§ 15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

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§ 15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
„Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.“
( Descartes )
„Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast.“
( Churchill zugeschrieben )
Drei Statistiker gehen auf die Jagd.
Der erste legt an, zielt, und - und schießt links daneben.
Der zweite legt an, zielt, und - und schießt rechts daneben.
Ruft der dritte: „Getroffen!“
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Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 15.1
Folie 1
15.1 Grundbegriffe
Definition 1
1.)
Ein Experiment ( wird nach einer genau festgelegten Vorschrift durchgeführt
und kann unter den gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden ) heißt
Zufallsexperiment, wenn es verschiedene Möglichkeiten für den Ausgang des
Experiments gibt und nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann, welcher
dieser möglichen Ausgänge sich bei Durchführung des Experiments einstellen
wird.
2.)
Die verschiedenen möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments heißen
Elementarereignisse oder Ergebnisse.
Die Menge M aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Ergebnismenge
des Zufallsexperiments.
3.)
Eine Teilmenge A der Ergebnismenge M heißt Ereignis ( ein Ereignis ist also
eine Menge von Elementarereignissen ) .
Spezielle Ereignisse:
•
A = M
heißt sicheres Ereignis
•
A =
heißt unmögliches Ereignis
•
A = M A
heißt das zu A komplementäre Ereignis
oder Gegenereignis zu A
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.1 Folie 2
Beispiele
1.)
Würfeln
M =
1;2;3;4;5;6
Ereignis A „Primzahl gewürfelt“ :
A =
2;3;5
Das zu A komplementäre Ereignis A „keine Primzahl gewürfelt“ :
A = M
2.)
4.)
1;4;6
Münze werfen
M =
3.)
A =
Kopf ; Zahl
Zweimal Münze werfen
a) mit unterscheidbaren Münzen:
M =
KK ; KZ ; ZK ; ZZ
b) mit nicht unterscheidbaren Münzen:
M =
KK ; ZK ; ZZ
bzw.
M =
0;1;2
Lebensdauer einer Glühlampe
M = R+
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Analysis 15.1
Folie 3
Definition 3
Wird ein Zufallsexperiment mit Ergebnismenge M n - mal durchgeführt, so heißt
die Anzahl n ( A ) , mit der ein Ereignis A
M bei diesen n Durchführungen
auftritt, die absolute Häufigkeit des Ereignisses A bei n Durchführungen des
Zufallsexperiments.
n(A)
heißt relative Häufigkeit des Ereignisses A bei
Der Quotient hn ( A ) =
n
n Durchführungen des Zufallsexperiments.
Beispiel
Ist die nebenstehende Tabelle das
Ergebnis nach 100 - maligem Würfeln,
k
1
2
3
4
5
6
n(k)
12
20
16
18
19
15
so gilt etwa für das Ereignis
A = „mindestens 5 gewürfelt“ =
n ( A ) = 19 + 15 = 34
und
5;6
:
n(A)
34
hn ( A ) =
=
n
100
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= 0,34 = 34 %
Analysis 15.1
Folie 4
Satz 1
Für die absolute bzw. relative Häufigkeit gelten die folgenden Beziehungen:
0 < n(A) < n
n(A
0 < hn ( A ) < 1
B) = n(A) + n(B) - n(A
B)
hn ( A
B ) = hn ( A ) + hn ( B ) - hn ( A
n(M) = n
hn ( M ) = 1
n(
hn (
) = 0
B)
) = 0
Schwaches Gesetz der großen Zahl
Berechnet man für verschiedene Anzahlen n von Durchführungen eines Zufallsexperiments jeweils die relative Häufigkeit hn ( A ) , so stellt man fest, dass sie sich mit
wachsender Anzahl von Durchführungen n mit immer kleiner werdenden Schwankungen um einen bestimmten Wert einpendelt.
