EP-Vorlesung #5
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EP-Vorlesung #5 5. Vorlesung EP I) Mechanik 1. Kinematik (Begriffe Raum, Zeit, Ort, Länge, Weltlinie, Geschwindigkeit,..) 2. Dynamik a) Newtons Axiome (Begriffe Masse und Kraft) b) Fundamentale Kräfte c) Schwerkraft (Gravitation) d) Federkraft e) Reibungskraft f) Scheinkräfte 3. Arbeit, Leistung, Energie und Stöße Versuche: Rakete (Nachtrag zu Vorlesung 4) Zentrifugalkraft als Trägheitskraft Zentrifugalkraft als Scheinkraft Corioliskraft EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 Ι 2f) Scheinkräfte f) Trägheits- und Scheinkräfte Als Trägheitskraft bezeichnet man die Kraft, mit der die träge Masse einer äußeren beschleunigenden Kraft entgegenwirkt, nach Newtons Axiom #3 actio = reactio. Newtons Prinzip #2: r r F=m⋅a kann man umschreiben zu einem Kräftegleichgewicht (actio + reactio= 0): r r F −m⋅a = 0 123 Trägheitskraft Der Körper, der die äußere, beschleunigende Kraft ausübt, verspürt eine Gegenkraft, durch die träge Masse m verursacht. Für Beobachter in beschleunigten Bezugssystemen, z.B. im anfahrenden Auto, werden solche Trägheitskräfte zu „Scheinkräften“. Er spürt eine (Schein-)Kraft auf seinen Körper und die (äußere) Kraft der Lehne. Zentrifugalkraft auf rotierenden Systemen ist weiteres bekanntes Beispiel. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Ι 2f) Scheinkräfte EP-Vorlesung #5 Aus der Sicht eines mitbeschleunigten Beobachters liest sich obige Gleichung: r F r −m⋅ a = 0 123 Scheinkraft In seinem Koordinatensystem ruht die Masse m, weil sich die äußere Kraft r F und die Scheinkraft (Trägheitskraft) r −m ⋅a kompensieren. Inertialsysteme : Bezugssysteme, in denen Newtons Axiome gelten, in denen es (praktisch) keine Scheinkräfte gibt. Fixsternhimmel war gutes Beispiel. Unser Laborsystem auf der Erde ist aufgrund der Erdrotation kein Inertialsystem. Nur wenn die Scheinkräfte (z.B.Corioliskraft) vernachlässigbar sind, kann es näherungsweise als Inertialsystem angenommen werden. Wir hatten behauptet: Geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu unserem Inertialsystem bewegte Systeme sind ebenfalls Inertialsysteme. Grund: Es wird keine Kraft benötigt, das System auf seiner Bahn zu halten, es gibt keine Scheinkräfte, Körper bleiben in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, wenn keine äußeren Kräfte auf sie wirken etc…) EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 Ι 2f) Scheinkräfte Beispiele zu Scheinkräften in beschleunigten Systemen Im ruhenden Inertial-System S (Beobachter außen) bleibt das ruhende Buch in Ruhe (Trägheit) Fschein Beschleunigt der Wagen, rutscht das Buch vom Tisch, ein mitfahrender, mitbeschleunigter Beobachter (S’) misst eine Kraft, die das Buch vom Tisch zu ziehen scheint. Die für ihn real erscheinende Kraft (messbar mit der dargestellten Feder) nennen wir Scheinkraft, sie ist = der Trägheitskraft, Linear beschleunigte Systeme sind keine Inertialsysteme. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 Ι 2f) Scheinkräfte Rotierende Systeme sind ebenfalls beschleunigte Systeme u nicht inertial. (Richtungsänderung der Geschwindigkeit). a) Ruhender Beobachter: Das Buch bewegt sich geradlinig (Trägheit). falls nicht festgehalten. b) Beschleunigter Beobachter (im Zug, um die Kurve): Muss eine Kraft aufbringen, um das Buch auf die Kreisbahn bringen, für ihn wirkt eine Scheinkraft nach Außen (Zentrifugalkraft). EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 2f) Scheinkräfte Rotation stellt Beschleunigung dar, weil der Geschwindkeitsvektor ständig seine Richtung ändert (zur Erinnerung: a= rω² in radialer Richtung nach innen.) Für einen Beobachter im rotierenden System unterliegen Körper mit Masse m zwei Scheinkräften: Zentrifugalkraft Fz , wenn Körper mitrotiert. Wenn sich der Körper im rotierenden System bewegt, die von der Geschwindigkeit abhängige Corioliskraft Fc. Die Beschleunigung a kennen wir schon, s. oben, daher ist die Trägheitskraft = Scheinkraft für Beobachter im rotierenden Bezugssystem. Nach Newton #2, F = ma, ergibt sich mit a = rω² : FZ = m r ω² = m v² /r Versuch: Rotierende Scheibe mit Körper an Feder EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 2f) Scheinkräfte Zentrifugalkraft (Erläuterung zu Versuch: Rotierende Scheibe mit Körper an Feder) Ein rotierender Körper wird durch die Zentripetalkraft (äußere Kraft für den Körper) auf der Kreisbahn gehalten. Als Gegenkraft wird Zentrifugalkraft (Trägheitskraft) empfunden Im rotierenden System erscheint der Körper in Ruhe infolge des Gleichgewichtes zwischen einer Scheinkraft (Folge der Trägheit) und der Zentripetalkraft. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 2f) Scheinkräfte Die Corioliskraft zieht bei einem linksdrehenden System nach rechts. Ihre Stärke ist auf der nächsten Folie (ohne Herleitung) für den r einfachen Fall eines radial gerichteten Geschwindigkeitsvektors v (im rotierenden System) angegeben r v und auf der übernächsten Folie für beliebige Richtung von Studenten der Geowissenschaften müssen diese Formel kennen. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 2f) Scheinkräfte Corioliskraft (wirkt auf bewegte Körper in rotierenden Systemen) a) Ein ruhender Beobachter außerhalb der rotierenden Scheibe, zwei auf Scheibe b) Alle 3 Gestalten rotieren a) Der Fänger verpasst, da er sich wegdreht b) Eine Kraft scheint den Ball nach rechts abzulenken, genannt Corioliskraft Fc = 2m ⋅ v ⋅ ω Sie steht senkrecht zur Drehachse und zur Geschwindigkeit VERSUCH Corioliskraft EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 2f) Scheinkräfte Für die Geos: r v Für beliebige Richtung von muß man das Vektorprodukt von in Richtung der Drehachse vom Betrag ω ) einführen: D.h. r r r FC = − 2 m ω x v r r |F C | = 2mvωsin(α) FC r v und r ω (= Vektor ist senkrecht zu v und ω Bei Rotation entgegen Uhrzeigersinn (z.B. Nordhalbkugel der Erde vom Polarstern aus betrachtet): a) Bewegung von außen nach innen: große Anfangstangentialgeschwindigkeit vr = r ω folgt Ablenkung nach rechts. b) Bewegung von innen nach außen: kleine Anfangstangentialgeschwindigkeit innen gibt: Scheibe dreht sich unter Masse weg: Daraus folgt im bewegten System Ablenkung nach rechts Bei Umkehr des Drehsinnes : Ablenkung nach links. Anwendungen und Auswirkungen: Luftbewegung auf Erde Passat, Hochdruckgebiet Mäandern von Flüssen EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 2f) Scheinkräfte Corioliskraft auf der Erde, Wolkenwirbel Luft strömt in ein Tiefdruckgebiet und wird auf Nordhalbkugel nach rechts abgelenkt, ein Wolkenwirbel entsteht. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 3.Arbeit…. 3. Arbeit, Leistung, Energie und Stöße a) Arbeit = Kraft . Weg Arbeit ist eine skalare Größe (reine Zahl). Sie wird aus 2 Vektoren berechnet (Skalarprodukt): r r r r W = F ⋅ s = | F | ⋅ | s | ⋅cos θ Einheit: 1 Newton • Meter = 1Joule EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 3.Arbeit,….. Es wird keine Arbeit geleistet, wenn die Richtung der Kraft senkrecht zur Richtung des Weges ist. (Bsp.: Rotationsbewegung -> Mondbewegung um Erde) r r r r F ⋅ s =| F | ⋅ | s | ⋅ cos α = 0 r r wenn F senkrecht auf s Was passiert bei krummlinigen Bewegungen ? Die Verschiebung muss in kleine Stücke zerlegt werden Die Arbeit wird für jedes Stück berechnet und aufsummiert r r ⇒ ∫ Fd s EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 Leistung P = Arbeit ∆W / Zeit ∆t P = ∆W / ∆ t = mittlere Leistung im endlichen Zeitintervall ∆t P = dW /dt = momentane Leistung (Differentialquotient) Einheit der Leistung : 1 Joule /s = 1 Watt = 1W EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 3.Arbeit,…… 3b) Energie In einem System, an dem Arbeit verrichtet wurde, wird die Arbeit als Energie gespeichert. Energie ist eine Zustandsgröße, Arbeit ist Prozessgröße. Formen von mechanischer Energie: Potentielle Energie: Epot, durch die Lage eines Punktes in einem Kraftfeld gegeben (Bsp.: nach Hubarbeit im Schwerefeld) Kinetische Energie: Ekin, durch den Bewegungszustand eines Körpers gegeben, d.h. durch die Geschwindigkeit EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 3.Arbeit, Energie, Stöße Potentielle Energie im Schwerefeld: F ist eine gegen die Schwerkraft gerichtete Kraft in Richtung s Epot r v = F ⋅ s = mg ⋅ h ⋅ cos(0 ) = m ⋅ g ⋅ h Potentielle Energie einer gespannten Feder: r r F = D⋅x Die Kraft ändert sich längs des Weges ! r r 1 Epot = ( ∫ F ⋅ dx = ∫ D ⋅ x ⋅ cos(0)dx ) = Dx 2 2 r v F = D⋅ x EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler EP-Vorlesung #5 3.Arbeit, Energie, Stöße Beschleunigungsarbeit, kinetische Energie: konstante Beschleunigung a Ekin r r = F ⋅ s = m ⋅ a ⋅ s ⋅ cos(0) 1 → Ekin = m ⋅ a ⋅ at 2 2 1 v = at ) ( → E kin = mv 2 2 (s = 1 at 2 ) 2 Rotationsenergie, etc.: später EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler
