Wechselspannung Tutorium

University of Applied
Sciences Cologne
Wechselspannung
Tutorium
Zeigerdiagramme
ZD-01
Campus Gummersbach
Dipl.-Ing. (FH)
Dipl.-Wirt. Ing. (FH)
G. Danielak
Stand: 19.03.2006; R0
Wie bereits im Kapitel „Wechselspannung an R, L, C“ beschrieben, ist die Darstellung von
Wechselgrößen in reellen Organigrammen ein umständliches Verfahren. Aufgrund dessen greift man in
der Elektrotechnik auf das einfachere Darstellen von symbolischen Zeigern zurück.
Hier noch einmal eine kurze Wiederholung der drei Bauelemente und ihre Eigenschaften:
j⋅ Im{U; I}
IR
R
IR
UR
UR
Re{U; I}
Beim Widerstand sind
Strom und Spannung in
Phase
Re{U; I}
Bei der Induktivität eilt
die Spannung dem Strom
um 90° vor
Re{U; I}
Bei der Kapazität eilt
der Strom der Spannung
um 90° vor
j ⋅ Im{U; I}
UL
IL
L
IL
UL
j⋅ Im{U; I}
IC
C
UC
IC
UC
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Zeigerdiagramme
ZD-02
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Dipl.-Ing. (FH)
Dipl.-Wirt. Ing. (FH)
G. Danielak
Stand: 19.03.2006; R0
Bei einer RL-Reihenschaltung werden Widerstand und Induktivität vom gleichen Strom I durchflossen.
Weil der Strom nicht explizit vorgegeben wurde, ist die Festlegung von Betrag und Phase willkürlich.
Aus zeichentechnischen Gründen wird hier das andere DIN-Symbol für die Induktivität verwendet.
Es gilt: U R = I ⋅ Z R = I ⋅ R und
U L = I ⋅ ZL = I ⋅ j⋅ X L
I
UR
UL
Die Gesamtspannung U ergibt sich aus der geometrischen
Addition der Einzelspannungen (2. Kirchhoffscher Satz):
U
U = U R + U L = I ⋅ R + I ⋅ j ⋅ X L = I ⋅ (R + j ⋅ X L ) = I ⋅ Z , also Z = R + j ⋅ X L
Die einzelnen Beträge, d. h. die Länge des jeweiligen Zeigers, für die Spannung am Widerstand bzw. an
der Induktivität errechnet man wie folgt:
UR = I ⋅ R = I ⋅ R
UL = I ⋅ j⋅ XL = I ⋅ j⋅ XL = I ⋅ XL
(es gilt : j ⋅ X
L
= X L ⋅ e j90°
)
Das dazugehörige Zeigerdiagramm sieht wie folgt aus:
j⋅ Im{U; I}
UL ∼ XL
U∼Z
ϕ
I
UR ∼ R
Re{U; I}
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ZD-03
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Stand: 19.03.2006; R0
In Wirklichkeit beginnen alle Spannungen und Ströme im Ursprung. Man verschiebt die Spannung U L
einfach ans Ende von U R damit sie geometrisch addiert werden kann. Im Schaltbild sieht man es am
deutlichsten: Die Spannung U L beginnt dort, wo die Spannung U R aufhört.
Deutlich ist ebenfalls zu erkennen, dass die Gesamtspannung U die geometrische Addition aus U R und
U L ist. Um den Betrag der Gesamtspannung zu berechnen, quadriert man die einzelnen Beträge der
Einzelspannungen, summiert diese und radiziert das Ergebnis (Satz des Pythagoras). Die Gleichung sieht
wie folgt aus:
U=
2
UR + UL
2
Dafür müssen die einzelnen Beträge bekannt sein. Der Größe von U kann auf eine andere Art berechnet
werden: Man ersetzt einfach die einzelnen Beträge der Spannungen U R sowie U L und erhält – nach
einigen Umformungen – das Ergebnis für U über das Produkt von Strom I und Impedanz Z.
