Trigonometrie am allgemeinen Dreieck

Trigonometrie 2
Trigonometrie am allgemeinen Dreieck
Wir können auch die Seiten und Winkel von allgemeinen Dreiecken mit Hilfe der Trigonometrie
berechnen. Die einfachste Variante besteht darin, ein beliebiges Dreieck durch Einzeichnen einer Höhe in
zwei rechtwinklige Dreiecke zu unterteilen. Allgemein lassen sich so auch zwei Sätze beweisen: Der Sinusund der Cosinussatz.
1. Unterteilung von allgemeinen Dreiecken in rechtwinklige
Beispiel 1: Gegeben ein Dreieck mit b = 4 cm,
c = 7.5 cm und = 32°. Berechnen Sie a, β und γ!
sin(α) =
hc
b
hc = ....................
hc = .................... cm
tan(α) = .................... ⇒ p = ....................
p = .................... cm
c = p+q
q = .................... cm
q = c–p
.......... = .................... ⇒ β = ....................
β = ....................°
γ = ........................
γ = ....................°
.......... = .................... ⇒ a = ....................
a = .................... cm
Beispiel 2: Gegeben ein Dreieck mit a = 6 cm,
β = 20° und γ = 30°. Berechnen Sie b, c und α!
α = ..............................
α = ....................°
.......... = .................... ⇒ hc = ....................
hc = .................... cm
hc
= .................... ⇒ c'+c = ....................
c'+c
c'+c = .................... cm
γ‘= ..............................
γ‘ = ....................°
.......... = .................... ⇒ b = ....................
b = .................... cm
c'
= .................... ⇒ c' = ....................
hc
c' = .................... cm
c = c’+c–c’
c = .................... cm
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2. Der Sinussatz
Der Sinussatz hilft uns bei der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem allgemeinen Dreieck,
wenn eine Seite mit ihrem Gegenwinkel gegeben ist (z.B. a und α). Wir beweisen ihn für spitzwinklige
Dreiecke:
Wir berechnen die Höhe hc auf zwei Arten:
hc = .............................. und hc = .............................. ⇒ .................... = ....................
Sinussatz: In einem beliebigen Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer
Gegenwinkel:
a sin(α)
b sin(β)
c sin(γ)
oder =
oder =
=
b sin(β)
c sin(γ)
a sin(α)
Der Beweis für stumpfwinklige Dreiecke geht analog.
€
€
€
Beispiel 3: Gegeben ein Dreieck mit a = 6 cm, b = 4.5 cm und α = 62°. Berechnen Sie c, β und γ!
€
a sin(a)
⇒ sin(β) = ....................
=
b sin(b)
β = ....................°
α+β+γ = .................... ⇒ γ = ....................
γ = ....................°
c
= .................... ⇒ c = ....................
a
c = .................... cm
Sind von einem Dreieck zwei Seiten und der der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben
(sog. SSWkleiner) , so gibt es zwei Dreiecke als Lösung. Bei der Berechnung ist in diesem Fall Vorsicht
geboten, dass die zweite Lösung nicht vergessen wird!
Aufgaben
4.
Gegeben ein Dreieck mit a = 6 cm, b = 4.5 cm und β = 20°.
Fertigen Sie zur Lösung der Aufgabe zuerst eine gute Zeichung an (in diesem Fall am besten mit
Zirkel und Lineal) und markieren Sie beide Lösungsdreiecke. Mit dem Sinussatz lassen sich dann
beide Lösungen berechnen.
5.* Beweisen Sie den Sinussatz für stupfwinklige Dreiecke (α > 90°).
Lösung: 4. α1 = 27.1°, γ1 = 132.9°, c1 = 9.64 cm; α2 = 152.9°, γ2 = 7.1°, c2 = 1.63 cm.
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3. Der Cosinussatz
Beispiel 6: Gegeben ein Dreieck mit a = 5 cm, b = 4 cm und c = 8 cm. Berechnen alle Innenwinkel!
Hier reicht der Sinussatz nicht mehr aus, denn es ist kein Winkel gegeben. Wir leiten nun den
Cosinussatz her, der uns den Zusammenhang zwischen allen drei Seiten und einem Winkel gibt.
hc = b·sin(α)
p = b·cos(α)
Satz von Pythagoras für das Dreieck DBC:
a2 = hc2 + q2
a2 = (b·sin(α))2 + (c–b·cos(α))2
a2 = b2·sin2(α) + c2–2bc·cos(α) + b2·cos2(α)
a2 = b2·(sin2(α)+cos2(α)) + c2 – 2bc·cos(α)
a2 = b2+c2–2bc·cos(α)
Entsprechende Gleichungen erhalten wir, wenn wir β oder γ anstelle von α verwenden.
Cosinussatz: In jedem Dreieck gilt:
a2 = b2+c2–2bc·cos(α)
b2 = c2+a2–2ca·cos(β)
c2 = a2+b2–2ab·cos(γ)
Wir haben den Cosinussatz nur für spitzwinklige Dreiecke bewiesen. Der Beweis für stumpfwinklige
Dreiecke geht analog.
Lösung zu Beispiel 6:
a2 = b2+c2–2bc·cos(α) ⇒ cos(α) = ........................................
α = ....................°
b2 = c2+a2–2ca·cos(β) ⇒ cos(β) = ........................................
β = ....................°
γ = 180°–α–β
γ = ....................°
Aufgaben
7.
Gege ben ein Dreieck mit b = 4 cm, c = 7 cm und α = 64°. Berechnen Sie a, β und γ!
8.
Beweisen Sie den Cosinussatz für stumpfwinlige Dreiecke (α > 90°).
Lösung: 7. a = 6.36 cm, β = 34.4°, γ = 81.6°.
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Trigonometrische Funktionen
Sinus, Cosinus und Tangens erfüllen alle Kriterien von Funktionen: Wir haben zwei Mengen und eine
eindeutige Zuordnung.
•
Die Urbildmenge sind die Winkel zwischen 0° und 90°.
•
Die Bildmenge sind die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 für sin(x) und cos(x), resp. ! für tan(x).
In allen ähnlichen Dreiecken, sind die Seitenverhältnisse gleich. Damit gehört zu einem bestimmten
Winkel genau ein Sinuswert, genau ein Cosinuswert und genau ein Tangenswert.
Es gilt sogar, dass die trigonometrischen Funktionen umkehrbar sind, wenn wir die Urbildmenge nicht
vergrössern: Zu jedem Winkel gehört genau ein Sinuswert, aber auch zu jedem Sinuswert ein eindeutig
bestimmter Winkel. Diese Tatsache benutzt der Taschenrechner, der Ihnen zu einem Winkel z.B. den
Sinuswert liefert, aber auch zu einem Sinuswert den zugehörigen Winkel.
1. Das Bogenmass
Bis jetzt haben wir die Gradeinheit (°) für Winkel verwendet. Ein rechter Winkel misst so 90° und ein
Vollkreis 360°. Diese Einteilung ist allerdings eher willkürlich. Deshalb erstaunt es nicht weiter, dass noch
andere Einheiten für Winkel existieren. Das Neugrad z.B. teilt einen rechten Winkel in 100 Neugrad und
somit einen vollen Kreis in 400 Neugrad. Dieses Mass wird oft im Ingenieurbereich verwendet.
Für die Mathematik ist das Bogenmass die günstigste Winkeleinheit. Dabei misst ein rechter Winkel
π/2 = 1.5708 und ein Vollkreis entsprechend 2π. Für diese Einteilung, die im ersten Moment völlig aus der
Luft gegriffen erscheint, sprechen gute mathematische Gründe.
