Formelsammlung TEDY

FORMELSAMMLUNG DER
TECHNISCHEN
ELEKTRODYNAMIK
Heinz Teutsch
9. Oktober 1998
INHALTSVERZEICHNIS
VEKTORANALYSIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Kurven-, Flachen- und Volumenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Vektoranalytische Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Integralsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Allgemeine Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Umrechnungen von Einheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
LADUNG, STROM UND ELEKTROMAGNETISCHES FELD . . .4
Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Amperesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Kontinuitatsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Lorentzsches Kraftgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
E und B Feld gleichformig bewegter Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Elektromagnetische Wechselwirkung zweier bewegter Punktladungen . . . . . 6
Abhangigkeit der Feldgroen vom Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
MAXWELLSCHE GLEICHUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Das Gesetz von Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Das Durchutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Magnetischer Flu und seine zeitliche A nderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Grenzbedingungen fur E und B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ELEKTROSTATIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Elektrisches Potential und elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Elektrischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Apolloniuskreisbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Poissonsche Dierentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Energie des E Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
METALLISCHE LEITER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Hall-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Allgemeines Problem stationarer Stromverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ohmscher Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Mehrleitersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
MAGNETOSTATIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Magnetischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
I
Selbstinduktivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
Wechselseitige Induktivitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
INDUZIERTE QUASISTATIONA RE STRO ME . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Quasistationare Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Induzierte Schleifenstrome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Energie des B Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Bewegte Leiterschleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ELEKTRISCH POLARISIERBARE STOFFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
Elektrische Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Polarisationsladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Polarisationsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Freie Ladungen und elektrische Verschiebungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Elektrische Materialgroen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
MAGNETISCH POLARISIERBARE STOFFE . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Magnetische Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
Magnetisierungsstrome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
Freie Strome und magnetische Feldstarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
Magnetische Materialgroen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
Die Maxwell-Gleichungen mit D und H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
ELEKTROMAGNETISCHE ENERGIEBILANZ . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Elektrische Leistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
Gespeicherte elektrische Energie im Fall linearer Dielektrika . . . . . . . . . . . . . 34
Magnetische Leistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Gespeicherte Energie im Fall weichmagnetischer Stoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Elektromagnetische Energiestromdichte (Poynting-Vektor) . . . . . . . . . . . . . . 35
RETARDIERTE LO SUNGEN DER MWG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Allgemeine homogene Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Inhomogene Wellengleichung fur E und B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Inhomogene Wellengleichungen fur dynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . 36
Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Zeitveranderlicher Dipol (Hertzscher Dipol) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Zeitveranderlicher magnetischer Dipol (Fitzgeraldscher Dipol) . . . . . . . . . . . 40
Materialeigenschaften unter dynamischen Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ANHANG: KOORDINATENSYSTEME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II
VEKTORANALYSIS
Kurven-, Flachen- und Volumenelemente
dr = d% e% +% d e +dz ez
dr = dr er +r d# e# +r sin # d e
(1.53a)
(1.53b)
da = % d dz e%
da = d% dz e
da = % d% d ez
da = r2 sin # d# d er
da = r sin # dr d e#
da = r dr d# e
(1.55a)
(1.55b)
(1.55c)
(1.55d)
(1.55e)
(1.55f)
dV = % d% d dz
dV = r2 sin # dr d# d
(1.54a)
(1.54b)
Vektoranalytische Operationen in kartesischen Koordinaten
r = @x@ ex + @y@ ey + @z@ ez
(1:6)
@U
@U
@U
(1:5; 1:7)
grad U = r U = @x ex + @y ey + @z ez
@F
@F
y
@F
x
z
divF = r F = @x + @y + @z
(1:12; 1:13)
@F
@F
y
@F
@F
y
@F
@F
x
z
x
z
rot F = r F = ( @y , @z )ex + ( @z , @x )ey + ( @x , @y )ez (1:32; 1:33)
Vektoranalytische Operationen in Zylinder- und Kugelkoordinaten
1 @U
@U
grad U = @U
@% e% + % @ e + @z ez
1 @U
1 @U
grad U = @U
@r er + r @# e# + r sin # @ e
(1.56a)
(1.56b)
@Fz
divF = %1 [ @%@ (%F% )+ @F
@ ]+ @z
@ (F# sin #)+ @F ]
divF = r12 @r@ (r2 Fr )+ r sin1 # [ @#
@
(1.57a)
(1.57b)
@F% @Fz
@F%
1 @
z @F
rot F = [ %1 @F
@ , @z ]e% +[ @z , @% ]e + % [ @% (%F ), @ ]ez
rot F = r sin1 # [ @#@ (F sin #), @F@# ]er + r1 [ sin1 # @F@r , @r@ (rF )]e#+ r1 [ @r@ (rF#), @F@#r ]e
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
(1.58a)
(1.58b)
1
1 @2U @2U
r2 U = div grad U = %1 @%@ (% @U
@% )+ %2 @2 + @z2
1 [ @ (sin # @U
1 @2U
r2 U = div grad U = 1r @r@ 22 (rU )+ r2 sin
@# )+ sin # @2 ]
# @#
(1.59a)
(1.59c)
(G r)F = G% @@%F + %1 G @@F +Gz @@zF
(G r)F = Gr @@rF + 1r G# @@#F + r sin1 # G @@F
(1.60a)
(1.60b)
Integralsatze
Gau :
ZZ
lF da = ZZZ divF dV
RRR divF dV = P RR
F da
S
G
bei mehreren nach auen orientierten Flachen :
Gau fur Gradienten :
I
Stokes :
F dr =
G
RRR (grad U ) dV = RR
U da
ZZ
rot F da
K
S
bei mehreren rechtshandig orientierten Kurven :
ZZ
S
K
ZZZ
l
(rU ) da =
(r2 U ) dV
Green (Spezialfall 1) :
S
G
ZZ
ZZZ
Green (Spezialfall 2) : l(U rU ) da =
(U r2 U + (rU )2 ) dV
S
Weiterer Integralsatz :
G
RR
RRR
F da = , rot F dV
S
G
(1.14b)
RR rot F da = P H F dr
S
(1.14a)
(1.27)
(1.35a)
(1.35b)
(1:25)
(1:26)
(1:41)
Allgemeine Formeln
rot grad U = 0
div rot F = 0
(1:38)
(1:40)
er
eR
P
P´
R:= r-r´
r´
r
0
eR = RR = (jrr,,rr00 )j
(1:63)
2
grad (U1 U2 ) = U1 grad U2 + U2 grad U1
div (U F ) = U div F + F grad U
div (F 1 F 2 ) = F 2 rot F 1 , F 1 rot F 2
rot (U F ) = U rot F , F grad U
r2 F = grad(div F ) , rot(rot F )
(G r)U = G grad U
(G r)F = Gx @@xF + Gy @@yF + Gz @@zF
2(Gr)F =rot (F G)+ grad (F G) , F div G + G div F , F rot G , Grot F
grad (F G) = (F r) G + (G r) F + F rot G + G rot F
(G r) U F = F (G grad U ) + U (G r) F
rot (F G) = (G r) F , (F r) G + F div G , G div F
(1.36a)
(1.36b)
(1.36c)
(1.36d)
(1.36e)
(1.36f)
(1.36g)
(1.36h)
(1.36i)
(1.36j)
(1.36k)
Umrechnungen von Einheitsvektoren
e% = (|e%{zex}) ex + |(e%{zey}) ey + (|e%{zez}) ez = cos ex + sin ey
cos 0
sin er = (|er{ze%}) e% + (|er{ze}) e + (|er{zez}) ez = sin # e% + cos # ez
sin #
0
cos #
cos , sin 0
cos #
, sin #
0
ex = (|ex{ze%}) e% + (|ex{ze}) e + (|ex{zez}) ez = cos e% , sin e
ez = (|ez{zer}) er + (|ez{ze#}) e# + (|ez{ze}) e = cos # er , sin # e#
(1.51a)
(1.51b)
(A 40)
(A 46)
e = ez e% = , sin ex + cos ey
(1.51c)
e# = e er = cos # e% , sin # ez = cos #(cos ex + sin ey ) , sin # ez (1.51d)
e% e# = cos #
ey e = cos ex er (1.51b)
= ex [sin # e% + cos # ez ] (1.51a)
= sin # cos ey er = sin # sin exe# = cos # cos ey e# = cos # sin Nutzliche Integralbeziehungen
b(x)
b(x)
d R f (x; u) du = R @f du + f (x; b) db
dx a
dx
a @x
3
(11:61)
LADUNG, STROM UND ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Coulombsches Gesetz (nur fur ruhende Ladungen!)
r12
e 21
F1
e 12
F2
q
q
1
F 1 = 41 0 qr1122q2 e21 = ,F 2
2
(2.5a,b)
Feldliniengleichung
V dr = 0
(1:1)
Ladung
8 RRR
% dV
>
>
< RRG
Q = > S da
>
: R ds
(2.6b,2.7b,2.8b)
K
Kraft einer Linienladung auf eine Punktladung :
F q = q 2 0% e%
(2:9)
Amperesches Gesetz
i1
e
i2
e
21
12
ρ12
-
∆s
∆F1 ∆F2
F 1 = , 0 i1 i2 e21
s
2%12
F 2 = ,F 1
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
(2:19)
4
Kontinuitatsgleichung
dQ = , I
dt
(I : Gesamtstromstarke durch Hullache)
div J = , @%
@t
RR
R
J da + K t ds + P(,i ) = ,Q_ = I
mit J = % u und K = u und i = ueu
@i = , @
Fur dunne Drahte (in z-Richtung) gilt : @z
@t
(2:22)
(2:23)
(A 8)
(2.11b,2.15)
(Bsp. 2.3.1a)
Lorentzsches Kraftgesetz
F = q (E + u B)
Bei z.B. zwei Ladungen gilt : F 1 = q1 (E (2) + u1 B (2) )
Dabei bedeutet
(2)
(2:24)
das jeweilige Feld von Ladung 2 am Ort der Ladung 1 gemessen.
E und B Feld gleichformig bewegter Punktladungen
q
u
(z)
ϑ (t)
r(t)
e α(t)
⊗
P (fest)
e r(t)
2
1 , uc20
q
E = 40r2 q u2 2 3 er
1 , 2 sin #
(2:25)
c0
2
1 , uc20
q
0
B = 4r2 q u2 2 3 u er
1 , c20 sin #
mit u = 0 !
mit juj c !
0
E = 4q0r2 er
E = 4q0r2 er
(2:26)
und
B=0
und
#
B = 4r0 q2 u er = 0qu4rz sin
2 e (2:28)
B = 00u E = c12 u E
(2:27)
(2:29)
0
5
Elektromagnetische Wechselwirkung zweier bewegter Punktladungen
u1
u2
ϑ1
e 21
q
ϑ2
r 12
q
1
e 12
2
F2
F1
u22
1,
F 1 = 4q10qr2122 r u22 c20 2
1, sin #
F2 =
3
2
c20
u21
q1 q22 r 1, c20 3
40 r12 1, u21 sin2 #
1
c20
h1
i
h1
i
0 e21 + 0 u1 (u2 e21 )
(2.30a)
0 e12 + 0 u2 (u1 e12 )
(2.30b)
Abhangigkeit der Feldgroen vom Bezugssystem
(x’)
(x)
u0
(z)
(z’)
Σ
(y)
Σ’
(y’)
Laborsystem
bewegtes System
2
Fur uc20 1 gilt :
0
E 0 = E + u0 B
B0 = B , c120 u0 E
(2.34a)
(2.34b)
J 0? = J ?
J 0k = (J k , % u0 )
%0 = % , c120 u0 J
(2.36a)
(2.36b)
(2.36c)
6
MAXWELLSCHE GLEICHUNGEN
div E (r; t) = %(r ; t)
0
(3:1)
@ B (r; t)
rot E (r; t) = , @t
div B (r; t) = 0
(3:2)
h
(3:3)
i
@ E (r; t)
rot B (r; t) = 0 J (r; t) + 0 @t
(3:4)
RR
RRR
E (r; t) da = 10 %(r; t) dV = Q(0t)
HS E (r; t) dr = , RRG@ B(r; t) da = ,_ (B_ )(t)
@t
K
S
RR
B (r; t) da = 0
S
hRR
i h
H
RR @
B(r;t)dr=0
K
S
J (r;t)da+0 S
@t E (r ;t)da
(3:41)
i
=0 I (t)+0 RR @t@ E(r;t)da
S
(3:42)
(3:43)
(3:44)
Die Quellen von E
RR
E da =
(
S
q
0 ; wenn S die Punktladung einschliet
0; wenn S die Punktladung nicht einschliet
(3.5a,3.5b)
Das Gesetz von Biot-Savart
K
i
t´
dr´
P
r-r´
r´
r
0•
B(i)(r) = 40 H i drjr0 ,(rr0,j3r0)
K
0
0
B(K)(r) = 40 RR
Kdajr,r(r0 j,3 r )
S
B(J )(r) = 40 RRR J dVjr0,r(r0j,3 r0 )
(3.10b)
G
=)Bges =B(i) +B(K ) +B(J )
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
7
Anwendung: Linienstrom
i
z1
z´
0
z2
z
r´
i
ρ
r
( r-r´ )
(z)
e
P⊗ α
eρ
Es gilt : r = z ez + %e% ; r 0 = z 0 ez ; dr 0 = dz 0 ez
Rz2 0
0
Rz2
0
e =
B (P ) = 40i dz epz (z[(,z,z0z)2)+e%z2+3%e% ] = 40i % p(z,dz
0
z )2 +%2 3 zh1
z1
i
0 i p z,z1
p z,z2
= 4%
(z,z1 )2 +%2 , (z,z2 )2 +%2 e
Feld eines geraden Linienstroms (z ! ,1 ; z ! +1):
1
2
B = 2%0 i e
Ni e (innen)
Feld einer torusformigen Spule (B = 0 auen) : B = 20%
Feld einer unendlich langen Zylinderspule: B (0; 0; z ) = 0 K ez
Feld einer unendlich ausgedehnten Ebene ? z-Achse : B = 02K0 ex
-
K0
+
⊗B
ey
⊗
⊗
(3.11a)
(3.11b)
(Bsp. 6.4.2)
(A 13)
(3:45)
ez
ex
⊗
⊗
Kraft auf ein Stromelement:
8
>
< i dr B
dF = > K da B
: J dV B
(A 15)
Das Durchutungsgesetz
(
H B dr = 0Pi ; wobei die i im Rechtsschraubensinn von K umfat werden
0; wenn K keinen Strom umfat
K
H B dr = I = RR J da + RR E_ da = (I + I
K
0
0
S
0
0
S
Feld im Inneren einer Zylinderspule (Lange l) :
8
D
B = 0lNi ez
versch )
(3:23; 3:24)
(3:25; 3:29)
(A 93)
Magnetischer Flu und seine zeitliche A nderung
RR
= B da
RR
H
_ = _ (B_ ) + _ (u) = B_ da , (u B ) dr
(3:32)
(3:33; 3:34)
S
K
Achtung: In die integrale Form des Induktionsgesetzes (3.42) geht nur _ (B_ ) ein !!
