Schritt für Schritt erklärt – Sinus und Kosinus

Die Sinus- und Kosinusfunktion begreifen
Reihe 39
S1
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Schritt für Schritt erklärt – Sinus und Kosinus
Florian Borges, Traunstein
2
y
2
3
3
R
1
1
ϕ( t )
4
0
I/C
4
0
t
5
7
5
6
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
7
6
Die Sinusfunktion entsteht durch Projektion eines rotierenden Zeigers auf die y-Achse.
Klasse: 9 und 10
Dauer:
6 Stunden
Inhalt:
Steigungsdreieck; Sinus, Kosinus und
Tangens am rechtwinkligen Dreieck;
trigonometrischer Pythagoras (sin2 α +
cos2 α = 1); die Winkelfunktionen sin(x),
cos(x) und tan(x) (Periodizität; Nullstellen;
y-Achsen-Abschnitt); Sinus- und Kosinussatz für das nicht rechtwinklige Dreieck;
Additionstheoreme; Aufgaben aus der
Vermessungstechnik
Ihr Plus: Die Schüler leiten die Sinus- und Kosinussätze selbst her.
Die Winkelbeziehungen am rechtwinkligen Dreieck kennen Ihre Schüler schon. Bringen
Sie eine Küchenuhr in den Unterricht mit. Führen Sie die Sinus- bzw. Kosinusfunktion als
Projektion des gegen den Uhrzeigersinn rotierenden Uhrzeigers auf die y- bzw. x-Achse
ein. So erweitern Sie die Kenntnisse Ihrer Schüler mithilfe eines anwendungsorientierten
Beispiels. Den Sinus- und Kosinussatz für das nicht rechtwinklige Dreieck leiten die
Schüler eigenständig her. Führen Sie die Additionstheoreme mithilfe einer Zeichnung ein.
Ein Zuordnungspuzzle und Aufgaben aus der Vermessungstechnik runden den Beitrag ab.
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Sinus- und Kosinusfunktion begreifen
Reihe 39
S2
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Didaktisch-methodische Hinweise
Führen Sie den Sinus und Kosinus als Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck ein
(M 2). Wenn Sie dieses als Steigungsdreieck interpretieren (M 1), so ergibt sich, dass der
Tangens des Winkels zwischen der Verlängerung der Hypotenuse und der x-Achse gerade
der Steigung m der Geraden entspricht (M 2).
Auch der trigonometrische Pythagoras (sin2 α + cos2 α = 1) fällt hierbei ab (M 3).
I/C
Stellen Sie die Winkelfunktionen am Einheitskreis dar und erweitern Sie so deren Begrifflichkeiten auf Winkel α > 90° (M 4). Die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion entstehen
aus der Projektion einer Drehbewegung (M 5).
Den Sinus- und Kosinussatz leiten die Schüler selbstständig her. Sie gehen dabei nach
einer Strategie vor, die sich schon häuig bewährt hat: Sie zerlegen das komplexe Problem
in einfache Teilprobleme, die sie mit bekannten Mitteln lösen können. Hier zeichnen sie
dazu im allgemeinen Dreieck eine Höhe ein. Die Beziehungen in den rechtwinkligen Teildreiecken liefern die Zusammenhänge (M 6). Zur Veranschaulichung der Additionstheoreme dient eine einfache Zeichnung (M 7). So werden die Gleichungen schnell deutlich.
T
H
C
Ein Zuordnungspuzzle (M 8) verdeutlicht den Einluss von Parametern auf die trigonometrischen Funktionen. Als Anwendung insbesondere der Sinus- und Kosinussätze bieten
sich Vermessungsaufgaben an (M 9). Anregungen hierzu liefert RAAbits IV/A Einzelstunde 68. Die Einzelstunde illustriert, wie sich mithilfe der Sinus- und Kosinussätze unzugängliche Größen leicht bestimmen lassen. Nutzen Sie diesen Bezug, um das ansonsten
recht trockene Thema anwendungsorientiert zu vermitteln.
I
S
N
A
R
O
Vorkenntnisse
Die Schüler kennen den Satz des Pythagoras und den Sinus und Kosinus als Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck.
V
Vorbereitung und Ablauf der Arbeit an der Lerntheke
Sie kopieren die Materialien M 4–M 8 in Klassenstärke. Ein Exemplar laminieren Sie
jeweils. Dieses und die Kopien legen Sie stapelweise auf der Fensterbank aus. Die Schüler
bearbeiten die Materialien einzeln in Stillarbeit. Bei Bedarf tauschen sie sich mit ihrem
Banknachbarn aus. Anschließend besprechen Sie die Lösungen im Plenum. Eventuell
tragen hierzu einzelne Schüler ihre Lösungen vor.
Ziele
Die Schüler
– verstehen Steigungsangaben mit Steigungsfaktor (auch in Prozent),
– kennen die für alle reellen Zahlen deinierte Sinus- und die Kosinusfunktion und ihre
Graphen,
– können den Einluss von Parametern auf den Verlauf der Graphen richtig beschreiben,
– wenden den Sinus- und Kosinussatz bei Berechnungen am allgemeinen Dreieck an,
– wissen die Additionstheoreme auswendig und
– bewältigen Triangulationsaufgaben der Vermessungstechnik nicht nur zeichnerisch,
sondern auch rechnerisch.
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Sinus- und Kosinusfunktion begreifen
Reihe 39
S4
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Auf einen Blick
Einstieg: Die Winkelbeziehungen am rechtwinkligen Dreieck wiederholen (Klasse 9)
Material
M 1
Thema
Stunde
1.
75 % Steigung – das Steigungsdreieck auswerten
Das Steigungsdreieck richtig interpretieren
M 2
Sinus, Kosinus, Tangens – weißt du ihre Deinition noch?
HA
Die Deinition von Sinus, Kosinus und Tangens wiederholen
I/C
M 3
Sinus, Kosinus und Tangens – wiederholt Grundlagen!
2.
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchführen
Sinus und Kosinusfunktion entstehen aus der Projektion einer Kreisbewegung (Kl. 10)
Material
M 4
T
H
C
Thema
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Stunde
3.
I
S
N
Die Winkelfunktionen am Einheitskreis darstellen; elementare
Werte der Winkelfunktionen auswendig lernen
M 5
Sinus und Kosinus als Funktionen von x
Die Sinus- und Kosinusfunktion zeichnen; Vergleich der Sinusund der Kosinusfunktion (Periode, Schnittpunkte mit den
Achsen)
A
R
O
V
Den Sinus- und Kosinussatz und die Additionstheoreme kennenlernen
Material
M6
Thema
Das nicht rechtwinklige Dreieck – Sinus- und Kosinussatz
Stunde
4.
Herleitung des Sinus- und Kosinussatzes; Satz von Pythagoras
M7
Sinus und Kosinus verknüpft – die Additionstheoreme
5.
Additionstheoreme; Zusammenfassung aller Formeln
M8
Was passt zusammen? – Ein Zuordnungspuzzle
HA
Dem Schaubild einer Funktion die Funktionsgleichung zuordnen
Lernerfolgskontrolle
Material
M9
(LEK)
Thema
Aufgaben aus der Praxis – testen Sie Ihr Wissen!
Anwendungsaufgaben (auch aus der Vermessungstechnik)
HA  Hausaufgabe
72 RAAbits Mathematik September 2012
Stunde
6.
Die Sinus- und Kosinusfunktion begreifen
Reihe 39
Verlauf
Material
S1
LEK
Glossar
Lösungen
M 1 75 % Steigung – das Steigungsdreieck auswerten
Das Schild besagt, dass die Straße eine Steigung von
75 % hat. Das bedeutet, dass sie auf einer Länge von
100 m um 75 m ansteigt.
75 m
= 0, 75 = 75 %
100 m
Foto: Zoonar
In der Mathematik beschreibst du Steigungen mithilfe
eines Steigungsdreiecks.
Was das ist, erfährst du hier.
I/C
Bergauf im ersten Gang
Das Steigungsdreieck
Das Schaubild zeigt eine Gerade mit der Gleichung y = 0,75x + 2. Sie hat die Steigung 0,75
oder 75 %. Das bedeutet, dass bei Vergrößerung des x-Wertes um 1 der y-Wert um jeweils
0,75 zunimmt. Wenn du im Schaubild um eine Einheit nach rechts gehst, so musst du um
0,75 Einheiten nach oben gehen, um auf dem Graphen der Funktion zu bleiben.