Daher vereinbart man:
Definition 4
Die Wahrscheinlichkeit p ( A ) eines Ereignis A wird definiert als Grenzwert der
relativen Häufigkeit :
8
p ( A ) = l i m hn ( A )
n
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Analysis 15.1
Folie 5
Bemerkung
Die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses A für verschiedene Anzahlen n
von Durchführungen eines Zufallsexperiments kann man nur empirisch bestimmen ( also indem man das Zufallsexperiment entsprechend häufig durchführt ) ;
es gibt keine explizite oder rekursive Rechenformel .
Die Wahrscheinlichkeit p ( A ) eines Ereignis A kann daher in vielen Fällen nicht
exakt bestimmt werden. In diesen Fällen nimmt man die relative Häufigkeit hn ( A )
für ein hinreichend großes n als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit und nennt
diese Wahrscheinlichkeit dann statistische Wahrscheinlichkeit.
Bei Zufallsexperimenten, bei denen die Wahrscheinlichkeit p ( A ) eines Ereignis A
exakt bestimmt werden kann, spricht man von mathematischer Wahrscheinlichkeit.
Beispiele
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schwangere Zwillinge entbinden wird, beträgt
8908
= 0,0123459 = 1,23459 %
statistische Wahrscheinlichkeit
721 534
b) Die Wahrscheinlichkeit, mit einem idealen Würfel eine 6 zu würfeln, beträgt
1
= 0,1666667 = 16,66667 %
mathematische Wahrscheinlichkeit
6
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Analysis 15.1
Folie 6
Satz 2
Für ein Zufallsexperiment mit Ergebnismenge M und Ereignisse A , B
•
0 < p(A) < 1
•
p(A
•
p(M) = 1
( sicheres Ereignis )
•
p(
( unmögliches Ereignis )
•
p(A) = 1 - p(A)
•
p(B
•
A
•
Für endliche Ergebnismengen M =
B) = p(A) + p(B) - p(A
) = 0
gilt:
B)
( zu A komplementäres Ereignis )
A) = p(B) - p(A
B)
p(A) < p(B)
B
keiten p1 , p2 , ... , pn
n
a)
M
pi
=
(also
x1 ; x2 ; ... ; xn
mit Wahrscheinlich-
p ( x1 ) = p1 , p ( x2 ) = p2 , ... , p ( xn ) = pn) gilt:
1
i=1
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b)
pi
xi ε A
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=
p(A)
für jedes Ereignis A
Analysis 15.1
Folie 7
M
Definition 5 ( Laplace - Experimente )
Ein Zufallsexperiment mit endlich vielen, gleich wahrscheinlichen Elementarereignissen heißt Laplace - Experiment.
Beispiele
a) Würfeln mit einem idealen Würfel
b) Werfen einer idealen Münze
c) Roulette mit einem idealen Ziehungsgerät
Satz 3
Für ein Laplace - Experiment mit Grundmenge M =
a) p ( xi ) =
1
n
für alle i = 1 , ... , n
x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xn
b) p ( A ) =
#A
n
gilt:
für jedes Ereignis A
M
Bemerkungen
1.)
# A heißt Mächtigkeit oder Kardinalzahl der Menge A .
Bei endlichen Mengen entspricht dies der Anzahl der Elemente.
2.)
Bei Laplace - Experimenten lässt sich also stets die mathematische Wahrscheinlichkeit bestimmen. Daher nennt man die mathematische Wahrscheinlichkeit
auch Laplace - Wahrscheinlichkeit.
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Analysis 15.1
Folie 8
Methoden zur Bestimmung von (mathematischen) Wahrscheinlichkeiten
Beispiel 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln die
Augensumme 10 zu erzielen ?
Mögliche Grundmenge:
M =
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12
Diese 11 Ergebnisse sind aber nicht gleich wahrscheinlich.
Es liegt daher kein Laplace - Experiment vor; die gesuchte Wahrscheinlichkeit
kann mit diesem Ansatz also nicht bestimmt werden.
Betrachtet man die beiden Würfel als unterscheidbar ( z.B ein roter und ein blauer
Würfel ) , so erhält man als mögliche Grundmenge
M =
( 1/ 1 ) ; ( 1/ 2 ) ; ( 1/ 3 ) ; ( 1/ 4 ) ; ( 1/ 5 ) ; ( 1/ 6 ) ;
( 2/ 1 ) ; ( 2/ 2 ) ; ( 2/ 3 ) ; ( 2/ 4 ) ; ( 2/ 5 ) ; ( 2/ 6 ) ;
( 3/ 1 ) ; ( 3/ 2 ) ; ( 3/ 3 ) ; ( 3/ 4 ) ; ( 3/ 5 ) ; ( 3/ 6 ) ;
( 4/ 1 ) ; ( 4/ 2 ) ; ( 4/ 3 ) ; ( 4/ 4 ) ; ( 4/ 5 ) ; ( 4/ 6 ) ;
( 5/ 1 ) ; ( 5/ 2 ) ; ( 5/ 3 ) ; ( 5/ 4 ) ; ( 5/ 5 ) ; ( 5/ 6 ) ;
( 6/ 1 ) ; ( 6/ 2 ) ; ( 6/ 3 ) ; ( 6/ 4 ) ; ( 6/ 5 ) ; ( 6/ 6 )
( 4 / 6 ) ; ( 5 / 5 ) ; ( 6 / 4 ) hat also die Wahr#A
p(A) =
für jedes Ereignis A M
n
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Das Ereignis A = „Augensumme 10“ =
3
1
=
.
12
36
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scheinlichkeit
p(A) =
Diese 36 Ergebnisse sind
alle gleich wahrscheinlich;
es liegt daher ein Laplace Experiment vor, mit dem die
gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann.
Alternative 1
Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Augensumme
10 ist die Einzelbetrachtung der beiden Würfel mit anschließender Multiplikation der
jeweiligen Wahrscheinlichkeiten:
Das Ereignis A = „Augensumme 10“ lässt sich zerlegen in die beiden Ereignisse
B = „roter Würfel mindestens 4“
, und
C = „blauer Würfel = 10 - roter Würfel“ .
Daher gilt p ( A ) = p ( B ) . p ( C ) =
1
3 . 1
=
12
6 6
Alternative 2
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Augensumme
10 ist die Erstellung eines Baumdiagramms; dabei wird die gesuchte Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation und ggf. Addition von Wahrscheinlichkeiten berechnet,
die einfacherer zu bestimmen sind:
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Analysis 15.1
Folie 10
Alternative 2
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Augensumme
10 ist die Erstellung eines Baumdiagramms; dabei wird die gesuchte Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation und ggf. Addition von Wahrscheinlichkeiten berechnet,
die einfacherer zu bestimmen sind:
Würfeln mit zwei Würfeln
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
2
3
4
5
111111
666666
111111
666666
111111
666666
111111
666666
111111
666666
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1
1 . 1
p =
=
36
6 6
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6
roter
Würfel
111111
666666
blauer
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Würfel
Augensumme 10
p =
1
1
+
36
36
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+
1
36
=
Analysis 15.1
1
12
Folie 11
Bemerkung
Das Baumdiagramm wird einfacher, wenn man nicht alle möglichen Ergebnisse einzeln aufführt, sondern nur nach dem betrachteten Ereignis unterscheidet:
A = Augensumme 10
A = Augensumme
10
Würfeln mit zwei Würfeln
1
6
1
6
1
0
A
1
6
2
1
A
0
A
1
6
3
1
A
0
A
1
6
1
6
4
1
A
1
6
A
5
5
6
A
Augensumme 10
1
1
1
p = 0 + 0 + 0 +
+
+
36
36
36
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1
6
A
=
roter
Würfel
6
5
6
A
1
6
A
5
6
A
blauer
Würfel
1
12
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Analysis 15.1
Folie 12
Beispiel 2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln als
Augensumme mindestens 10 zu erzielen ?
