5. Vorlesung Vorlesung Vorlesung EP

5. Vorlesung EP
5. Vorlesung EP
I) Mechanik
1. Kinematik
2.Dynamik
a) Newtons Axiome (Begriffe Masse und Kraft)
b) Fundamentale Kräfte
c) Schwerkraft (Gravitation)
d) Federkraft
e) Reibungskraft
f) Scheinkräfte
3. Arbeit, Leistung, Energie und Stöße
Versuche:
Zentrifugalkraft als Trägheitskraft
Zentrifugalkraft als Scheinkraft
Corioliskraft
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
5. Vorlesung EP
2f) Scheinkrä
Scheinkräfte
f) Trägheits- und Scheinkräfte
Als Trägheitskraft bezeichnet man die Kraft, mit der die träge Masse einer
äußeren beschleunigenden Kraft entgegenwirkt, nach Newtons Axiom #3
Actio = reactio. Newtons Prinzip #2:
r
r
F= m⋅ a
kann man umschreiben zu einem Kräftegleichgewicht (Actio + reactio= 0):
r
r
F −m⋅a = 0
123
Trägheitskraft
Der Körper, der die äußere, beschleunigende
Kraft ausübt, verspürt eine Gegenkraft, durch
die träge Masse m verursacht.
Für Beobachter in beschleunigten Bezugssystemen, z.B. im anfahrenden
oder bremsenden Auto oder in der Kurve oder auf einem Karussell,
werden solche Trägheitskräfte zu „Scheinkräften“. Die Zentrifugalkraft
auf rotierenden Systemen ist ein bekanntes Beispiel.
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
5. Vorlesung EP
2f) Scheinkrä
Scheinkräfte
Aus der Sicht eines mitbeschleunigten Beobachters liest sich obige Gleichung:
r
r
F −m⋅a = 0
123
Scheinkraft
In seinem Koordinatensystem ruht die Masse m, weil sich die äußere Kraft
r
F
r
−
m
⋅
a
und die Scheinkraft (Trägheitskraft)
kompensieren.
(s. 2 folgende Folien)
Systeme, in denen die Newton’schen Axiome gelten, heißen Inertialsysteme
Der Fixsternhimmel ist in guter Näherung ein Inertialsystem. Unser Laborsystem auf der Erde ist aufgrund der Erdrotation genau genommen kein
Inertialsystem. Doch wird es oft (wenn die Scheinkräfte vernachlässigbar
sind) näherungsweise als solches angenommen.
Wenn wir ein Inertial-System gefunden haben, dann gilt:
Geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu unserem Inertialsystem
bewegte Systeme sind ebenfalls Inertialsysteme (Es wird keine Kraft benötigt,
das System auf seiner Bahn zu halten, es gibt keine Scheinkräfte, Körper bleiben
in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, wenn keine äußeren Kräfte auf sie
wirken etc…)
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
5. Vorlesung EP
2f) Scheinkrä
Scheinkräfte
In beschleunigten Systemen verhalten sich die Dinge anders ...
Im ruhenden Inertial-System S
(Beobachter außen) bleibt das
ruhende Buch in Ruhe (Trägheit)
Fschein
Beschleunigt der Wagen, rutscht das
Buch vom Tisch, ein mitfahrender,
mitbeschleunigter Beobachter (S’)
misst eine Kraft, die das Buch vom
Tisch zu ziehen scheint.
Diese für ihn real erscheinende Kraft (messbar mit der dargestellten Feder)
nennen wir Scheinkraft, sie ist = der Trägheitskraft,
Beschleunigte Systeme sind keine Inertialsysteme.
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
5. Vorlesung EP
2f) Scheinkrä
Scheinkräfte
Rotierende Systeme sind beschleunigte Systeme ...
(Richtungsänderung der Geschwindigkeit).
a) Ruhender Beobachter: Das Buch bewegt sich geradlinig (Trägheit).
falls nicht festgehalten.
b) Beschleunigter Beobachter (im Zug, um die Kurve): Muss eine Kraft
aufbringen, um das Buch auf die Kreisbahn bringen, für ihn wirkt
eine Scheinkraft nach Außen (Zentrifugalkraft).
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
5. Vorlesung EP
2f) Scheinkrä
Scheinkräfte
Rotation stellt Beschleunigung dar, weil der Geschwindkeitsvektor ständig seine
Richtung ändert (zur Erinnerung: a= rω² in radialer Richtung nach innen.)
Für einen Beobachter im rotierenden System unterliegen alle Körper mit Masse m
zwei Scheinkräften: Zentrifugalkraft Fz und, wenn sich der Körper im rotierenden
System bewegt, zusätzlich die von der Geschwindigkeit abhängige Corioliskraft
Fc.
Die Beschleunigung a kennen wir schon, s. oben, daher ist die Trägheitskraft =
Scheinkraft für Beobachter im rotierenden Bezugssystem nach
Newton#2,
F = ma:
FZ = m— r — ω²
= m — v² /r
Versuch: Rotierende Scheibe mit Körper an Feder
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
2f) Scheinkrä
Scheinkräfte
5. Vorlesung EP
Zentrifugalkraft
Ein rotierender Körper wird durch die
Zentripetalkraft (äußere Kraft für den Körper)
auf der Kreisbahn gehalten. Als Gegenkraft
wird Zentrifugalkraft (Trägheitskraft) empfunden
Im rotierenden System erscheint der Körper in Ruhe
infolge des Gleichgewichtes zwischen einer
Scheinkraft (Folge der Trägheit) und der
Zentripetalkraft.
FZ = m ⋅ a rotation
v2
= m ⋅ = m ⋅ ω2 ⋅ r
r
Ausführliche Erläuterung zu
Versuch: Rotierende Scheibe
mit Körper an Feder
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
5. Vorlesung EP
2f) Scheinkrä
Scheinkräfte
Die
Corioliskraft
zieht bei einem linksdrehenden System nach rechts. Ihre Stärke ist auf der
nächsten Folie (ohne Herleitung) für den
r einfachen Fall eines radial
gerichteten Geschwindigkeitsvektors v (im rotierenden System)
angegeben
und auf der übernächsten Folie für beliebige Richtung
r
von v .
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
5. Vorlesung EP
2f) Scheinkrä
Scheinkräfte
Corioliskraft (wirkt auf bewegte Körper in rotierenden Systemen)
a) Ein ruhender Beobachter außerhalb
der rotierenden Scheibe, zwei auf
Scheibe
b) Alle 3 Gestalten rotieren
a) Der Fänger verpasst,
da er sich wegdreht
b) Eine Kraft scheint den
Ball nach rechts
abzulenken, genannt
Corioliskraft
Fc = 2m ⋅ v ⋅ ω
Sie steht senkrecht zur Drehachse und zur Geschwindigkeit
VERSUCH Corioliskraft
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
2f) Scheinkrä
Scheinkräfte
r
r
muß man das Vektorprodukt von v und ω (=Vektor
5. Vorlesung EP
r
Für beliebige Richtung von v
in Richtung der Drehachse vom Betrag ω ) einführen:
r
r r
FC = − 2 m ω x v
r
D.h. |F C | = 2mvωsin(α)
r
FC
ist senkrecht zu v und ω
Bei Rotation entgegen Uhrzeigersinn (z.B. Nordhalbkugel der Erde vom Polarstern aus
betrachtet):
a) Bewegung von außen nach innen: große Anfangstangentialgeschwindigkeit vr = rω
folgt Ablenkung nach rechts.
b) Bewegung von innen nach außen: kleine Anfangstangentialgeschwindigkeit
innen gibt: Scheibe dreht sich unter Masse weg:
Daraus folgt im bewegten System Ablenkung nach rechts
Bei Umkehr des Drehsinnes : Ablenkung nach links.
