16 Erwartungswert und Varianz

§16 Erwartungswert und Varianz
ô
KombinationenOhneWiederholung@n_Integer, k_IntegerD := Permutations@Join@Table@1, 8k<D, Table@0, 8n - k<DDD
DiscreteEmpiricalPDF@daten_, z_D := Module@8n, min, max, uni<,
n = Length@datenD;
min = Min@datenD;
max = Max@datenD;
uni = Union@datenD;
If@MemberQ@daten, zD, BinCounts@daten, 8min, max + 1<D@@Position@uni, zD@@1, 1DDDD ê n, 0D êê ND
Das zufällige Verhalten einer Zufallsvariablen Z wird durch ihre Verteilung Z beschrieben. Für die Praxis ist es
wichtig, diese Verteilung durch einige wenige Größen möglichst aussagekräftig zu charakterisieren. Eine dieser
Größen ist der Erwartungswert @ZD. Damit wird beschrieben, um welchen Wert die Zufallsvariable Z schwankt.
Eine andere wichtige Größe ist die Varianz @ZD bzw deren Wurzel, die sogenannte Streuung @ZD, mit der
beschrieben wird, wie stark die Zufallsvariable Z um ihren Erwartungswert @ZD schwankt.
Wir werden uns in diesem Abschnitt mit dem Erwartungswert @ZD, der Streuung @ZD, der Varianz @ZD und
einigen weiteren, die Verteilung Z einer Zufallsvariablen Z charakterisierenden Größen eingehend befassen
und die Bedeutung dieser Größen an zahlreichen Beispielen erläutern. Außerdem werden wir uns mit der MonteCarlo Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen befassen.
16.1 Der Begriff Erwartungswert
Wir bereiten die Definition des Begriffs "Erwartungswert einer Zufallsvariablen Z" an Hand von zwei historischen
Beispielen vor:
16.1.1 Beispiel: J. BERNOULLI wurde einmal mit der folgenden Frage befasst: Bei einem Glücksspiel kann
ein Spieler mit der Wahrscheinlichkeit p1 den Betrag z1 , mit der Wahrscheinlichkeit p2 den Betrag z2 , …
und mit der Wahrscheinlichkeit pn den Betrag zn gewinnen. Wie groß ist der zu erwartende (also der
durchschnittliche) Gewinn für diesen Spieler?
ô
Lösung: BERNOULLI argumentierte folgendermaßen: Angenommen es werden N Runden gespielt, wobei N sehr
groß ist. Dann wird der Spieler in etwa N pi Runden den Betrag zi gewinnen. Sein Gesamtgewinn wird somit
N p1 z1 + N p2 z2 + … + N pn zn = N Hz1 p1 + z2 p2 + … + zn pn L
betragen. Er wird also je Runde einen durchschnittlichen Gewinn von
z1 p1 + z2 p2 + … + zn pn
erzielen. Beispielsweise gilt: Wird mit einem Würfel gewürfelt und werden an einen Spieler so viele Euro ausbezahlt, wie die geworfene Augenzahl angibt, so erhält dieser Spieler wegen
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 3.5
6
6
6
6
6
6
je Runde im Mittel 3.5 Euro.
Es würde nun naheliegen, den Erwartungswert @ZD einer diskreten Zufallsvariablen Z mit Träger Z und
Verteilungsdichte Z einfach durch
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
68
@ZD = ⁄ z @8Z = z<D = ⁄ z Z @zD
zœZ
zœZ
zu definieren. Dieser einfachen Begriffsbildung steht aber das folgende Paradoxon entgegen:
16.1.2 Beispiel (Petersburger Paradoxon): Mit einer Münze wird so lange gewürfelt, bis das erste Mal das
Ereignis "Zahl" erscheint. Tritt dieses Ereignis beim n-ten Wurf auf, so bekommt der Spieler 2n Euro
ausbezahlt. Welchen Betrag muss dieser Spieler einsetzen, damit das Spiel "fair" ist, er also genau jenen
Betrag einsetzt, den er im Mittel ausbezahlt bekommt?
ô
Lösung: Wir bezeichnen mit Z den Betrag, den der Spieler ausbezahlt bekommt. Die Zufallsvariable Z ist diskret
und besitzt den Träger Z = 82, 4, 8, …<, wobei für alle z = 2n œ Z offenbar
Z @zD = @8Z = z<D = @8Z = 2n <D = 2-n
gilt. Verwendet man nun die oben vorgeschlagene Formel für den Erwartungswert von Z, so ergibt sich
@ZD = ⁄ z @8Z = z<D = ⁄ 2n @8Z = 2n <D = ⁄ 2n 2-n = 1 + 1 + 1 + … = ¶
zœZ
nœ
nœ
Damit dieses Spiel im obigen Sinn "fair" ist, müsste unser Spieler somit vor dem Spiel unendlich viel Geld einsetzen, um dann wegen
@8Z < ¶<D = ⁄ @8Z = z<D = ⁄ @8Z = 2n <D = ⁄ 2-n = 1
zœZ
nœ
nœ
mit Sicherheit nur endlich viel Geld ausbezahlt zu bekommen. Von "fair" kann somit bei bestem Willen nicht
gesprochen werden.
Es gab viele Versuche, dieses Paradoxon aufzulösen, bis die Mathematik erkannte, dass man in solchen Situationen
den Erwartungswert einfach nicht definieren kann.
16.1.3 Definition: Ist Z eine diskrete bzw stetige Zufallsvariable mit der Verteilungsdichte Z und konvergiert
¶
die Summe ⁄zœ †z§ Z @zD bzw das Integral Ÿ-¶ †z§ Z @zD „ z (man spricht in diesem Zusammenhang von einer
Z
integrierbaren Zufallsvariablen), so nennt man die Summe
@ZD = ⁄zœ z @8Z = z<D = ⁄zœ z Z @zD
Z
Z
bzw das Integral
@ZD = Ÿ-¶ z @8Z œ @z, z + „ zD<D = Ÿ-¶ z Z @zD „ z
¶
¶
den Erwartungswert der Zufallsvariablen Z. Der Erwartungswert @ZD entspricht somit dem mittleren Wert der
Zufallsvariablen Z, also jenem Wert, um den die Zufallsvariable Z schwankt. Für nicht integrierbare Zufallsvariable wird kein Erwartungswert definiert. (Man beachte, dass der Erwartungswert @ZD einer Zufallsvariablen Z
nur von der Verteilung Z und nicht von der konkreten Abbildungsvorschrift Z : W Ø abhängt. Wir werden
daher auch vom Erwartungswert einer Verteilung reden.)
ô
Ist Z eine beliebige Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion Z und konvergiert das Integral Ÿ-¶ †z§ Z @„ zD, so
definiert man ganz allgemein
¶
@ZD = Ÿ-¶ z Z @„ zD
¶
wobei die dabei auftretenden Integrale als Lebesque-Stieltjes-Integrale zu verstehen sind.
Wir fassen die wichtigsten Eigenschaften des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen in einem Satz zusammen:
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
69
16.1.4 Satz: Sind X, Y und Z beliebige Zufallsvariable, so gilt
Linearität: Sind X und Y integrierbar und sind a, b œ , so ist auch a X + b Y integrierbar und es gilt
@a X + b Y D = a @X D + b @Y D
Monotonie: Sind X und Y integrierbar und ist X § Y , so gilt
@X D § @YD
Hintereinanderausführung: Ist g : Ø eine Abbildung und ist g ëZ integrierbar, so gilt
@g ëZD = ⁄zœ g@zD Z @zD
Z
bzw
@g ë ZD = Ÿ-¶ g@zD Z @zD „ z
¶
ô
Beweis: Wir beweisen exemplarisch die letzte Aussage für den Fall, dass Z eine diskrete Zufallsvariablen ist: Die
Zufallsvariable Y = g ëZ nimmt den Wert y œ Y mit der Wahrscheinlichkeit
@8Y = y<D = @8g ëZ = y<D =
⁄ @8Z = z<D
zœZ
g@zD=y
an. Damit gilt
@g ëZD = @Y D = ⁄ y @8Y = y<D = ⁄ y
yœY
yœY
⁄ @8Z = z<D =
zœZ
g@zD=y
= ⁄ g@zD @8Z = z<D = ⁄ g@zD Z @zD
zœZ
zœZ
Bei der Berechnung des Erwartungswerts @ZD einer Zufallsvariablen Z mit gemischter Verteilung beachte man
16.1.5 Bemerkung: Jede Zufallsvariable Z mit gemischter Verteilung lässt sich in der Form
Z = a X + H1 - aL Y
darstellen, wobei X eine diskrete Zufallsvariable ist, welche den diskreten Anteil von Z beschreibt, Y eine
stetige Zufallsvariable ist, welche den stetigen Anteil von Z beschreibt und a die Summe der Sprunghöhen der
Verteilungsfunktion Z bezeichnet. Für den Erwartungswert @ZD gilt damit
@ZD = a @X D + H1 - aL @Y D
Wir erläutern die Berechnung des Erwartungswerts @ZD einer gemischten Zufallsvariablen Z an einem einfachen
Beispiel:
16.1.6 Beispiel: Die Zufallsvariable Z besitzt die Verteilungsfunktion
0
für z < 1
z ê2 - 1 ê3
für 1 § z < 2
Z @zD =
5 ê6
für 2 § z < 3
1
für z ¥ 3
Gesucht ist der Erwartungswert @ZD.
ô
Lösung: An Hand der Zeichnung
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
70
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
1
2
3
4
erkennt man, dass es sich bei der Verteilung Z der Zufallsvariablen Z offenbar um die Mischung einer diskreten
Gleichverteilung auf der Menge 81, 2, 3< und einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall @1, 2D handelt. Die
Zufallsvariable Z lässt sich daher in der Form
Z = a X + H1 - aL Y
darstellen, wobei X eine diskrete, auf der Menge 81, 2, 3< gleichverteilte Zufallsvariable ist, Y eine stetige, auf dem
Intervall @1, 2D gleichverteilte Zufallsvariable ist und für den Mischungsfaktor a = 1 ê2 gilt. Wegen
1
1
1
@X D = ⁄xœ x X @xD = 1 + 2 + 3 = 2
X
3
3
3
und
3
2
¶
@Y D = Ÿ-¶ y Y @yD „ y = Ÿ y „ y =
1
2
gilt damit
@ZD = a @X D + H1 - aL @Y D =
1
3
7
H2 + L =
2
2
4
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
71
16.2 Varianz und Streuung
Wie bereits erwähnt, kann man den Erwartungswert @ZD einer Zufallsvariablen Z als jenen für sie charakteristischen Wert auffassen, um den diese Zufallsvariable schwankt. Über die Größe dieser Schwankung gibt der
Erwartungswert jedoch keinerlei Auskunft. Wie wollen uns nun mit zwei Maßzahlen befassen, welche die Größe
dieser Schwankung beschreiben.
16.2.1 Definition: Ist Z eine quadratisch integrierbare Zufallsvariable (darunter versteht man eine Zufallsvariable, deren Quadrat integrierbar ist), so nennt man die positive Zahl
@ZD = @HZ - @ZDL2 D
die Varianz der Zufallsvariablen Z. Die Varianz @ZD gibt die mittlere quadratische Abweichung der
Zufallsvariablen Z von ihrem Erwartungswert @ZD an und ist damit eine Maßzahl für die Schwankung der
Zufallsvariablen Z. Die Wurzel @ZD = @ZD der Varianz nennt man die Streuung (Standardabweichung) der
Zufallsvariablen Z. (Man beachte, dass die Varianz @ZD einer Zufallsvariablen Z nur von der Verteilung Z
und nicht von der konkreten Abbildungsvorschrift Z : W Ø abhängt. Wir werden daher auch von der Varianz
einer Verteilung reden.)
Wir fassen die wichtigsten Eigenschaften der Varianz einer Zufallsvariablen wieder in einem Satz zusammen:
16.2.2 Satz: Die Zufallsvariable Z sei quadratisch integrierbar.
a) Es gilt die für praktische Berechnungen oft sehr bequeme Formel
@ZD = @Z 2 D - @ZD2
b) Für alle a, b œ ist auch a Z + b quadratisch integrierbar und es gilt
@a Z + bD = a2 @ZD
c) Ungleichung von Tschebyscheff: Für alle ¶ > 0 gilt
@ZD
@8 Z - @ZD > ¶<D §
¶2
ô
Beweis: a) Wegen der Linearität des Erwartungswerts gilt
@ZD = @HZ - @ZDL2 D = @Z 2 - 2 Z @ZD + @ZD2 D = @Z 2 D - 2 @ZD @ZD + @ZD2 = @Z 2 D - @ZD2
b) Ebenfalls wegen der Linearität des Erwartungswerts gilt
@a Z + bD = @HHa Z + bL - @a Z + bDL2 D = @ Ha Z - @a ZDL2 D = a2 @HZ - @ZDL2 D = a2 @ZD
c) Für alle ¶ > 0 gilt (mit 1 A bezeichnen wir die Indikatorfunktion der Menge A) wegen Satz 16.1.4
@ZD = @HZ - @ZDL2 D ¥ @HZ - @ZDL2 18 Z-@ZD >¶< D ¥ @¶2 18 Z-@ZD >¶< D = ¶2 @8 Z - @ZD > ¶<D
16.3 Erwartungswert und Varianz in Mathematica
Die Berechnung der Erwartungswerte @ZD und @g ëZD sowie der Varianz @ZD und der Streuung @ZD einer
Zufallsvariablen Z läuft auf die Berechnung von Summen bzw Integralen hinaus und lässt sich unter Verwendung
der entsprechenden Formeln mit Mathematica leicht bewerkstelligen. Besitzt die Zufallsvariable Z eine in Mathematica implementierte Verteilung Z , so lassen sich diese Werte @ZD, @g ëZD, @ZD und @ZD einfach unter Verwendung der Befehle Mean, ExpectedValue, Variance und StandardDeviation aufrufen (um "schöne" Formeln zu
erhalten, vereinfache man gegebenenfalls die Ergebnisse mit Hilfe von FullSimplify unter Verwendung der Bedingungen über die jeweiligen Parameter):
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
72
à Mean@distributionD
berechnet den Erwartungswert @ZD einer Zufallsvariablen Z mit der Verteilung distribution.
à ExpectedValue@g@zD, distribution, zD
berechnet den Erwartungswert @g ëZD der Zufallsvariablen g ëZ, wobei die Zufallsvariable Z die Verteilung
distribution besitzt.
à Variance@distributionD
berechnet die Varianz @ZD einer Zufallsvariablen Z mit der Verteilung distribution.
à StandardDeviation@distributionD
berechnet die Streuung @ZD einer Zufallsvariablen Z mit der Verteilung distribution.
Wir wollen nun den Erwartungswert und die Varianz der wichtigsten in Mathematica implementierten Verteilungen
ermitteln:
16.3.1 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der diskreten Gleichverteilung @8m, n<D
mit den Parametern m < n œ .
ô
16.3.2 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Binomialverteilung @n, pD mit den
Parametern n œ und 0 § p § 1.
ô
16.3.3 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der negativen Binomialverteilung @n, pD
mit den Parametern n œ und 0 § p § 1.
ô
16.3.4 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Poissonverteilung @lD mit dem
Parameter l > 0.
ô
16.3.5 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Gleichverteilung @8a, b<D auf dem
Intervall @a, bD.
ô
16.3.6 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Dreiecksverteilung @8a, b<D auf dem
Intervall @a, bD.
ô
16.3.7 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Exponentialverteilung @lD mit dem
Parameter l > 0.
ô
16.3.8 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Gammaverteilung amma@a, lD mit
den Parametern a > 0 und l > 0.
ô
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
16.3.9 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Laplaceverteilung @a, lD mit den
Parametern a œ und l > 0.
ô
16.3.10 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Betaverteilung eta@a, bD mit den
Parametern a > 0 und b > 0.
ô
16.3.11 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Normalverteilung @m, sD mit den
Parametern m œ und s > 0.
ô
16.3.12 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der logarithmischen Normalverteilung
@m, sD mit den Parametern m œ und s > 0.
ô
16.3.13 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Chi-Quadrat Verteilung hi@nD mit
dem Parameter n œ .
ô
16.3.14 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Student T Verteilung @nD mit dem
Parameter n œ .
ô
16.3.15 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Fisher F Verteilung @m, nD mit den
Parametern m, n œ .
ô
16.3.16 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Weibullverteilung @a, bD mit den
Parametern a > 0 und b > 0.
ô
16.3.17 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Extremwertverteilung xtrem@m, bD
mit den Parametern m œ und b > 0.
ô
16.3.18 Beispiel: Man ermittle den Erwartungswert und die Varianz der Rayleighverteilung @sD mit dem
Parameter s > 0.
ô
16.4 Beispiele zum Erwartungswert und zur Varianz
An Hand von Beispielen werden wir nun zeigen, wie sich der Erwartungswert @ZD und die Varianz @ZD sowohl
von diskreten als auch von stetigen Zufallsvariablen Z ermitteln lässt. Dabei werden wir uns zuerst mit der Berech-
73
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
74
von diskreten als auch von stetigen Zufallsvariablen Z ermitteln lässt. Dabei werden wir uns zuerst mit der Berechnung des Erwartungswerts und der Varianz von Zufallsvariablen befassen, deren Verteilungsdichte bereits im
Kapitel 13 (es handelt sich dabei um die Beispiele 16.4.1 bis 16.4.5) bzw im Kapitel 14 (es handelt sich dabei um
die Beispiele 16.4.6 bis 16.4.9) ermittelt wurde. Anschließend befassen wir uns mit Tricks, welche oft bei der
Berechnung des Erwartungswerts bzw der Varianz einer Zufallsvariablen Z zum Einsatz gelangen.
16.4.1 Beispiel: In Urne I befinden sich 3 rote und 7 schwarze Kugeln. In Urne II befindet sich 7 rote und 3
schwarze Kugeln. Aus diesen Urnen wird nun obwechselnd (beginnend mit Urne I) so lange jeweils eine
Kugel gezogen, bis erstmals eine rote Kugel gezogen wird. Beobachtet wird die Anzahl X (bzw Y) der dabei
aus der ersten (bzw zweiten) Urne gezogenen Kugeln. Man berechne den Erwartungswerte @X D und @Y D
von X und Y für den Fall,
a) dass die Kugeln jeweils zurück gelegt werden,
b) dass die Kugeln nicht zurück gelegt werden.
ô
Lösung: In Beispiel 13.3.2 haben wir die Verteilungsdichte X bzw Y der diskreten Zufallsvariablen X bzw Y
bereits ermittelt und in Mathematica eingegeben:
Im Fall a)
pa@n_, k_D := k ê n; pb@n_, k_D := Hn - kL ê n;
f@x_, n_, k_D := 0 ê; Or@x < 1, NumberQ@xD && Not@IntegerQ@xDDD
f@x_, n_, k_D := HH1 - pa@n, kDL H1 - pb@n, kDLLx-1 Hpa@n, kD + pb@n, kD - pa@n, kD pb@n, kDL;
g@y_, n_, k_D := 0 ê; Or@NumberQ@yD && Not@IntegerQ@yDDD
g@y_, n_, k_D := H1 - pa@n, kDLy H1 - pb@n, kDLy-1 Hpa@n, kD + pb@n, kD - pa@n, kD pb@n, kDL;
g@0, n_, k_D := pa@n, kD;
Für den Erwartungswert @ZD ergibt sich damit (die Verteilung der Zufallsvariablen Z ist nicht in Mathematica
implementiert; wir können den Erwartungswert daher nicht mit dem Befehl Mean berechnen) nach Vereinfachung
mit FullSimplify
erw1 = FullSimplify@Sum@x f@x, n, kD, 8x, 1, •<D, k > 0D
erw2 = FullSimplify@Sum@y g@y, n, kD, 8y, 0, •<D, k > 0D
n2
k2 − k n + n2
n H−k + nL
k2 − k n + n2
Im Fall b)
pa@j_, n_, k_D := k ê Hn + 1 - jL;
pb@j_, n_, k_D := Hn - kL ê Hn + 1 - jL;
f@x_, n_, k_D := 0 ê; Or@x > n, NumberQ@xD && Not@IntegerQ@xDDD
f@x_, n_, k_D := Product@H1 - pa@i, n, kDL H1 - pb@i, n, kDL, 8i, 1, x - 1<D *
Hpa@x, n, kD + pb@x, n, kD - pa@x, n, kD pb@x, n, kDL;
g@y_, n_, k_D := 0 ê; Or@y > n - 1, NumberQ@yD && Not@IntegerQ@yDDD
g@y_, n_, k_D := Product@H1 - pa@i, n, kDL H1 - pb@i, n, kDL, 8i, 1, y - 1<D * H1 - pa@y, n, kDL *
Hpa@y + 1, n, kD + pb@y, n, kD - pa@y + 1, n, kD pb@y, n, kDL;
g@0, n_, k_D = pa@1, n, kD;
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
erw1 = FullSimplify@Sum@x f@x, n, kD, 8x, 1, 4<D, k > 0D
erw2 = FullSimplify@Sum@y g@y, n, kD, 8y, 0, 4<D, k > 0D
1
H−3 + nL2 H−2 + nL2 H−1 + nL2 n2
I−4 k8 + 16 k7 n + H−3 + nL2 H−2 + nL2 H−1 + nL2 n2 + k5 n H−141 + n H54 + 19 nLL +
k6 H47 − n H18 + 25 nLL + k H−3 + nL H−2 + nL H−1 + nL n H6 + n H18 + H−7 + nL nLL +
k2 H36 + n H42 + n H−319 + 5 H52 − 11 nL nLLL −
k3 n H−230 + n H150 + n H79 + H−44 + nL nLLL + k4 H−115 + n H75 + n H157 − n H67 + 6 nLLLLM
IHk − nL
I4 k8 − 16 k7 H−1 + nL − H−4 + nL H−3 + nL2 H−2 + nL2 H−1 + nL2 n + k5 I−188 + 207 n − 19 n3 M +
k6 H−44 + n H−31 + 25 nLL − k H−4 + nL H−3 + nL H−2 + nL H−1 + nL H6 + n H18 + H−7 + nL nLL +
k3 H−1 + nL H−460 + n H19 + n H177 + H−45 + nL nLLL +
k4 I64 + n I357 + n I−317 + 44 n + 6 n2 MMM +
k2 H120 + n H−890 + n H980 + n H−357 + n H38 + nLLLLLMM ë
IH−4 + nL H−3 + nL2 H−2 + nL2 H−1 + nL2 n2 M
16.4.2 Beispiel: Unser Zufallsexperiment besteht im Werfen von zwei homogenen Würfeln. Mit der
Zufallsvariablen Z wird die dabei auftretenden Augensumme bezeichnet. Man berechne den Erwartungswerte
@ZD von Z.
ô
Lösung: In Beispiel 13.3.3 haben wir die Verteilungsdichte Z der Rückkehrzeit Z bereits ermittelt und Mathematica-gerecht eingegeben:
fd1@z_D := 0 ê; Or@z < 2, z > 12, NumberQ@zD && Not@IntegerQ@zDDD
fd1@z_D := Hz - 1L ê 6 ^ 2 ê; 2 £ z £ 7
fd1@z_D := H13 - zL ê 6 ^ 2 ê; 8 £ z £ 12
Wegen
Sum@z fd1@zD, 8z, 2, 12<D
7
ist
@ZD = 7
16.4.3 Beispiel: Es werden so lange Kugeln auf n Urnen verteilt, bis in einer Urne 2 Kugeln sind, wobei jede
Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit in jede Urne kommen kann. Mit der Zufallsvariablen Z wird die
Anzahl der Kugeln bezeichnet. Man berechne den Erwartungswerte @ZD von Z.
ô
Lösung: In Beispiel 13.3.4 haben wir die Verteilungsdichte Z von Z bereits ermittelt und Mathematica-gerecht
eingegen:
fd@z_, n_D := Hz - 1L ê n ^ z n ! ê Hn - z + 1L !
Wegen
75
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
76
Sum@z fd@z, nD, 8z, 2, n + 1<D
n+1 zHz - 1L
@ZD = ‚
z=2
nz
n!
Hn - z + 1L !
16.4.4 Beispiel: Durch einen Kanal werden n unabhängige Kodeworte übertragen. Die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass das Kodewort richtig empfangen wird, ist 0.9. Mit der Zufallsvariablen Z wird die Anzahl der
Kodeworten, die richtig empfangen wurden, bezeichnet. Man analysiere die Verteilungsdichte Z von Z.
ô
Lösung: In Beispiel 13.3.5 haben wir die Verteilungsdichte Z von Z bereits ermittelt und Mathematica-gerecht
eingegen:
fd1@z_, n_, p_D := 0 ê; Or@z < 1, z > n, NumberQ@zD && Not@IntegerQ@zDDD
fd1@z_, n_, p_D := Binomial@n, zD p ^ z H1 - pL ^ Hn - zL
Wegen
Sum@z fd1@z, n, pD, 8z, 1, n<D
np
In manchen Fällen ist es schwierig, die Verteilungsdichte Z einer diskreten Zufallsvariablen Z zu berechnen. In
diesen Fällen bietet sich an, diese Verteilungsdichte unter Verwendung des Befehls DiscreteEmpiricalPDF durch
Simulation bzw computerunterstütztes Abzählen (näherungsweise) zu ermitteln. Wir demonstrieren diese Vorgangsweise an den folgenden zwei Beispielen:
16.4.5 Beispiel: Aus einer Urne mit s = 8 schwarzen, r = 6 roten und g = 4 grünen Kugeln werden so lange
Kugeln gezogen und nach jedem Zug wieder zurückgelegt, bis erstmals hintereinander zwei gleich gefärbte
Kugeln gezogen werden. Man ermittle den Erwartungswert @ZD sowie die Varianz @ZD der Anzahl Z der
dazu erforderlichen Züge.
ô
Lösung: In Beispiel 13.3.6 haben wir die Verteilungsdichte Z der Anzahl Z der erforderlichen Züge durch
Simulation bereits näherungsweise bestimmt. Dazu haben wir zuerst das Datenmaterial daten
s = 8; r = 6; g = 4; n = 104 ;
farbe@s_, r_, g_D := Which@x = RandomInteger@81, s + r + g<D; x £ s, schwarz, x £ s + r, rot, x > s + r, grünD
daten = Table@For@zug = Table@farbe@s, r, gD, 82<D, zugP-1T =!= zugP-2T, zug = Append@zug, farbe@s, r, gDDD;
Length@zugD, 8n<D;
erzeugt und darauf den Befehl DiscreteEmpiricalPDF angewendet:
fd4@z_D := DiscreteEmpiricalPDF@daten, zD
Damit gilt für den gesuchten Erwartungswert bzw die gesuchte Varianz näherungsweise
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
Sum@z fd4@zD, 8z, 1, Max@datenD<D
Sum@z2 fd4@zD, 8z, 1, Max@datenD<D - HSum@z fd4@zD, 8z, 1, Max@datenD<DL2
3.8829
5.62279
Clear@s, r, g, n, x, zug, farbe, daten, fd4D
16.4.6 Beispiel: Aus dem Intervall @0, 1D werden zufällig n Zahlen ausgewählt und ihr Minimum Z
beobachtet. Gesucht ist der Erwartungswert @ZD und die Varianz @ZD der Zufallsvariablen Z.
ô
Lösung: In Beispiel 14.3.2 haben wir die Verteilungsdichte Z der stetigen Zufallsvariablen Z bereits ermittelt und
Mathematica-gerecht eingegeben
fs1@z_, n_D := Piecewise@88n H1 - zLn-1 , 0 £ z £ 1<<D
Für den Erwartungswert @ZD bzw die Varianz @ZD ergibt sich damit nach Vereinfachung mit FullSimplify
FullSimplify@Integrate@z fs1@z, nD, 8z, 0, 1<D, n > 0D
FullSimplify@HIntegrate@z2 fs1@z, nD, 8z, 0, 1<D - Integrate@z fs1@z, nD, 8z, 0, 1<DL2 , n > 0D
1
1+n
n2
I2 + 3 n + n2 M2
77
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
78
16.4.7 Beispiel: Ein Punkt wird zufällig in den ersten Quadrant des Einheitskreises geworfen und seine xKoordinate X bestimmt. Gesucht ist der Erwartungswert @X D und die Varianz @X D der Zufallsvariablen X.
ô
Lösung: In Beispiel 14.3.3 haben wir die Verteilungsdichte X der stetigen Zufallsvariablen X bereits ermittelt und
Mathematica-gerecht eingegeben:
fs2@z_D := Piecewise@884 Sqrt@1 - z2 D ê p, 0 £ z £ 1<<D
Für den Erwartungswert @X D bzw die Varianz @X D ergibt sich damit
Integrate@z fs2@zD, 8z, 0, 1<D
Integrate@z2 fs2@zD, 8z, 0, 1<D - HIntegrate@z fs2@zD, 8z, 0, 1<DL2
4
3π
1
16
−
9 π2
4
16.4.8 Beispiel: Auf der unteren und der linken Seitenkante eines Quadrats der Seitenlänge 1 werden
willkürlich zwei Punkte P und Q ausgewählt. Gesucht ist der Erwartungswert @ZD sowie die Varianz @ZD
ihres Abstandes Z.
ô
Lösung: In Beispiel 14.3.4 haben wir die Verteilungsdichte Z der stetigen Zufallsvariablen Z bereits ermittelt und
Mathematica-gerecht eingegeben:
fs3@z_D := Piecewise@88z p ê 2, 0 £ z £ 1<, 8z p ê 2 - 2 z ArcTan@Sqrt@z2 - 1DD, 1 £ z £ Sqrt@2D<<D
Für den gesuchten Erwartungswert @ZD und die gesuchte Varianz @ZD ergibt sich damit
Integrate@z fs3@zD, 8z, 0, Sqrt@2D<D
Integrate@z2 fs3@zD, 8z, 0, Sqrt@2D<D - HIntegrate@z fs3@zD, 8z, 0, Sqrt@2D<DL2
1
3
J 2 + ArcSinh@1DN
2
1
−
3
9
2
J 2 + ArcSinh@1DN
16.4.9 Beispiel: n Punkte werden zufällig in den Einheitskreis geworfen und der Abstand Z vom Mittelpunkt
des Einheitskreises zum nächst gelegenen dieser n Punkte beobachtet. Gesucht ist der Erwartungswert @ZD
und die Varianz @ZD von Z.
ô
Lösung: In Beispiel 14.3.5 haben wir die Verteilungsdichte Z der stetigen Zufallsvariablen Z bereits ermittelt und
Mathematica-gerecht eingegeben:
fs4@z_, n_D := Piecewise@882 n z H1 - z2 Ln-1 , 0 £ z £ 1<<D
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
79
Für den Erwartungswert @ZD und die Varianz @ZD liefert Mathematica damit
FullSimplify@Integrate@z fs4@z, nD, 8z, 0, 1<D, 8n > 0, n ΠIntegers<D
FullSimplify@Integrate@z2 fs4@z, nD, 8z, 0, 1<D - HIntegrate@z fs4@z, nD, 8z, 0, 1<DL2 , 8n > 0, n ΠIntegers<D
−
1
H−1Ln n GammaB− − nF Gamma@nD
2
2
1
−
π
2
1
Hn !L2 GammaB− − nF
2
1+n
4π
Berücksichtigt man nun, dass Mathematica für alle n œ die Abkürzung
G@-Hn - 1 ê2LD =
H-1Ln p
Hn - 1 ê 2L G@n - 1 ê 2D
verwendet, so ergibt sich schließlich
@ZD =
p G@n + 1D
2 G@n + 3 ê2D
und @ZD =
1
n+1
-
p HG@n + 1DL2
4 GH@n + 3 ê 2DL2
Lässt sich die Zufallsvariable Z in der Form Z = g@Y D darstellen, wobei die Verteilung der Zufallsvariablen Y
bekannt ist, so ist die Berechnung des Erwartungswerts @ZD und der Varianz @ZD oft einfach.
16.4.10 Beispiel: Ein Punkt P sei auf der Oberfläche der Einheitskugel gleichverteilt. q sei der Winkel
zwischen den Vektor 0 P und der z-Achse. Man analysiere die Verteilungsdichte q
Verteilungsfunktion q von q. Man berechne den Erwartungswert [cos2 q].
ô
Lösung:
W = 9Hx, y, zL œ 3 : x2 + y2 + z2 = 1=
A={Bœ3 : B Œ W}
und die
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
80
B={(x, y, z)œW: q<j=Arctg
x2 + y2 } ï
z
für j § 0
0
2 pRH1-CosjL 1-Cos j
=
für 0<j§p
2
4 pR2
Fläche von B
q HjL=[{q<j}]= Fläche von W =
für j > p
1
1
2 Sin j für 0 < j § p
0
sonst
ï q HjL =
Bestimmen wir den Erwartungswert [{Cos2 q}]. Damit folgt aus Satz 16.1.4 :
¶ Cos2 j HjL „ j= 1 p Cos2 jSin j „ j= 1 .
[{Cos2 q}]=Ÿ-¶
q
2Ÿ0
3
Für eine gleichverteilte Zufallsvariable Z
2
1 z2 „ z= ∫[{Cos2 j}], aber
[{Z 2 }]=Ÿ-1
3
[{Cos q}]= [{Z}] =0.
16.4.11 Beispiel: Der Durchmesser X eines Kreises sei im Intervall [a,b] gleich verteilt. Man ermittle den
Erwartungswert und die Varianz der Fläche dieses Kreises.
ô
Lösung:
S - die Fläche des Kreises; Damit folgt aus Satz 16.1.4
@SD = B
pX2
4
F=
p
4
AX 2 E;
X- gleichverteilte Zufallsvariable ï
1
X HxL = : b-a
AX 2 E = Ÿab x2
für a § x § b
0 sonst
1
b-a
„x=
b3 -a3
3 Hb-aL
p 2
p 2
4
4
ï [S]=
pIa2 +ab+b2 M
12
.
5 5
3 32
p 2 9 Ib -a M Hb-aL-5 Ib -a M
;
4
720 Hb-aL2
@SD = K O AX 2 E = K O IAX 4 E - AX 2 E2 M = K O
2
2
2
p 2 Hb-aL I4 a +7 ab+4 b M
[S]=K O
4
720
.
3
4p
@V D = @ 4 p R D =
@R3 D
3
3
also
Simplify@H4 p ê 3L ExpectedValue@x3 , UniformDistribution@8a, b<D, xDD
1
3
Ia3 + a2 b + a b2 + b3 M π
16.4.12 Beispiel: Ein Betrieb erzeugt Kugeln, wobei der Radius dieser Kugeln produktionsbedingten
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
81
Ein Betrieb erzeugt Kugeln, wobei der Radius dieser Kugeln produktionsbedingten
geringfügigen Schwankungen unterliegt. Messungen ergaben, dass der Radius R einer zufällig der Produktion
entnommenen Kugel im Intervall @a, bD gleichverteilt ist. Man ermittle den Erwartungswert @V D des
Volumens V einer zufällig der Produktion entnommenen Kugel.
ô
Lösung: Zwischen dem Radius R und dem Volumen V einer Kugel besteht die Beziehung V = 4 p R3 ë 3. Damit
folgt aus Satz 16.1.4
3
4p
@V D = @ 4 p R D =
@R3 D
3
3
also
Simplify@H4 p ê 3L ExpectedValue@x3 , UniformDistribution@8a, b<D, xDD
1
3
Ia3 + a2 b + a b2 + b3 M π
16.4.13 Beispiel (Quantisierer): Die Abtastung zeitkontinuierlicher Signale und die Quantisierung
wertkontinuierlicher Signale findet praktisch in jedem A/D-Wandler statt. Der Vorgang der Quantisierung
kann durch die Addition einer gleichverteilten Zufallsvariablen modelliert werden. Bei der Quantisierung wird
zu der wahren wertkontinuierlichen Größe x ein Quantisierungsfehler in Form einer Zufallsvariablen e addiert,
um dadurch eine wertdiskrete Größe xQ zu erhalten.
ô
Lösung: Die Breite eines Quantisierungsfaches sei Q. Dann kann die Wahrscheinlichkeitsdichte des resultierenden
Fehlers e durch eine im Intervall B- ,
Q Q
2
2
F gleichverteilte Zufallsvariable E angegeben werden
E HeL
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-4-0.1
E @eD =
1êQ
-2 -Qê2 0
1 êQ für e œ B- ,
Qê2
Q Q
2
0
sonst
F
2 .
2
4
e
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
82
xQ
xmax
6
2Q 4
Q2
-6
-4
x
-2
2
-2
-Q
-4
-2Q
4
6
-6
Q ist die Breite einer Quantisierungsstufe und ergibt sich aus der maximalen Aussteuerung ≤ xmax und der Anzahl
der mit w Bit darstellbaren Stufen,
Q=
2 xmax
2w
Mit dieser Annahme ist der Erwartungswert
@ED = 0,
d.h., im Mittel wird durch die Quantisierung das Signal nicht verfälscht. An dieser Stelle ist aber für praktische
Anwendungen der durch die Quantisierung resultierende quadratische Fehler von Interesse, der im statistischen
Sinn direkt durch die Varianz des Quantisierungsrauschens quantitativ ausgedrückt werden kann. Dabei wird die
Gleichverteilung des resultierenden Fehlers im Intervall B- ,
Q Q
2
2
F berücksichtigt. Mit diesen Voraussetzungen und
mit diesen Annahmen berechnet sich die Varianz s2E des Quantisierungsfehlers wie folgt (aus Satz 16.1.4 ):
Q
Q2
1
2
2
2
2
¶
2
sE = AE E - @ED = AE E = Ÿ-¶ u E @uD „ u = Ÿ 2Q u2 „ u =
Q
12
2
Mit dieser Berechnung und diesem wichtigen Ergebnis ist gleichzeitig die Varianz für jede gleichverteilte
Zufallsvariable mit einer Fachbreite von Q angegeben. Für viele nachrichtentechnische Anwendungen wird der
Quantisierungsfehler als ein Rauschsignal aufgefasst und aus dem Quantisierungsrauschen der Signal-zu-Rauschabstand (Signal-Rausch-Verhältnis, SNR) in logarithmischem Maßstab angegeben:
SNR = 10 log10
s2X
s2E
in [dB]
Wenn mit den wertkontinuierlichen Größen x beispielsweise ein Sinussignal
x = sinHw tL und xmax = 1
beschrieben wird, dann erhält man
2p
2p
2p
2p
1
1
2
2
2
2
2
w
2
„ u - Ÿ0 w sinHw uL
„u = - 0 = .
s X = AX E - @X D = Asin Hw TLE - @sinHw TLD = Ÿ0 sin Hw uL
w
w
2
2
Mit der obigen Analyse haben wir dann den folgenden Signal-zu-Rauschabstand:
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
SNR = 10 log10
83
1ê2
6
6
6 µ 2-2
= 10 log10 2 = 10 log10
= 10 log10 -2 w = 6.02 w + 1.76 dB
2
2
w
Q ë12
Q
H2ê2 L
2
10 H Log@10, 3 ê 2D + 2 w Log@10, 2DL êê N
10. H0.176091 + 0.60206 wL
Praktisch besagt diese Analyse, dass mit jedem zusätzlich bei der Quantisierung eingesetzten Bit das SNR um 6dB
vergrößert werden kann. Die durch den Quantisierungsvorgang verursachten Fehler verringern sich also mit jedem
weiteren im A/D-Wandler eingesetzten Bit.
Lässt sich die Zufallsvariable Z in der Form Z = Z1 + Z2 + … + Zn schreiben, und lassen sich die Erwartungswerte
@Zi D der einzelnen Summanden leicht berechnen, so kann man den Erwartungswert @ZD mit Hilfe von Satz 16.1.4
ermitteln, ohne dabei die Verteilungsdichte von Z berechnen zu müssen.
16.4.14 Beispiel: Aus dem Intervall @0, 1D werden zufällig n Zahlen ausgewählt. Man ermittle den
Erwartungswert @ZD ihrer Summe Z.
ô
Lösung: Natürlich könnte man den Erwartungswert @ZD dieser Summe Z in der üblichen Weise berechnen, indem
man zuerst (etwa durch Simulation wie in Beispiel 14.3.6) die Verteilungsdichte der Zufallsvariablen Z ermittelt
und anschließend den Erwartungswert von Z in der üblichen Weise berechnet.
Es geht aber auch einfacher: Bezeichnet Zi die i-te zufällig ausgewählte Zahl, so gilt Z = Z1 + Z2 + … + Zn , wobei
die Zufallsvariablen Zi im Intervall @0, 1D gleichverteilt sind. Damit gilt wegen
Mean@UniformDistribution@80, 1<DD
1
2
@ZD = @Z1 + Z2 + … + Zn D = @Z1 D + @Z2 D + … + @Zn D =
n
2
16.4.15 Beispiel: Aus einer Urne mit w weißen und s schwarzen Kugeln wird n mal mit Zurücklegen gezogen.
Man bestimme die mittlere Anzahl der dabei beobachteten Farbwechsel.
Hinweis: Berechnen Sie auf keinen Fall die Verteilungsdichte (zu schwierig) sondern definieren Sie Zk =1,
falls ein Farbwechasel zwischen k-ter und Hk + 1L-ter Kugel stattgefunden hat und Zk =0 sonst und berechnen
Sie damit den Erwartungswert.
ô
Lösung: n Züge: X1 , X2 , ..., Xn
Zk = 1 Farbwechsel zwischen k - ter und Hk + 1L - ter Kugel
sonst
0
k = 1, ..., n - 1
Z -Anzahl der Farbwechsel bei n Zügen und damit wegen Satz 16.1.4
@ZD = @Z1 + Z2 + ... + Zn-1 D = @Z1 D + @Z2 D + ... + @Zn D = HZ1 = 1L + HZ2 = 1L + ... + HZn-1 = 1L
IZk = 1M = I9Xk = w= › 9Xk+1 = s=M + I9Xk = s= › 9Xk+1 = w=M =
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
84
= wê Hw + sL sêHw + sL + sê Hw + sL w êHw + sL =
@ZD =
2 w sHn-1L
Hw+sL2
2ws
, k = 1, 2, ..., n - 1
Hw+sL2
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
85
16.4.16 Beispiel: Die Zufallsvariablen X1 , ..., Xm , Xm+1 , ..., Xm+n seien positiv, integrierbar, identisch
verteilt. Man berechne
B
X1 +...+Xm
X1 +...+Xm+n
F
Hinweis: Berechnen Sie zunächst
B
X1
F
X1 +...+Xm+n
ô
Lösung:
B
X1
X1 +...+Xm+n
F=
⁄m+n Xi -⁄m+n
i=2 Xi F = @1D - B
B i=1
X1 +...+Xm+n
1 - Hm + n - 1L B
B
X1
X1 +...+Xm+n
B
X1 +...+Xm
X1 +...+Xm+n
X2
X3
Xm+n
F - B
F - ... - B
F=
X1 +...+Xm+n
X1 +...+Xm+n
X1 +...+Xm+n
X1
Ffl
X1 +...+Xm+n
F=
1
m+n
F = B
X1
X1 +...+Xm+n
F + B
X2
X1 +...+Xm+n
F + ... + B
Xm
m
F=
X1 +...+Xm+n
m+n
16.5 Höhere Momente von Zufallsvariablen
Neben dem Erwartungswert @ZD und der Varianz @ZD gibt es weitere Maßzahlen, mit denen sich gewisse Eigenschaften der Verteilung Z einer Zufallsvariablen Z beschreiben lassen. Wir definieren in diesem Zusammenhang
16.5.1 Definition: Ist Z eine Zufallsvariable mit integrierbarer n-ter Potenz, so nennt man die Maßzahlen
@Z n D
bzw
@HZ - @ZDLn D
das n-te Moment bzw das n-te zentrale Moment der Zufallsvariablen Z. Das erste Moment entspricht dabei
dem Erwartungswert, das zweite zentrale Moment entspricht der Varianz von Z. Die Maßzahlen
@HZ - @ZDL3 D
@HZ - @ZDL4 D
bzw
@ZD3
@ZD4
nennt man Schiefe bzw Kurtosis von Z. Es handelt sich dabei um Maßzahlen, mit denen die Asymmetrie bzw
die Wölbung der Verteilungsdichte Z beschrieben werden.
Die Berechnung des n-ten Momentes, des n-ten zentralen Moments, der Schiefe und der Kurtosis einer Zufallsvariablen Z läuft auf die Berechnung von Summen bzw Integralen hinaus und lässt sich unter Verwendung der
entsprechenden Formeln mit Hilfe von Mathematica leicht bewerkstelligen. Besitzt die Zufallsvariable Z eine in
Mathematica implementierte Verteilung Z , so lassen sich die n-ten Momente sowie die n-ten zentralen Momente
einfach unter Verwendung der bereits bekannten Befehle Mean und ExpectedValue ermitteln. Die Schiefe und die
Kurtosis lassen sich mit den Befehlen Skewness und Kurtosis direkt aufrufen.
à Skewness@distributionD
berechnet die Schiefe einer Zufallsvariablen Z mit der Verteilung distribution.
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
86
berechnet die Schiefe einer Zufallsvariablen Z mit der Verteilung distribution.
à Kurtosis@distributionD
berechnet die Kurtosis einer Zufallsvariablen Z mit der Verteilung distribution.
An Hand der beiden folgenden Beispiele wollen wir die Bedeutung der Begriffe Schiefe und Kurtosis diskutieren:
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
87
16.5.2 Beispiel: Man zeichne die Verteilungsdichte der Binomialverteilung @n, pD bzw der
Weibullverteilung @a, bD für verschiedene Werte ihrer Parameter n, p bzw a, b und berechne jeweils ihre
Schiefe. Das dabei erzielte Ergebnis ist zu diskutieren.
ô
Lösung: a) Analog zu Beispiel 13.2.2 stellen wir die Verteilungsdichte der Binomialverteilung @n, pD auf dynamische Weise graphisch dar und berechnen die jeweils dazugehörige Schiefe:
Manipulate@Show@8ListPlot@Table@8z, PDF@BinomialDistribution@n, pD, zD<, 8z, -1, 41<D,
PlotStyle -> [email protected], Filling -> Axis, AspectRatio Æ 0.4, AxesOrigin Æ 8-1, 0<,
PlotRange Æ All, AxesLabel Æ 8"z", "@zD"<, ImageSize Æ 8200, 100<D,
Graphics@
88Red, Text@"Schiefe: ", [email protected], 0.9<DD,
Text@Skewness@BinomialDistribution@n, pDD, [email protected], 0.9<DD<<D<D,
8n, 1, 40, 1, Appearance Æ "Labeled"<, 8p, 0.1, 0.9, Appearance Æ "Labeled"<D
n
33
p
0.52
Wir erkennen, dass die Binomialverteilung für p < 0.5 eine positive Schiefe ("langer rechter Schwanz") und für
p > 0.5 eine negative Schiefe ("langer linker Schwanz") besitzt. Für p = 0.5 ist die Schiefe gleich 0 (die Verteilungsdichte der Binomialverteilung ist in diesem Fall symmetrisch).
b) Analog zu Beispiel 14.2.14 stellen wir die Verteilungsdichte der Weibullverteilung @a, bD auf dynamische
Weise graphisch dar und berechnen wieder die jeweils dazugehörige Schiefe:
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
88
Manipulate@Show@8Plot@PDF@WeibullDistribution@a, bD, zD, 8z, -1, 10<,
PlotStyle Æ [email protected], AspectRatio Æ 0.4, AxesOrigin Æ 8-1, 0<, PlotRange Æ All,
AxesLabel Æ 8"z", "@zD"<, ImageSize Æ 8350, 150<D,
Graphics@
88Red, Text@"Schiefe: ", [email protected], 0.9<DD,
Text@Skewness@WeibullDistribution@a, bDD, [email protected], 0.9<DD<<D<D,
8a, 1, 5, Appearance Æ "Labeled"<, 8 b, 1, 5, Appearance Æ "Labeled"<D
a
1.76
b
4.665
@zD
Schiefe:
0.15
0.812103
0.10
0.05
z
0
2
4
6
8
10
Wir erkennen, dass die Schiefe der Weibullverteilung vom Parameter b unabhängig ist, was auch durch
Skewness@WeibullDistribution@a, bDD
1 3
1
2
3
F − 3 GammaB1 + F GammaB1 + F + GammaB1 + F ì
α
α
α
α
1 2
2 3ê2
−GammaB1 + F + GammaB1 + F
α
α
2 GammaB1 +
bestätigt wird. Weiters erkennen wir, dass die Weibullverteilung für kleine Werte von a eine positive Schiefe
("langer rechter Schwanz") und für große Werte von a eine negative Schiefe ("langer linker Schwanz") besitzt.
Unter Verwendung von FindRoot lässt sich zeigen, dass die Weibullverteilung für a = 3.60235 die Schiefe 0 besitzt
(was aber nicht! bedeutet, dass die Weibullverteilung in diesem Fall symmetrisch ist)
FindRoot@Skewness@WeibullDistribution@a, bDD ä 0, 8a, 3<D
8α → 3.60235<
16.5.3 Beispiel: Man berechne die Wölbung der Normalverteilung @m, sD, der Gleichverteilung @8a, b<D,
und der Student T Verteilung @nD und vergleiche die Verteilungsdichten der beiden zuletzt genannten
è è
Verteilungen jeweils mit der Verteilungsdichte einer Normalverteilung @m, sD, welche den gleichen
Erwartungswert und die gleiche Varianz besitzt. Das dabei erzielte Ergebnis ist zu diskutieren.
ô
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
89
Lösung: a) Wir berechnen mit Hilfe von Mathematica die Wölbungen dieser drei Verteilungen
Kurtosis@NormalDistribution@m, sDD
3
Kurtosis@UniformDistribution@8a, b<DD
9
5
Kurtosis@StudentTDistribution@nDD
6
n>4
−4+n
Indeterminate True
3+
und erkennen, dass die Wölbung der Normalverteilung und der Gleichverteilung von den jeweiligen Parametern
nicht abhängt, dass die Wölbung der Student T Verteilung nur für n > 4 definiert ist und für n Ø ¶ gegen 3 konvergiert.
b) Ein graphischer Vergleich der Verteilungsdichte der Gleichverteilung mit der Verteilungsdichte einer Normalverteilung mit dem gleichen Erwartungswert und der gleichen Varianz
Manipulate@If@a < b, With@8m = Mean@UniformDistribution@8a, b<DD, s = StandardDeviation@UniformDistribution@8a,
Plot@8PDF@UniformDistribution@8a, b<D, zD, PDF@NormalDistribution@m, sD, zD<, 8z, -3, 4<,
PlotStyle Æ [email protected], Blue<, [email protected], Red<<, AspectRatio Æ 0.4,
AxesOrigin Æ 8-3, 0<, PlotRange Æ All, AxesLabel Æ 8"z", "@zD"<, ImageSize Æ 8200, 100<DD, "a≥b"D,
8a, -2, 3, Appearance Æ "Labeled"<, 8b, -2, 3, Appearance Æ "Labeled"<D
a
-0.205
b
1.615
@zD
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
0
1
2
3
4
z
bzw ein graphischer Vergleich der Verteilungsdichte der Student T Verteilung mit der Verteilungsdichte einer
Normalverteilung mit dem gleichen Erwartungswert und der gleichen Varianz
16_Erwartungswert_und_Varianz.nb
90
Manipulate@With@8m = Mean@StudentTDistribution@nDD, s = StandardDeviation@StudentTDistribution@nDD<,
Plot@8PDF@StudentTDistribution@nD, zD, PDF@NormalDistribution@m, sD, zD<, 8z, -5, 5<,
PlotStyle Æ [email protected], Blue<, [email protected], Red<<, AspectRatio Æ 0.4,
AxesOrigin Æ 8-3, 0<, PlotRange Æ All, AxesLabel Æ 8"z", "@zD"<, ImageSize Æ 8200, 100<DD,
8n, 3, 20, 1, Appearance Æ "Labeled"<D
n
3
@zD
0.3
0.2
0.1
-4
-2
0
2
4
z
zeigen, dass die Wölbung in gewissem Sinn eine Maßzahl für die "Krümmung der Verteilungsdichte" darstellt. Die
Verteilungsdichte der Gleichverteilung ist offenbar "schwächer gekrümmt" als die Verteilungsdichte der Normalverteilung; ihre Wölbung ist mit 9/5 tatsächlich deutlich kleiner als 3. Die Verteilungsdichte der Student T
Verteilung ist hingegen "stärker gekrümmt" als die Verteilungsdichte der Normalverteilung; ihre Wölbung ist für
kleine n ja größer als 3.