Im Gleichstromfall gilt: _ (B_ ) 0
Grenzbedingungen fur E und B
Div E := n (E + , E , ) = = pol+ f
0
0
(3:65)
Rot E := n (E + , E , ) = 0
(3:66)
Div B := n (B + , B , ) = 0
(3:67)
Rot B := n (B + , B , ) = 0 K = 0 (K f + K mag)
(3:68)
Grenzbedingung der Kontinuitatsgleichung: Div J := n (J + , J , ) = ,_
(3:69)
In Worten: Die Normalkomponente von E an einer geladenen Flache ist unstetig
und springt um 0 , wenn man von der negativen zur positiven Seite hindurchtritt.
In Worten: Alle Tangentialkomponenten von E bzgl. einer Flache sind dort stetig.
In Worten: Die Normalkomponente von B ist an allen Grenzachen und unter allen
Umstanden stetig.
In Worten: Die zum Flachenstrom senkrechte Tangentialkomponente von B ist unstetig an strombelegten Flachen, die parallele Tangentialkomponente dagegen stetig.
Merke : Berechnung eines Feldes entweder uber die integralen MWG
(im symmetrischen Fall anwenden) oder uber die dierentiellen
MWG+Grenzbedingungen
9
ELEKTROSTATIK
Die MWG in der Elektrostatik
div E = % = %frei+%pol
0
0
rot E = 0
(4:1)
(4:2)
Elektrisches Potential und elektrisches Feld
E = ,grad ' = ,r'
(4:3)
'(P ) = , E dr
(4:4)
' existiert, da Gl. (4.2) im ganzen (einfach zusammenhangenden) Raum gelten soll.
RP
P0
Punktladungspotential fur r0 ! 1 : '(r) = 4q 0 r
ln %0
Potential einer Linienladung : '(%) = 2
0 %
Feld einer Linienladung : E = 2 0 % e%
Potential einer geladenen Ebene ? z-Achse : '(z ) = 20 (,jz j)
Feld einer unendlich ausgedehnten, geladenen Ebene ? z-Achse : E = 20 ez
-
+
(4.7b)
(4:8)
(4:9)
(A 29)
(3:70)
E
ey
⊗
ez
ex
σ
Potential einer homogen geladenen Kugel :
mit :
'=
Q0 = %0 43 R3
(
%0
60 (33 R2 ,r2 ) ; r<R
%0 R = Q0 ; r>R
30 r 40 r
(4.26a,b)
Grenzbedingungen des elektrischen Potentials
n ((r')+ , (r'), ) = , 0
(4:5)
(r') heit: zuerst den Gradienten bilden und dann z.B. r=R einsetzen.
Potential ist stetig: '+ = ',
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
10
(4:6)
Elektrischer Dipol
Dipolmoment (zeigt von neg. zur pos. Ladung) : p = q l
Potential eines Dipols (Naherung) : '(P ) = ql4cos0 r#2
U bergang zum Punktdipol : l ! 0 ; p = q l = const:
per 2
Potential eines Punktdipols (exakt) : '(P ) = 4ql0err2 = 4
0r
p
z
Feld eines Punktdipols : E = 40 r3 (2 cos # er +sin # e# )
Kraft auf Punktdipol im externen E Feld : F = (pr)E =px @@xE +py @@yE +pz @@zE
(Berechnung der Kraft in Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten ! Gl. (1.60))
Im statischen Fall (rot E = 0) gilt : F = (pr)E r=r 0 = r(p E )r=r0
(4:12)
(4:13)
(4:14)
(4:13)
(4:15)
(4:17)
(A 32)
(z)
p
p
q1
(x)
r
0
F (auf pk) = , 2q1 p0kr03
oder F (auf p? ) = 4q1 p0?r03
(A 32)
Drehmoment auf Punktdipol im externen Feld : T = rF +pE =r(pr)E +pE (4:18)
Apolloniuskreisbeziehungen (vgl. A 28)
Alle Punkte mit gleichem Abstandsverhaltnis (A quipotentialache) bezuglich zweier
fest vorgegebener Punkte (Ladungen) liegen auf einem Apolloniuskreis (! ' = 0).
0
(x)
ϕ0
(=0,wenn q’’ nicht vorhanden)
R
q’’
q’
q
(z)
M
s1
Q0 = q00 + q0
s2
Es gilt :
s1 s2 = R2 q0 = , sR q q = , sR q0 q00 = 40 R'0
2
1
11
Poissonsche Dierentialgleichung
div grad ' = r2 ' = 4' = , %
0
Laplace-Gleichung : 4' = 0
(4:25)
Losung der Poisson-Gleichung fur eine im Endlichen liegende Ladungsverteilung :
RRR %(r0) dV 0
'(r) = 41 0
jr,r0 j
E (r) = 41 0 RRR %(r0) j(rr,,rr00j)3 dV 0
(4:31)
(4:32)
Eine Losung der Poisson-Gleichung, die eine der vier folgenden Randbedingungen
erfullt ist bis auf eine additive Konstante eindeutig (' und ' seien zwei Losungen
der Poisson-Gleichung in einem Gebiet G mit der Randache S) :
1
2
(a) (Dirichletsche Randbedingung). Das Potential ist auf der Randache S vorgeschrieben:
' =' .
1
2
(b) (Neumannsche Randbedingung). Die Normalkomponente des Potentialgradienten ist
vorgeschrieben: r' n da = r' n da (falls r' n = 0 ! Er = 0).
1
2
(c) Das Potential soll einen beliebigen, aber konstanten Wert auf S und das uber S erstreckte Hullenintegral des Potentialgradienten einen vorgeschriebenen Wert besitzen:
RR
RR
' , ' = const und (r' , r' ) da = 0 (falls r' n = 0 ! E# = 0).
1
2
S
1
2
S
(d) Flache S sei Fernkugel. Das Potential soll dort mindestens mit 1/r abnehmen. Also
nimmt dort n r' mindestens mit 1/r ab.
2
Energie des E Feldes
N
P
q '
=1
RRR
RR
W = 1 '% dV + 1 ' da
Aa = 12
2 G
(4:47)
(4:51)
2S
dabei ist ' das von samtlichen Ladungen erzeugte Potential.
12
Raumliche Energiedichte :
RRR
! W = 0 E 2 dV
2 Raum
0 2
wE = dW
dV = 2 E
(4:53)
(4:55)
Potentielle Energie eines Dipols (A 35)
Wpot : von aueren Kraften aufzuwendene Arbeit, um aktuelle Konguration zu
erhalten (im statischen Feld gilt Kraftegleichgewicht: F a =, F el ).
!
q
∆r
-q
E
r
0
p = q r
!
h r+
R r E dr0 + (,q) Rr E dr0i = ,p E (r)
Wpot = Aa =, q
,1
,1
Das Minuszeichen kommt daher, da im elektrostatischen Fall die auere Kraft
und die Kraft im E Feld (F = q E ) entgegengesetzt gleich sein mussen.
