1.5 Komplexe Zahlen

20
1 Zahlen und Vektoren
(i) Seien L = ~u + R~v , ~u, ~v ∈ R3 und ~v 6= ~0. Dann gilt
Satz 1.4.6
d(x~0 , L) =
| (~u − x~0 ) × ~v |
,
|~v |
x~0 ∈ R3 .
(ii) Seien E = ~u + R~v + Rw,
~ ~u, ~v , w
~ ∈ R3 und ~v × w
~ 6= ~0, und ~n ein Einheitsnormalenvektor von E. Dann
gilt
d(x~0 , E) = | (~u − x~0 ) · ~n|, x~0 ∈ R3 .
Falls ∠(~u, ~n) ∈ [0, π2 ], so gilt für x~0 = ~0,
d = d(~0, E) = ~u · ~n.
Bemerkung :
• Gleichung in (ii) 99K Hesse6 sche Normalform der Ebenengleichung
©
ª
E = ~x ∈ R3 : ~x · ~n = d
denn: x~0 ∈ E ⇐⇒ d(x~0 , E) = 0 ⇐⇒ (~u − x~0 ) · ~n = 0 ⇐⇒ ~u
· ~n = x~0 · ~n
|{z}
d
• Herleitungen und weitere geometrische Begriffe (z.B. Abstand zweier Gerade, Ebenen,
Winkel etc.) 99K siehe z.B. [Pap07a, Kap. II.4]
1.5
Komplexe Zahlen
Idee : Zahlbereichserweiterung, um z.B. x2 + 1 = 0 lösen zu können
Definition 1.5.1 Seien a, b, c, d reelle Zahlen. Wir betrachten die geordneten Zahlenpaare (a, b) und
(c, d) mit folgenden Rechenoperationen :
(a, b) + (c, d) =
(a, b) · (c, d) =
(a + c, b + d)
(ac − bd, ad + bc)
z = (a, b) und w = (c, d) heißen komplexe Zahlen, die Menge aller komplexen Zahlen ist C.
Beispiele
:
• (2, 0) + (−3, 5) = (−1, 5)
• (3, 0) + (π, 0) = (3 + π, 0)
√
√
• (0, 2) + (0, − 32 ) = (0, 2 − 32 )
• (3, 0) · (π, 0) = (3π, 0)
• (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0)
6 Ludwig
Otto Hesse (∗ 22.4.1811 Königsberg
†
4.8.1874 München)
1.5 Komplexe Zahlen
21
Satz 1.5.2 Es seien z, w und v komplexe Zahlen. Dann gelten
(i) z + w = w + z
(ii) z · w = w · z
(iii) (z + w) + v = z + (w + v)
(iv) (z · w) · v = z · (w · v)
(v) (z + w) · v = z · v + w · v
(vi) z + (0, 0) = (0, 0) + z = z
Für jedes z = (a, b) gibt genau eine Lösung w der Gleichung
z + w = (0, 0),
und zwar w = (−a, −b) =: −z.
(vii) z · (1, 0) = (1, 0) · z = z
Für jedes z = (a, b) mit z 6= (0, 0) existiert genau eine Lösung w der Gleichung
µ
¶
a
−b
z · w = (1, 0), und zwar
w=
,
=: z −1 .
a2 + b2 a2 + b2
Beweis :
einsetzen & nachrechnen, z.B. für (vii):
µ
¶ µ
¶
a
−b
a2
−b2
−ab
ab
(a, b) ·
,
=
−
,
+
= (1, 0)
a2 + b2 a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2 a2 + b2
a2 + b2
Bemerkung∗ :
• betrachten reelle Zahlen als spezielle komplexe Zahlen, indem wir identifizieren
R 3 x ←→ (x, 0) ∈ C
y
Zahlbereichserweiterung
• In C gibt es keine Ordnungsrelation!
Definition 1.5.3 (Normaldarstellung komplexer Zahlen)
(i) Für eine komplexe Zahl z = (a, b) heißen
<e z := a Realteil von z, =m z := b
Imaginärteil von z, und
i := (0, 1) imaginäre Einheit .
(ii) Für z = (a, b) ist
z = <e z + =m z · i = a + bi
die Normaldarstellung der komplexen Zahl z.
Beispiel : i2 = i · i = (0 + 1i) · (0 + 1i) = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1
Addition und Multiplikation (in Normaldarstellung)
z = <e z + i =m z, w = <e w + i =m w
z + w = (<e z + i =m z) + (<e w + i =m w) = (<e z + <e w) + i(=m z + =m w)
z · w = (<e z + i =m z) · (<e w + i =m w)
= (<e z <e w + |{z}
i2 =m z =m w) + i(<e z =m w + =m z <e w)
−1
= (<e z <e w − =m z =m w) + i(<e z =m w + =m z <e w)
22
1 Zahlen und Vektoren
Definition 1.5.4 Es sei z ∈ C, z = a + bi. Dann heißen
z := a − bi konjugiert komplexe Zahl zu z,
und |z| :=
√
z·z =
p
a2 + b2
Betrag von z.
Lemma 1.5.5 Für z, w ∈ C gelten folgende Rechenregeln:
• z= z,
• <e z =
z = z ⇐⇒ z ∈ R ⇐⇒ =m z = 0,
z+z
,
2
z−z
2i
=m z =
• z ± w = z ± w,
|z| = |z|
³z´
z · w = z · w,
• <e z ≤ |<e z| ≤ |z| ,
w
=
z
,
w
w 6= 0
=m z ≤ |=m z| ≤ |z|
B e w e i s∗ : einsetzen & nachrechnen
Lemma 1.5.6 Der Betrag komplexer Zahlen hat folgende Grundeigenschaften :
(N0)
|z|
≥
0
(N1)
|z|
=
0
(N2)
|z · w|
=
|z| · |w|
(N3)
|z + w|
≤ |z| + |w|
⇐⇒
z=0
B e w e i s∗ : (N0), (N1) klar,
zu (N2):
|z · w|2 = (zw) (zw) = zz ww
zu (N3): |z + w|2 = (z + w) (z + w)
= |z|2 · |w|2
= zz + ww + zw + wz = |z|2 + |w|2 + zw + zw
= |z|2 + |w|2 + 2 <e (zw) ≤ |z|2 + |w|2 + 2 |zw| = |z|2 + |w|2 + 2 |z| |w|
2
= (|z| + |w|)
Subtraktion und Division
z1 + w = z2
besitzt für gegebene z1 , z2 ∈ C genau eine Lösung,
w = z2 − z1 = (a2 − a1 ) + (b2 − b1 )i .
z1 · w = z2
besitzt für gegebene z1 , z2 ∈ C , z1 6= 0, genau eine Lösung,
w=
insbesondere gilt für z 6= 0,
w=
z2
z2 · z1
1
=
=
z1 · z2 ,
z1
z1 · z1
|z1 |2
1
z
= 2 = z −1 .
z
|z|
=m
Gauß7 sche Zahlenebene & Polarkoordinaten-Darstellung
√
z = a + bi y z = a − bi, |z| = a2 + b2
r = |z|
ϕ = arg z . . . Winkel zwischen positiver reeller Achse und
Ortsvektor vom Ursprung zu z
a = r cos ϕ,
b
r = |z|
ϕ
−a
a
<e
b = r sin ϕ
−z
7 Carl
z = a + bi
Friedrich Gauß (∗ 30.4.1777 Brunswick
†
23.2.1855 Göttingen)
−b
z = a − bi
1.5 Komplexe Zahlen
23
Definition 1.5.7 (Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen)
(i) Für z ∈ C heißt
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) ,
ϕ = arg z,
trigonometrische Darstellung bzw. Polarkoordinatendarstellung für z.
(ii) Für ϕ ∈ R setzt man
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
(Euler8 sche Formel), so dass z ∈ C darstellbar ist als
z = |z|eiϕ ,
Bemerkung∗ :
ϕ = arg z.
• ei(ϕ+2kπ) = eiϕ , k ∈ Z
• z 6= 0, dann ist ϕ bis auf Vielfache von 2π eindeutig bestimmt, deshalb 0 ≤ ϕ < 2π
oder −π < ϕ ≤ π
• z = 0, dann ist ϕ unbestimmt
• z=w
⇐⇒
|z| = |w|,
• z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ)
• |z| =
√
a2 + b2 ,
arg z = arg w + 2kπ ,
=⇒
k∈Z
z = |z| (cos ϕ − i sin ϕ) = |z| (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))
ϕ = arg z = arctan
b
(+π)
a
Multiplikation und Division komplexer Zahlen in Polarkoordinatendarstellung
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ),
|w| = %(cos ψ + i sin ψ)
h
i
z w = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)|w|(cos ψ + i sin ψ) = |z||w| (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ ) + i(sin ϕ cos ψ + sin ψ cos ϕ)
|
{z
}
|
{z
}
cos(ϕ
+
ψ)
sin(ϕ
+
ψ)
h
i
= |z||w| cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
h
i
i
zw
|z|
|z| h
z
=
=
|w|
cos(ϕ
−
ψ)
+
i
sin(ϕ
−
ψ)
=
cos(ϕ
−
ψ)
+
i
sin(ϕ
−
ψ)
, w 6= 0
w
|w|2
|w|2
|w|
y Beträge werden wie in R multipliziert/dividiert, Winkel werden addiert bzw. subtrahiert!
8 Leonhard
Euler (∗ 15.4.1707 Basel
†
18.9.1783 St. Petersburg)
24
1 Zahlen und Vektoren
Beispiel :
z
=
w
=
√
Ã√
3+i =
3
1
+i
2
2
2
√
= 2 2
2 + 2i
µ
!
=
¶
1√
i√
2+
2
2
2
z·w
z·w
z
w
ϕ+ψ
w
z
i
ψ
bisher:
z·w
ϕ
z 1
w
Potenzen :
z k := z| · z{z· · · z} ,
z ∈ C,
³
π
π
π´
2 cos + i sin
= 2ei 6
6
6
√ ³
√ π
π
π´
= 2 2 cos + i sin
= 2 2ei 4
4
4
√
√ 5π
π √
π
π
π
= 2ei 6 2 2ei 4 = 4 2ei( 6 + 4 ) = 4 2ei 12
µ
µ ¶
µ ¶¶
√
5π
5π
= 4 2 cos
+ i sin
12
12
π
=
π
π
1
2ei 6
1 √ −i π
√ i π = √ ei( 6 − 4 ) =
2e 12
2
2 2e 4
2
=
³ π´
³ π ´´
1√ ³
2 cos −
+ i sin −
2
12
12
√
√
= 2 3 − 2 + i(2 3 + 2)
√
µ√
¶
√
3−1
3+1
√ +i
√
= 4 2
2 2
2 2
| {z }
| {z }
5
5
cos( 12
sin( 12
π)
π)
k∈N
k-mal
Folgerung 1.5.8 (Formel von Moivre9 ) Für z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) und k ∈ N gilt
z k = |z|k (cos(kϕ) + i sin(kϕ)) = |z|k eikϕ .
Wurzeln komplexer Zahlen
Gegeben :
Gesucht :
Lösung :
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ),
w∈C
mit
n
w =z
w = |w|(cos ψ + i sin ψ)
wn = z
⇐⇒
⇐⇒
wk =
n∈N
(bzw.
=⇒
|w|n = |z|,
p
n
w=
√
n
z)
n
w = |w|n (cos(nψ) + i sin(nψ))
nψ = ϕ + 2kπ, k ∈ Z
⇐⇒
|w| =
¶
µ
¶¶
µ
µ
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
+ i sin
,
|z| cos
n
n
Es treten also zunächst unendlich viele Werte w auf.
9 Abraham
de Moivre (∗ 26.5.1667 Vitry-le-François/Frankreich
†
27.11.1754 London)
p
n
|z|,
| {z }
reelle Wurzel
k∈Z
ψ=
ϕ + 2kπ
, k∈Z
n