Uni Duisburg-Essen, Grundlagen der Technischen Thermodynamik
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R Ergänzungen zum Buch „Übungsaufgaben zur Thermodynamik“ Institut für Energie- und Umweltverfahrenstechnik 1 Grundlagen der Technischen Thermodynamik mit Übungsaufgaben zur Verwendung in Mathcad Dieser Band ist eine Ergänzung des hier abgebildeten Übungsbuches. Er enthält den größten Teil der Kapitel und Übungsaufgaben mit den Lösungen aus der CD des Buches. Die Kapitel sind hier ergänzt und die Lösungen mit ausführlicheren Erklärungen - auch für den "Fußgänger" - versehen, so dass die Verwendung z.B. als Repetitorium ohne PC und ohne ein weiteres Fachbuch möglich ist. Um zu einem besseren Verständnis der Materie zu gelangen, wird jedoch das Arbeiten mit den rechenaktiven MathcadDateien aus der Buch-CD bzw. aus dem Downloadbereich des Fachgebietes Energietechnik der Universität Duisburg empfohlen. Näheres ist im Vorwort auf der nächsten Seite und im Kapitel 17 des Übungsbuches beschrieben. 2 Inhaltsverzeichnis Vowort……………………………………………………………………………………………….……..……… 4 1 Größen und Einheiten der Thermodynamik…………………………………………………….………….. 6 1.1 Größen und Einheiten, allgemein……………………………………………………………………… 6 1.2 Grundgrößen…………………………………………………………………………………………….. 7 1.3 Abgeleitete Größen……………………………………………………………………….…………….. 9 2 Thermodynamische Systeme………………………………………………………………………………… 11 3 Zustand……………………………………………………………………………………………….….……… 12 3.1 Zustandsgrößen…………………………………………………………………………………………. 12 3.2 Zustandsgleichungen ………………………………………………………………………….……….. 14 4 Energien, 1. Hauptsatz……………………………………………………………………………….……….. 17 4.1 Geschlossenes System (Innere Energie, Arbeit, Wärme, 1. Hauptsatz)…………………………..17 4.1.1 Energien im ruhenden geschlossenen System………………………………………………... 17 4.1.2 Äußere Energien…………………………………………………………………………………. 20 4.2 Offenes System (Enthalpie, technische Arbeit, Wärme)……………………………………………. 21 4.3 Strömungen……………………………………………………………………………………………… 26 4.4 Weitere Beispiele zum Thema Energie………………………………………………………………. 32 5 Entropie und T-s-Diagramm………………………………………………………………………………….. 33 6 Zustandsgleichungen für ideale (perfekte) Gase…………………………………………………………… 34 6.1 Zustandsänderungen idealer Gase bei konstantem Polytropenexponent………………………… 35 6.2 Allgemeine Zustandsänderungen idealer Gase……………………………………………………... 45 6.3 Weitere Beispiele und Aufgaben………………………………………………………………………. 46 7 Kreisprozesse, Carnot-Prozess………………………………………………………………………………. 48 8 Der Zweite Hauptsatz…………………………………………………………………………………………. 50 9 Exergie und Anergie, irreversible Prozesse………………………………………………………………… 53 9.1 Exergie und Anergie eines geschlossenen Systems (Exergie der inneren Energie)……………. 53 9.2 Exergie eines Massenstromes (Exergie der Enthalpie)…………………………………………….. 54 9.3 Exergie der Wärme……………………………………………………………………………………… 54 9.4 Kraft-Wärme-Kopplung…………………………………………………………………………………. 55 9.5 Spezielle irreversible Prozesse 9.6 Weitere Beispiele und Aufgaben…………………………….. 56 9.5.1 Reibungsarbeit bei isothermer Zustandsänderung eines idealen Gases im………………. 56 geschlossenen System 9.5.2 Adiabate Drosselung eines idealen Gases im offenen System……………………………… 57 9.5.3 Adiabate Maschinen……………………………………………………………………………… 58 9.5.4 Wärmeübertragung………………………………………………………………………………. 59 10 Mischungen idealer Gase…………………………………………………………………………………… 60 11 Spezifische Wärmekapazität idealer Gase………………………………………………………………… 62 12 Feuchte Luft…………………………………………………………………………………………………… 66 13 Das Zustandsverhalten reiner Stoffe………………………………………………………………………. 72 13.1 Allgemeines…………………………………………………………………………………………….. 72 13.2 Das Zustandsverhalten von Wasser………………………………………………………………….73 13.2.1 Definierte Größen……………………………………………………………………………….. 73 13.2.2 Näherungsweise Berechnung der Größen für flüssiges Wasser (für "Fußgänger")…….. 73 13.2.3 Rechenaktive Funktionen………………………………………………………………………. 74 13.2.4 Zustandsdaten im Siedepunkt für flüssiges Wasser und Dampf (Sattdampf)……………. 75 13.2.5 Diagramme………………………………………………………………………………………. 76 13.2.6 Aufgaben…………………………………………………………………………………………. 77 13.3 Andere Stoffe……………………………………………………………………………………………81 3 14 Verbrennung…………………………………………………………………………………………………... 86 14.1 Stoffbilanzen……………………………………………………………………………………………. 86 14.1.1 Gasförmige Brennstoffe………………………………………………………………………… 86 14.1.2 Feste und flüssige Brennstoffe………………………………………………………………… 87 14.2 Brennwert, Heizwert und theoretische Verbrennungstemperatur………………………………… 89 14.2.1 Brennwert und Heizwert………………………………………………………….……………. 89 14.2.2 Theoretische Verbrennungstemperatur………………………………………………………. 90 14.3 Wasserdampftaupunkt des Rauchgases……………………………………………………………. 91 14.4 Abgaskontrolle…………………………………………………………………………………………. 93 15 Vergleichsprozesse für spezielle Maschinen……………………………………………………………… 94 15.1 Otto-Prozess…………………………………………………………………………………………….94 15.2 Diesel-Prozess…………………………………………………………………………………………. 94 15.3 Seiliger-Prozess……………………………………………………………………………………….. 95 15.4 Joule-Prozess………………………………………………………………………………………….. 96 15.5 Clausius-Rankine-Prozess……………………………………………………………………………. 97 15.6 Kaltdampfprozess zum Kühlen und Heizen…………………………………………...……………. 98 15.7 Kombinierter Gas- und Dampfturbinen-Prozess (GuD)…………………………………………….99 16 Wärmeübertragung…………………………………………………………………………………………... 101 16.1 Wärmeleitung…………………………………………………………………………………………... 101 16.1.1 Ebene Wand……………………………………………………………………………………... 101 16.1.2 Zylindrische Wand………………………………………………………………………………. 102 16.2 Konvektion……………………………………………………………………………………………… 103 16.3 Wärmedurchgang……………………………………………………………………………………… 104 16.4 Wärmeübertrager……………………………………………………………………………………….107 16.5 Wärmestrahlung……………………………………………………………………………………….. 109 16.5.1 Emission…………………………………………………………………………………………. 109 16.5.2 Auftreffende Strahlung………………………………………………………………………….. 112 16.5.3 Wärmeübertragung durch Strahlung………………………………………………………….. 112 16.6 Weitere Aufgaben und Beispiele………………………………………………………………..…….115 Literaturverzeichnis………………………………………………………………………………………………. 116 Thermodynamik……………………………………………………………………………………………… 116 Bücher mit Mathcad…………………………………………………………………………………………. 116 Literatur zu Stoffdaten………………………………………………………………………………………. 118 4 Vorwort Dieser Band ergänzt und erweitert das im Fachbuchverlag Leipzig (Hanser) im Jahre 2001 erschienene Buch „Übungsaufgaben zur Thermodynamik mit Mathcad“. Viele angehende und fertige Ingenieure haben die Möglichkeit gerne aufgegriffen, thermodynamische Aufgaben mit Mathcad am PC bearbeiten zu können und dafür - über das gesamte Lehrgebiet verteilt - Beispiele vorzufinden, die sich nach eigenem Bedarf bearbeiten und verändern lassen. Bei der Einführung des Buches in den relevanten Fachdisziplinen hatte sich jedoch auch gezeigt, dass nur diejenigen Interessenten dessen Sinn richtig erkennen konnten, die in der Lage und willens waren, die Dateien aus der zugehörigen CD zu öffnen. Nur bei der Anwendung auf dem PC wird der Vorteil der interaktiven Datensätze und Formulationen erkennbar, insbesondere für die Stoffdaten von Wasser und - mit den Ergänzungen aus dem Downloadbereich - zusätzlich für Stickstoff und einige Kältemittel, auf die online zugegriffen werden kann. Aber auch die Möglichkeiten, die sich durch unendlich viele Eingabevarianten bei den Rechenbeispielen erschließen, kommen nur dann zur Geltung. Deshalb ist dieser Band kein Ersatz für das Buch mit den aktiven Dateien. Er ist vielmehr eine leichter lesbare Form, allerdings auch mit zusätzlichen Erklärungen und Beispielen ausgestattet und zur Verwendung neben dem Rechner oder auch ohne diesen geeignet. Wenn auch ein Inhaltsverzeichnis angefügt wurde, so ist doch das Suchen nach bestimmten Begriffen nur am Rechner mit der CD des Übungsbuches möglich. Bezüglich des Buches soll hier noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen werden, dass Autor und Verlag nicht die Absicht hatten, den vielen - zum großen Teil hervorragenden - Fachbüchern ein weiteres überflüssiges hinzuzufügen, sondern dem Nutzer auf leichte Weise - ohne Kenntnisse von Programmiersprachen - auch auf diesem Gebiet die Möglichkeiten zu erschließen, die heute ein PC bietet, und damit das in diesem Rahmen beherrschbare Spektrum wesentlich zu erweitern. Ein Nachteil, der dabei zunächst in Kauf genommen werden muss, ist die manchmal etwas ungewöhnliche Schreibweise bei Formeln, die wegen der für Mathcad erforderlichen Unverwechselbarkeit von Funktionsnamen etwas umständlicher wird. Insbesondere junge Nutzer gewöhnen sich im Allgemeinen aber sehr schnell daran. Dennoch wurde in diesem Band und in den Dateien, die das Fachgebiet Energietechnik zusätzlich zum Download zur Verfügung stellt, zur besseren Übersicht die allgemeine Darstellung des Stoffes von manchen mathcadspezifischen Formulierungen befreit, mit weiteren Erklärungen versehen, und durch Bilder ergänzt. Auch wurden viele aktive Routinen und Anweisungen in Bereiche verlagert, die nur aus der Programmoberfläche heraus einsehbar sind oder durch Anklicken geöffnet werden können. Auf diese Weise ist eine kompakte, als Repetitorium auch für den "Fußgänger" nutzbare Form entstanden, die hier abgebildet ist und die teilweise im Downloadbereich neben dem aktiven Mathcadformat in: http://www.uni-duisburg.de/FB7/FG02/Mathcad/download.html, abgelegt ist, sowie auch im PDF-Format vorliegt in: http://duepublico.uni-duisburg-essen.de/servlets/DerivateServlet/Derivate-17146.xml. Die Übungsaufgaben wurden ebenfalls erweitert und mit ausführlichen Erklärungen - insbesondere für den "Fußgänger" versehen. Auf vielfachen Wunsch wurden die Lösungswege als Anhang mit in die Skriptoberfläche übernommen. Während aber in der aktiven Buchkapiteln die Lösungen durch Klick auf das gelbe Feld „Lösung“ aufgerufen werden können, muss hier geblättert werden. Einige umfangreichere Berechnungen, die den Rahmen für normale Übungen sprengen, kommen hinzu. Sie sind als Beispiele mit der Bezeichnung "B" eingefügt, wobei der Rechengang, der ebenfalls aus der 5 sichtbaren Oberfläche ausgeblendet ist, zur Einsicht geöffnet werden kann (nur mit Mathcad 8 bis 11). So lassen sich auch - ohne Blick auf den Rechengang - Parameterstudien betreiben. Einige dieser Berechnungen laufen allerdings nur mit Mathcad 11, wie z.B. die Kreislaufberechnung B 15.6 mit rechenaktivem Wärmeschaltplan für ein KWK-Kraftwerk. An vielen Stellen sind in den Berechnungen zur Erleichterung auch Hinweise auf spezielle MathcadRoutinen gegeben. Wer aber alle Möglichkeiten von Mathcad kennenlernen will oder weitere Hilfen wünscht, muss auf das Mathcad-Handbuch zugreifen, dessen Umfang etwa dem dieses Bandes entspricht. Darüber hinaus steht aber auch die Mathcad-Online-Hilfe zur Verfügung, die über das gelbe Fragezeichen in der Symbolleiste aufgerufen werden kann. Es sei zum Schluss für den eiligen Leser auch hier noch einmal darauf hingewiesen, dass zum Arbeiten mit den Mathcaddateien die Installation eines der Computeralgebra-Programme Mathcad 8 bis Mathcad 11 erforderlich ist. Von dem auf der CD des eigenen Übungsbuches befindlichen Mathcadexplorer muss dringend abgeraten werden. Eine geeignete Mathcad 8 - Professional– Version ist auf der jeweiligen CD zu den Büchern von Gerd Schlüter über Regelungstechnik (Standort in der UB DUE: D33, D43 und D45) zu finden. Duisburg, Dezember 2007 Volker Sperlich 6 1 Größen und Einheiten der Thermodynamik 1.1 Größen und Einheiten, allgemein Für jede physikalische Größe steht ein Symbol, z. B. für die Länge wählt man vielfach den Buchstaben L (der kleine Buchstabe l ist hier kaum von der Ziffer 1 zu unterscheiden). Die Länge ist, wie viele andere Größen, eine direkt messbare Eigenschaft eines Gegenstandes. Zum Messen braucht man eine Vergleichsgröße. Solche Vergleichsgrößen nennt man Einheiten. Die Einheiten sind ursprünglich mehr oder weniger willkürlich festgelegt worden, sie sind heute jedoch in einem international gültigen Einheitensystem, dem SI-System festgelegt. Für die Länge ist dies das Meter. Die Länge eines bestimmten Gegenstandes gibt man daher in Vielfachen bzw. Bruchteilen dieser Vergleichsgröße (Einheit) an. Das Mathematikprogramm Mathcad "kennt" diese Einheiten. Für das Meter steht der kleine Buchstabe m. LW := 6 ⋅ m (gleich sechs mal (ein) m) Die Länge einer Wand ist z. B. Man erkennt also, die Größe ist immer ein Produkt aus einem Zahlenwert und der Einheit. Sie haben in der obigen Gleichung, in der das Gleichheitszeichen mit dem Doppelpunkt auf der Tastatur eingegeben wird, die Länge L eindeutig definiert. Wenn Sie jetzt noch einmal wissen wollen, wie groß die Länge L ist, schreiben Sie L und danach das Gleichheitszeichen (auf der Tastatur über der Null): LW = 6 m Wenn Sie nunmehr das Ergebnis in einer anderen Einheit ausdrücken wollen, z. B. in cm, also dem hundertsten Teil der genormten Einheit, ersetzen Sie jetzt in dieser Ergebnisgleichung das Meter durch das Zentimeter, indem Sie das Meter anklicken und in den Platzhalter, der jetzt erscheint, cm einsetzen . LW = 600 cm Der Zahlenwert ist jetzt das Hundertfache, damit das Ergebnis gleich bleibt. Zahlenwert und Einheit sind in der Gleichung gleichberechtigte Faktoren. Sie können L dimensionslos machen, indem Sie durch die Einheit dividieren, Sie erhalten damit den Zahlenwert von L. LW m =6 Sie können genau so auch L durch den Zahlenwert dividieren und erhalten dann die Einheit: LW 6 = 1m Beachten Sie diese Zusammenhänge und schreiben Sie nie bei einer Einheitenbetrachtung: LW := m falsch! Wenn Sie jetzt wieder probieren, wie groß L ist, erhalten Sie etwas Falsches: LW = 1 m falsch! Sie können aber Folgendes definieren (Die sonst üblichen eckigen Klammern können hier nicht verwendet werden.) Einheit von LW EL := m und Zahlenwert von LW: LW := EL ⋅ ZL LW = 6 m Das Ergebnis ist jetzt wieder richtig: Aufgabe A 1.1 ZL := 6 Umwandlung einer Größengleichung in eine Zahlenwertgleichung Gegeben ist die Größengleichung für die Leistung eines Verbrennungsmotors (4-Takt-Motor) mit den Parametern V H (Hubraum), n (Drehzahl) und p eff (mittlerer effektiver Überdruck). Auf die Herleitung dieser einfachen Gleichung wird hier verzichtet. PM = 0.5 ⋅ VH ⋅ n ⋅ peff Gesucht wird eine Zahlenwertgleichung, in der alte, z.T. nicht mehr gesetzliche Einheiten verwendet werden: PS, Liter, min, und at. Lösung S. a1 7 Aufgabe A 1.2 Umwandlung einer Größengleichung in eine Zahlenwertgleichung Gegeben ist folgende Gleichung für einen Wärmestrom: Q = m ⋅ c ⋅ ∆T Gesucht ist eine Zahlenwertgleichung mit den Einheiten: EQ = kcal/h, Em = TME/h , Ec = BTU / lb*K und E∆T = °C Dabei sind: 1 TME = Masse, die für die Beschleunigung um 1m/s 2 eine Kraft von 1kp benötigt. 1 BTU (British Thermal Unit) = 1055 J 1 kcal = 4,19 kJ 1 kp = Gewicht von einem kg bei Normal-Erdbeschleunigung 1 lb = 0.454 kg Lösung S. a2 1.2 Grundgrößen 1 ) Die Länge L mit der Einheit 2 ) Die Masse m1 mit der Einheit EL := m Em := kg 3 ) Die Zeit Z mit der Einheit 4 ) Die Temperatur T mit der Einheit EZ := s ET := K sowie mit: °C := K , t mit der Einheit: Et := °C 5 ) Die Stoffmenge n mit der Einheit En := mol oder mit kmol := 1000mol : En := kmol Die Größen m und t werden z.T. mit einem beliebigen Literalindex (Eingabe von Punkt und Ziffer bzw. Buchstabe) oder mit einem zweiten Buchstaben versehen. Dieser Index kann irgend einen Zustand oder einen bestimmten Gegenstand charakterisieren. Mathcad "kennt" die Einheiten. Wollte man die Masse nur mit m bezeichnen, würde Mathcad dies mit dem Meter verwechseln. Weitere belegte Symbole sind: A = 1A C = 1C N = 1N P = 0.1 g = 9.807 m 2 kg ms h = 3600 s −4 F = 1F G = 1 × 10 R = 0.556 K S = 1S 3 l = 0.001 m T 3 H = 1H J = 1J K = 1K L = 0.001 m T = 1T V = 1V W = 1W e = 2.718 m = 1m π = 3.142 s = 1s t = 1000 kg s Sie können diese Symbole in Ihren Berechnungen anders definieren. Wenn Sie jedoch eine vorher getroffene Definition vergessen haben, kommt bei Verwendung des Symbols nur dann eine Fehlermeldung, wenn in einer Gleichung die Einheiten nicht übereinstimmen, ansonsten verwendet Mathcad diese Definition. Die Thermodynamik benutzt also zusätztlich zu den 3 Grundgrößen der Mechanik die Temperatur als 4. Grundgröße und die Stoffmenge als 5. Grundgröße. Rein theoretisch könnte man darauf verzichten, da die Temperatur durch die kinetische Energie der Moleküle gekennzeichnet ist und die Stoffmenge über die Masse und die chemische Zusammensetzung des Stoffes. In der Praxis würde man damit jedoch auf große Schwierigkeiten stoßen. Die Temperatur Mathcad kennt für die Temperatur nur die Einheit K (Kelvin). Will man mit °C rechnen muss man vorher definieren: °C := K Die Skala für die sogenannte absolute Temperatur wurde von Kelvin der Skala von Celsius angepasst, so dass nur der Nullpunkt ein anderer ist (vergl. Aufgabe A 1.4) Die Umrechnung ist daher: t1 = T1 − 273.15K oder: T1 = t1 + 273.15K (fettes Gleichheitszeichen über Symbolleiste "Auswertung" oder über Tasten str und + ( hier nicht aktiv)) Um nicht für jede einzelne Temperatur diese Umrechnung vornehmen zu müssen, kann man auch definieren: 8 tT ( T) := T − 273.15K bzw. Tt ( t) := t + 273.15K für t1 := 50°C ist dann mit T1 := Tt ( t1) die absolute Temperatur T1 = 323.15K Will man ein Ergebnis in einer anderen Einheit als der von Mathcad automatisch angezeigten angeben, so ist diese Einheit in den Platzhalter hinter dem Ergebnis einzusetzen. Wollen Sie z.B. t 1 anzeigen, so wird zunächst ausgegeben: t1 = 50K . Klicken Sie auf den zunächst unsichtbaren Platzhalter hinter dem Ergebnis und setzen Sie dort °C ein, dann erhalten Sie: t1 = 50°C Erläuterung zum Begriff der Temperatur A steht mit B im thermodynamischen Gleichgewicht, ebenso wie B mit C C Nullter Hauptsatz: Stehen zwei Systeme mit einem dritten im Gleichgewicht, so stehen sie auch untereinander im Gleichgewicht. B A Definition der Temperatur: Zwei Systeme, die miteinander im thermodynamichen Gleichgewicht stehen, haben dieselbe Temperatur System A hat also dieselbe Temperatur, wie System C Anwendung des nullten Hauptsatzes: Temperaturmessung: A B C LF Zeigt das System C (Thermometer) mit der temperaturabhängigen Größe LF denselben Wert für LF im Kontakt mit dem System A, wie im Kontakt mit dem System B, so haben A und B dieselbe Temperatur. 100°C Temperaturskala: Die gebräuchliche Skala für die Temperatur t wurde von Celsius willkürlich festgelegt, indem er die Temperaturdifferenz zwischen Siedepunkt und Gefrierpunkt des Wassers in 100 Teile teilte. Eine theoretisch begründete Temperaturskala ist die der absoluten Temperatur T mit der Einheit K und dem Nullpunkt bei - 273,15 °C (vergl. Aufgabe A 1.4) 0°C Gefrierpunkt Siedepunkt Die Stoffmenge Die Stoffmenge wird auch als Teilchenmenge bezeichnet. Da man wegen der großen Zahlenwerte nicht die Anzahl der Atome bzw. Moleküle angeben will, wird als Einheit das mol verwendet, das aus so vielen Teilchen besteht, wie in 12 g reinen atomaren Kohlenstoffes (C12) enthalten sind. Da dieses Kohlenstoffatom die 12-fache Masse des Wasserstoffatoms besitzt, ist die molare Masse eines Stoffes in kg so groß, wie die relative Molekülmasse angibt, bei H2also 2 kg/kmol. Während Mathcad die Einheit mol kennt ( mol = 1 mol ), muss die meist verwendete Einheit kmol := 1000mol definiert werden Die molare Gaskonstante für ideale Gase ist: Rmol := 8314 J kmol ⋅ K R := Rmol 9 1.3 Abgeleitete Größen Auf eine Reihe von abgeleiteten Größen muss besonders hingewiesen, werden, weil sie entweder aus der Mechanik weniger bekannt sind oder dort mit anderen Symbolen verwendet werden. Im Folgenden sind der Vollständigkeit halber alle wichtigen Größen mit ihren Symbolen und den zugehörigen Einheitengleichungen aufgelistet. Zur Unterscheidung von unterschiedlichen Größen, für die je nach Anwendung oft dieselben Symbole verwendet werden, sollte man immer über Literalindizes (Eingabe nach einem Punkt) oder einen zusätzlichen Buchstaben eindeutige Zuordnungen erreichen. Größe Symbol Definition Einheitengleichung Ausgabe mathcad Geänderte Ausgabe und andere Definition ________________________________________________________________________________________________ Fläche A EA := EL 2 EA = 1 m Volumen V EV := EL 3 EV = 1 m Geschwindigkeit c Beschleunigung a Ec := ( v) EL EZ EL Ea := EZ Spezifisches Volumen v Dichte ρ Kraft, allgemein Das Volumen eines Stoffes, das von der Masseneinheit dieses Stoffes eingenommen wird. Die Masse der Volumeneinheit dieses Stoffes, Kehrwert des spezifischen Volumens. F Gewicht G spezifisches Gewicht (Wichte) γ Das Gewicht der Volumeneinheit dieses Stoffes bei Norm-Erdbeschleunigung: g = 9.807m ⋅ s Molare Masse Molvolumen M vmol Eρ := 2 Ea = 1 2 m = 10000 cm 3 m = 1000 l 3 m m s s km = 3.6 h m 2 s 3 EV Ev = 1 Em Em Eρ = 1 EV m kg kg 3 m EF := Em ⋅ Ea EF = 1 N EG := EF EG = 1 N Eγ := Eρ ⋅ Ea Eγ = 1 kg N Eγ = 1 2 2 m s m 3 −2 Masse von einem (k)mol eines Stoffes Volumen, das 1 mol (1kmol) eines Stoffes einnimmt E, W, Q, U, H (vergl. Kap. 4) Spezifische Energien e, w, q, h, u (vergl. Kap. 4) Spezifische Wärmekapazität cw, cp, cv Em EM := En Evmol := Ep := Druck p Energien Ev := Ec = 1 2 2 EV En EF EM = 0.001 kg mol kmol 3 Evmol = 0.001 m mol Evmol = 1 m 3 kmol 5 Ep = 1 Pa EA kg EM = 1 bar := 10 Pa mbar := 100Pa EE := EL ⋅ EF EE = 1 J kJ := 1000J kWh := kW ⋅ h (vergl. Kap. 6 u. 11) Ee := EE Ee = 1 Sv Em Ecw := EE Em ⋅ ET Ee = 1 J kg 2 Ecw = 1 m 2 s K Ecw = 1 J kg ⋅ K 10 Entropie S Spezifische Entropie s Leistung P (vergl. Kap. 5) (vergl. Kap. 5) Es := EP := 2 EE ES := ES = 1 ET kg m 2 ES = 1 s K J K 2 ES Es = 1 Em EE m Es = 1 2 s K EP = 1 W EZ J kg ⋅ K kW = 1000 W 3 MW := 10 kW Wärmestrom Q = QStr (vergl. Kap. 16) EQStr := EP Wärmestromdichte qA (vergl. Kap. 16) EqA := Wärmeleitfähigkeit λ Wärmeübergangskoeffizient α Wärmedurchgangskoeffizient k Dynamische Zähigkeit (Viskosität) ηZ Kinematische Zähigkeit (Viskosität) (vergl. Kap. 16) (vergl. Kap. 16) (vergl. Kap. 16) EP EqA Eα := EqA = 1 EA Eλ := EqA ⋅ ET Ek := Eα EQStr = 1 W EL ET Eλ = 1 kg 3 s kg m 3 3 GW := 10 MW EqA = 1 m Eλ = 1 s K kg Eα = 1 3 Eα = 1 kg 3 Eα = 1 EηZ := Ep Ec EηZ = 1 kg ms ν (vergl. Kap. 16) Eν := Eρ 2 Eν = 1 W 2 W 2 EηZ = 1 N ⋅ EL EηZ W m ⋅K m ⋅K s K (vergl. Kap. 16) 2 m ⋅K s K Eα = 1 W m s Tabelle 1.1 Größen und Einheiten s m 2 11 2 Thermodynamische Systeme Ein Thermodynamisches System ist ein bestimmter Bereich, auf den sich die jeweilige Betrachtung bezieht. Er wird mit einer geschlossenen Grenze umgeben. Es werden die Stoffmengen und Energien bilanziert, die über diese Grenze fließen. Geschlossenes (stoffdichtes) System Abgeschlossenes System: Offenes (stoffdurchlässiges) System: Adiabates System: stoffdicht, verschiebbare Systemgrenze stoffdicht und energiedicht Stoff fließt über starre Systemgrenze wärmedicht Anmerkung: Energie, die mit dem Stoffstrom fließt, gilt nicht als Wärme, sondern als innere Energie (vergl. Kap. 4.1). Ein offenes System gilt dann als adiabat, wenn keine Wärme über die Systemgrenze fließt (z. B. eine Dampfturbine, deren Gehäuse isoliert ist). S ystem ohne E inschränkung Ü ber die S ystem grenze fließt stoffunabhängig: B eispiel W W ärm e und A rbeit Q geschlossen (massedicht) W adiabat A rbeit arbeitsdicht W ärm e offen (massedurchlässig, Energietransport über den Stoffstrom) w ie oben, jedoch ringsum w ärm eisoliert S tarrer, nicht isolierter B ehälter Q S tarrer, isolierter B ehälter (Therm osflasche) energiedicht ohne E inschränkung B ew eglicher, dicht schließ ender K olben in Zylinder, nicht isoliert S ystem grenze m P W ärm e und A rbeit V erbrennungskraftm aschine Q Q m m adiabat P A rbeit D am pfturbine m it isoliertem G ehäuse m arbeitsdicht arbeitsdicht und adiabat W ärm e m m beheiztes R ohr m m isoliertes R ohr (Fernheizleitung) Bild 2.1 Übersicht über thermodynamische Systeme 12 3 Zustand 3.1 Zustandsgrößen Zustandsgrößen sind durch den Zustand des Systems gekennzeichet. Sie sind unabhängig vom Weg, auf dem der Zustand erreicht wurde. In einem homogenen Ein-Stoff-System ist der intensive (von der Menge unabhänige) Zustand durch 2 voneinander unabhängige intensive Zustandsgrößen festgelegt. Einteilung der Zustandsgrößen: innere Zustandsgrößen: Druck, Temperatur, Volumen, Entropie, innere Energie, Enthalpie, Transportgrößen (Stoffwerte) Lagekoordinaten, Geschwindigkeit, Beschleunigung, potentielle und kinetische Energie von Masse bzw. Stoffmenge unabhängig: Druck, Temperatur, spezifische und molare Größen Masse, Volumen, Energien, Entropie äußere Zustandsgrößen: intensive Zustandsgrößen: extensive Zustandsgrößen: z = f( x , y ) es gilt x und y und z sind intensive Zustandgößen Für diese Gleichung existiert dann ein volllständiges Differenzial: dz = δz δx y δz ⋅ dx + δz ⋅ dy δx y δy x z δz δy x δz δx y dy dx bedeutet : partielle Ableitung von z nach x (bei konstantem y) Eine Größe ist eine Zustandsgröße, wenn sie ein vollständiges Differenzial hat Dann muss sein: δz δz δx y δy x δ = δ δx δy x y y oder : dy x dx ∫ dz = 0 Bild 3.1 Das vollständige Differenzial Aufgabe A 3.1 Zustandsgrößen - Prozessgrößen Vorgegeben wird die Temperatur T und das spezifische Volumen v im Zustandpunkt 1 mit T 1 und v1. Verändert man den Zustand auf beliebige Weise und kehrt auf einem anderen Wege zum Ausgangszustand 1 zurück, hier auf dem Weg über die Punkte 2 bis 4, so haben alle Zustandsgrößen bei Erreichen des Punktes 1 wieder den gleichen Wert wie vorher, anders gesagt, das Kreisintegral oder die Summe aller Änderungen muss null sein. Dieses Merkmal ist notwendig und hinreichend für den Beweis, dass es sich bei der zu untersuchenden Größe um eine Zustandsgröße handelt. Untersucht werden sollen 2 verschiedene Größen, deren Differenzial in den beiden folgenden Gleichungen durch T die Größen T und v beschrieben ist. 4 3 1 2 Größe q (Wärme): T dq = c⋅ dT + R⋅ ⋅ dv v Größe s (Entropie): ds = c⋅ c und R sind Konstanten: v dT T c = 1000 + R⋅ J kg⋅ K dv v R = 300 J kg⋅ K Lösung S. a3 13 Aufgabe A 3.2 h Hg Luftdruckmessung Ein etwa 1m langes Glasrohr mit einem lichten Durchmesser von 5 mm, das auf einer Seite geschlossen ist, wird mit Quecksilber vollgefüllt und ohne Luftblase verschlossen, z. B. mit einem Gummipfropfen. Anschließend wird das Rohr mit dem Verschluss nach unten in ein offenes Gefäß getaucht, das ebenfalls mit Quecksilber gefüllt ist. Nun wird der Verschluss entfernt. Im Rohr sinkt nunmehr die Quecksilbersäule bis auf die Höhe h Hg ab. Darüber muss sich nunmehr Vakuum befinden (In Wirklichkeit Quecksilberdampf mit vernachlässigbarem Teildruck). Bestimmen Sie nun den Luftdruck, wenn die Höhe gemessen wird und die Dichte des Quecksilbers mit h Hg = 765mm ρ Hg = 13.6 kg ( 10cm) bestimmt wurde! 3 Lösung S. a5 Aufgabe A 3.3 Druckmessung mit U-Rohr-Manometer Der Druck in einem Dampfkessel wird mittels eines U-Rohr-Manometers aus Glas gemessen. Messflüssigkeit ist ∆z z 1 Dampf beträgt? b) Wie lang müsste das U-Rohr mindestens sein, wenn eine Messflüssigkeit mit einer Dichte von 2,4 kg/dm3 verwendet werden soll? Fl. Wasser Aufgabe A 3.4 Quecksilber (ρHg = 13.6 kg/dm3). Durch einen Kondenstopf an der Druckentnahme ist gewährleistet, dass der zugehörige Schenkel des U-Rohres stets mit Wasser gefüllt ist. Der Luftdruck wurde mit p U = 1000 hPa gemessen. a) Welcher Druck herrscht im Kessel, wenn die Differenz der Quecksilbersäulen ∆z := 2676mmund die Wassersäule z1 := 4m Lösung S. a6 Temperaturmessung mit dem Gasthermometer Ein Gasthermometer wird mit zwei unterschiedlich großen Stickstoffmengen betrieben. Füllung a ergibt im Tripelpunkt von Wasser einen Druck von p0a = 300 mbar, Füllung b einen Druck von p0b = 1700 mbar . Im Gleichgewicht mit siedendem Wasser bei Atmosphärendruck ergeben sich Drücke von p1a = 400,9 mbar und p1b = 2325,15 mbar . Welche Temperatur ergibt sich dann für das siedende Wasser? Aufgabe A 3.5 S. a7 Molare und spezifische Größen Die molaren Massen von Sauerstoff O2 , Stickstoff N2 , Wasserdampf H2O und CO 2 sind: M O2 := 32⋅ kg kmol M N2 := 28⋅ und die allgemeine Gaskonstante: kg M CO2 := 44⋅ kmol R := 8314⋅ kg kmol M H2O := 18⋅ kg kmol J kmol⋅ K Berechnen Sie daraus die spezifischen Volumina der Gase im Normzustand! Lösung S. a10 14 Aufgabe A 3.6 Berechnen der zum Abheben erforderlichen Gastemperatur abhängig vom Durchmesser Berechnen Sie den Durchmesser D (näherungsweise soll die : Kugelform angenommen werden) der Ballonhülle eines Heißluftballons, der folgende Last zu tragen hat: Korb mit Zubehör mk = 100 kg , 4 Personen: mp = 300 kg , Brenner 30 kg und 4 Gasflaschen à 40 kg: mBr = 190 kg ! Für die Ballonhülle muss D allerdings zusätzlich eine Masse von mA = 0,12 kg/m2 berücksichtigt werden. Es soll eine Übertemperatur der Heißluft von 80 °C gegenüber der Umgebungstemperatur von 15 °C angenommen werden. Lösung S. a11 3.2 Zustandsgleichungen Die Gleichungen z = f(x,y) oder F(x,y,z) = 0 heißen Zustandsgleichungen. Bildlich kann z. B. z 1 als Höhe eines Punktes 1 über der x-y-Ebene mit den Koordinaten x 1, y1 dargestellt werden. Die Menge aller Punkte bildet eine Fläche im Raum. Die gebräuchlichen Zustandsdiagramme sind Projektionen auf die drei Ebenen mit Parameterlinien für konstante x- y- und z-Werte. Die einfachste Zustandsgleichung haben ideale Gase, weshalb diese meist zur Darstellung von grundsätzlichen Zusammenhängen herangezogen werden. Ein Gas verhält sich in Wirklichkeit nur im Grenzfalle p => 0 ideal, d. h. wenn sich kein Gas mehr im System befindet (vergl. Aufgabe A 1.4). Alle realen Gase verhalten sich mehr oder weniger abweichend. Die zur Berechnung erforderlichen Daten sind als Zahlentafeln oder Computerprogramme erhältlich. (Für die Bestimmung der Zustandsgrößen von Wasser, Stickstoff und einiger Kältemittel (flüssig und dampfförmig) sind aktive Rechenprogramme in dieses Buch eingearbeitet, vergl. Kapitel 13). Thermische Zustandsgleichung für ideale Gase mit den intensiven Zustandsgrößen (stoffabhängig): p ⋅ v = R⋅ T R ist die stoffspezifische Gaskonstante mit der Einheit: ER := (Dieses Gleichheitszeichen (Str+) ist hier nicht aktiv) Ep ⋅ Ev ER = 1 ET Durch Erweitern der Gleichung mit der Masse m erhält man für die extensiven Größen V und m: p ⋅ V = m⋅ R⋅ T und nach Dividieren durch die Stoffmenge n p ⋅ v = M ⋅ R⋅ T = r⋅ T mit der molaren Gaskonstante r := Rmol Rmol = 8.314 r = M⋅ R kJ kmol⋅ K ERmol := EM ⋅ ER J kg⋅ K ERmol = 1 J kmol⋅ K 15 Kalorische Zustandsgleichungen für ideale Gase u = cv ⋅ t Hierzu folgende Erläuterung: Für die kalorische Zustandsgröße u gilt allgemein (s.o.): du = Nach dem 1. Hauptsatz ist für das geschlossene System mit starrer Systemgrenze (dv=0): du = cv ⋅ dT somit ist du = cv ⋅ dT + δu ⋅ dT + δT v h = p 0 ⋅ v 0 + cp ⋅ t Ausgangszustand δu ⋅ dv δv T t1 Vakuum δu ⋅ dv δv T Endzustand Der Drosselversuch von Gay Lussac in einem abgeschlossenen System (rechtes Bild) ergibt, dass nach Druck- und Temperaturausgleich zwischen beiden Gefäßen t 2 = t1 ist. Da dT = 0 ist, sich das Volumen verdoppelt hat ( dv ≠ 0 ) und die innere Energie im abgeschlossenen System sich nicht ändern konnte, ist also δu = 0 δv T und allgemein für alle Zustandsänderungen: t2 h = u + p⋅ v p2 p2 t2 du = cv ⋅ dT Umkehrschluss: bei einer isothermen Ausdehnung eines idealen Gases ist die innere Energie konstant Mit p1 Bild 3.2 Drosselversuch von Gay Lussac und somit allgemein für alle Zustandsänderungen:: u = const, p*v = const. ist auch h = const. dh = cp ⋅ dT Eine Zusammenstellung thermischer und ausgewählter energetischer Zustandsgleichungen für ideale (perfekte) Gase wird in Kapitel 6 gegeben. Aufgabe A 3.7 Isothermen zeichnen Zeichnen Sie für Luft im p-v-Diagramm im Intervall 0 < p <10 bar und 0 < v < 1 m 3 die Isothermen für 0° C, 100 °C und 200 °C ! Aufgabe A 3.8 Lösung S. a13 Ausgleichsbehälter einer Heizungsanlage Der Ausgleichsbehälter einer Heizungsanlage hat im Betriebszustand ein Luftpolster mit einem Volumen von V 1 bei einem Druck von p 1. In der Höhe HE befindet sich eine A kleine Entlüftungsarmatur A. Das Heizungssystem soll entlüftet sein. Wieviel Wasser fließt dort allmählich aus, wenn die Armatur (z. B. von Kinderhand) geöffnet und nicht wieder geschlossen wird? Gegeben: d V1 HE x HW HW := 3m p 1 := 2.5bar HE := 11m Außendruck: Wichte des Wassers: 3 d := 1m V1 := 1 ⋅ m p a := 1bar ρ W := 1000 kg 3 m γ W := ρ W⋅ g Lösung S. a 15 16 Aufgabe A 3.9 Inhalt eines Druckbehälters In einem Gefäß mit einem Inhalt von 4000 Liter befindet sich bei einer Temperatur von eine Gasmenge von 3kmol CO2 a) wie groß sind Druck und Dichte des Gases? b) Wie groß ist das Volumen im Normzustand? Aufgabe A 3.10 Zeit zum Aufladen eines Pressluftbehälters V S B K Aufgabe A 3.11 Lösung S. a18 Ein Druckbehälter für Pressluft hat ein Volumen von V B = 3 m3 Der Druck beträgt im aufgeladenen Zustand pmax = 10 bar. d. h. bei diesem Druck schaltet der Ladekompressor K über den Druckschalter S aus. Der Mindestdruck, bei dem der Kompressor wieder anläuft, beträgt pmin = 3 bar. Der Kompressor saugt aus der Umgebung mit pU = 1 bar und tU = 25 °C an. Die Temperatur im Behälter sei infolge guten Wärmeaustausches mit der Umgebung konstant tB = 25 °C. An der Verbrauchsstelle hinter dem Reduzierventil V wird ein konstanter Volumenstrom V = 3,74 m3/h bei pV = 2,75 bar und tV = 20 °C entnommen. Lösung S. a19 Berechnen Sie die Zeit Z, die zwischen dem Abschalten und Wiedereinschalten des Kompressors vergeht! Leckverluste in einem Pressluft-Leitungssystem Ein Schraubenkompressor drückt Pressluft in ein verzweigtes Leitungssystem mit einem Betriebsdruck von pM = 5 bar Er fördert unabhängig vom Gegendruck die Luftmenge = 19 m3/min im Ansaugzustand bei p1 = 1 bar und t 1 = 25 °C. Um festzustellen, welche Leckmengen im Leitungssystem entstehen, werden alle Verbraucher abgeschiebert und nach dem Aufladen des Systems auf p2 = 6,7 bar der Kompressor abgeschaltet. Der Verlauf des Druckes über der Zeit wird gemessen, bis der Druck auf p3 = 1,385 bar abgefallen ist. Zu diesem Zeitpunkt wird der Kompressor wieder gestartet. Der Verlauf des Druckes über der Zeit wird wiederum gemessen. Lösung S. a20 1. Welches Volumen hat das Leitungssystem? 2. Welche Menge entweicht bei Betriebsdruck? 3. Welche Menge ist in der Zeit während des Kompressorstillstandes entwichen? Aufgabe A 3.12 Leckverluste in einem Pressluft-Leitungssystem, vereinfachte Berechnung für geringe Druckunterschiede Ein Druckbehälter DB für Luft hat ein Volumen von V DB = 5 m³. Er wird von Zeit zu Zeit über einen Kompressor K mit einer Förderleistung von V = 14.0 m³/h im Normzustand auf einen Maximaldruck von p max = 6.0 bar aufgeladen. Der Behälter ist jedoch an ein Leitungsnetz mit unbekanntem Volumen angeschlossen. Um die Undichtigkeiten im Netz zu ermitteln, werden alle Verbraucher abgeschaltet. Der Druck fällt dabei innerhalb einer Zeit von t Leck = 3,5 h auf pmin = 5.7 bar ab, wobei sich der Kompressor wieder einschaltet. Der Kompressor benötigt jetzt eine Zeit von t Laden = 0.15 h, um den Maximaldruck wieder zu erreichen.Bei dem ganzen Vorgang bleibt die Temperatur im Netz mit t L = 25 °C konstant. Welche Luftmenge strömt stündlich durch das Leck und wie groß ist das Volumen des Leitungssystems unter der Annahme, daß beim Absinken des Druckes von 6.0 auf 5.7 bar der Leckagestrom in etwa konstant ist? Lösung S. a23 17 4 Energien 4.1 Geschlossenes System (Innere Energie, Arbeit, Wärme, 1. Hauptsatz) J = 1J Energie, Arbeit und Wärme haben dieselbe Einheit J. Das Joule ist die kohärente Einheit im SI-System, die Mathcad "kennt" Arbeit und Wärme sind Energien, die über die Systemgrenze fließen. Die innere Energie ist im System enthalten, sie ist eine Zustandsgröße. Wäre das nicht so, also hätte sie beim Durchlaufen eines Kreislaufs einen anderen Wert als vorher, würde bei beliebig häufiger Wiederholung dieses Prozesses beliebig viel Wärme oder Arbeit freigesetzt werden können, ohne dass irgendwo dazu Energie eingesetzt werden müsste (Perpetuum mobile 1. Art, Widerspruch zum 1. Hauptsatz) 1. Hauptsatz, allgemeine Form: Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant oder: Energie kann nicht aus dem Nichts entstehen und kann auch nicht vernichtet werden. ("Was man reinsteckt, ist drin") Anmerkung: Einstein hat erkannt, dass Energie in Masse umgewandelt werden kann und umgekehrt (E = m*c 2). Nicht nur bei Kernumwandlungen auch bei chemischen Prozessen (z.B. Verbrennung) ist das der Fall. In der klassischen Thermodynamik braucht diese Erkenntnis nicht beachtet zu werden, da - außer in der Kerntechnik - die Massenänderungen bei Energieumsetzungen vernachlässigt werden können. 4.1.1 Energien im ruhenden geschlossenen System Volumenänderungsarbeit WV.1_2 dWV = −Fp⋅ ds = −p ⋅ A⋅ ds = −p ⋅ dV Fp p Gl 4.1.1a wird als Volumenänderungsarbeit bezeichnet. Per Definition sind alle in ein System hineinfließenden Energien positiv. Da ds und dV bei Kompression negativ sind, muss der Ausdruck mit dem negativen Vorzeichen versehen werden, also 2 ⌠ WV1_2 = − p dV ⌡ 1 Gl 4.1.1b EW := J oder spezifisch, d. h. auf die Masse bezogen: p 2 2 2 ⌠ wV1_2 = − p dv ⌡ 1-2: ohne Reibung 1-2´: mit Reibung 1 1 V Bild 4.1 Volumenänderungsarbeit J Gl 4.1.1c kg Anmerkung: Reibungsarbeit*) ist hierin nicht enthalten, auch wenn durch Reibung, z. B. zwischen Kolben und Zylinderwand, der Verlauf von 1 nach 2´ steiler und die Volumenänderungsarbeit größer wird als bei dem Verlauf ohne Reibung von 1 nach 2. Dies ist der Fall, wenn die Reibungsarbeit - zumindest teilweise - in das System fließt, d. h. nicht als zusätzliche Wärmeabfuhr in das Kühlwasser. Im letzteren Falle beeinflusst sie nicht den Prozess, sie verringert dann ausschließlich die abgegebene Arbeit dW dV Ew := Die Gesamtarbeit mit Reibungsarbeit WR ist: W1_2´ = WV.1_2´ + WR.1_2´ Gl 4.1.2 Q1_2 = m⋅ cx⋅ ( t2 − t1) Gl 4.1.3 Wärme Q1_2 Die Wärme Q1_2 ist die Energie, die durch Temperaturausgleich ins System fließt Wärme und Arbeit sind Prozessgrößen Einheit: EQ := J mit cx = spezifische Wärmekapazität Ecx := J kg⋅ K 18 Erläuterung zum Begriff der Prozessgröße WW Verdichtet man erst von 1 nach 2a und betreibt anschließend den Ventilator, hat man die Volumenänderungsarbeit entsprechend der Fläche unter der Linie 1_2a aufzubringen. Betreibt man dagegen erst den Ventilator und erwärmt den Inhalt mit entsprechender Druckerhöhung bis zum Punkt 2b, der so hoch liegt, dass die anschließende Verdichtung ebenfalls zum Punkt 3 führt, hat man eine größere Volumenänderungsarbeit aufzubringen, die der Fläche unter der Kurve 2b_3 entspricht. Da die Summe der zugeführten Energien auf beiden Wegen die gleiche sein muss, (es wird ja derselbe Zustandspunkt mit derselben inneren Energie erreicht), muss die Differenz der Volumenänderungsarbeiten gleich dem Betrage der Differenz der Wellenarbeiten sein. Die Wellenarbeit kann auch durch Wärme ersetzt werden. Arbeiten und Wärme sind also wegabhängige Prozessgrößen. WV p 3 2a 2b 1 V Bild 4.2 Einfluss der Reibungsarbeit Innere Energie U und spezifische innere Energie u Die Innere Energie ist die Summe aller in einem System enthaltenen Energien. Da nur Differenzen von Interesse sind, ist der Bezugspunkt beliebig zu setzen. Der Begriff der inneren Energie ist daher über den den 1. Hauptsatz definiert: Einheiten: EU := J Eu := J kg 1. Hauptsatz, formuliert für das geschlossene ruhende System: Die Summe aus Arbeiten W1_2 und Wärmen Q1_2, die in das System fließen, erhöht dessen innere Energie Anm.: Kinetische und potentielle Energien gehören nicht dazu, das sind äußere Energien (s.u.) extensiv intensiv (spezifisch): Hierbei ist (Gl 4.1.2) W1_2 + Q1_2 = U2 − U1 Gl 4.1.4a dW + dQ = dU Gl 4.1.4b w1_2 + q 1_2 = u 2 − u 1 Gl 4.1.4c dw + dq = du Gl 4.1.4d du = cv⋅ dT Gl 4.1.5 W1_2 = WV.1_2 + WR.1_2 Für ideale Gase gilt mit cv = spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen: Aufgabe A 4.1 Volumenänderungsarbeit in geschlossenem Behälter (Beispiel Gasometer) Gegeben ist ein Gasometer gemäß Skizze. Die Glocke schwimmt frei beweglich in dem schraffierten Wasserring. Ausgangstemperatur ist 20 °C. Durch Sonneneinstrahlung erwärmt sich der Behälter auf 40 °C. a) Um welchen Betrag hebt sich die Glocke? b) Wieviel wiegt die Glocke? c) Welche Arbeit verrichtet das Gas zum Heben der Glocke? d) Welche Arbeit verrichtet das Gas insgesamt? D H h Gegeben: H1 := 30⋅ m D := 30⋅ m t1 := 20⋅ °C p U := 760 ⋅ torr ∆t := 20⋅ K h := 20⋅ mm ρ W := 1000⋅ kg 3 m Die Stärke des Wasserringes und die Auftriebskräfte im Wasser sollen vernachlässigt werden. Lösung S. a26 19 Aufgabe A 4.2 Mechanisches Wärmeäquivalent Die Erkenntnis, dass Wärme und mechanische Arbeit Energieformen sind, die man ineinander umwandeln kann, hat erstmals im Jahre 1840 Robert Julius Mayer veröffentlicht. Bis dahin war die Einheit der Wärme, die Kilokalorie, eine Basiseinheit und die Einheit der Arbeit das Meterkilopond: ( mkp := kg⋅ g ⋅ m ) Die Kilokalorie (kcal) ist die Wärme, die man benötigt, um 1kg Wasser von 14,5 auf 15,5 °C zu erwärmen. Mathcad kennt die Kilokalorie als Energieeinheit: 3 kcal = 4.187 × 10 J oder kcal = 427 mkp Vollziehen Sie Mayers Beweis nach, und zwar anhand des Unterschiedes zwischen den vorgegebenen spezifischen Wärmekapazitäten von Luft für konstanten Druck c p und für konstantes Volumen c v, und zeigen Sie, dass diese Umrechnung stimmt! gegebene Messwerte: cvL := 0.1713 kcal cpL := 0.2398 kg⋅ K p2 > p1 kg⋅ K p1 = p2 = pa Qv1_2 = cvL⋅ ( T2 − T1) ⋅ mL Aufgabe A 4.3 kcal Lösung S. a27 Qp1_2 = cpL⋅ ( T2 − T1) ⋅ mL Volumenänderungsarbeit in geschlossenem Behälter (allgemein) Berechnen Sie die Volumenänderungsarbeit und die ausgetauschte Wärme für die isotherme Verdichtung von 1 kg Luft von 1 bar bei 0 °C auf 10 bar in einem geschlossenen System, wenn a) der Vorgang reibungsfrei abläuft, Lösung S. a28 b) 10 % der aufzubringenden Arbeit Reibungsarbeit ist! Aufgabe A 4.4 Volumenänderungsarbeit in geschlossenem System gegen Feder In einem Zylinder mit adiabaten Wänden (vergl. Skizze), der durch einen reibungsfrei beweglichen Kolben verschlossen ist, befindet sich Luft bei 1 bar und 20 °C mit einem Volumen von anfangs 5000 3 2 cm . Der Querschnitt des Zylinders ist 100 cm . Über einen elektrischen Widerstand wird dem Gas Energie zugeführt, wobei sich das Volumen verdoppelt. Im ersten Fall soll sich der Kolben gegen den Atmosphärendruck bewegen, im zweiten Fall zusätzlich gegen eine Federkraft, die im Ausgangspunkt 0 ist und abhängig vom Federweg mit 3N FF( l) = 10 m ⋅ ( l − l1) beschrieben werden kann. Für beide Fälle W 1_2el V1 V2 l1 sind anzugeben: a) Druck und Temperatur im Zustand 2, b) Änderung der inneren Energie, c) elektrische Arbeit Lösung S. a29 20 Aufgabe A 4.5 Volumenänderungsarbeit einer Flüssigkeit in offenem Behälter mit Rührer Ein Rührer wird in einem offenen Behälter mit einer zähen Flüssigkeit (Volumen V1 = 2 m3 ) mit einer Drehzahl Md von n = 75 min-1 während eines Zeitraumes von z = 30 min betrieben. Dabei nimmt das Volumen um 5 % zu. An der Welle wird ein konstantes Drehmoment von Md = 122 Nm gemessen. Der Barometerdruck beträgt pa = 1,02 bar. a) wie groß ist die Wellenarbeit? b) wie groß ist die Gesamtarbeit, die über die Systemgrenze fließt? 2 1 S. a30 4.1.2 Äußere Energien: Äußere Energien E a sind die kinetische Energie und die potentielle Energie des Systems kinetische Energie: Ekin = m 2 ⋅c 2 Gl 4.1.6a ekin = 1 2 ⋅c 2 potentielle Energie EPot = m⋅ g ⋅ z Gl 4.1.7a ePot = g ⋅ z Gl 4.1.6b Gl 4.1.7b mit c = Geschwindigkeit und z = Höhe über Bezugspunkt Zwischen zwei Zuständen ist die Differenz der äußeren Energien Aufgabe A 4.6 1 2 2 ∆Ea = m ⋅ c2 − c1 + g ⋅ ( z2 − z1) 2 Gl 4.1.8 Äußere Energien, Relativbewegung Ein PKW hat eine Masse von 1000 kg. Er wird ausgehend von einer Geschwindigkeit von v 1 = 100 km/h auf ebener Strecke auf v2 = 0 km/h abgebremst. a) Welche Wassermenge könnte man mit der Bremsarbeit von 20 °C auf 100 °C erwärmen, unter der Annahme, dass diese Reibungsarbeit ausschließlich in der Trommelbremse anfällt und von der Wassermenge (Kühlwasser) aufgenommen wird? b) Welche Wassermenge könnte aus dem für die Beschleunigung von v1 auf v2 erforderlichen Brennstoff erhitzt werden, wenn nur 25 % der Brennstoffenergie in Bewegungsenergie umgesetzt werden? v 1 := 100 km v 2 := 0 h km h Lösung S. a31 1. Hauptsatz, formuliert für das geschlossene bewegte System: Die Summe aus Arbeiten W1_2 , die auf die Systemgrenze einwirken und Wärmen Q1_2, die in das System fließen, erhöht dessen innere und äußere Energie extensiv W1_2 + Q1_2 = U2 − U1 + ∆Ea Gl 4.1.9a dw + dq = du + dea Gl 4.1.9b spezifisch w1_2 + q 1_2 = u 2 − u 1 + ∆ea Gl 4.1.9c dw + dq = du + dea Gl 4.1.9d Wie das Aufgabenbeispiel A 4.6 zeigt, wird beim Bremsen die Bewegungsenergie des Fahrzeuges in innere Energie in den Bremsen umgewandelt, bervor sie als Wärme nach außen abgegeben wird. Umgekehrt kann auch innere Energie in kinetische oder potentielle Energie umgewandelt werden, z.B bei einer Rakete. Die Aufteilung der Energieen muss gegebenenfalls durch Messung der Zustandsgrößen erfasst werden. Die Arbeit W 1_2 (Bei obigem Beispiel ist sie - ebenso, wie die Wärme = 0) kann hier auch einen Anteil enthalten, der nur die äußeren Zustandsgrößen verändert. 21 Aufgabe A 4.7 Äußere Energien am Beispiel eines Satelliten Ein Satelit aus Aluminium taucht mit einer Geschwindigkeit von 30000 km/h in einer Höhe von H1 = 30 km bei einer Temperatur von 20 °C in die Erdatmosphäre ein und wird dabei auf 300 km/h abgebremst. In der Höhe von H2 = 500 m wird ein Bremsfallschirm geöffnet, durch den bei 300 m eine konstante Geschwindigkeit von 2 m/s erreicht wird. a) wie groß ist die gesamte spezifische Energie des Sateliten in den verschiedenen Höhen? b) Welchen Anteil der Reibungsenergie von H 1 bis H2 darf er aufnehmen, wenn er sich um nicht mehr als 100K erwärmen soll? Lösung S. a32 4.2 Offenes System (Enthalpie, technische Arbeit, Wärme) Enthalpie Die Enthalpie ist die Summe aus der inneren Energie und dem Produkt aus Volumen und Druck h = u + p⋅ v Gl. 4.2.1a Für ideale Gase gilt H = U + p⋅ V bzw. Gl. 4.2.1b dh = cp⋅ dT Gl. 4.2.2 Ecp := cp ist die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck mit der Einheit: kJ kg⋅ K Die Enthalpie H enthält zusätzlich zur inneren Energie U das Produkt p*V . Dieser Term ist die Energie, die als Arbeit erforderlich war oder gewesen wäre, um dem System in seiner Umgebung Platz zu verschaffen. Beispiel: Welche Arbeit müssen Sie aufbringen, um eine Wassermenge von einem Kubikmeter in ein Becken zu drücken, dessen Wasserspiegel 100 m höher liegt? 3 Das Volumen des Wassers VW := 1m Das spezifisches Gewicht des Wassers 100 m pu=1bar 1m3 Bild 4.2 Zur Erläuterung des Größe "Enthalpie" −3 γ w := 1000kg⋅ m Umgebungsdruck p U := 1bar Der Überdruck am Boden des Behälters ∆p := 100m⋅ γ w Druck im Behälter p 2 := p U + ∆p m V1 3 5 WV := 1m ⋅ ∆p WV = 9.807 × 10 J Da sich das Volumen des Wassers nicht ändert, ist dies auch die Zunahme der Enthalpie: vorher p1* V1 H1 Maschine mit konstantem Massen- und Energieinhalt p2 p 1 := p U Die Verschiebearbeit zum Einschieben des Wassers ist somit: p 2⋅ VW − p 1⋅ VW = 981 kJ Energiebilanz am offenen System p1 ⋅g nachher Maschine mit konstantem Massen- und Energieinhalt Q1_2 H2 W W1_2 m p2* V2 Bild 4.3 Offenes System, über einen kleinen Zeitraum ∆Z ersetzt durch ein geschlossenes System mit verschobenen Systemgrenzen am Ein- und Austritt 22 Das Bild 4.3 kann sich z.B. auf eine Turbine beziehen. Im stationären Betrieb ändern sich die Zustände am Eintritt und am Austritt nicht. Ein Masseteilchen ändert seinen Zustand auf dem Weg durch die Maschine. Das offene System wird für einen kleinen Zeitraum als geschlossenes ruhendes System betrachtet, bei dem die Grenzen am Eintritt und am Austritt durch die Masse ∆m, die in diesem Zeitraum strömt, verschoben werden. Da der Energieinhalt der Maschine konstant ist, vergleichen wir die Energieen des Masseteilchens ∆m am Eintritt und Austritt, einschließlich dort verrichteter Volumenänderungsarbeiten. Zusätzlich fließen in dem betrachteten Zeitraum die Wärme Q 1_2 und die Arbeit W1_2 p 1⋅ ∆V1 = p 1⋅ v 1⋅ ∆m am Eintrittsquerschnitt p 2⋅ ∆V2 = p 2⋅ v 2⋅ ∆m am Austrittsquerschnitt Die Wellenarbeit WW1_2 über die Welle Die Wärme Q1_2 über das Gehäuse Es fließen also: Die Verschiebearbeiten: Die inneren und äußeren Energien (z = geodätische Höhe, c = Geschwindigkeit) Bilanz : ∆m⋅ u 1 + g ⋅ Z1 + 2 c1 2 am Eintrittsquerschnitt 2 c2 am Austrittsquerschnitt ∆m⋅ u 2 + g ⋅ Z2 + 2 2 2 c1 c2 ∆m⋅ p 1⋅ v 1 + u 1 + g ⋅ Z1 + − ∆m⋅ p 2⋅ v 2 + u 2 + g ⋅ Z2 + + ∆m⋅ wW1_2 + ∆m⋅ q 1_2 = 0 2 2 Mit der Definition h = u + p*v (s.o.) und der Definition der technischen Arbeit w t1_2 = w w1_2 wird daraus die Formulierung des ersten Hauptsatzes für das offene System 1. Hauptsatz, formuliert für das offene System: Die Summe aus technischer Arbeit Wt.1_2 und Wärme Q1_2, die in das System fließen, erhöht die Summe aus Enthalpie und äußerer Energie. dQ + dWt = dH + dE a Gl 4.2.3a Q1_2 + Wt.1_2 = H2 − H1 + ∆Ea Gl 4.2.3b dq + dwt = dh + dea Gl 4.2.3c q 1_2 + wt.1_2 = h 2 − h 1 + ∆ea Gl 4.2.3d multipliziert mit dem Massenstrom: ( ) P + Q = m⋅ h 2 − h 1 + ∆ea Gl 4.2.4 P ist die über die Welle zugeführte Leistung (abgegebene Leistung negativ) und m der Massenstrom. Multipliziert man den Massenstrom in die Klammer hinein, so wird daraus: ( P + Q = H2 − H1 + ∆Ea ) Gl. 4.2.5 Für adiabate Maschinen, z.B. Dampfturbinen, ergibt sich bei vernachlässigbaren äußeren Energien: P = m⋅ ( h 2 − h 1) Gl 4.2.6 Technische Arbeit Die technische Arbeit Wt ist die kontinuierlich bzw. periodisch über eine Welle in das System fließende Arbeit Vergleicht man die Formulierung des 1. Hauptsatze für das offene System mit der für das geschlossene ruhende System, so ergibt sich der Unterschied zwischen den Arbeiten: wt1_2 + q 1_2 = h 2 − h 1 + ∆ea bzw. wt1_2 + q 1_2 = u 2 − u 1 + p 2⋅ v 2 − p 1⋅ v 1 + ∆ea wt1_2 − ( wV1_2 + wR1_2) = p 2⋅ v 2 − p 1⋅ v 1 + ∆ea wV1_2 + wR1_2 + q 1_2 = u 2 − u 1 => wt1_2 = wV1_2 + wR1_2 + p 2⋅ v 2 − p 1⋅ v 1 23 2 2 ⌠ wV1_2 = − p dv ⌡ und mit ⌠ wt1_2 = − p dv + p 2⋅ v 2 − p 1⋅ v 1 + wR1_2 + ∆ea ⌡ => 1 1 Aus der Skizze Bild 4.4 lässt sich entnehmen: p 2 2 1 1 ⌠ ⌠ − p dv + p 2⋅ v 2 − p 1⋅ v 1 = v dp ⌡ ⌡ 2 2 somit gilt: ⌠ wt1_2 = v dp + wR1_2 + ∆ea ⌡ Gl 4.2.7 dwt = v ⋅ dp + dwR + ∆ea Gl 4.2.8 1 p2*v2 wv1_2 1 p1*v1 V V1 V2 Achtung: Die Definition ist in der einschlägigen Literatur unterschiedlich. Häufig wird als technische Arbeit lediglich der reversible Anteil definiert und die Arbeit, die auch die dissipierte Energie (hier wR = w diss ) enthält, als "innere Arbeit" bezeichnet. Bild 4.4 Zusammenhang zwischen Volumenänderungsarbeit und technischer Arbeit Veranschaulichung am Beispiel eines Kolbenkompressors: p1 p2 V2 V1 Aufgabe A 4.8 Die Zusammensetzung der technischen Arbeit aus Volumenänderungsarbeit und Verschiebearbeiten lässt sich gut anhand eines Kolbenkompressors verdeutlichen. Die Verschiebearbeit p 1*V1 wird vom Druckspeicher 1 mit dem Druck p1 an den Kolben des Kompressors abgegeben, der Kompressor muss die Verschiebearbeit p2*V2 nach Verrichten der Volumenänderungsarbeit (im Punkt 2 des obigen Diagramms (Bild 4.4) aufbringen, um das Gas in den Zylinder 2 mit dem Druck p2 hineinzudrücken. Umwandlung potentieller u. kinetischer Energie in innere Energie Um welche Temperaturspanne erwärmt sich das Wasser eines Flusses nach dem Durchlaufen eines 300 m hohen Wasserfalles, wenn der Wärmeaustausch mit der Umgebung vernachlässigt werden kann? Aufgabe A 4.9 Lösung S. a32 Kinetische Energie aus Enthalpiestrom Durch eine waagerechte, thermisch gut isolierte Düse strömt Wasserdampf mit einer spezifischen Enthalpie von h1 = 2804 kJ/kg bei p1 = 30 bar und einer Geschwindigkeit von c1 = 38 m/s. Am Austritt beträgt die Enthalpie h 2 = 2720 kJ/kg bei p2 = 20 bar. Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit c2? Aufgabe A 4.10 S. a33 Wellenleistung aus Enthalpiestrom In einer Dampfturbine entspannen sich stündlich 40 t Wasserdampf . Die spezifische Enthalpie würde sich dabei um 1200 kJ verringern, wenn keine innere Reibung vorhanden wäre. Der Gütegrad, der die Reibung berücksichtigt, beträgt 86 %. Auf dem Wege über die Turbinenwelle zur Generatorklemme geht nochmals 2 % der Wellenarbeit verloren. Welche Leistung wird an der Generatorklemme abgegeben? S. a33 24 Aufgabe A 4.11 Energiebilanz an einem Dampferzeuger mit Speisepumpe In einen stationär arbeitenden Dampferzeuger wird eine Wassermenge von: mW = 70000 kg/h eingespeist. Die spezifische Enthalpie des Wassers ist: h 1 = 1408 kJ/kg und das spezifische Volumen: v 1 = 0,00145 m3/kg, die Enthalpie des austretenden Dampfes: h 2 = 2728 kJ/kg und das spezifische Volumen: v2 = 0,01804 m3/kg . Der Druck im Dampferzeuger ist konstant p1 = 100 bar. Die Dampfaustrittsleitung hat einen lichten Durchmesser von D2 = 100 mm. a) Welche Wärme ist pro kg Dampf zu übertragen, wenn die Eintrittsgeschwindigkeit vernachlässigbar klein ist? b) Wie groß ist der Unterschied zwischen der Enthalpieänderung und der Änderung der inneren Energie? Lösung S. a33 c) Welche Leistung benötigt die Kesselspeisepumpe, wenn der Ausgangsdruck p 0 = 1bar ist und das Wasser als inkompressibel zu betrachten ist? Der Gütegrad der Pumpe betrage ηG = 0,90 Aufgabe A 4.12 Arbeit zum Lenzen eines gesunkenen U-Bootes Ein U-Boot aus dem letzten Weltkrieg liegt auf Grund in 100 m Tiefe. Das Boot soll gehoben werden. Taucher stellen fest, dass keine Luftblase vorhanden ist, dass aber eine Abdichtung unter Wasser möglich ist. Aus den alten Plänen wird festgestellt, dass das Boot über die Außenhaut gerechnet ein Volumen von 500 m 3 besitzt und ganz aufgetaucht eine Wasserverdrängung von 400 m 3. Die mittlere Dichte aller im Boot enthaltenen Massen (einschließlich Außenhaut, aber außer Luft) kann mit 6000 kg/m3 angenommen werden. Für die folgenden Berechnungen ist eine Genauigkeit < 1 % nicht erforderlich! a) Welches Gewicht hatte das Boot (aufgetaucht gemäß Skizze 1) ? b) Wie groß war das Volumen der Luft im Boot? c) Welche Wassermenge musste zum normalen Tauchen des Bootes (Skizze 2) eingelassen werden? d) Zum Heben soll nach dem Abdichten eine Lenzpumpe eingebracht werden, die Wasser über eine Rückschlagklappe nach außen fördern kann. Die Belüftung erfolgt über einen Schlauch von oben. Welche Arbeit hat die Pumpe mindestens zu verrichten? e) Wie groß wäre mindestens die Arbeit für den Antrieb eines Kompressors (Skizze 3), wenn das Wasser über Pressluft von oben ausgetrieben werden soll? f) Welche Arbeit hat ein adiabater Kompressor mit einem Gütegrad von 0.7 zu verrichten? Bei allen Vorgängen soll eine konstante Temperatur angenommen werden. HW 1 schwimmend HW 2 getaucht HW 3 gesunken Lösung S. a34 25 Aufgabe A4.13 Aufpumpen eines Fahrradreifens Ein Fahrradschlauch und eine Handpumpe werden mit den Abmessungen gemäß nebenstehender Skizze angenommen (Der schädliche Raum der Pumpe zwischen Kolben und dP = 1 in Ventil bei Beendigung des Pumpenhubes sei vernachlässigbar). a) Welche Menge fördern Sie mit einem Hub und wieviele Hübe sind erforderlich, um den Schlauch, der sich wegen des unelastischen Mantels nicht ausdehnen kann, von Umgebungsdruck auf 3 bar bei Umgebungstemperatur aufzupumpen? b) Welche Arbeit wäre für das Aufpumpen mindestens erforderlich (bei einem reversiblen Prozess) c) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf für einige Pumpenhübe im p-v-Diagramm! lP = 40 cm DS = 26 in pa = 1 bar ta = 20 °C dS = 2 in Vergl. auch Aufgaben A 6.3 und A 9.2 ! Aufgabe A 4.15 ∆m Aufladen eines elastischen Behälters m2 m1 V1 Lösung S. a36 V2 In einem Zylinder mit nicht adiabaten Wänden (vergl. Skizze), der durch einen reibungsfrei beweglichen Kolben verschlossen ist, befindet sich Luft mit Umgebungszustand bei 1 bar und 20 °C mit einem Volumen von anfangs 5000 cm³ . Der Querschnitt des Zylinders ist 100 cm² . Über ein Ventil wird langsam zusätzliche Luft mit der Masse ∆m aus der Umgebung eingespeist, bis sich das Volumen verdoppelt hat. Der Kolben soll sich gegen eine Federkraft bewegen, die im Ausgangspunkt 0 ist und abhängig vom Federweg mit 3N FF( l) = 1.5⋅ 10 l1 m ⋅ ( l − l1) beschrieben werden kann. Berechnen Sie a) Masse und Druck im Zustand! b) die mindestens aufzubringende Arbeit! Tipp zur Lösung: nehmen Sie an, dass sich die Masse ∆m bereits im Zylinder einer entsprechend dimensionierten Kolbenpumpe bei Umgebungszustand befindet. Lösung S. a 42 26 4.3 Strömungen 4.31 Energiebilanz Bei Strömungsvorgängen mit inkompressiblen Medien wird aus dem Integral von v*dp, d.h. aus der reversiblen technischen Arbeit: 2 ⌠ wt_rev = v dp = v ⋅ ( p 2 − p 1) ⌡ 1 Bei der Behandlung dieser Strömungsvorgänge werden die Gleichungen aus Kapitel 4.2 vielfach durch g dividiert. Aus der reversiblen technischen Arbeit einer Pumpe wird dann die reversible Förderhöhe für die Druckerhöhung: mit v= 1 ∆p rev ist ρ ρ⋅g = ∆zrev Einheitengleichung: Ep Eρ⋅ Ea = 1m 2 Zunächst ohne Einschränkung wird aus Gleichung 4.2.7 : 1 wt.1_2 mit dem Quotient g: mit ⌠ wt.1_2 = v dp + wR.1_2 + ∆ea ⌡ g = ∆zges = ∆zrev + ∆zR + ∆zg + ∆zdyn Gl 4.3.1 ∆zrev = reversible Förderhöhe für Druckerhöhung ∆zR = Reibungsanteil = zusätzlich zur Überwindung der Reibungskräfte erforderliche Förderhöhe ∆zg = geodätische Förderhöhe 2 ∆zdyn = 2 c2 − c1 2⋅ g = dynamische Förderhöhe Multipliziert man dieselben Gleichungen dagegen mit ρ bzw. dividiert durch v, so ergibt sich die Druckbilanz, die vielfach alternativ verwendet wird. wt.1_2 v = ∆p ges = ∆p rev + ∆p R + ∆p g + ∆p dyn Gl 4.3.2 Bei reinen Strömungsprozessen innerhalb eines offenen Systems ist die technische Arbeit = 0 (Keine Welle) Bei inkompressiblen Medien gilt dann v ⋅ ∆p rev + wR.1_2 + g ( z2 − z1) + bzw.: p2 ρ 2 + WR.1_2 + g ⋅ z2 + Für reibungsfreie Strömung eines inkompressiblen Fluids wird daraus das Gesetz von Bernoulli: p2 und aus der Massenbilanz ergibt sich die Kontinuitätsgleichung m1 = m2 ρ 2 + g ⋅ z2 + c2 2 = p1 mit ρ c2 2 = p1 ρ 2 c2 2 2 − c1 2 =0 2 + g ⋅ z1 + c1 2 + g ⋅ z1 + m = V⋅ ρ Gl 4.3.3 2 c1 Gl 4.3.4 2 und V = A⋅ c A1⋅ c1⋅ ρ 1 = A2⋅ c2⋅ ρ 2 Gl 4.3.5 Die Summe aus Wärme und Reibungs- bzw. Dissipationsarbeit erhält man mit v 1 = v 2 = v auch über die allgemeine Form des 1. Hauptsatzes (Gl 4.1.4c) mit wV.1_2 = 0 ( dv = 0) q 1_2 + wR.1_2 = u 2 − u 1 = cv⋅ ( t2 − t1) Gl 4.3.6 27 Bei der Auslegung von hydraulischen Systemen kommt der Bestimmung der Reibungsdruckverluste (Gl . 4.3.2) eine wichtige Bedeutung zu hinsichtlich der Dimensionierung der Querschnitte und der Pumpen. ∆p R = Der Reibungsdruckverlust wird errechnet mit: c2 + d 2 λ⋅l ⋅ρ⋅ ∑ i c2 ζ i⋅ ρ ⋅ 2 Gl 4.3.7 l = Rohrlänge, d = Rohrdurchmesser, c = Geschwindigkeit, ρ = Dichte des Fluids, λ = Rohrreibungszahl, abhängig von der Rohrrauhigkeit und der Reynoldszahl (vergl. Kap. 16). ζι = Widerstandsbeiwert von Einbauten, Krümmern, Verzweigungen, Einläufen usw. Aufgabe A 4.14 Druckverlauf in einer Rohrleitung In einem Speicherkraftwerk wird das Arbeitsfluid Wasser durch eine Turbopumpe aus dem Einlaufbecken durch ein Betonrohr mit dem inneren Durchmesser dRo in das um ∆z höher gelegene Speicherbecken mit einer Geschwindigkeit im Rohr von c Ro gefördert. Das Rohr hat im Saugteil einen gerundeten Einlauf. Das Rohr hat zwei 30°- Krümmer, die horizontalen Strecken sind jeweils 10 m lang. Einlauf und Auslauf liegen jeweils 3m unterhalb des Wasserspiegels. Die Pumpe befindet sich 2m oberhalb des Wasserspiegels des Einlaufbeckens. Gesucht ist der Druckverlauf in der Mitte des Rohres über der Rohrlänge und die erforderliche Antriebsleistung der Pumpe bei einem Pumpenwirkungsgrad von ηP, sowie die Erwärmung des Wassers durch die Reibungsarbeit Die Widerstandsbeiwerte sind der Fachliteratur, z.B. Dubbel Kap. B6.2 zu entnehmen. Speicherbecken R dR Einlaufbecken z2-z1 Pumpe gegeben: m Geschwindigkeit im Rohr cRo := 3 Rohrdrchmesser innen d Ro := 1m Wirkungsgrad der Pumpe η P := 0.8 s Rauhigkeit der Rohrwannd: k := 0.3mm Geodätische Förderhöhe ∆z := 300m 2 −6m ν W := 10 Kinematische Zähigkeit von Wasser bei 20°C Aufgabe A 4.16 s Lösung S. a38 Evakuieren durch Wasserstrahlpumpe 2 1 cA cE pa = 1 bar DA DE pE tA = 20°C Aus einer Wasserstrahlpumpe gemäß Skizze strömt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von cA = 5 m/s ins Freie. Der engste Querschnitt des Strömungskanals, wo sich eine Bohrung zum Ansaugen von Luft befindet, beträgt die Hälfte des Austrittsquerschnittes. Welcher Druck stellt sich in dem an die Bohrung angeschlossenen Behälter ein, wenn die Wasserströmung über die gesamte Strecke als reibungslos angesehen werden kann und welche Luftmasse befindet sich im Gleichgewichtszustand im Behälter, wenn dieser ein Volumen von 5 Liter besitzt? Lösung S. a43 28 Aufgabe A 4.17 Durchsatzmessung mit Prandtlrohr Der Massenstrom in einem Kanal einer Klimaanlage wird mittels eines Prandtl-Staurohres gemäß Skizze ermittelt, indem eine größere Anzahl von Messpunkten über den Querschnitt verteilt abgetastet werden. An dem mit Wasser gefüllten U-Rohr-Manometer, das den Differenzdruck zwischen dem Druck im Kanal und dem Staudruck anzeigt, wird im Mittel eine Höhendifferenz von 15 mm Wassersäule abgelesen. Der Kanal hat einen Querschnitt von 2m * 3m. Wie groß ist der Massenstrom der Luft, wenn an dieser Stelle eine Temperatur von 30°C bei einem Überdruck entsprechend 10 mm Wassersäule gegenüber dem Außendruck von 1 bar gemessen wird? pSt 3d 0 ,3 d 0 ,1 d d p1 10 d ∆p Lösung S. a43 B 4.1 Umwandlung kinetischer Energie eines Luftstromes (Beispiel Segelboot) Gegeben sind Windstärke und Windrichtung, sowie die Kenngrößen eines Segelbootes (Annahme eines Eintrittsquerschnittes für den beaufschlagenden Luftstrom und der Widerstandsbeiwerte für Wasser, Wellen und Luft). Gesucht ist die günstigste Stellung des Segels. u c2 F FU c2u α2 c1 w 1 u rom t s ft Lu ) ind (W β2 w2 α1 c1u β1 Absolutgeschwindigkeiten: c Relativgeschwindigkeiten: w Umfangsgeschwindigkeit: u Berechnung S. b4 29 Adiabate reibungsfreie Strömung eines idealen Gases durch eine Düse (Laval-Düse) für eine beliebigen Stelle x der Düse gilt: 2 2 x cx c1 ⌠ v dp + − + g ( zx − z1) = 0 ⌡ 2 2 1 2 x Bei Höhendifferenz 0 und Ausgangsgeschwindigkeit 0 wird daraus: px Andererseits aus der Isentropengleichung: p1 = v1 v x p1 = v1 p v bzw. κ cx = 2 ⋅ p 1⋅ v 1⋅ ⋅1 − κ−1 demnach x cx ⌠ v dp + =0 ⌡ 2 1 1 κ κ (s. o.) px ergibt sich: ⌠ ⌡p 1 κ−1 κ p κ x v dp = p 1⋅ v 1⋅ ⋅ − 1 κ − 1 p 1 κ−1 κ px p 1 1 und mit Ax = m⋅ v x p1 v x = v 1⋅ px und cx κ 1 κ p1 m⋅ v 1⋅ px Ax( p x) = κ−1 κ p x κ ⋅1 − 2 ⋅ p 1⋅ v 1⋅ κ−1 p1 erhält man den zu p x zugehörigen Querschnitt des Kanals: Beispiel : T1 := 330°C RL := 287 J kg⋅ K κ := 1.4 m := 10 p 1 := 2bar v 1 := s RL⋅ T1 ( ) cm 2 p x := 0.01bar , 0.02bar .. 5bar p1 Der Querschnitt hat also ein Minimum. Es lässt sich durch Ableiten der Funktion zeigen, dass sich der zu dem Minimum gehörende Druck, Laval-Druck genannt, ergibt zu: 1000 A x px kg 500 0 κ p L := p 1⋅ 0 0.5 κ + 1 1 2 px κ−1 Laval-Druck für ideale Gase Im Beispiel: p1 pL p1 = 0.528 ( κ + 1) ⋅ 0.5 Durch Einsetzen ergibt sich der engste Querschnitt zu: die zugehörige Temperatur gemäß Isentropengleichung: ( κ + 1) 2 AL := m⋅ TL := T1⋅ ( κ − 1) ⋅ v1 κ ⋅ p1 2 Im Beispiel: AL = 0.0225 m Im Beispiel: TL = 275 K 2 κ+1 30 cL := und die zugehörige Geschwindigkeit: 2 ⋅ p 1⋅ v 1⋅ κ κ+1 cL = 332.4 Im Beispiel: m s Dies ist, wie z.B. bei Baehr [1 ] näher erläutert, die Schallgeschwindigkeit. Da die Schallgeschwindigkeit eine Zustandsgröße ist, kann sie auch abhängig vom jeweiligen Zustand geschrieben werden: cs = R ⋅ T⋅ κ Im Normzustand: Im Beispiel: cS := RL⋅ TL⋅ κ T0 := 273.15K cSN := cS = 332.4 RL⋅ T0⋅ κ m s cSN = 331.3 m s Anmerkung: Der Laval-Druck mit Schallgeschwindigkeit stellt sich im engsten Querschnitt der Düse nur dann ein, wenn der Gegendruck hinter der Düse gleich dem Laval-Druck ist oder unterhalb dieses Druckes liegt. Ist dies der Fall, ist für den Ausgangszustand vor der Düse der maximale Durchfluss durch die vorgegebene Düse erreicht, unabhängig davon, ob der Gegendruck der Düse noch niedriger ist oder nicht. Da Schall eine Druckwelle ist, kann beim Erreichen der Schallgeschwindigkeit der niedrigere Druck dort nicht mehr in die Düse eindringen, wo die Schallgeschwindigkeit erreicht oder überschritten ist. Im engsten Querschnitt kann der Druck also nicht unter den Laval-Druck absinken. Im (richtig gestalteten) Diffusor entspannt sich das Gas weiter unter Geschwindigkeitszunahme, berechenbar über die Funktion Ax(px), reibungsfreie Strömung vorausgesetzt. Liegt der Gegendruck höher als der über vorgegebenen Diffusor zu berechnende Druck am Ende des Diffusors, so entspannt sich das Gas innerhalb des Diffusors unter diesen Druck und erfährt am Austritt einen Verdichtungsstoß (irreversibel), liegt der Gegendruck niedriger, erfolgt dort eine ebenfalls irreversilble - Expansion. Adiabate reibungsfreie Strömung eines realen Gases durch eine Düse (Laval-Düse) Aus dem ersten Hauptsatz ergit sich für c 1 =0 und ∆z = 0 lediglich: cx2 0 = hx − h1 + 2 und: cx = 4.3.2 Kräfte durch Strömungen dm c1 Beispiel: Ein Wasserstrahl mit dem Querschnitt A = 0.5 cm² und mit der Geschwindigkeit c1 = 15 m/s trifft auf eine feststehende Schneide gemäß Skizze und wird dort in gleiche Teile geteilt, die ohne Stoß und reibungsfrei im Winkel von 90° abgelenkt werden. Welche Kraft übt er auf die Wand mit der Schneide aus? c2 = c 1 A 2 ⋅ ( h 1 − h x) F dF = dm⋅ dm dt → → dc dF = dm⋅ dt gilt für das Massenteilchen dm in einem Zeitintervall dt der Umlenkung: Dabei ist dF der Kraftvektor, mit dem die Wand auf das Massenteilchen dm wirkt, also hier entgegen der Bewegungsrichtung. Da aus Symmetriegründen hier die Summe der Kräfte in y-Richtung null ist, gilt: x mit F = m⋅ a Mit dem Newtons'chen Gesetz: =m dc1 x dt oder dF = dm dt ⋅ dc1 x (konstanter Massenstrom mit m = ρ*c1*A ) wird daraus integriert für die gesamte Umlenkung: F = Fx = m⋅ ( c2x − c1x) und mit c2 = 0 x F = −m⋅ c1 Die Strömung dagegen wirkt auf die Wand mit der entgengerichteten gleich großen Reaktionskraft, die Impulskraft genannt wird. 31 FI = m⋅ c (In der Mechanik wird das Produkt aus Kraft und dem Zeitintervall, in dem die Kraft wirkt, F*∆t = m*c, als Impuls bezeichnet) Allgemein gilt beim ruhenden durchströmten System für die Summe aller n Impulskräfte, mit der die Teilströme auf die Umgebung wirken: n → FI = ∑ i= 1 → m ⋅c i i Die im betrachteten Beipiel auf die Wand wirkende Kraft ist mt: A1 := 5cm m := ρ ⋅ c1⋅ A1 FI := m⋅ c1 In den Kontrollraum einfließende Massentröme positiv, abströmende negativ 2 ρ := 1 kg l c1 := 5 m s FI = 12.5 N Aufgabe A 4.18 Kräfte an einem Rohrkrümmer In einem Rohr mit einem lichten Durchmesser von 150 mm herrscht ein Überdruck gegenüber der Atmosphäre von 6 bar. in dem Rohr strömt Wasser mit einer Geschwindigkeit von 5m/s. Welche Einzelkräfte wirken auf einen 90-Grad-Krümmer und welche Gesamtkraft (Richtung und Betrag) (Die Gewichtskräfte sollen vernachlässigt werden) c2 F A2 p1= p i pU p2= pi c1 A1 Lösung S. a44 Aufgabe A 4.19 Kräfte an einem Rohrkrümmer (Variante zu A4.18) A1 c1 β p1 A2 p2 c2 Ein Rohrkrümmer gemäß Skizze mit einer Umlenkung von β = 30 Grad, der mit Wasser reibungsfrei durchströmt wird, hat am Eintritt einen lichten Durchmesser von d 1 = 150 mm. Eintrittsgeschwindigkeit ist c 1 = 3 m/s . Am Austritt ist der Durchmesser d2 = 70 mm und der Druck 2bar a) mit welcher Geschwindigkeit tritt das Wasser aus? b) Welcher Druck herrscht am Eintritt c) welche Kraft wirkt auf die den Krümmer? Lösung S. a45 Aufgabe A 4.20 Impulskraft eines Wasserstrahles A2 c1 c2 α A1 A3 c3 Ein Wasserstrahl mit einem Querschnitt A1 trifft auf eine feststehende Wand mit einer Geschwindigkeit von c1 = 5 m/s (zweidimensionale Strömung, d.h. keine Komponente senkrecht zur Zeichenebene). Der Strahl teilt sich reibungsfrei. a) mit welcher Geschwindigkeit und welchen Anteilen am Gesamtstrom fließen die Teilströme ab ? b) welche Kraft wirkt auf die Wand (Betrag und Richtung?) Lösung S. a46 32 Aufgabe A 4.21 Haltekraft an einem Wasserschlauch A1 p1 Ein Wasserschlauch hat einen lichten Durchmesser von d 1 = 2 cm und wird mit einer Geschwindigkeit von c 1 = 1m/s durchströmt. Am Ende des Schlauches befindet sich eine Düse mit einem Durchmesser von d2 = 6 mm. a) mit welcher Geschwindigkeit tritt der Wasserstrahl aus? b) Welche Kräfte wirken auf den Schlauch? c) welche Kraft auf die den Schlauch haltende Hand? S. a48 A2 c1 c2 p2 4.4 Weitere Beispiele zum Thema Energie B 4.2 Statistische Erfassung von Energieeinsparungen Ineinem Krankenhaus sollen Energiesparmaßnahmen durchgeführt werden. Der Auftragnehmer führt die Arbeiten auf eigene Kosten durch und soll dafür vom Auftraggeber die erzielten Einsparungen über einen Zeitraum von 5 Jahren vergütet bekommen. Hierzu müssen die Einsparungen statistisch ermittelt werden, da die absoluten Verbrauchswerte teilweise witterungsbedingt sind. Ein zunächst unbekannter Anteil des Brennstoffverbrauches ist für die Küche, für Bäder und für die Sterilisation erforderlich. Er kann weitgehend als unabhängig von der Jahreszeit angenommen werden. Der monatliche Gasverbrauch V in m 3/Monat eines Krankenhauses ist für 3 Jahre vor dem Umbau gegeben aus Ablesungen. Vom Wetteramt erhält man die zugehörigen Gradtagszahlen GTZ. Beide Datensätze enthält die Eingabetabelle TAB1. Zur Definition der monatlichen Gradtagszahl: Eine Gradtagszahl von 200 ergibt sich beispielsweise, wenn an 20 Tagen im Monat die Außentemperatur im Schnitt 10°C unterhalb der Norm-Raumtemperatur von 20°C gelegen hat oder wenn an 31 Tagen des Monats die mittlere Temperatur außen um 6,452 Grad niedriger war ( 31 * 6,452 = 200 ). Da Die Transmissions- und Lüftungsverluste nahezu linear mit der Temperaturdifferenz ansteigen, ist die GTZ ein Maß für den relativen Energieeinsatz. Für das erste Jahr nach dem Umbau ergibt sich die Tabelle TAB2 TAB 1 GTZ1 525 560 485 256 121 96 86 97 230 351 579 493 TAB 2 V1 GTZ2 122900 104400 89680 68210 48840 49970 55940 49180 62650 69860 115400 101900 488 578 416 324 197 111 5 37 193 371 364 472 V2 111500 109000 94010 81470 52390 54800 41820 49310 57150 79870 82830 100500 GTZ3 V3 GTZ4 V4 577 402 503 340 211 143 11 37 147 203 468 683 106700 87720 114100 70990 64260 51080 50020 50200 52400 65960 89430 126400 719 645 584 321 251 145 67 13 256 312 440 669 119745 107524 113010 68305 70303 50558 48269 39192 53201 59548 74328 99642 Berechnung S. b5 33 5 Entropie und T-s-Diagramm Die Entropie S ist definiert durch: T⋅ dS = dU + p ⋅ dV bzw. T⋅ dS = dQ + dWR ES = 1 und die spezifische Entropie: T⋅ ds = du + p ⋅ dv bzw. T⋅ ds = dq + dwR Es = 1 mit h = u + p⋅ v und d ( p ⋅ v ) = p ⋅ dv + v ⋅ dp gilt auch J K J kg⋅ K T⋅ ds = dh − v ⋅ dp In Aufgabe A 1.2 wurde bereits der Beweis geführt, dass die Entropie eine Zustandsgröße ist. Aus den rechten Gleichungen ergibt sich, dass im T-s-Diagramm die Fläche unter der Zustandsänderungskurve die Summe aus zugeführter Wärme und Reibungsarbeit (allgemeiner: dissipierter Arbeit) darstellt. Eine isentrope Zustandsänderung liegt vor, wenn ds = 0, also dq + dw R = 0 (s konstant) ist. Eine Adiabate (dq = 0) ist daher nur dann auch eine Isentrope, wenn keine Reibungsarbeit zu verrichten ist (dw R = 0). T 1 Die links im T-s-Diagramm dargestellte Zustandsänderung erfolgt mit Entropiezunahme. Die Fläche unter der Kurve stellt die Summe aus zugeführter Wärme und Reibungsarbeit (im System dissipierte Arbeit) dar. Die einzelnen Anteile sind aus dem Diagramm nicht erkennbar. 2 ⌠ q 1_2 + wR1_2 = T ds ⌡ 1 2 2 q12+wR12 ⌠ T ds = 0 ⌡ Für s 1 erhalten wir eine Isentrope. Diese ist aber nur dann eine Adiabate und reversibel, wenn beide Summanden 0 sind. Bild 5.1 Zur Erläuterung des T-s-Diagrammes Anmerkung: obwohl Zustandsverläufe streng genommen nur dann darstellbar sind, wenn es sich um (innerlich reversible) Aneinanderreihungen von Gleichgewichtszuständen handelt (sogenannte quasistatische Zustandsänderungen), kann man auch bei sehr schnell sich ändernden und nicht im Gleichgewicht befindlichen Zuständen (Dissipation) bewusst vereinfachend mit theoretischen Mittelwerten derartige Betrachtungen anstellen. Andernfalls wären z. B. Vergleichsprozesse für schnellaufende Maschinen nicht darstellbar. Aufgabe A 5.1 Berechnung der spezifischen Entropie idealer Gase a) Zeichnen Sie im T-s-Diagramm für Luft die Linien mit konstantem Druck p ! 0.3 1 p := bar 3 10 cpL := 1.004 kJ kg⋅ K RL := 287 J kg⋅ K p 0 := 1.013bar b) Kennzeichnen Sie die zugeführte Wärme für 1 kg von 20°C auf 800°C bei p 1! T0 := 273K Lösung S. a49 34 6 Zustandsgleichungen für ideale (perfekte) Gase Zusammenstellung der Gleichungen für ein spezielles Gas mit den Konstanten R,c p und cv: p ⋅ v = R⋅ T p ⋅ V = m⋅ R⋅ T p ⋅ v mol = M ⋅ R⋅ T = Rmol⋅ T Rmol = M ⋅ R u = cv⋅ t h = u + p⋅ v dh = cp⋅ dT κ= s = cp⋅ ln T − R⋅ ln p p 0 T0 s = cv⋅ ln R = cp − cv T + R⋅ ln v v 0 κ−1 Umkehrfunktionen: T = T0⋅ p0 p v0 T = T0⋅ v cp n= cv s = cp⋅ ln T0 T = t + 273.15K v ⋅e κ−1 ⋅e (κ − n) c n = c v⋅ cn − cv ( 1 − n) + c ⋅ ln p v p0 v0 s κ cn − cp p = p 0⋅ v0 cp v −1 s −κ ⋅e v = v 0⋅ κ s p = p 0⋅ T0 cv T κ−1 − ⋅e T v = v 0⋅ p0 R R ⋅e − s s κ−1 T0 cv p 1 s κ ⋅e cp Die hier zusammengestellten Funktionen sind so nicht aktiv.Damit Mathcad die unterschiedlichen Funktionen erkennt, werden Buchstabenkombinationen mit den Namen der unabhängigen Variablen in alphabetischer Folge an die abhängige Variable zur Bildung des Funktionsnamens angehängt. Die unabhängigen Variablen in der Klammer müssen dann immer in der vorgegebenen Reihenfolge eingegeben werden. Die Gleichungen können erst dann mit dem Definitionsgleichheitszeichen (Doppelpunkt) benutzt werden, wenn die Stoffkonstanten und die Größen im Vergleichszustand (Normzustand) vorher definiert worden sind. Im Folgenden ist dies für Luft durchgeführt. Diese Gleichungen sind damit aktiv. cpL := 1.004 κ := kJ RL := 287.1 kg⋅ K cp J kg⋅ K R := RL cv cvL := cpL − RL cp := cpL cv := cvL R ⋅ T0 v 0 := p0 Für den Normzustand t0 = 0 °C und p 0 = 1.013bar werden meist u und s = 0 gesetzt. Die Abhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten von der Temperatur wird ebenso vernachlässigt, wie der Realgasfaktor (perfektes Gas). ut( t) := cv⋅ t ht( t) := cp⋅ t + p 0⋅ v 0 cn( n ) := cv⋅ κ−1 Tpv( p , v ) := p⋅ v Tps ( p , s) := T0⋅ p 0 R pTv( T , v ) := R⋅ psv( s , v ) := p 0⋅ p v0 T v v vpT( p , T) := R⋅ vps( p , s) := v 0⋅ T p p spv( p , v ) := cp⋅ ln + c ⋅ ln p v v0 p0 v sTv ( T , v ) := cv⋅ ln In dieser Form sind die Gleichungen aktiv, z. B. ist die spezifische Entropie für Luft bei 50 °C und 2,5 bar: ⋅e cp cv 1 κ ⋅e cp ⋅e cv κ psT ( s , T) := p 0⋅ T0 T s + R⋅ ln v v T0 0 T v0 v s κ−1 Tsv ( s , v ) := T0⋅ s ⋅e p0 ( 1 − n) s κ −κ − (κ − n) κ−1 − ⋅e − vsT ( s , T) := v 0⋅ T T0 spT ( p , T) := cp⋅ ln spT ( 2.5bar , Tt ( 100°C) ) = 0.054 1 s R s κ−1 ⋅e R − R⋅ ln p p T0 0 kJ kg⋅ K T 35 6.1 Zustandsänderungen idealer Gase bei konstantem Polytropenexponent Eine Polytrope ist eine Zustandsänderung mit konstanter spezifischer Wärmekapazität, das heißt auch: mit konstantem Polytropenexponent (vergl. Diagramme Bild 6.2 und Bild 6.3 auf S.9) Die Gleichungen lassen sich aus der thermischen Zustandsgleichung und aus dem 1. Hauptsatz herleiten. Für die Berechnung der Prozessgrößen werden die Zustandsänderungen zunächst als innerlich reversibel behandelt (es wird mit den spezifischen Größen gerechnet). Spezielle Zustandsänderungen sind: 1. Isobare, p=const., dp = 0 p = p1 Spezifische Wärmekapazität der Isobare c = cp p ⋅ v = R⋅ T aus T = T0⋅ und aus p p⋅ v und dem Ausgangspunkt 1 κ−1 ⋅e p0 T = p 1⋅ v 1 κ−1 cp p1 T1 = T0⋅ p0 so wie v wird T1 s κ cpL = 1.004 Für Luft ist T = v1 T1 kJ kg⋅ K v = v 1⋅ und s1 κ ⋅e cp wird mit s− s1 p = p1 T = T1⋅ e Isobare Für die Darstellung im Diagramm mit Mathcad wird als Zustandspunkt 2 gewählt: v 2 = 2 v 1 Der Index "p" im Funktionsnamen bedeutet hier: konstantes p. Die weiteren für die Erstellung der Diagramme erforderlichen Rechenschritte sind ausgeblendet. T-s-Diagramm p-v-Diagramm T-v-Diagramm p := p 1 Tv p( v ) := T1⋅ s−s1 Tsp( s) := T1⋅ e cp Als Beispiel wird eine Isobare gewählt mit v v1 p 1 = 2 bar 4 Absolute Temperatur in K 1000 Druck in bar Absolute Temperatur in K 1000 3 500 2 1 0 0 0.5 1 Spez.Entropie in kJ/kg*K 0 0 1 spez. Volumen in m³/kg Volumenänderungsarbeit wV_p_1_2 := −p 1⋅ ( v 2 − v 1) Technische Arbeit wt_p_1_2 := 0J Zugeführte Wärme q zu_p_1_2 := cp⋅ ( T2 − T1) T T1 500 0 0 1 spez. Volumen in m³/kg cp 36 2. Isochore, v = const., dv = 0 v = v1 Spezifische Wärmekapazität der Isochore: c = cv p ⋅ v = R⋅ T aus p⋅ v und dem Ausgangspunkt 0 v0 und aus T = T0⋅ v κ−1 ⋅e T = p 1⋅ v 1 v0 T1 = T0⋅ v1 so wie p wird T1 s cv cvL = 0.717 Für Luft ist κ−1 ⋅e T p1 = T1 kJ kg⋅ K p = p 1⋅ und T T1 s1 cv wird mit s− s1 v = v1 T = T1⋅ e cv Für die Wahl der Funktionsnamen und die Darstellung im Diagramm mit Mathcad vergl. Punkt 1 Isochore T-s-Diagramm p-v-Diagramm p-T-Diagramm v := v 1 pT v( T) := p 1⋅ s−s1 Tsv( s) := T1⋅ e cv (s. Punkt 1) T T1 3 Als Beispiel wird eine Isochore gewählt mit v 1 = 0.6 m kg 4 500 0 0 0.5 1 Spez.Entropie in kJ/kg*K Druck in bar 4 Druck in bar Absolute Temperatur in K 1000 2 0 2 0 0.5 1 spez. Volumen in m³/kg Volumenänderungsarbeit wV_v_1_2 := 0J Technische Arbeit wt_v_1_2 := v 0⋅ ( p 2 − p 1) Zugeführte Wärme q zu_v_1_2 := cv⋅ ( T2 − T1) 0 500 1000 Absolute Temperatur in K 37 3. Isotherme, T = const., dT = 0 T = T1 Spezifische Wärmekapazität der Isotherme ct = ∞ aus p ⋅ v = R⋅ T p⋅ v und dem Ausgangspunkt 0 T und p= (als Grenzwert zu verstehen) p 1⋅ v 1 = p ⋅ v = p 1⋅ v 1 wird T1 p 1⋅ v 1 oder v p= R ⋅ T1 v Für die Wahl der Funktionsnamen und die Darstellung im Diagramm mit Mathcad vergl. Punkt 1 Isotherme T-s-Diagramm T := T1 p-v-Diagramm p 1⋅ v 1 v T1 = 418 K Als Beispiel wird eine Isotherme gewählt mit 600 2 Druck in bar Absolute Temperatur in K pvT( v ) := 400 1 200 0 0 0 0.5 Spez.Entropie in kJ/kg*K 0 0.5 1 1.5 spez. Volumen in m³/kg v Volumenänderungsarbeit ⌠ 2 p 1⋅ v 1 dv wV_T_1_2 := − v ⌡v 1 v2 wV_T_1_2 := −p 1⋅ v 1⋅ ln v1 p Technische Arbeit ⌠ 2 p 1⋅ v 1 dp wt_T_1_2 := p ⌡p 1 p2 wt_T_1_2 := p 0⋅ v 0⋅ ln p1 Wärme: aus dq + dwV = du = cV*dT mit dT = 0 wird dq = - dwV 38 q _T_1_2 := −wV_T_1_2 4. Isentrope, s = const., ds = 0 s = s1 Spezifische Wärmekapazität der Isentrope Aus dq + dwV = du mit dq = 0 p ⋅ v = R⋅ T dT = R = cp − cv R = cv⋅ ( κ − 1 ) cis = 0 p ⋅ dv + v ⋅ dp = R⋅ dT p ⋅ dv + v ⋅ dp R −pdv = cv⋅ p ⋅ dv + v ⋅ dp R cp und der Definition κ= wird daraus −pdv ⋅ ( κ − 1 ) = p ⋅ dv + v ⋅ dp κ ⋅ pdv + vdp = 0 bzw.: wird −pdv = cv⋅ dT wird: Die Variable T muss ersetzt werden: mit dT ≠ 0 mit dq = 0 und cv κ⋅ oder mit Division durch p*v : dv v + dp p =0 Die Gleichung kann integriert werden: dp p = −κ ⋅ dv v ln( p ) = −κ ⋅ ln( v ) Für den Bereich von p1 bis p gilt dann: ( − κ) ln( p ) = ln v ln p = ln v 1 v −κ p oder p1 p1 = v1 v κ κ−1 p als Funktion von T durch Einsetzen der Zustandsgleichung: p p1 = T1⋅ p T⋅ p 1 κ p p 1 1− κ = T1 T κ T T1 T oder : T1 = p p 1 = v1 v κ κ−1 Für die Wahl der Funktionsnamen und die Darstellung im Diagramm mit Mathcad vergl. Punkt 1 Isentrope T-s-Diagramm es := s1 Als Beispiel wird eine Isentrope gewählt mit p-v-Diagramm s1 = 0.232 kJ ⋅ ( kg⋅ K) −1 v1 pvs( v ) := p 1⋅ v κ 39 2.5 2 400 Druck in bar Absolute Temperatur in K 600 1.5 1 200 0.5 n 0 0.5 0 0.5 Spez.Entropie in kJ/kg*K 0 1 0 1 2 spez. Volumen in m³/kg v ⌠ 2 κ v1 wV_s_1_2 := − p 1⋅ dv v ⌡v Volumenänderungsarbeit 1 dq + dwV = du oder über κ−1 κ p2 1 wV_s_1_2 := ⋅ p 1⋅ v 1⋅ − 1 κ−1 p1 oder mit Einsetzen von T in die Zustandsgleichung: Technische Arbeit aus κ ⋅ pdv + vdp = 0 lässt sich wegen dwt = vdp und dwV = -pdv sofort entnehmen: bzw. wt_s_1_2 := κ ⋅ wV_s_1_2 dwt_s = κ ⋅ dwV_s −∞ < cn < ∞ 5. Beliebige Polytrope mit der spezif. Wärmekapazität c = c n = const., Aus dq + dwV = du dq = cn * dt mit Die Variable T muss ersetzt werden (vergl. Isentrope!): mit wV_s_1_2 := cv⋅ ( T2 − T1) dwV = cv⋅ dT mit dq = 0 R = cp − cv cn⋅ dT + −pdv = cv⋅ dT wird: dT = p ⋅ dv + v ⋅ dp R (cn − cv) ⋅ p⋅ dv + v⋅ dp R cp und der Definition κ= wird daraus: n ⋅ pdv + vdp = 0 cv + −pdv = 0 sowie der Definition n= oder mit Division durch p*v n⋅ cn − cp cn − cv dv v + dp p n− 1 somit ergibt sich analog der Isentrope Spezifische Wärmekapazität: p p1 = v1 v n aus T T1 = p p 1 cn − cp cn − cv =n n T T1 = v1 v wird cn = cv⋅ 1 n− 1 (κ − n) ( 1 − n) =0 v v1 = T1 T n− 1 40 Diagramm n = f(cn) Spezif. Wärmekapazität cn in kJ/kg*K 3 2 1 2 1 cn: rote Linie cv: blaue Punkte 0 1 2 3 4 1 Bild 6.1 Zusammenhang zwischen spezifischer Wärmekapazität und Polytropenexponent: 2 Polytropenexponent n Beziehung für das T-s-Diagramm: v1 v n− 1 Beziehung für das p-v-Diagramm: Aus T = T1⋅ und s = cv⋅ ln und aus T⋅ ds = cn⋅ dT mit cn = cn( n ) = cv⋅ v1 v + R⋅ ln v v T 1 1 T n p = p 1⋅ ( κ − n) ( 1 − n) s− s1 cn T = T1⋅ e wird Für die Wahl der Funktionsnamen und die Darstellung im Diagramm mit Mathcad vergl. Punkt 1 Polytrope T-s-Diagramm s−s1 cn( n) Tns ( n , s) := T1⋅ e Als Beispiel wird eine Polytrope gewählt mit p-v-Diagramm n1 = 1.2 2 Druck in bar Absolute Temperatur in K 600 400 200 0 0.2 0 0.2 0.4 Spez.Entropie in kJ/kg*K 0.6 1 0 0 v1 v pnv ( n , v ) := p 1⋅ 1 2 spez. Volumen in m³/kg n 41 v ⌠ 2 n1 v1 wV_n1_1_2 := − p 1⋅ dv v ⌡v Volumenänderungsarbeit 1 dq + dwV = du oder über wV_n1_1_2 := κ−1 n1 − 1 ⋅ cv⋅ ( T2 − T1) dwV = κ−1 n−1 wV_n1_1_2 := oder ⋅ cv⋅ dT R n1 − 1 ⋅ ( T2 − T1) n1− 1 n1 p 2 1 wV_n1_1_2 := ⋅ p 1⋅ v 1⋅ − 1 n1 − 1 p 1 oder mit Einsetzen von T in die Zustandsgleichung: Technische Arbeit: dwV = cv⋅ dT − cn⋅ dT aus n ⋅ pdv + vdp = 0 lässt sich wegen dwt = vdp und dwV = -pdv sofort entnehmen: dwt_n1 = n1⋅ dwV_n wt_n1_1_2 := n1⋅ wV_n1_1_2 bzw. q n1_1_2 := cn( n1) ⋅ ( T2 − T1) zugeführte Wärme Zusammenfassung unter Einbeziehung nicht reversibler Zustandsänderungen für die Behandlung mit Mathcad Im Folgenden wird als Ausgangspunkt 1 ein beliebiger vorgegebener Zustand gewählt, und die oben behandelten Spezialfälle werden alle als Polytropen mit jeweils kontantem Polytropenexponent betrachtet. Es werden wiederum die Stoffdaten für Luft gewählt. Ausgangszustand sei Punkt 1 mit Punkt 1 3 p 1 = 1 bar v 1 = 1.436 m kg s1 = 0.611 Polytropengleichungen allgemein: Die Zustandsgrößen, v 1,, p 1 und T1 müssen vor Verwendung dieser Gleichungen immer oberhalb zahlenmäßig definiert werden. kJ u 1 = 162.629 kg⋅ K v1 v kJ h 1 = 306.179 kg pnv ( n , v ) := p 1⋅ Tns ( n , s) := T1⋅ e p1 vnp ( n , p ) := v 1⋅ p Für die Summe aus Wärme und Reibungsarbeit gilt: n Tnp( n , p ) := T1⋅ p 1 cn( n) 1 v1 Tnv( n , v ) := T1⋅ v kg n− 1 s−s1 n kJ n− 1 cn( n ) := cv⋅ p n κ−n 1−n T ⌠ wR1_2 + q 1_2 = cn⋅ ( T − T1) = T ds ⌡T 1 Für die Arbeit im geschlossenen System und die technische Arbeit gilt gemäß Kap. 4.1 und 4.2: p 2 w1_2 = wV1_2 + wR1_2 + ∆ea mit ⌠ wV1_2 = − p dv ⌡ 1 und ⌠ 2 wt1_2 = v dp + wR1_2 + ∆ea ⌡p 1 Anmerkung: Beachten Sie die unterschiedlichen Definitionen für die technische Arbeit in der Literatur (vergl.Kap.4.2) ! Auf die symbolische Berechnung der Integrale wird hier verzichtet, da mit Mathcad die numerische Berechnung jederzeit über die hier angegebenen Funktionen möglich ist. 42 Die Spezialfälle: Isobare n = 0 Isochore n = ∞ 4 n p := 0 n v := 10 Isotherme n = 1 n t := 0.9999 Isentrope n = κ n s := κ − 10 beliebige Polytropen Polytrope 1 Polytrope 2 Polytrope 3 n 1 := 1.2 n 2 := −0.7 n 3 := 0.1 −6 Zur Vermeidung von Singularitäten darf nicht n v = ∞ gesetzt werden , nicht n s = κ und nicht n t = 1 Diagramme Darstellung im p-v-Diagramm ___ Isochore, 4 ___ Isobare, np = 0 ___ Isotherme, nt = 1 ___ Isentrope, ns = 1.4 ___ Polytrope mit n1 = 1.2 3 Druck in bar 4 n v = 1 × 10 ..... Polytrope mit ..... Polytrope mit 2 n 2 = −0.7 n 3 = 0.1 1 0 1 2 3 Spez. Volumen in m³/kg Bild 6.2 Zustandsänderungen idealer Gase im p-v-Diagramm 4 Darstellung im T-S-Diagramm 1000 ___ Isochore, ___ Isobare, np = 0 ___ Isotherme, nt = 1 ___ Isentrope, ns = 1.4 ___ Polytrope mit n1 = 1.2 800 Temperatur in K 4 n v = 1 × 10 600 ..... Polytrope mit ..... Polytrope mit 400 n 2 = −0.7 n 3 = 0.1 200 0.5 0 0.5 Spez. Entropie in kJ / kg*K 1 1.5 Bild 6.3 Zustandsänderungen idealer Gase im T-s-Diagramm 43 Indizes Stoffdaten für verschiedene technisch wichtige Gase Index / Stoff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N2 CO2 O2 SO2 CO H2 Ar Ne H2O He NH3 CH4 Luft R J/kg*K M kg/kmol cp J/kg*K cv J/kg*K k 296,8 188,9 259,8 129,8 296,8 4126,3 208,1 412,0 461,5 2077,1 488,2 518,4 287,2 28,01 44,01 32,00 64,06 28,01 2,015 39,95 20,18 18,02 4,003 17,03 16,04 28,95 1039 816,9 915,0 609,2 1040 14200 520,3 1027 1859 5238 2056 2156 1005 742,2 628,0 655,2 479,4 743,2 10074 312,2 615,0 1397 3161 1568 1638 717,8 1,400 1,301 1,397 1,271 1,399 1,410 1,667 1,670 1,330 1,657 1,311 1,317 1,400 Molare Gaskonstante: Rmol := 8.3145 J mol⋅ K R := Rmol Tabelle 6.1 Stoffwerte einiger technisch wichtiger Gase (Idealgaszustand) bei 0 °C Matrix Beispiele: (Der Vektorindex muss mit den Tasten "Alt Gr" + "8" geschrieben werden) RCO2 := R RCO2 = 188.9 J ( kg⋅ K) 2 κ Ar := κ 7 −1 oder: R CO 2 = 188.923 J kg⋅ K (CO2 alsVektorindex) κ Ar = 1.667 cvH2 := cv cvH2 = 10.07 6 kJ kg⋅ K Achtung bei H 2O: Verwenden Sie die Daten für H2O nur für die dampfförmige Phase und sicherheitshalber nur unterhalb eines Wasserdampf-Partialdruckes von 0.9bar! Für die Berechnung der Wasserdampfenthalpie gilt dann angenähert: ht( t) := cp ⋅ t + 2501 9 kJ kg da die Enthalpie (genau genommen: die innere Energie) für flüssiges Wasser im Tripelpunkt = 0 gesetzt wird, ist also hier die Verdampfungsenthalpie hinzuzuaddieren ist (vergl. Kap. 13) Aufgabe A 6.1 Zustands- und Prozessgrößen von Luft bei unterschiedlichen Prozessen 3 Eine Luftmenge von 10 m bei 25 °C und 0,1 bar Überdruck gegenüber der Atmosphäre mit 750 Torr soll auf 3 bar Überdruck verdichtet werden. Bestimmen Sie für den Fall des reibungsfreien quasistatischen Vorgangs die Zustandsgrößen (v, p, T, s), sowie die Prozessgrößen ( WV, Wt und Q), wenn die Verdichtung a) isochor b) isotherm c) isentrop d) polytrop mit n = 1,2 erfolgt! Zeichnen Sie die Verläufe der Zustände im p-v-Diagramm und T-s-Diagramm! Lösung S. a51 44 Aufgabe A 6.2 Schnellabschaltung eines Siedewasserreaktors durch Druckspeicher Die Schnellabschaltanlage für den Steuerstab S eines Siedewasserreaktors ist in nebenstehender Skizze dargestellt. Wie weit darf durch einen Fehler in der Druckhaltung der Wasservorlage (z. B. beim Ausfall der Pumpe P) der Druck in dem mit Stickstoff gefüllten Speicher D langsam absinken, wenn die Möglichkeit, den Stab durch Öffnen der Armatur A und Expansion des Stickstoffes im Speicher einzuschießen, auf jeden Fall gewährleistet sein muss? (Verlust von N2 soll auf jeden Fall ausgeschlossen werden. Der Einschießvorgang dauert etwa 0,3 Sekunden. Der unter dem Kolben K vorhandene Mindest-Überdruck durch das Gewicht des Stabes beträgt 5 bar. Stickstoff soll annähernd als ideales Gas betrachtet werden. Alle Vorgänge sollen auch als reibungsfrei behandelt werden. Für die Zustandsänderung des Stickstoffes sind sinnvolle Annahmen zu treffen). 70 bar S D N2 50 Liter 130 bar H2O 30 Liter K Hubraum 15 Liter A P Aufgabe A 6.3 Aufladen eines Autoreifens R DB VH Lösung S. a56 Störung des thermodynamischen Gleichgewichts Ein mit Luft gefüllter wärmedichter Zylinder gemäß Skizze sei durch einen reibungsfrei gleitenden Kolben K abgedichtet. Der Überdruck im Zylinder ergibt sich somit aus dem Gewicht des Kolbens. Legt man vorsichtig auf den Kolben ein zusätzliches Gewicht G und lässt dieses los, besteht kein Gleichgewicht mehr. Beschreiben Sie den Vorgang, der abläuft, wenn G K x H1 a) wirklich keine Reibung im Spiel ist, b) wenn mit geringfügiger Reibung zu rechnen ist! c) Berechnen Sie sowohl den tiefsten Punkt des Kolbens im Falle a und den zugehörigen Zustand der Luft im Zylinder, als auch den Punkt mit Druckausgleich, d) den Ruhezustand im Falle b! Gegeben: D In einem Autoreifen herrscht anfangs ein Druck von p1 = 2 bar bei Umgebungstemperatur t1 = 25 °C . Der Reifen wird aus einem Druckbehälter mit tDB = 25 °C und pDB = 5 bar aufgeladen auf p2 = 2,9 bar. Welche Temperatur stellt sich in dem Reifen ein, unmittelbar nach dem Aufladen, und welcher Druck, wenn sich der Reifen auf Umgebungstemperatur abgekühlt hat? Das Volumen des Reifens soll als konstant angesehen werden. Vergl. auch Aufgabe A 4.13 V Aufgabe A 6.4 Lösung S. a55 Masse des Kolbens mK := 10kg Höhe des Kolbens H1 := 30cm Durchmesser: D := 10cm Außenzustand p U := 1bar Starttemperatur Gewicht G := 500N tU := 20°C t1 := tU Lösung S. a57 45 Aufgabe A 6.5 Berechnung einer Schwingung Ein mit Luft gefüllter wärmedichter Zylinder Z gemäß Skizze sei durch einen reibungsfrei gleitenden Kolben K ideal abgedichtet. Der Kolben ist zunächst durch den Riegel R arretiert Der Druck im Zylinder beträgt 5 bar. Löst man die Arretierung, dehnt sich die Luft aus und der Kolben beginnt zu schwingen. a) An welcher Stelle x 2 erreicht er die größte Geschwindigkeit und wie groß ist diese, wenn keine Reibung im Spiel ist? (Die kinetische Energie der Luft auf beiden Seiten des Kolbens soll vernachlässigt werden). b) an welcher Stelle x3 kommt er zum Stillstand? R K D K Z x1 x2 Lösung S. a61 Aufgabe A 6.6 (Variante zu 6.5) In dem skizzierten adiabaten Zylinder mit reibungsfrei beweglichem, aber ideal abdichtendem Kolben, befindet sich beidseitig des Kolbens eine jeweils konstante Luftmenge mit einer Temperatur von 20 °C im Anfangszustand, jedoch links (System A) mit pA1 und rechts (System B) mit 1 bar. Der Kolben hat eine Masse von mK und ist anfangs arretiert. Löst man die Arretierung, beginnt der Kolben zu schwingen. a) 1. Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit des Kolbens und die zugehörigen Zustandsgrößen (V, p, T) in beiden Systemen, sowie den rechten Totpunkt mit Zustandsgrößen, wenn damit gerechnet werden kann, dass in den kurzen Zeiträumen kein Wärmeaustausch erfolgt! 2. Tragen Sie die Geschwindigkeit des Kolbens über dem Volumen V A auf, und ermitteln Sie darüber den rechten Totpunkt und die Frequenz! b) Ermitteln Sie den Gleichgewichtszustand, wenn infolge geringer Reibung die Schwingung abgeklungen ist und wenn ein Temperaturausgleich über Kolben und Zylinder erfolgen, die eine spezifische Wärmekapazität von 0.47 kJ/kg besitzen! Hier gegeben: D A LA B K Masse des Kolbens mK := 20kg Masse des Zylinders mZ := 25kg Durchmesser D := 12cm LB Lösung S. a63 6.2 Allgemeine Zustandsänderungen idealer Gase Auch wenn reale Gase in vielen Fällen mit ausreichender Genauigkeit als ideal angesehen werden können, dürfen deren Zustandsänderungen nur in begrenzten Bereichen mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten bzw. konstanten Polytropenexponenten berechnet werden. z. B. ist die Temperaturdifferenz zwischen Gas und Zylinderwand eines Verbrennungsmotors beim Einströmen zunächst negativ, das Gas wird erwärmt. Durch den Verdichtungsvorgang steigt die Temperatur des Gases, so dass die Differenz positiv wird und das Gas Wärme abgibt. Der Polytropenexponent ändert sich entsprechend. Solche Vorgänge können in diesem Rahmen nicht behandelt werden (vergl. Vorwort). 46 6.3 Weitere Beispiele und Aufgaben Aufgabe A 6.7 Höhensteuerung eines Luftschiffes Ein Luftschiff mit einem Leergewicht ohne Gasfüllung von G L = 16 kN und einer starren Außenhülle, die ein Volumen von VL = 2000 m3 verdrängt, ist mit Helium gefüllt. Im Innern des Luftschiffes befindet sich ein schlaffer Luftsack, ein sog. Ballonet, der zur Höhensteuerung mit Luft gefüllt werden kann. In Bodennähe kann der Außendruck mit pa = 1 bar und die Außentemperatur mit t a = 20°C angenommen werden. Die Temperaturen im Innern sind gleich der Außentemperatur. a) Bestimmen Sie die maximale Nutzlast GN, die das Luftschiff bei völlig geleertem Ballonet in Bodennähe tragen kann. Der Druck der Helium-Füllung beträgt in diesem Falle 1,1 bar b) Welche Luftmasse muss in das Ballonet gepumpt werden, wenn das Luftschiff unbeladen in Bodennähe schweben soll und welchen Druck erreicht die Füllung dann? c) Welche Arbeit muss die Pumpe für das Füllen mindestens aufbringen? d) Stellen Sie den Vorgang im p-v-Diagramm dar! Lösung S. a67 Aufgabe A 6.8 Zeichnen von Isobaren im T-s-Diagramm Zeichnenn Sie für das als ideal angenommene Gas CO 2 zwei isobare Zustandsänderungen (p 1 = 1 bar und p 2 = 2 bar) maßstäblich in das T-s-Diagramm im Bereich zwischen - 1 kJ/kg*K und +1,5 kJ/kg*K Lösung S. a69 Aufgabe A 6.9 Magdeburger Halbkugeln Der Inhalt der skizzierten Kugel, die aus den beiden dicht aneinandergelegten Magdeburger Halbkugen besteht, soll mit einer Handpumpe auf ein Drittel des Anfangsdruckes von 1 bar reduziert werden. (Der schädliche Raum der Pumpe zwischen Kolben und Ventil bei F Beendigung des Pumpenhubes und der Inhalt des Ventils sei vernachlässigbar). a) Welche Arbeit muss über die Handpumpe aufgebracht werden ? b) Kann der Prozess reversibel geführt werden? c) Wieviel Kolbenhübe sind erforderlich? d) Welche Kraft F wäre erforderlich, um die beiden Halbkugeln auseinanderzuziehen? pa = 1 bar ta = 20 °C D = 15 cm dP = 25 mm lP = 40 cm Tipp zur Lösung: Stellen Sie sich zunächst vor, die Pumpe ist so groß, dass Sie die geforderte Evakuierung in einem Zuge erreichen können und dann den Inhalt der Pumpe nach außen drücken! Skizzieren Sie für diesen Fall qualitativ das p-v-Diagramm und kennzeichnen Sie die der Arbeit entsprechende Fläche Lösung S. a71 47 Aufgabe A 6.10 Gasturbine mit Luft Eine adiabate Gasturbine wird mit Luft betrieben. Die Menge entspricht einem Volumenstrom von stündlich 22000 m 3 im Normzustand. Am Turbineneintritt wird ein Zustand von 14,5 bar bei 920 °C gemessen und am Austritt ein Zustand von 1,05 bar bei 412 °C. a) Berechnen Sie den Polytropenexponent! b) Stellen Sie die Zustandsänderung im p-v-Diagramm und im T-s-Diagramm dar! c) Welche Leistung gibt die Turbine an die Welle ab? d) Welche Leistung ergäbe sich, wenn die (adiabate) Entspannung auf den gleichen Druck p 2 reversibel wäre und welche Temperatur würde dabei erreicht? e) Wie groß ist die dissipierte Leistung (Reibung?) f) Wie hoch ist der Gütegrad der Turbine? Lösung S. a73 Aufgabe A 6.11 Zeichnen von Isochoren im T-s-Diagramm Zeichnen Sie für das als ideal angenommene Gas He je eine isochore Zustandsänderung (v 1 = 5 m3/kg und v2 = 2,5 m3/kg) maßstäblich in das T-s-Diagram im Bereich zwischen - 0 kJ/kg*K und +4 kJ/kg*K Lösung S. a75 48 7 Kreisprozesse, Carnot-Prozess Beispiel eines Kreisprozesses (keine technische Bedeutung) Die nebenstehende Skizze dient der Erläuterung des Prinzips eines Kreisprozesses. Der linke Zylinder wird als Kolbenkompressor betrieben. Er fördert in den oberen Druckspeicher. Die technische Arbeit ist im p-v-Diagramm die blaue Fläche zwischen der Zustandsänderung von 4 nach 1 und der Ordinate. Im rechten Zylinder läuft der Vorgang umgekehrt ab. Es wir in den unteren Druckspeicher ausgeschoben. Wird in beiden Druckspeichen keine Wärme zu- oder abgeführt, muss im p-v-Diagramm die Expansion von 1 nach 4 erfolgen (beide Zylinder müssen dann den gleichen Durchmesser haben). Beide Arbeiten heben sich auf. Erst wenn im oberen Speicher Wärme zugeführt wird, verläuft die Expansion von 2 nach 3. Der rechte Zylinder muss dann einen entsprechend dem größeren Eintrittsvolumen größeren Durchmesser haben. Damit ein geschlossener Kreislauf entsteht, muss im unteren Speicher Wärme abgeführt werden. Die Summe der Arbeiten entspricht nun der von den 4 Zustandspunkten eingegrenzten (schraffierten) Fläche. Es wird jetzt diese Arbeit an die Kurbelwelle abgegeben.Nach dem 1. Hauptsatz muss diese Arbeit gleich der Differenz der beiden Wärmen sein. ∫ dq oder ∫ + p1 2 1 m p2 4 3 q2_3 p1 v 1 v2 2 1 = 0 dw ∑ q = −w q1_2 Kr 4 p2 3 v3 v4 Allgemein Ein Kreisprozess ist eine Folge von Zustandsänderungen, an deren Ende der Ausgangszustand wieder erreicht wird. Dabei ist die Summe der Wärmen ungleich null und die Summe der Arbeiten ungleich null. p Aus der Skizze ist erkenntlich, dass das Integral von vdp von Punkt 1 über Punkt 2 nach Punkt 3 um die vom Kreislauf eingeschlossene Fläche kleiner ist als die Arbeit von 3 über 4 nach 1. Bei der Volumenänderungsarbeit zwischen den Punkten 2 und 4 erhält man dasselbe Ergebnis. 3 4 ∫ pdv = ∫ vdp also 2 mit w t = ∫ vdp + ∫ dwR Wenn der Vorgang reibungsbehaftet ist, ist die technische Arbeit = der Summe aus dem Kreisintegral von vdp und der Reibungsarbeit! 1 v Aus der analogen Darstellung im T-s-Diagramm lässt sich entnehmen: ∫ Tds = ∫ (dq + dw Bild 7.1 Zur Erläuterung des Begriffes "Kreisprozess" R ) Da nach dem Durchlaufen des Kreisprozesses wieder der Ausgangszustand erreicht ist, also keine Änderung der Zustandsgrößen, lautet der 1. Hauptsatz für den Kreisprozess: ∫ dq oder + ∫ dw = 0 ∑ q = −w Kr 49 "Kreisintegral" heißt nichts anderes als Aufsummierung aller differenziellen Beträge dq über den Kreislauf hinweg, d. h. dabei kommt die Differenz der Beträge zwischen zu- und abgeführter Arbeit bzw. zwischen zu- und abgeführter Wärme heraus. q zu −q ab = w Kr Rechtsprozess: Der Prozess wird im Uhrzeigersinn durchlaufen, die Differenz der Wärmebeträge q zu bei höherer Temperatur und q ab bei niedriger Temperatur ist die abgegebene Kreisprozessarbeit (Kraftmaschine) η th = Thermischer Wirkungsgrad: q zu − q ab η th < 1 q zu Linksprozess: Der Prozess wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Kreisprozessarbeit wird zugeführt, und zusammen mit bei niedriger Temperatur aufgenommener Wärme als Wärme bei höherer Temperatur abgegeben. ( Wärmepumpe zum Heizen oder Kühlen) Leistungsziffer der Wärmepumpe zum Heizen: (genutzt wird q ab) εH = Leistungsziffer der Wärmepumpe zum Kühlen: (genutzt wird q zu) εK = q ab q ab − q zu εH > 1 q zu q ab − q zu Anmerkung: In der Energiewirtschaft werden auch Nutzungsgrade und Arbeitsziffern definiert, die die Arbeiten über bestimmte Betriebszeiten (z. B. Tage oder Jahre) ins Verhältnis setzen. Da sie instationären Betrieb mit Teillasten beinhalten, sind die Werte in der Regel kleiner. Stets bilden diese Zahlen das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand. Der Carnot-Prozess T 3 2 TI TII q zu − q ab = wKr p 1 - 2 Isotherme Verdichtung 2 - 3 Isentrope Verdichtung 3 - 4 Isotherme Expansion 4 - 1 Isentrope Expansion 3 4 1 2 4 1 s v Bild 7.2 Der Carnot-Prozess mit einem idealen Gas im T-s-Diagramm und im p-v-Diagramm Es handelt sich hier um einen idealisierten reibungsfreien Prozess mit idealen Gasen. Die Isentropen sind somit hier auch Adiabaten. Der Carnot-Prozess lässt sich theoretisch reversibel führen, das heißt also statt rechts herum im Uhrzeigersinn: 1, 2, 3, 4, 1, auch links herum: 1, 4, 3, 2, 1 Aus dem T-s-Diagramm lässt sich der Wirkungsgrad direkt ablesen: ηC = TI − TII TI Aufgabe A 7.1 Wirkungsgrad und Leistungsziffer in Abhängigkeit von der Temperatur a) Tragen Sie den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses über der Temperatur t I der Wärmezufuhr zwischen Umgebungstemperatur und 1000 °C auf und zwar für die Umgebungstemperatur (für die Wärmeabfuhr) von 0 °C und 30 °C! b) Erstellen Sie ein entsprechendes Diagramm für die Leistungsziffer der Wärmepumpe zum Heizen bei einer Umgebungstemperatur (Wärmezufuhr) von jeweils 0°C und -15°C und einer Temperatur der Lösung S. a77 Wärmeabgabe zwischen 25 °C und 90 °C! 50 8 Der Zweite Hauptsatz Wärme fließt niemals von selbst von "Kalt" nach "Warm" ( Aussage von Clausius 1865, salopp ausgedrückt) Daraus ergeben sich die in der Technik weiteren wichtigen Aussagen des 2. Hauptsatzes: 1. Wärme lässt sich - in einem periodischen Prozess - nicht restlos in mechanische Energie umwandeln. 2. Es gibt keinen Kreisprozess mit einem höheren Wirkungsgrad als dem Carnot-Wirkungsgrad für gleiche Temperaturen* der Wärmezu- und -abfuhr. 3. Alle reversiblen Prozesse mit gleichen Temperaturen* der Wärmezu- und -abfuhr haben den gleichen Wirkungsgrad bzw. die gleiche Leistungsziffer. 4. Alle realen Prozesse zwischen gleichen Temperaturen* haben geringere Wirkungsgrade bzw. geringere Leistungsziffern. 5. In einem adiabaten System kann die Entropie nicht abnehmen. * Mittlere Temperatur der Wärmeübertragung über die Systemgrenze (vergl. Kap. 15) Erläuterungen zum 2. Hauptsatz Beispiele für i rreversible (nicht umkehrbare) Prozesse: Dissipierte mechanische Arbeit Temperaturausgleichsprozess t2>t1 WW Q1_2 Dissipierte elektrische Arbeit W el t1 Drosselprozess p1 p2>p1 Bild 8.1 irreversible Prozesse Die Erfahrung lehrt, dass die skizzierten Prozesse nicht umkehrbar sind. Das System oben links z.B. erwärmt sich durch den von außen angetriebenen Ventilator und der Druck erhöht sich dadurch. Bisher hat man noch nicht beobachten können, dass durch das erwärmte System der Ventilator rückwärts angetrieben werden kann und das System sich dabei wieder abkühlt. Erläuterung zum Begriff der Entropie Der erste Hauptsatz für das geschlossene System wird durch die Gleichung: mit dw = dwV1_2 + dwR und dwV1_2 = −pdv (dwR, die dissipierte Arbeit oder Reibungsarbeit, ist stets > 0) dw + dq = du −pdv + dwR + dq = du => oder dwR + dq = du + pdv dwR = du + pdv Für das adiabate System mit dq = 0 gilt dann Folgende Zustandsänderungen sind im adiabaten System möglich (vergl. Bild 8.2): 1. Die maximale Arbeit kann abgegeben werden, wenn dwR= 0 ist. Der Vorgang ist umkehrbar (vergl. Bild 8.2 ) 2. Bei der adiabaten Drosselung (Überströmprozess, vergl. Bild 8.1) wird keine Energie nach außen abgegeben, also 3. Wird einem System mit starrer Systemgrenze nur Reibungsarbeit zugeführt (Ventilator, Bild 8.1),so ist beschrieben. −pdv = du du = 0 und pdv = 0 und dwR = pdv dwR = du 51 p ⋅ dv > dwR 4. Reale reibungsbehaftete Expansion Eine Zustandsänderung in den schraffierten Bereich hinein ist im adiabaten System nicht möglich und im nicht adiabaten System nur durch Kühlung zu erreichen. Die Summe du+pdv ist ein Maß für die Nichtumkehrbarkeit der Zustandsänderung. Dividiert man diese durch die ebenfalls immer positive Größe T, so erhält man das Differenzial der Zustandsgröße s, die man als spezifische Entropie bezeichnet. u 3 A du < 0 2 Definition 4 du + pdv bzw. T Somit gilt für die extensive Größe Entropie: 1 v Bild 8.2 mögliche Prozesse im adiabaten System mit T⋅ ds = du + p ⋅ dv (Gl. 8.1) T⋅ dS = dU + p ⋅ dV (Gl. 8.2) dwR + dq = du + pdv T⋅ dS = dQ + dWR (Gl. 8.3) bzw. T⋅ ds = dq + dwR (Gl. 8.4) gilt auch T⋅ ds = dh − v ⋅ dp (Gl. 8.5) lässt sich dann für das nicht adiabate System schreiben: mit h = u + p ⋅ vund d ( p ⋅ v ) = p ⋅ dv + v ⋅ dp ds = (vergl. auch Kapitel 5!) Beispiel für einen reversiblen (umkehrbaren) Prozess: Der Kolben und die Masse m sind je mit einem Faden verbunden, der über eine Rolle läuft. Die Masse hat über die Kurvenscheibe jedoch unterschiedliche Hebelarme r R(L) Gleichgewicht für jedes L: m⋅ g ⋅ R( L) = p ( L) ⋅ A⋅ r p(L) R ( L) = m L m p(L) L Bild 8.2 reversibler Prozess p ( L) ⋅ A⋅ r m⋅ g Die Mechanik sei reibungsftei. Je nachdem, ob der Zylinder wärmedurchlässig ist oder nicht, ergibt sich p(L) über die Gleichung der Isotherme oder die Gleichung der Isentrope. Das Hinzufügen oder Entfernen eines beliebig kleinen Zusatzgewichtes ∆m lässt den Vorgang in die eine oder andere Richtung ablaufen. Man hat es hier mit einer Folge von Gleichgewichtszuständen zu tun. Solche Zustandsänderungen nennt man quasistatisch. 52 Aufgabe A 8.1 Aufzeigen eines Widerspruchs zum 2. Hauptsatz Zeigen Sie, dass eine zum 2. Hauptsatz, obigen Aussage 3, gegenteilige Annahme im Widerspruch zur Formulierung des 2. Hauptsatzes in der Aussage von Clausius steht! Aufgabe A 8.2 Lösung S. a78 Entropieproduktion bei Temperaturausgleich Zeigen Sie, dass beim isobaren Vermischen zweier stofflich gleicher Flüssigkeiten unterschiedlicher Temperatur die Entropie insgesamt ansteigt (Die spezifische Wärmekapazität soll als konstant angenommen Lösung S. a79 werden.)! Aufgabe A 8.3 Maximale Leistungsziffer einer Wärmepumpe Ein Gebäudekomplex hat einen Heizbedarf von 100 kW bei einer Vorlauftemperatur von 60 °C (Eintrittstemperatur in die Heizkörper). Eine Firma bietet eine Wärmepumpenanlage an, die dem Grundwasser bei 10°C Wärme entziehen soll und elektrisch mit einer Leistung von 13 kW angetrieben wird. Zeigen Sie, dass Lösung S. a80 das Angebot nicht reell ist! 53 9 Exergie und Anergie, irreversible Prozesse Aufgabe A 9.1 Maximale aus einem Druckspeicher gewinnbare Arbeit In einem Behälter mit einem freien Volumen von 5 m3 ist Pressluft mit 90 °C bei 6 bar gespeichert. Welche Arbeit kann maximal abgegeben werden, wenn man den gesamten Inhalt reversibel auf Umgebungszustand bringt ? a) Es soll keine Nachspeisung in den Behälter erfolgen. b) Es wird von einem Kompressor kontinuierlich nachgespeist, und gesucht ist die Arbeit, die von derselben Luftmenge z. B. in einer Turbine abgegeben werden kann. Lösung S. a81 Exergie ist der Teil der Energie, der sich bei einer vorhandenen Umgebung in eine beliebige andere Energieform umwandeln lässt. Der Teil, der sich nicht umwandeln lässt, heißt Anergie. 9.1 Exergie und Anergie eines geschlossenen Systems (Exergie der inneren Energie) T p v1 1 1 ds=0 TU 2 dT=0 pU 3=U p1*(vU-v1) 2 u1-uU 3=U TU*(sU-s1) v s Bild 9.1 Die Exergie der inneren Energie am Beispiel eines idealen Gases im p-v-Diagramm und T-s-Diagramm Die Diagramme zeigen am Beispiel eines idealen Gas eine reversible Expansion auf Umgebungstemperatur und Umgebungsdruck nacheinander von 1 nach 2 isentrop und von 2 nach U isotherm. Das Gas verrichtet die Volumenänderungsarbeit: ⌠ wV1_U = ⌡ U p dv 1 Davon ist nutzbar, z. B. zum Spannen einer Feder, jedoch nur der Teil dieser Arbeit, dessen Flächenäquivalent oberhalb des Umgebungsdruckes liegt, da die Atmosphäre verdrängt werden muss (Verschiebearbeit p U * (vU-v1)). Es gilt also für die Exergie des geschlossenen Systems exgS mit der inneren Energie u1 bzw.U1: (Die Gleichungen sind stoffunabhängig) exgS = u 1 − u U − TU⋅ ( s1 − sU) − p U⋅ ( v U − v 1) (Gl. 9.1.1) Ex gS = U1 − UU − TU⋅ ( S1 − SU) − p U⋅ ( VU − V1) (Gl. 9.1.2) Äußere Energien sind hinzuzuaddieren! Die spezifische Anergie des geschlossenen Systems ergibt sich somit zu: Aufgabe A 9.2 angS = u 1 − exgS = u U − TU⋅ ( sU − s1) + p U⋅ ( v U − v 1) (Gl. 9.1.3) Exergie in einem Druckbehälter Welche Arbeit ist mindestens erforderlich, um einen Druckbehälter mit einem Inhalt von 10 m 3 mit Pressluft von 10 bar aufzuladen, wenn der Zustand der Atmosphäre mit 1 bar bei 20 °C angegeben ist? Der Behälter war im Ausgangszustand offen und enthielt Luft im Umgebungszustand. Lösung S. a83 54 Aufgabe A 9.3 Exergie in einem evakuierten Behälter (Kondensator) Der Kondensator eines Dampfkraftwerks ist anfangs mit Luft im Umgebungszustand gefüllt. Vor der Inbetriebnahme muss er evakuiert werden. Der Druck bei Inbetriebnahme soll 5 % des Umgebungsdruckes betragen. a) Welche Luftmasse muss abgesaugt werden und wie groß ist die im Behälter verbleibende Luftmenge? b) Welche Arbeit ist mindestens zur Evakuierung erforderlich? Lösung S. a84 9.2 Exergie eines Massenstromes (Exergie der Enthalpie) T Wie im geschlossenen System, kann der Stoffstrom nacheinander reversibel isentrop und isotherm unter Arbeitsabgabe auf den Umgebungszustand gebracht werden. Jetzt ist jedoch auch am Eintritt in das System die Verschiebearbeit zu berücksichtigen. In die Bilanzgleichung wird hier die Enthalpiedifferenz eingesetzt, da in dieser beide Verschiebearbeiten enthalten sind (vergl. 4.2: 1. Hauptsatz für das offene System!). p1 1 Exergie des offenen Systems (oS) Die Gleichungen sind stoffunabhängig TU 2s h1-hU exoS = h 1 − h U − TU⋅ ( s1 − sU) (Gl. 9.2.1) Ex oS = H1 − HU − TU⋅ ( S1 − SU) (Gl. 9.2.2) 2U Äußere Energien sind hinzuzuaddieren! TU*(sU-s1) Somit ist die spezifische Anergie des offenen Systems: anoS = h U − TU⋅ ( sU − s1) s (Gl. 9.2.3) Bild 9.2 Die Exergie der Enthalpie am Beispiel eines idealen Gases im T-s-Diagramm Aufgabe A 9.4 Exergie eines Enthalpiestromes Für eine Gasturbine steht ein Gasstrom von 18 kg/s mit einer Temperatur von 800 °C bei einem Druck von 30 bar zur Verfügung. Welche Leistung könnte maximal bei reversibler Prozessführung erzielt werden, wenn der Umgebungszustand mit 15 °C und 1 bar angegeben ist? Es sollen die Stoffwerte für Luft als ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität verwendet werden. Lösung S. a85 9.3 Exergie der Wärme T 2 T(S) 1 TU S Bei vielen Betrachtungen interessiert nicht der Stoff (und dessen Zustandsgrößen), der die Wärme für den zu betrachtenden Prozess liefert, sondern nur die Temperatur, bei der die Wärme zur Verfügung steht. Diese verändert sich meist während der Wärmeübertragung, z. B. bei einem Rauchgas, das die Wärme auf den Dampfkreislauf überträgt, indem es sich dabei abkühlt. Das nebenstehende T-s-Diagramm bezieht sich auf das wärmeabgebende System, dessen Entropieänderung von 2 nach 1 negativ ist. Die Wärme soll aber einem Kreisprozess reversibel zugeführt werden. Deshalb wird mit vertauschten Indizes und daher positivem ds gerechnet. dS Bild 9.2 Die Exergie der Wärme im T-s-Diagramm Übertragene Wärme bei der Temperatur T(S): dQ = T⋅ dS Davon kann reversibel (z.B. über einen Carnot-Prozess) in Arbeit verwandelt werden: −dW = η C( T) ⋅ dQ = 1 − TU T ⋅ T⋅ dS = ( T − TU) ⋅ dS 55 Das entspricht der Fläche zwischen Temperaturlinie und Umgebungstemperatur im T-S-Diagramm insgesamt: ⌠ W1_2rev = − ⌡ 2 1 Die Exergie der Wärme Ex Q kann somit geschrieben werden mit: TU dQ 1 − T ⌠ Ex Q = Q1_2 − TU⋅ ⌡ 2 1 T dQ = Q1_2 − TU⋅ ( S2 − S1) (Gl. 9.3.1) (Gl. 9.3.2) 1 Damit ist die Anergie der Wärme: AnQ = TU⋅ ( S1 − S2) (Gl. 9.3.3) Achtung: Betrachtet man den Verlauf eines Kreisprozesses im T-s- Diagramm, so ist die Fläche unter dem Verlauf von links nach rechts um die dissipierte Arbeit größer als die reversibel zugeführte Wärme (dq + dw R = T * ds) Aufgabe A 9.5 Exergie beim Heizen Ein Wohngebäude muss bei einer Außentemperatur von 0 °C auf 20 °C beheizt werden. Der erforderliche Wärmebedarf wurde für diese Temperatur mit 15 kW berechnet. a) Welche Antriebsleitung müsste eine Wärmepumpe haben, die das Gebäude reversibel beheizt? b) Wie hoch wäre die Antriebsleistung, wenn die innerlich reversible Wärmepumpe in einen Heizungskreis einspeist, dessen Umlaufwasser sie von 40 °C Rücklauftemperatur auf 55 °C Vorlauftemperatur erwärmen muss? c) Stellen Sie eine Betrachtung an über die exergetischen Wirkungsgrade, wenn eine reale Wärmepumpe im Lösung S. a85 Falle b) eine Leistungsziffer von 4 erreicht! Aufgabe A 9.6 Exergie der Wärme und Carnot-Prozess Zeigen Sie, dass die Exergie aus einem Heißluftstrom bei Umgebungsdruck über eine Folge von Carnot-Prozessen mit abnehmender oberer Prozesstemperatur gewonnen werden kann! Lösung S. a86 9.4 Kraft-Wärme-Kopplung Aus den vorigen Abschnitten und insbesondere auch aus der Aufgabe A 9.5 geht hervor, dass die größten Exergieverluste entstehen, wenn die bei einem Verbrennungsprozess aus der Energie des Brennstoffes (ca. 100 % Exergie) freiwerdende Wärme zum Heizen bei niedrigen Temperaturen verwendet wird, auch wenn z. B. durch Einsatz eines Brennwertkessels die Wärmeverluste gering sind. Da die Heizwärme bei 20 °C Raumtemperatur und 0 °C Außentemperatur (etwa die mittlere Außentemperatur einer Heizperiode) nur noch zu rund 7 % aus Exergie, d. h. also zu 93 % aus Anergie besteht, ist es energetisch weitaus günstiger, diese Heizwärme zu einem möglichst hohen Anteil aus dem unendlich großen Anergievorrat der Umgebung über Wärmepumpen bereitzustellen oder aber durch sogenanntes Auskoppeln von Wärme aus einem Kraftprozess bei der erforderlichen Heiztemperatur. In einem sogenannten Heizkraftwerk braucht man dann nur auf einen geringen Teil der Stromerzeugung aus dem "kalten Ende" der Turbine zu verzichten, wenn man dort den Heizdampf über eine Entnahme abzweigt oder komplett in den sogenannten Heizkondensator (HK) umleitet (vergl. Skizze) Das Beispiel im dargestellten T-s-Diagramm zeigt den Fall, dass etwa 50 % des Niederdruckdampfes zu Heizzwecken entnommen wird. Gewonnene Heizwärme: q heiz , Verlust an Arbeit: w Verl . Das Verhältnis dieser beiden Größen wird als Stromverlustkennziffer bezeichnet. Eine weitere Alternative zum Heizen sind die sogenannten Blockheizkraftwerke (BHKW). Dort treibt ein Verbrennungsmotor einen Generator zur Stromerzeugung und das Motorkühlwasser, der Ölkreislauf und das Abgas beheizen nacheinander den Heizungskreislauf. BHKW eignen sich hervorragend für die dezentrale Versorgung mittlerer Verbraucher, die auch im Sommer Wärme benötigen (z. B. Krankenhäuser). 56 1 T G ND MD E Heiz. Vorl 2 HK Heiz. Rückl. Ko TH TU wverl qheiz Kühlwasser s Bild 9.3 Das Prinzip eines Heizkraftwerkes (Dampfkraftwerk) B 9.1 E 2 qab KoP Beispiel 1 qzu Bild 9.4 T-s-Diagramm zur Wärmeauskopplung aus einem Dampfkraftwerk Reduzierter Energieeinsatz bei Kraft-Wärme-Kopplung Am Beispiel eines mit Dampf arbeitenden Heizkraftwerkes wird die Auswirkung der geringeren Exergieverluste auf den Primärenergiebedarf für die Bereitstellung der Wärme aufgezeigt. Für das reine Kondensationskraftwerk wird der Gesamtwirkungsgrad vorgegeben. Die Untersuchung braucht sich dann nur auf das "kalte Ende" zu erstrecken, wenn die Heiztemperatur und die Temperatur im Kondensator ( oberhalb Umgebungstemperatur) ebenfalls vorgegeben werden. Es wird ebenfalls aufgezeigt, welche Energie im Vergleich zu einem reinen Heizwerk zusätzlich für Berechnung Stromerzeugung aufzubringen ist. und Diagramme S. b12 9.5 Spezielle irreversible Prozesse Alle realen Prozesse sind irreversibel. Folgende Phänomene sind zu nennen: Reibungskräfte, Drosselvorgänge, Unelastischer Stoß, Temperaturausgleichsprozesse. Im Gegensatz zu reversibel übertragener Wärme, wobei die Entropie je nach Flussrichtung über die Systemgrenze zu- oder abnimmt (Entropietransport), wird bei irreversiblen Vorgängen Entropie erzeugt. Dieser Anteil der Entropieänderung ist also stets positiv. Im Folgenden sind einige Beispiele aufgeführt. 9.5.1 Reibungsarbeit bei isothermer Zustandsänderung eines idealen Gases im geschlossenen System Nach dem 1. Hauptsatz gilt dq + dwV + dwR = du für ideale Gase gilt mit dt = 0 auch du = 0 Die über die Systemgrenze transportierte Arbeit ist: T qrev qdiss TU exVerl srev s sirr Bild 9.5 Exergieverlust durch Reibung (Dissipation) Bei Kompression wird der gleiche Energiebetrag als Wärme abgegeben, d. h. der Betrag von wR wird als qirr zusätzlich zum reversiblen Anteil q rev abgegeben. wV + wR = −q q rev = T⋅ ∆srev q irr = T⋅ ∆sirr Der Exergieverlust ist aus dem T-s- Diagramm ablesbar: exV = TU⋅ ∆sirr Anmerkung: Im obigen T-s-Diagramm ist nicht die Zustandsänderung des komprimierten Gases dargestellt. Die schraffierten Flächen können als Wärmen aufgefasst werden, die pro kg Gas vom Kühlmittel mit gleicher Temperatur T aufgenommen werden. 57 9.5.2 Adiabate Drosselung eines idealen Gases im offenen System c1,p1,T1 p1 T c2=c1, p2, T1=T2 1 2 wdiss Bild 9.6 Drosselung eines idealen Gases (Prinzip) Der Querschnitt des Strömungskanals wird so gewählt, dass die Austrittsgeschwindigkeit gleich der Eintrittsgeschwindigkeit ist Nach dem 1. Hauptsatz gilt: p2 dq + dwt = dh + d ( ea) TU exverl ∆sirr Bild 9.6 Drosselung eines idealen Gases - Darstellung im T-s-Diagramm Somit sind gemäß Voraussetzung (keine Wärme, keine Arbeit) alle Terme in dieser Gleichung jeweils für sich = 0. Für ideale Gase gilt dann wegen dh = cp * dT auch dT = 0 und mit dem 2. Hauptsatz gilt: dq + dwdiss = T⋅ ds also wdiss = T1⋅ ( s2 − s1) = T1⋅ ∆sirr Diese Arbeit hätte bei reversibler isothermer Expansion abgegeben werden können. Da sie jedoch im System bleibt, für das Gas mit gleicher Auswirkung wie von außen zugeführte Wärme, verbleibt davon als Exergie nur der Teil, dessen Flächenäquivalent oberhalb der Umgebungstemperatur liegt. Der Flächenanteil unterhalb T U ist wiederum der Exergieverlust. exverl = TU⋅ ∆sirr 58 9.5.3 Adiabate Maschinen Viele Maschinen arbeiten ungekühlt, soweit die Betriebstemperaturen für die Materialien nicht zu hoch werden. Dazu gehören z. B. Verdichter und Dampfturbinen. Die reversible Zustandsänderung ist dann eine Isentrope. In jeder Maschine treten jedoch Reibungskräfte auf, z. B. zwischen Kolben und Zylinderwand oder Drosselvorgänge z. B. an Ventilen und zwischen Schaufel und Gehäuse oder Stoß mit entsprechender Entropieerzeugung. p1 T p2 T 2 1 wdiss 2is p1 wdiss 2is 2 p2 1 TU TU exverl exverl ∆sirr s ∆sirr Bild 9.7 Exergieverlust bei Expansion (links) und Kompression (rechts) in einer Maschine In beidem Fällen gilt analog den vorher getroffenen Aussagen: 2 ⌠ wdiss = T ds ⌡ exverl = TU⋅ ∆sirr 1 Aus dem 1. Hauptsatz mit dq = 0 wird: dwt = dh + d ( ea) wt1_2 = h 2 − h 1 + ∆ea Es wird gegenüber der isentropen Zustandsänderung noch der Gütegrad oder innere Wirkungsgrad definiert: Für die Expansion (T = Turbine) Aufgabe A 9.7 η gT = h1 − h2 h 1 − h 2is für die Verdichtung: η gV = h 2is − h 1 h2 − h1 Exergieverlust in einer Gasturbine In einer Gasturbine entspannen sich stündlich 3000 kg Helium ausgehend von 800 °C und 6 bar auf 1 bar und 608 °C. a) Wie groß ist der Polytropenexponent? b) Wie groß wäre die abgegebene Leistung und der Wärmestrom, wenn die Zustandsänderung innerlich reversibel ablaufen würde? c) Wie groß ist die Leistung, wenn die gleiche Zustandsänderung bei adiabater Entspannung zustande kommt? d) Wie groß sind Reibungsleistung und Gütegrad bei adiabater Entspannung? Helium soll als ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität betrachtet werden. Lösung S. a88 e) Welchen Exergieverlust hat die Turbine bei einer Umgebungstemperatur von 25 °C? 59 Aufgabe A 9.8 Exergieverlust in einem Verdichter mit Kühler Ein gekühlter Verdichter saugt Luft aus der Umgebung mit tU = 25 °C und pU = 1 bar an und verdichtet diese auf p2 = 7,5 bar bei t2 = 147 °C. Die vom Verdichter aufgenommene Arbeit wird dabei zu 10 % zur Überwindung von Reibungskräften benötigt. a) Stellen Sie den Prozess im p-v-Diagramm und im T-s-Diagramm dar (Wie groß ist der Polytropenexponent?) b) Berechnen Sie die spezifischen Prozessgrößen Wärme und Arbeit. c) Wie groß wäre die abgegebene spezifische Arbeit und die Wärme, wenn die Zustandsänderung innerlich reversibel ablaufen würde? Luft soll als ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität betrachtet werden. 9.5.4 Wärmeübertragung T 1ab TMab 2ab Tzu 2zu 1zu Es wird die Wärme Qab = -Qzu vom wärmeabgebenden System mit der mittleren Temperatur TMab auf das wärmeaufnehmende System mit Tzu übertragen (wegen unterschiedlicher Stoffe extensive Größen) ⌠ Qab = ⌡ 2ab ⌠ Qzu = ⌡ Tab dS 1ab Dann ist Sirr Bild 9.8 Exergieverlust bei Wärmeübertragung Aufgabe A 9.9 2zu Tzu dS = Tzu⋅ ∆Szu 1zu ∆Szu = TU Exverl Ex verl Lösung S. a91 Qzu Tzu Die produzierte Entropie ist wegen: ∆Sab<0 und der Exergieverlust und ∆Sab = Qab TMab ∆Sirr = ∆Szu + ∆Sab = Qzu⋅ 1 Tzu − 1 Tab Ex verl = TU⋅ ∆Sirr (vergl. auch Aufgaben A 9.9 und A 8.2) Exergieverlust beim Temperaturausgleich durch Mischen Berechnen Sie den Exergieverlust beim isobaren Vermischen zweier stofflich gleicher Flüssigkeiten unterschiedlicher Temperatur (Die spezifische Wärmekapazität soll als konstant angenommen werden) Lösung S. a93 9.6 Weitere Beispiele und Aufgaben Aufgabe A 9.10 Aufladen eines Pressluftbehälters V S B K Bestimmen Sie a) den Ladedruck des skizzierten Druckbehälters für Druckluft. Der Behälter hat ein Volumen VB = 0,3 m3 . Der Mindestdruck, bei dem der Kompressor wieder anläuft, beträgt pmin = 2,4 bar. Der Kompressor saugt aus der Umgebung mit pU = 1 bar und tU = 20 °C an. Die Temperatur im Behälter sei infolge guten Wärmeaustausches mit der Umgebung konstant tB = 20 °C. An der Verbrauchsstelle hinter dem Reduzierventil V wird ein konstanter Volumenstrom V = 3,1 m3/h bei pV = 2,3 bar und tV = 18 °C entnommen. Die Zeit Z, die zwischen dem Abschalten und Wiedereinschalten des Kompressors vergeht, soll 15 min betragen. b) die mindestens vom Kompressor aufzubringende Arbeit für das Aufladen. Warum ist die tatsächliche Arbeit größer? Lösung S. a94 60 10 Mischungen idealer Gase Die Stoffeigenschaften von Gasmischungen lassen sich aus den Eigenschaften der beteiligten reinen Stoffe berechnen. Dies ist in der Regel bei chemischen Prozessen von Bedeutung. In der technischen Thermodynamik sind insbesondere Rauchgase aus Feuerungen, z. B. im Dampfkessel eines Kraftwerkes, wichtige Wärmeträger. Auch Luft ist ein Gemisch, in erster Linie aus Stickstoff und Sauerstoff. Andere Bestandteile sind in den meisten Fällen zu vernachlässigen. Allerdings spielt der geringe Wasserdampfanteil für das Klima eine lebensnotwendige Rolle. Bei den folgenden Betrachtungen bleibt er unberücksichtigt. Ein Raum gemäß nebenstehender Skizze ist zunächst in zwei Kammern geteilt, in denen sich unterschiedliche Gase, z. B. Sauerstoff und Stickstoff befinden. Temperatur und Druck sei auf beiden Seiten gleich. Das Beispiel mit 2 Komponenten lässt sich auf eine beliebige Anzahl von Komponenten erweitern p , V2, T, p , V1, T, Die Trennwand wird entfernt und beide Gase vermischen sich. Es handelt sich um einen irreversiblen Vorgang. Beide Gase expandieren isotherm von ihrem ursprünglichen Teilvolumen auf das Gesamtvolumen ohne Arbeitsleistung. Statt des Ausgangsdruckes hat jedes Gas jetzt nur noch einen seiner Ausdehnung entsprechenden Partialdruck (Teildruck). Die Summe der Partialdrücke ergibt den Gesamtdruck (= Ausgangsdruck). p1 + p2 , V, T, Bild 10.1 Isotherme Vermischung idealer Gase Gesetz von Dalton: In einer Mischung von Gasen verhält sich jedes Gas so, als ob es den Raum allein einnehmen würde n Es gilt für die Partialdrücke: p1 + p2 = p für die Teilmassen: m1 + m2 = m allgemein: ∑ p= p bei n Komponenten i i= 1 n allgemein: m= ∑ bei n Komponenten m i i= 1 Massenanteil des Stoffes i an der Gesamtmasse: Mengenanteil des Stoffes i an der Gesamtmenge (Teilchenmenge), identisch mit dem Raumanteil entsprechend dem Ausgangsvolumen: n m ξi = i n ψi = ∑ m ξi = 1 i= 1 n V i ψi = und n i ∑ V ψi = 1 i= 1 Die Zustandsgrößen der Mischung werden über die Raumanteile addiert, wenn sie sich auf das Volumen (bzw. Menge) beziehen und über die Massenanteile, wenn sie sich auf die Masse beziehen (spezifische Größen). Andere Größen, wie z. B. Zähigkeit und Wärmeleitfähigkeit lassen sich nicht über diese Mischungsgleichungen berechnen (s. VDI-Wärmeatlas!) Beispiel: für 2 Komponenten: Dichte ρ ρ= spezifisches Volumen v v= Für die molare Masse M ergibt sich ebenso mit m = M*n: M= m = V V m = m1 + V V1 m + n ∑ ( i= 1 m2 V V2 m ) M ⋅ψ i i = = V1⋅ m1 V⋅ V1 V1⋅ m1 m⋅ m1 und mit + + V2⋅ m2 V⋅ V2 V2⋅ m2 m⋅ m2 m = ξ 1⋅ v 1 + ξ 2⋅ v 2 M ⋅n m i = ψ 1⋅ ρ 1 + ψ 2⋅ ρ 2 = i i M⋅ n 61 M der Zusammenhang zwischen Massenund Raumanteilen ξ i = ψ i⋅ n für die Gaskonstante der Mischung: i M ∑ (ξi⋅Ri) RM = i= 1 Beispiel für Luft vereinfacht als Mischung zwischen Sauerstoff und Stickstoff: RO2 := 259.9 J R := RO2 kg⋅ K RN2 := 296.8 und 1 ψ O2 := 0.21 ψ N2 := 0.79 M O2 := 32 M L := ψ O2⋅ M O2 + ψ N2⋅ M N2 ξ O2 := ψ O2⋅ M O2 J R := RN2 2 kg⋅ K kg M N2 := 28 kmol ξ 1 := ξ O2 ML kg kmol ξ N2 := ψ N2⋅ M N2 ML 2 ξ 2 := ξ N2 RL := ∑ (ξi⋅Ri) i= 1 Ergebnisse: ξ O2 = 0.233 M L = 28.84 kg ξ N2 = 0.767 kmol RL = 288 J kg⋅ K Der Wert weicht in erster Linie wegen der vernachlässigten anderen Stoffanteile und geringfügig auch wegen der bei der Angabe der molaren Massen der Komponenten unberücksichtigten geringen Anteile der schwereren Isotope von dem bekannten Wert 287,1 ab. Mischungsentropie und Exergieverlust beim Mischen idealer Gase: Diese Größen spielen nur dann eine Rolle, wenn die Gase nicht beim Beginn eines Prozesses bereits als Gemisch vorliegen. Beim isobaren - bei idealen Gasen = isothermen - Vermischen wird die isotherme Arbeit der Expansion auf den Partialdruck dissipiert. für die Komponente i Wdiss = m ⋅ R ⋅ T⋅ ln i i i = − m ⋅ R ⋅ T⋅ lnψ Gesamt: i i i p i p ( ) n ∑ (mi⋅Ri⋅T⋅ln(ψ i)) Wdiss = − i= 1 Diese Arbeit wäre mindestens zum Entmischen erforderlich Entsprechend die Mischungsentropie: ∆S = Wdiss T n und mit m ⋅ R = n ⋅ Rmol i i i ∆S = −Rmol⋅ ∑ (ni⋅ln(ψ i)) i= 1 n oder nach Erweiterung mit n ∆S = −m⋅ R⋅ ∑ (ψ i⋅ln(ψ i)) i= 1 Aufgabe A 10.1 Berechnung von Stoffwerten für eine Mischung aus verschiedenen idealen Gasen Berechnen Sie für ein Rauchgas mit den Volumenanteilen: CO2 = 12 %, H2O = 4,5 %, SO 2 = 0,15 % , O2 = 6,4 % und N 2 = 82,6 % die Größen R, M, x, cp und cv für die Temperatur 0 °C unter der Annahme, dass die Bestandteile ideale Gase sind! Lösung S. a96 62 11 Spezifische Wärmekapazität idealer Gase In vielen Fällen wird bei der Behandlung idealer Gase mit temperatur unabhängigen Wärmekapazitäten gerechnet, die in der Literatur meist für 0 °C zu finden sind (Tabelle 11.1). Dies ist nur gerechtfertigt, wenn die Temperaturen sich nicht weit vom Nullpunkt der Celsiusskala entfernen oder aber, wenn es um qualitative Berechnungen für prinzipielle Darstellungen geht, bei denen keine numerische Genauigkeit erforderlich ist. Ideale Gase mit konstanter spezifischer Wärmekapazität ( auch "perfekte Gase" genannt) werden z. B. in der technischen Thermodynamik als Arbeitsstoffe für Kreisprozesse verwendet, die man ohne diese Idealisierung mit einfachen Mitteln nicht rechnerisch modellieren könnte. Die Abweichungen vom tatsächlichen Verhalten sind jedoch meist erheblich. Stoffdaten für verschiedene technisch wichtige Gase als ideale Gase, spezifische Wärmekapazitäten und Isentropenexponent für 0°C Index / Stoff R J/kg*K M kg/kmol cp J/kg*K cv J/kg*K k 1 N2 296,8 28,01 1039 742,2 1,400 2 CO2 188,9 44,01 816,9 628,0 1,301 3 O2 259,8 32,00 915,0 655,2 1,397 4 5 6 7 8 9 10 11 SO2 CO H2 Ar Ne H2O He NH3 129,8 296,8 4126 208,1 412,0 461,5 2077 488,2 64,06 28,01 2,015 39,95 20,18 18,02 4,003 17,03 609,2 1040 14200 520,3 1027 1859 5238 2056 479,4 743,2 10074 312,2 615,0 1398 3161 1568 1,271 1,399 1,410 1,667 1,670 1,330 1,657 1,311 12 13 CH4 Luft 518,3 287,2 16,04 28,95 2156 1004 1638 716,8 1,316 1,401 Tabelle 11.1 Stoffwerte idealer Gase, spezifische Wärmekapazitäten und Isentropenexponent bei 0 °C Quelle: Baehr, Thermodynamische Funktionen idealer Gase Molare Gaskonstante: Rmol ≡ 8.314 J mol⋅ K R := Rmol Tabelle 6.1 Stoffwerte einiger technisch wichtiger Gase (Idealgaszustand) bei 0 °C Für genauere Berechnungen finden Sie in der Tabelle 11.2 Mittlere spezifische Wärmekapazitäten in kJ / kg*K zwischen 0 °C und der jeweiligen Temperatur der ansonsten als ideale Gase behandelten Stoffe. Die Tabellierung war in dieser Form erforderlich, weil damit ohne Rechenprogramme eine einfache Bestimmung der Wärmezufuhr zwischen zwei beliebigen Temperaturen möglich wird. Man findet diese Tabelle - mehr oder weniger detailliert - überall in der Fachliteratur. Das Prinzip der Berechnung ist in der Skizze Bild 11.1 dargestellt. cpm cpm cpm 2 t2 0 t ⌠2 q 1_2 = cpm dt = cpm( 0 , t2) ⋅ t2 − cpm( 0 , t1) ⋅ t1 ⌡t 1 1 t1 0 t2 Die zugehörige aktive Gleichung 11.2 finden Sie auf der nächsten Seite als: t1 q p1_2( j , t1 , t2) q1_2 = cp*dt q0_1 t1 Bild 11.1 Zusammenhang zwischen der wahren und der mittlereren spezifischen Wärmekapazität t2 t dabei ist j der dem speziellen Stoff zugehörige Spaltenindex in der Tabelle 11.2 Gl. 11.1 63 t N2 CO 2 O2 SO 2 CO H2 Ar H2O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1.0387 0.8165 0.9148 0.6083 1.0397 14.199 0.5203 1.8584 2 25 1.0387 0.8299 0.9164 0.6153 1.0399 14.259 0.5203 1.8608 3 50 1.0389 0.8429 0.9182 0.6224 1.0403 14.3 0.5203 1.864 4 100 1.0396 0.8677 0.923 0.6365 1.0416 14.359 0.5203 1.8718 5 150 1.0408 0.8907 0.9288 0.6503 1.0435 14.397 0.5203 1.8814 6 200 1.0426 0.9122 0.9354 0.6634 1.0462 14.423 0.5203 1.8924 7 250 1.045 0.9321 0.9425 0.676 1.0496 14.441 0.5203 1.9046 8 300 1.048 0.9509 0.9499 0.6878 1.0537 14.455 0.5203 1.9177 9 350 1.0516 0.9685 0.9574 0.6988 1.0583 14.469 0.5203 1.9316 10 400 1.0556 0.985 0.9649 0.709 1.0634 14.481 0.5203 1.946 11 450 1.0601 1.0005 0.9721 0.7186 1.0688 14.495 0.5203 1.9608 12 500 1.0648 1.0152 0.9792 0.7274 1.0745 14.51 0.5203 1.976 Tabelle 11.2 Mittlere spezifische Wärmekapazität cpm zwischen 0 und t für technisch wichtige Gase, Bereich 0 °C bis 3000 °C (Idealgaszustand) Quelle: Baehr, Thermodynamische Funktionen idealer Gase Zur Einsicht in den unteren Teil der Tabelle diese anklicken und Laufleiste bedienen! Zur Verwendung mit Mathcad werden daraus Funktionen cpm( j , t) und cvm( j , t) gebildet, über die auf die Daten innerhalb des tabellierten Bereiches zugegriffen werden kann (auf der CD sichtbar rechts neben diesem Bereich) Beispiel Stickstoff:(Für andere Stoffe entsprechende Bezeichnung einsetzen!) t1 := 1000°C cpm( N2 , t1) = 1.116 kJ kg⋅ K Mittlere spez.Wärmekapazität in kJ/kg*K Darstellung der mittleren spez. Wärmekapazität von Stickstoff zwischen 0°C unt t im cp -t-Diagramm 1.2 1.15 1.1 1.05 1 0 500 1000 1500 Temperatur in °C 2000 2500 3000 Bild 11.2 Mittlere spezifische Wärmekapazität von Stickstoff in Abhängigkeit von der Temperatur q p1_2( j , t1 , t2) := cpm( j , t2) ⋅ t2 − cpm( j , t1) ⋅ t1 Wärmezufuhr von t1 nach t2 somit ist die mittlere spezifische Wärmekapazität c p für den Bereich zwischen den Temperaturen t 1 und t2 Setzt man im Bezugspunkt t0 = 0 °C die innere Energie des Gases u0 = 0 so gilt (vergl. Kap. 6): Dann ist die Enthalpie (Normzustand t0 = 0 °C und p0 = 1.013 bar): q v1_2( j , t1 , t2) := cvm( j , t2) ⋅ t2 − cvm( j , t1) ⋅ t1 Gl. 11.3 cpm( j , t2) ⋅ t2 − cpm( j , t1) ⋅ t1 Gl. 11.4 cpmm( j , t1 , t2) := bzw cv : mit Gl. 11.2 cvmm( j , t1 , t2) := v 0( j) := R ⋅ T0 j p0 t2 − t1 cvm( j , t2) ⋅ t2 − cvm( j , t1) ⋅ t1 t2 − t1 Gl. 11.5 ut( j , t) := ( cvm( j , t) ) t Gl. 11.7 ht( j , t) := cpm( j , t) ⋅ t + p 0⋅ v 0( j) Gl. 11.8 64 Statt der Ziffer j kann in diese Gleichungen auch das zugehörige chemische Symbol eingesetzt werden. −1 u N2 := ut( N2 , t1) Beispiel für Stickstoff bei t1 = 1000°C: u N2 = 819.2 kJ ⋅ kg h N2 := ht( N2 , t1) t2 := 1500°C MIt −1 h N2 = 1197.1 kJ ⋅ kg cpm := cpmm( N2 , t1 , t2) wird cpm = 1.241 kJ ⋅ ( kg⋅ K) q N2_1_2 := q p1_2( N2 , t1 , t2) −1 q N2_1_2 = 620.7 kJ ⋅ kg Wahre Spezifische Wärmekapazität: Da die mittlere spezifische Wärmekapazität cpm(t) über die wahre spezifische Wärmekapazität c p(t) definiert ist als: ergibt sich umgekehrt die wahre Wärmekapazität bei der Temperatur t aus der mittleren über: bzw. −1 t 1 ⌠ cpm( t) = ⋅ t ⌡ c p( t ) d t 0°C cp( j , t) := d (cpm( j , t) ⋅ t) dt cp( N2 , t1) = 1.211 cv( j , t) := cp( j , t) − R j cv( N2 , t1) = 0.914 c p( j , t ) Wahrer Isentropenexponent κ w( j , t) := Mittlerer Isentropenexponent zwischen t1 und t2 κ m( j , t1 , t2) := c v( j , t ) cpmm( j , t1 , t2) cpmm( j , t1 , t2) − R j kJ kg⋅ K kJ kg⋅ K Gl. 11.9 Gl. 11.10 κ w( N2 , t1) = 1.325 Gl. 11.11 κ m( N2 , t1 , t2) = 1.314 Gl. 11.12 κ m( N2 , 0°C , 10°C) = 1.4 Wahre spez. Wärmekapazität in kJ/kg*K Darstellung der wahren spez. Wärmekapazität von Stickstoff im c p -t-Diagramm 1.4 Bild 11.3 Wahre spez. Wärmekapazität von Stickstoff in Abhängigkeit von der Temperatur 1.3 Da die Gleichung 11.9 durch durch Differenziation der Spline-Funktion cpm( j , t) (Interpolationsfunktion 1.2 1.1 1 500 1000 1500 2000 Temperatur in °C 2500 3000 für die Tabelle 11.2) gewonnen wurde, ergeben sich geringfügige Fehler, die im wellenförmigen Verlauf der Kurve erkennbar sind. Sie liegen im Bereich von 0.1% und können toleriert werden. Dabei ist insbesondere zu bemerken, dass durch Dissoziation bei Temperaturen oberhalb 1500 °C ohnehin größere Abweichungen auftreten, die in den obigen Tabellenwerten nicht berücksichtigt sind. Wahrer und mttl. Isentropenexponent Isentropenexponent 1.4 _____ mittlerer Exponent ------- wahrer Exponent ___ 1.35 mittlerer Exponent zwischen t1 = 1000°C und t < t1 (als Beispiel zur Gleichung 11.12) 1.3 1.25 1.2 0 1000 2000 Temperatur in °C 3000 Bild 11.3 Wahrer Isentropenexponent bei Temperatur t und mittlere Isentropenexponenten für Stickstoff 65 Es stehen also für die Gase in obiger Tabelle (Stoff j = 1 bis 8 ) folgende Funktionen zur Verfügung: Spezifische innere Energie ut( j , t) Spezifische Enthalpie ht( j , t) mittlere spezifische Wärmekapazität c pm zwischen 0 °C und t cpm( j , t) mittlere spezifische Wärmekapazität c vm zwischen 0 °C und t cvm( j , t) Wahre spezifische Wärmekapazität cp bei t cp( j , t) Wahre spezifische Wärmekapazität cv bei t cv( j , t) mittlere spezifische Wärmekapazität cpmm zwischen t1 und t2 cpmm( j , t1 , t2) mittlere spezifische Wärmekapazität cvmm zwischen t1 und t2 cvmm( j , t1 , t2) Wärmezufuhr von t1 nach t 2 q p1_2( j , t1 , t2) Wahrer Isentropenexponent bei Temperatur t κ w( j , t) mittlerer Isentropenexponent zwischen t1 und t2 Aufgabe A 11.1 κ m( j , t1 , t2) Erwärmung einer Gasmasse Einer CO2-Masse von 1 kg wird ausgehend von 20 °C eine Wärmemenge von 300 kJ zugeführt, wobei sich das Gas ausdehnt und eine Volumenänderungsarbeit von 10.000 mkp abgibt. Wie hoch ist die Endtemperatur des Gases, wenn es sich um ein ideales Gase mit konstanter spezifischen Wärmekapazitäten cp := 0.821 kJ kg⋅ K handelt ? Welche Arbeit wird abgegeben und welche Endtemperatur wird erreicht, wenn die tatsächlichen temperaturabhängigen Wärmekapazitäten aus den Tabellen berücksichtigt werden und die Erwärmung isobar bei 1 bar Absolutdruck erfolgt? Lösung S. a97 66 12 Feuchte Luft Feuchte Luft ist eine Mischung von Luft und Wasser. Da der Wasserdampfpartialdruck in der Umgebung stets unterhalb des Barometerdruckes von etwa 1 bar (in der Regel weit darunter) liegt, kann hier der Wasserdampf als ideales Gas behandelt werden. Der Unterschied zu einer Mischung zwischen Gasen, die sich bei den zu betrachtenden Zuständen nicht verflüssigen, liegt darin, dass der Wasserdampfpartialdruck nicht größer werden kann als der zur jeweiligen Temperatur gehörige Sättigungsdruck des Wasserdampfes. Es kann also stets nur so viel Wasser verdampfen (man spricht hier vom "Verdunsten"), wie der Sättigungsdruck erlaubt. Man spricht dann von gesättigter Luft. Wird eine größere Wassermenge zugemischt, bleibt diese flüssig oder für t < 0 °C fest. Folgende Definitionen werden getroffen: Verhältnis der Wassermasse zur Masse der trockenen Luft: x= mW Partialdruck des Wasserdampfes mL Maximaler Partialdruck des Wasserdampfes bei Lufttemperatur tL (kann auch aus der Tabelle 13.1 abgelesen werden) Relative Luftfeuchtigkeit: φ = pD mit p s( tL) Gaskonstante der Luft: RL = 0.2871 Gaskonstante des Wasserdampfes: RD = 0.4615 spezifische Wärmekapazität des flüssigen Wassers: cW = 4.19 Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 0 °C: r0 = 2501 R D ⋅ TL pD = vD kJ kg⋅ K kJ kg⋅ K kJ kg⋅ K kJ kg pD p Dmax = p s( tL) (D = Wasserdampf ) kJ spezifische Wärmekapazität der Luft: cpL = 1 spezifische Wärmekapazität des Dampfes: cpD = 1.86 spezifische Wärmekapazität des gefrorenen Wassers (Eis): cE = 2.09 Schmelzenthalpie des Wassers bei 0 °C: rSch = 334 kg⋅ K kJ kg⋅ K kJ kg⋅ K kJ kg Die Zustandsgrößen v und h werden in der Regel bezogen auf 1 kg trockene Luft, das heißt auf insgesamt (1 + x) kg. Mit dem Verhältnis der Gaskonstanten von Luft R L und Wasserdampf RWD von 0,622 erhält man folgende Gleichungen für das Massenverhältnis x, das spezifische Volumen v 1_x und die Enthalpie h1_x für den ungesättigten Bereich ( x < x s) : x = 0.622 ⋅ (p ist der messbare Gesamtdruck) v 1_x = TL p φ⋅ p s( tL) p − φ⋅ p s( tL) Gl. 12.1 ⋅ ( 1 + x ⋅ 1.607 ) ⋅ RL Gl. 12.2 h 1_x = cpL⋅ tL + x ⋅ ( tL⋅ cpD + r0) Gl. 12.3 Herleitungen EK12 für den übersättigten Bereich ( x > x s) : für tL > 0°C: h 1_x = cpL⋅ tL + x s⋅ ( tL⋅ cpD + r0) + ( x 1 − x s) ⋅ cW⋅ tL Gl. 12.4 für tL < 0°C: h 1_x = cpL⋅ tL + x s⋅ ( tL⋅ cpD + r0) + ( x 1 − x s) ⋅ ( cE⋅ tL − rSch) Gl. 12.5 mit x s = 0.622 ⋅ p s( tL) p − p s( tL) (aus Gl. 12.1 mit φ = 1 ) Bei 0°C kann sowohl Wassernebel als auch Eisnebel (Schnee, Hagel) oder ein Gemisch mit Eisanteil aE auftreten. Die Beziehung für die Enthalpie lautet dann: h 1_x = x s⋅ r0 − aE⋅ ( x 1 − x s) ⋅ rSch Gl. 12.6 Sollen die spezifischen Größen für 1kg gesamte Masse angegeben werden, so ist durch (1+x) zu dividieren 67 Darstellung der Enthalpie feuchter Luft im ungesättigten und übersättigten Bereich im MOLLIER-h-x-Diagramm s Unge h1,1+x lge Nebe =1 x1*cpD*t1 h1+x t h ereic B r e ättigt biet xs(t1)*cpD*t1 1 t1 2 cpL*t1 (x2-xs(t1))*cpW*t1 0 x2 xs(t1) x1 h1,1+xs(t1) h = x1*r0 0°C 0 Bild 12.1 Erläuterung des h-x-Diagrammes nach Mollier für feuchte Luft im Bereich t > 0°C 0 °C ungesättigt h W as se = sn Ei o rn e eb el cpL*tL be lm m it t it t = = 0° C C 0° xs xs*r0 xs*cpD*tL (x1-xs)*cE*tL (x1-xs)*rSch 1 Bild 12.2 Erläuterung des h-x-Diagrammes nach Mollier für feuchte Luft im Bereich t < 0 °C Die aktiven Funktionen (Zugriff über die Verweisdatei "VD_Flu"), Bezugsgröße 1 kg trockene Luft, d.h. (1 + x) kg gesamt: für den ungesättigten Bereich: Beispiel: xpφt( p , φ , t) xpφt( 1bar , 0.5 , 20°C) = 0.007362 Für alle Bereiche mit t ≠ 0°C vptx( p , t , x ) hpφt( p , φ , t) φptx( p , t , x ) hpφt( 1bar , 0.5 , 20°C) = 38.69 und kJ kg φptx( 1bar , 20°C , 0.00732 ) = 49.7 % hptx( p , t , x ) 3 Beispiel: vptx( 1bar , 20°C , 0.00732 ) = 0.852 m kg hptx( 1bar , 20°C , 0.007362) = 38.69 kJ kg 68 für alle Bereiche feuchter Luft, vptxa( p , t , x , aE) auch für t = 0°C mit Eisanteil aE: hptxa( p , x , t , aE) und Beispiel: Schnee-Regen mit 70% Schnee und 30% fl. Wasser: x SR := 0.01 hptxa( 1bar , 0°C , x SR , 0.7) = 8.124 xpφt( 1bar , 1 , 0°C) = 0.003825 Weitere Beispiele : hptx( 1bar , 15°C , 0.02) = 42.9 kJ hptx( 1bar , −5 °C , 0.02) = −4.77 kg hpφt( 2bar , 1 , 15°C) = 28.5 kg kJ kg kJ hptxa( 1bar , 0°C , 0.02 , 0 ) = 9.567 kg xpφt( 1bar , 1 , 15°C) = 0.011 hpφt( 1bar , 1 , 15°C) = 42.3 kJ kJ hptxa( 1bar , 0°C , 0.02 , 1 ) = 4.165 kg kJ hpφt( 500hPa , 0.5 , 15°C) = 42.3 kg kJ kg kJ kg Sollen Größen die spezifischen Größen für 1kg gesamte Masse angegeben werden, so ist durch (1+x) zu dividieren Aktives Schiefwinkliges Koordinatensystem (Mollier-h-x-Diagramm) t1 := 40°C t2 := 20°C t3 := 10°C t4 := 0°C t5 := −10°C aE := 0 p := 1barDie Eingaben können hier geändert werden 50 40 30 rot: t1 = 40 °C blau: t2 = 20 °C braun: t3 = 10 °C mag: t4 = 0 °C zya: t5 = −10 °C h in kJ/kgL und t in °C 20 10 0 10 20 30 40 0 0.005 0.01 0.015 x in kgW/kgL 0.02 0.025 Bild 12.3 Das aktive h-x-Diagrammes für feuchte Luft nach Mollier 69 Aufgabe A 12.1 Mischung zweier gesättigter Luftmassen verschiedener Temperatur Zeigen Sie, dass bei der Mischung zweier feuchter Luftmassen der Zustandspunkt der Mischung im Mollier-Diagramm auf der Verbindungsgeraden zwischen den Zustandspunkten der beiden Feuchtluftmengen liegt! Aufgabe A 12.2 Lösung S. a98 Erwärmung feuchter Luft Ein Volumenstrom feuchter Luft von V = 100 m3/h wird von t1 = 10 °C und φ1 = 0,6 bei p = 1 bar auf t2 = 45 °C erwärmt a ) wie groß sind Wassergehalt und Wasserdampfpartialdruck? b ) wie groß sind spezifisches Volumen und Dichte im Ausgangszustand? c ) welcher Wärmestrom wird zugeführt und welche relative Feuchte wird erreicht? d ) Stellen Sie den Vorgang im Mollier-h-x-Diagramm dar! Aufgabe A 12.3 Lösung S. a99 Aufbereitung und Vermischung zweier Feuchtluftströme In einem Industriebetrieb wird ein feuchter gesättigter Luftstrom von V = 6,96 m3/s bei einer Temperatur von t4 = 22 °C benötigt. In einer ersten Mischkammer werden zwei Feuchtluftströme (Strom 1: t1 = 2 °C und φ1 = 0,9 , Strom 2: t2 = 31 °C , x 2 = 0.02 , m2= 3,06 kg/s (feucht) ) zugemischt und gleichzeitig erwärmt, in einer zweiten Mischkammer wird Sattdampf von p = 1 bar zugemischt, womit der erforderliche Zustand 4 erreicht wird. Der ganze Vorgang läuft isobar ab bei p1 = 1 bar . a) Stellen Sie den Vorgang im h-x-Diagramm dar! b) Berechnen alle Stoffströme und für alle Eckpunkte die zugehörigen Zustandsgrößen! Lösung S. a101 c) Welchen Zustand müsste der Luftstrom 1 haben, wenn bei gleichen Luftmengen und gleicher Dampfmenge die Zusatzheizung entfallen könnte? Aufgabe A 12.4 Luftbefeuchtung Eine Klimaanlage soll einen Zuluftstrom von VLzu = 5000 m3/h bei einer Zulufttemperatur von tzu = 20 °C und einer relativen Luftfeuchtigkeit von 50 % liefern. Ansaugzustand von außen ist t1 = 0,1 °C sowie φ1 = 0,8 und p 1 = 1 bar . Die Luft soll so erwärmt und anschließend durch Einsprühen von Wasser mit tW = 10 °C befeuchtet werden, dass der gewünschte Zuluftzustand erreicht wird. Welcher Wasserstrom und welche Heizleistung ist erforderlich? t1 t2 Lösung S. a103 Aufgabe A 12.5 Luftentfeuchtung 3 Die Luft in einem Wohnraum mit einem Volumen von V = 80 V := 80m hat im Ausgangszustand (Bewohner sind anwesend, verbrauchen warmes Wasser zum Kochen, Duschen usw., verdunsten auch aus dem Körper Wasserdampf) bei einer Temperatur von t1 = 20 °C eine relative Feuchte von φ1 = 80 % . Die Bewohner verlassen für längere Zeit den Raum. Die Fensterscheiben erreichen dann auf der Innenseite eine Temperatur von tF = -3 °C (Es handelt sich um ein altes Fenster ohne Isolierverglasung!), während die Heizungsanlage die Temperatur auf konstant t2 = 13 °C hält. Welche relative Feuchte stellt sich ein, wenn sonst keine Wasserquellen vorhanden sind? Welche Wassermasse scheidet sich in Form von Eisblumen am Fenster ab? S. a105 70 Aufgabe A 12.6 Wolkenbildung bei adiabater Strömung Ein feuchter Luftstrom, der vom Mittelmeer mit einem Zustand mit t0 = 30 °C und φ0 = 50% nach Norden ins Land weht, streicht dort ohne Wärmeaustausch mit anderen Luftschichten über die Alpen hinweg. a) In welcher Höhe setzt Wolkenbildung ein (Der Index 0 bezieht sich hier auf die Höhe 0 über dem Meeresspiegel)? b) Welche Temperatur hat die Luft (Fön) im 500m hoch liegenden Tal auf der Nordseite hinter dem Gebirgskamm, wenn auf der Südseite 30% des Wassergehaltes ausgeregnet ist? Fö n z1 z2 Aufgabe A 12.7 Lösung S. a107 Feuchtkugeltemperatur und Psychrometermessung 1. Feuchtkugeltemperatur. Ein Regentropfen bewegt sich auf einer genügend langen Wegstrecke durch eine ungesättigte Luftschicht mit gegebenem Zustand. Welche Temperatur erreicht er dabei? tL = 25 °C und φL = 33,5 % 2. Psychrometermessung: Die Fragestellung bei der Messung der Luftfeuchte ist umgekehrt. Gemessen wird die Temperatur der Luft mit einem trockenen Thermometer und mit einem Thermometer, das mit einem feuchten "Strumpf" versehen ist ("Feuchtkugel"). Die zu messene Luft wird von einem Ventilator an beiden Thermometern vorbei angesaugt. Gegeben sind jetzt die Temperaturen des trockenen Thermometers: ttr = 25 °C und des feuchten Thermometers tf = 16 °C gesucht ist die relative Feuchte φ1 Aufgabe A 12.8 S. a109 Enthalpiestrom eines feuchten Rauchgases Ein feuchtes Rauchgas hat die folgende Zusammensetzung in Raumanteilen: CO 2: 9.486 % H2O: 19.16 % O2: 0.184 % N2: 71.17 % SO2: 0 % . Das Rauchgas hat beim Verlassen der Feuerung bei einem Druck von 1 bar eine Temperatur von 1900 °C und soll in einem Brennwertgerät auf 20 °C abgekühlt werden. Welche Wärmemenge gibt es ab, wenn der Volumenstrom im Normzustand mit 49.26 Kubikmeter pro Stunde anzusetzen ist? Aufgabe A 12.9 Wasserabgabe über Atem Welche Energie und welche Wassermenge führt ein Mensch ohne körperliche Tätigkeit über den Atem ab, wenn er die Umgebungsluft mit einer gegebenen Temperatur und einer gegebenen relativen Luftfeuchte einatmet und mit 35 °C und 95 % relativer Feuchte ausatmet (Luftbedarf: 0,5 m 3/h)? Tragen Sie die Menge über der Umgebungstemperatur im Bereich -20 °C bis +30 °C auf! Aufgabe A 12.10 S. a111 Lösung S. a113 Gebäudekühlung durch Grundwasser In einem zu klimatisierenden Gebäude soll die Innentemperatur 24°C nicht überschreiten. Bei einer Außentemperatur von t a = 35°C wird eine Kühlleistung von 53 kW (Wärmeabfur) erforderlich, um diese Bedingung zu erfüllen. Es steht genügend viel Grundwasser mit einer Temperatur von 10°C zur Verfügung, das in den Frischluftstrom eingesprüht werden kann, der ohnehin zum Auswechseln der Raumluft erforderlich ist (Vor dem Eintritt in den Raum fällt das flüssige Wasser aus.) a) Welchen Zustand kann die Frischluft durch das Einsprühen erreichen? b) Welche Frischluftmenge mit diesem Zustand muss in einer Stunde eingeblasen werden, damit die Kühllast erreicht wird? c) Welcher Luftwechsel ergibt sich dadurch bei einem Gebäudevolumen von 10540 m 3 ? (mit anderen Worten: wie oft in der Stunde wird die im Gebäude vorhandene Luft mit diesem Frischluftstrom ausgewechselt?) d) Welche relative Luftfeuchtigkeit stellt sich dabei ein, wenn sonst kein Wasser zu- oder abgeführt wird? S. a114 71 Aufgabe A 12.11 Verdunstung in einem geschlossenen Behälter Ein Topf mit gegebenen Abmessungen (vergl. Skizze) wird bei Umgebungsdruck mit einem Deckel versehen, dessen Masse ebenfalls bekannt ist. Der Deckel soll allein durch sein Gewicht abdichten. Am Boden des Topfes befindet sich eine geringe Wassermenge (in flüssigem Zustand bei Umgebungstemperatur von 20 °C) wodurch die im Topf befindliche Luft gesättigt ist. a) Auf welche Temperatur muss der Topf erwärmt werden, damit der Deckel gerade abhebt? und welche Wassermenge muss sich im flüssigen Zustand im Topf befinden, damit diese beim Abheben des Deckels gerade restlost verdunstet ist? Deckel mD Gesättigte Luft p1 , t1 , φ1 = 1 Gesättigte Luft p2 , t2 , φ2 = 1 HT Flüssiges Wasser z1 DT Lösung S. a115 72 13 Das Zustandsverhalten reiner Stoffe 13.1 Allgemeines Reine Stoffe haben prinzipiell das Zustandsverhalten gemäß dem räumlichen p-v-t-Diagramm Bild 13.1. Für Arbeitsstoffe in energietechnischen Prozessen ist das Festkörpergebiet nicht interessant. Das Nassdampfgebiet liegt stoffabhängig in unterschiedlichen Temperatur- und Druckbereichen. Stickstoff z. B. hat seinen kritischen Punkt bei ca. -147 °C und 34 bar, Sauerstoff bei ca. -118 °C und 51 bar. Da Luft (Gemisch dieser beiden Stoffe) in den hier betrachteten Prozessen nur bei viel höheren Temperaturen als Arbeitsfluid benutzt wird, wird sie als inertes Gas behandelt, in der Regel - soweit es nur um prinzipielle Darstellungen geht - sogar als ideales Gas, obwohl bei Drücken oberhalb 10 bar beträchtliche Fehler auftreten. Bei vielen energietechnischen Anwendungen spielt der Phasenwechsel eine entscheidende Rolle. Der große Unterschied des spezifischen Volumens zwischen flüssiger und gasförmiger Phase bei entsprechendem Energieumsatz ermöglicht große spezifische Arbeiten bei der Expansion in der Gasphase (Dampfturbine) bei kleinen spezifischen Arbeiten für die Druckerhöhung (Speisepumpe). Große spezifische Kreisprozessarbeiten führen zu kleineren Anlagen mit geringerem Investitionsaufwand. T t vk kritischer Punkt Flüssigkeit e Üb ng zu t i rh Heißdampf de lini Tau lin ie Verdampfung Naßdampf tk e Sie Schmelze p Festkörper Isobare Tripellinie Sublimation v Bild 13.1 Das räumliche p-v-T-Diagramm für reine Stoffe Bei der Stromerzeugung und bei vielen Kühlprozessen werden deshalb Stoffe eingesetzt, die in den dazu erforderlichen Temperaturbereichen verdampfen bzw. kondensieren. Der wichtigste Stoff als Arbeitsstoff (und Wärmeträger) ist das Wasser. Es steht fast überall zur Verfügung und hat je nach Druck seinen Verdampfungspunkt zwischen 0,01 °C und 374 °C. Für den unteren Temperaturbereich der Kraftwerksprozesse wird daher - auch wenn einmal Werkstoffe für wesentlich höhere Temperaturen zur Verfügung stehen sollten, das Wasser (der Wasserdampf) seine Bedeutung behalten. Bei Prozessen mit höheren Temperaturen der Wärmezufuhr (oberhalb ca. 600 °C) kann eine Gasturbine (mit gekühlten Schaufeln) vorgeschaltet werden, bei der ein Wärmeübertrager mit entsprechender Warmfestigkeit nicht erforderlich ist (GuD-Prozess). Anmerkung: Das dargestellte räumliche Diagramm trifft für Wasser im Festkörperbereich nicht zu. Die sogenannte Anomalie des Wassers besteht darin, dass das Volumen von Eis mit abnehmender Temperatur zunimmt (Eis schwimmt auf dem Gewässer, Eis sprengt Wasserleitungen und verursacht Frostaufbrüche in Straßendecken). Auch hat das spezifische Volumen der Flüssigkeit bei 4°C ein Minimum. 73 Bezeichnungen: Größen für die Flüssigkeit im Siedezusand werden mit einem Strich gekennzeichnet: v', m', h' usw. Größen für den Dampf bei Siedtemperatur (Sattdampf) mit zwei Strichen: v'', m'', h'' usw. Das Verhältnis der Dampfmasse zur Flüssigkeitsmasse im Naßdampfbereich ist: x = m'' / m mit m = m' + m'' Die Zustandgrößen im Nassdampfbereich errechnen sich über die Massenanteile mit: v = v' + x ( v'' - v' ) h = h' + x ( h'' - h') usw. 13.2 Das Zustandsverhalten von Wasser Das Zustandsverhalten von Wasser wird durch eine international verbindliche Industrieformulation, die von Zeit zu Zeit auf den neuesten Stand wissenschaftlicher Erkenntnisse gebracht wird (zuletzt im Jahre 1997), beschrieben: Die "IAPWS Industrial Formulation 1997 for the Thermodynamic Properties of Water and Steam", abgekürzt "IF97". Zustandsdaten für flüssiges Wasser und Wasserdampf für Mathcad Standard (Die Daten werden aus Tabellenwerten interpoliert, die unter Verwendung der neuen Formulation IF97 erstellt wurden. Der Zugriff auf diese Tabellen erfordert längere Ladezeiten. Er ergibt sich über den hier einzufügenden Verweis auf die Datei "VD_WasSt" (Menue "Einfügen", "Verweis", "Durchsuchen", Datei "VD_WasSt" anklicken,"Öffnen", "OK"). Sollte eine Einheit nicht verstanden werden, diese (teilweise) löschen und erneut hinschreiben. In der Nähe des kritischen Punktes und an den Phasengrenzen ist mit geringfügigen Ungenauigkeiten zu rechnen. Es können auch Werte ausgegeben werden, die außerhalb der angegebenen Gültigkeitsbereiche liegen. Dabei treten aber eventuell Fehlermeldungen auf. Auf jeden Fall sollte dann und beim Rechnen außerhalb dieser Bereiche das Ergebnis kritisch, z. B. anhand der Wasserdampftafeln oder eines aktiven Diagrammes, überprüft werden. Zustandsdaten für flüssiges Wasser und Wasserdampf für Mathcad Professional Bei Benutzung von Mathcad prof. kann auf die Datei "VD_WasPr" verwiesen werden (kürzere Ladezeit). Eine auf der o. e. Formulation basierende dll-Datei ist beigefügt. Sie muss in das Verzeichnis mathcad/userefi eingebunden werden. Sie wird erst wirksam, wenn Mathcad nachträglich gestartet wird. Auch hier treten Ungenauigkeiten in der Nähe des kritischen Punktes auf (s. o.) Die Verweisdateien können auch zur direkten Einsicht durch Doppelklick auf den Verweis geöffnet werden 13.2.1 Definierte Größen: Kritischer Punkt: pk = 220.64 bar tk = 373.95 °C Tripelpunkt: pTr = 0.0061165 bar tTr = 0.01 °C u´Tr = 0 J kg h´Tr = 0.0006118 kJ kg⋅ K kJ s´Tr = 0 kg⋅ K sk = 4.407 hk = 2084 kJ kg s´´Tr = 9.1555 kJ kg⋅ K kJ kg Anmerkung: Die Temperatur wird immer in °C ausgegeben, auch wenn hinter dem Ergebnis (wegen der obigen Definition) das K erscheint. In den Platzhalter hinter dem Ergebnis muss deshalb "°C" eingesetzt werden. 13.2.2 Näherungsweise Berechnung der Größen für flüssiges Wasser (für "Fußgänger"): vF = 0.001 m3 / kg (bis 50°C) oder für den prorammierbaren Taschenrechner: Kalorische Größen: besser: vF = vt´ ( t) aus der Tabelle 13.1 2 3 −9 t −8 t − 3 m vF ( t) = 3.596 ⋅ 10 ⋅ + 6.342 ⋅ 10 ⋅ + 10 ⋅ °C °C kg cW = 4.186 kJ kg⋅ K uF ( t) = cW⋅ t hF ( p , t) = uF ( t) + p⋅ vF ( t) (bis 225°C) (bis 150°C) 74 Weitere Möglichkeiten zur Bestimmung angenäherter Zustandsgrößen mit einem Überblick über die dabei - abhängig vom jeweiligen Zustand - entstehenden Fehler - finden Sie hier Größen im Nassdampfgebiet errechnen sich mit: vx = v´ + x⋅ ( v´´ − v´) ux = u´ + x⋅ ( u´´ − u´) hx = h´ + x⋅ ( h´´ − h´) sx = s´ + x⋅ ( s´´ − s´) Die ein- und zweigestrichenen Größen für die Taulinie und die Siedelinie können aus der Tabelle 13.1 entnommen oder über die Funktionen für die Phasengrenzen (s.u.) gewonnen werden 13.2.3 Rechenaktive Funktionen (Der erste Buchstabe im Funktionsnamen bezeichnet die zu berechnende Größe (abhängige Variable), die folgenden - außer Indices - die Größen, die vorzugeben sind (unabhängige Variablen) Zustandsgebiet Funktion Gültigkeitsbereich Siedelinie ps ( t) := p´ ( t) tTr < t < tk ts ( p) := t´( p) pTr < p < pk hpt ( p , t) 0.001bar < p < 440bar 0 < t < 700°C ups ( p , s) 0.00612bar < p < 400bar 0 < s < 10Es Flüssigkeit und Heißdampf: hps ( p , s) pus ( u , s) " " 0 < u < 3400Eh " mit Lücken phs ( h , s) 0 < h < 3800Eh vpt ( p , t) 0.001bar < p < 440bar 0 < t < 700°C hst ( s , t) 5 , 6Es < es < 9Es 0 < t < 660°C spt ( p , t) 0.001bar < p < 440bar 0 < t < 700°C shp ( h , p) 0.01bar < p < 600bar 2000Eh < h < 3800Eh " " (guten Schätzwert für die Größe es oberhalb des Verweises auf VD_WasPr vorgeben, s. Beispiel ) upt ( p , t) := hpt ( p , t) − p⋅ vpt ( p , t) s. o. −1 cp ( p , t) := ( hpt ( p , t + 1K) − hpt ( p , t) ) ⋅ K s. o. Die hier angegebenen Gültigkeitsbereiche sind z.T. Anhaltswerte. Einerseits lassen sich die Wertepaare für die Eingabe nicht beliebig aus den angegebenen Bereichen zusammenstellen, andererseits können auch - insbesondere bei der Pr-Version - Ergebnisse für Wertepaare außerhalb der angegebenen Bereiche gefunden werden. Überprüfen Sie gegebenenfalls Ihre Eingaben und die Ergebnisse anhand der unten abgebildeten Diagramme 75 Phasengrenzen: Nassdampfgebiet: 0≤x≤1 vp´ ( p) vp´´ ( p) pTr < p < pk hp´ ( p) hp´´ ( p) pTr < p < pk up´ ( p) up´´ ( p) pTr < p < pk sp´ ( p) sp´´( p) pTr < p < pk ht´ ( t) ht´´ ( t) tTr < t < tk ut´ ( t) ut´´ ( t) tTr < t < tk vt´ ( t) vt´´ ( t) tTr < t < tk st´ ( t) st´´( t) tTr < t < tk hs´ ( s) 0 ≤ s ≤ sk hs´´( s) sk ≤ s ≤ s´´Tr hsat ( s) 0 ≤ s ≤ s´´Tr hps ( p , s) vpx ( p , x) hpx ( p , x) upx ( p , x) spx ( p , x) hst ( s , t) vtx ( t , x) htx ( t , x) utx ( t , x) stx ( t , x) xhp ( h , p) Zur leichteren Handhabung wird noch definiert: vtp ( t , p) := vpt ( p , t) hsp ( s , p) := hps ( p , s) hts ( t , s) := hst ( s , t) htp ( t , p) := hpt ( p , t) stp ( t , p) := spt ( p , t) utp ( t , p) := upt ( p , t) xph ( p , h) := xhp ( h , p) Beispiele 13.2.4 Zustandsdaten im Siedepunkt für flüssiges Wasser und Dampf (Sattdampf), aus obigen Gleichungen berechnet t °C 0,01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ps (t) bar 0,00611 0,00657 0,00706 0,00758 0,00814 0,00873 0,00935 0,0100 0,0107 0,0115 0,0123 0,0131 0,0140 0,0150 0,0160 0,0171 0,0182 0,0194 0,0207 0,0220 0,0234 0,0249 0,0265 0,0281 0,0299 v´ 3 v´´ h´ h´´ u´ u´´ 3 m / kg m / kg kJ / kg kJ / kg kJ / kg kJ / kg 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 206,01 0.00061 2501 0,000 192,46 4,178 2503 4,176 179,78 8,393 2505 8,391 168,03 12,61 2506 12,60 157,14 16,81 2508 16,81 147,03 21,02 2510 21,02 137,65 25,23 2512 25,22 128,94 29,43 2514 29,43 120,85 33,63 2516 33,63 113,32 37,83 2517 37,82 106,32 42,02 2519 42,02 99,80 46,22 2521 46,22 93,73 50,41 2523 50,41 88,08 54,60 2525 54,60 82,80 58,80 2527 58,79 77,89 62,99 2528 62,98 73,30 67,17 2530 67,17 69,01 71,36 2532 71,36 65,01 75,55 2534 75,55 61,26 79,74 2536 79,73 57,76 83,92 2537 83,92 54,49 88,11 2539 88,10 51,42 92,29 2541 92,29 48,55 96,47 2543 96,47 45,86 100,7 2545 100,7 2375 2376 2378 2379 2380 2382 2383 2385 2386 2387 2389 2390 2391 2393 2394 2396 2397 2398 2400 2401 2402 2404 2405 2406 2408 s´ kJ / kg*K 0,000 0,015 0,031 0,046 0,061 0,076 0,091 0,106 0,121 0,136 0,151 0,166 0,181 0,195 0,210 0,224 0,239 0,253 0,268 0,282 0,297 0,311 0,325 0,339 0,353 s´´ kJ / kg*K 9,156 9,129 9,103 9,077 9,051 9,025 8,999 8,974 8,949 8,924 8,900 8,876 8,851 8,828 8,804 8,780 8,757 8,734 8,711 8,689 8,666 8,644 8,622 8,600 8,578 Tabelle 13.1 Zustandsdaten von siedendem Wasser und Sattdampf 76 Fortsetzung der Tabelle bis tkr durch Doppelklick auf die Tabelle einsehbar 13.2.5 Diagramme Die Siedelinie von Wasser 400 Siedetemperatur in °C 300 200 100 0 3 1 .10 0.01 0.1 1 10 100 1 .10 3 Druck in bar Bild 13.2 Siedelinie von Wasser Das t-v-Diagramm von Wasser (die Parameter können Sie hier ändern) p1 := 0.1bar p2 := 10bar p3 := 100bar p4 := 400bar 700 600 Temperatur / °C 500 400 300 200 100 0 4 1 .10 1 .10 3 0.01 0.1 1 Spez. Volumen / m^3/kg 10 100 1 .10 3 77 Bild 13.3 Das t-v-Diagramm von Wasser Das h-s-Diagramm für Wasser (die Parameter können Sie hier ändern) Bereiche p1 := 0.1bar p2 := 10bar p3 := 220.6bar p4 := 400bar x2 := 0.8 x1 := 0.9 t2 := t´( p2) t1 := 500°C 3500 3000 Spez. Enthalpie / kJ/kg 2500 2000 1500 1000 500 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Spez. Entropie / kJ/kg*K Bild 13.4 Das h-s-Diagramm von Wasser Weitere Diagramme finden Sie hier 13.2.6 Aufgaben Aufgabe A 13.1 Beispiel eines Dampfturbinenprozesses mit Entnahme Gegeben ist der Frischdampfzustand vor einer Dampfturbine mit p 1 = 36 bar und t1 = 430 °C , der Druck p2 = 0,15 bar am Austritt aus der Turbine und der Gütegrad der Turbine (innerer Wirkungsgrad) mit ηT = 0.9 a) Stellen Sie den Verlauf der Expansion in der Turbine im h-s-Diagramm dar (Annahme eines linearen Verlaufes)! b) Berechnen Sie die Zustandsgrößen h, s, v und gegebenenfalls x für die beiden Zustände! c) Berechnen Sie die Zustandsgrößen einer Entnahme, wenn an dieser Stelle gerade Sättigungszustand herrschen soll! Aufgabe A 13.1a Einfacher Turbinenprozess 1 T E G 2 Lösung S. a117 Lösung 78 Beispiel B 15.5 Aufgabe A 13.2 Speisewasser Heizung Primärkreis Einfacher Kraftwerksprozess Lösung S. b39 Druckregelung in einem Druckwasserreaktor Der Druckhalter eines Druckwasserreaktors hat ein Volumen von 40m3 Im Ausgangszustand des zu betrachtenden Vorgangs befinden sich darin 25 m 3 flüssigen Wassers im Siedezustand bei 151 bar. Darüber befindet sich Sattdampf. Der Druck soll nun durch Einsprühen von Kondensat mit 120 °C auf 150 bar heruntergeregelt werden. (Falls Druckerhöhung erforderlich wird, tritt die Heizung in Kraft). Welche Wassermenge muss eingesprüht werden? Bemerkung: Zur Vereinfachung kann so gerechnet werden, dass kein Wasser aus dem Primärkreis nachströmt, mit dem der Druckhalter hydraulisch verbunden ist. Lösung S. a120 Aufgabe A 13.3 Bilanz für einen Speisewasser-Mischvorwärmer In einem Speisewasservorwärmer VW einer Kraftwerksanlage wird dem Speisewasserstrom m1 =105 kg/h mit dem Zustand p1 = 6 bar und t 1 = 120 °C über ein Drosselventil D ein Dampfstrom zugemischt. Dieser hat vor der Drossel einen Zustand von p2 = 8 bar bei t2 = 180 °C . Beim isobaren Mischungsvorgang soll der Dampf vollständig kondensieren und der gesamte Speisewasserstrom dabei gerade Siedetemperatur erreichen. Er wird anschließend durch eine Kesselspeisepumpe SP, die einen Gütegrad von ηgSp = 0,73 4 hat, in den Kessel mit p4 = 80 bar gedrückt (Wasser sei inkompressibel). a ) Wie groß ist der erforderliche Dampfmassenstrom? b ) Wie groß ist der Exergieverluststrom infolge des Drosselvorganges? c ) Wie groß ist der Exergieverluststrom des Mischungsvorganges? d ) Welche Leistung hat die Kesselspeisepumpe? Aufgabe A 13.4 2 D 2a SP 3 1 VW Lösung S. a121 Bestimmung der Dampfnässe in einer Leitung In einer Dampfleitung wird eine Temperatur von t1 = 180 °C und als Druck der zu dieser Temperatur gehörige Sättigungsdruck gemessen. Das bedeutet, dass Nassdampf mit unbekanntem Dampfgehalt x 1 vorliegt. Drosselt man den Dampf auf 1 bar herunter, stellt sich eine Temperatur von 120 °C ein. Welchen Zustand hat der Dampf in der Leitung? Lösung S. a125 79 Aufgabe A 13.5 Bilanz für ein kleines Kraftwerk, mit Exergieverlusten Eine kleine Dampfkraftanlage hat einen Dampfdurchsatz von mD=1000 kg/h. Der Frischdampf wird mit einem Zustand von t1 = 350 °C und p1 = 20 bar der Turbine zugeführt, in der die Entspannung auf p2 = 0,1 bar bei einem Gütegrad von ηgT = 0,75 erfolgt. Im Kondensator, der mit Wasser aus der Umgebung mit tU = 15 °C gekühlt wird, kondensiert der Dampf bei konstantem Druck. Anschließend erfolgt das Einspeisen in den Kessel mit Frischdampfdruck über eine Speisepumpe, die einen Gütegrad von ηgSp = 0,6 haben soll. Die isobare Wärmezufuhr im Kessel kommt aus dem Rauchgas, das eine Verbrennungstemperatur von tV = 1600 °C hat und sich bei der Wärmeübertragung auf tab = 100 °C abkühlt. Das Rauchgas soll als eine Mischung mit den Raumanteilen rN2 = 0,79 und rCO2 = 0,21 angesehen werden. Der Druck des Rauchgases soll mit p U = 1 bar angenommen werden. Bestimmen Sie a) qualitativ den Verlauf des Prozesses im p-v-Diagramm und im T-s-Diagramm, b) die Leistung der Kesselspeisepumpe, c) die von der Kraftanlage abgegebene Leistung, d) den Exergieverluststrom in der Turbine, e) den Exergieverluststrom im Kondensator, f) den Exergieverluststrom bei der Wärmeübertragung im Kessel, g) den Exergieverluststrom durch die heißen Abgase im Schornstein! Für das Rauchgas sind in erster Näherung die konstanten spezifischen Wärmekapazitäten für den Normzustand zu verwenden. Sodann ist eine genauere Berechnung über die unten angegebene Entropietabelle aus der Literatur anzustellen (H. D. Baehr: Themodynamik). Tempe- spez. Entropie in kJ/kg*K ratur N2 CO2 0 6,7482 4,784 25 6,8392 4,8566 50 6,9229 4,9256 100 7,0726 5,0538 150 7,2037 5,1716 200 7,3207 5,2806 250 7,4267 5,3823 300 7,5237 5,4776 350 7,6135 5,5674 400 7,6971 5,6523 450 7,7756 5,7329 500 7,8497 5,8096 550 7,9199 5,8828 600 7,9866 5,9527 650 8,0502 6,0197 700 8,11118 6,084 750 8,1694 6,1458 800 8,2254 6,2053 850 8,2793 6,2626 900 8,3313 6,3179 950 8,3814 6,3713 1000 8,4298 6,423 Tabelle 13.2 spezifische Entropie von Stickstoff und Fortsetzung der Tabelle bis 3000°C durch Kohlendioxid für den Idealgaszustand (H.D. Baehr) Doppelklick auf die Tabelle einsehbar Lösung S. a127 80 Aufgabe B 13.6 Kraftwerk mit 3 Entnahmen zur Speisewasservorwärmung Es soll ein vereinfachter* Prozess eines Kondensationskraftwerks mit drei Entnahmen zur Speisewasservorwärmung gemäß dem beigefügten Schaltschema berechnet werden. Vereinfachend soll auch auf die Berücksichtigung der Strömungsdruckverluste verzichtet werden (Diese treten insbesondere im Kessel auf, sind sogar erforderlich, um stabile Strömungsverhältnisse zu gewährleisten). Gegeben sind die Zustandsgrößen p1 = 250 bar t1 = 538 °C p 2 = 30,5 bar t3 = 533 °C p 4 = 0,035 bar, Gütegrade der Turbinenstufen ηHD = 0,87 ηND = 0,9 Gütegrad von Kondensatpumpe und Kesselspeisepumpe ηSP = 0,8 die Wirkungsgrade ηm = 0,99 ηel = 0,99 ηK = 0,9 , sowie die verlangte Netto-Leistung des Kraftwerks Pel = 300 MW Gesucht sind die spezifischen Zustandsgrößen an den Punkten 1 bis 10, die Massenströme und der Wirkungsgrad des Kraftwerks im Vergleich zu einer Anlage ohne Speisewasservorwärmung. *) Die Vereinfachung besteht darin, dass ein modernes Kondensationskraftwerk in der Regel 8 bis 10 Vorwärmstufen besitzt und drei Tubinenstufen. Die Schaltungen sind komplizierter mit getrennten Enthitzern und Kondensatkühlern. Sie entsprechen den jeweiligen unterschiedlichen betrieblichen Anforderungen und stellen einen Kompromiss dar zwischen möglichst geringen Exergieverlusten ( = geringe Brennstoffkosten) einerseits und geringen Investitionskosten andererseits. 1 3 2 4 10 E1 E2 E3 5 9 8 E2' 7 E3' 6 Lösung S. a132 Aufgabe A 13.7 Verdampfung in einem geschlossenen Behälter In einem geschlossenen Druckbehälter mit einem freien Volumen von 1 m3 befindet sich ausschließlich Wasser. Im Ausgangszustand liegen dabei 10 Liter in flüssigem Zustand bei 20 °C vor. Der Rest ist also Wasserdampf. a) Welche Wassermenge befindet sich insgesamt im Behälter? b) Welche Wärmemenge muss zugeführt werden, bis eine Temperatur von 100 °C erreicht wird. Wieviel Wasser verdampft und welcher Druck stellt sich dabei ein? c) Welche Wärmemenge muss zugeführt werden, bis gerade alles Wasser verdampft ist und welcher Druck wird dabei erreicht? Lösung S. a137 d) Stellen Sie den Vorgang im p-v-Diagramm dar! 81 13.3 Andere Stoffe Als Beispiel für ein Gas, das unter normalen und auch unter vom Normalzustand stark abweichenden Bedingungen inert ist, sind die Zustandsdaten für Stickstoff hier verfügbar (Verweisdatei: VD_N2). Stickstoff ist der Hauptbestandteil der Luft mit ca. 79% Volumenanteil. Deshalb können Prozesse, bei denen Luft oder auch Verbrennungsgase mit höheren Drücken und niedrigen Temperaturen auftreten, mit weitaus höherer Genauigkeit mit diesen Zustandsdaten berechnet werden als mit den Gleichungen für ideale Gase. kg Beispiel: p1 := 200bar t1 := −100°C ρ1 := ρpt ( p1 , t1) ρ1 = 464.684 3 m Alternativ kann auch die durch den Realgasfaktor Z aus dem Diagramm Bild 13.5 ergänzte Zustandsgleichung für ideales Gas verwendet werden: p⋅ v = Z ⋅ R⋅ T bzw. Für das Beispiel: Z1 := Z ( ρ1 , t1) v= Z ⋅ R⋅ T p oder ρ= p Z ⋅ R⋅ T Z1 = 0.837 Z1 ⋅ R⋅ Tt ( t1) v1 := p1 v1 = 2.152 × 10 −3 m 3 v1 kg −1 = 464.684 kg m 3 Ein weiteres Diagramm zum Vergleich zwischen dem realen Gas Stickstoff und dem idealen Gas finden Sie in B13_1 und einen Verdichtungprozess mit Zwischenkühlung, gerechnet jeweils mit Luft und Stickstoff als ideale Gase im Vergleich mit dem realen Gas Stickstoff in "Verdichter". Da ebenfalls das Gebiet des unterkritischen Zustandes (t < -146°C) erfasst ist, lassen sich auch Prozesse mit flüssigem Stickstoff bzw. mit Stickstoff im Nassdampfgebiet darstellen (vergl. B15_3 ). Desweiteren sind folgende Kältemittel verfügbar: NH3 , R134a und R152a. Ein Aufgabenbeispiel für einen Kühlprozess finden Sie in A15_4. Für CO2 sind die Daten für den Sättigungszustand vorhanden (vergl. folgende Aufgabe A13_8!). Realgasfaktor Z für Stickstoff Realgasfaktor Z t3 = −100 °C t0 = 0 °C 1.8 t1 = 100 °C 1.6 t2 = 200 °C 1.4 t4 = 1000 °C 1.2 1 0.8 0.6 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Druck in bar Bild 13.5 Realgasfaktor von Stickstoff Der kritische Punkt von Stickstoff liegt bei: pc = 34 bar tc = −147 °C Ein p-v-Diagramm von Stickstoff liegt als jpg-Bild "p-v-N2" im gleichen Verzeichnis (nicht aus Mathcad zu öffnen) 82 Aufgabe A 13.8 Inhalt einer CO 2-Gasflasche Eine Gasflasche enthält CO 2. Die Masse der leeren Flasche wird vom Lieferanten mit 15 kg angegeben und das Füllvolumen mit 13,4 Liter. Beim Wiegen der gefüllten Flasche wird eine Gesamtmasse von 25 kg festgestellt. a) In welchem Zustand befindet sich die Füllung bei einer Umgebungstemperatur von 1. bei 20 °C 2. bei 0 °C und 3. bei 30 °C? b) Welche Zustände liegen bei diesen Temperaturen vor, wenn 1. eine Masse von 5 kg und 2. eine Masse von 9,8 kg entnommen worden ist? c) Welche Temperatur hat ausströmendes Gas, wenn Sattdampf von 20 °C aus der Flasche entweicht? di x Vom Fachverband Kohlensäureindustrie e.V., Koblenz, werden in einer Broschüre vom September 1997 folgende Daten für CO2 angegeben: Krit. Zustand: tk = 31 °C pk = 73,83 bar Tripelpunkt tTr = -56,6 °C p Tr = 5,18 bar Weiterhin enthält die Broschüre u. a. Tabellen für die flüssige und gasförmige Phase im Siedezustand, ebenfalls ein h-p-Diagramm und ein t-s-Diagramm. Ein Auszug aus den Tabellen ist in die beiden Eingabetabellen M1 und M2 (Einsicht durch Anklicken und Scrollen) aufgenommen worden. Um das Erstellen stabiler Interpolationskurven zu ermöglichen, wurden im Bereich des kritischen Punktes einige zusätzliche Werte durch graphische Interpolation gewonnen und dort eingegeben. Temperatur °C Druck bar -100 -90 -80 -78,9 -70 -60 -56,6 0,139 0,372 0,896 0,98 1,98 4,1 5,18 spez. Enthalpie spez. spez. Vol. Fl. spez. Vol. Dampf Enthalpie Fl. 3 3 m /kg Dampf m /kg kJ/kg kJ/kg 1595,2 1582,2 1566,1 1564 1546,1 1521,9 1512,4 0,428 1,087 2,51 2,74 5,39 10,97 13,84 45,55 56,9 68,71 70,05 82,02 99,27 105,55 630,74 637,06 642,63 643,18 646,94 649,21 649,33 Tabelle 13.3 Zustandsgrößen von Kohlendioxid im Mischgebiet gasförmig - fest 83 Temperatur °C Druck bar spez. Vol. Fl. m3/kg spez. Vol. Dampf m3/kg -56,599 -50 -40 -30 -20 -10 0 5 10 15 20 25 27 29 30 30,5 30,8 30,9 31 5,18 6,84 10,05 14,27 19,67 26,47 34,85 39,72 45,06 50,93 57,33 64,32 67,3 70,4 71,92 72,75 73,35 73,57 73,83 1178 1153 1115 1074 1030 980,8 924,8 893,1 858 817,9 770,7 705,8 672 630 596,4 568 540 523 466 13,84 18,1 26,2 37 51,4 70,5 96,3 113 133 158 190,2 240 264 300 334,4 361 388 405 466 spez. spez. Enthalpie Enthalpie Fl. Dampf kJ/kg kJ/kg 301,32 314,05 333,23 352,49 372,33 393,94 418,68 431,66 445,89 460,97 477,3 497,39 505 518 527,12 533 539 543 558,94 649,33 651,34 653,62 655,49 656,36 655,65 653,69 650,84 647,24 641,29 632,63 616,84 608 597 590,13 585 579 574 558,94 Tabelle 13.4 Zustandsgrößen von Kohlendioxid im Mischgebiet gasförmig - flüssig Lösung S. a141 13.4 Weitere Aufgaben und Beispiele Aufgabe A 13.9 Bestimmung des Zustandes im Nassdampfbereich In einer Dampfleitung wird eine Temperatur von 300°C und ein Druck von 85.9 bar gemessen. Um den Dampfzustand zu bestimmen, wird der Leitung ein Teilstrom über eine Drossel entnommen und durch Kühlen kondensiert und in einen offenen Behälter abgeleitet. Die dort innerhalb von 5 Minuten anfallende Kondensatmenge von 22,3 Litern hat eine Temperatur von 50 °C. Der zum Kühlen erforderliche Wasserstrom betrug 3,1 Liter pro Sekunde bei einer Erwärmung um 11 °C. a) Welchen Zustand hat der Dampf in der Leitung? c) Welche Wärme müssen Sie dem Dampf (Ausgangszustand in der Leitung) pro kg zuführen, damit Sie eine Überhitzung von 10°C erreichen? Dampf Drossel mKW Kühlung tKW mKo Kondensat Lösung S. a145 84 Aufgabe A 13.10 Regelung der Heißdampftemperatur in einem Dampfkessel In einen Heißdampfstrom von 1000 to/h wird bei t 1 = 585°C und p 1 = 60 bar zu Regelungszwecken ein Kondenatstrom eingesprüht, damit eine Temperatur von 580°C erreicht wird. a) Welchen Massenstrom müssen Sie zuführen, wenn das Kondensat eine Temperatur von 330°C bei einem Druck von 200 bar hat? b) Wie hoch ist der Exergieverluststrom bei diesem Vorgang? Kondensat K Heißdampf 1 Heißdampf 2 Lösung S. a146 Aufgabe A 13.11 GAU (= größter anzunehmender Unfall) bei einem Druckwasserreakor Es soll der Druck nach einem GAU im Reaktorgebäude eines Kernkraftwerks mit Druckwasserreaktor mit vereinfachten Annahmen bestimmt werden. Der innere Teil des Reaktorgebäudes besteht aus einem kugelförmigen, so genannten Sicherheitsbehälter (containment) aus Stahl. Nach einem GAU schließt das Sicherheitssystem automatisch alle Öffnungen nach außen (Durchdringungsabschluss) und der Behälter muss dem sich dann aufbauenden Druck standhalten. Der Druck soll zunächst ohne Berücksichtigung der Wärmekapazität der festen und flüssigen Inhalte bei alleiniger Vermischung der Wassermassen aus Primär- und Sekundärkreis mit der Gebäudeluft berechnet werden (ungünstigster Fall), sodann nach Temperaturausgleich mit diesen Massen ohne Berücksichtigung der Nachzerfallswärme (es soll angenommen werden, dass eine Notkühlung in Betrieb bleibt). Dampf sekundär fl. Wasser sekundär DE (4X) Beton Eisen Wasser primär Eisen Wasserspeicher z.B. Lagerbecken Reaktor Druckwasserreaktor im Sicherheitsbehälter (Prinzip) Lösung S. a147 85 Aufgabe A 13.12 Bestimmung des Zustandes am Turbinenaustritt NDE P ND G NDA ∆tW Ko mW ∆ mK Im Kondensator einer Dampfkraftanlage wird ein Druck von pK = 0.035 bar gemessen. Der Kondensatmassenstrom am Austritt des Kondensators wird mit mK = 300 Tonnen pro Stunde bestimmt und hat eine Temperatur von tK = 23 °C . Der Durch den Kondensator fließende Kühlwasserstrom von mW = 36400 to/h erwärmt sich im Kondensator um 4,5 °C. a) Welchen Zustand hat der Dampf am Eintritt in den Kondensator? b) Welche Leistung gibt der Dampf in der Niederdruckstufe der Turbine ab, wenn er in diese mit einem Zustand von 1.5 bar bei 220°C eintritt? c) Welchen Gütegrad hat die Niederdruckstufe? d) Stellen Sie die Entspannung in der Niederdruckstufe als Gerade im h-s-Diagramm dar! tK ,p K Lösung S. a151 A13.13 Dampf aus einem Dampfstrahlreiniger Der Kesseldruck eines Dampfstrahlreinigers beträgt pK = 3,5 bar. Dort wird mit einer elektrischen Heizung Pel = 1700 W Sattdampf erzeugt. Der Dampf strömt von dort durch einen Schlauch und eine abschließende Düse in die Umgebung mit pU = 1 bar. a) Welche Temperatur kann der Dampfstrahl am Austritt aus der Düse maximal erreichen und b) welche überschreitet er tatsächlich nicht, wenn er dort bereits als sichtbarer Schwaden austritt? c) Welcher Wasserdampfanteil x ergibt sich, wenn bis zur Düse ein Wärmestrom mit einem Anteil A V = 10% der elektrischen Leistung verloren geht (d.h. hauptsächlich vom Schlauch an die Umgebung übertragen wird) ? d) Wie lange kann der Apparat in einem gechlossenen Raum von V U = 75 m3 betrieben werden, wenn die Luft anfangs eine relative Feuchte von φU = 50% bei einer Temperatur von tU = 20°C besitzt, bis die Luft gesättigt ist, d.h.kein Wasser mehr verdunsten kann, und welche Temperatur wird dann im Raum erreicht? e) In welcher Weise ändert sich das Ergebnis qualitativ durch die Tatsache, dass sich Möbel im Raum befinden und die Wände weder adiabat noch stoffdicht sind (Diffusion)? Lösung S. a155 86 14 Verbrennung 14.1 Stoffbilanzen 14.1.1 Gasförmige Brennstoffe Die Mengenangaben erfolgen in der Regel in der Einheit Kilomol oder in m 3 im Normzustand pro kmol (bzw. m3) Brennstoff. Die chemischen Symbole für die Elemente bzw. Verbindungen sind als Mengenanteile (bei idealen Gasen = Raumanteile) zu verstehen. Index b: Brennstoff (falls erforderlich). Brenngaszusammensetzung für "trockenes" Gas, d. h. ohne H2O CH4 b + C2H2b + C2H4b + C2H6b + C3H8b + C4H10 b ... + C3H6b + C5H12 b + H2Sb + COb + CO2 b + N2b + O2b + H2b =1 Reaktionsgleichungen für vollständige Verbrennung (Beispiel): 2CO + O2 = 2CO2 2kmolCO + 1kmolO2 = 2kmolCO2 3 3 3 2m CO + 1m O2 = 2 m CO2 oder: 3 3 3 3 3 3 bei Annahme von Idealgas 1m CO + 0.5m O2 = 1 m CO2 1m H2 + 0.5m O2 = 1 m H2O entsprechend: 3 3 3 3 1m C3H8 + 5m O2 = 3m CO2 + 4m H2O Die folgende Darstellung wird anhand eines konkreten Beispiels dokumentiert. Sie können daher für Ihre eigenen Anwendungsfälle diese kopieren und mit ihren speziellen Eingaben verwenden. Die Zusammensetzung eines Erdgases ist (ohne Index): Analyse: Probe: CH4 := 82.7⋅ % C3H8 := 0.67⋅ % C5H12 := 0.061 ⋅ % CO2 := 1.19⋅ % C2H2 := 0 ⋅ % C4H10 := 0.232 ⋅ % H2S := 0 ⋅ % N2 := 11.64 ⋅ % C2H4 := 0 ⋅ % C3H6 := 0 ⋅ % H2 := 0 ⋅ % O2 := 0.⋅ % C2H6 := 3.46⋅ % C6H6 := 0.047 ⋅ % CO := 0 ⋅ % H2O := 0 ⋅ % CH4 + C2H2 + C2H4 + C2H6 + C3H8 + C4H10 ... + C3H6 + C5H12 + H2S + CO + CO2 + N2 + O2 + H2O Die Verbrennung soll mit Luft erfolgen bei einem Zustand: = 0.99953 φ := 0.5 tL := 20⋅ °C p L := 1 ⋅ bar λ := 1.01 Der Sauerstoffbedarf für Omin := 0.5⋅ ( H2 + CO) − O2 + 1.5⋅ H2S + 2 ⋅ CH4 + 2.5⋅ C2H2 + 3 ⋅ C2H4 + 3.5⋅ C2H6 ... die Gasmischung ergibt + 5⋅ C3H8 + 6.5⋅ C4H10 + 4.5⋅ C3H6 + 7.5⋅ C6H6 + 8⋅ C5H12 sich aus den Reaktionsgleichungen zu: Omin = 1.832 Dafür ist bei einem Sauerstoffgehalt der Luft von 21 % eine minimale Luftmenge erforderlich von: Lmin := Omin 0.21 trockene Luft, andere Bestandteile in der Luft vernachlässigt: 3 Lmin = 8.724 VCO2 := CH4 + ( C2H2 + C2H4 + C2H6) ⋅ 2 + CO + CO2 + 3 ⋅ ( C3H6 + C3H8) + 4 ⋅ C4H10 + 5 ⋅ C5H12 + 6 ⋅ C6H6 VCO2 = 0.943 VN2min := N2 + 0.79⋅ Lmin Hier Verweis auf "VD_FLu" erforderlich 3 m Im Rauchgas entsteht dadurch bezogen auf 1m 3 Brenngas ein CO2-Volumen: ein Stickstoffvolumen: 3 m VN2min = 7.009 m 3 m 87 und mit der Wasserdampfmenge aus der Verbrennungsluft: VDmin := Lmin⋅ φ⋅ p s( tL) ⋅ p −1 1 − φ⋅ p s( tL) ⋅ p VDmin = 0.103 −1 ein Wasserdampfvolumen: VH2Omin := H2O + H2 + H2S + C2H2 + 2 ⋅ ( CH4 + C2H4) + 3 ⋅ ( C2H6 + C3H6 + C6H6) + 4 ⋅ C3H8 + 5 ⋅ C4H10 ... + 6 ⋅ C5H12 + VDmin VH2Omin = 1.905 VSO2 := H2S Ein Volumen Schwefeldioxid: Das für 1m3 Brenngas anfallende minimale trockene Rauchgasvolumen ist: VSO2 = 0 VRgmin_Tr := VCO2 + VN2min + VSO2 Bei Verbrennung mit einem gewählten Luftüberschuss VRg_Tr := VRgmin_Tr + ( λ − 1 ) ⋅ Lmin λ = 1.01 (Verhältniszahl ) ist das trockene Rauchgasvolumen: VO2 := 0.21⋅ ( λ − 1 ) ⋅ Lmin mit einem Sauerstoffvolumen: und einem Stickstoffvolumen: VN2 := VN2min + 0.79⋅ ( λ − 1 ) ⋅ Lmin VRg_Tr := VCO2 + VN2 + VSO2 + VO2 es ist auch: VRgmin_Tr = 7.952 VRg_Tr = 8.039 VO2 = 0.018 VN2 = 7.077 VRg_Tr = 8.039 Für das feuchte Rauchgas gilt: Dampfvolumen: VH2O := VH2Omin + ( λ − 1 ) ⋅ VDmin feuchtes Rauchgas: VRg_F := VRg_Tr + VH2O VRg_F = 9.945 Rauchgaszusammensetzung feucht: N2F := VN2 CO2 F := VRg_F VCO2 VRg_F O2F := VO2 SO2F := VRg_F VSO2 VRg_F H2OF := VH2O VRg_F Rauchgaszusammensetzung trocken: N2Tr := VN2 VRg_Tr CO2 Tr := VCO2 VRg_Tr O2Tr := VO2 VRg_Tr SO2Tr := VSO2 CO2 Tr = 0.117 VRg_Tr 14.1.2 Feste und flüssige Brennstoffe Die Mengenangaben für die Verbrennungsluft (in der Praxis meist als Frischluft bezeichnet) und die Rauchgase erfolgen in der Einheit kmol oder m 3 pro kg Brennstoff. Die chemischen Symbole für die Elemente sind als Massenanteile zu verstehen. Index b: Brennstoff. Die folgende Darstellung wird ebenfalls anhand eines konkreten Beispiels gegeben. Die Brennstoff-Elementaranalyse ist: cb := 76⋅ % h b := 3.9⋅ % n b := 1 ⋅ % o b := 3.8⋅ % sb := 0.8⋅ % wb := 8.5⋅ % ab := 6 ⋅ % λ := 1.27 (Sie können diese Eingaben für andere Anwendungsfälle hier ändern) Kontrolle: cb + h b + n b + sb + wb + ab + o b = 1 Es handelt sich um eine Anthrazit-Kohle. Wie hier sind bei allen festen und flüssigen Brennstoffen die chemischen Bindungen nicht bekannt. Dies ist von Bedeutung für die Bestimmung des Brennwertes bzw. der Brennstoffexergie. Die weiteren Symbole: a ist der nicht brennbare Ascheanteil, w der Wasseranteil. Eingabe für die Verbrennungsluft wie oben. 88 Molmassen M CO2 := 44⋅ M S := 32⋅ kg kmol kg M O2 := 32⋅ kg M SO2 := 64⋅ kmol M H2 := 2 ⋅ kmol kg kmol kg M H2O := 18⋅ kmol M CO := 28⋅ kg M C := 12⋅ kmol Der Sauerstoffbedarf ergibt hb sb ob cb sich aus den o min := + 0.5⋅ + − MC M H2 MS M O2 Reaktionsgleichungen zu: elmin := 1 0.21 kg kmol M N2 := 28⋅ kg kmol ⋅ o min elmin = 0.344 o min = 0.072 VCO2 := Trockenes Rauchgas: cb nb VN2min := MC el := λ ⋅ elmin VN2 := M N2 nb M N2 VSO2 := + 0.79⋅ el VO2 := 0.21⋅ ( λ − 1 ) ⋅ elmin −1 VD := el⋅ φ⋅ p s( tL) ⋅ p L Anteile feucht: VH2O := −1 1 − φ⋅ p s( tL) ⋅ p L CO2 tr := CO2 f := kg kmol kg VRgmin := VCO2 + VN2min + VSO2 MS hb M H2 + wb M H2O + VD VH2O = 29.386 VRg_f := VRg_tr + VH2O Feuchtes Rauchgas: Anteile trocken: kmol VRg_tr := VCO2 + VN2 + VSO2 + VO2 Menge tr. Rauchgas: Wasserdampf: sb + 0.79⋅ elmin kg kmol VCO2 VRg_tr VCO2 VRg_f O2tr := VO2 VRg_tr H2Of := VH2O VRg_f Ergebnisse am Beispiel CO2: N2tr := O2f := VN2 VRg_tr VO2 VRg_f SO2tr := N2f := VSO2 VRg_tr VN2 VRg_f SO2f := VSO2 VRg_f CO2 tr = 0.148 CO2 f = 0.138 mol kg 89 14.2 Brennwert, Heizwert und theoretische Verbrennungstemperatur 14.2.1 Brennwert und Heizwert Der Brennwert (früher "oberer Heizwert") ist definiert als die Energie, die frei wird, wenn die Verbrennung isobar und vollständig erfolgt und die Verbrennungsprodukte auf die Bezugstemperatur* abgekühlt werden. Im Brennwert ist die Kondensationsenthalpie des gesamten Wasserdampfes aus dem Brennstoff** enthalten. *(d. h. die Temperatur, bei der das Brennstoff-Luftgemisch zugeführt wird, in der Regel ist diese Bezugstemperatur 25 °C, der Brennwert ändert sich geringfügig mit der Bezugstemperatur) **Wasser im Brennstoff und als Verbrennungsprodukt Der Heizwert (Früher "unterer Heizwert") ist definiert als Differenz des Brennwertes und der Kondensationsenthalpie des Wasserdampfes aus dem Brennstoff Brennwerte Ho und Heizwerte Hu sind vertafelt (z. B. Dubbel, Recknagel/Sprenger bzw. DIN 51857, die Angaben weichen geringfügig voneinander ab). Bei Gasmischungen kann der Brennwert über die Werte der Bestandteile aufaddiert werden. Bei festen und flüssigen Brennstoffen geht das nur über empirische Beziehungen, da unbekannte chemische Verbindungen vorliegen. Brenn- und Heizwerte von Erdgasbestandteilen bei Referenzzustand 25 °C und 1,013 bar in MJ/kg 6 Symbol CH4 C2H2 C2H4 C2H6 C3H6 C3H8 C4H10 C5H12 C6H6 CO H2 Name Molmasse Brennwert Heizwert Brennwert Heizwert kg/kmol MJ/kg MJ/kg MJ/kmol MJ/kmol Methan 16,043 55,500 50,010 890,4 802,3 Acetylen 26,038 49,910 48,220 1299,6 1255,6 Ethylen 28,054 50,280 47,150 1410,6 1322,7 Ethan 30,069 51,880 47,490 1560,0 1428,0 Propylen 42,086 48,920 45,780 2058,8 1926,7 Propan 44,090 50,350 46,350 2219,9 2043,6 Butan 58,123 49,550 45,720 2880,0 2657,4 Pentan ( fl.) 72,150 49,190 45,430 3549,1 3277,8 Benzol 78,113 42,270 40,580 3301,8 3169,8 Kohlenoxid 28,010 10,100 10,100 282,9 282,9 Wasserstoff 2,016 141,800 119,970 285,8 241,8 MJ := 10 J Tabelle 14.1 Heizwerte und Brennwerte einiger Gase Brenn- und Heizwerte von festen und flüssigen Brennstoffen Für das breite Spektrum von flüssigen und festen Brennstoffen sind die Daten aus den o.g. Quellen zu entnehmen. Man kann aber auch folgende empirische Gleichungen verwenden, wenn die Elementaranalyse vorliegt: hu = ( 34.0c + 101.6h + 6.3n + 19.1s − 9.8o − 2.5w) ⋅ 10 6 J kg 6 J ho = ( 34.0c + 124.3h + 6.3n + 19.1s − 9.8o) ⋅ 10 kg Der Heizwert und Brennwert für das Erdgas im Beispiel 14.1.1 ist mit den unten vorgegebenen Analysewerten: CH4 := 82.7⋅ % C2H2 := 0 ⋅ % C2H4 := 0 ⋅ % C2H6 := 3.46⋅ % C3H8 := 0.67⋅ % C4H10 := 0.232 ⋅ % C3H6 := 0 ⋅ % C6H6 := 0.047 ⋅ % C5H12 := 0.061 ⋅ % H2S := 0 ⋅ % H2 := 0 ⋅ % CO := 0 ⋅ % CO2 := 1.19⋅ % N2 := 11.64 ⋅ % O2 := 0.⋅ % H2O := 0 ⋅ % MJ MJ Ho := 282.9 ⋅ CO + 285.8 ⋅ H2 + 890.4 ⋅ CH4 + 1299.6⋅ C2H2 + 1410.6⋅ C2H4 + 1560⋅ C2H6 ... ⋅ Ho = 815.6 kmol + 2058.49 ⋅ C3H6 + 3301⋅ C6H6 + 3549⋅ C5H12 + 2220. ⋅ C3H8 + 2880⋅ C4H10 kmol 90 3 v mol := 22.4 und mit m Ho kmol v mol = 36.4 MJ 3 m Damit ist der Heizwert (Die Kondensationsenthalpie des Wasserdampfes bei 25 °C beträgt 2242 kJ/kg): Hu := Ho − VH2Omin⋅ 18 Aufgabe A 14.1 kg kmol ⋅ 2442 kJ Hu = 731.9 kg MJ kmol Verbrennung von Steinkohle Berechnen Sie für die gegebene Steinkohle bei einem Luftverhältnis von 1,48 die Rauchgaszusammensetzung und die theoretische Verbrennungstemperatur bei einem Umgebungszustand von 20 °C und 1,013 bar! Wie hoch sind die Abgasverluste bei 150 °C (Kamineintritt) und die Wärmeverluste in der Asche, wenn diese den Brennraum flüssig mit 1500 °C verlässt (es kann die spezifische Wärmekapazität von SiO 2 angenommen werden)? gegeben: cb := 76⋅ % h b := 3.9⋅ % λ := 1.48 tU := 20°C tRg_ab := 150°C n b := 1 ⋅ % o b := 3.8⋅ % p L := 1.013bar sb := 0.8⋅ % tL := tU tA_ab := 1500°C cA := 0.9 wb := 8.5⋅ % ab := 6 ⋅ % φ := 0.5 kJ kg⋅ K Lösung S. a157 14.2.2 Theoretische Verbrennungstemperatur Die theoretische Verbrennungstemperatur ergibt sich aus der Energiebilanz über die Stoffwerte der zu- und abgeführten Stoffe. Sie ist real immer niedriger, einmal weil bei Temperaturen >1500 °C Dissoziation auftritt, zum anderen weil während der Verbrennung Energie an die kälteren Brennkammerwände abgestrahlt wird. In der Energiebilanz tritt dadurch jedoch kein Fehler auf, weil die Dissoziation bei der Abkühlung rückläufig ist und die abgestrahlte Energie im Bilanzraum verbleibt (Beim Dampfkraftwerk im verdampfenden Wasser) oder aber z. B. beim Verbrennungsmotor als Wärmeabfuhr aus dem Verbrennungsprodukt an das Kühlwasser zu berücksichtigen ist. n somit gilt: ∑ cpmm( j , tV , tU) ⋅ ( tV − tU) ⋅ ( Vj⋅ Mj) = Hu j= 1 Hierbei ist cpmm( tV , tU , i) die mittlere spezifische Wärmekapazität der Rauchgaskomponente i zwischen der Temperatur der Brennstoff- und Luftzufuhr bei Umgebungstemperatur tU und der theoretischen Verbrennungstemperatur tV (vergl. Kap. 11). Bei unterschiedlichen Temperaturen der Stoffzufuhr, z. B. bei Luftvorwärmung, ist die entsprechende Enthalpiedifferenz mit in der Bilanz zu berücksichtigen. Da tV auch die spezif. Wärmekapazität beeinflusst, ist eine explizite Berechnung nicht möglich. Für das Beispiel Erdgas wird mit den Zahlenindizes aus Kap 11: r := N2F 1 r := CO2 F und tU := 20°C 2 tV := 1000°C tV := Suchen( tV) Vorgabe r := O2F 3 sowie r := SO2F r := H2OF 4 9 Vj = rj⋅ VRg_F Hu = ( tV − tU) ⋅ VRg_F⋅ 9 ∑ (rj⋅cpmm( j , tV , tU)⋅M j) j= 1 tV = 1988 °C Verbrennungsprozesse sind irreversibel. Die Exergie der Brennstoffe stimmt nicht genau mit ihrem Brennwert überein, bei Kohlenstoff ist sie ca 4 % größer, bei Wasserstoff ca 18 % niedriger, bei Methan ca 7 % niedriger bei festen und flüssigen Brennstoffen etwa gleich. Die Unterschiede sind auf die im Brenngas und in der Umgebung unterschiedlichen Teildrücke zurückzuführen. Da eine reversible Überführung der Verbrennungsprodukte auf Umgebungszustand bislang für technische Prozesse ohnehin nicht infrage kommt, haben die Werte nur rein wissenschaftliche Bedeutung. Man kann daher zur Beurteilung der Exergieverluste bei der Verbrennung vereinfachend die Anergie der Enthalpie der Rauchgase bei Verbrennungstemperatur zugrundelegen. 91 14.3 Wasserdampftaupunkt des Rauchgases Wird das Rauchgas so weit abgekühlt, dass der temperaturabhängige Sättigungsdruck des Wasserdampfes niedriger wird als sein bis dahin vorhandener Partialdruck, so beginnt der Wasserdampf auszukondensieren (Austauen). Es gelten prinzipiell die Gesetzmäßigkeiten für feuchte Luft. Bei der Berechnung von Enthalpien ist jedoch die Gaskonstante der inerten Gasmischung statt der von Luft einzusetzen. Für den Taupunkt benötigen wir jedoch lediglich die Dampfdruckfunktion. Für die Verbrennung von Erdgas mit der Zusammensetzung im obigen Beispiel ist H2OF = 0.192 p D := p L⋅ H2OF somit ist der Partialdruck des Wasserdampfes und die Taupunkttemperatur (Taupunkt) mit dem Startwert p D = 0.194 bar ttau := wurzel( p s( ttau) − p D , ttau) ttau := 10K ttau = 59.4 °C Während früher die Taupunktunterschreitung zum Schutz der Rauchgasleitungen (saures Kondensat) unter Verzicht auf die Nutzung der Verdampfungsenthalpie grundsätzlich vermieden wurde, wird heute in den sogenannten Brennwertkesseln dieser (insbesondere bei Erdgas mit ca. 10 % erhebliche) Energieanteil durch Abkühlung möglichst weit unter den Taupunkt genutzt. Wiederum anhand des obigen Beispiels wird die Enthalpie des Rauchgases über der Temperatur aufgetragen. (Wegen der konstant angenommenen Verdampfungsenthalpie ensteht eine geringe Ungenauigkeit) HRg1( tRg) := tRg > ttau für 9 ∑ kJ j= 1 HRg2( tRg) := HRg1( tRg) − tRg < ttau für cpmm( j , tRg , tU) ⋅ ( tRg − tU) ⋅ r j⋅ M j + r9⋅ M9⋅ 2442 kg kJ pD − ps( tRg) ⋅ r ⋅ M ⋅ 2442 9 9 kg pD HRg( tRg) := wenn( tRg > ttau , HRg1( tRg) , HRg2( tRg) ) somit tRg := 20°C .. 100°C MJ := 1000kJ 12 10 8 Bild 14.1 Enthalpie-Temperatur-Diagramm für feuchtes Rauchgas ( ) H Rg tRg MJ 6 kmol 4 2 0 20 30 40 50 60 tRg 70 80 90 100 92 Beispiel B 14.1 Stadtgas Aufgabe A 14.2 Verbrennung von Erdöl EL in einem Brennwertgerät Berechnung S. b19 In einem Gebäude steht eine ältere Kesselanlage mit einer Feuerungsleistung von 200 kW (bezogen auf Hu für die Wärmeversorgung. Es wird Heizöl EL gemäß angegebener Elementaranalyse verfeuert bei einem Luftverhältnis von 1,1 und einer Abgastemperatur von 200 °C. Dem Kessel wird nun rauchgasseitig ein Brennwertwärmeübertrager nachgeschaltet, der das Rauchgas zunächst auf 25 °C abkühlt. Im letzten Teil des Wärmeübertragers wird jedoch eine Wiederaufwärmung um 20 K vorgenommen, damit trockenes Rauchgas in den alten gemauerten Kamin gelangt. Zeigen Sie, dass dies eine echte Brennwertnutzung darstellt und der Verlust durch die Wiederaufwärmung gering ist! gegeben: Frischluft φ := 1 tU := 20⋅ °C p L := 1 ⋅ bar Luftverhältnis λ := 1.1 tL := tU Brennstoff-Elementaranalyse: cb := 86.5⋅ % h b := 12.25 ⋅ % Feuerungsleistung: Rauchgastemperatur Kesselaustritt: Aufgabe A 14.3 n b := 0.88⋅ % PF := 200 ⋅ kW tRg1 := 200 ⋅ °C o b := 0.12⋅ % sb := 0.24⋅ % Minimale Rauchgastemperatur: Rauchgasemperatur Kamin: wb := 0 ⋅ % ab := 0 ⋅ % tRgmin := 25⋅ °C tRgKam := 50⋅ °C Lösung S. a158 Verbrennung von Erdgas L in einem Brennwertgerät Die Analyse eines Erdgases ergibt folgende Zusammensetzung: CH4 := 87.4⋅ % C3H8 := 0.67⋅ % C5H12 := 0.061 ⋅ % CO2 := 1.19⋅ % C2H2 := 0 ⋅ % C4H10 := 0.232 ⋅ % H2S := 0 ⋅ % N2 := 8.45⋅ % C2H4 := 0 ⋅ % C3H6 := 0.011 ⋅ % H2 := 0 ⋅ % O2 := 0.02⋅ % C2H6 := 1.32⋅ % C6H6 := 0.017 ⋅ % CO := 0 ⋅ % H2O := 0.63⋅ % Berechnen Sie bei einem Frischluftzustand von φ := 0.5 tU := 20°C p L := 1 ⋅ bar die Rauchgaszusammensetzung bei einem Luftverhältnis von 1,1 sowie die theoretische Verbrennungstemperatur und die abgegebene Wärmeleistung in einem Kessel, dessen Rauchgasaustrittstemperatur ursprünglich 220°C betrug, bevor ein Brennwertgerät nachgeschaltet wurde, in dem die Rauchgase zunächst auf 30°C abgekühlt werden, dann aber zwecks Vermeidung von Wasseranfall im (alten) Kamin über den Heizkreislauf wieder auf 50 °C aufgewärmt werden. Welchen Anteil an der gesamten Wärmeleistung hat das Brennwertgerät ? Lösung S. a161 93 14.4 Abgaskontrolle Verbrennungsprozesse müssen überwacht werden, damit zum einen die Energieausnutzung möglichst gut und zum anderen die Schadstoffemissionen möglichst gering werden. Aus den Beispielen kann man leicht erkennen, dass bei größer werdendem Luftverhältnis, insbesondere bei höheren Abgastemperaturen, die Abgasverluste zunehmen. Das Luftverhältnis sollte also möglichst nahe an das stöchiometrische ( λ = 1) herankommen. Andererseits erlauben die Strömungsverhältnisse in den Brennkammern nicht immer eine ideale Durchmischung von Brennstoff und Verbrennungsluft, so dass bei zu niedrigem Luftverhältnis die Verbrennung unvollständig abläuft. Bei Verbrennungsmotoren sind - konstruktiv bedingt - die Brennräume klein und die Brennkammerwände zu kalt, um vollständige Verbrennung erzielen zu können. Kraftfahrzeuge mit ihrem instationären Betrieb sind deshalb die größten Schadstoffemittenten (trotz Katalysatoren) mit der geringsten Energieeffizienz. Großfeuerungen, z. B. in Kraftwerken, haben dagegen nahezu keinen Verlust durch Unverbranntes. Schadstoffe, wie Schwefel- und Stickoxide werden in aufwendigen Rauchgasreinigungsanlagen zurückgehalten. Bei allen Verbrennungsprozessen ist aber die Überwachung des Luftverhältnisses erforderlich, um den Verbrennungsablauf zu optimieren. Dabei werden die Abgaskomponenten gemessen. Aus den Verbrennungsgleichungen kann für den Fall, dass sich im Abgas Unverbranntes in Form von CO und CH 4 befindet, hergeleitet werden: für feste und flüssige Brennstoffe λ= 79⋅ cb α ⋅ N2tr 12 ⋅ − o min CO2 tr + COtr + CH4 tr −1 21⋅ kmol⋅ kg n 28 c 12 Dabei ist α der verbrannte Anteil des Kohlenstoffs, k COb + CH4 b + n ⋅ CnHmb + CO2 b ⋅ N2Tr i i 21 i= 1 λ= ⋅ − N2b CO2 Tr + COTr + CH4 Tr 79⋅ Omin ∑ ( für gasförmige Brennstoffe ) Mit k = Anzahl der höheren Kohlenwasserstoffe (i) im Brennstoff mit n i C-Atomen und mi H-Atomen. Die mit Tr bzw. tr indizierten Anteile beziehen sich gemäß obiger Definition auf das trockene Abgas (Die Analyse findet bei Raumtemperatur statt, wobei der überwiegende Wasserdampfanteil auskondensiert ist). für die obigen Beispiele wird bei vollständiger Verbrennung α ⋅ N2tr 12 ⋅ − o min CO2tr + COtr + CH4 tr 79⋅ −1 kmol⋅ kg 21⋅ cb cb = 1.446 12 nb 28 COtr := 0 CH4 tr := 0 COTr := 0 CH4 Tr := 0 α := 1 CH4 + 2⋅ C2H2 + 2⋅ C2H4 + 2⋅ C2H6 + 3⋅ C3H8 + 4⋅ C4H10 ... ⋅ N2Tr + 3 ⋅ C3H6 + 5 ⋅ C5H12 + CO + CO2 ⋅ − N2 = 1.02 CO2 Tr + COTr + CH4 Tr 79⋅ Omin 21 Ist nur CO als Unverbranntes im Abgas, kann auch näherungsweise für alle Brennstoffe folgende Gleichung benutzt werden (hier mit Zahlenbeispiel wiederum für die vollständige Verbrennung): obiges Beispiel Kohle λ := obiges Beispiel Gas λ := N2tr COtr N2tr − ⋅ O2tr − 2 21 79 N2Tr COTr N2Tr − ⋅ O2Tr − 2 21 79 λ = 1.26965 λ = 1.00983 Beispiel B14_2 Berechnung von Kenndaten für ein Braunkohlekraftwerk Berechnung S. b21 94 15 Vergleichsprozesse für spezielle Maschinen Wie in Kap. 8 aufgezeigt, gibt es keinen Kreisprozess, der bei gleichen Temperaturen der Wärmezufuhr und Wärmeabfuhr einen besseren Wirkungsgrad erreicht als der Carnot-Prozess. Letzterer, obwohl technisch nicht realisierbar, dient daher als "Messlatte" für alle anderen Prozesse. Für spezielle Maschinen, in denen Kreisprozesse ablaufen, braucht man jedoch weitere Vergleichsmöglichkeiten, die aufzeigen, was im günstigsten (theoretischen) Falle mit einer solchen Maschine erreichbar wäre. Solche Vergleichsprozesse sind ebenfalls idealisiert. Sie laufen, wenn nicht z. B. gerade ein Drosselvorgang notwendige Voraussetzung für die Durchführbarkeit ist, ohne Reibung (und sonstige Dissipation) ab und sind dann innerlich reversibel. Auch wird mit unendlich kleinen Zeiten für die Wärmeübertragung gerechnet. Um die grundsätzlichen Einflüsse ohne kompliziertes numerisches Rechnen aufzeigen zu können, wird in der technischen Thermodynamik üblicherweise bei den Verbrennungskraftmaschinen auch der Arbeitsstoff idealisiert, d. h. man vernachlässigt die chemischen Umwandlungen und rechnet mit Luft als idealem Gas mit konstanter spezifischen Wärmekapazität ("perfektes Gas"). Vergleich eines beliebigen Prozesses mit dem Carnot-Prozess: Bei einem innerlich reversiblen Prozess (gelbes Ei) stellen die Flächen unter den Kurven die Wärmen dar. Man kann durch Flächenausgleich jeweils für die Wärmezufuhr und Wärmeabfuhr mittlere Temperaturen finden, mit denen sich ein äquivalenter Carnot-Prozess (mit gleichen Flächenverhältnissen, also gleichem Wirkungsgrad) bilden lässt. Man erkennt, dass dieser Prozess immer schlechter ist als ein mit der maximalen und minimalen ProzessProzesstemperatur geführter Carnot-Prozess (T min = Umgebungstemperatur). T Tmax Tmzu Tmab Tmin s Bild 15.1 allgemeiner Kreisprozess 15.1 Otto-Prozess VK VH Bild 15.2 Prinzip des Otto-Motors Der 4-Takt-Otto-Motor hat bei 2 Umdrehungen der Kurbelwelle einen Arbeitskreislauf. Je ein Kolbenhub ist erforderlich zum Füllen und Ausschieben. Die dazu erforderlichen Arbeiten heben sich auf und spielen für den theoretischen Kreisprozess keine Rolle. Dieser hat folgende Zustandsänderungen: 1. Verdichten von 1 nach 2 isentrop 2. Wärmezufuhr in der Zeit dt = 0 isochor 3. Expansion von 3 nach 4 isentrop 4. Wärmeabfuhr von 4 nach 1 isochor 95 3 p qzu 2 4 1 qab V Bild 15.3 p-v-Diagramm des Otto-Motors Aufgabe A 15.1 Beim realen Prozess muss der Zylinder gekühlt werden, der Druckabbau von 4 nach 1 wird nur annähernd durch das schnelle Öffnen des Auslassventils erreicht, auch die Isochore von 2 nach 3 durch Verbrennen des Treibstoffes in der angesaugten Frischluft benötigt Zeit. Beim Ansaugen durch den Luftfilter und beim Ausschieben durch die Abgasanlage entstehen Strömungsdruckverluste (Schleife mit negativer Arbeitsfläche im p-v-Diagramm). Der Thermische Wirkungsgrad des Otto-Prozesses kann mit den o. e. Vereinfachungen geschrieben werden: mit dem Verdichtungsverhältnis ε = V1 V2 1 η th_Otto = 1 − ε κ−1 Berechnung eines Vergleichsprozesses (Otto-Motor) Ein 4-Takt-Otto-Motor hat ein Verdichtungsverhältnis von ε = 10 , Die nach dem idealen Vergleichsprozess (als Arbeitsmittel sei Luft als ideales Gas angenommen) abgeführte Wärmemenge beträgt Qab = 50 kJ/s bei einer Abgastemperatur von t4 = 771 °C Der Zustand der angesaugten Umgebungsluft wird mit tU = 20 °C und pU = 1bar angegeben. a) Skizzieren Sie den Vergleichsprozess qualitativ im h-s-Diagramm und im p-v-Diagramm! b) Berechnen Sie die Zustandsgrößen p, v, t und s der Eckpunkte (s 1 = 0 J/kg*K )! c) Berechnen Sie das Hubvolumen, die Leistung und den Wirkungsgrad des Vergleichsprozesses bei einer Drehzahl von n = 6500 min -1 ! d) Wie ändert sich die Leistung und der Wirkungsgrad, wenn durch Kühlung der Zylinderwände ein Anteil von a = 20 % der zugeführten Wärme bereits im oberen Totpunkt verloren geht, und die adiabate Expansion infolge Reibung polytrop mit konstantem Exponenten n = 1,3 gerechnet werden soll? Lösung S. a166 Aufgabe A 15.1a Berechnung eines Vergleichsprozesses (Variante zu A 15.1) Ein Viertakt-Otto-Motor hat einen Hubraum von 1,6 Liter. Der thermische Wirkungsgrad des Vergleichsprozesses ist 60 % und der Gütegrad gegenüber dem Vergleichsprozess 70%. Ansaugzustand ist 1 bar bei 15 °C. Die höchste Temperatur des Vergleichsprozesses sei 2400 °C. Der Prozess soll mit Luft als idealem Gas mit konstanter Wärmekapazität berechnet werden. a) Berechnen Sie die Zustandsgrößen der Eckpunkte p, v, t, s und stellen Sie den Prozess im p-v-Diagramm und im T-s-Diagramm dar! b) Berechnen Sie den thermischen Wirkungsgrad und die Drehzahl, wenn eine Leistung von 65 kW erreicht werden soll! c) Welche Vorgänge sind für den relativ geringen Gütegrad verantwortlich? Lösung 15.2 Diesel-Prozess p 2 q zu Der Diesel-Prozess arbeitet mit einem größeren Verdichtungsverhältnis. Um eine zu hohe Druck- und Temperaturspitze im Punkt 3 zu vermeiden, wird vom Verdichtungsendpunkt 2 aus der Brennstoff (die Wärme) dosiert bis zum Punkt 3 so zugeführt, dass der Druck bis dahin konstant bleibt. 3 ds = 0 4 1 q ab Bild 15.4 p-V-Diagramm des Diesel-Motors 15.3 Seiliger-Prozess V Mit dem Volldruckverhältnis ϕ= und dem Verdichtungsverhältnis ε = wird der thermische Wirkungsgrad V3 V2 V1 V2 η th_Diesel = 1 − 1 κ⋅ε κ ⋅ ϕ −1 κ−1 ϕ − 1 96 p Der Seiliger-Prozess ist ein Dieselprozess, bei dem der Gleichdruck-Verbrennung eine Gleichraum-Verbrennung vorgelagert ist. Dies ist heute bei den Dieselmotoren in der Regel so. q zup 3 4 2 q zuv ε = mit dem Verdichtungsverhältnis, ds = 0 ψ= dem Gleichraumverhältnis p3 V1 V2 p2 ϕ= und dem Volldruckverhältnis ("Einspritzverhältnis") 5 1 q ab V Bild 15.5 p-V-Diagramm des Seiliger_Prozesses Aufgabe A 15.2 wird der thermische Wirkungsgrad 1 η th_Seil = 1 − ε V4 V3 κ ⋅ ψ ⋅ϕ − 1 κ−1 ψ − 1 + κ ⋅ ψ ⋅ ( ϕ − 1) Berechnung eines Vergleichsprozesses (Seiliger) Ein Dieselmotor arbeitet nach dem Seiliger-Vergleichsprozess mit einem Verdichtungsverhältnis von ε = 21. Die höchste Temperatur des Vergleichsprozesses beträgt 2200 °C. Die Wärmeenergie wird zu 1/3 bei konstantem Volumen und zu 2/3 bei konstantem Druck zugeführt. Als Arbeitsmedium soll Luft mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten angenommen werden, die mit einem Zustand von 20 °C und 1 bar angesaugt wird. a) Zeichnen Sie den Vergleichsprozess qualitativ im p-v-Diagramm und T-s- Diagramm! b) berechnen Sie die Eckpunkte (p, v, T, s-s u ) des Kreisprozesses! c) berechnen Sie den thermischen Wirkungsgrad des Vergleichsprozesses, den Luftdurchsatz Lösung S. a168 und die Leistung, wenn der zugeführte Wärmestrom 300 kW beträgt ! 15.4 Joule-Prozess p q zu 3 2 3 2 Brennkammer ds = 0 Turbine P 1 qab Verdichter 4 V Bild 15.6 p-V-Diagramm des Joule-Prozesses 1 4 Atmosphäre Bild 15.7 Kreislaufschema eines offenen Gasturbinenprozessess Der Joule-Prozess ist der Vergleichsprozess für eine Gasturbinenanlage. Wärmezu- und -abfuhr erfolgen isobar, Verdichtung und Expansion isentrop. Für den Vergleichsprozess spielt es keine Rolle, wenn statt der Brennkammer und der Atmosphäre jeweils ein Wärmeübertrager benutzt wird und der Arbeitsstoff zirkuliert (z. B. Helium im Kreislauf eines Hochtemperaturreaktors). Verbesserung des Prozesses: Aufgabe A 15.3 κ−1 Mit den Gleichungen für ideale Gase errechnet sich der Wirkungsgrad über das Temperatur- bzw. Druckverhältnis: p1 η th_Joule = 1 − =1− T2 p2 T1 κ Verbesserung des Prozesses durch mehrstufige Verdichtung und Expansion und interne Wärmeübertragung siehe A15_3 97 Aufgabe A 15.3 Berechnung eines 2-stufigen Gasturbinenprozesses mit internem Wärmeaustausch Eine Gasturbinenanlage mit 100 MW mechanischer Leistung wird mit zweistufiger Verdichtung und Expansion (gleiches Druckverhältnis ϕ) einem Zwischenkühler und einem Wärmeübertrager (Rekuperator) betrieben. Der Rekuperator weist zwischen den gegenströmenden Medien eine treibende Temperaturdifferenz von 10 K auf. Der Gütegrad der Verdichter ist 0,85, der der Turbine 0,9. Die Turbineneintrittstemperatur ist jeweils 1100° C, die Eintrittstemperatur beider Verdichter liegt bei 20 °C, der Eintrittsdruck beträgt 1 bar. Das Gesamtdruckverhältnis ist ε = 10. Das Rauchgas soll als ideales Gas angesehen werden mit den Stoffdaten der Luft. a) Zeichnen Sie das Schaltbild des Prozesses und das dazugehörigen qualitative p-v-Diagramm! b) Bestimmen Sie für alle Eckpunkte des Prozesses T, p, v, s! c) Bestimmen Sie den thermischen Wirkungsgrad der Anlage, den umlaufenden Massenstrom des Rauchgases (Annahme: Massenstrom des Rauchgases = Massenstrom der Luft) und die zugeführte thermische Leistung in den Brennkammern! d) Bestimmen Sie den thermischen Wirkungsgrad der Gasturbinenanlage ohne Rekuperator! e) Bestimmen Sie den thermischen Wirkungsgrad der Gasturbinenanlage ohne Rekuperator und ohne Zwischenkühlung! Lösung a171 15.5 Clausius-Rankine-Prozess 1 p q T qzu 4 G zu 1 ds = 0 Ke ds = 0 2 4 Ko Sp qab 3 qa b 3 Bild 15.8 Kreislaufschema des CR-Prozesses T Bild 15.9 2 v p-v-Diagramm des CR-Prozesses 1 Der Clausius-Rankine-Prozess ist der Vergleichsprozess für das Dampfkraftwerk in seiner einfachsten Konstellation mit Turbine T, Kondensator Ko, Speisepumpe Sp und Kessel mit Überhitzer Ke. Vorteil des Dampfkraftprozesses gegenüber den Prozessen mit inerten Gasen ist die große spezifische Kreisprozessarbeit wegen der geringen Arbeit der Speisepumpe (kleines spezifisches Volumen der Flüssigkeit). Über die Verbesserung dieses Prozesses mit Zwischenüberhitzung und Anzapfvorwärmern finden Sie Aufgabenbeispiele in Kap. 13 qzuÜ qzuV 4 3 qab 2 s Bild 15.10 T-s-Diagramm des CR-Prozesses Der Wirkungsgrad errechnet sich über: grob angenähert auch wegen der geringen Arbeit der Speisepumpe: η th_CR = h1 − h2 (h1 − h4) + (h4 − h3) η th_CR = h1 − h2 (h1 − h4) Auf die Zustandsgrößen kann über den Verweis auf "VD_WasSt" bzw."VD_WasPr" zugegriffen werden. Rechnen Sie hier niemals mit den Gleichungen für ideale Gase !!! Verbesserung des Prozesses durch regenerative Speisewasservorwärmung und Zwischenüberhitzung siehe A 13_6 98 Beispiel B 15.0 Wärmeschaltbild eines modernen Steinkohle-Kraftwerks Seite b23 15.6 Kaltdampfprozess zum Kühlen und Heizen T qab Ko 3 2 2 V DV q ab 3 4 qzu 4 1 1 qzu s Bild 15.11 T-s-Diagramm des Kaltdampfprozesses Bild 15.12 Kreislaufschema des Kaltdampfprozesses Der Kaltdampfprozess ist praktisch eine Umkehrung des Clausius-Rankine-Prozesses. Statt der Turbine findet man hier einen Verdichter V, der den im Verdampfer erzeugten Sattdampf von 1 nach 2 verdichtet. Von 3 nach 4 wird jedoch keine Arbeit gewonnen, da eine Arbeitsmaschine nicht mit einer Flüssigkeit beaufschlagt werden kann, die bei der Arbeitsleistung teilweise verdampft. Daher wird das so weit wie möglich unterkühlte Kondensat in einem Drosselventil auf den Druck des Verdampfers heruntergedrosselt (Adiabate Drosselung = Isenthalpe). Der Prozess wird mit Fluiden durchgeführt, die bei den erforderlichen Temperaturen für solche Anlagen geeignete Verdampfungs- bzw. Kondensationsdrücke besitzen. Leistungsziffer für Heizbetrieb (genutzt wird die Wärme qab): Leistungsziffer für Kühlbetrieb (genutzt wird die Wärme q zu): εH = εK = h2 − h3 wV h1 − h4 wV = = h2 − h3 h2 − h1 h1 − h4 h2 − h1 Aufgabe A 15.4 Kühlaggregat mit NH3 Ein Kühlaggregat wird mit NH3 betrieben. Es soll im Kühlhaus eine Temperatur von -20°C erreichen und die Wärme an die Umgebung auch bei + 33°C abführen können. Für die Wärmeübertragung sind Temperaturdifferenzen von mindestens 5°C erforderlich. Die Kühlleistung soll 30 kW betragen. a) Geben Sie die Zustandsgrößen an den Eckpunkten eines Prozesses an, der diese Bedingungen erfüllt, wenn für den Verdichter ein Gütegrad von 0.87 angenommen werden kann. b) Stellen Sie den Prozess in folgenden Diagrammen dar: t-s-Diagramm, h-s-Diagramm, p-h-Diagramm! c) Welche Leistungsziffer hat das Aggregat und welcher Stoffstrom ist erforderlich? d) Berechnen Sie alle Ergebnisse neu für den Fall, dass das Kondensat vor der Drossel um 15 K unterkühlt wird (Außentemperatur 18°C)! gegeben: Minimale Temperatur im Kondensator: tKo := 38°C Minimale Temperatur im Verdampfer: t1 := −25°C Kühlleistung: PK := 30kW Gütegrad des Verdichters: η V := 0.85 Lösung S. a174 99 15.7 Kombinierter Gas- und Dampfturbinen-Prozess (GuD) T 1g Q zu 2g 4g 6g 1d Q int 3g 4d Q abg 5g 2d Q abd 3d S Bild 15.13 T-s-Diagramm eines GuD-Prozesses 4g 3d 6g 4d 3g 1g 2d 1d 5g 2g Bild 15.14 Anlagenschema eines GuD-Prozesses Beispiel B 15.1 Beispiel B 15.2 Beim Dampfkraftprozess treten bei der Wärmeübertragung im Kessel vom Rauchgas (Brennraumtemperaturen z. B. 1700 °C) auf den Dampf (maximale Dampftemperatur meist unterhalb 600 °C) große Exergieverluste auf (vergl. Aufgabe A 13.5). Der sogenannte GuD- Prozess ist eine Kombination von Gasturbinen- prozess und Dampfkraftprozess. Er nutzt dieses Temperaturgefälle für den Gasturbinenprozess. Der Vorteil der hohen Temperatur der Wärme- zufuhr in der Brennkammer der Gasturbine von 6g nach 1g (ca 1200 °C) ist gepaart mit der geringen Temperatur der Wärmeabfuhr im Kondensator des Dampfkreislaufes von 2d nach 3d. Die Wärmezufuhr für den Dampfkreislauf Qint erfolgt aus der Abwärme des Gasturbinenkreislaufes. Auch bei dieser prozessinternen Wärmeübertragung treten Exergieverluste wegen der konstanten Verdampfungstemperatur auf (vergl. T-sDiagramm). Möglichkeit zur Verbesserung: s. BeispielB15.2! Abwärme aus dem Gesamtprozess ist neben der Kondensationsenthalpie des Dampfes die Rauchgasenthalpie im Punkt 4g. Anmerkung: Das T-S-Diagramm mit beiden Teilprozessen übereinander kann so nur mit unterschiedlichen Maßstäben für S gezeichnet werden Berechnung eines GuD-Prozesses mit 1 Dampfdruckstufe Seite b25 Berechnung eines GuD-Prozesses mit 2 Dampfdruckstufen Seite b30 15.8 Das Linde-Verfahren zur Verflüssigung von Luft t5 Drossel t 6 = t5 flüssig Zyklonabscheider t8 = t3 - 5K t4 GegenstromWÜ 2 1 h t3 = t a Außenluft t 7 = t5 3 Außenkühlung t2 t1 = t a 7 5 K 6 4 T Beim Drosseln kühlen sich alle realen Gase ab, ein Phänomen, das als Joule-Thomson-Effekt bezeichnet wird. Dies kann zur Erzeugung sehr niedriger Temperaturen benutzt werden, z.B. zur Verflüssigung von Luft. Das Verfahren wurde erstmalig von C. von Linde angewandt und ist nach ihm benannt. Es ist prinzipiell sehr einfach, hat aber insbesondere wegen des Drosselvorganges sehr hohe Exergieverluste (> 90%). Die Zustandsänderungen: 1-2 Verdichtung von Umgebungsluft, in mehreren Stufen mit Zwischenkühlung (hier nur eine Stufe gezeichnet) 2-3 Rückkühlung auf Umgebungstemperatur 3-4 Abkühlung im Gegenstromapparat durch die aus dem Fliehkraftabscheider zurückströmende gasförmige Luft. 4-5 Drosselung (Isenthalpe) mit Abkühlung bis in das 2-Phasengebiet. 5-6 Trennen des flüssigen Anteils 6 durch Fliehkraft vom gasförmigen Anteil 7. 7-8 Wärmeaufnahme im Gegenstromapparat. 100 Im folgenden Beispiel wird der Vorgang anhand der hier zur Verfügung stehenden Stoffdaten von Stickstoff durchgerechnet. Beispiel B 15.3 Luftverflüssigung nach dem Linde-Verfahren mit den Stoffeigenschaften von Stickstoff Seite b33 Weitere Beispiele und Aufgaben Aufgabe A 15.5 Vergleichsprozess für einen Otto-Motor Ein Viertakt-Otto-Motor hat ein Verdichtungsverhältnis von ε = 8. Ansaugzustand ist 1 bar bei 0 °C. Die Abgastemperatur des Vergleichsprozesses sei 600 °C. Der Prozess soll mit Luft als idealem Gas mit konstanter Wärmekapazität berechnet werden. a) Berechnen Sie die Zustandsgrößen der Eckpunkte p, v, t, s des Vergleichsprozesses und stellen Sie den Prozess qualitativ im p-v-Diagramm und im T-s-Diagramm dar! b) Berechnen Sie die Leistung für einen Hubraum von 3 Litern bei einer Drehzahl von 5500/min Lösung S. a180 Beispiele für Kreisprozesse mit idealen Gasen mit variabler Vorgabe der Zustandsgrößen und der Prozessgrößen Seite b35 B 15_4, B15_4a , B15_4b, B15_4c, B15_4d, B15_4e 101 16 Wärmeübertragung Dieses weite Feld kann mit dem heutigen Stand des Wissens komplett nur in umfangreichen Büchern dargestellt werden. Eine vollständige (für den Einsteiger allerdings nicht immer leicht zu überschauende und zu verstehende) Sammlung ist der VDI-Wärmeatlas. In diesem Übungsbuch können nur einige grundlegende Zusammenhänge beispielhaft behandelt werden. 16.1 Wärmeleitung 16.1.1 Ebene Wand Die Skizze zeigt den Ausschnitt einer ebenen Wand mit einer genügend großen Ausdehnung, so dass das Temperaturgefälle in x-Richtung im dargestellten Ausschnitt an jeder Stelle gleich ist. Die Temperaturen t i und ta sind durch äußere Einflüsse vorgegeben (Kühlung außen und Heizung innen). A Die Gleichung für den Wärmestrom Q durch die Ausschnittsfläche A lautet: ti t ta dt Qi_a Qi_a = −λ ⋅ A⋅ dx x dt hier: dx Qi_a = −λ ⋅ A⋅ (ti − ta) δ Damit ergibt sich für den Koeffizienten λ aus den in Kap.1.1 definierten Einheiten Eλ := Allgemein für 3 Koordinaten und auf die Fläche bezogen gilt: q i_a = −λ ⋅ grad( t) EP⋅ EL EA⋅ Et Eλ = 1 Bild 16.1 Wärmeleitung durch ebene Wand λ ist die Wärmeleitfähigkeit des Stoffes, aus dem die Wand besteht. Die nachstehende Tabelle enthält die Wärmeleitfähigkeit einiger wichtiger Stoffe bei 20 °C in W / m*K . Die Werte schwanken mit unterschiedlicher Konsistenz (vergl. VDI-WA, Dubbel, Recknagel/Sprenger) Eisen 75 Kupfer 400 Glas Edelstahl 20 Beton 1 Zementputz Tabelle 16.1 Anhaltswerte für λ in W / m *K 1 Ziegelstein 1,4 Mineralwolle 0,9 Luft 0,025 Wasser, flüssig 0,05 Polystyrol 0,04 Wasser-Eis, 0°C (aus Dubbel) Für ruhende Luft (in engen Spalten bis 10 mm) kann angenommen werden: λ L( t) := 0.0242⋅ ( 1 + 0.003 ⋅ t) Vorteilhaft ist die Definition des Wärmeleitwiderstandes gemäß dem Ohm'schen Gesetz: RWL = ∆t = Q δ λ⋅A Daraus ergibt sich direkt: Der Widerstand einer mehrschichtigen Wand ist die Summe der Widerstände der einzelnen Schichten RWL wie auch n RWLges = ∑ i= 1 n i ∆tges = ∑ i= 1 ∆ti 0,6 2,2 W m⋅ K 102 Aufgabe A 16.1 Wärmeleitung durch eine ebene Wand A t4 t t3 t2 Berechnen Sie den Wärmestrom durch eine 3-schichtige Wand und die Temperaturen gemäß Skizze, wenn bei einer Temperatur von t 4 = 19 °C die gesamte Temperaturdifferenz t4 - t1 = 30 °C beträgt und zwischen Außenwand (Ziegel) mit einer Wandstärke von δ1.2 = 12 cm und der Innenwand aus Naturbims mit einer Wandstärke von δ3.4 = 27 cm die δ2.3 = 10 cm starke Isolierschicht aus Poystyrol angeordnet ist! gegeben: Qi_a t1 ∆tges := 30K W λ 2.3 := 0.04 1,2 λ 1.2 := 0.9 λ 3.4 := 0.28 m⋅ K 3,4 W m⋅ K t4 := 19°C W m⋅ K Lösung S. a182 2,3 16.1.2 Zylindrische Wand Qi_a Aa dr ta dt ti Wärmeübertragung an Rohre oder von Rohren spielt auf vielen Gebieten eine wichtige Rolle. Bei dünnen Wänden können in erster Näherung die Gleichungen für ebene Wände benutzt werden, ansonsten gilt analog: Q = −λ ⋅ A( r) ⋅ dt mit: dr A( r) = 2π ⋅ r⋅ LR LR = Rohrlänge ri Q = 2π ⋅ LR⋅ λ ⋅ ( ta − ti) ra ln ra ln ra RWL = ri ri 2 ⋅ π ⋅ LR⋅ λ n Bild 16.2 Wärmeleitung durch zylindrische Wand Aufgabe A 16.1a 1 3 ri ra Für mehrere (n) Schichten: RWLges = ∑ i= 1 RWL i Messung des Wärmeflusses durch eine Rohrwand Ein hochlegiertes Rohr im Feuerraum eines Kessels ist zur Hälfte in die Wand eingebettet (vergl. Skizze). Die maximale Wärmebelastung, d. h. die maximale Wärmestromdichte, die am Scheitelpunkt auf der Innenseite auftritt, soll bestimmt werden. Es gelingt, über genau platzierte Bohrungen 2 Thermoelemente so einzufädeln, wie in der Skizze dargestellt. Das Rohr hat einen Außendurchmesser von da = 35 mm und eine Wandstärke von 5 mm. Es wird eine Temperaturdifferenz von 10,5 K gemessen. Welche Fehler sind bei der Bestimmung möglich? Gegeben: λ R := 15 W m⋅ K ra := 17.5mm ∆t := 10.5K ri := 12.5mm Lösung S. a183 103 16.2 Konvektion Der Wärmeübergang von einem strömenden Fluid an eine feste Wand (oder umgekehrt) ist von vielen Einflussgrößen abhängig: Geschwindigkeit, Zähigkeit, Dichte, spezifische Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit des strömenden Mediums, Geometrie des Strömungskanals und Temperaturdifferenz. Die Einflussgrößen sind nicht unabhängig voneinander. Beschrieben wird der Wärmeübergang durch die einfache Gleichung: d tStr t Q = α ⋅ A⋅ ∆t Der Proportionalitätsfaktor α heißt Wärmeübergangskoeffizient. Er hängt ab von den aufgezählten Einflussgrößen und kann meist nur über empirische Gleichungen berechnet werden, die auch nur für genau definierte begrenzte Bereiche gültig sind und bei denen über Ähnlichkeitsbeziehungen das Parameterfeld auf meist 2 oder 3 dimensionslose Kennzahlen beschränkt wurde. Eine vollständige Sammlung des derzeitigen Wissens finden Sie im VDI-Wärmeatlas. Wenn möglich, werden aber Erfahrungswerte aus nahezu identischen Anwendungsfällen benutzt. tW Bild 16.3 Wärmeübergangskoeffizient Wärmeübergangskoeffizient erreichbare Werte in der Praxis üblich Gase und Dämpfe freie Strömung Wasser 5 bis 25 20 bis 60 freie Strömung 200 bis 400 70 bis 700 erzwungene Stömung 600 bis 12000 Flüssigkeiten 8 bis 15 erzwungene Strömung 12 bis 120 2000 bis 4000 Verdampfung 2000 bis 12000 ca. 4000 Filmkondensation 4000 bis 12000 ca. 6000 Tropfenkondensation 35000 bis 45000 :::::::::::::::: erzwungene Strömung 60 bis 600 Tabelle 16.2 Anhaltswerte für 300 bis 400 α in W / m 2 *K (aus Cerbe/Hoffmann) Dimensionslose Kennzahlen Aus der Skizze Bild 16.3 ist ersichtlich, dass eine gedachte, nicht strömende Grenzschicht von der Stärke dG mit der Wärmeleitfähigkeit des Fluids die gleiche Wirkung hat, wie der Nu = α⋅L λ L Nu = Wärmeübergangskoeffizient. Bildet man aus α und λ eine dimensionslose Kennzahl mit dG einer charakteristischen Länge L des Systems ( bei Kanälen der hydraulische Durchmesser, sonst die Überströmlänge), so stellt diese nach Nusselt benannte Kennzahl das Verhältnis dar zwischen dieser Länge und der Stärke der Grenzschicht. In den erwähnten empirischen Gleichungen finden Sie die Nusseltzahl abhängig von anderen dimensionsloen Kennzahlen. Die wichtigsten sind: mit w = Geschwindigkeit, L = charakteristische Länge (hydraulischer w⋅ L Durchmesser) und ν = kinematische Zähigkeit. Die Reynoldszahl stellt Die Reynoldszahl Re = das Verhältnis von Reibungskräften in der Strömung zu Massenkräften ν dar (ähnliches Strömungsfeld bei gleicher Reynoldszahl) , bei erzwungener Strömung direkt zu berechnen. 2 Die Froude-Zahl Fr = Die Peclet-Zahl Pe = w L⋅ g w⋅ L a −2 mit w und L wie oben und g = 9.807m⋅ s Die Froude-Zahl stellt das Verhältnis von Massenkräften zu Gewichtskräften dar (bei Strömungen mit unterschiedlicher Dichte, z. B. Zwei-Phasen-Strömung oder Festkörpertransport durch Gase). mit w und L wie oben und a = Temperaturleitwert λ m a= Ea = 1 mit cp = spezifische Wärmekapazität, ρ = Dichte. 2 c ⋅ρ (ähnliche Temperaturfelder bei Wärmeleitung und -Transport im Stoffstrom bei gleicher p s 104 Die Prandtl-Zahl Pr = Pe Re Peclet-Zahl) Stoffkennzahl, als Verhältnis zwischen Leitfähigkeit und "Transportfähigkeit" interpretierbar. Bei Konvektion grundsätzlich von Bedeutung ν = a 3 Die Grashof-Zahl Gr = g ⋅ γ ⋅ ∆t⋅ L Mit γ = spezifisches Gewicht. Verhältnis von Auftriebskräften durch ν Temperaturdifferenz und Reibungskräften in Strömungen, von Bedeutung für Strömungen, die durch Auftriebskräfte entstehen (freie Konvektion). 2 Ra = Gr⋅ Pr Die Rayleigh-Zahl Vielfach statt Grashof-Zahl verwendet Sind bei einem speziellen Fall die maßgebenden Kennzahlen gleich gegenüber einem bekannten Fall, so muss auch die Nußelt-Zahl gleich sein und somit ist α berechenbar. Mit dieser Erkenntnis sind umfangreiche Messergebnisse aus den verschiedensten Bereichen abhängig von den Kennzahlen in den o. e. empirischen Gleichungen zusammengefasst worden und zwar in der Form: Nu = f Re , Pr , Gr , Fr , L d Meist enthält eine Gleichung nur 2 oder 3 von diesen Kennzahlen. Das Verhältnis L/d, meist bei Rohren, stellt die Abweichung von der geometrischen Ähnlichkeit dar. Damit werden die Einflüsse am Einlauf gewichtet. Eine gute Übersicht über diese Gleichungen finden Sie bei Cerbe/Hoffmann. Bei Unsicherheiten ist jedoch im VDI-WA nachzulesen. Auch danach bleibt eventuell noch manche Frage offen. Wenn Zeit und Geld es ermöglichen, sollte man dann experimentell an das Problem herangehen. 16.3 Wärmedurchgang Als Wärmedurchgang bezeichnet man den Wärmefluss von einem Fluid zum anderen durch eine feste Wand, wobei die Wärmeleitfähigkeit der Wand und auf beiden Seiten der Wärmeübergangskoeffizient den Wärmefluss bestimmen. Den alles umfassenden Proportionalitätsfaktor k in der Gleichung: Q = k ⋅ A⋅ ∆t nennt man den Wärmedurchgangskoeffizient oder einfach k-Wert. Wie zuvor erläutert, addieren sich die einzelnen Widerstände. Rges = RWÜ1 + RWL + RWÜ2 Für die ebene mehrschichtige Wand in hinreichender Entfernung vom Rand gilt: Rges = 1 + λ + 1 = 1 1 = 1 + δ + 1 ⋅A α 2⋅ A k ⋅ A k α2 δ⋅ A α1 λ α1 Entsprechend für Rohre: Rges = n 1 + 2 ⋅ π ⋅ L α i⋅ ri j= 1 1 ⋅ ∑ 1 ra j 1 ⋅ ln + λ j ri α a⋅ ra j Beispiel: Werden, wie in der Wärmeschutzverordnung (Bundesgesetzblatt), k-Werte für Außenwände vogegeben, so sind darin stillschweigend Annahmen über die Wärmeübergangskoeffizienten getroffen worden, wenn es heißt: "Die Anforderung ( k ≤ 0.5) gilt als erfüllt, wenn Mauerwerk in einer Wandstärke von 36,5 cm mit Baustoffen mit einer Wärmeleitfähigkeit von ( λ ≤ 0.21) W⋅ ( m⋅ K) ausgeführt wird". Welche Annahme für ein mittleres αa wurde dabei getroffen, wenn α für Innenräume mit 5W / m*K angenommen werden kann? Lösung: −1 λ := 0.21 α a := W m⋅ K 1W 2 m ⋅K d := 36.5cm α i := 5 W 2 m ⋅K Vorgabe k= 1 1 + d + 1 α λ α a i k := 0.5 W 2 m ⋅K ( ) α a := Suchen α a α a = 16.2 W 2 m ⋅K 105 Eigentlich ist diese Annahme je nach Lage des Hauses zu niedrig. Allerdings ist der Einfluss von αa auf den k-Wert bei dieser Wand nicht sehr groß: für α a := 35 W k := wird 2 m ⋅K 1 k = 0.508 + + α λ α a i 1 d 1 kg 3 s K Spielen Sie ein wenig mit unterschiedlichen Eingabewerten! Beispiel B 16.1 Taupunkt in einer Außenwand Seite b47 Aufgabe A 16.2 Berechnung des Wärmedurchgangs an einem von Heißdampf durchströmten Rohr Ein Rohr mit den Abmessungen ∅ä := 30⋅ mm und einer Wandstärke s W = 5,5 mm aus V2A-Stahl wird von Heißdampf tHD = 500 °C und p HD = 200 bar durchströmt. Das Rohr wird auf einer Länge von l = 3,3 m unisoliert horizontal durch einen Raum mit einer Lufttemperatur ta = 50 °C geführt. Weiterhin sei bekannt die Massenstromdichte: mA = m A mit a) Wie groß ist der Wärmeübergangskoeffizient α i ? mA := 252 ⋅ kg 2 cm ⋅ h b) Wie groß ist der Wärmeübergangskoeffizient α a ? Lösung S. a184 c) Wie groß ist der Wärmeverlust Q ? Aufgabe A 16.3 Temperaturprofil an einem isolierten Rohr In einem Isolierten Heizungsrohr mit gegebenen Abmessungen strömt Wasser mit einer Temperatur von ti = 60 °C. Die Temperatur im ungeheizten Keller beträgt ta = 10 °C. Welche Wärmeenergie verliert das Rohr auf 1m Länge? Zeichnen Sie das Temperaturprofil in der Rohrwand und der Isolierschicht! Gegebene Größen: Durchmesser da = 35 mm und di = 30 mm , Wandstärke der Isolierung δIs = 15 mm Wärmeleitfähigkeit der Rohrwand λR = 40 W/m*K Wärmeleitfähigkeit der Isolierung: λIs = 0,04 W/m*K , Wärmeübergangskoeffizienten: innen: αi = 300 W/m*K und außen: αa = 10 W/m*K Aufgabe A 16.4 S. a186 Temperaturfeld in einem rechtwinkligen Block Gegeben sei der Querschnitt eines Blockes gemäß Skizze, der zwischen zwei Wasserströmen (durch gute Isolierung getrennt) liegt. Gesucht ist die Temperaturverteilung unter der Annahme, dass die Ausdehnung des Blockes senkrecht zur Bildebene (z-Richtung) genügend groß ist, um einen Wärmestrom in dieser Richtung zu vermeiden. Dabei soll der Wärmeübergang zwischen Block und Wasser, wie Wärmeleitung innerhalb des Blockes behandelt werden. Wasser ta = 0°C 1 4 7 10 10 2 5 8 11 3 3 6 6 9 9 12 12 dy=dx 50°C dx Wasser ti = 100°C Lösung S. a188 106 Aufgabe A 16.5 Temperaturprofil in der Ecke einer Außenwand Es ist das Temperaturfeld in der Ecke einer 36 cm starken Hauswand zu bestimmen Gemäß Skizze sollen 26 Zellen gebildet werden, für die die Summe der Wärmeströme aus den Nachbarzellen jeweils null sein muss) ta 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 gegeben sind die Wärmeübergangskoffizienten innen und außen, die Wärmeleitfähigkeit der Wand und die Lufttemperaturen innen und außen: 10 16 17 18 19 20 21 α a := 30 17 22 23 24 25 26 23 W α i := 5 2 ti W m⋅ K 2 m ⋅K m ⋅K λ := 0.25 W d := 0.06m ti := 20°C ta := 0°C Lösung S. a190 A 16.5a und B 16.3 Verfeinerte Berechnung zu A16.5 s. Seiten a 194 und b 52 Seite a 194 Beispiel B 16.2 Wärmebrücke in der Außenwand Die Außenschale einer isolierten Außenwand gemäß Skizze wird durch Stahlbolzen an der Innenschale fixiert. Die Bolzen bilden Wärmebrücken. Es soll der Einfluss einer solchen Wärmebrücke auf den Wärmedurchgang anhand des Temperaturfeldes in der Umgebung eines Bolzens gezeigt werden. Zu diesem Zweck wird die Umgebung des Bolzens gemäß Skizze in 40 zylindrische Wandelemente mit der Wandstärke dz und der Länge lz aufgeteilt Für jede der Zellen (einschließlich Bolzen mit 8 Zellen) muss die Summe der Wärmeströme aus den Nachbarzellen null sein 41 42 43 44 45 46 47 48 lz ta dz 9 10 1 2 3 13 9 10 17 2 ti 16 4 5 6 7 8 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 DB Gegeben: Innentemperatzur ti = 20 °C Außentemperatur ta = 0°C αi = 5 W/m2*K λWi = 0.5 W/m*K Wärmeübergangskoeffizient innen Wärmeleitfähigkeit der Innenschale Wärmeleitfähigkeit der Außenenschale λWa = 1 W/m*K Wärmeleitfähigkeit der Isolierschicht λIs = 0.04 W/m*K Zellendicke (Rohr) dz = 4 cm Wärmeleitfähigkeit des Stahlbolzens λB = 40 W/m*K Durchmesser des Bolzens Zellenlänge DB = 2 cm dz = 4 cm Wärmeübergangskoeffizient außen αa = 30 W/m2*K Seite b49 107 g 16.4 Wärmeübertrager Wärmeübertrager nennt man die Apparate, deren Hauptaufgabe es ist, Wärme von einem Fluid auf das andere zu übertragen (frühere Bezeichnungen: Wärmetauscher oder Wärmeaustauscher). Die Gestaltung ist je nach Anwendungsfall sehr unterschiedlich. Eine große Gruppe sind die Rekuperatoren mit stationärem Betrieb, bei der die Fluide getrennt voneinander geführt werden und die Übertragung über eine feste Wand (Wärmedurchgang) erfolgt. Eine weitere Gruppe nennt man Regeneratoren. Hier werden die beiden Fluide wechselweise durch denselben Wärmespeicher geführt und laden bzw. entladen dabei den Speicher. Die Temperaturfelder sind instationär. Schließlich gibt es noch Übertrager mit Stoffaustausch (z. B. Wasserdampfdiffusion oder -Verdunstung/Austauen). In diesem Rahmen wird das Grundprinzip des rekuperativen Austausches behandelt. Ansonsten wird auf die Spezialliteratur verwiesen, z. B. VDI-WA. t t1 tmax t2 t1 tmin t1 - t2 tm t1 t2 t2 l Die Bezeichnungen können aus dem nebenstehenden Bild entnommen werden, in dem der Temperaturverlauf über dem Weg in einem Gegenstromwärmeübertrager (s.u.) prinzipiell dargestellt wird. Das Fluid 1 wird durch das Fluid 2 abgekühlt, indem dieses sich erwärmt. Das ganze System wird vereinfachend als adiabat betrachtet, d. h. es wird vorausgesetzt, dass keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Bild 16.4 Temperaturverlauf in einem Gegenstrom- Wärmeübertrager m1,t1 m2,t2 m2,t2 m1,t1 Gegenstrom Gleichstrom Kreuzstrom Bild 16.5 Schematische Darstellung von Wärmeübertragern Nach der Führung des Fluids unterscheiden wir Gegenstom- Gleichstrom- und Kreuzstromapparate gemäß nebenstehender Prinzipskizze. Thermodynamisch ist der Gegenstromapparat der günstigste, da im Grenzfall der unendlichen Länge bei gleichen Enthalpieströmen auf beiden Seiten der reversible und vollständige Wärmeaustausch (besser: Enthalpieaustausch) erreichbar ist. Wegen der geringen örtlichen (treibenden) Temperaturdifferenz zwischen den beiden Fluiden wird er aber dann besonders groß und teuer. Konstruktive Gründe (Bevorzugung platzsparender Platten-Wärmeübertrager mit Kreuzstrom) oder die Notwendigkeit, Rohrwandtemperaturen oberhalb der Warmfestigkeitsgrenze zu vermeiden, z. B. in oder hinter Feuerräumen, erlauben oft keine "Gegenströmer". Die in obigen Skizzen gemäß dem Kap. CA im VDI-WA verwendeten Bezeichnungen lassen sich mit Mathcad nicht darstellen. Deshalb werden folgende Bezeichnungen gewählt: Massenströme Temperaturen: m1 tzu1 und m2 tab1 tzu2 und tab2 analog werden die Enthalpieströme H und Wärmekapazitätsströme W bezeichnet mit W = cp⋅ m Die größte Temperaturdifferenz im Wärmeübertrager (WÜ) ist die zwischen den beiden Eintrittstemperaturen. Alle anderen Temperaturdifferenzen werden dimensionslos gemacht, indem man durch diese dividiert. Damit wird 108 a) Dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz zwischen beiden Stoffströmen: Θ = b) Dimensionslose Temperaturänderungen der Stoffströme 1 und 2: P1 = c) Anzahl der Übertragungseinheiten (Number of Transfer Units) der Stoffströme 1 und 2: d) Wärmekapazitätsstromverhältnisse: ∆tzu = tzu1 − tzu2 mit ∆tzu tzu1 − tab1 P2 = ∆tzu NTU1 = k⋅ A tab2 − tzu2 ∆tzu NTU2 = W1 0≤Θ ≤1 k⋅ A 0 ≤ NTU ≤ ∞ W2 k = mittlerer Wärmedurchgangskoeff. A = WÜ-Fläche R1 = P1 damit ist: ∆tm P2 = W1 R2 = W2 NTU1 NTU2 = 1 = R2 R1 Θ = W2 W1 = P1 NTU1 1 0≤R≤∞ R1 = P2 NTU2 Berechnung: Die mittlere "treibende" Temperaturdifferenz des WÜ ist ∆tm. Es lässt sich zeigen, dass unabhängig von der Stromführung geschrieben werden kann: ∆tm = ∆tmax − ∆tmin ∆tmax ln ∆tmin Hierbei sind ∆tmax und ∆tmin immer die Differenzen zwischen den Temperaturen auf jeweils einer Seite des WÜ Für Gegenstrom gilt nun mit den dimensionslosen Differenzen: für R1 ≠ 1 1−e P1 = ( R1−1) ⋅ NTU1 1 − R1⋅ e 0≤R≤∞ für ( R1−1) ⋅ NTU1 NTU1 = 1 1 − R1 NTU P= 1 − P1 P1 − P2 Θ = 1 − P2 ln 1 − P1 0≤P≤1 R1 = 1 1 − R1⋅ P1 ⋅ ln 0 ≤ NTU ≤ ∞ NTU = 1 + NTU 0≤Θ ≤1 P Θ =1−P 1−P die Indizes 1 und 2 lassen sich vertauschen für Gleichstrom gilt: P1 = 1−e ( ) − NTU1⋅ 1+ R1 1 + R1 0≤P≤1 NTU1 = −ln 1 − P1⋅ ( 1 + R1) 1 + R1 0 ≤ NTU ≤ ∞ Θ = −( P1 + P2) ln1 − ( P1 + P2) 0≤Θ ≤1 die Indizes 1 und 2 lassen sich vertauschen Für Kreuzstromapparate gibt es die unterschiedlichsten Stromführungen in Mischformen als Kreuzgegenstrom mit unterschiedlicher Quervermischung und unterschiedlichen geometrischen Verhältnissen. Hier sei auf das Kap. CA 3 im VDI-WA verwiesen. Die zahlreichen Bilder und Gleichungen erfordern sorgfältiges Studium vor ihrer Anwendung, da sie nicht sehr übersichtlich sind. Aufgabe A 16.6 Berechnung des Temperaturverlaufes in einem Wärmeübertrager mit vorgegebenem k-Wert für Gegenstrom und Gleichstrom Für einen Wärmeübertrager zwischen einem Abwasserstrom (1) und einem Frischwasserstrom (2) in einem kleinen Industriebetrieb können folgende Daten angenommen werden: 109 3 V1 := 5 3 m V2 := 3 h m tzu1 := 90°C h mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient k m := 600 tzu2 := 12°C cpW := 4.2 kJ ρ W := 1000 kg⋅ K kg 3 m W 2 m ⋅K Zeigen Sie die Abhängigkeit der Größe des Wärmeübertragers (Fläche A) von der Austrittstemperatur des Frischwassers a) bei einem Gegenströmer! b) bei einem Gleichströmer! c) Tragen Sie den Temperaturverlauf für beide Seiten in beiden Fällen über dem Weg durch den WÜ auf! Lösung S. a199 Aufgabe A 16.7 Einfluss des durch Verschmutzung verminderten k-Wertes in einem Gegenstromapparat Gegeben ist ein Gegenstromapparat für einen Abgasstrom als Heizmedium und flüssiges Wasser als Kühlmedium. Für den Auslegungszustand sind alle Zustandsgrößen bekannt. Berechnen Sie: a) die Wärmekapazitätsströme, b) die Austrittstemperaturen für den Fall der Verschmutzung (z. B. Ölfilm auf der Abgasseite und Kalkablagerung auf der Wasserseite), indem Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten bis auf 50 % seines Ausgangswertes verringern! gegeben: Fläche des Wärmeübertragers: 2 AWÜ := 15m k-Wert: kWÜ := 110 tzu1 := 200°C 2 m ⋅K Temperaturen im Auslegungszustand: Stoffstrom 1: W tab1 := 50°C Stoffstrom 2: tzu2 := 15°C tab2 := 90°C Lösung S. a203 16.5 Wärmestrahlung 16.5.1 Emission Abhängig von seiner Temperatur und von seiner mikroskopischen und makroskopischen Material- und Oberflächenstruktur sendet jeder Körper eine Strahlung aus, die man einerseits als Emission korpuskularer Energie-Quanten andererseits auch als elektromagnetische Welle deuten kann. Der wesentliche Anteil der Energie wird im Bereich einer Wellenlänge zwischen 0,5 * 10 -6 m und 10-5 m ausgesendet. Im dem engen Bereich zwischen 0,38 * 10 -6 m und 0,78 * 10-6 m ist die Strahlung für den Menschen sichtbar (Licht). Die maximale Strahlung sendet der im physikalischen Sinne schwarze Körper aus. Die Energieverteilung seiner Strahlung über der Wellenlänge wird mit dem Planck'schen Gesetz beschrieben: Schwarze Strahler: i S ( λ , T) = a1 5 λ ⋅T λ ⋅e − 1 a2 mit a1 := 0.3741775 ⋅ 10 iS ist dabei die auf die differenzielle Wellenlänge bezogene Energiedichte (Intensität, Strahldichte) und hat die Einheit: − 15 2 ⋅ W⋅ m Ei := a2 := 0.0143877 ⋅ m⋅ K W 3 m Damit können abhängig von der absoluten Temperatur die Verläufe der spektralen Ausstrahlung dargestellt werden: iS( λ , T) := a1 a2 5 λ ⋅T λ ⋅e − 1 mit T1 := 600K T2 := 800K T3 := 1000K T4 := 1200K T5 := 1400K T6 := 1600K T7 := 1800K 110 −3 Maximalwert der Energiedichte, vergl. Aufgabe A 16.7: λmax( Te) := 2.896 ⋅ 10 m⋅ K Te Te := 500K .. 6000K 11 1.5 .10 Strahlungsintensität in W / m² *m iS ( λmax( Te) , Te) iS ( λ , T1) 11 1 .10 iS ( λ , T2) iS ( λ , T3) iS ( λ , T4) iS ( λ , T5) 10 5 .10 iS ( λ , T6) iS ( λ , T7) 0 0 2 .10 6 4 .10 6 6 6 .10 8 .10 λmax( Te) , λ Wellenlänge in m 6 1 .10 5 12 1 .10 11 1 .10 Strahlung des schw. Körpers in W / m²*m 10 1 .10 9 1 .10 8 1 .10 7 1 .10 6 1 .10 5 1 .10 4 1 .10 3 1 .10 100 10 1 0.1 0.01 3 1 .10 4 1 .10 1 .10 7 6 1 .10 Wellenlänge in m 1 .10 Bild 16.6 Spektrale spezifische Strahlung des schwarzen Körpers in einfach logarithmischer und doppelt logarithmischer Darstellung Aufgabe A 16.8 Berechnung der maximalen Strahlungsintensität (Wien´sches Verschiebungsgesetz) Bei welcher Wellenlänge ist die Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers am größten? a) mit einer Temperatur von t1 = 1000 K 5 111 b) allgemein, tragen Sie die Wellenlänge für die maximale Intensität über der absoluten Temperatur zwischen 500K und t2 = 6000 K auf! c) Welche Oberflächentemperatur hat die Sonne, wenn die maximale Strahlungsintensität bei einer Wellenlänge von λmax = 0,485 mm gemessen wird? Lösung S. a205 Die insgesamt auf 1 m 2 ausgesendete Energie (Emission) des schwarzen Körpers ist: −3 ⌠ 10 m eS( T) := i S ( λ , T) dλ ⌡ −7 10 eS( 1000K) = 5.6705 × 10 z. B. 4 W 2 m ⋅m eS( 500K) = 3.544 × 10 3 W 2 m Mit dem Gesetz von Stefan-Boltzmann e S ( T) = σ ⋅ T 4 ergibt sich σ := eS( 1000K) ( 1000K) −8 σ = 5.6705 × 10 W 2 4 σ := m ⋅K 4 eS( 500K) ( 500K) 4 W −8 σ = 5.6705 × 10 2 4 m ⋅K W −8 σ = 5.6705 × 10 2 4 m ⋅K σ ist die nach Stefan und Boltzmann benannte Strahlungskonstante des schwarzen Körpers. Für ein handlicheres Zahlenformat - auch beim Rechnen mit Mathcad - ist folgende Definition zu empfehlen: mit 8 CS := σ ⋅ 10 T eS( T) := CS⋅ 100 Lambertsches Kosinusgesetz: Ein schwarzer Körper strahlt diffus in alle Richtungen. Die Energiedichte in Richtung des Winkels β zur Flächennormalen einer abstrahlenden Oberfläche nimmt mit dem Kosinus des Winkels β ab, (entsprechend der Projektion der Fläche im Winkel β), d. h.: 4 CS := 5.6705 W 2 4 m ⋅K e = en cos en eβ = en⋅ cos( β ) damit ist die Gesamt strahlung der Fläche ∆A (vergl. Aufgabe A 16.8): ES = ∆A⋅ π ⋅ en A Bild 16.7 Lambertsches Kosinusgesetz Aufgabe A 16.9 Zusammenhang zwischen Strahlungsdichte in Richtung der Flächennormalen und diffuser Gesamtstrahlung Zeigen Sie, dass die gesamte Strahlung in den Raum (Halbkugel) das π-fache der Strahlung in Richtung der Flächennormalen ist! Lösung S. a208 Aufgabe A 16.10 Berechnung der Solarkonstanten (Sonneneinstrahlung auf die Erde) a) Welche Energie wird von der Sonne pro m 2 Oberfläche ausgesendet, wenn man die Sonne als schwarzen Körper betrachtet, dessen Oberfläche eine Temperatur von 5762 K hat? b) Welcher Anteil davon wird im Bereich des sichtbaren Lichtes 0,38 µm < λ <0,78 µm ausgesendet? vergleichen Sie diesen Anteil mit dem einer Glühlampe mit 2000 K! 112 g p c) Wie hoch ist die Energiedichte der Sonnenstrahlung auf der Erde (außerhalb der Atmosphäre), wenn die Sonne einen Durchmesser von 13,92 *10 5 km und eine Entfernung von der Erde von 1,496 * 10 8 km aufweist? Lösung S. a209 Graue Strahler Der im physikalischen Sinne graue Strahler emittiert in jedem Wellenlängenbereich und in jede Richtung einen konstanten Anteil ε der vom schwarzen Strahler emittierten Energie. Der Faktor ε heißt Emissionsgrad. Er ist sowohl abhängig vom Stoff und der Struktur der Oberfläche als auch von ihrer Temperatur. somit gilt für den idealen grauen Strahler, der meist für Näherungsrechnungen zugrundegelegt wird: iGr( λ , T) = ε ( T) ⋅ i S( λ , T) und: eGr( T) = ε ( T) ⋅ σ ⋅ T 4 bzw. 100 eGr( T) = ε ( T) ⋅ CS⋅ T 4 Emission eines grauen Strahlers im Vergleich zum schwarzen Strahler mit ε = 0,75 iGr( λ , T) := ε ( T3 ) ⋅ iS( λ , T) ε ( T3 ) := 0.75 10 Strahlungsintensität in W / m²*m 1.5 .10 10 1 .10 Bild 16.8 Strahldichte (Intensität) eines grauen Strahlers 9 5 .10 0 0 2 .10 6 4 .10 6 6 6 .10 8 .10 Wellenlänge in 6 1 .10 5 16.5.2 Auftreffende Strahlung Die auf die Oberfläche eines anderen Körpers auftreffende Strahlung wird zum Teil absorbiert (Anteil a) zum Teil reflektiert (Anteil r) und zum Teil durchgelassen (Anteil d). Es ist also a + r + d = 1. Je nach Struktur des Stoffes, dessen Oberflächenbeschaffenheit, Wellenlänge, Temperatur und Strahlungsrichtung liegen die einzelnen Anteile zwischen 0 und 1. Für den schwarzen Körper ist a S = εS = 1 mit rS = d S = 0 (Kirchhoff´sches Gesetz). Für den (physikalisch) grauen Körper gilt r Gr + aGr = 1 (dGr = 0 ). Weiter ergibt sich aus dem 2. Hauptsatz aGr = εGr (richtungsunabhängig). Reale Körper können in den technisch wichtigen Bereichen oft angenähert als graue Strahler und Absorber behandelt werden. Insbesondere bei kleinen Wellenlängen, entsprechend also hohen Temperaturen des Emitters ( z. B. Sonne), sind Absorptionsgrad und Emissionsgrad aber unterschiedlich. Auf die Richtungsabhängigkeit bei kleinen Wellenlängen sei ebenfalls hingewiesen. Gase können nicht als graue Strahler behandelt werden. Sie lassen die Strahlung durch (d = 1) oder strahlen und absorbieren selektiv (farbige Strahler). Näheres finden Sie im VDI-WA oder in: Baehr/Stephan: "Wärme- und Stoffübertragung". 16.5.3 Wärmeübertragung durch Strahlung Beteiligt seien zwei Körper. Beide Körper emittieren gemäß ihrer Struktur und Temperatur, wie in Abschnitt 16.5.1 beschrieben. Da sie auch absorbieren und reflektieren, entsteht ein Austausch von Energieanteilen, der mit bekannten Emissions- und Absorptionsgraden und bekannten geometrischen Verhältnissen über Reihenentwicklung beschrieben werden kann. Es werden einige einfache Fälle mit grauer Strahlung behandelt: allgemein lässt sich definieren: T1 4 Q1_2 = A⋅ CS⋅ ε 1_2⋅ − 100 4 T2 100 113 dabei ist ε 1_2 die zwischen beiden Körpern wirksame Strahlungsaustauschzahl. Sie kann für einfache Fälle ü ber geometrische Reihen hergeleitet werden: 1. Wärmefluss zwischen zwei ebenen parallelen Wänden großer (unendlicher) Ausdehnung. 2. Wärmefluss zwischen zwei Flächen, bei denen die erste (A 1) von der zweiten (A2) völlig umschlossen wird. 1 1 ε1 ε 1_2 = + 1 ε2 −1 1 A = A1 A1 1 + ⋅ − 1 A ε1 2 ε2 1 ε 1_2 = ε 1 Für A2 >>A1 wird daraus: Aufgabe A 16.11 ε 1_2 = Wärmestrahlung zwischen Mensch und Umgebung (Bad) Ein durchschnittlich gebauter Mensch mit einer Körperoberfläche von 1,8 m 2 geht morgens direkt nach dem Aufstehen aus dem warmen Bett mit einer Körperoberflächentemperatur von tMa = 35 °C unter die Dusche. Im Bad war das Fenster geöffnet und die Wände und Luft haben eine Temperatur von tW1 = 15 °C und tL1 = 15 °C angenommen. Der Mensch fühlt sich unbekleidet nicht wohl, bevor er das warme Wasser aufdreht. a) Stellen Sie annähernd in diesem Zustand Wärmebilanz über die Haut des Menschen auf, wenn angenommen werden kann, dass die innere Wärmeproduktion des Menschen im Stehen ohne weitere körperliche Tätigkeit etwa 125W beträgt! b) Auf welche Temperatur muss er die Wände der Duschkabine mit warmem Wasser erwärmen, um nicht zu frieren? Q Der Wärmeübergangskoeffizient (Konvektion) kann mit αK = 6 W/m2*K , der Emissionsgrad der menschlichen Haut mit εM = 0,92 und der der gekachelten Duschkabine εW = 0,9. Die Duschkabine sei als geschlossener Raum mit einer Oberfläche von AW = 10 m2 angenommen. S. a210 Strahlungsaustausch zwischen begrenzten Flächen: Beim Strahlungsaustausch zwischen begrenzten Flächen geht ein Teil der jeweils von einer Fläche emittierten und reflektierten Strahlung an der anderen vorbei. Die Anteile sind bedingt durch die geometrischen Verhältnisse. Beispiel: Strahlungsaustausch zwischen einer kleinen Fläche A1 und einer kreisförmigen Scheibe A2 mit dem Durchmesser R im Abstand d. Die Fläche A2 sei ein schwarzer Strahler (Absorber) mit ε 2 := 1 A2 R dA2 d := 5m R := 5m r 2 A1 := 1m d A1 en := 1 ε 1 := 1 W 2 eges := π ⋅ en eβ ( β ) := en⋅ cos( β ) m auf die Ringfläche dA2 trifft die Strahlung dE A2( β ) = eβ ( β ) ⋅ 2 ⋅ π ⋅ dβ⋅ sin( β ) vergl. Aufgabe A 16.8 Bild 16.9 Strahlung auf eine begrenzte Fläche R α := atan d ⌠ EA2 := 2 ⋅ π ⋅ A1⋅ en⋅ ⌡ α 0 cos( β ) ⋅ sin( β ) dβ EA2 = 1.571 W 114 Für R>>d , z. B. R := 5000m erhält man die in den Hohlraum der Halbkugel abgestrahlte Energie: α := atan ⌠ EHaKu := 2 ⋅ π ⋅ A1⋅ en⋅ ⌡ R d Es wird definiert: α cos( β ) ⋅ sin( β ) dβ EHaKu = 1 A1⋅ π ⋅ en 0 ϕ 1_2 := EA2 EHaKu ϕ 1_2 = 0.5 EA2 := ϕ 1_2⋅ A1⋅ ε 1⋅ eges EA2 = 1.571 W ϕ1_2 ist die rein geometrisch bedingte sogenannte Einstrahlzahl für die Strahlung (Emission und Reflexion) der Fläche 1 auf die Fläche 2. Sind beide Flächen graue Strahler und endlich, so sind die wechselseitigen Strahlungen mit den Einstrahlzahlen in beiden Richtungen zu berücksichtigen. dA2 allgemein gilt: Q1_2 = 2 s 1 ( σ ⋅ ε 1⋅ ε 2⋅ A1⋅ ϕ 1_2 )( ) 1 − 1 − ε 1 ⋅ 1 − ε 2 ⋅ ϕ 1_2⋅ ϕ 2_1 ⌠ ⋅ ϕ 1_2 = π ⋅ A1 ⌡ 1 ⌠ ⌡ ( ) ( ) cos β 1 ⋅ cos β 2 2 mit: dA1 dA2 s 8 ϕ 1_2⋅ A1 = ϕ 21⋅ A2 dA1 =rechter Winkel Die Berechnung dieses Integrals ist in der Regel sehr schwierig und mühsam. Für eine Reihe von technisch wichtigen Anwendungsfällen findet man jedoch im VDI-WA in Kap. Kb Lösungen in Form von Gleichungen und Diagrammen Bild 16.10 zur Berechnung der Einstrahlzahl Aufgabe A 16.12 Wärmestrahlung aus einem Muffelofen auf eine Abschirmung 1m 0,5 m R= 0,2 m Ein zylindrischer Muffelofen gemäß nebenstehender Skizze ist in einem großen Raum mit 20 °C Wandtemperatur aufgestellt. Berechnen Sie a) die abgestrahlte Wärme ohne Abschirmung der Öffnung, b) die auf die kreisförmige Abschirmung durch Strahlung übertragene Wärme (keine Temperaturdifferenzen am Schirm), c) Die mit Abschirmung insgesamt abgestrahlte Wärme. Die Innenwandung des Ofens hat einen Emissionskoeffizienten von 0,1 und der Schirm 0,8 mit diffuser Strahlung bzw. Reflexion! gegeben: L= 0,5 m 950°C Ofenradius: r1 := 0.1⋅ m Ofentemperatur: t1 := 950°C Schirmradius: r2 := 0.5m Raumtemperatur: tR := 20°C Abstand: a := 0.5⋅ m Lösung S. a211 115 16.6 Weitere Aufgaben und Beispiele Beispiel B 16.4 Abkühlung eines Gießlings lG DG Gegeben: Ein zylindrischer Rohling aus Polyamid, aus dem Zahnräder gefertigt werden sollen, hat nach dem Gießen eine Temperatur von 170°C an der Oberfläche und 240°C im Kern Zur Vermeidung von Spannungen beim Abkühlen bis auf 70°C darf die Temperaturtransiente erfahrungsgemäß 10°C/Stunde nicht überschreiten. a) Es ist zu zeigen, dass bei freier Lagerung des Gießlings (Abkühlung an der Außenluft) mit den unten angegebenen Daten diese Bedingung nicht erfüllt ist.. b) Um die Abkühlung zu verzögern, sollen mehrere Gießlinge in einen mit 10 cm Steinwolle abisolierten würfelförmigen Behälter mit einem Volumen von 1,5 m 3 eingelagert werden. Wieviele Gießlinge muss man gleichzeitig in diesen Schrank einlagern, damit die maximale Abkühlgeschwindigkeit nicht überschritten wird? Durchmesser: DG := 210mm Wärmeleitfähigkeit: λ := 0.3 Spezif. Wärmekap. W m⋅ K cG := 1700 Länge lG := 1.3m Dichte: ρ := 1110 kg 3 m J kg⋅ K Temperatur in der Umgebung: tU := 20°C Seite b54 116 Literaturverzeichnis Baehr, Hans D., Kabelac, S: Thermodynamik : Grundlagen und ihre technischen Anwendungen ; 13., neu bearb. u. erw. Aufl., Springer 2006 Berlin [u.a.] ISBN: 978-3-540-32513-0 Baehr, Hans Dieter ; Stephan, Karl. Wärme- und Stoffübertragung 3. Aufl. Berlin [u.a.] : Springer 1998 Baehr, Hans Dieter: THERMODYNAMISCHE FUNKTIONEN IDEALER GASE FUER TEMPERATUREN BIS 6000 GRAD K. VON TAFELN FUER AR, C, H, N, O, S UND 24 IHRER ZWEI- UND DREIATOMIGEN VERBINDUNGEN. BERLIN (U.A.): SPRINGER 1968. 73 S. Böckh, Peter von, Kretzschmar, Hans-Joachim: Technische Thermodynamik Ein beispielorientiertes, praxisbezogenes Lehrbuch 2., vollst. neu bearb. 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Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer Berlin, Heidelberg (2001), ISBN: 3540422773 117 Böckh, Peter von: Fluidmechanik, Einführendes Lehrbuch, ,ursprünglich erschienen bei Verlag Bildung Sauerländer, Aarau, 2., neu bearb. Aufl., Springer 2004, ISBN: 978-3-540-22076-3 Böckh, Peter von: WärmeübertragungGrundlagen und Praxis 2., bearb. Aufl., Springer 2006, ISBN: 978-3-540-31432-5 Böckh, Peter von, Kretzschmar, Hans-Joachim: Technische Thermodynamik, ein beispielorientiertes, praxisbezogenes Lehrbuch. Erste Auflage erschienen bei Sauerländer unter v. Böckh; Cizmar; Schlachter: Grundlagen der technischen Thermodynamik 2., vollst. neu bearb. 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Anwendungen in Mathcad und PSpice Springer (1999) ISBN 3-540-65587-5 Henning, Gerhard: Technische Mechanik mit Mathcad, Matlab und Maple, Vieweg (2004), ISBN: 3528039663 Pflaumer, Peter; Kohler, Hans-Peter: Investitionsrechnung, Oldenbourg (2004), ISBN: 3486254472 Stephan, Wolfgang : Leistungselektronik interaktiv, in. CD-ROM Fachbuchverlag Leipzig (2000), ISBN: 3446193987 Schlüter, Gerd: Regelung technischer Systeme interaktiv Fachbuchverlag Leipzig (2001), ISBN: 3-446-21781-9 Schlüter, Gerd: Digitale Regelungstechnik interaktiv“, Fachbuchverlag Leipzig (2000) ISBN: 3-446-21477-1 Seidel, Heinz-Ulrich; Wagner, Edwin: Allgemeine Elektrotechnik, Gleichstrom - Felder - Wechselstrom Fachbuchverlag Leipzig (2003) ISBN 3-446-22090-9 Sperlich, Volker: Übungsaufgaben zur Thermodynamik mit Mathcad, Fachbuchverlag Leipzig (2002), ISBN 3-446-21603-0 Trölß, Josef: Angewandte Mathematik mit Mathcad. Lehr- und Arbeitsbuch Band 1: Einführung in Mathcad 2. Aufl, 2007, XIV, 474 S. Mit zahlreichen Abbildungen., Softcover ISBN: 978-3-211-71178-1 Band 2: Komplexe Zahlen und Funktionen, Vektoralgebra und Analytische Geometrie, Matrizenrechnung, Vektoranalysis 2. Aufl., 2007, X, 545 S. Mit zahlr. Abb., Softcover ISBN: 978-3-211-71176-7 Band 3: Differential- und Integralrechnung 2. Aufl., 2007, IX, 486 S. Mit zahlreichen Abbildungen., Softcover ISBN: 978-3-211-71180-4 Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen 2. Aufl., 2007, IX, 481 S. Mit zahlreichen Abbildungen., Softcover ISBN: 978-3-211-71182-8 Trölss, Josef: Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicberung mit Hilfe von Mathcad Trauner Verlag (2000) ISBN 3-85487-123-6 118 Wagner, Andreas; Wambach, Thomas: Elektrische Netzwerkanalyse. Anwendungen in Mathcad. 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