13
METALLISCHE LEITER
Ohmsches Gesetz
Ohmsches Gesetz : J = E
Allgemeines Ohmsches Gesetz fur bewegte Leiter bei Anwesenheit eines
aueren B Feldes :
J = (E + u B)
(5:5)
(5:6)
Hall-Eekt
Driftgeschwindigkeit von Elektronen : uD = eb F
J = E , b(J B) = (E + RH J B)
J 2 = E J
! J = 0 , wenn E = 0
E k = 1 J
E ? = b (J B) (Hall-Feld)
tan H = jjEE?k jj = b jBz j
Dabei bezeichnet H den Hallwinkel (H = <) (J ; E ))
(5:2)
(5:7; 5:10)
(5:8)
(5.9a)
(5.9b)
(5.11b)
Joulsche Warme
Raumliche Leistungsdichte : p = J E
Im Falle eines ohmschen Leiters : p = 1 J 2
(5:13)
(5:14)
Allgemeines Problem stationarer Stromverteilungen
D.h. aus Gl. (2.23) folgt : div J = 0
In den Bereichen konstanter Leitfahigkeit gilt :
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
14
r2 ' = 0
(5:15)
(5:17)
Gl. (5.17) ist eine Laplacegleichung mit folgenden Rand- sowie Grenzbedingungen:
n0
κ=0
S0
-
1
n1
n2
G2
G1
S1
2
+
S12 n
12
κ2
S0
κ1
κ=∝
S2
κ= ∝
U= ϕ1 - ϕ2
I
' = const. (auf S bzw. S ) und
RR r' n da = I oder
1 1 1
SRR1
r' n2 da2 = , I2
1
(5.18a)
(5.18b)
2
(5.18c)
S2
n12 (1 (r'), , 2(r')+ ) = 0
n0 r' = 0 (uberall auf S )
'+ = ', (uberall auf S )
(uberall auf S )
12
0
12
Anstelle von I hatte man auch U vorgeben konnen; dann werden Gl. (5.18a,b)
ersetzt durch : '1 , '2 = U
(5:19)
(5:20)
(5:21)
Grenzachen zwischen Bereichen verschiedener Leitfahigkeit
t
J
+
+
-
Jn
β
-
+
+
β Jn
Jt
P n
J -t
J-
Grenzfläche
+
tan + = , tan ,
:69) hier
Div J = n (J + , J , ) = n (+ E + , , E , ) (3=
_ = 0
κ-
κ+ < κ-
In Worten: Die Normalkomponente stationarer Stromdichten ist an Grenzachen
stetig, wahrend die Normalkomponente von E fur , 6= unstetig ist.
+
15
(5:24)
(5:22)
t 1+ J + , 1, J , = 0
(5:23)
In Worten: Die Tangentialkomponenten sind unstetig, wenn die Leitfahigkeiten auf der
positiven bzw. negativen Seite der Grenzache verschieden sind.
Bemerkung: Jeder Homogenitatsbereich von ist ladungsfrei!
Ohmscher Widerstand
P=
RRR
(2)
R
E dr = RI
(1) RRR
1 2
(r')2 dV = UI = RI 2
J dV =
U12 = '1 , '2 =
Widerstand eines homogenen zylindrischen Leiters :
R = al
(5:33)
(5:34)
(5:35)
Stromlose ruhende Metallkorper
In stromlosen, ruhenden Metallkorpern gilt : E = E (q) + E () = 0
wobei die durch Inuenz entstandene Flachenladung angibt.
! stromlose ruhende Metallkorper und ibs. ihre Oberachen sind Orte
konstanten Potentials.
(5:37; 5:38)
Grenzbedingungen an Metalloberachen
n
Vakuum
Metall
•
P
-+
n E +(P ) = (P0 )
E +(P ) = (P0 ) n(P )
E ,(P ) = 0 ; n E +(P ) = 0
(5:39)
(5:40)
16
Fiktive (virtuelle) Spiegelladung (Bsp. 5.2.2a, S173f)
(y)
~
e
e´
P(x,y,z)
~
r
r´
q´
q
⊗
(x)
-h
(z)
h
E=E (q)+E (σ)
E=0
Metall
σ(durch Influenz)
E (q) = 4q0r~2 e~ (im ganzen Raum)
E () = , 4q0r~2 e~ (fur z < 0)
E () = , 4q0r02 e0 (fur z > 0)
Die Inuenzladungen rufen also eine Feldverteilung hervor, die im rechten Halbraum
so aussieht, als ob sie von einer Punktladung -q am Ort q' herkame.
Mehrleitersysteme
Def.: Isolierte Metallkorper, die sich durch Inuenz beeinussen.
S0
da 1
S2
da 0
2
S1
1
da 2
S3
da 3
3
S ∝ ; ϕ0 = 0
G
RR
Q = ,0 r' da ( = 1; 2; 3)
(5:44)
S
17
Q0 = ,(Q1 + Q2 + Q3 ) : $ Kondensatorbetrieb
P3 p Q ( = 1; 2; 3)
Potentialkoezienten : ' =
=1
mit : p = p
P3 c ' ( = 1; 2; 3)
Kapazitatskoezienten : Q =
=1
mit : c = c
P
weitere Eigenschaften : c > 0 ; c < 0 ; c > 0
Durch Inversion der Kapazitatskoezienten erhalt man die Potentialkoezienten.
Speziell fur ein Zweileitersystem gelten folgende Beziehungen :
p >0 8 ; und p >p 8 =
6 Plattenkondensator : C = 0 ad
Kugelkondensator : C = 40 rraa,rri i
(5:45)
(5:46)
(5:53)
(5:47)
(5:54)
(5.56a-c)
(5:62)
(5:67)
(5:68)
Teilkapazitaten eines Mehrleitersystems
P
C := c
C := ,c falls 6= (5.69a)
(5.69b)
Q1 = C11 U10 + C12 U12 + C13 U13
Q2 = C21 U21 + C22 U20 + C23 U23
Q3 = C31 U31 + C32 U32 + C33 U30
(5.70a)
(5.70b)
(5.70c)
Wobei U = ' , ' ( = 1; 2; 3; = 0; 1; 2; 3) die Spannungen zwischen den
Leitern bzw. zwischen diesen und der umhullenden Metallwand sind.
