Kräfte wirken überall

6 Kreisbewegung
Ein einäugiges Monster? Eine
Kaffeemühle? Nein, eine Zentrifuge für Astronauten. Warum
die NASA ihre Astronauten
durchschleudert und was die
Astronauten dabei durchmachen – dies erfahren Sie in diesem Kapitel
Quelle: images.jsc.nasa.gov
6.1
Gleichförmige Kreisbewegung
Ein Körper bewegt sich genau dann mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn, wenn er dauernd eine zum Kreismittelpunkt hin gerichtete Kraft erfährt. Diese
Kraft nennt man Zentripetalkraft Fz. Sie ist keine neue physikalische Kraft! Die
Zentripetalkraft hält ein Objekt auf einer krummen Bahn, respektive Kreisbahn!
Die häufig im Zusammenhang mit Kreisbewegungen genannte Zentrifugalkraft ist
eine Scheinkraft. Für die weiteren Diskussionen innerhalb dieses Themas vergessen
Sie bitte den Begriff.
6.2
Die Zentripetalbeschleunigung
Betrachten wir ein Auto, das sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn
bewegt. Zeichnen wir zunächst einmal alle auf das Auto wirkenden Kräfte ein. Die
Gewichtskraft und die Normalkraft heben sich auf. Ebenso die Motorenkraft und die
Fahrwiderstandskraft, weil das Auto mit konstanter Geschwindigkeit unterwegs sein
soll. Es bleibt als Resultierende Kraft also nur die Haftreibungskraft übrig, welche
verhindert, dass das Auto aus der Kurve fliegt.
Betrachten wir obige Abbildung ein wenig
genauer und machen uns eine neue Skizze –
diesmal von oben. Offensichtlich wirkt auf
das Auto eine resultierende Kraft, welche
zum Kreismittelpunkt hin gerichtet ist. Diese
Kraft entspricht in diesem Fall natürlich der
Haftreibung. Das Vorhandensein einer Kraft
ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass
der Wagen zum Kreismittelpunkt hin beschleunigt wird. Ohne die Haftreibungskraft
(Glatteis) würde sich das Auto in der Zeit t
von Punkt P1 nach Punkt P2 bewegen. Tatsächlich befindet es sich nach der Zeit t aber
im Punkt P’2, der auf der Kreisbahn liegt. Die
Haftreibungskraft hat also hier dafür gesorgt,
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2
dass der Wagen nicht um die Strecke s nach aussen gerutscht ist. Der Grund liegt
eben in einer Beschleunigung a, welche wir nun herleiten wollen. Wir berechnen das
rechtwinklige Dreieck mit den Seiten vt, r und r + s.
aufgelöst ergibt sich
(r + s ) 2 = (vt ) 2 + r 2
r 2 + 2 sr + s 2 = v 2 t 2 + r 2
oder
s (2r + s ) = v 2 t 2 .
Wenn man nur sehr kleine Zeiten t betrachtet, so ist die Strecke s sehr viel kleiner als
der Radius r. Damit kann man h in der Klammer vernachlässigen und man erhält:
2rs ≈ v 2 t 2
oder
1  v2
s≈ 
2 r
 2
t .

Zusätzlich wissen wir, dass im Problem eine konstante Beschleunigung vorliegt, so
1
dass für die Strecke s = at 2 gilt. Vergleicht man die beiden letzten Ausdrücke, so
2
stellt man fest, dass für die Beschleunigung des Autos
a=
v2
r
geschrieben werden kann. Jedes Objekt, welches sich gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt, erfährt eine Zentripetalbeschleunigung, welche stets zum Kreismittelpunkt hin gerichtet ist.
Bewegt sich ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn, so ist
es oft zweckmässig anzugeben, wie lange es für einen vollen Umlauf benötigt. Diese
Zeit nennt man Periode T. Ist der Radius des Kreises r, so legt das Teilchen während eines Umlaufs den Weg 2πr zurück. Für die Bahngeschwindigkeit gilt dann
v=
2πr
=ω ⋅ r .
T
2π
für die Kreisfrequenz verwendet hat. Die Kreisfrequenz gibt an,
T
welcher Winkel im Bogenmass pro Zeiteinheit vom Radiusvektor überstrichen wird.
1
Häufig wird auch der Kehrwert der Periode
gebraucht. Man nennt diese Grösse
T
1
Frequenz f = . Sie gibt an, wie viele Umdrehungen ein Objekt pro Sekunde macht.
T
Die Einheit der Frequenz ist das Hertz (Hz). Die Frequenz f und die Kreisfrequenz ω
sind nicht zu verwechseln – zwischen ihnen besteht die Beziehung ω = 2π f .
Wobei man ω =
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3
Die NASA oder das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt testen ihre zukünftigen Astronauten in riesigen Zentrifugen. Dadurch simuliert man die beim Start der
Rakete auftretenden Kräfte. Der Astronaut erfährt dabei eine Zentripetalbeschleunigung, welche ein Mehrfaches
der Erdbeschleunigung beträgt. Bei solchen Beschleunigungen (meistens in
vielfachen von g angegeben), rutschen
z.B. die Organe und das Blut nach unten (oder nach oben). Dies kann so weit
gehen, dass das Gehirn nicht mehr genügend durchblutet wird und der Astronaut in die Bewusstlosigkeit fällt (bei
Quelle: www.lrt.mw.tum.de
etwa 10g).
Beispiel: Welche Beschleunigung erfährt ein Astronaut in einer Zentrifuge, wenn er
5 m vom Drehzentrum entfernt platziert wird und mit 21 Umdrehungen pro Minute
geschleudert wird?
Lösung:
Die Periodendauer beträgt T =
60
s . Es folgt für die Zentripetalbeschleunigung
21
v 2 ω 2 ·r 2
m
 2·π 
a= =
= ω 2 ·r = 
 ·r = 24.2 2 ≈ 2.5 g .
r
r
s
 T 
2
Aufgrund der auftretenden Zentripetalbeschleunigungen haben Piloten von Kampfjets spezielle Anzüge, welche sie vor den auftretenden g – Kräften und damit vor einem g-LOC (g-induced Loss Of Consciousness / Bewusstlosigkeit) schützen sollen.
6.3
Die Zentripetalkraft
Die Formel für die Zentripetalbeschleunigung haben wir nun hergeleitet. In Kombination mit Newton 2 erhalten wir für die Zentripetalkraft FZ die Formel
v2
FZ = m·a = m· = m·ω 2 ·r
r
Diese Formel wollen wir nun anhand eines Experiments überprüfen. Dazu berechnen
wir Fz einerseits aus den Grössen m, r und T, andererseits messen wir Fz direkt mit
Hilfe eines Kraftmessers.
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4
Tabelle:
Zeichnung:
Messung 1
Messung 2
m [kg]
r [m]
t [s]
Fz gemessen [N]
Fz berechnet [N]
Fehler [%]
6.4
Arten von Problemstellungen
Die im Zusammenhang mit der gleichförmigen Kreisbewegung auftretenden Probleme lassen sich in zwei Kategorien einteilen. Solche, bei denen alle Kräfte senkrecht
aufeinander stehen oder parallel sind. Die andere Gruppe umfasst die restlichen
Problemstellungen.
Grundsätzlich ist das Vorgehen beim Lösen aller Probleme der gleichförmigen Kreisbewegung gleich. Man ermittelt die resultierende Kraft – damit ist die Zentripetalkraft
gefunden.
6.4.1 Senkrecht aufeinander stehende Kräfte
Beginnen wir mit Problemen, bei denen alle Kräfte senkrecht oder parallel zueinander stehen oder nur eine Kraft vorkommt. Dazu gehören zum Beispiel das Auto in
einer Kurve, ein die Erde umkreisender Satellit oder ein Puck, der auf dem Eis an
einer Schnur im Kreis herumgewirbelt wird.
Beispiel: Ein Auto fahre in eine Kurve,
deren Radius 30 m beträgt. Durch
Reibung trete eine Zentripetalbeschleunigung von maximal 5 m/s2 auf.
Mit welcher maximalen Geschwindigkeit wird das Auto die Kurve durchfahren?
v2
= a max
r
v max = ra max
= 30m ⋅ 5m / s 2 = 12.2 m / s = 44 km / h
Beispiel: Ein Satellit bewege sich 200 km über der Erdoberfläche mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn um den Erdmittelpunkt. Welche Geschwindigkeit
besitzt er, wenn wir annehmen, dass die Erdanziehungskraft in dieser Höhe um 6 %
geringer ist als direkt auf der Erdoberfläche? Wie lange benötigt er für einen Umlauf?
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5
Die Beschleunigung ist gegeben durch: a = 0.94·9.81 m/s2 = 9.22 m/s2.
Für den Radius der Kreisbahn erhalten wir r = (6370 + 200) km = 6570 km.
Somit erhalten wir:
v2 = r·a = 6570 km·9.22 m/s2 = 6570000 m·9.22 m/s2
v = 7.78 km/s
Die Umlaufzeit T folgt aus
T=
2πr 2π ⋅ 6570 km
=
= 5306 s = 88,4 min .
v
7.78 km / s
6.4.2 Probleme mit Winkeln
Mit welchem Winkel muss sich ein Fahrradfahrer in die Kurve legen, wenn er mit einer gewissen Geschwindigkeit einen Radius von 10 m fahren will? Welche Zentripetalkraft tritt auch, wenn ein Flugzeug einen Bogen von 500 m mit einer Geschwindigkeit von 200 km/h fliegt?
Auch wenn diese Probleme von scheinbar völlig unterschiedlicher Natur sind, so ist
auch hier das Vorgehen wieder gleich wie bei den vorherigen Aufgaben. Man bestimmt die Resultierende Kraft. Diese muss – sofern es sich um eine gleichförmige
Kreisbewegung handelt – zum Mittelpunkt der Kreisbahn hin zeigen.
Beispiel zur Lösung solcher Probleme
Fliegt ein Flugzeug in konstanter Höhe, so halten sich die Gewichtskraft und die Auftriebskraft die Waage, wie in nebenstehender Abbildung gezeigt ist. Legt sich das Flugzeug in eine Kurve (die Höhe soll immer noch gleich
bleiben), so sind immer noch dieselben zwei
Kräfte wirksam – nur sind sie eben nicht mehr
antiparallel und die resultierende Kraft ist darum grösser als null. Die Situation der Kräfte am
Flugzeug sieht dann aus, wie in der nächsten
Abbildung gezeigt ist. Zur Addition zerlegen wir
die Auftriebskraft in zwei Komponenten: Eine
parallel zur Gewichtskraft und eine senkrecht
dazu. Schematisch sieht das dann aus, wie in
der nächsten Figur gezeigt wird.
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6
uuur
uur
Man erkennt, dass sich FA,P und FG aufheben müssen, wenn
das Flugzeug seine Höhe nicht ändert. Es bleibt als resultierenuuuur
de Kraft – und somit Zentripetalkraft – nur noch FA,⊥ übrig. Es
uur uuuur
gilt also FZ = FA,⊥ . Man erkennt ebenfalls, dass für den Winkel
uur
uuur
zwischen FA und FA,P , nennen wir ihn einmal α, die Beziehung
tan α =
FA,⊥
FA,P
gilt.
Handelt es sich um einen Fahrradfahrer, der sich in eine Kurve
legt, so gelten obige Überlegungen analog, es werden die gleichen Skizzen sein, nur heissen die Kräfte dann halt anders.
6.5
Ungleichförmige Kreisbewegung
Bei der ungleichförmigen Kreisbewegung ändert sich die Geschwindigkeit des Objekts auf der Kreisbahn. Dadurch zeigt die resultierende Kraft nicht mehr zum Kreismittelpunkt hin. Weiterhin gilt aber auch hier, dass die Zentripetalkraft einen Körper
auf einer krummen Bahn, speziell auf einer Kreisbahn hält! Die nächste Skizze zeigt
die Situation bei der ungleichförmigen Kreisbewegung. Wie man sieht, wird die resultierende Kraft in eine radiale und eine tangentiale
Komponente zerlegt. Die radiale Komponente
entspricht der bekannten Zentripetalkraft.
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7
6.6
Aufgaben
1) Ein Gegenstand bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem
Radius r. Wie ändert sich die Beschleunigung a, wenn v verdoppelt wird? b) Wie ändert sich
die Beschleunigung a, wenn r verdoppelt wird? c) Warum ist es unmöglich, dass sich ein Gegenstand exakt um eine scharfe Ecke bewegt?
2) Eine gute Waschmaschine schleudert mit bis zu 1000 Umdrehungen pro Minute. Die wie viel
fache Erdbeschleunigung wird dabei erreicht (Durchmesser der Trommel 60 cm)? [335g]
3) Ein Kunstflieger gelange aus einem Sturzflug heraus in eine kreisförmige Flugbahn mit dem
Radius r = 300 m. Welche Richtung und welchen Betrag hat die Beschleunigung im tiefsten
2
Punkt des Kreises, an dem die Geschwindigkeit 180 km/h beträgt? [8.33 m/s ]
4) Eine Kugel von 1 kg wird an einer Schnur in einer horizontalen Kreisbahn von 1 m Radius
herumgeschwungen. Wie viele Umläufe werden in 1 s ausgeführt, wenn die Horizontalkompo-1
nente der Fadenkraft 100 N beträgt? [1.6 s ]
5) Ein Skifahrer von 75 kg durchfährt mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s eine Mulde und eine
Welle von je 15 m Krümmungsradius. Wie gross ist die Bodenreaktion im tiefsten Punkt der
Mulde und im höchsten Punkt der Welle, wenn die Geschwindigkeit und der Abstand des
Schwerpunktes vom Boden als konstant angenommen werden, und der angegebene Krüm2
mungsradius für die Schwerpunktsbahn gilt? (g = 10 m/s ) [1250N, 250N]
6) Um welchen Winkel hat sich ein Fahrradfahrer in die Kurve zu legen, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 6 m/s einen Bogen von 12 m Krümmungsradius beschreiben will? [~17°]
7) Ein Bob durchfährt eine Kurve von 20 m Krümmungsradius mit einer Geschwindigkeit von 20
m/s. Welche Neigung sollte die Bahn haben, damit kein seitliches Rutschen stattfindet? Wie
gross ist die Zentripetalkraft, wenn die Masse von Besatzung und Schlitten 300 kg beträgt?
[63°, 6000N]
8) Ein Jagdflugzeug (1.5 t) beschreibt eine Kurve in horizontaler Ebene und ist dabei 70° nach
innen gelegt. Die an den Flügeln angreifende, resultierende Luftkraft steht senkrecht zur
Querachse des Flugzeuges (von vorne betrachtet). Wie gross ist der Kurvenradius bei einer
Flugzeuggeschwindigkeit von 846 km/h? [2049 m]
9) Eine Lok mit einer Masse von 100 Tonnen durchfährt eine Kurve vom Radius 500 m mit einer
Geschwindigkeit von 60 km/h. Welche Zentripetalkraft müssen die Schienen aufbringen
a) wenn die Kurve nicht überhöht wäre und [55.6 kN]
b) um welchen Winkel müsste man die Kurve überhöhen (Überhöhungswinkel), damit
ein mitfahrender Zugspassagier von der Kurve nichts merkt? [3.24°]
10) **Ein Auto durchfährt mit einer Geschwindigkeit von 70 km/h eine Kurve mit 80 m Radius. Mit
welcher Verzögerung darf der Fahrer höchstens auf ein plötzlich auf der Strasse erscheinendes Objekt reagieren, wenn er mit seinem Wagen nicht ins Rutschen kommen will (µH=0.7)?
Welche maximale Verzögerung wäre auf gerader Strecke bei gleichen Verhältnissen möglich?
2
2
[5m/s , 6.87 m/s ]
11) **Berechnen Sie die Höhe der Hülse an der Achse des Drehzahlreglers als Funktion der Kreisfrequenz. Erstellen Sie anschliessend eine graphische Darstellung. Benutzen Sie dazu
die graphischen Funktionen ihres Taschenrechners. Hinweise:
Aufpassen, je grösser der Spreizwinkel, desto grösser ist auch
der Abstand der Massen von der Achse und damit die Zentripetalkraft.
Aufgabe und Lösung wurde dem Leitprogramm Kreisbewegung der ETH Zürich entnommen
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8
6.7
Ausgewählte Lösungen
10) Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine beschleunigte Kreisbewegung. Die resultierende
Kraft zeigt deshalb NICHT zum Kreismittelpunkt hin. Die resultierende Kraft muss aber gerade
der maximalen Haftreibungskraft entsprechen. Die Skizze sieht wie folgt aus (auf die Masse
kann man gleich verzichten, es darf auch nur mit der
Beschleunigung gearbeitet werden).
Man erkennt, dass
amax = aRe ib − aZ ist. Einge-
setzt
erhält
man
2
amax =
( µH ·g )
2
 v2 
m
−   = 5.16 2 . Auf gerader
s
 r 
Strasse könnte man hingegen mit einer Verzögerung
von
amax = µ H ·g = 6.9
m
bremsen.
s2
l a
l⋅x
2
, mit Fz = m ⋅ ω ⋅ r gilt
= ⇒r =
r x
a
l·x
ω2 ⋅
2
Fz m ⋅ ω 2 ⋅ r
a = ω ·l · x , aber auch
tan α =
=
=
FG
m⋅ g
g
g ·a
x
und somit kann man schreiben
tan α =
h
2
2
 ω 2 ·l 2 
ω ·l ·x x
=
⇒ x·
−  = 0 . Die Lösungen dieser
h
g ·a
g ·a h 

2
 ω 2 ·l 2 
−  = 0 . Also
Quadratischen Gleichung sind x = 0 und 
 g ·a h 
11)
h=
2· g ·a
. h kann aber unmöglich grösser werden als 2a und daher gilt:
l ·ω 2
x = 0 und h = 2a
h=
2· g ·a
l ·ω 2
g
und
l
g
für ω >
.
l
für
ω<
Das Pendel wird sich also bei kleiner Drehung
nicht heben. Es braucht dazu eine bestimmte
Grunddrehzahl. Die graphische Darstellung
von h als Funktion von ω ist:
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