Wenn wir einen Winkel zeichnen, so können wir ihn immer mit einem Kreis ergänzen. Zum Winkel
gehört dann ein Bogen b, dessen Länge wir berechnen können:
Beispiel:
α = 42°, r = 2 cm, b = ?
b = ................................
b’
b = ................................ cm = ............... cm
b
Nehmen wir einen anderen Kreis, aber denselben Winkel:
α
α = 42°, r' = 3.2 cm, b' = ?
b' = ............... cm
r
r’
Bilden wir nun die beiden Quotienten b/r und b'/r':
b
= ...............
r
b
= ............... ⇒
r
Der Quotient ist gleich!
Dieses Ergebnis ist nicht zufällig. Kreise können wie ähnliche Dreiecke durch zentrische Streckung in
einander überführt werden. Bei den ähnlichen Dreiecken haben wir konstante Seitenverhältnisse
gefunden und sie zur Definition von Sinus, Cosinus und Tangens verwendet. Hier nun ist das Verhältnis
Bogen zu Radius konstant. Wir nutzen es als Winkelmass.
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Definition: Das zu einem Winkel gehörende Verhältnis Bogen b zu Radius r heisst Bogenmass des
Winkels .
Das Bogenmass ist ohne Einheit, ist also lediglich eine Zahl. Am Einheitskreis mit r = 1 (cm, m, …)
finden wir den Winkel im Bogenmass gerade in der Länge des Bogens b.
Grad °
0°
Bogenmass
0
30°
45°
60°
90°
180°
270°
π/2 = 1.57
360°
2π = 6.28
2. Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis
Die Definition der trigonometrischen Funktionen kann verallgemeinert werden. Wir erweitern die
Urbildmenge auf ganz !. Betrachten wir z.B. die Sinusfunktion am Einheitskreis:
Wir können den Sinuswert direkt als vertikale Strecke konstruieren und ihn nach rechts übertragen. So
erhalten wir Punkt für Punkt den Graphen der Sinuskurve.
Diese Konstruktion lässt sich problemlos über x = π und auch über x = 2π hinaus fortsetzen. Bewegen
wir uns auf dem Einheitskreis im Uhrzeigersinn, so lassen sich auch Werte für x kleiner als 0 gewinnen.
Eigenschaften der Sinusfunktion:
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
Aufgaben
9.
a) Führen Sie die oben beschriebene Konstruktion für den Sinus auf Millimeterpapier durch.
b) Konstruieren Sie die Kurven des Cosinus und des Tangens auf analoge Weise.
c) Zählen Sie Eigenschaften der beiden neuen Kurven auf und vergleichen Sie alle drei Graphen
miteinander.
10. Bestimmen Sie alle möglichen Winkel α im Bogenmass!
a) sin(α) = 0.2
b) cos(α) = 0.2
c) tan(α) = 0.2.
Lösung: 10a) 0.2014±2π·n, 2.9402±2π·n, b) 1.3694±2π·n, 4.9137±2π·n, c) 0.1974±π·n. (n immer ganzzahlig)
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3. Die harmonische Schwingung
y
Wir verallgemeinern hier die Konstruktion der
Sinuskurve. Statt dem Einheitskreis betrachten wir einen
Kreis mit einem beliebigen Radius a, lassen für die
Rotation verschiedene Winkelgeschwindigkeiten zu und
variieren den Startpunkt S.
P
a
ϕ
S
Im ersten Schritt wählen wir einen beliebigen Radius a.
Der Punkt P soll den Kreis in 2π Sekunden genau einmal
durchwandern. Startpunkt zum Zeitpunkt t = 0 ist S. Dann
gilt ϕ = t.
Der Sinuswert variiert nun zwischen –a und a statt
zwischen –1 und 1. Der Radius bestimmt also den grössten
und kleinsten Wert, den die Sinusfunktion annimmt.
Deswegen heisst a Amplitude der Funktion. Für die
Funktion
f(t)
=
a·sin(t)
normal: y = sin(t), fett: y = 2·sin(t)
gilt dann
–a
≤
a·sin(t)
≤
a.
Läuft der Punkt P b Mal so schnell, dann gilt ϕ = b·t
und damit
f(t)
=
sin(b·t)
Eine ganze Schwingung ist nun nach 2π/b Sekunden
vorbei. Dies ist die Periode T der Schwingung. Es gilt:
T
=
2π 2π
=
b
ω
normal: y = sin(t), fett: y = sin(2·t)
b resp. ω ist die Winkelgeschwindigkeit. Der Kehrwert
der Periode
€ T heisst Frequenz f der Schwingung.
f
=
1 b
ω
.
=
=
T 2π 2π
Startet schliesslich der Punkt P nicht in S, sondern in
einem anderen
Punkt auf dem Kreis, so ergibt sich der
€
Graph durch horizontale Verschiebung aus der normalen
Sinusschwingung. Gilt für t = 0, dass ϕ = c, dann ergibt
sich
f(t)
=
sin(t+c)
normal: y = sin(t), fett: y = sin(t+π/2)
c heisst Phasenverschiebung.
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x
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4. Überlagerte Schwingungen
Betrachtet man nicht eine einzelne Schwingung, sondern die Kombination von zwei oder mehreren,
redet man von einer Überlagerung. Hier sollen zwei Möglichkeiten aufgezeigt werden.
4.1. Die Summe von Sinusschwingungen
In der Akustik entstehen Klänge von Instrumenten durch Überlagerung (und damit mathematisch als
Summe) mehrerer Sinusschwingungen. Zum Grundton kommen in eine für jedes Instrument typische Art
Oberschwingungen dazu. So klingt dann ein bestimmter Ton auf einem Cello nicht wie der gleiche Ton
auf einer Flöte.
Beispiel: Rechteckskurve
Grundschwingung:
f0(x) = sin(x)
Oberschwingungen: fn(x) =
1
sin((2n + 1) ⋅ x) , n ∈ ".
2n + 1
€
g(x) = sin(x)+1/3·sin(3x)+1/5·sin(5x)
Aufgaben
11. Erzeugen Sie die Rechteckskurve auf Ihrem eigenen Rechner.
12. Welche Kurve ergibt sich, wenn die Oberschwingungen durch die Funktionen fn(x) = (–1)n+1/n·sin(n·x),
n ∈ ", gegeben sind?
4.2. Lissajous–Figuren
Die harmonische Schwingung des letzten Abschnitts ist eine Schwingung mit nur einer
Schwingungsrichtung. Wenn wir die Zeit t in einem Koordinatensystem horizontal abtragen, so ist die
Schwingungsrichtung senkrecht dazu, längs der y–Achse.
Überlagern wir diese eine vertikale Schwingung mit einer zweiten, die horizontal schwingt, so
entstehen spannende Schwingungskurven, die Lissajous–Figuren heissen.
Die Kurven der Lissajous–Figuren sind keine Funktionsgraphen, sondern parametrisierte Kurven. Die
beiden Koordinaten x und y eines Kurvenpunktes P(x|y) wird durch zwei Funktionen bestimmt, die von der
Zeit t abhängen. t läuft typischerweise von 0 bis 2π. Gezeichnet werden sie auf einem TI–89 mit dem
Funktionsmodus ParametricPlot.
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Beispiele: Bei allen Funktionen ist die Amplitude und die Winkelgeschwindigkeit gleich 1. Variiert wird
nur die Phasenverschiebung.
Schwingung für die x–Koordinate
Schwingung für y–Koordinate
x(t) = sin(t)
y(t) = sin(t)
x(t) = sin(t)
y(t) = sin(t+π/2) = cos(t)
x(t) = sin(t)
y(t) = sin(t+π/4)
Überlagerte Schwingung
Weitere Beispiele: Jetzt verändern wir zusätzlich die Winkelgeschwindigkeit.
x(t) = sin(t)
y(t) = sin(2t)
x(t) = sin(2t)
y(t) = sin(3t)
Aufgabe
12. Erzeugen Sie weitere Lissajous–Figuren auf Ihrem eigenen Rechner, indem Sie
Winkelgeschwindigkeiten und die Phasenverschiebungen variieren.
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