U.48 Es sei S ≡ x 1 + x2 + ··· + x n mit xi > 0 (i = 1, 2,...,n). Man zeige

U.48 Es sei S ≡ x1 + x2 + · · · + xn mit xi > 0 (i = 1, 2, . . . , n). Man zeige
S
S
S
n2
+
+···+
≥
,
S − x1 S − x2
S − xn
n−1
wobei das Gleichheitszeichen genau bei x1 = x2 = · · · = xn gilt.
U.48 Beweis: Die AM-HM-Ungleichung in den positiven Zahlen a i , i = 1, 2, . . . , n,
¶
1
1
1
+
+ ··· +
≥ n2
(U.122)
(a1 + a2 + · · · + an )
a1 a2
an
P
P
hat die Besonderheit, daß sie außer der Summe
ai auch die SummePder Reziproken (1/ai )
enthält. Setzen wir P
die linke Seite der behaupteten Ungleichung gleich
ai , also ai = S/(S −xi ),
so vereinfacht sich (1/ai ) wegen übereinstimmender Zähler der ai zu
µ
X 1
S − x1 S − x2
S − xn
nS − S
=
+
+ ··· +
=
= n − 1.
ai
S
S
S
S
(U.123)
Die Behauptung folgt direkt aus (U.122) und (U.123) mit Gleichheit bei a 1 = a2 = · · · = an
oder x1 = x2 = · · · = xn . ¤
Bemerkung: Auch die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (U.38) führt hier zum Ziel.