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
Aufgabe
Um wie viel vergrößert sich der y-Wert, wenn du den x-Wert um 4 [um 8] vergrößerst?
Die Steigungsdreiecke im Schaubild sind zueinander ähnlich.
Der Neigungswinkel α der Geraden gegen die positive x-Achse beträgt 36,9°. Er beschreibt
die Steigung ebenso wie der Wert 0,75. Alle Steigungsdreiecke sind zueinander ähnlich,
die Verhältnisse entsprechender Seiten und die Innenwinkel (insbesondere α) also gleich.
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Sinus- und Kosinusfunktion begreifen
Reihe 39
M 2
Verlauf
Material
S2
LEK
Glossar
Lösungen
Sinus, Kosinus, Tangens –
weißt du ihre Deinition noch?
Merke: Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck
I/C
T
H
C
I
S
N
In einem rechtwinkligen Dreieck mit Innenwinkel α gilt:
A
R
O
Gegenkathete
a
=
Hypotenuse
c
Ankathete
b
=
cos α =
Hypotenuse
c
Gegenkathete
a
=
tan α =
Ankathete
b
sin α =
V
Sinus von α
Kosinus von α
Tangens von α
Bemerkung: Die beiden Schreibweisen sin(α) und sin α sind gleichbedeutend.
Im Steigungsdreieck aus unserem Beispiel (M 1) ist also:
sin α =
3
= 0,6
5
10
}
C
4
cos α =
= 0,8
5
8
AC = 10
6
AE = 5
3
tan α =
= 0,75
4
E
4
AG = 1.25
G
2
A
} 0.75
F
}
3
D
6
B
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2
Merke
Der Tangens liefert gerade die Steigung m der Geraden mit der Gleichung y = mx + t.
tan α =
a
=m
b
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Sinus- und Kosinusfunktion begreifen
Reihe 39
M3

Verlauf
Material
S3
LEK
Glossar
Lösungen
Sinus, Kosinus und Tangens –
wiederholt Grundlagen!
Hier übt ihr den Umgang mit Sinus, Kosinus und Tangens. Bildet Gruppen von maximal
vier Schülern. Setzt euch zusammen an einen großen Tisch. Jede Gruppe erhält eine
Aufgabenkarte und bearbeitet diese. Ihr habt 15 Minuten Zeit. Erstellt gemeinsam ein
Lösungsblatt. Jeweils einer aus der Gruppe trägt die Ergebnisse vor.
1. Ergänzt die Tabelle so weit wie möglich.
I/C
Taschenrechner oder Formelsammlung helfen euch weiter.
sin α
α
cos α
tan α
0°
T
H
C
30°
45°
I
S
N
60°
90°

A
R
O
2. Berechnet.
Rundet auf 4 Stellen hinter dem Komma.
a) sin (0,5°)
V
b) cos (12°)
c) tan (89°)
3. Zeichnet …
… ein rechtwinkliges Dreieck mit den
Katheten a und b und dem Innenwinkel α. Berechnet allgemein den (überraschenden!) Wert des Terms
(sin α)2 + (cos α)2.
Übertragt euer Ergebnis unter der Überschrift
Für Experten
π
d) sin ( )
6
„Trigonometrischer Pythagoras“
Taschenrechner auf Radiant stellen!
in eure Hefte.

4. Für welche Winkel α ist …
5. Begründet …
a) sin α = 0,1?
… folgende Gleichungen für ein rechtwinkliges Dreieck (γ = 90°).
b) cos α = 0,99?
a) sin (90° − α) = cos α
c) tan α = 0,5?
b) cos (90° − α) = sin α
d) tan α = 1?

6. Welchen Winkel …
7. Welche Funktionsgleichung …
… schließen die Gerade mit der Gleichung
… hat die Gerade durch (0|5), die mit der
positiven x-Achse einen Winkel von 30°
einschließt?
y = 2x − 3
und die positive x-Achse ein?
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Sinus- und Kosinusfunktion begreifen
Reihe 39
M5
Verlauf
Material
S5
LEK
Glossar
Lösungen
Sinus und Kosinus als Funktionen von x
Die Zeichnung zeigt eine Kreisbewegung. Skizzieren Sie durch Projektion den Verlauf der
Sinus- und der Kosinuskurve.
Stellen Sie sich ein Rad vor, das sich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Betrachten Sie den
Weg des Ventils – einmal von links und einmal von oben.
I/C
α
90°
α
T
H
C
180° 270° 360°
I
S
N
90°
A
R
O
α
Foto: Pixelio
180° 270° 360°
V
Werkzeuge zum Zeichnen

Aufgaben
Zur Selbstkontrolle
1. Betrachten Sie die Funktionsgraphen
der Sinus- und der Kosinusfunktion.
Beschreiben Sie sie.
2. An welchen Stellen schneiden
die Sinusfunktion und die
Kosinusfunktion die x-Achse?
3. An welchen Stellen schneiden die
Funktionen die y-Achse?
4. Welchen y-Wert nehmen die Funktionen maximal an?
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Sinus- und Kosinusfunktion begreifen
Reihe 39
M7
Verlauf
Material
S7
LEK
Glossar
Lösungen
Sinus und Kosinus verknüpft –
die Additionstheoreme
P
Zeichnen Sie ein Rechteck, das möglichst
breiter als hoch ist. Verbinden Sie einen
Punkt P der oberen Seite (rechts von
der Mitte, vgl. Skizze) geradlinig mit
der linken, unteren Ecke A. Fällen Sie in
diesem Punkt das Lot auf die Strecke PA .
Das Lot schneidet das Rechteck erneut
im Punkt Q. Die Verbindungsstrecke AQ
habe die Maßeinheit 1 (so definieren wir
unsere Einheit). Die Winkel bezeichnen
Sie wie in der Abbildung mit α und β.
Q
+
6
I/C
A
Aufgaben
T
H
C
1. Drücken Sie die Längen aller vorkommenden Strecken mithilfe der trigonometrischen
Funktionen Sinus und Kosinus aus. Dabei gelten:
sin (α + β) = sin α • cos β + cos α • sin β
I
S
N
cos (α + β) = cos α • cos β − sin α • sin β
2. Fertigen Sie abermals eine solche
Zeichnung an. Bezeichnen Sie die Winkel aber diesmal wie nebenstehend.
A
R
O
Drücken Sie auch hier die Längen aller
vorkommenden Strecken mithilfe der
trigonometrischen Funktionen Sinus
und Kosinus aus.
V
Dabei gelten:
sin (α − β) = sin α • cos β − cos α • sin β
cos (α − β) = cos α • cos β + sin α • sin β
Zusammenfassung: Sinus- und Kosinussätze
Im Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b und c sowie den Winkeln α, β und γ gelten
folgende Beziehungen:
a
b
c
=
=
= 2 r , r  Radius
sin α
sin β
sin γ
a2 = b2 + c2 − 2 • b • c • cos α
b2 = a2 + c2 − 2 • a • c • cos β
c2 = a2 + b2 − 2 • a • b • cos γ
Zudem gelten die Additionstheoreme:
sin (α ± β) = sin α • cos β ± cos α • sin β
±
cos (α ± β) = cos α • cos β
sin α • sin β
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Sinus- und Kosinusfunktion begreifen
Reihe 39
Verlauf
Material
S9
LEK
Glossar
Lösungen
M 9 Aufgaben aus der Praxis – testen Sie Ihr Wissen!
Aufgaben
1. Berechnen Sie den Winkel α, unter dem sich die Geraden mit den Gleichungen
y = 3x − 1 und y = −x − 4
schneiden.
Zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem. Vergleichen Sie das rechnerische
Ergebnis mit Ihrer Zeichnung.
I/C
2. Für welche x gilt cos(2x) = sin(x)?
Führen Sie eine Probe durch.
3. In einem Dreieck ABC mit Innenwinkel α = 35° sind außerdem a = 6 cm und c = 7 cm
gegeben. Fertigen Sie eine Skizze des Dreiecks an. Berechnen Sie die fehlende Seitenlänge sowie die beiden anderen Winkel.
T
H
C
4. Sie sitzen in einem Ballon B und befinden sich in der Höhe von BF = 1400 m über einem
See. Der Winkel δ =  FBA beträgt 47° und der Winkel  FBC (= β + δ) beträgt 54°.
Ermitteln Sie die Länge der Strecke CA .
I
S
N
Die Skizze ist nicht maßstabsgerecht.
A
R
O
V
5. Die Breite b einer kurvenlosen, überall gleich breiten ebenen Straße soll von der
gegenüberliegenden Seite eines Zaunes aus vermessen werden (vgl. Skizze).
Geben Sie ein Verfahren an, wie
man das Problem zeichnerisch
lösen kann.
Fertigen Sie eine Skizze an.
Begründen Sie.
Für Experten
b
Lösen Sie das Problem rechnerisch.
72 RAAbits Mathematik September 2012
Die Sinus- und Kosinusfunktion begreifen
Reihe 39
Verlauf
Lösungen und
M1
W
Material
LEK
Glossar
Lösungen
S1
Tipps zum Einsatz
75 % Steigung – das Steigungsdreieck auswerten
∆y ( ∆x = 4) = 0, 75 ⋅ 4 = 3
à Vergrößert man den x-Wert um 4 Einheiten, so nimmt der y-Wert um 3 Einheiten zu.
∆y ( ∆x = 8) = 0, 75 ⋅ 8 = 6
à Vergrößert man den x-Wert um 8 Einheiten, so nimmt der y-Wert um 6 Einheiten zu.
I/C
M2
Sinus, Kosinus, Tangens – weißt du ihre Deinition noch?
Dieses Material lesen sich die Schüler in Stillarbeit oder als Hausaufgabe durch.
M 3
T
H
C
Sinus, Kosinus und Tangens – wiederholt Grundlagen!
Aus jeder Gruppe stellt ein Schüler seine Lösung im Plenum vor. Geben Sie den Schülern die Möglichkeit, Fragen zu stellen.
I
S
N
1.
α
sin α
0°
0
cos α
1
A
R
O
1
2
30°
V
45°
1
2
2
60°
1
2
3
90°
1
2
3
1
2
2
1
2
1
0
2.
a) 0,0087
b) 0,9781
c) 57,28996 ≈ 57,29
d) 0,5 (Experten)
3.
Herleitung des „trigonometrischen Pythagoras“:
Nach Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck:
a 2 + b2 = c 2
und daher:
sin2 α + cos2 α =
tan α
a2 b2 a2 + b2 c2
+
=
= 2 =1
c2 c2
c2
c
4.
a) 5,739°
b) 8,1096°
c) 26,565°
d) 45°
72 RAAbits Mathematik September 2012
0
1
3
3
1
3
∞
Ben im rechtwinkligen Dreieck
I htwinkligen Dreieck mit Innenwinkel α gilt:
Gegenkathete
=
Hypotenuse
cos α = Ankathete =
Hypotenuse
Gegenkathete
tan α =
=
Ankathete
sin α =
a
c
b
c
a
b
S on α
Kosinus von α
Tangens von α
S
osinusfunktion entstehen durch Projektion einer Kreisbewegung auf die Achsen
E Denkt man sich den Zeiger einer rückwärtslaufenden Uhr als rotierende Strecke mit Länge 1, so wandert ihr äußerer Endpunkt gegen den
Uhrzeigersinn auf dem Einheitskreis herum.
Sie können den Zeiger als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks
ansehen.
Die Katheten dieses Dreiecks sind gleich dem Sinus und Kosinus des
Winkels α.
D S
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
Die Kosinusfunktion
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
α
sin α
0
0
30°
1
2
4
60
1
2
1
2
2
3
90
1
α
cos α
0
1
30°
4
1
2
1
2
3
2
60
1
2
90
0
Beziehungen im nicht rechtwinkligen Dreieck – Sinus- und Kosinussätze
Im allgemeinen Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b und c sowie den Winkeln α, β und γ gelten
folgende Beziehungen:
a
b
c
=
=
= 2 r, r  Radius
sin α sin β sin γ
Sinussätze
a2 = b2 + c2 − 2 • b • c • cos α
b2 = a2 + c2 − 2 • a • c • cos β
c2 = a2 + b2 − 2 • a • b • cos γ
Zudem gelten die Additionstheoreme:
sin (α ± β) = sin α • cos β ± cos α • sin β
cos (α ± β) = cos α • cos β  sin α • sin β
Kosinussätze