Physikalische Felder
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Fachhochschule Wiesbaden Studienbereich Physik _________________________________________________________ Physikalische Felder Skript zur Vorlesung (Studiengang B.Sc. Physikalische Technik) Henry Starke, Hans-Dieter Bauer Version 10/2006 2 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 2. Vektoralgebra 3. Koordinatensysteme 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. Allgemeines kartesisches Koordinatensystem Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Darstellung von Wegen in verschiedenen Koordinatensystemen 4. Differentiation von Vektoren und Differentialoperatoren 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. Differentiation von Vektoren bei einer Variablen partielle Ableitungen (Wdh.) Gradient Divergenz Rotation 5. Integration von Vektoren 5.1. 5.2. 5.3. Linienintegral Linienintegrale in verschiedenen Koordinatensystemen Flächenintegral 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2 Vektoralgebra 2.1 Mathematische Darstellung eines Vektors 2.2 Rechenregeln 2.2.1 Addition u. Subtraktion 2.2.2 Multiplikation 2.2.2.1 Multiplikation mit Skalar 2.2.2.2 Skalarprodukt 2.2.2.3 Vektorprodukt 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Koordinatensysteme Allgemein Kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoord.) Darstellung von Wegen in verschied. Koordinatensystemen 4.1 4.2 4.3 Differentiation von Vektoren Differentiationsregeln bei raumfesten Koordinatensystemen Differentiationsregeln bei nicht raumfesten Koordinatensystemen Gradient 4 5 Einleitung Was ist Physik? Methoden der Erkenntnisgewinnung Begriffe und Größen Skalare u. Vektoren Skalare Felder Vektorfelder Integration von Vektoren 5.1 Linienintegration 5.1.1 Definition des Linienintegrals 5.1.2 Berechnung des Linienintegrals in versch. Koordinatensystemen 5.2 Flächenintegral 6 6.1 6.2 Differentialoperatoren Divergenz Rotation 5 1 Einleitung 1.1 Was ist Physik? Was versteht man unter „Physik“? Griechisch: Physik = „Naturordnung“. In der Antike: Mehr oder minder bloße Naturbeobachtung und gedankliche Einordnung. Erklärungen meist rein philosophischer Natur (Demokrit) oder Aufstellung einfacher Ordnungsprinzipien (Aristoteles). Die Metaphysik In der Renaissance: Neuer Wissenschaftsbegriff und Methodenbewusstsein! Wichtige Wegbereiter des klassischen wissenschaftlichen Selbstverständnisses: (Johannes Gutenberg Nikolaus Kopernikus Tycho Brahe Francis Bacon Galileo Galilei Johannes Kepler Rene Descartes Isaac Newton 1400 – 1468) 1473 – 1543 1546 – 1601 1561 – 1626 1564 – 1642 1571 – 1630 1596 – 1650 1643 – 1727 Physik untersucht und beschreibt vor allem das Verhalten der unbelebten Natur (Dennoch: Biophysik, Nanotechnologie). Die Beschreibung erfolgt beschreibend, und zwar möglichst quantitativ (zahlenmäßige Zusammenhänge), also unter Benutzung der Logik und Mathematik. Die Physik als Wissenschaft versucht das Naturgeschehen auf quantitative, zahlenmäßig bestimmbare Verhältnisse zurückzuführen. Im Mittelpunkt steht die Frage „Wie funktioniert die Welt und wie lässt sich dieses Funktionieren mathematisch beschreiben?“, Fragen nach dem Sinn und Wesen („Warum?“) wird ausgeklammert. Die Mathematik hat für den Physiker die Funktion einer Sprache. Zur Beschreibung sind nötig: eindeutige Begriffe, d.h. Definitionen, aber vor allem Größen u. Einheiten, die festgelegt bzw. definiert werden. Richtig beschrieben, und damit für den Physiker „verstanden“, ist ein Phänomen, wenn die Beschreibung zu einer quantitativ richtigen Aussage führt, d.h. wenn eine mathematische Beziehung gefunden ist, die zum gleichen Ergebnis führt wie die Beobachtung. 1.2 Methoden der Erkenntnisfindung Wie kommt man zu einer richtigen Beschreibung ? Erste Methode: induktiv 5 a) Beobachtung des Phänomens b) Definition von Begriffen, die zur Beschreibung nötig sind c) Bestimmung der math. Beziehungen, die das Phänomen beschreiben d) Interpretation des rechnerischen Ergebnisses, d.h. Uberprüfung bzw. Vergleich mit dem experimentellen Ergebnis Problem: Wie begrenzt man die Zahl der zu untersuchenden Einflüsse (Zahl der zur Beschreibung nötigen Begriffe)? Lösung: Man stellt Hypothesen auf, das sind Behauptungen, die solange als richtig gelten, bis bewiesen wird, dass sie falsch sind Methode: Beobachtung (Phänomen) — Begriffe — Hypothesen —math. Beziehung (Formel) — Interpretation (Vergleich zw. rechnerischem u. experimentellem Ergebnis) Vorteil dieses Verfahrens: anschaulich, geringer math. Aufwand—> am häufigsten angew. Methode Das Experiment als Methode Methode der naturwissenschaftlichen Forschung: Das Experiment (Beobachtung unter definierten Bedingungen). Wichtige Rolle der Dokumentation! Das Experiment als „methodisch-planmäßiges Herbeiführen von meist variablen Umständen zum Zwecke wissenschaftlicher Beobachtung“ (Lexikontext) ist das wichtigste Hilfsmittel aller Erfahrungswissenschaften, bei denen sich Experimentierbedingungen künstlich herbeiführen und reproduzieren lassen. Das Experiment ist eine Befragung oder ein „Verhör der Natur“ (C. F. v. Weizsäcker). Verursachende Größen (Variablen) oooooo Abhängige Größen (Beobachtete Größen) nnnn Konstant zu haltende Größen (Parameter) Wichtige Anforderungen an das Experiment: - Unabhängigkeit der Beobachtung vom Beobachter; - Reproduzierbarkeit (intersubjektiv, unabhängig von Ort und Zeit). Die Physik arbeitet im allgemeinen nach dem Prinzip der Induktion: Allgemeine Sachverhalte werden aus meist mehreren Einzelbeobachtungen oder Experimenten abgeleitet. Dies ist ein nicht-logischer Vorgang! Allgemeine abgeleitete Aussagen können nicht bewiesen werden, nur wiederlegt! Allgemeine Aussagen, die durch immer weitere Beobachtungen gestützt werden und die viele Wiederlegungsversuche überleben, heißen „bewährt“, besonders bewährte heißen „Gesetze“. 5 Eine Theorie ist ein Gebäude aus bewährten quantitativ formulierten Gesetzen, die miteinander in Zusammenhang stehen. Sie darf nicht mit anderen Theorien in Widerspruch stehen. Die klassische Mechanik, die Thermodynamik, die Optik sind Beispiele. Das Gebäude der Theorien, die die Physik bilden, ist keinesfalls statisch: Die Physik ist laufend bestrebt, auch bewährte Theorien zu hinterfragen und zwischen den Einzeltheorien Zusammenhänge herzustellen. Dies ist ein iterativer Prozess: Beobachtungen Experimente p p Ableitung von Gesetzmäßigkeiten (Abstraktion) p p Aufbau einer Theorie p p Ableitung von Prognosen p p Beobachtungen zur Verifikation der Prognosen p ODER p p p Experimente bestätigen Experimente bestätigen die Theorie: die Theorie nicht: Theorie hat sich bewährt Theorie wird modifiziert oder verworfen Wichtige Beispiele: - Seit der Aufstellung der Relativitätstheorie ist die „klassische Mechanik“ eigentlich „nicht mehr richtig“. Sie ist jedoch gültig im Bereich kleiner Geschwindigkeiten und Massen. Die klassische Mechanik ist somit ein Sonderfall der übergeordneten Relativitätstheorie. - Das Verhalten von Licht kann sowohl im „mechanischen Bild“ interpretiert werden als auch im „Wellenbild“. Beide Beschreibungen sind Grenzfälle. Die Quantentheorie versucht daraus ein einheitliches Bild zu erstellen. Zur Beruhigung: In den ersten Semestern bleiben wir ziemlich „renaissancemäßig klassisch“! 5 Zweite Methode: deduktiv Man geht von bereits als nicht falsch anerkannten Aussagen (math. Beziehungen (Formeln), Hypothesen usw.) aus, grenzt durch Speziallisierung das Problem ein (Randwertfestlegungen) und schließt auf mathemat. fehlerfreiem Weg auf die zu betrachtende Größe. Beispiele für anerkannt richtige Aussagen: & F Trägkeitskraft: ma & & 0 Summe aller Kräfte, die auf ein System einwirken ist null: ¦ F Energieerhaltungssat: ¦ E const . & & & & dB Maxwellgleichungen, z.B. rotH j rotE dt Ladungserhaltung: ¦ Q const . Unschärferelation: 'x 'p t ! i i i Pauliprinzip: 2 Elektronen eines Atoms müssen sich in wenigstens einer Quantenzahl unterscheiden. Vorteil dieses Verfahrens: Kein experimenteller Aufwand, schnell, preiswert. 1.3 Begriffe und Größen Zur Beschreibung physikal. Vorgänge benötigt man eindeutige, ,,streng‘ definierte Größen. Ihre Anzahl ist riesig. Sie können aber zusammengefasst werden und die Anzahl kann beträchtlich verringert werden durch: a) Oberbegriffsbildung b) Analogbetrachtungen c) Math. Eigenschaften Vorteil: Beispiele: Das Lernen u. Merken wird wesentlich vereinfacht Weg s Geschv. v Kraft F Masse m Elektr. Feldst. E Temperatur T Widerstand R Zeit t Strom I Stromdichte j Oberbegriff Analogie Math. Eigensch. Mech. Mech Mech. Mech Elektr. Wärme!. Elektr. Winkel M Winkelgeschw. Z Drehmoment M Ladung Q Magn. Feldst. H Potenzial M Therm. Widerstand RTh Vektor Vektor Vektor Skalar Vektor. Skalar Skalar Elektr. Elektr. Durchfluß V Magn. Flussdichte B Skalar Vektor 5 Skalar: Größe, die durch ein Merkmal (Betrag) gekennzeichnet ist Vektor: Größe, die durch 2 Merkmale (Betrag u. Richtung) gekennzeichnet ist. Skalare und Vektoren unterscheiden sich in Darstellung und math. Rechenvorschriften Analogüberlegungen: erleichtern das Lernen, erhöhen die Merkfähigkeit, erhöhen die Anschaulichkeit 1.4 Skalare und Vektoren Skalar: Größe, die durch ein Merkmal, einen numerischen Wert (Betrag), gekennzeichnet ist. Einfachste Form: reine Zahl Physik: Skalar tritt immer in Verbindung mit einer Einheit auf. D.h. er gibt das Verhältnis des Betrages dieser Größe zu einer Einheit an, die als Maßeinheit festgelegt ist. z.B. m=25g heißt: die Masse m ist 25mal größer als die Masse 1g. Bei genauer Betrachtung wird eine Größe nur dann als Skalar bezeichnet, wenn sie sich bei Änderung des Koordinatensystems nicht ändert (koordinatensystemunabhängig). Vektor: Größe, die durch 2 Merkmale gekennzeichnet ist 1.Betrag (wie Skalar) 2.Richtung oder Orientierung In der Physik zusätzlich in Verbindung mit einer Einheit Vektor = gerichtete Größe Darstellung : eine in eine best. Richtung zeigende Strecke ( Pfeil) Beispiele: 1. Angabe eines Ortes Benötigt: Bezugspunkt, Entfernung (Strecke), Richtung Siehe Folie 1( Rü. —> Da.& Wixhausen): Ortsvektor r Ortsvektorrichtung = Richtung 2. Drehmoment Benötigt: Drehachse, Bezugsachse, Strecke Länge der Strecke Betrag des Drehmoments Richtung der Drehachse Richtung des Drehmoments Richtung der Drehachse Drehung einer Rechtsschraube (Folie 2) Gibt es einen Unterschied zwischen diesen beiden Vektoren ? Der Ortsvektor kann in einem Koordinatensystem als Summe dreier Vektoren dargestellt werden. Dabei ist die Reihenfolge der Addition beliebig (Kommutativität) 5 & r & & & r r r & & & r r r ....... 1 2 2 1 3 3 Man spricht von einem ,,echten“ Vektor! Der Drehmomentvektor ( axialer Vektor) läßt sich zwar auch als Summe dreier Vektoren schreiben, aber Kommutativität gilt nicht! Beispiel: Drehung eine Buches a) ( um z-, um y-, um x-Achse) b) ( um x-, z-, y-Achse) Axiale Vektoren werden daher als Pseudo-Vektoren bezeichnet u. sind keine echten Vektoren. Weitere wichtige Vektoren: a) Wegstück dl & dl & & rc r & dr d.h. ein Wegstück dl kann als Ortsvektoränderung dr dargestellt werden. b) Flächenelement dA Wie man eine Linie aus Linienelementen dl zusammensetzen kann, so kann man eine Fläche aus Flächenelementen dA zusammensetzen. Betrag des Flächenelement = Größe des Flächenelements 3 Richtung des Flächenelements = Normale des Flächenelements mit Richtung = Richtung des Krümmungsradius Weitere Unterscheidungsmerkmale von Vektoren, die bei physikalischen Problemen zu beachten sind: Freie Vektoren: dieser Vektor ist nicht an einen Punkt im Raum gebunden, er ist im Raum frei verschiebbar, siehe Folie 3 (Geschwindigkeit der Enten ist überall gleich ) oder Vektoren in der Geometrie. Linienflüchtige Vektoren: dieser Vektor besitzt nur eine Wirkungslinie. Die Wirkung an einem Punkt dieser Linie entspricht genau der an einem anderen Punkt z.B. Wagen, der gezogen oder geschoben oder mit einem Seil gezogen wird Gebundene Vektoren: ein gebundener Vektor gehört zu einem bestimmten Punkt im Raum (Strömungsgeschwindigkeit in einem Fluß ( Folie 4), elektrische Feldstärke) —> Feldvektor 1.5 Darstellung skalarer Felder Ist eine skalare Größe in einem Punkt im Raum abhängig vom Ort des Punktes, so bezeichnet man diese Größe als ortsabhängig; sie ist eine Funktion des Ortes. Die Zuordnung des Skalars, der einer physikalischen Größe entspricht, zu jedem Punkt im Raum, wird skalares Feld genannt. Beispiele: 1. Temperaturverteilung in einer kreisrunden Platte, die mit einem Bunsenbrenner in der Mitte erwärmt wird. 2. Höhenverteilung eines Gebirges Die Höhe ist eine Funktion des Ortes( Längen- u. Breitengrades) (Folie 5) Darstellung skalarer Felder 1. Werte an den jeweiligen Orten angeben 2. die skalare Größe wird einer Farbe zugeordnet (Folie 6) 3. es werden Linien gezeichnet, die Punkte mit gleichem Wert verbinden ( Linien auf denen der skalare Wert gleich ist), z.B. Isothermen (Linien gleicher Temperatur), Isobaren (Linien gleichen Drucks), Isochoren (Linien gleichen Volumens), Isochronen ( Linien gleicher Zeit), Aqipotentiallinien (Linien gleichen Potentials), Höhenlinien ( Linien gleicher Höhe) usw. Falls ein Skalar dreidimensional ist (z.B. Dichteverteilung in einem Gewebe, 3 Druckverteilung auf einer Tragfläche), wird die skalare Größe in verschiedenen Schichten dargestellt (Schicht-Bilder). 1.6 Darstellung von Vektorfeldern Ist eine physikalische Größe die durch Betrag und Richtung gekennzeichnet ist, also einem Vektor entspricht, eine Funktion des Ortes (Raumpunkt), so spricht man von einem Vektorfeld. Betrag und Richtung der physikal. Größe sind ortsabhängig Beispiele: Strömung (v), Gravitation ( FG), elektr. Feld (E), magnet. Feld (H) Warum wurde der Begriff ,,Feld“ eingeführt ( Faraday)? Berühren sich 2 Körper, so hat man die Vorstellung, dass Kräfte von dem einen auf den anderen Körper direkt einwirken (Adhäsion, Kleber, Klette). Sind die Körper getrennt, so können dazwischen liegende Körper die Kräfte übertragen (Schall, Federn ). Was ist aber der Kraft-Mittler, falls kein Körper dazwischen liegt (Weltraum, Vakuum)? Lösung : Mittler der Kraft ist das Feld. Beispiel : Gravitation Masse m in der Nähe von Masse M erfährt Kraft FG~ m In jedem Punkt des Raums erfährt m diese Kraft abhängig vom Ort F = m*G G = Gravitationsfeld, mit G=F/m. Für das elektrische Feld gilt gleiches (m ersetzen durch Q): F = Q*E; E = elektrische Feldstärke. Mit E=FIQ Darstellung von Vektorfeldern: Für einfache Fälle: Angabe von Betrag u. Richtung f. vorgegeb. Orte in Wertetabelle Vektorpfeil-Darstellung Es werden best. Pkt. im Raum ausgewählt u. in diesen Pkt. ein Vektorpfeil eingezeichnet. Betrag des Vektors = Länge des Pfeils Richtung des Vektors = Richtung des Pfeils (siehe Folien 4, 8, 9, 10, 11) anschaulich: Wollfäden in Strömung, Probelad. an Federwaage im E-FeId Feldlinien-Darstellung (Stromlinie) Im Punkt P0 wird kleines Linienstück eingezeichnet mit Richtung des Feldvektors, dabei gelangt man zu dem dicht benachbarten Punkt P1, durch P1 wird wieder ein Linienstück gezogen mit Richtung des Feldvektors in P1, man gelangt zu P2 usw. es entsteht eine Linie. Neuer Anfangspunkt: neue Linie Feldlinie: Linie mit Tangenten, die der Richtung der Feldvektoren in jeweiligen Punkt der Linie entsprechen. 3 Richtung des Vektors = Tangente an Feldlinie Betrag des Vektors = Dichte der Feldlinien (siehe Folien 12-16) anschaulich: Stromlinie — Bahn eines masselosen Teilchens im Strom E-Feldlinie - Bahn einer masselosen Ladung im E-Feld H-Feldlinie - Eisenfeilspäne Eigenschaften von Vektorfeldern, die in Physik u. Technik eine Rolle spielen. 1.Feldlinien können sich nicht schneiden a) In einem Punkt wären Vektoren mit 2 Richtungen möglich! b) Feldliniendichte = f : Betrag d. Vektors = f 2.Die in der Natur auftretenden Felder sind in der Regel eindeutig, stetig und differenzierbar. Sollte eine physikal. Größe diese Eigenschaften nicht besitzen, muss dies im Einzelfall diskutiert werden (Ausnahme; Unstetigkeit: z.B. Sprungfunktion). 