Praktikum der Physik (Walcher)

2.5 Oberflächenspannung. Grenztlächenspannung
73
bei zunehmender Belastung F. - 4) Man messe x bei abnehmender Belastung F. 5) Zur Auswertung trage man x in Abhängigkeit von F auf und/oder verfahre na,ch
Abschn. 1.2.10.
Bei nicht zu starker maximaler Belastung sollen sich die Diagramme bei zu- und
abnehmendem F nicht merklich unterscheiden. Man bestimme E aus dem Mittel der
Steigungen der heiden Geraden, die man durch die "zunehmenden" und die
"abn.ehmenden" Meßpunkte legt.
Nach GI. (2.53) ist bei vorgegebener Belastung die Durchbiegung eines Balkens
abhängig von der Richtung der Kraft relativ zum Querschnitt des Balkens. Zum
Vergleich untersuche man die heiden für die Praxis bedeutsamsten Fälle, indem man
den Balken einmal mit der breiten und einmal mit der schmalen Seite auf die
Schneiden auflegt.
2.5 Oberflächenspannung. Grenzßächenspannung
2.5.0 Grundlagen
Zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit wirken Kräfte, die mit dem Abstand sebr
schnell abklingen (Potentielle Energie der van.der Waals-Kräfte proportional.r- 6 ),
so daß zur resultierenden Kraft auf ein herausgegriffenes Molekül nur die nächsten
Nachbarn innerhalb einer Art "Reichweite L der Kraft" beitragen. Im Innern der
Flüssigkeit (A in Fig. 2.21) ist wegen der allseitig gleichen Umgebung des
Moleküls die Resultierende Null, in einer "Grenzschicht" (Fig. 2.22) ist das
herausgegriffene Molekül nich t mehr allseitig von anderen Molekülen umgeben
•
•
•
A b·
3A
4 At(!) •
• •
•
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
• •
•A d• • • • • •
• • eA e~t e
• •
• • •
• •
• • • • • • •
A C
•
•
•
•
•
• • • • •
• • • • •
• • • ••
• • • • •
Fig.2.21 "Oberfläche" einer Flüssigkeit. Kräfte auf verschiedene Moleküle.
L = "Reichweite" der MoJekülkräfte. Es sind nur die Mittelpunkte der Moleküle
gezeichnet. Die Pfeile stellen nur die auf das herausgegriffene Molekül wirkenden
Anziehungskräfte der Umgebung dar; ihnen wird durch gleich große Abstoßungskräfte das Gleichgewicht gehalten.
74 2 Mechanik und Akustik .
so daß z.8. auf ein Oberflächenmolekül (B in Fig. 2.21 nur noch
ms Innere der
Flüssigkeit weisende Kräfte, insgesamt eine nach innen gerichtete Resultierende R
wirken. Die Resultierende ist in der äußeren Molekülschicht Q)(Fig. 2.21).am größten
und nimmt nach innen für Moleküle der Schichten ~, Q) usw. in wenigen Schichten
praktisch auf Null ab. Denken wir uns an der Stelle 1 in Fig. 2.21 parallel zur
Oberfläche eine Fläche Ä. eingeschoben, so werden die übe r A liegenden Moleküle der
Schicht 1 mit einer Gesamtkraft R 1 nach innen gezogen, die u n te r A liegenden
Moleküle drücken mit der gleichen Kraft - R 1 nach oben (Gleichgewicht!). Im
Querschnitt Ä. an der Stelle 1 herrscht also eine Druckspannung (Druck) Pl. = Zugspannung (11 = R1/A. An der Stelle 2 lasten auf A die Kräfte R 1 + R 2 der darüberliegenden Schichten, an der Stelle 2 ist dementsprechend p 1. = (f1. = (R 1 + R1,.)!A usw.
Der Druck = Zug steigt also ins Innere der Flüssigkeit hinein nach Fig. 2.22,
Kurve I an, bis er nach Durchschreiten der Grenzschicht konstant gleich Pi wird.
1
Dampf + Luft Oder 60S
Inneres der flüssigkeIt
A·~
Isatro
Fig.2.22
Grenzschicht zwischen Flüssigkeit und
eigenem Dampf und Gas (Luft)
Dicke der Grenzschicht ~ Reichweite
der Molekülkräfte
Kurve I Zugspannung = Druck in einer
Schnittfläche parallel zur Oberfläche
(Kraft 1. Oberfläche)
Kurve n Zugspannung = Druck in
einer Schnittfläche senkrecht zur Oberfläche (Kraft 11 Oberfläche). Im Innem
der Flüssigkeit ist Zug = Druck in allen
Schnittricbtungen gleich
fmdet man Druck bzw. Zug in irgendeinem Querschnitt dadurch daß man den
Körper auseinanderschneidet, die durch die Schnittfläche A hindurchgehenden
Kräfte Fermittelt und den Quotienten F/A bildet. Wendet man dieses Verfahr,e n auf
das Innere der Flüssigkeit an, so sieht man, daß im InDern der Flüssigkeit diese
Kräfte unabhängigvon der Schnittrichtung sind. Für jede Schnittrichtung ergibt
ich daher der gleiche Druck = Zug, im Flüssigkeitsinneren ist der Druck "allseitig"
(isotrop). Auch in einer Schnittfläche A senkrecht zur Oberfläche an der Stelle d in
Fig.2.21 ist der Druck = Zug gleich dem isotropen Innendruck Pi = (Ti. Geht man aber
unter Beibehaltung der Richtung von A über die Stellen c, b nach a, so siebt man, daß
bei a links und rechts von A nur noch die halbe Anzahl der Moleküle vorhanden ist wie
an der Stelle d, weil im oberen Halbraum (Dampfraum) die Moleküle fehlen (die
wenigen Dampfmoleküle liefern wegen der geringen Kraftreicbweite L praktisch
einen Beitrag). Daher ist an der Stelle a die parallel zur Oberfläche durch A gehende
Kraft halb so groß wie im Inneren (Stelle d) und daher der zur Oberfläche parallele
Druc = ZugplI = (111 =pd2 (Fig. 2.22, Kurve 11), während Pol = (J .l = 0 ist (Kurve 1). In
der Grenzschicht ist also der Druck nicht isotrop, sondern richtungsabhängig, man
sagt, er sei ein Tensor es ist Pli = (711 > Pol = t1.l . Die Resultierende aller überschüssigen
Zugspannungen 0"" - 0"1 über die ganze Dicke d der Grenzschicht genommen bildet
UD
2.5 Oberflächenspannung. Grenzflächenspannung
75
,eine in der 'G renzschicht wirkende Kraft S, die Grenzschicht liegt daher wie eine
gespannte Haut über dem Flüssigkeitsinn.eren. Für eine Grenzfläche zwischen zwei
Flüssigkeiten sind di Verhältnis ganz ähnlich, sie sind in Fig. 223 dargesteIlL
Denkt man SifCh die Grenzschicht senkr,e cht zur Oberfläche auf einer .Länge I'
auseinandergeschnitten so muß man an jeder Schnittfläche zur 'HersteUung des
Gleichgewichts eine Zugkraft S, a bringen. Die Größe Zugkraft durch Länge des
Schnitts (der Oberfläche bzw. Grenzfläche) nennt man Oberflächenspannung
bzw. Grenzflächenspaonung
Sl
1-~
- I
(2.72)
.
Sie ist star ' on derTemperatur abhängig. Wegen ,d er senkrecht zur 'Oberfläche
auf die Grenzschichtmoleküle wirkenden Kräfte muß Arbeit verrichtet werden,
wenn Moleküle in die Oberfläche bzw. Grenzfläche gebracht, diese also
vergröß1ert werden soll. Ist zur B.i ldung einer neuen Oberfläche AA die Energie IlE
erforderlich, so nennt man den Quotienten
I
I1E
1'=-
(2.73
AA
die
Oberfläc enenergiedicbte
bzw.
Grenzfläcbene ergiedichte; sie ist identisch
mit der Oberflächenspannung bzw.
Grenzflä.chenspannung. Dies erkennt man
auch aus dem Dimensionsvergleich Kraft/
Länge = Energie/Fläche.
fig .. 2.D
Grenzschicht zwischen zwei Flüssigkeiten
PI1 -
LI,!
An einer Grenzfläche Flüssigkeit/Festkörper sind Kräfte zwischen den Flüssigkeits·
molekülen und den Festkörpermolekülen wirksam. Sind diese viel g.r ößer ,als die
Kräfte zwischen den Flüssigkeitsmolekülen, so benetzt die Flüssigkeit die Wand, sie
breitet sich über die ganze Festkörperoberfläche aUS.
2.5.1
·timmung
Oberftäc eospannung .
2.5.1.0 Methode Zur Messung der Oberflächen- oder Grenzflächenspannun,g dient
die in Fig..2.24a dargestellte Anordnung. Ein Ring VOßl Durchmesser 2R, mit scharfer
Schneide, der an einer Federwaage hängt, ist von der Flüssigkeit, deren. Ober Rächenspannung gemessen werden soll, vollständig benetzt so daß an der Schneide ein
zylindrischer Aüssigkeitsfdm vom mittleren Dmcmnesser 2 R (Dicke sehr klein gegen
2R) hängt. Zur AufsteUung der 'Gleichgewiehtsbedingung den en wir uns den
76
2 Mechanik und Akustik
lüssigkeitszylinder in der Ebene C - C aufgeschnitten und bringen an der oberen
Schnittfläche die vor dem Aufschneiden vorhandenen inneren Spannungen als äußere
räfle an (Fig. 2.24d). Der Flüssigkeitsfilm hat 2 Grenzschichten der Länge 21t~ 0
daß die Gleichgewichtsbedingung in der Senkrechten
F= 2· 21CRy = Fw - GA
(2.74)
lautet wobei GA die mit der Federwaage gemessene Gewichtskraft des Aluminiumring und Fw die Anzeige der Federwaage im Versuch bedeutet.
A
c-dl
b}- - - - -
Fig. 2.24
a) Anordnung zur
ung
der Oberflächenspannung
bzw_Grenzflächenspannung
na b der breißmethode
FW Federwaage' H benetzende Flüssigkeitshaut . A
Aluminiumring
b) Einschnürung der Lamelle
c) Messung der Grenzflächenspannung
d) Darstellung der FJü igkeitsJameUe mit ihren zwei
Grenzschichten (vgl. Fig.
2.22)
1.5.1.1 Gang des Versuchs und Auswertung 1) Man reinige den Ring mechanisch
heuersand) und chemisch (Entfettung). - 2) Man be timme das Gewicht de
Ring mehrfach, indem man immer wieder das Gleichgewicht der Waage stört und
'e neu einpendeln läßt. - 3 Man tauche den Ring tief in die Flüssigkeit 0 daß er gut
ben tzt ist. Beim langsamen, ruckfreien Heben der Federwaage bildet 'ch eine
zylindrische Flüssigkeitslamelle zwischen Ring und Flü jgkeitsoberfläche, die
hließlich breißt. Di unmittelbar vor dem Abreißen angezeigte Kraft F,
wird
•
abgelesen. - 4 Man berechne die Oberflächenspannung nach GI. (2.74 . - 5) Man
timme die Oberflächenspannung in Abhängigkeit von der Temperatur indem man
d Gefä B in ein asserbad setzt und die Temperatur der Meßßüssig eit bestimmt,
- 6 Man trage 'i
auf und verlängere (Gerade!) bis zum Schnittpunkt mit der Thnittpunkt bei T, . - 7) an bestimme die Grenzfläcb pannun
chJor ohl n tofI asser nach Fig. 2.24c indem man in das Gefäß B erst Ce].
'bt da
r
darüber schichtet und den Ring A i die Grenzfläch
u hl. Dabei
hte man daß so viel asser in B über dem CCl 4 i t daß der
D b' zum Abreißen unter Wasser bleibt (Auftrieb!). - 8 Man be timme den
u rieb A und berechne die Grenzflächenspannung nach der Gleichung
n
1"
=
(Herleitung !)
F, -A -GA
lCR
2.75
2.5 Oberflächenspannung. Grenzflächenspannung
77
2.5.1.2 Anmerkung Bei Flüssigkeiten mit geringer Oberflächenspannung läßt sich die
Lamelle sehr weit ausziehen. Sie hat dann keine zylindrische Form mehr, sondern
schnürt sich ein (Fig. 2.24b) und reißt an der Stelle mit dem kleinsten Umfang~ In GI.
(2.74) ist für 21tR nicht der Schneidenumfang sondern der Umfang der Lamelle an der
engsten Stelle einzusetzen. Eine exakte Auswertung ist dann kompliziert.
2.5.2 Bestimmung der Oberflächeospaonung aus der kapillaren Steigböhe
2.5.2.0 Methode Taucht man eine Kapillare vom Durchmesser 2r in eine Flüssigkeit
der Dichte (J, so da.ß sie ganz von dieser benetzt ist, so steigt diese in der KapiUare bis
zu einer Höhe h boch. In Fig. 2.25a ist die benetzende Flüssig~eitsschicht übertrieben
dick gezeichnet. Die Flüssigkeitssäule h hat die Gewichtskraft
G = Q Vg =
(J1tr
2
hg
(2.76)
und hängt nach Fig. 2.25 b an einer ringförmigen Lamelle,
die im Schnitt C- C die Kraft
(2.77)
S=y2xr
c--·
·-c
überträgt. Aus GI. (2.76) und (2.77) folgt
1
Y="2(!grh.
(2.78)
Die Bestimmung von y erfordert also eine Messung von r
und h.
b)
c-·
-c
Fig. 2.25
Bestimmung der Oberflächenspannung aus der Steigböhe
a) voUständig benetzte Kapillare
b) Schnitt durch die Flüssigkeitsgrenzsehicht, an der die Flüssigkeitssäule der Höhe h hängt
0)""-------
1.5.2.1 M
g des Radius der Kapillare 1) Auf ein gut gereinigtes, trockenes
Kapillarrohr setze man an einem Ende einen Gummischlauch mit Quetschhahn auf.
- 2) Man sauge durch das andere Ende der Kapillare etwas Quecksilber, so daß ein
Quecksilberfaden der Länge I (einige cm) in der Kapillare steht. - 3) Man messe I
mit einem Glasmaßstab mit mm-Einteilung (Mittelwert aus mehreren Messungen
bilden). - 4) Um zu prüfen, ob die Kapillare überall den gleichen Radius hat, führe
man die Messungen an mehreren Stellen des Rohres durch. Differieren die Meßwerte
rür I nur innerhalb der Ableseunsicherheit, dann ist die Kapillare für diesen Versuch
als hinreichend. gleichmäßig anzusehen. - 5) Man wäge das eingesaugte Quecksilber
mit einer Unsi.cherheit !J.m < + 1 mg (Masse m). ~ 6,) Man. berechne I' aus, dem
Volumen des Quecksilbers. Dazu nehme man zylindrische P,o rm des ·F adensan. Dann
ist V=7tr 2 1= m!ilHg, woraus folgt:
m
r = (. 1[. / "Hg
)1 /2
.
(2.79)
78
2 Mechanik und Akustik
2.5.2.2 Messung der Steighöbe h 1) Man reIm ge die Kapillare so:rgfältig mit
Chromschwefelsäure und destilliertem Wasser, da selbst geringftigige Fettspuren die
Benetzung verhindern können. - 2) Das gereinigte Röhrchen lege man in die
Meßflüssigkeit und warte bis die Kapillare vollständig und blasenfrei gefüllt ist.
- 3) Man stelle die innen vollständig benetzte Kapillare senkrecht in die Flüssigkeit
und sauge etwas an, damit sich der Gleichgewichtszustand von oben her einstellen
kann. - 4) Zur Bestimmung von h lege man einen Maßstab mit mm-Einteilung
willkürlich an und lese die Stellung des Meniskus in der Kapillare und die der
Flüssigkeitsoberfläche ab. Die Differenz heider Werte ergibt h (Mittelwert aus
mehreren Messungen bilden). - 5) Man bestimme die Temperatur, bei der)' gemessen
worden ist.
1.5.2..3 Me80nsicherbeit Aus GI. (2.78) und GI. (2.79) ftndet man
y=
1
2;;'
I!ghJleHg
m .
(2.80)
ieht man Cl innerhalb der zu erwartenden Temperaturschwankungen als hinreichend
konstant an, dann sind m, I und h die mit Meßfehlern behafteten Größen. Für die
relative Meßunsicherheit gilt dann nach Abschn. 1.2.8
Ay
Mt
Y
h
1 Am
2m
1 AI
2"
-=-+--+-2.6 Dynamische Viskosität 1 )
2.6.0 Grundlagen
Bewegt sich ein fester Körper mit der Geschwindigkeit v durch eine ruhende
Flüssigkeit, dann ist im allgemeinen zur Aufrechterhaltung der Bewegung eine Kraft
FR erforderlich, die von der Größe und Form des Körpers und einer Eigenschaft der
Flüssigkeit, der dynamischen Viskosi tät tt, abhängt. Die Kraft FR läßt sich durch
folgende Modellvorstellung deuten: in einer laminaren Strömung haftet die den
bewegten Körper umgebende Flüssigkeitsschicht an der Körperoberfläche und
bewegt sich mit dem Körper fort. Die weit entfernten Schichten der Flüssigkeit
bleiben hingegen in Ruhe. Der Bereich,.in dem sich der kontinuierliche Übergang
von Mitbewegung zur Ruhe vollzieht, heißt Grenzschich 1. Der darin bestehende
Geschwindigkeitsgradient dv/dx ist mit einer Schubspannung T in der Flüssigkeit
verknüpft, die als Reibung zweier Flüssigkeitsschichten mit verschiedenen Geschwindigkeiten gedeutet werden kann. Alle von außen zugeführte Energie wird in Wärme
umgewandelt. Nach Wegfall der Kraft kommen der Körper und die Flüssigkeit in der
renzschicht wieder zur Ruhe.
I) Das frUher gebräuchliche Wort ,zähigkeit" .ist durch das Wort "dynamische Viskosotäe' ersetzt
worden.
2.,6 Dynamische Viskosität
79
Entsprechend dieser Modellvorstellung definiert man die dynamische Viskosität
durch die Gleichung
dv
1:
= 11 ctx=
.
(2.82)
" ist Hit viele Flüssigkeiten eine Stoffkonstante, die nur von Temperatur und Druck
abhängt. Steigert man v so tritt im allgemeinen beim Überschreiten eines kritischen
Wertes Dtril ein weiterer Anteil zu FR hinzu: Bei Bewegung des Körpers wird die
Flüssigkeit in der Grenzschicht beschleunigt und in wirbelnde Bewegung (turbulente Strömung) versetzt. Die von außen zugeführte Energie geht dann zum Teil in
kinetische Energie der Flüssigkeit über. Zur Messung von 11 ist es daher notwendig, im
Bereich v< Viterit zu arbeiten. Es empfiehlt sicb sogar, weit unterhalb des kritischen
Bereichs zu bleiben t da in der Nähe von Vkril statistische Schwankungen zu zufälligen
Störungen führen können. Analoge Betrachtungen gelten für strömende Flüssigkeiu
ten um "ruhende Körper. Im folgenden sollen zwei für die Praxis bedeutsame
Beispiele betrachtet werden.
2.6.0.1 Strömung um eine Kugel. Gesetz von Stokes Eine Kugel vom Radius r dem
Volumen Vo und der Masse mo falle in einem mit Flüssigkeit der dynamischen
Viskosität 110 gefUllten, senkrecht stehenden Glasrohr vom Radius R. In der
Flüssigkeit wirken auf die bewegte Kugel drei Kräfte: die Gewichtskraft G = m og, die
Au ftriebsk raft A = OA Vo g und die Reibungskraft FR. Die Geschwindigkeit v
verändert sich so lange, bis sich bei der Geschwindigkeit V o ein Gleichgewicht der
Kräfte eingestellt hat, in dem die Summe der Kräfte verschwindet. Da FR und A
nach oben, G nach unten wirken, gilt im Gleichgewichtszustand für die Beträge
(2.83)
FR+A -G=O.
Die Reibungskraft FR berechnet sich für sehr kl ,e ine Gesch windigkei.ten in einer
unendlich ausgedehnten Flüssigkeit nach dem Gesetz von Stokes
(2.84)
Endliche Gefäßdimensionen können in erster Näherung (r ~ R. r ~ H. Fig.2.29)
durch die Ladenburg-Korrekturen A. berücksichtigt werden :
A = AR . AH
= (1
+ 2.1 rl R) (1 + 3.3 rl H) .
(2.85)
Siehe auch die Anmerkung auf S. 384.
Setzt man GI. (2.84) bzw. (2.85) in GI. (2.83) ein und formt um, so erhält man rür die
dynamische Vis~osität
bzw.
'10 =
(mo - V o QFJg 1
6n rv o
).
(2.86)
2.6.0.2 Strömung durch enge Röbreo Eine Kapillare vom Radius r und der Länge I
werde von einer Flüssigkeit der Dichte 0 und der dynamischen Viskosität 7J
80
2 Mechanik und Akustik
durchflossen. Zwischen den Enden der Kapillare herrsche die Druc differenz
(Pl - Pt)· Die sich im Gleichgewicht einstellende Geschwindigkeit verteilung ist in
Fig. 2.26 dargestellt. Die Länge der pfeile ist proportional der Geschwindigkeit. Die
Flü ig eitsschicht. die an der Kapillarwand hafte~ ist in Ruhe. Die Gesch indigkeit
nimmt zur Mitte der Kapillare hin zu und erreicht dort ihr Maximum. Eine genauere
Betrachtung zeigt, daß die Verbindungslinie der Pfeilspitzen eine Parabel zweiter
Ordnung ist, deren Scheitel in der Achse liegt. Das bedeutet~ daß die Schichten
gleicher Geschwindigkeit koaxiale ZYlindrische Röhren sind.
~
. .
-
--
:::::r....
~
.~
T
.-
.
--.-
Fig.2.26
oeschwindigkeitsprofil einer laminaren Strömung
durch ein zylindrisches Rohr
.
:/
Die Votum-Stromstärke ( :::: Volumen/Zeit) der Flüssigkeit durch eine solche Kapillare wird durch das Hagen-Poiseujlle~Gesetz
1= L\V :::::~,4(p2 -PI)
!J.t
8,,1 -.
(2.87)
gegeben. Steht die Röhre senkrecht, sO wird die Druckdifferenz durch den Schweredruck der Flüssigkeit
Pl - PI ::::: ggh
(2.88)
erzeu~ wobei
h die gesamte Flüssigkeitshöhe (nicht nur die Länge der Kapillare,
w rum?) ist. Aus GI. (2.87) und GI. (2.88) errechnet man für die dynamische
i ko ität die BeziehUng
,,=
n,4 g
I
Vg hAt = a eh
t
(2.89)
in der a und gegebenenfalls auch ah APparatekonstante sind.
26.1
g der dynamiscJlell Viskosität nach Hagen-Poiseuille
26.1.0 ethode Zur Messung der dynamischen ViskO ität nach Gl. (2.87) dient die in
Fig. 2 27 dargestellte Anordnung. An das obere Ende einer Kapillare K die unten in
emem Rohr R mündet ist ein kugelförmlges Gefäß GI angesetzt dessen oberer und
unterer Rohran tz die Marken MI und M 2 tragen. Der obere Rohransatz ist durch
n Hahn H e hließbar. Zur es Ung füUt man GI KR bis übe r MI mit der
Meßflü ig eit Und Illißt die Zeit Ät, die zWiSChen den Durchgängen des
Flü ig eit pieg I durch I und 2 vergeht. In dieser Anordnung ist die Höhe h der
Fl igkei - äule während de Ver uch nicht konstant. Sie ist deshalb durch eine
mittlere Höhe" ZU ersetzen die [Jlan in fOlgender Weise bestimlllt. Vor der
Dur hflußm ung teht der obere FlüSSigkeitsspiegeJ ein wenig über M. 1; man roe se
mit einem Maßstab mit Millulleterteilung den Abstand h' Von MI zur Flüssigkeits-
2.6 Dynamische Viskosität
81
oberfläche 0 1 in G 2' Nach der Durchflußmessung messe man den Abstand 12" von M z
bis 2 , Dann ist h = (h' + h")j2. Das untere Ende von R muß während des Versuchs in
die Flüssigkeit tauchen, da sich sonst Tropfen bilden, deren Oberflächenspannung
eine Venninderung deT DruckditTerenz bewirkt.
Für zwei F~üssigkejten, die durch den Index. 1. und 2 gekennzeichnet werden sollen, gilt
bei gleichem AV (M I ' ... , M 2) nach 01. (2.89)
°
'h
~I
'h = 'O l
Ir) At ..
ii 2 A1 2 '
(2.90)
Wählt man die Versuchsbedingungen so, daß h1 =
einfachere Beziehung
h2 ist, so geht GI. (2.90) in die
(2.91)
über, Das Verhältnis tl /(! = v nennt man die kinematische Viskosität.
R
Fig. 2.27
ViskOsimeter zur Bestimmung der dynamischen Viskosität
nach Hagen-Po i seuille
GI kugelförmiges Gefäß am oberen Ende der Kapillare K ~ O 2
AuJTanggefäß,; H Hahn; Tb Thermometer
Bedingung für einwandfreie Ergebnisse ist Sauberkeit der Kapillare, der Flüssigkeit
und der benutzten Geräße. Beim Wechsel der Flüssigkeit müssen daher die Reste der
alten Flüssigkeit vollständig aus der Kapillar,e entfernt werden, was man am besten
durch wiederholtes Durchspülen der Kapillaren mit der neuen Flüssigkeit erreicht.
Handelt es sich um nicht mischbare (ineinander lösliche) Flüssigkeiten (z. B. Äther
und Wasser), so benutzt man zum Ausspm,en eiDe dritte mit den heiden. anderen
mischbare Flüssigkeit (hier z. B. Alkohol).
'1 ist stark temperaturabhängig, deshalb muß die Temperatur der Flüssigkeit
während des Versuchs mit Hilfe eines Wasserbades B konstant gehalten werden,
dessen Temperatur 9 laufend mit dem Thermometer Th gemessen wird. Um die bei
etwas verschiedenen Temperaturen gewonnenen Meßergebnisse vergleichen zu
können, benutzt man eine lineare Gleichung, die die Abhängigkeit der Zähigkeit von
der Temperatur in einem kleinen Temperaturbereich näherungsweise beschreibt. Für
Wasser in der Umgebung von lJ ::: 18 oe gilt näherungsweise
(2.92)
82 2 Mechanik und Akustik
2.6.1.1 Gaag des Versuchs 1) Durch Ansaugen fülle man GI so weit, daß der obere
Flüssigkeitsspiegel über MI steht und schließe H. - 2) Die Temperatur des
Wasserbades stelle man auf etwa 18 oe ein und kontrolliere sie während des Versuchs
(gTÜndlich umrühren !). - 3) Man messe h'. - 4) Man öffne H und messe die Zeit !!J.t
zwischen den Durchgängen durch MI und M 2' - 5) Man messe h".
2.6.1.2 Korrekturen Die nach Hagen-Poiseuille ermittelten Meßwerte bedürfen der
Korrektur, weil GI. (2.87) nur unter der Voraussetzung gilt~ daß die beim Durchlaufen
des DruckgefaUes verlorene potentielle Energie vollständig durch Reibung in Wärme
umgesetzt wird. Darüber hinaus wird vorausgesetzt, daß die parabolische Geschwindigkeitsverteilung (vgl. Fig. 2.26) über die Gesamtlänge der Kapillare vorliegt. Beide
Annahmen treffen jedoch nicht zu. Beim Eintritt in die Kapillare wird die Flüssigkeit
vom fast ruhenden Zustand auf die Geschwindigkeit in der Kapillare beschleunigt.
Dies bedeutet, daß ein Teil der potentiellen Energie in (kinetische) Strömungsenergie
umgewandelt wird. Außerdem stellt sich die Gleichgewichtsverteilung der Geschwindigkeitsvektoren erst ein, wenn der Beschleunigungsvorgang abgeschlossen ist. In der
Nähe des Einlaufs findet man eine Geschwindigkeitsverteilung, wie sie in Fig. 2.28
dargestellt ist. Gegenüber der parabolischen Verteilung ist in der Nähe der
Kapillareninnenwand der Geschwindigkeitsgradient stark vergrößert, was zu
erhohter Reibung führt.
~
..............
v
._-- -~
Fig. 2.28
Geschwindigkeitsverteilung in einer Kapillare während der
Beschleunigungsphase in der Nähe des Einlaufs
Einen Teil der Beschleunigungsenergie kann man am Auslauf zuruckgewinnen, wenn
man durch geschickte Formgebung (düsenförmige Erweiterung) dafür sorgt, daß die
austretende Strömung sich über den gesamten Rohrquerschnitt verteilt. Dann tritt in Umkehrung der Situation am Einlauf - eine Verzögerung der strömenden Massen
auf. Hat die Kapillare jedoch ein scharf abgeschnittenes Ende, dann setzt sich die
Strömung in die Flüssigkeit am Auslauf fort, was zu einer effektiven Verlängerung der
Kapillare führt.
Die Korrektur muß also je nach der vorliegenden Situation anders ausfallen. Für die
Praxis ist das folgende Verfahren gut geeignet: Man geht nach Hagenbach von dem
An atz
P7
1
v=- = ah Ilt - c(2.93)
e
!!J.I
aus und behandelt a und c als Apparatekonstanten, die durch Kalibriermessungen
(Messung von At) mit zwei Flüssigkeiten (Index 1 und 2) von bekannter kinema·
tischer Vi kosität v und Dichte (! bestimmt werden. Aus den Beziehungen
c
c
(2.94) (2.95)
v 1 = ah 11 - - und v2=ahtJ.t2-~
!!J.t J
ut 2
las en sich dann a und c berechnen. Man beachte, daß
2.7 Schwingungen
83
t) für die Kalibriermess.ungzwei Flüssigkeiten mit deutlich verschiedenen kinematischen Zähigkeiten verwendet werden.
2) die Ausflußze'ten sehr genau gemessen werden~
Begründun,g : Im Extremfall gleicher Flüssigkeiten t und 2 sind a und c aus GI. (2.94)
und GI. (2.95) nicht zu bestimmen (zeigen~). Auch bei Dur geringem Unterschied von
vI und v 2 werden At 1 und A1 2 wenig voneinander verschieden sein, so daß selbst eine
kleine MeßuDsicherheit in I:t,.I zu einer extremen Unsicherheit in a und c führt.
2.6.2 Messung
r dyoa _ .
en VISkosität nach Stokes
2.6.2.0 Methode Zur Messung der dyaamlschen Viskosität 110 nach GI. (2.86} verwendet man die in Fig. 2.29 dargestellte Meßanordnung. Ein etwa 1 m langes Rohr
vom Radius R trägt zwei Ringmarken M I und M 2 im Abstand I . M 1 muß so weit von
der Flüssigkeitsoberlläche ·e ntfernt sein, daß sich beim Durchgang der Kugel durch
MI die Gteichgew'ichtsgeschwindigkeit Vo bereits, eingestellt
hat. Vo bestimme man aus der Zeit t o, die zwischen den
Durchgängen der Kugel durch Mt und M 2 vergeht; dann ist
Vo = 1/10' Wegen der beschränkten Gültig.keit des Stokes.Gesetzes (siehe Anmerkung zu 2.6.0.1 auf S. 384) muß man
Kugeln von kleinem Durchmesser und geringer Materialdichte
(z. B. Kunststoffkugeln) verwenden, wenn man nicht große
systematische Abweichungen in Kauf nehmen will. M" und
M2 sollen (Gültigkeit von ..tu) die Höhe Hder FJüssigkeitssäule
etwa dritteln.
H
1.6.2.1 Gang deI Messung t) Man messe 2r mit dem
Scbraubenmikrometer. - 2) Man bestimme die Masse mo der
Kugel durch Wägung. - 3) Man messe 10 (etwa lOma) . 4) Man messe die Temperatur 8 der Flüssigkeit. - 5) Man
berechne die dynamische Viskosität nach '0 1. (2.86) und schätze
die Korrektur nach Gi. (2.85) ab. - 6) Man prüfe, ob die
Reynoldszahl Re :; Vo . QK • r/'1o < O~ t ist (vgl. dazu die Anmerkung zu 2.6.0 ..1 auf S. 384).
Fig.2,29
Anordnung zur Bestimm Wlg der
2." Schwingungen
dynamischen. Visko ität nacb Stokes
2.7.0 Grundlagen
Verschiebt man einen elastisch gebundenen Körper aus seiner Ruhelage, dann bewegt
er sich nach dem Loslassen beschleunigt auf seine Ruhelage zu und läuft infolge
seiner Trägheit über diese hinaus. ach dem Durchgang durch di.e Ruhetage
2.1 Längenmessung
45
2•••1 Me · ·dle eit Zur Verringerung der Ablesefehler ist auf Seine
Noniusskala 1'1 eingraviert deren Teilstrichabstand 9/10mm beträgt. Fallen die
Nullstriehe der heiden Skalen zusammen (Fig. 2.2a), dann beträgt der Abstand des
Fig.2.1
Schiebleb.re zur Bestimmung von Außen· und Innenmaßen (ester Körper
M Meßstab; S Schieber; MS 1 t MS%Meßscbnäbel; K
EDtarretierungsknopf der Festhalteklemme
o
a)
0
lfrn111111
1111
pli \1111
11
o
10
Fig. 2.2
Noniuseinteilung
a) Nullstellung
b) Einstellung O,4mm
ersten Noniusstrichs vom ersten Strich der Maßstabsteilung 0,1 Dlm, der des zweiten
Noniusstrichs VOtn zweiten Strich der Maßstabsteilung 0,2 nun usw. Verschiebt man
den Schieber z.B. um O.4m~ dann muß der 4. Nomusstrich mit dem 4. Skalenstrich
zusammenfallen (Fig. 2.2 b). Mit dieser Einrichtung erreicht man eine Ablese- und
EinsteUunsicherheit Von weniger als 10- 1 mm.
2.1.2 SchraubelUDikrometer
Schranbenmikroltleterzur Bestimmung von Außenmaßen haben den in Fig. 2.3
dargestellten typischen Aufbau. Ein U-f6rmiges, flaches Metallstück trägt an einem
Ende die zylindriSche Mutter M, deren Achse A rechtwinklig zum Schenkel in der UEbene liegt. Darin sitzt die Meßspindel Sp, deren Ganghöhe meist 1 mm beträgt. Sp ist
mit der Hülse H die M unmüllt, starr verbunden. Dreht man H um eine volle
Umdrehung, dann bewegt sich Sp entsprechend der gegebenen Ganghöhe um 1 nun in
Achsenrichtung. Auf M ist eine Skala mit Millimeterteilung eingraviert. Ihre
Nullmarke ist SO gewählt, daß sie bei Berührung von Sp mit dem Anschlagbolzen B in
der Ebene des H illsenrandes liegt.
Fig.2.3
ScbraubenmikrollIeter zur BestimmUDS 'IOD Auf.\enmaßen fester K,örper
Sp Meßspindel; M Mutter; H Hülse;
R Ratsche; A Achse der Spindel; B
Anschlagbolzen
46 2 Mechanik und Akustik
Der Hülsenumfang ist in hundert gleiche Teile g
teilt~
0
1
Umdrehung, d. h. 10- mm Abstandsändenmg in Acllscnri ung
kann. Die Nullmarke der H'Wsenskaia fiiUt in der nscbla
Begrenzungslinie L der Skala auf M zusammen. Diese dient aJs B
ca
Hülsenskala. Um die sehr präzise 8,e arbeitete
pindet u
vor Schaden zu be ahren, sitzt am äußeren Ende der Hülse d.i Ra
bestimmtes Drehmoment an R überschritten dann dreht sich
mitzubewegen (Gefüb1sschraube, Prinzip des Dr hmomente · hl - 1). ·
daher die Meßspindel nur über R betätigen und niemal an H selbst dre
Zum Messen k.lemmt man das Meßobjelkt zwi eben Bund Sp' eiD . Dann li I
man auf der MutterskaJa die Zahl " der vollen, auf <tel Hülsenslcala die Zahl m der
hunderstel Umdrehungen ab. Der Meßwert I ist dann
I=(n+ m·10- 2)mm.
2.2)
Die Skalen älterer (abgenutzter) Schraubenmikrometer steen im Anschlag
manchmal niebt in der Nullstellung, was einen systemati en Fehler 'cd
Einzelmessung verursachen würde. Daher muß der, , ullpunkt' j
mIndert
festgesteUt werden. Zur Nullpunktbestimmung dreht man die Spindel b' zum
Anschlag,und 1iest in der ,oben beschriebenen Weise ," ,0 und mo ab. Der elJwert i t
dann
.
I=«(n - no)+ (m - mJ · 10- 1 )mm.
Er enthält die Meßunsicherheit der Nullpunktbestimmung und die
der Ablesung.
(2~ 3
eßunsicb rheil
2.1.3 Katbeto eter
2.1.3.0 Metbode Zur Messung von Längen oder Verschiebungen in vertikaler
Richtung verwendet man das-Kathetometer (Fig. 2.4). Auf einem vertika en Zapfen A
mit der Achse Ä 1 , der auf einem massiven Dreibein befestigt ist, ist das Führungsrohr
F angebracht, das sich um A spielfrei drehen läßt. F seinerseits dient als Führung für
den Schieber S, dessen Höbe h am Maßstab M abgelesen werden kaM. Zur Erhöhung
der Meßgenauigkeit trägt S, ähnlich wie bei der'Schieblehre, den Nonius , der häufig
mit einer Lupe ausgerüstet ist. Mit S fest verbunden ist das horizontal gerichtete
Fernrohr FR das zusammen mit Sund F um A geschwenkt werden kann. Es läßt .ch
so· auf jedes Azimut einstellen.
1.1.3.1 Gang deS Ve chs Vor der Messung muß das Kathetometer justiert werden.
Dabei setze man voraus. daß mechanische und optische Achse A,. de Fernrohrs
übereinstimmen., ferner, daß die optische Achse des Fernrohrs senkrecht abf Fleht
und daß die Achse von F mit Al zusammenfällt 1). Um Al nkrecbt und damit FR
1) Bei neueren Kathetometern sind diese Einstellungen meistens fest vorgegeben, bei älteren
Geräten sind daJür Justiennöglichkeiten vorgesehen.