Kapazitat eines kurzgeschl. Zweileiters gegen Fernkugel : C = c11 + c22 + 2c12 (A 51)
2
(A 51)
Kapazitat des Zweileitersystems im Kondensatorbetrieb : C~ = c11c11+cc2222,+2c12c12
Energie eines Mehrleitersystems
RRR
RR
W = 20 E 2 dV = , 20 'E da
G
S
W = 12 ['1 Q1 + '2 Q2 + '3 Q3 , '0 (Q1 + Q2 + Q3 )]
= 12 [Q1 ('1 , '0 ) + Q2 ('2 , '0 ) + Q3('3 , '0 )]
= 12 (Q1 U10 + Q2 U20 + Q3U30 )
2
Energie im Kondensator : W = 12 QU = 12 CU 2 = 12 QC
18
(5:58)
(5:59)
(5:66)
MAGNETOSTATIK
Die MWG in der Magnetostatik
div B = 0
rot B = 0 J
(6:1)
(6:2)
) div J = 0
Vektorpotential
B =RRrot A
RR
H
= B da = rotA da Stokes
= A dr
S
S
K
Der Einfachheit halber setzt man : divA = 0
DGL fur das Vektorpotential : r2 A = ,0 J
Losung der8DGL fur eine im Endlichen liegende Stromverteilung :
RRR
0
>
< 40 RR KjJr(,r(r0r)0)j dV 0
A(r) = > 40 jr,r0j da0
>
:
0 i
dr0
4 jr,r0 j
R
B(r)=rotA(r)= 40 RRR rot jJr,(rr0)j dV 0= 40 RRR J(rj0r),r(r0j,3 r0 ) dV 0
0
(6.3a)
(6.3b)
(6:4)
(6:7)
(6:10; 6:12)
(6.14)
Magnetischer Dipol
(z)
er
•
n
i
r
P(0,y,z)
r-r’
ϑ
•
a
(y)
r’
K
• dr’
(x’,y’,0)
(x)
Dipolmoment (n rechtshandig zu i orientiert):
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
19
m = ian
(6.21)
Potential eines Dipols (Naherung): A(r ) = 40i a sinr2# e
0 i a (2 cos # e + sin # e )
Feld eines Dipols (Naherung) : B (r) = 4r
3
r
#
(6.19)
(6.20)
U bergang zum Punktdipol : a ! 0 ; m = i a n = const:
Potential eines Punktdipols (exakt): A(r ) = 0 (4mr2er ) = 04mz sinr2# e
Feld eines Punktdipols (exakt) : B (r ) = 40rm3z (2 cos # er + sin # e# )
(6:22)
(6.23)
(6.24)
Kraft auf magnetischen Dipol im aueren Feld
n
S (eben)
i
B
•
a
K
r
•
0
dr’
F = i H (dr0 B)
K
F = r(m B)
(6:27)
(6:28)
Bei statischen Magnetfeldern (rot B = 0) gilt : F = (m r)B
Fur m k B(P ) folgt : F = jmj(rjB j)P0 ("-\ fur m "# B (P0 ))
(6:30)
(6:31)
Drehmoment : T = r (i dr B ) = i( (r B ) dr , (r dr) B )
!
Fur ebene Stromschleifen gilt (B ext homogen) : T = m B (ext) =, T a
Achtung: Kraft und Drehmoment auf Stromschleifen im eigenen B Feld ist 0 !
(A 53)
(A 53)
Bei der Auswertung der Formel ist zu beachten, da m eine Konstante und der
Gradient der Ortsfunktion m B (r ) an der Stelle des Dipols zu nehmen ist.
0
H
H
(
)
20
H
Selbstinduktivitat
Φ
da
J(für i<0)
B (i) (für i<0)
•
i
S
K
Achtung: ist immer rechtshandig zum Strom orientiert
RR
RR
= B (i) da + B fremd da = (i) + fremd
S
S
mit (i) = L i
2
Induktivitat einer torusformigen Spule der Hohe h : L = 02N h ln %%ai
Induktivitat einer Koaxialleitung der Lange l : L = 20 14 + ln %%ai l
(6:32)
(6.33b)
(7.22a)
Wechselseitige Induktivitaten
K2
S2
Φ1
Φ3
i2
i1
K3
Φ2
r2
i3
S3
S1
K1
r1
r3
•
0
RR (2)
RR (3)
(3)
1 = L1i1 + (2)
1 + 1 = L1 i1 + B da1 + B da1
S1
S1
21
(6:34; 6:35)
1 = L1i1 + M12 i2 + M13 i3
2 = M21 i1 + L2 i2 + M23 i3
3 = M31 i1 + M32 i2 + L3 i3
(6.36a)
(6.36b)
(6.36c)
mit
L = i i =0 > 0
(6:32)
und
M = i i =0 >< 0
=
6 (6:38)
M = M
(6:40)
6=
()
Weiterhin gilt :
Φ2
i2
(1)
B (für i 1>0)
Φ1
M 12 >0
Φ3
i1
M 13 <0
i3
Bei Erweiterung des Gleichungssystems (6.36) bleiben die alten Koezienten erhalten (im Ggs. zu den Kapazitatskoezienten), solange am ursprunglichen Teil
der Anordnung nichts verandert wurde.
Induzierte Spannungen im quasistationaren Fall
H
U1 = , E dr1 = dtd (L1 i1 ) + dtd (M12 i2 ) + dtd (M13 i3)
KH1
U2 = , E dr2 = dtd (M21 i1 ) + dtd (L2 i2 ) + dtd (M23 i3)
KH2
U3 = , E dr3 = dtd (M31 i1 ) + dtd (M32 i2 ) + dtd (L3 i3)
K3
22
(7.3a)
(7.3b)
(7.3c)
INDUZIERTE QUASISTATIONA RE STRO ME
Quasistationare Elektrodynamik (d.h. J und % zeitabhangig)
E C(r; t) = 41 0 RRR %(r0; t) j(rr,,rr00j)3 dV 0 = ,r's (r; t)
1 RRR %(r0 ;t0) dV 0
mit 's (r; t) = 4
jr,r j
0
BBS(r; t) = 40 RRR J (r0; t) j(rr,,rr00j)3 dV 0 = rot As(r; t)
RRR J (r0 ;t) dV 0
mit As (r ; t) = 40
jr,r0 j
RRR
_(r 0 ;t)
J
0
E ind(r; t) = , 4 jr,r0 j dV 0 = ,A_ s (r; t)
E = EC + E ind
Es gilt :
und
(6:43)
(6.43c)
(6:44)
(6.44c)
(6.55)
B = BBS
(6:56)
Weiterhin gilt (Gln. (6.58-6.60)) :
div E C = %0
rot E C = 0
div B BS = 0
div E ind = 0 0 's
div J = ,%_
rot B BS = 0 (J + 0 E_ C )
rot E ind = ,B_
Induzierte Schleifenstrome
Φ
.
Φ
.
B
B
B
B
K
K
E
E ind
ind
i<0
i>0
J
J
Fall (a)
Fall (b)
J = ai ddsr
Fur u = 0 gilt (u 6= 0 ! Gl. (7.45)) :
H E dr = i H
K
K
(7:4)
_
ds
(B) (7:5 , 7:7)
a =: i R = ,_
In das Ohmsche Gesetz geht zwar das gesamte Feld E = E C + E ind ein,
doch tragt der wirbelfreie Summand E C nichts zur Umlaufspannung bei.
Eind ist mit B_ linkshandig verwirbelt gema: rot E ind = ,B_
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
23
Im Falle zweier Schleifenstrome gilt : ddit2 + RL22 i2 = , ML212 ddit1
(7:8)
Energie des B Feldes
P=
RRR 1 J 2 dV = i2 RRR dV = i2 H ds = i2 R = i H E dr
a
a
(7:11)
Bei einer Stromschleife :
(7:12)
Bei (z.B) drei Stromschleifen : W = 12 (L1 i21 +L2 i22 +L3 i23 )+M12 i1 i2 +M13 i1 i3 +M23 i2 i3 (7.16)
(7:18)
Raumliche Energiedichte : wB = 21 0 B 2
RRR 2
RRR
1
1
Feldenergie eines Dreischleifensystems : W = 20
B dV = 2Raum(AJ ) dV (7:19; 7:20)
Raum
P3 i H A dr = 1 (i + i + i ) (7:21)
anders ausgedruckt : W = 21
2 1 1 2 2 3 3
=1 K
Draht
K
Draht
W = 12 Li2
K
Bemerkung: Aus Gl. (7.12): L = IW2 und Gl. (7.19): W = 0
die Induktivitat einer Anordnung berechnen.
2
1
2
RRR
B dV lat sich
2
Bewegte Leiterschleifen
Φ
u
i
B
ο
(R,L)
Das Ohmsche Gesetz lautet hier :
Faradaysche Fluregel :
I
E + u B = J
(7:43)
A ndert die Schleife ihre Form, dann ist L zeitabhangig und es gilt allgemein
dL _
_ = L di
dt + i dt + fremd
Leistungsbilanz :
(E + u B ) dr =R i = ,_ = , _ (B_ ) + _ (u) (7:45)
Pmech = F a u = ! T
24
(7:47)
(A 97)
Φ2
i1
i2
A
Φ1
U1
B
U2
L 1,R 1
M
u1
L 2,R 2
12
u2
U1 = R1 i1 + _ 1 = R1 i1 + dtd (L1 i1 + M12 i2 )
U2 = R2 i2 + _ 2 = R2 i2 + dtd (L2 i2 + M12 i1 )
Mit zeitabhangigen L ; L ; M . Bleiben die Leiterschleifen wahrend der Bewegung
geometrisch unverandert, dann ist nur M eine Funktion der Zeit. Bewegen sich die
Leiterschleifen z.B. auseinander, so wird jM j kleiner.
1
2
12
12
12
25
(A 75)
(A 75)
ELEKTRISCH POLARISIERBARE STOFFE
Elektrische Polarisation
P = dVdp
mit dem Dipolmoment :
) P = %0 l
dp = dQ l und dQ = %0 dV
Es gilt immer (l ist die Verschiebungsstrecke der Ladung) :
p = RRR P dV
P "# l
(8:1)
(8:2; 8:3)
(8:4)
(A 72)
Polarisationsladungen (gebundene Ladungen !)
n
Qversch
•
S
Qpol
G
Dielektrikum
RR
Qpol = ,Qversch = , P da
S
div P = ,%pol
(8:7)
(8:8)
P
l
ρpol >0
%pol > 0 ! Senke des Feldes der Polarisation P (%pol < 0 ! Quelle von P )
versch
pol = dQda
=P n
(8:9)
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
26
Grenzbedingungen fur den Polarisationsvektor:
n
Dielektrikum 1
+
P
+
+
•
+
σpol
+
+
}
σpol
S
P
Dielektrikum 2
Div P = n (P + , P , ) = ,pol
Im Vakuum wie im Metall gilt: P = 0
(8:11)
Polarisationsstrom
J pol = P_
div J pol + %_ pol = 0
(8:15)
(8:16)
Freie Ladungen und elektrische Verschiebungsdichte
Freie Ladungen: Leitungselektronen und Inuenzladungen auf Metalloberachen
Ausgehend von Gl. (3.4) und J = J f + J mag + J pol ergibt sich:
1
0 rot B = J f + J mag + D_
mit der elektrischen Verschiebungsdichte D := 0 E + P
div D = %f
RR
D da = Qf
HS D dr = , _ (B_ ) + H P dr
0
(8:22)
(8:20)
(8:21)
(8:23)
(8:24)
Die Grenzbedingungen von D
Div D = n (D+ , D, ) = f
Rot D = Rot P = n (P + , P , )
(8:26)
(8:27)
27
Im Inneren eines stromlosen und ruhenden Metallkorpers gilt:
E = 0 und P = 0 ! D = 0 und damit
n D+ = f
(8:28)
Elektrische Materialgroen
P = 0eE
(8:31)
D = E
(8:33)
(e heit elektrische Suszeptibilitat)
mit r = 1 + e und = r 0 folgt
Grenzachen zwischen verschiedenen Dielektrika (Annahme: f = 0)
n
P• +
ε1
ε2
Div E = 10 pol (fur f = 0)
Rot E = 0 $ t (E + , E , ) = 0
Div D = 0 (fur f = 0)
Rot D = Rot P
mit E = E (pol) + E (auen)
(8:34)
(8:35)
(8:36)
(8:37)
Gln. (8.35),(8.36) konnen auch folgendermaen geschrieben werden:
Et+ = Et, 2 En+ = 1 En,
Dn+ = Dn, 1 Dt+ = 2 Dt,
(8:38; 8:41)
(8:39; 8:40)
Kapazitat von Kondensatoren mit dielektrischen Stoen
C = QUf
C = al = r l0 a = r C0
D.h., die Werte fur die Kapazitat (auch der Kapazitatskoezienten und der
Teilkapazitaten) erhohen sich um r , falls der gesamte Feldraum mit einem
Dielektrikum gefullt wird.
28
(8:48)
(8:50)
Homogen polarisierte Kugel (Bsp. 8.5.2c)
(z)
•P
R
•
ε
Vakuum
ε0
E0
Aus (8.31) folgt fur die Polarisation (allg. gultig) P 0 = ( , 0 )(E 0 + E (pol), ) (A 71)
Innerhalb der Kugel gilt (Bsp. 8.2.1a) : E (pol) = E (pol), = , 3P00
,0 E0 ez
(8:46)
) P0 ez = 30 +2
0
Falls Kugel statt im Vakuum in einem Dielektrikum der Permittivtat sitzt, gilt
,0 E0 ez
P0 ez = 31 +2
1
1
(A 71)
Das E Feld der Inuenzladungen der Kugel im Auenraum kann durch einen ktiven
Punktdipol p = pz ez im Kugelmittelpunkt beschrieben werden gema :
pz = 40 E0 R3
(5:42)
29
MAGNETISCH POLARISIERBARE STOFFE
Magnetische Polarisation
M = dd m
V
(9:1)
Dabei bezeichnet m das magnetische Dipolmoment.
Magnetisierungsstrome
J mag = rot M
Magnetisierungsstrome sind quellenfrei : div rot M = div J mag = 0
K
mag = M n
HM
dr = Imag
K
Magnetisierungsstrom durch beliebige Hullache : I mag= 0
(9:4)
(9.8a)
(9:5)
(9:7)
(9.8b)
Grenzbedingung der Magnetisierung
M
n
+
+
Kmag
⊗
Kmag
⊗
•
⊗
⊗
}
S
M-
Rot M = n (M + , M , ) = K mag
(9:6)
Freie Strome und magnetische Feldstarke
Die vierte MWG geht uber in : 10 rot B = J mag + J f + J pol + 0 E_
B
Mit (8.15), (8.20) und (9.4) ergibt sich : rot
, M = J f + D_
| 0 {z
:=H
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
30
}
(9:12)
(9:13 , 9:15)
In integraler Form ergibt sich :
I
K
H dr = If +
ZZ
S
D_ da statisch
= If
(9.16)
Grenzbedingungen von H
Rot H = n (H + , H , ) = K f
Div H = ,Div M = ,n (M + , M , )
(9:19)
(9:20)
Magnetische Materialgroen
M = mH (m heit magnetische Suszeptibilitat)
B = 0 (1 + m)H mit r = 1 + m und = r 0
! B = H (Gesamtfelder !)
Permanente Magnetisierung : B = 0 (H + M )
(9.24b)
(9:25)
(9:26)
(A 74)
Es gilt: homogenes M , inhomogenes B mag (vgl. Bild 9.9)
Grenzachen zwischen verschiedenen permeablen Bereichen
n
P• +
µ1
µ2
Div H = ,Div M
Rot H = 0 $ t (H + , H , ) = 0 (fur K f = 0)
Div B = 0
f =0
Rot B = 0 (K mag + K f ) K=
0 K mag
Gln. (9.28),(9.29) konnen auch folgendermaen geschrieben werden:
Ht+ = Ht, 2 Hn+ = 1 Hn,
Bn+ = Bn, 1 Bt+ = 2 Bt,
31
(9:27)
(9:28)
(9:29)
(9:30)
(9:31; 9:34)
(9:32; 9:33)
Weitere Formeln
rot H = E
(9:42)
J mag = (r , 1) J f = (r , 1) E
(9:43)
Von dieser Hauptgleichung der Elektrodynamik geht man in (ruhenden) ohmschen
Leitern auch unter dynamischen Bedingungen aus.
Induktivitat von Spulen mit hochpermeablen Stoen
Es bezeichne L die Induktivitat einer Spule im leeren Raum. Dieser Wert andert sich
(wie auch die Werte der Induktivitatskoezienten bei Mehrschleifensystemen), wenn
der ganze Feldraum mit einem hochpermeablen Sto (r ) erfullt wird. Es ergibt sich :
0
L = r L0
(9:41)
32
Die Maxwell-Gleichungen mit D und H
Mit den Hilfsfeldern
D = 0E + P
und
ergibt sich :
H = 10 B , M
(9:44; 9:45)
div D = %f
rot E = ,B_
div B = 0
rot H = J f + D_
(9:46)
(9:47)
(9:48)
(9:49)
mit den Grenzbedingungen :
Div D = f
Rot E = 0
(9:50)
(9:51)
(9:52)
(9:53)
Div B = 0
Rot H = K f
und den Materialgleichungen :
J f = (E + u B)
(9:54)
(9:55)
(9:56)
D = E
B = H
Gln. (9.55) und (9.56) setzen ruhende Medien voraus. Bei selbst kleinen Materialgeschwindigkeiten mussen sie folgendermaen modiziert werden :
i
h D = hE + 1 , r1r u B i
B = H , 1 , r1r u D
(9:57)
(9:58)
33
ELEKTROMAGNETISCHE ENERGIEBILANZ
Elektrische Energiedichte : wE = 20 E 2
Magnetische Energiedichte : wB = 210 B 2
(4:53)
(7:18)
Elektrische Leistungsdichte
pe = E @@Dt
(10:6)
2
Mit Gl. (8.20) ergibt sich : pe = 20 @ (@Et ) + E @@Pt
(10:7)
(10:8)
Und schlielich mit Gln. (4.53),(8.15) : pe = w_ E + E J pol
Aussage: Mit der einem Volumenelement im Dielektrikum zugefuhrten Leistung wird
dort der Energieinhalt des E Feldes geandert und Polarisationsarbeit geleistet.
Gespeicherte elektrische Energie im Fall linearer Dielektrika
Lineare Dielektrika gehorchen der Beziehung : D = E
RRR E 2 dV
Gespeicherte elektrische Energie : We =
G | 2 {z }
we
we = 20 E 2 + 12 E P
(10:13)
(10:14)
(10:17)
Gl. (10.17) wurde gegenuber Gl. (4.53) um den rechten Summanden erweitert, da
die Erhohung der Polarisation Energie kostet.
2
Energie eines mit Dielektrika gefullten Kondensators : We = 12 Qf U = 12 C U 2 = 12 QCf (10:18)
Generell gilt: Die elektrische Energiedichte in einem Dielektrikum ist um
das r - fache groer als im Vakuum bei gleicher elektrischer Feldstarke.
Magnetische Leistungsdichte
pm = H @@Bt
2
pm = 21 @@Bt , M @@Bt = w_ B + M rot E = w_ B + E J mag
0
Aussage: Mit der einem magnetisierbaren Korper insgesamt zugefuhrten Leistung
wird der Energieinhalt des B Feldes geandert und Magnetisierungsarbeit geleistet.
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
34
(10:25)
(10:26)
Gespeicherte Energie im Fall weichmagnetischer Stoe
Im linearen Bereich der Hysteresekurve gilt :
wm = 2 H 2 = 21 B 2 = 12 B H
B = H
(10:36)
(10:37)
Energie einer gefullten Spule : Wm = 12 if = 21 Li2f = 2L2
(10:38)
Mit ist der gesamte von if (rechtshandig) umfate Spulenu gemeint und nicht
nur ein Querschnittsu.
Elektromagnetische Energiestromdichte (Poynting-Vektor)
Gesamte zugefuhrte Leistungsdichte :
pges = E J f + E @@Dt + H @@Bt
S := E H
div (E H ) = div S = , E J f + E @@Dt + H @@Bt
mit dem Poynting-Vektor
(10:39)
(10:45)
folgt
(10:46)
Das Minuszeichen tritt auf, da die Flachennormale nach auen gerichtet sein soll.
Eine andere Schreibweise der elektromagnetischen Energiebilanz lautet :
div
2
B
E 0 = ,E J f + J pol + J mag , @@t 20 E 2 + 2B0
@ (we + wb + wohmsch )
Lokale Energiebilanz : div S = , @t
Energiestrom (Leistungstransport) durch eine Querschnittsache :
P=
RR S da
35
(10:48)
(A 86)
(A 78)
RETARDIERTE LO SUNGEN DER MWG
Allgemeine homogene Wellengleichungen
Eine eindimensionale entlang der z-Achse laufende Welle gehorcht der DGL :
r2 w , c12 w = 0
Als Losung ergibt sich :
(11:3)
w(z; t) = f (t , zc ) + g(t + zc )
(11:1)
Eine mehrdimensionale Welle gehorcht entsprechend der DGL :
r2 w , c12 w = 0
(11:4)
| {z }
in z-Richtung
| {z }
entgegen z-Richtung
Inhomogene Wellengleichung fur E und B
B = rot A
E = ,grad ' , A_
r2 E , c120 E = 10 grad % + 0 J_
r2 B , c120 B = ,0 rot J
Beide Gleichungen sind miteinander gekoppelt gema : div J = ,%_
(11:13)
(11:14)
(11:10)
(11:11)
(11:12)
Inhomogene Wellengleichungen fur dynamische Potentiale
r2 A , c120 A = ,0 J
div A = , 12 '_
mit der sog. Lorentz-Bedingung :
c0
r2 ' , c120 ' = , %0
In Gln. (11.18) und (11.19) durfen J und % nicht beliebig gewahlt werden, denn sie
mussen der Kontinuitatsgleichung (11.12) genugen.
c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
36
(11:18)
(11:17)
(11:19)
Retardierte Potentiale
Momentaufnahme
( J, ρ )
• dV’
R=r-r’
P •
r’
r
•
0
t = t , jr ,c r j
0
0
Eine von dV 0 kommende Groe mute zur retardierten Zeit t gesendet worden
sein, damit sie zur Zeit t am Punkt P ankommt.
Damit ergeben sich folgende retardierte Potentiale :
ZZZ J (r0; t)
0
0
A(r; t) = 4
jr , r0 j dV
ZZZ %(r0; t)
1
0
'(r; t) = 4
jr , r0 j dV
0
und die retardierten Losungen der Maxwell-Gleichungen :
ZZZ %(r0; t)
ZZZ J_(r0; t)
0 , 0
0
E (r; t) = , 41 0 grad
dV
jr , r0 j
4
jr , r0 j dV
ZZZ J (r0 ; t)
0
0
B(r; t) = 4 rot
jr , r0 j dV
Andere DarstellungZZZ
:
h R i R 0 0 ZZZ h _i 1 0
E (r; t) = 41 0
% + c %_ R3 dV , 4
J R dV
0
ZZZ h R i R
0
B(r; t) = 4
J + c0 J_ R3 dV 0
Dabei ist Gl. (11.50b) die dynamische Verallgemeinerung der Biot-Savart Formel.
Vektorpotential eines Linienstroms entlang der z-Achse (R: Abstand P ! z 0 ) :
1
A(P; t) = 40 R i(Rt ) dz0 ez
,1
37
(11:20)
(11:21)
(11:22)
(11.49a)
(11.49b)
(11.50a)
(11.50b)
(11:58)
Zeitveranderlicher Dipol (Hertzscher Dipol)
(z)
(z)
Vakuum
Vakuum
ϑ
0
•P
r
q(t)
0
i(t)
p(t)
-q(t)
Dipol
Punktdipol
1
R0 0
= 40 i(t R) dz ez
A(P; t) = 40 R i(z0 ;tR) dz0 ez hier
mit
P
r
R
z’
-l
•
ϑ
,1
(11:65; 11:66)
(11:64)
,l
pz (t) = q(t) l ! p_z (t) = i(t) l
Nach U bergang zum Punktdipol ergibt sich :
A(P; t) = 40 p_z (rt0 ) ez = 40 p_z (rt0 ) (cos # er , sin # e#)
h
i
B(P; t) = 40 pr_2z + cp0zr sin # e
Der Klammerausdruck ist zur retardierten Zeit t = t , r=c zu nehmen.
Mit E_ = 010 rot B
folgt :
0
1 h pz + p_z i 2 cos #
Er (P; t) = 4
0 r3 c0 r2
1 h pz + p_z + pz i sin #
E# (P; t) = 4
0 r3 c0 r2 c20 r
E (P; t) = 0
1 h pz + p_z i cos #
'(P; t) = 4
0 r2 c0 r
(11:68)
(11:70)
0
(11.71a)
(11.71b)
(11.71c)
(11:85)
38
Zeitharmonisches Dipolmoment
Ein Hertzscher Dipol schwinge gema
pz (t) = p^z sin !t ; t > 0
(11:74)
mit t0 = t , cr0
und k = 2 = c!0
(11:76)
erhalt man die nichtverschwindenden Komponenten des elektromagnetischen Feldes :
h
i
Er (r; t) = p^z sin(!t ) + kr cos(!t ) 2 cos #
(11.77a)
0
0
40 r3
h
i
E# (r; t) = 4p^z r3 sin(!t0 ) + kr cos(!t0 ) , k2 r2 sin(!t0 ) sin #
0
h
i
B (r; t) = 4p^zc r3 kr cos(!t0 ) , k2 r2 sin(!t0 ) sin #
00
(11.77b)
(11.77c)
In der sog. Nahzone (2r ) gilt :
E (P; t) = p^4zsin0r!t3 (2 cos # er + sin # e#)
B(P; t) = 0 !p4^zrcos2 !t sin # e
B(r; t) = 0 i(4t)rl e3z r
(11.78a)
(11.78b)
(11:79)
In der sog. Fernzone (2r ) gilt :
!t0 ) sin # e
E = , p^z !42sin(
2
r #
c
0
2 sin (0!t ) sin #
p
^
!
z
0
B = , 40c30 r e
(11.80a)
(11.80b)
Fur den Poytning-Vektor erhalt man in der Fernzone :
4 2 2 2
S = 1 E B = ! p^z sin (!t0 ) sin # er
0
(4)2 0 c30
r2
Die Energie wird bevorzugt in der Ebene # = /2. abgestrahlt
39
(11:81)
Zeitveranderlicher magnetischer Dipol (Fitzgeraldscher Dipol)
(z)
(z)
l
•P
r
r
ϑ
⊗
•
i(t)
m(t)
(x)
i(t)
magnetischer Dipol (Stromschleife)
mit
r
0
Vakuum
A(P; t) = 40 [ i(tr0 ) , i(tr) ] l ey
•P
ϑ
Vakuum
magnetischer Punktdipol
(11:86)
t = t , r
t0 = t , r
c0 und
c0
Nach U bergang zum Punktdipol (r l bzw. l ! 0; il = mz = const) ergibt sich
h
i
A(P; t) = 40 mr2z + cm_ rz sin # e
2
0
h
i
E (P; t) allg.
= ,grad ' , @@At hier:='=0 , 40 mr_ 2z + cm rz sin # e
0
0 h mz m_ z i
Br (P; t) = 4 r3 + c r2 2 cos #
0
h
i
m
m
B# (P; t) = 40 r3z + c _ rz2 + cm2 rz sin #
0
0
B (P; t) = 0
(11:87)
(11:88)
(11.89a)
(11.89b)
(11.89c)
Zeitharmonisches Dipolmoment
Ein Fitzgeraldscher Dipol schwinge gema
mz (t) = m^ z sin !t ; t > 0
Insbesondere in der Fernzone (2r ) gilt (Wellenzahl k = = c!0 ) :
B = , 0 m^ z k224sin(!t0 ) sinr # e#
E = c00 m^ z k4 sin(!t0 ) sinr # e
(11:90)
2
40
(11.92a)
(11.92b)
Fur den Poynting-Vektor erhalt man in der Fernzone
4 2 2 2
S = 1 E B = 0! m^ z sin (!t0 ) sin # er
(4)2 c30
0
r2
(11:93)
Energie wird also mit einer zu ! proportionalen Intensitat abgestrahlt, und zwar
bevorzugt in der Ebene # = /2.
4
Bem.: Liegen in einer Anordnung sowohl unkompensierte Ladungen als auch
Stromschleifen vor, so mu man Gln. (11.80) und (11.92) entsprechend
kombinieren.
Materialeigenschaften unter dynamischen Bedingungen
Die Wellengleichungen nehmen mit = r r =c folgende Form an :
r2 E , rc20 r E = 1 grad %f + r J_f
r2 B , rc20 r B = , rot J f
2
0
Mit : c = pcr0r
Der Geschwindigkeitsparameter ist also kleiner als im Vakuum, wo
c = 1=p gilt.
In einem reinem Dielektrikum setzt man %f = 0; J f = 0 und r = 1. Fur das
p
betrachtete Dielektrikum gilt also : cc0 = r = n (n: Brechungsindex)
0
0
0
41
(11:98)
(11:99)
(11:100)
ANHANG: KOORDINATENSYSTEME
(z)
z
ρ
P
r
ϑ
y
(y)
α
x
P’
(x)
x; y; z kartesische
Dabei sind %; ; z zylindrische
r; #; spharische
9
>
=
Koordinaten von P
>
;
Ortsvektoren in den verschiedenen Koordinatensystemen
Kartesische Koordinaten :
Zylindrische Koordinaten :
Spharische Koordinaten :
mit :
0 1
xC
B
B
x= @ y C
A
z
0
1
%
cos
B@ % sin CCA
x=B
0 z
1
r
sin
#
cos
B@ r sin # sin CCA
x= B
r cos #
r > 0 ; % < 1 ; 0 < 2 ; 0 < # < c by Heinz Teutsch (Oktober 98)
42