3 3. Koordinatensysteme 3.1 Allgemein Vektor, der einen Punkt P im Raum angibt, heißt Ortsvektor & r. Skalar, der den skalaren physikal. Zustand im Punkt P kennzeichnet, heißt skalare Feldgröße, z.B. T( P ) & T(r ) Vektor, der den vektoriellen physikalischen Zustand im Punkt P kennzeichnet, heißt: Feldvektor & z.B. E( P ) & & E(r ) Warum unterschiedliche Koordinatensysteme? x Die mathematische Lösung physikal. Probleme, also die Lösung von algebraischen oder Differential-Gleichungen ist umso einfacher zu finden je weniger Variablen (Koordinaten) benötigt werden. x Die formale Darstellung eines Vektors wird einfacher wenn das ,,richtige“ Koordinatensystem gewählt wird, d.h. je weniger Basisvektoren zur Beschreibung nötig sind. x Nur im kartesischen Koordinatensystem ist der Ortsvektor eindeutig. Bei allen physikal. Problemen, bei denen es also auf eindeutige Ortszuweisung ankommt, muß zunächst in das kartesische Koordinatensystem transformiert werden (z.B. Schwerpunktberechnung, Entfernungsbestimmung usw.) x Die Darstellung von Wegen wird in dem Koordinatensystem, & & das&die Symmetrie d s dr eines Weges nutzt, einfacher, da ein Wegstück d l x Auch Vektoren können bzw. müssen differenziert werden. Da nur im kartesischen Koordinatensystem die Basisvektoren konstant sind, ist in diesen System die Differentiation am einfachsten. 3.2 Kartesisches Koordinatensystem Ortskoordinaten : Ortsvektor: Skalar in P: Feldvektor in P: x, y , z & & & & r e xe yez & T( P ) T(r ) T( x, y , z ) & & & & E( P ) E(r ) E( x, y , z ) x y z Ortsvektoränderung: & dr & & & e dx e dy e dz x y z Flächenelemente: wa x wa y wa z & e dydz & e dxdz & e dxdy x y z Volumenelement: dV 3.3 Zylinderkoordinatensystem Ortskoordinaten: U, M , z Skalar in P: & T(r ) T( P ) T(U, M, z ) Feldvektor in P: & E( P ) & & E(r ) & E(U, M, z ) & & & r eUez Ortsvektor: U z Ortsvektoränderung: & dr & & & e dU e UdM e dz & Flächenelemente: da mit & wa e UdMdz U U wa wa M U M & e dUdz z & e UdMdU M z z dxdydz & da mit Volumenelement : dV UdMdUdz x U cos M Transformation: y z U sin M z U 2 3.4 x y 2 , M arctan(y / x) Kugelkoordinatensystem (sphärische Polarkoordinaten ) r , M, Skalar in P: T( P ) T(r , M, -) & & Feldvektor in P: E( P ) E(r , M, -) & & Ortsvektor: r er & & & & Ortsvektoränderung: dr e dr e r sin -dM e rdOrtskoordinaten: r r Transformation: x y z r sin - cos M r sin - sin M r cos - M - x y z arctan(y / x) § z arccos¨¨ © x y z 2 r M - 2 2 U z 2 r 2 2 2 · ¸¸ ¹ 2 M M - § U arcsin ¨¨ © U z 2 2 · ¸¸ ¹ 3.5 Basisvektor-Transformation Ansatz: Eine partielle Ortsvektoränderung in einem Koordinatensystem ist gleich der totalen Ortsvektoränderung in einem anderen Koordinatensystem partielle Ortsvektoränderungen: & wr & e dx , & wr & e dy , & wr z & e dz & wr & e dU , & wr & e UdU , & wr & e dz & wr & e dr , & wr & & e r sin -dM , wr x U r x U r y M N y M M z - z z & e rd- Beispiel: & H 1 & e 2SU M 3.6 Wegbeschreibung mit Vektoren Jeder Punkt eines beschrieben, daher entspricht ein & Weges wird durch einen Ortsvektor & Wegstück d s einer Ortsvektoränderung dr ?. Da ein Weg = eine Linie eindimensional ist, müssen alle Ortskoordinaten des Weges voneinander abhängen d.h. falls eine Ortskoordinate gegeben ist, können die beiden anderen über die Funktion des Weges berechnet werden.