Anwendungen und Auswirkungen:
Luftbewegung auf Erde
Passat, Hochdruckgebiet
Mäandern von Flüssen
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
5. Vorlesung EP
2f) Scheinkrä
Scheinkräfte
Corioliskraft auf der Erde, Wolkenwirbel
Luft strömt in ein Tiefdruckgebiet und wird auf Nordhalbkugel nach rechts
abgelenkt, ein Wolkenwirbel entsteht.
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Energie, Stöß
Stöße
öße
5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie,
3. Arbeit, Leistung, Energie und Stöße
a) Arbeit = Kraft
.
Weg
Arbeit ist eine skalare Größe (reine Zahl).
Sie wird aus 2 Vektoren berechnet (Skalarprodukt):
r r r
r
W = F ⋅ s = | F | ⋅ | s | ⋅cos θ
Einheit: 1 Newton * Meter = 1Joule
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Energie, Stöß
Stöße
öße
5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie,
Es wird keine Arbeit geleistet, wenn die Richtung der Kraft
senkrecht zur Richtung des Weges ist.
(Bsp.: Rotationsbewegung -> Mondbewegung um Erde)
r r r r
F ⋅ s =| F | ⋅ | s | ⋅ cos α = 0
r
r
wenn F senkrecht auf s
Was passiert bei krummlinigen Bewegungen ?
Die Verschiebung muss in kleine Stücke zerlegt werden
Die Arbeit wird für jedes Stück berechnet und aufsummiert
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Energie, Stöß
Stöße
öße
5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie,
Übergang zum Intergral:
r
Zerlegung des Weges in Teilstücke ∆ si
Wges
für krumme Bahnen und sich ändernde Kräfte:
r r
r r
= Σ Wi = ΣFi ⋅ ∆ si ⇒ ∫ Fd s
i
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
5. Vorlesung EP
Leistung P =
Arbeit W / Zeit ∆t
P = ∆W / ∆ t = mittlere Leistung im endlichen Zeitintervall ∆t
P = dW /dt
= momentane Leistung (Differentialquotient)
Einheit der Leistung : 1 Joule /s = 1 Watt
= 1W
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Energie, Stöß
Stöße
öße
5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie,
b) Energie
In einem System, an dem Arbeit verrichtet wurde, ist das Vermögen
gespeichert, selbst wieder Arbeit zu verrichten.
Dieses Vermögen nennt man Energie.
Energie ist Zustandsgröße, Arbeit ist Prozessgröße.
Formen von mechanischer Energie:
Potentielle Energie: Epot, durch die Lage eines Punktes in einem
Kraftfeld gegeben
(Bsp.: Hubarbeit im Schwerefeld)
Kinetische Energie: Ekin, durch den Bewegungszustand eines Körpers
gegeben, d.h. durch die Geschwindigkeit
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Energie, Stöß
Stöße
öße
5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie,
Potentielle Energie im Schwerefeld:
F ist eine gegen die Schwerkraft gerichtete
Kraft in Richtung s
E pot
r v
= F ⋅ s = mg ⋅ h ⋅ cos(0 ) = m ⋅ g ⋅ h
Potentielle Energie einer gespannten Feder:
r
r
F = D⋅x
Die Kraft ändert sich längs des Weges !
r r
1
Epot = ∫ F ⋅ dx = ∫ D ⋅ x ⋅ cos(0)dx = Dx 2
2
r
v
F = D⋅ x
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Energie, Stöß
Stöße
öße
5. Vorlesung EP 3.Arbeit, Energie,
Beschleunigungsarbeit, kinetische Energie:
konstante Beschleunigung a
E kin
r r
= F ⋅ s = m ⋅ a ⋅ s ⋅ cos(0)
1
 → Ekin = m ⋅ a ⋅ at 2
2
1
v = at )
(
→ E kin = mv 2
2
(s = 1 at 2 )
2
Rotationsenergie, etc.: später
EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler