5. Vorlesung Vorlesung Vorlesung EPI 2f) Scheinkräfte
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5. Vorlesung EPI 2f) Scheinkrä Scheinkräfte 2.f) Scheinkräfte = Trägheitskräfte in beschleunigten Systemen, z.B. im anfahrenden oder bremsenden Auto oder in der Kurve („Zentrifugalkraft“). In nicht beschleunigten Systemen („Inertialsysteme“) gibt es keine ScheinKräfte und die Dynamik wird hinreichend durch die Newtonschen Axiome beschrieben, z.B. r r F=m⋅a (Newton II). Aus der Sicht eines mitbeschleunigten Beobachters liest sich diese Gleichung: r r F −m⋅a = 0 123 Scheinkraft In seinem Koordinatensystem ruht die Masse m, weil sich die äußere Kraft r F r − m ⋅ a und die Scheinkraft (Trägheitskraft) kompensieren. (s. 3 folgende Folien) EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EPI 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Systeme, in denen die Newton’schen Axiome gelten, heißen Inertialsysteme a) Ruhende Beobachterin, mit konstanter Geschwindigkeit fahrender Wagen Geworfener Ball auf `Wurfparabel’ b) Bewegter Beobachter auf dem fahrendem Wagen Senkrechter Wurf, identische Dynamik Geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Systeme sind Inertialsysteme (es wird keine Kraft benötigt, das System auf seiner Bahn zu halten) EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EPI 2f) Scheinkrä Scheinkräfte In beschleunigte Systemen verhalten sich die Dinge anders ... Im ruhenden System S (Beobachter außen) bleibt das ruhende Buch in Ruhe (Trägheit) Fschein Beschleunigt der Wagen, rutscht das Buch vom Tisch, ein mitfahrender, mitbeschleunigter Beobachter (S’) misst eine Kraft, die das Buch vom Tisch zu ziehen scheint. Diese für ihn real erscheinende Kraft (messbar mit der dargestellten Feder) nennen wir Scheinkraft oder Trägheitskraft, Beschleunigte Systeme sind also keine Intertialsysteme. EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EPI 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Insbesondere sind rotierende Systeme beschleunigte Systeme ... (Richtungsänderung) a) Ruhender Beobachter: Das Buch bewegt sich geradlinig (Trägheit). b) Beschleunigter Beobachter (im Zug, um die Kurve): Muss eine Kraft aufbringen, um das Buch auf die Kreisbahn bringen, für ihn wirkt eine Scheinkraft nach Außen (Zentrifugalkraft). EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EPI 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Ein r Spezialfall sind rotierende Systeme. Eine Rotationr stelltreine Beschleunigung dar, weil der Geschwindkeitsvektor v ständig seine Richtung ändert (zur Erinnerung: a = dv / dt ). Für einen Beobachter im rotierenden System unterliegen alle Körper mit Masse m zwei Scheinkräften: der Zentrifugalkraft FZf und, wenn sich der Körper im rotierenden System bewegt, zusätzlich der Corioliskraft FC. Betrachten wir ein sich gleichförmig drehendes System mit Umlauffrequenz f und führen wir die Winkelgeschwindigkeit ω ein: ω= ∆ϕ Winkel (im Bogenmaß) 2π = = ∆t Zeit T Dabei ist T die Umlaufzeit. Die Umlauffrequenz ist f = 1/T , deshalb ist ω= 2π· f Die Geschwindigkeit eines im rotierenden System ruhenden Körpers ist im Laborsystem v = 2 π· r / T = ω· r wobei r der Abstand vom Drehpunkt ist. Mit den so definierten Größen läßt sich mit Hilfe der Differentialrechnung für Vektoren (s. Herleitung auf nächster Folie) zeigen, daß FZf = m· r · ω² = m · v² /r EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EPI 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Zentrifugalkraft Ein rotierende Körper wird durch die Zentripetalkraft auf der Kreisbahn gehalten. Im rotierenden System erscheint der Körper in Ruhe. Entgegen der Zentripetalkraft wird die Zentrifugalkraft empfunden. FZ = m ⋅ a rotation v2 = m ⋅ = m ⋅ ω2 ⋅ r r EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EPI Umlauffrequenz: f= Umlaufzeit (Periode): ω 2π T= 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Zahl der Umdrehungen pro Sekunde [f]: [1/s] = 1 Hz (Hertz) 1 2π = f ω Eine Kreisbewegung mit konst. ω ist eine beschleunigte Bewegung, da zwar der Betrag v= const., sich aber die Richtung von ständig ändert. Beschleunigung: r r ∆v ∆ϕv ∆ϕ a=a = = = ⋅ r ⋅ ω = r ⋅ ω2 ∆t ∆t ∆t da v ω= r v2 folgt a = r ⋅ ω = r 2 → Zentrifugalkraft FZf = m· r· ω2 = m· v2 r EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EPI 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Die Corioliskraft zieht bei einem linksdrehenden System nach rechts. Ihre Stärke ist auf der nächsten Folie r (ohne Herleitung) für den einfachen Fall eines radial gerichteten Geschwindigkeitsvektors v (im rotierenden r . System) angegeben und auf der übernächsten Folie für beliebige Richtung von v Fazit: Sogenannte Schein- oder Trägheitskräfte sind immer dann (und nur dann) zu berücksichtigen, wenn man Vorgänge aus der Sicht eines beschleunigten Beobachters beschreiben will. EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EPI 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Corioliskraft (wirkt auf bewegte Körper in rotierenden Systemen) a) Ruhender Beob. b) Rotierender Beob. a) Der Fänger verpasst, da er sich wegdreht b) Eine Kraft scheint den Ball nach rechts abzulenken, genannt Corioliskraft Fc = 2m ⋅ v ⋅ ω Sie steht senkrecht zur Drehachse und zur Geschwindigkeit EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EPI 2f) Scheinkrä Scheinkräfte r Für eine beliebige Richtung von v muß man das Vektorprodukt von r in Richtung der Drehachse vom Betrag ω ) und v einführen: r ω (=Vektor r r r FC = −2mω x v r r r r D.h. |FC | = 2mvωsin(α) mit FC senkrecht (┴) zu v und FC ⊥ ω Bei Rotation entgegen Uhrzeigersinn (z.B. Nordhalbkugel der Erde vom Polarstern aus betrachtet): a) Bewegung von außen nach innen: große Anfangstangentialgeschwindigkeit vr = rw folgt Ablenkung nach rechts. b) Bewegung von innen nach außen: kleine Anfangstangentialgeschwindigkeit innen gibt: Scheibe dreht sich unter Masse weg: Daraus folgt im bewegten System Ablenkung nach rechts Bei Umkehr des Drehsinnes: Ablenkung nach links. Anwendungen und Auswirkungen: Luftbewegung auf Erde Passat, Hochdruckgebiet Mäandern von Flüssen EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 5. Vorlesung EPI 2f) Scheinkrä Scheinkräfte Corioliskraft auf der Erde, Wolkenwirbel Luft strömt in ein Tiefdruckgebiet und wird auf Nordhalbkugel nach rechts abgelenkt, ein Wolkenwirbel entsteht. EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EPI 3.Arbeit, Energie, a) Arbeit Arbeit und Energie gehören zu den wichtigsten Begriffen der Physik Arbeit = Kraft . Weg Arbeit ist eine skalare Größe (reine Zahl). Sie wird aus 2 Vektoren berechnet (Skalarprodukt): r r r r W = F ⋅ s =| F | ⋅ | s | ⋅cosθ Einheit: [w] = [F] * [s] = 1 Newton * Meter EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EPI 3.Arbeit, Energie, Merke: Es wird keine Arbeit geleistet, wenn die Richtung der Kraft senkrecht zur Richtung des Weges ist. (Bsp.: Rotationsbewegung -> Mondbewegung um Erde) r r r r F ⋅ s =| F | ⋅ | s | ⋅ cos α r r r r F ⋅ s = 0 , wenn F senkrecht auf s Was passiert bei krummlinigen Bewegungen ? Die Verschiebung muss in kleine Stücke zerlegt werden Die Arbeit wird für jedes Stück berechnet und aufsummiert EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EPI 3.Arbeit, Energie, Übergang zum Intergral: r Zerlegung des Weges in Teilstücke ∆ si Wges für krumme Bahnen und sich ändernde Kräfte: r r r r = Σ Wi = ΣFi ⋅ ∆ si ⇒ ∫ Fd s i Leistung ∆W J P= [ Watt = W = ] = mittlere Leistung im (endlichen) Zeitintervall ∆t s dW P= dt ∆t = momentane Leistung (Differentialquotient) EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EPI 3.Arbeit, Energie, b) Energie In einem System, an dem Arbeit verrichtet wurde, ist das Vermögen gespeichert, selbst wieder Arbeit zu verrichten. Dieses Vermögen nennt man Energie. Formen von mechanischer Energie: Potentielle Energie: Epot, durch die Lage eines Punktes in einem Kraftfeld gegeben (Bsp.: Hubarbeit im Schwerefeld) Kinetische Energie: Ekin, durch den Bewegungszustand eines Körpers gegeben, d.h. durch die Geschwindigkeit EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EPI 3.Arbeit, Energie, Potentielle Energie im Schwerefeld: F ist eine gegen die Schwerkraft gerichtete Kraft in Richtung s Wpot r v = F ⋅ s = mg ⋅ h ⋅ cos(0 ) = m ⋅ g ⋅ h Potentielle Energie in einer gespannten Feder: r r F = D⋅x Die Kraft ändert sich längs des Weges ! r r 1 Wpot = ∫ F ⋅ dx = ∫ D ⋅ x ⋅ cos(0)dx = Dx 2 2 r v F = D⋅ x EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EPI 3.Arbeit, Energie, Beschleunigungsarbeit, kinetische Energie: konstante Beschleunigung a Wkin r r = F ⋅ s = m ⋅ a ⋅ s ⋅ cos(0) 1 → Wkin = m ⋅ a ⋅ at 2 2 1 v =at ) ( → Wkin = mv 2 2 (s= 1 at 2 ) 2 Rotationsenergie, etc.: später EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Energie, Stöß Stöße öße 5. Vorlesung EPI 3.Arbeit, Energie, Energie-Erhaltungssatz: Energie kann nur von einer Form in eine andere verwandelt werden, sie kann nicht vernichtet oder erzeugt werden. Falls Energieverlust durch Reibung oder ähnliche Prozesse vernachlässigt werden kann, gilt für ein abgeschlossenes System der Energiesatz der Mechanik: E ges = E pot + E kin = const. Neben der potentiellen, kinetischen oder elastischen Energie gibt es weitere Formen: Wärmeenergie, elektrische Energie, Strahlungsenergie Der Energie-Erhaltungssatz gilt ganz allgemein für jede Energieform: Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler
