den Flächeninhalt von folgenden Gebiet, d.h. wir
bestimmen das Integral A = dA. Das Gebiet wird von Funktionen y = g1 (x) =
x2 und y = g2 (x) = 2x begrenzt. Es ist x ∈ [0, 2]. Ein solcher Flächeninhalt kann
berechnet werden, indem man über der Differenz g2 (x) − g1 (x) integriert, d.h.
y 6
A=
ˆ
2
x=0
4
2x
x2
2
x
2
1
4
2x − x2 dx = x2 − x3
= .
3
3
x=0
Man sieht aber auch, dass man das Integral wie folgt
schreiben kann:
ˆ 2 ˆ g2 (x)
ˆ 2
dy dx.
[g2 (x) − g1 (x)]dx =
A=
x=0
x=0
y=g1 (x)
Beispiel 3.2.2. Es soll nun die Funktion f (x, y) = x + y über dem Gebiet aus
Beispiel 3.2.1 integriert werden.
Dann ist für fixiertes x ∈ [0, 2] die Variable y im Bereich y ∈ [x2 , 2x]. Also gilt
2x
ˆ 2 ˆ 2x
ˆ 2 y2
xy +
(x + y) dy dx =
dx
2 y=x2
x=0 y=x2
x=0
ˆ 2
ˆ 2
2
2
2
3
4
=
(2x + 2x ) − (x + x /2) dx =
4x − x3 − x4 /2 dx
x=0
1
4 3 1 4
x − x − x5
=
3
4
10
x=0
2
0
52
.
=
15
Wir können aber auch ein y ∈ [0, 4] fixieren. Dann ist die Variable x im Intervall
√
[y/2, y]. Die Integrationsgrenzen für x hängen also von y ab. Wir erhalten
somit das Integral
√y
ˆ 4 ˆ √y
ˆ 4 2
x
dy
+ xy
(x + y) dx dy =
2
y=0 x=y/2
y=0
x=y/2
2
ˆ 4 h
ˆ 4 y
5y 2
y
y
√ i
y2
√
=
dy =
dy
+y y −
+
+y y−
8
2
8
y=0 2
y=0 2
2
4
y
64 40
2 5/2 5y 3
52
=
=4+
+ y
−
−
=
.
4
5
24 y=0
5
3
15
26
KAPITEL 3. MEHRFACHINTEGRALE
Wenn eine Funktion f (x, y) über einer Fläche der folgenden Form
integriert werden soll, dann ist das Integral
y
g2 (x)
6
ˆ b ˆ g2 (x)
f (x, y) dy dx.
x=a
y=g1 (x)
g1 (x)
zu bestimmen. Dies gilt analog hierzu auch
xa
b
für Körper im R3 .
Soll die Reihenfolge der Variablen vertauscht werden, müssen auch die Integralgrenzen geändert werden.
Beispiel 3.2.3. Wir berechnen das Integral
ˆ
ˆ √ 2ˆ √ 2 2
1
x=0
1−x −y
1−x
y=0
z=0
(y · z) dz dy dx.
Es gilt
ˆ
1
x=0
ˆ √1−x2 ˆ √1−x2 −y 2
=
z=0
y=0
ˆ
=
ˆ
=
ˆ
1
x=0
1
x=0
1
x=0
ˆ √1−x2
y=0
(y · z) dz dy dx =
2
2
ˆ
1
x=0
ˆ √1−x2
y/2 · (1 − x − y ) dy dx =
y=0
ˆ
1
x=0
√
1−x2 −y 2
dy dx
y · z 2 /2 z=0
y2
y4
(1 − x2 ) −
4
8
√
1−x2
dx
y=0
ˆ 1
(1 − x2 )2
1 − x2
(1 − x2 )2
(1 − x2 ) −
dx
dx =
4
8
8
x=0
1
(1 − 2x2 + x4 )
x
x3
x5
1
dx =
−
+
=
.
8
8
12
40 x=0
15
Die beiden äußeren Integrale deuten auf einen Kreis mit Radius 1 hin. Am
innersten Integral erkennt man zudem die Kugelgleichung x2 + y 2 + z 2 = R2 mit
R = 1.
Das angegebenen Integrationsgebiet ist also der Durchschnitt von R3+ mit einer
Kugel mit Radius R = 1 und Mittelpunkt (0, 0, 0).
Aufgabe 3.2.1. Berechnen Sie die Aufgabe aus Beispiel 3.2.3 mittels Kugelkoordinaten.
Aufgabe 3.2.2. Berechnen Sie das Integral
ˆ 2 ˆ x
1
( 2 + ex ) dy dx
y
x=1 y=1
und skizzieren Sie die Fläche, welche durch die angegebenen Grenzen beschrieben
wird. Wie sieht das Integral aus, wenn bei der Integration die Reihenfolge der
Variablen geändert wird? Berechnen Sie auch dieses Integral und vergleichen Sie
die Ergebnisse.
Aufgabe 3.2.3. Berechnen Sie das Integral
ˆ 2 ˆ 2
(x2 + 4xy) dy dx
x=0
y=x
3.3. ANWENDUNG: MAGNETISCHER FLUSS
27
und skizzieren Sie die Fläche, welche durch die angegebenen Grenzen beschrieben
wird. Wie sieht das Integral aus, wenn bei der Integration die Reihenfolge der
Variablen geändert wird? Berechnen Sie auch dieses Integral und vergleichen Sie
die Ergebnisse.
3.3
Anwendung: Magnetischer Fluss
Der magnetische Fluss eines Magnetfeldes Φ gibt an, wieviel Flussdichte eine
gegebene Fläche in Richtung der Flächennormalen durchsetzt:
¨
~
~ · dA.
B
Φ=
Ist die Fläche geschlossen, d.h. Gesamtoberfläche eines Körpers, so gilt stets
‹
~ · dA
~ = 0.
B
Φ=
Benötigt wird der magnetische Fluss z.B. zur Berechnung der Induktivität von
Spulen.
Als Spulen bezeichnet man Bauelemente, welche magnetische Energie speichern
können. Die einfachste Spulenform ist die Ringkernspule (Toroidspule). Diese
besteht aus einem ringförmigen Kern (µ ≫ µ0 ), welcher gleichmäßig und dicht
mit dünnem Draht bewickelt ist.
Hat dieser Draht N Windungen und fließt in ihm
ein Strom I, so wird im Kern ein magnetisches
Feld mit
~ = N I ~eϕ
H
2πρ
Ra
~ = N Iµ ~eϕ
bzw. B
2πρ
erzeugt. Diese Formel erhält man mit dem Durchflutungsgesetz und Zylinderkoordinaten.
Vereinfachend kann mitunter angenommen werden, dass der Wert B der Flussdichte im Ringkern überall gleich ist. Dies ist z.B. für Ra ≈ Ri
möglich.
Ri
666
Wird der Wert B der Flussdichte im Ringkern als überall gleich angenommen,
so kann der Abstand ρ durch den durchschnittlichen Radius Rm = (Ri + Ra )/2
ersetzt werden. Es ist dann
~ = N Iµ ~eϕ = N Iµ ~eϕ .
B
2πRm
lm
Dabei ist lm = 2πRm der durchschnittliche Umfang des Kerns.
Beispiel 3.3.1. Es sei eine Ringkernspule gegeben mit der magnetischen Fluss~ = IN µ ~eϕ . Der Querschnitt der Spule sei ein Dreieck. Wir wollen den
dichte B
2πρ
magnetischen Fluss in der Ringspule berechnen.
28
KAPITEL 3. MEHRFACHINTEGRALE
Für die Querschnittsflächen verwenden wir das Flächenelement
6
z
~ = dρ dz ~eϕ .
dA
h
Ri
Ra
ρ
Die Integralgrenzen können jedoch nicht durch einfache Intervalle angegeben werden.
i)
Ist ρ ∈ [Ri , Ra ] fixiert, so ist z ∈ [zu , h] mit zu = h(ρ−R
Ra −Ri vom Wert ρ abhängig.
Wir erhalten somit
ˆ Ra ˆ h
ˆ
¨
dρ
IN µ Ra
IN µ
~ =
~ dA
(h − zu ) .
B
dz dρ =
Φ=
2πρ
2π
ρ
ρ=Ri z=zu
ρ=Ri
Es ist nun
h − zu = h −
(Ra − Ri ) − (ρ − Ri )
Ra − ρ
h(ρ − Ri )
=h·
=h·
.
Ra − Ri
Ra − Ri
Ra − Ri
Wir können nun die Berechnung des Flusses Φ fortsetzen und erhalten
ˆ Ra
h
iRa
IN µh
Ra − ρ
IN µh
Φ =
Ra · ln(ρ) − ρ
dρ =
2π(Ra − Ri ) ρ=Ri
ρ
2π(Ra − Ri )
ρ=Ri
IN µh
Ra
=
Ra · ln( ) − (Ra − Ri ) .
2π(Ra − Ri )
Ri
~ =
Aufgabe 3.3.1. Es sei eine Ringkernspule gegeben mit B
IN µ
eϕ .
2πρ ~
6
z
h
Ri
Ra
ρ
Der Querschnitt der Spule sei
ein Rechteck, wie in der Abbildung angegeben.
Berechnen Sie den magnetischen
Fluss in der Ringspule.
~ =
Aufgabe 3.3.2. Es sei eine Ringkernspule gegeben mit B
z
6
z = k/ρ
Ri
Ra
ρ
IN µ
eϕ .
2πρ ~
Wie groß ist der magnetische Fluss
in der Spule, wenn für den gegebenen Querschnitt (siehe Abbildung)
Ri = R,
Ra = 2R und k = R2
gilt?
Aufgabe 3.3.3. Gegeben sei ein magnetisches Feld, dessen Flussdichte in Zylinderkoordinaten durch
~ = B0 · e−ρ/R · ~ez
B
gegeben ist. Wie groß ist der magnetische Fluss durch eine kreisförmige Leiterschleife in der x-y–Ebene mit Radius R und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung?