Geschwindigkeit und Beschleunigung

Grundlagen der Kinetik
Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Geschwindigkeit ist definiert als der pro Zeiteinheit zurückgelegte Weg eines Körpers
v=
s
t
v=
∆s
.
∆t
bzw.
Die Beschleunigung ist definiert als die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit:
a=
v
t
a=
∆v
.
∆t
bzw.
Geradlinig gleichförmige Bewegung
Für geradlinige Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit gelten allgemein die
Gleichungen:
a (t ) = 0 ,
v( t ) = v 0 = const. ,
s( t ) = v 0 ⋅ t + s 0 .
Dabei ist v 0 die (Anfangs-) Geschwindigkeit, s 0 ist der (Anfangs-) Ort zum Zeitpunkt t = 0 .
Dr. Andreas M. Seifert – Sternstunden in Mathe, Physik und Technik – Berufliches Schulzentrum Odenwaldkreis
Gleichmäßig beschleunigte (geradlinige) Bewegung
Für geradlinige Bewegungen mit konstanter Beschleunigung a 0 gelten allgemein die
Gleichungen:
a ( t ) = a 0 = const. ,
v( t ) = a 0 ⋅ t + v 0 ,
s( t ) =
1
⋅ a 0 ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0
2
Diese Gleichungen müssen je nach Problem miteinander kombiniert werden.
Beispiel: Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stand heraus über eine Strecke von 100 m auf
die Geschwindigkeit 100 km / h . Wie groß ist die (konstant angenommene) Beschleunigung?
Das Problem wird beschrieben durch die beiden Gleichungen
v = a0 ⋅ t ,
s=
1
⋅ a0 ⋅ t2
2
formal haben wir dabei zwei Unbekannte, nämlich die eigentlich interessierende Beschleunigung a 0 , aber auch die Zeit t, nach der der Weg s zurückgelegt wurde. Da die Zeit t hier
nicht interessiert, wird sie eliminiert:
v = a0 ⋅ t
→
t=
v
a0
2
 v
1
1
v2
2


s = ⋅ a0 ⋅ t = ⋅ a0 ⋅   =
2
2
2 ⋅ a0
 a0 
s=
2
v
2 ⋅ a0
→
a0 =
v
2⋅s
100
m / s) 2
3,6
a0 =
= 3,858 m / s 2 .
2 ⋅100 m
(
2
bzw.
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Vertikale Bewegung im Schwerefeld
Speziell haben wir hier
a 0 = −g ,
wenn der Weg von unten nach oben gezählt wird. Es ist also
a ( t ) = −g = const. ,
v( t ) = −g ⋅ t + v 0 ,
1
s( t ) = − ⋅ g ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + s 0 .
2
Die Konstanten v 0 und s 0 werden dem jeweiligen konkreten Problem entsprechend aus den
sogenannten Anfangsbedingungen ermittelt.
Freier Fall
Beim freien Fall ist zum Zeitpunkt t = 0 : v 0 = 0 und s 0 = h . Damit haben wir die
Gleichungen:
s
v( t ) = − g ⋅ t ,
h
1
s( t ) = − ⋅ g ⋅ t 2 + h .
2
t=0
g
Der fallende Körper kommt am Boden an, wenn
1
s( t = t Fall ) = 0 = − ⋅ g ⋅ t 2Fall + h
2
Auflösen nach der Fallzeit t Fall liefert
t Fall =
2⋅h
.
g
Die Auftreffgeschwindigkeit erhält man einfach, indem man diese Fallzeit in die
Geschwindigkeitsgleichung einsetzt:
v( t Fall ) = −g ⋅ t Fall = −g ⋅
2⋅h
= − 2⋅g⋅h .
g
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Vertikaler Wurf nach oben
Zum Zeitpunkt t = 0 ist beim vertikalen Wurf nach oben ist v 0 > 0
(Anfangsgeschwindigkeit) und s 0 = 0 (Start am Boden). Damit
haben wir die Gleichungen:
v( t ) = −g ⋅ t + v 0 ,
1
s( t ) = − ⋅ g ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t .
2
s
h
g
v0
Wenn der nach oben geworfene Körper den höchsten Punkt erreicht,
ist seine Geschwindigkeit 0; daraus errechnet sich zunächst die
Steigzeit t Steig :
t=0
v( t = t Steig ) = −g ⋅ t Steig + v 0 = 0
und damit
t Steig =
v0
.
g
Einsetzen der Steigzeit in die Gleichung für den Weg liefert die Steighöhe h:
2
 v0 
1
v0
1 v 02 v 02
v 02


h = s( t = t Steig ) = − ⋅ g ⋅   + v 0 ⋅
=− ⋅ +
=
,
2
g
2 g
g 2⋅g
g 
also
h=
v 02
.
2⋅g
Aus der Bedingung
1
2
s( t = t ges ) = − ⋅ g ⋅ t ges
+ v 0 ⋅ t ges = 0
2
erhält man nach Division durch t ges die gesamte Flugzeit t ges bis zum Wiederauftreffen auf
dem Boden:
1
− ⋅ g ⋅ t ges + v 0 = 0
2
und daraus
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t ges = 2 ⋅
v0
= 2 ⋅ t Steig .
g
Die Geschwindigkeit beim Auftreffen auf dem Boden erhält man durch Einsetzen von t ges
in die Geschwindigkeitsgleichung:
v( t ges ) = −g ⋅ 2 ⋅
v0
+ v0 = −v0 .
g
Der Körper trifft also mit der (betragsmäßig) gleichen Geschwindigkeit auf, mit der er
abgeworfen wurde.
Horizontaler Wurf
y
v0
h
t=0
x
xw
Beim horizontalen Wurf überlagern sich zwei Bewegungsformen:
x-Richtung: geradlinig gleichförmige Bewegung mit Geschwindigkeit v 0 .
vx (t) = v0 ,
x(t) = v0 ⋅ t .
y-Richtung: freier Fall aus Höhe h
v y ( t ) = −g ⋅ t ,
1
y( t ) = − ⋅ g ⋅ t 2 + h .
2
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Die Fallzeit t Fall ist damit genauso groß wie beim freien Fall aus der Höhe h:
t Fall =
2⋅h
.
g
Die Wurfweite x w ist der in der Fallzeit zurückgelegte Weg in x-Richtung:
2⋅h
g
x w = x ( t = t Fall ) = v 0 ⋅ t Fall = v 0 ⋅
2⋅h
g
x w = v0 ⋅
Die Auftreffgeschwindigkeit setzt sich nun aus einem horizontalen Beitrag v x = v 0 und
einem vertikalen Beitrag v y = 2 ⋅ g ⋅ h (freier Fall) zusammen. Diese Beiträge werden
vektoriell addiert (hier einfach nach dem Satz des Pythagoras):
v = v 2x + v 2y = v 02 + ( 2 ⋅ g ⋅ h ) 2
v = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h
Die Gleichung der Bahnkurve (Wurfparabel) erhält man durch Elimination der Zeit aus den
Gleichungen x(t) und y(t):
x(t) = v0 ⋅ t
→
t=
x
v0
2
 x 
1
1
y = − ⋅ g ⋅ t 2 + h = − ⋅ g ⋅   + h
2
2
 v0 
y( x ) = −
g
⋅ x2 + h
2
2 ⋅ v0
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Schiefer Wurf
y
h
v0
t=0
α
x
xw
Der Wurf erfolgt mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 in einem Winkel α gegen die
Horizontale. Diese Anfangsgeschwindigkeit kann man sich zerlegt denken in eine horizontale
Komponente v 0 x und in eine vertikale Komponente v 0 y :
v 0 x = v 0 ⋅ cos α
und
v 0 y = v 0 ⋅ sin α
Dann überlagern sich beim schiefen Wurf zwei Bewegungsformen ähnlich wie beim
horizontalen Wurf:
x-Richtung: geradlinig gleichförmige Bewegung mit Geschwindigkeit v 0 .
v x ( t ) = v 0 x = v 0 ⋅ cos α ,
x ( t ) = v 0 x ⋅ t = v 0 ⋅ cos α ⋅ t .
y-Richtung: vertikaler Wurf nach oben
v y ( t ) = −g ⋅ t + v 0 y = −g ⋅ t + v 0 ⋅ sin α ,
1
1
y( t ) = − ⋅ g ⋅ t 2 + v 0 y ⋅ t = − ⋅ g ⋅ t 2 + v 0 ⋅ sin α ⋅ t .
2
2
Die Steigzeit t Steig ist identisch mit der Steigzeit beim vertikalen Wurf nach oben, wobei hier
nur v 0 durch v 0 y = v 0 ⋅ sin α zu ersetzen ist:
t Steig =
v0y
g
=
v 0 ⋅ sin α
.
g
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Entsprechendes gilt für die Steighöhe
v 02 ⋅ sin 2 α
h=
=
.
2⋅g
2⋅g
v 02 y
und für die gesamte Flugzeit t ges bis zum Wiederauftreffen auf dem Boden:
t ges = 2 ⋅
v0 y
g
= 2⋅
v 0 ⋅ sin α
= 2 ⋅ t Steig .
g
Die Geschwindigkeit beim Auftreffen auf dem Boden ist betragsgleich der
Anfangsgeschwindigkeit v 0 .
Die Gleichung der Bahnkurve (Wurfparabel) erhält man wie beim horizontalen Wurf durch
Elimination der Zeit aus den Gleichungen x(t) und y(t):
x ( t ) = v0 x ⋅ t
→
t=
x
v0x
2
 x 
1
1
x
 + v 0 y ⋅
y = − ⋅ g ⋅ t 2 + v 0 y ⋅ t = − ⋅ g ⋅ 
2
2
v0x
 v0 x 
2


1
x
x
 + v 0 ⋅ sin α ⋅
y = − ⋅ g ⋅ 
2
v 0 ⋅ cos α
 v 0 ⋅ cos α 
y( x ) = −
g
⋅ x 2 + tan α ⋅ x
2
2 ⋅ v ⋅ cos α
2
0
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