U=
2
UR + UL
2
=
2
I ⋅ R + I ⋅ j ⋅X L
2
=
2
(
2
I ⋅ R + j⋅ X L
2
) = I ⋅ 1R42+ 4X3 = I ⋅ Z
2
2
L
Z
Der Phasenwinkel ϕ kann mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen ermittelt werden. Er gibt die
Phasendifferenz zwischen Strom I und Gesamtspannung U an.
sin(ϕ ) =
UL
U
⎛U ⎞
⇔ ϕ = arcsin⎜⎜ L ⎟⎟
⎝ U ⎠
cos(ϕ ) =
UR
tan(ϕ ) =
U
⎛U ⎞
⇔ ϕ = arccos⎜⎜ R ⎟⎟
⎝ U ⎠
UL
UR
⎛U ⎞
⇔ ϕ = arctan⎜⎜ L ⎟⎟
⎝ UR ⎠
Weil die Spannungen proportional zur Impedanz sind gilt auch dementsprechend:
⎛ XL ⎞
⎟
⎟
Z
⎝
⎠
ϕ = arcsin⎜⎜
⎛R⎞
⎟
⎟
Z
⎝ ⎠
ϕ = arccos⎜⎜
⎛ XL ⎞
⎟
⎟
R
⎝
⎠
ϕ = arctan⎜⎜
Im Kapitel „Wechselspannung an R, L, C“ wurde gezeigt, dass auch die Leistung proportional zur
Impedanz ist. Daher auch:
⎛ QL ⎞
⎟
⎝ S ⎠
ϕ = arcsin⎜
⎛P⎞
⎝S⎠
ϕ = arccos⎜ ⎟
Allgemein gilt für die Leistung:
S = P + j⋅ Q
1
bzw. S = P 2 + Q 2 = ⋅ û ⋅ î = u eff ⋅ i eff
2
⎛ QL ⎞
⎟
⎝ P ⎠
ϕ = arctan⎜
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ZD-04
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Stand: 19.03.2006; R0
Bei einer RC-Reihenschaltung werden Widerstand und Kapazität ebenfalls vom gleichen Strom I
durchflossen. Diesen wählt man wiederum als Bezugspunkt für das Erstellen des Zeigerbilds. Die
Festlegung von Betrag und Phase erfolgt willkürlich.
Es gilt: U R = I ⋅ Z R = I ⋅ R und
U C = I ⋅ ZC = I ⋅ j ⋅ X C
I
UR
UC
U
Die Gesamtspannung U ergibt sich aus der geometrischen
Addition der Einzelspannungen (2. Kirchhoffscher Satz):
U = U R + U C = I ⋅ R + I ⋅ j ⋅ X C = I ⋅ (R + j ⋅ X C ) = I ⋅ Z , also Z = R + j ⋅ X C
Hinweis:
Bei einer Reihenschaltung werden die einzelnen Widerstände addiert. Durch den
Phasenbezug von Strom und Spannung bei der Kapazität ergibt sich hier jedoch eine
⎛1
⎞
Subtraktion ⎜⎜ = − j⎟⎟ . Um daraus wieder eine Addition zu machen, muss der
⎝j
⎠
Blindwiderstand X C negativ sein. Dann gilt:
Z = R − j ⋅ (− X C ) = R + j ⋅ X C
Die einzelnen Beträge, d. h. die Länge des jeweiligen Zeigers, für die Spannung am Widerstand bzw. an
der Kapazität errechnet man wie folgt:
UR = I ⋅ R = I ⋅ R
UC = I ⋅ j⋅ XC = I ⋅ j⋅ XC = I ⋅ XC
(es gilt : j ⋅ X
C
)
= X C ⋅ e j90° = X C ⋅ e -j90° [weil X C < 0]
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ZD-05
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Stand: 19.03.2006; R0
Das dazugehörige Zeigerdiagramm sieht wie folgt aus:
j⋅ Im{U; I}
UR ∼ R
I
UC ∼ XC
ϕ
Re{U; I}
U∼Z
Die Gesamtspannung U ist die geometrische Addition aus U R und U C . Es gilt:
2
2
2
2
U=
UR + UC
U=
UR + UC
=
2
I ⋅ R + I ⋅ j ⋅X C
2
=
2
(
2
I ⋅ R + j ⋅X C
2
) = I ⋅ 1R42+ 4X3 = I ⋅ Z
2
2
C
Z
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ZD-06
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Stand: 19.03.2006; R0
Der Phasenwinkel ϕ wird wie gehabt berechnet:
sin(ϕ ) =
UC
U
⎛U ⎞
⇔ ϕ = arcsin⎜⎜ C ⎟⎟
⎝ U ⎠
cos(ϕ ) =
UR
U
⎛U ⎞
⇔ ϕ = arccos⎜⎜ R ⎟⎟
⎝ U ⎠
⎛ XC ⎞
⎟
⎟
Z
⎝
⎠
ϕ = arccos⎜⎜
⎛ QC ⎞
⎟
⎝ S ⎠
ϕ = arccos⎜ ⎟
ϕ = arcsin⎜⎜
ϕ = arcsin⎜
tan(ϕ ) =
UC
UR
⎛U ⎞
⇔ ϕ = arctan⎜⎜ C ⎟⎟
⎝ UR ⎠
⎛R⎞
⎟
⎟
Z
⎝ ⎠
ϕ = arctan⎜⎜
⎛P⎞
⎝S⎠
ϕ = arctan⎜
⎛ XC ⎞
⎟
⎟
R
⎝
⎠
⎛ QC ⎞
⎟
⎝ P ⎠
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ZD-07
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Stand: 19.03.2006; R0
Bei einer RL-Parallelschaltung fällt am Widerstand und an der Induktivität die gleiche Spannung U ab.
Diese wählt man daher als Bezug. Es ist aber auch möglich, dass Zeigerbild durch einen der beiden
Ströme zu konstruieren. Die Zusammenhänge sind in allen Fällen gleich. Weil die Spannung nicht
explizit vorgegeben wurde, ist die Festlegung von Betrag und Phase wiederum willkürlich.
I
UR = UL = U
IL
1 U
und
=
R R
1
U
I L = U ⋅ Y L = U ⋅ BL = U ⋅
=
j⋅ X L j⋅ X L
Es gilt: I R = U ⋅ Y R = U ⋅ G = U ⋅
IR
Der Gesamtstrom I ergibt sich aus der geometrischen
Addition der Einzelströme (1. Kirchhoffscher Satz):
U
I = IR + IL =
⎛1
1
1
U
U
1 ⎞
⎟⎟ = U ⋅ Y , also Y = +
+
= U ⋅ ⎜⎜ +
R j⋅ X L
R j⋅ X L
⎝ R j⋅ XL ⎠
bzw. Z =
R ⋅ j⋅ X L
1
1
=
=
Y 1+ 1
R + j⋅ XL
R j⋅ XL
Die jeweiligen Beträge, d. h. die Länge des jeweiligen Zeigers, für den Strom durch Widerstand bzw.
durch die Induktivität errechnet man wie folgt:
IR =
U U
=
R
R
IL =
U
U
U
=
=
j⋅ XL
j⋅ X L
XL
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ZD-08
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Stand: 19.03.2006; R0
Das dazugehörige Zeigerdiagramm sieht wie folgt aus:
j⋅ Im{U; I}
U
.
IR ∼ G
IL ∼ BL
ϕ
Re{U; I}
I∼Y
Dieses Zeigerbild ist eine Momentaufnahme; alle Spannungen und Ströme beginnen im Ursprung und
werden nur zur geometrischen Addition auf ihren Wirkungslinien verschoben. Weil sich alle Zeiger mit
der Geschwindigkeit ω ⋅ t entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn drehen und der Strom I L der Spannung U
nacheilt, wird dieser „nach rechts“, bezogen auf U L , gezeichnet − exakt 90° nacheilend.
Der Betrag des Gesamtstroms wird wie folgt berechnet:
I=
2
IR + IL
2
Dafür müssen die einzelnen Beträge bekannt sein. Den Betrag von I kann man auch auf eine andere Art
und Weise berechnen:
I=
2
IR + IL
2
2
=
U
U
+
R
j ⋅X L
2
=
⎛ 12
1
U ⋅⎜
+
⎜R
j⋅ XL
⎝
2
2
2
2
⎞
U
⎞
⎛
1
1
⎛
⎞
⎟ = U ⋅ ⎜ ⎟ +⎜
⎟
=
⋅
=
U
Y
⎜X ⎟
⎟
Z
⎝R⎠
L ⎠
⎠
1442⎝44
3
Y
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ZD-09
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G. Danielak
Stand: 19.03.2006; R0
Für den Phasenwinkel ϕ ergeben sich folgende Zusammenhänge:
sin(ϕ ) =
IL
I
⎛ IL ⎞
⇔ ϕ = arcsin⎜⎜ ⎟⎟
⎝ I ⎠
cos(ϕ ) =
IR
I
⎛ IR ⎞
⎟
⇔ ϕ = arccos⎜⎜
⎟
I
⎝
⎠
tan(ϕ ) =
IL
IR
⎛ IL ⎞
⎟
⇔ ϕ = arctan⎜⎜
⎟
I
⎝ R ⎠
Weil die Ströme proportional zur Admittanz sind gilt auch dementsprechend:
⎛ BL ⎞
⎟
⎟
Y
⎝
⎠
ϕ = arcsin⎜⎜
⎛G⎞
⎟
⎟
Y
⎝ ⎠
ϕ = arctan⎜⎜
⎛P⎞
⎝S⎠
ϕ = arctan⎜
ϕ = arccos⎜⎜
⎛ BL ⎞
⎟
⎟
⎝ G ⎠
Für die Leistungen gilt:
⎛ QL ⎞
⎟
⎝ S ⎠
ϕ = arcsin⎜
ϕ = arccos⎜ ⎟
⎛ QL ⎞
⎟
⎝ P ⎠
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ZD-010
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Stand: 19.03.2006; R0
Bei der RC-Reihenschaltung gelten ähnliche Regeln wie bei der RL-Reihenschaltung, jedoch eilt der
Strom durch die Kapazität der daran abfallenden Spannung U um 90° vor.
IR
I
1 U
=
und
R R
1
1
I C = U ⋅ Y C = U ⋅ BC = U ⋅ XC = U ⋅ j ⋅
XC
j
Es gilt: I R = U ⋅ Y R = U ⋅ G = U ⋅
UR = UC = U
IC
Der Gesamtstrom I ergibt sich aus der geometrischen Addition
der Einzelströme (1. Kirchhoffscher Satz):
I = IR + IC =
⎛1
1
1
U
1
1 ⎞
⎟⎟ = U ⋅ Y , also Y = + j ⋅
+ U ⋅ j⋅
= U ⋅ ⎜⎜ + j ⋅
R
R
XC
XC ⎠
XC
⎝R
bzw. Z =
R ⋅ j⋅ XC
1
1
=
=
Y 1 + j⋅ 1
R + j⋅ XC
R
XC
Die einzelnen Beträge, d. h. die Länge des jeweiligen Zeigers, für den Strom durch Widerstand bzw.
durch die Kapazität errechnet man wie folgt:
IR =
U U
=
R
R
IC = U ⋅ j⋅
HINWEIS:
1
1
1
= U ⋅ j⋅
= U⋅
XC
XC
XC
Der Blindwiderstand für die Kapazität wird negativ angegeben wird (z. B. X C = −20Ω ).
Für die Berechnung des Stroms durch die Kapazität wird − wie in der Formel für I C
dargestellt − der Betrag verwendet. Weil dies der positive Zahlenwert für X C ist (also
20Ω ), wird auch das Ergebnis für I C in jedem Falle positiv.
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ZD-011
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Stand: 19.03.2006; R0
Das dazugehörige Zeigerbild sieht wie folgt aus:
j⋅ Im{U; I}
I∼Y
IC ∼ BC
ϕ
Re{U; I}
IR ∼ G
.
U
Die Berechnung für I erfolgt nach dem Satz des Pythagoras:
I=
2
IR + IC
2
Eine andere Möglichkeit I zu berechnen ist die Division von U durch Z :
I=
2
IR + IC
2
2
=
U
1
+ U ⋅ j⋅
R
XC
2
=
⎛ 1 2
1
U ⋅⎜
+ j⋅
⎜R
XC
⎝
2
2
2
2
⎞
U
⎞
⎛
1
1
⎞
⎛
⎟ = U ⋅ ⎜ ⎟ +⎜
⎟
U
Y
=
⋅
=
⎟
Z
⎝ R ⎠ ⎜ X C ⎟⎠
⎠
1442⎝44
3
Y
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ZD-012
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Dipl.-Ing. (FH)
Dipl.-Wirt. Ing. (FH)
G. Danielak
Stand: 19.03.2006; R0
Für den Phasenwinkel ϕ ergeben sich folgende Zusammenhänge:
sin(ϕ ) =
IC
I
⎛ IC ⎞
⎟
⇔ ϕ = arcsin⎜⎜
⎟
I
⎝
⎠
cos(ϕ ) =
IR
I
⎛ IR ⎞
⎟
⇔ ϕ = arccos⎜⎜
⎟
I
⎝
⎠
tan(ϕ ) =
IC
IR
⎛ IC ⎞
⎟
⇔ ϕ = arctan⎜⎜
⎟
I
R
⎝
⎠
Weil die Ströme proportional zur Admittanz sind gilt auch dementsprechend:
⎛ BC ⎞
⎟
⎟
Y
⎝
⎠
ϕ = arcsin⎜⎜
⎛G⎞
⎟
⎟
Y
⎝ ⎠
ϕ = arctan⎜⎜
⎛P⎞
⎝S⎠
ϕ = arctan⎜
ϕ = arccos⎜⎜
⎛ BC ⎞
⎟
⎟
G
⎝
⎠
Für die Leistungen gilt:
⎛ QC ⎞
⎟
⎝ S ⎠
ϕ = arcsin⎜
ϕ = arccos⎜ ⎟
⎛ QC ⎞
⎟
⎝ P ⎠
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ZD-013
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G. Danielak
Stand: 19.03.2006; R0
RLC-Reihenschaltungen, besser bekannt als Reihenschwingkreis, bestehen lediglich aus einer Induktivität
und einer Kapazität. Der Widerstand, der zu den beiden Bauelementen in Reihe liegt, resultiert einerseits
aus dem Wickelwiderstand der Induktivität, sowie dem Widerstand der inneren Zuleitungen und
Kontaktwiderständen zwischen Elektroden und Anschlussdrähten bei der Kapazität. Aus diesem Grund
ist der Wirkwiderstand bei einem Reihenschwingkreis sehr klein gegenüber den Blindwiderständen der
Induktivität bzw. Kapazität.
Reihenschwingkreise sind Sonderfälle in der Elektrotechnik. Das liegt daran, dass die Spannung an dem
jeweiligen Bauelement − betragsmäßig − um einiges größer sein kann als die angelegte Quellenspannung.
Der Grund hierfür ist die Phasenlage der einzelnen Spannungen zum Strom, der bei allen Bauteilen gleich
ist und deshalb als Bezugsgröße definiert wird.
I
UR
UL
UC
Es gilt: U R = I ⋅ Z R = I ⋅ R ,
U L = I ⋅ Z L = I ⋅ j ⋅ X L und
U C = I ⋅ ZC = I ⋅ j ⋅ X C
U
Die Gesamtspannung U ergibt sich aus der geometrischen Addition der drei Einzelspannungen
(2. Kirchhoffscher Satz):
U = U R + U L + U C = I ⋅ R + I ⋅ j ⋅ X L + I ⋅ j ⋅ X C = I ⋅ (R + j ⋅ X L + j ⋅ X C ) = I ⋅ Z ,
1
424
3
UX
also Z = R + j ⋅ X L + j ⋅ X C = R + j ⋅ (X L + X C )
14243
X
Die einzelnen Beträge, d. h. die Länge des jeweiligen Zeigers, für die Spannung am Widerstand, der
Induktivität und der Kapazität errechnet man wie folgt:
UR = I ⋅ R = I ⋅ R
UL = I ⋅ j⋅ XL = I ⋅ j⋅ XL = I ⋅ XL
UC = I ⋅ j⋅ XC = I ⋅ j⋅ XC = I ⋅ XC
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ZD-014
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Stand: 19.03.2006; R0
Daraus resultiert folgendes Zeigerdiagramm:
j⋅ Im{U; I}
UL ∼ XL
UR ∼ R
.