1. Methode
Das Ereignis A = „Augensumme > 10“ =
hat die Wahrscheinlichkeit
p(A) =
( 4/ 6 ) ; ( 5/ 5 ) ; ( 6/ 4 ) ; ( 5/ 6 ) ; ( 6/ 5 ) ; ( 6/ 6 )
6
1
=
36
6
.
2. Methode
Das Ereignis A = „Augensumme > 10“ lässt sich zerlegen in die beiden Ereignisse
B = „roter Würfel mindestens 4“ , und
C = „blauer Würfel > 10 - roter Würfel“ .
In diesem Beispiel ist aber die Wahrscheinlichkeit p ( C ) nicht nur davon abhängig,
ob B eingetreten ist, sondern auch vom genauen Ergebnis. Daher ist eine genauere
Unterscheidung notwendig:
B1 = „roter Würfel = 4“
C1 = „blauer Würfel > 6“
B2 = „roter Würfel = 5“
C2 = „blauer Würfel > 5“
B3 = „roter Würfel = 6“
C3 = „blauer Würfel > 4“
p ( A ) = p ( B1 ) . p ( C1 ) + p ( B2 ) . p ( C2 ) + p ( B3 ) . p ( C3 )
1
1 .1
1 . 2
1 . 3
+
=
+
=
6
6 6
6 6
6 6
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.1
Dann gilt
Folie 13
Beispiel 2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln als
Augensumme mindestens 10 zu erzielen ?
3. Methode
A = „Augensumme > 10“
A = „Augensumme < 10“
Würfeln mit zwei Würfeln
1
6
1
A
1
6
2
A
1
6
3
A
1
6
1
6
1
6
4
1
6
A
5
5
6
A
2
6
A
roter
Würfel
6
4
6
A
3
6
A
3
6
A
blauer
Würfel
Augensumme > 10
1
1
2
3
p =
+
+
=
36
6
36
36
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Analysis 15.1
Folie 14
Beispiel 3
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 25 Personen mindestens
zwei den gleichen Geburtstag haben ?
Die Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit p ( A ) ist recht schwierig.
Die Wahrscheinlichkeit p ( A ) des Gegenereignisses ist einfacher zu bestimmen:
Die 25 Personen werden in eine beliebige Reihenfolge gebracht und nennen nacheinander ihr Geburtsdatum.
Das Gegenereignis A tritt dabei genau dann ein, wenn
•
Person 2 einen Geburtstag hat, den Person 1 nicht hat , und
•
Person 3 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 und 2 nicht haben , und
•
Person 4 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 3 nicht haben , und
•
Person 5 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 4 nicht haben , und
•
Person 25 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 24 nicht haben.
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Analysis 15.1
Folie 15
Das Gegenereignis A tritt dabei genau dann ein, wenn
•
Person 2 einen Geburtstag hat, den Person 1 nicht hat , und
•
Person 3 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 und 2 nicht haben , und
•
Person 4 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 3 nicht haben , und
•
Person 5 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 4 nicht haben , und
•
Person 25 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 24 nicht haben.
Nach Methode 2 beträgt die Wahrscheinlichkeit p ( A ) des Gegenereignisses daher
p(A) =
364 . 363 . 362 . 361 .
...
365
365
365
365
. 341
365
Mit Hilfe der Formel p ( A ) = 1 - p ( A ) ergibt sich hieraus
p(A) = 1 -
364 . 363 . 362 . 361 .
...
365
365
365
365
. 341
365
= 0,569
= 56,9 %
( bei 23 Personen gilt
sonen gilt
p ( A ) = 0,507 = 50,7 % , und bei einer Gruppe von 105 Perp ( A ) = 99,999994 % und damit p ( A ) < p ( 6 Richtige im Lotto ) )
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