I
ϕ
UC ∼ XC
U∼Z
Re{U; I}
UX ∼ X
Die Spannung U L (hier gestrichelt dargestellt) eilt dem Strom I , und damit auch der Spannung U R , um
90° vor. Die Spannung U C eilt dem Strom um 90° nach. Dadurch ergibt sich eine Phasenverschiebung
von U L zu U C um 180°. Dies bedeutet, dass sich beide Spannungen auf ein und derselben Wirkungslinie
befinden und einfach voneinander subtrahiert werden können. Auf diese Art und Weise erhält man die
Spannung U X . Geometrisch betrachtet wird die Spannung U X durch eine Addition berechnet, die in
Wirklichkeit eine Subtraktion ist, weil beide Spannungen in die entgegen gesetzte Richtung zeigen. Ganz
deutlich wird dies bei der Berechnung des Blindwiderstands X:
1
ω⋅C
1 ⎞
⎛
⇔ U X = I ⋅ j ⋅ (X L + X C ) = I ⋅ j ⋅ ⎜ ω ⋅ L −
⎟
ω⋅C ⎠
⎝
X = XL + XC = ω ⋅ L −
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ZD-015
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Stand: 19.03.2006; R0
Der Betrag der Gesamtspannung U kann wiederum mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet
werden. Allerdings ergibt sich der Imaginärteil aus den beiden Spannungen U L und U C :
U=
⇔U=
2
UR + UX
2
=
U R + (U L − U C )
2
I ⋅ R + I ⋅ j ⋅ (X L + X C ) =
2
2
2
[
]
I ⋅ R 2 + (X L + X C ) = I ⋅ R 2 + (X L + X C ) = I ⋅ Z
144
42444
3
Z
2
2
2
Des Weiteren können drei mögliche Fälle auftreten:
1. X L > X C :
das bedeutet ein positives Vorzeichen für den Blindwiderstand X, die resultierende
Spannung U X eilt dem Strom 90° vor; induktives Verhalten.
2. X L < X C :
das bedeutet ein negatives Vorzeichen für den Blindwiderstand X, die resultierende
Spannung U X eilt dem Strom 90° nach; kapazitives Verhalten (siehe
Beispielschaltung).
3. X L = X C :
in diesem Fall liegt Resonanz vor. Die beiden Spannungen an Induktivität und
Kapazität sind gleich groß und heben sich auf. Sie können um ein vielfaches größer
als die angelegte Quellenspannung sein, die komplett am Widerstand R abfällt.
Für die ersten beiden Fälle gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
sin(ϕ ) =
UX
cos(ϕ ) =
U
⎛U ⎞
⇔ ϕ = arcsin⎜⎜ X ⎟⎟
⎝ U ⎠
UR
U
⎛U ⎞
⇔ ϕ = arccos⎜⎜ R ⎟⎟
⎝ U ⎠
⎛X⎞
⎟
⎟
⎝ Z⎠
ϕ = arccos⎜⎜
⎛ QX ⎞
⎟
⎝ S ⎠
ϕ = arccos⎜ ⎟
ϕ = arcsin⎜⎜
ϕ = arcsin⎜
2
ϕ = arctan⎜⎜
⎛P⎞
⎝S⎠
ϕ = arctan⎜
1
= i eff ⋅ u Leff − u Ceff
ω⋅C
UX
UR
⎛U ⎞
⇔ ϕ = arctan⎜⎜ X ⎟⎟
⎝ UR ⎠
⎛R⎞
⎟
⎟
⎝Z⎠
Die gesamte Blindleistung Q X berechnet sich aus folgender Formel:
Q X = Q L − Q C = i eff ⋅ ω ⋅ L −
tan(ϕ ) =
⎛X⎞
⎟
⎟
⎝R⎠
⎛ QX ⎞
⎟
⎝ P ⎠
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ZD-016
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Stand: 19.03.2006; R0
Bei Resonanz (3. Fall) ergibt sich folgendes Zeigerdiagramm:
j⋅ Im{U; I}
UL ∼ XL
UC ∼ XC
UR = U
.
I
ϕ
Re{U; I}
Für die Berechnung der Impedanz Z ergeben sich nun folgende Zusammenhänge:
Z = R + j ⋅ X L + j ⋅ X C = R + j ⋅ (X L + X C ) = R
14243
=0
Damit ist auch die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gleich Null. Die
Resonanzfrequenz wird aus der Gleichung für den Blindwiderstand X heraus berechnet:
X = XL + XC = 0 X
⇔ X L = −X C
1
ω⋅C
1
⇔ ω2 =
L⋅C
1
⇔ω=
L⋅C
⇔ ω⋅L =
⇔f =
1
1
⋅
2π L ⋅ C
L =− XC
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ZD-017
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Stand: 19.03.2006; R0
Die Konstruktion eines Zeigerdiagramms soll beispielhaft für die unten abgebildete Schaltung einmal
durchgeführt werden:
Iges
UR2
I1
I2
UR1
UQ
UL
UC
gegeben:
I1 = (1 + j ⋅ 0,5)A
R 1 = 10Ω
R 2 = 5Ω
X L = 10Ω
X C = −8Ω
Maßstab:
1A =ˆ 5cm
2V =ˆ 1cm
Gesucht ist eine zeichnerische Lösung für den Betrag der Quellenspannung U Q sowie den Quellenstrom
I ges . Ferner soll gezeigt werden, ob diese Schaltung die Quelle induktiv, kapazitiv oder rein ohmsch
belastet.
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ZD-018
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Lösung:
1. Vorgegeben ist nur der Strom I1 (schwarz gezeichnet). Das bedeutet, dass man erst alle Spannungen
und Ströme in die Schaltung einzeichnen muss, damit eine saubere Zuordnung zu den berechneten
Werten gewährleistet wird.
2. Die Phasenlage der einzelnen Spannungen und Ströme wird rechnerisch nicht benötigt. Sie ergibt sich
aus dem Schaltbild und dem Zusammenhang zwischen Spannung und Strom an den drei passiven
Bauelementen (siehe Seite 1).
Berechnung aller möglichen Werte:
I1 = Re{I1 } + Im{I1 } =
2
2
(1A )2 + (0,5A )2
= 1,25A 2 ≈ 1,12A
U R1 = I1 ⋅ R 1 = I1 ⋅ R 1 = 1,12A ⋅10Ω = 11,20V
U C = I1 ⋅ j ⋅ X C = I1 ⋅ X C = 1,12A ⋅ 8Ω = 8,96V
UL =
I2 =
2
U R1 + U C
2
=
(11,20V )2 + (8,96V )2
= 205,72V 2 ≈ 14,34V
U
UL
14,34V
= L =
= 1,43A
XL
XL
10Ω
3. Aus den bis jetzt berechneten Werten kann ein erstes Zeigerdiagramm erstellt werden (siehe Seite 19).
Begonnen wird mit I1 . Der Strom liegt 1A auf der reellen und 0,5A auf der imaginären Achse.
Danach zeichnet man in Phase dazu U R . Die Spannung U C liegt 90° nacheilend zum Strom I1 und
wird deshalb „nach rechts“ − bezogen auf I1 − gezeichnet. Sie wird an das Ende von U R verschoben,
damit sie zu dieser Spannung geometrisch addiert werden kann. Das Ergebnis ist die Spannung U L
(2. Kirchhoffscher Satz: U L − U R1 − U C = 0 ⇔ U L = U R1 + U C ).
Der Strom I 2 liegt zur Spannung U L 90° nacheilend, wird daher um 90° „nach rechts“ − bezogen zu
U L − gezeichnet. Die geometrische Summe der beiden Ströme I1 und I 2 ergibt den Gesamtstrom
I ges (1. Kirchhoffscher Satz: I ges − I1 − I 2 = 0 ⇔ I ges = I1 + I 2 ).
Es ist zwar möglich diesen Gesamtstrom zu berechnen, jedoch ist dieses Verfahren sehr umständlich.
Daher wird der Betrag von I ges − also die Länge des Zeigers − gemessen. Damit kann man die letzte
Größe berechnen, in diesem Falle die Spannung an R2. Sie liegt mit dem Gesamtstrom in Phase und
wird an das Ende von U L gezeichnet. Das ist deshalb möglich, weil der Widerstand R2 mit der
Parallelschaltung in der Reihenfolge vertauscht werden kann (Kommutativgesetz). An der
Parallelschaltung fällt komplett die Spannung U L ab. Für die Gesamtspannung ist es unwichtig, ob
man sie aus der Gleichung U Q = U R2 + U L , oder aus der Gleichung U Q = U L + U R2 berechnet. Die
Spannung U R2 beginnt also dort, wo die Spannung der Parallelschaltung U L aufhört. Das muss man
auch im Zeigerdiagramm berücksichtigen.
Die geometrische Summe aller Spannungen ergibt U Q ; der Betrag wird, genau wie bei I ges , einfach
gemessen.
University of Applied
Sciences Cologne
Wechselspannung
Tutorium
Zeigerdiagramme
ZD-019
Campus Gummersbach
Dipl.-Ing. (FH)
Dipl.-Wirt. Ing. (FH)
G. Danielak
Stand: 19.03.2006; R0
j⋅ Im{U; I}
4. I ges = 5,7cm =ˆ 1,14A
U R2 = I ges ⋅ R 2 = I ges ⋅ R 2 = 1,14A ⋅ 5Ω = 5,70V
U ges = 9,5cm =ˆ 19,00V
I1
UR1
UC
Re{U; I}
ϕ
Iges
UL
.
I2
UR2
UQ
Der Phasenwinkel ϕ gibt die Phasenlage von I ges zu U Q an. Eilt die Gesamtspannung dem Gesamtstrom
vor, dann belastet die Schaltung die Quelle induktiv. Eilt die Gesamtspannung dem Gesamtstrom nach, so
wird die Quelle kapazitiv belastet. In diesem Beispiel liegt induktive Last vor.
Zur Kontrolle sollen die Gesamtspannung U Q und der Gesamtstrom I ges einmal berechnet werden.
Eine Möglichkeit besteht darin, alle Spannungen und Ströme zu berechnen. Damit kann man I ges nach der
Formel I ges = I1 + I 2 und U Q nach der Formel U Q = U L + U R2 ermitteln:
U L = U R1 + U C = I1 ⋅ (R 1 − j ⋅ X C ) = (1 + j ⋅ 0,5)A ⋅ (10 − j ⋅ 8)Ω = (14 − j ⋅ 3)V
(14 − j ⋅ 3)V = − j ⋅ 3V + 14V = (− 0,3 − j ⋅1,4)A
UL
I2 =
=
j⋅ XL
j ⋅10Ω
j ⋅10Ω j ⋅10Ω
Kontrolle: I 2 = Re{I 2 } + Im{I 2 } =
2
(− 0,3A )2 + (− 1,4A )2
2
= 2,05A 2 ≈ 1,43A 9
I ges = I1 + I 2 = (1 + j ⋅ 0,5)A + (− 0,3 − j ⋅1,4)A = (0,7 − j ⋅ 0,9)A
Kontrolle: I ges = Re{I ges } + Im{I ges } =
2
2
(0,7A )2 + (− 0,9A )2
= 1,3A 2 ≈ 1,14A 9
University of Applied
Sciences Cologne
Wechselspannung
Tutorium
Zeigerdiagramme
ZD-020
Campus Gummersbach
Dipl.-Ing. (FH)
Dipl.-Wirt. Ing. (FH)
G. Danielak
Stand: 19.03.2006; R0
U R2 = I ges ⋅ R 2 = (0,7 − j ⋅ 0,9 )A ⋅ 5Ω = (3,5 − j ⋅ 4,5)V
U Q = U L + U R2 = (14 − j ⋅ 3)V + (3,5 − j ⋅ 4,5)V = (17,5 − j ⋅ 7,5)V
Kontrolle: U Q = Re{U Q } + Im{U Q } =
2
2
(17,5V )2 + (− 7,5V )2
= 362,5V 2 ≈ 19,04V 9
Andere Möglichkeiten, die Beträge von U Q und I ges zu berechnen, werden hier nicht herangezogen.