Chern-Simons Theorie - Fraktionaler Quanten-Hall
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Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 | Theorie der kondensierten Materie Fraktionaler Quanten-Hall-Effekt Seite 2 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Inhaltsverzeichnis Grundlagen des Hall-Effekts Grundlegender Hamiltonian und unitäre Transformation Die 2. Quantisierung Mean-Field Näherung Berechnung Ladungsstrom und Hall Widerstand Seite 3 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Experimentelle Anordnung des Hall-Effekts Abbildung: Experimentelle Anordnung des Hall-Effekts Seite 4 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Grundlegende Parameter des Quanten-Hall-Effekts ~ = B~ez bzw. Füllfaktor ν Variiert wird magnetisches Feld B ν= Anzahl Elektronen 2π~ρ0 Ne = = Anzahl Zustände eB φ/φ0 Abbildung: Bedeutung des Füllfaktors ν Seite 5 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Experimentelle Ergebnisse des Quanten-Hall-Effekts Seite 6 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Grundlegender Hamiltonian H= X 1 h e ~ i2 X p~i + A + V (|~ri − ~rj |) 2m c i i>j Ψ antisymmetrische Funktion (Fermionen) HΨ(r~1 , ..., r~Ne ) = EΨ(r~1 , ..., r~Ne ) Transformation durch unitäre Trafo U auf symmetrische Funktion Φ(r~1 , ..., r~N ) (Bosonen) U = e−i Θ i>j π αij P Wobei gilt Θ = (2k + 1)π und αij = arccos (~ ri −~ rj )e~x |~ ri −~ rj | Seite 7 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Unitäre Transformation Weiter folgt aus der unitären Transformation U für den neuen Hamiltonian H 0 = U −1 HU Die symmetrische Funktion Φ folgt aus Ψ Φ = U −1 Ψ Durch Betrachtung der einzelnen Komponenten des ursprünglichen Hamiltonians kann der neue Hamiltonian bestimmt werden. Seite 8 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Transformierter Hamiltonian Es ergibt sich: H0 = X 1 h e ~ e i2 X p~i + A + a~i + V (|~ri − ~rj |) 2m c c i i>j Mit dem Chern-Simons Feld ~a(~ri ) aβ (~ri ) = − Φ0 Θ X β ∂ αij 2π 2 j6=i Seite 9 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 2. Quantisierung Nach der 2. Quantisierung erhält man 0 H = Z 2 + d r Φ (~r )[ 1 2m 2 ~~ e~ e ~ ~ ~ ∇ + A(r ) + a(r ) i c c − eA0 ]Φ(~r ) Z 1 + d 2 rd 2 r 0 [ρ(~r ) − ρ̄]V (|~r − r~0 |)[ρ(r~0 ) − ρ̄] 2 P e β ~ ~ ~ Es ergibt sich mit ρ(~r ) = Φ+ (~r )Φ(~r ) = N i δ(r − ri ) für a (r ) Z Φ0 θ β ~ a (r ) = − 2 d 2 r 0 ∂ β α~r~r 0 ρ(~r 0 ) 2π Seite 10 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Betrachtung der auftretenden Größen Das Chern-Simons Feld aβ (~r ) ist nach αβ ∂ α ∂ β α~r~r 0 = 2πδ(~r ) bestimmt durch Ne θ θX b = αβ ∂ α aβ (~r ) = −Φ0 ρ(~r ) = −Φ0 δ(~r − ~ri ) π π i Es gelten folgende Zusammenhänge I Φ(~ r ), Φ+ (~r 0 ) = δ(~r − ~r 0 ) (...aber Φ(~r )Φ(~r ) = 0) I ρ̄ uniforme Hintergrundladung um stabiles System zu erhalten (thermodynamischer Limes) I −eA0 zusätzliches elektrisches Feld E α = −∂ α A0 I Reduziertes effektives Magnetfeld Beff (~r ) = αβ ∂ α Aβ (~r ) + aβ (~r ) = B − (2k + 1)Φ0 ρ(~r ) Seite 11 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Das Composite-Boson Abbildung: Aufteilung der Flussquanten auf Elektronen bei ν = Abbildung: Übergang von Elektron zu Composite-Boson 1 3 Seite 12 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Einfache Lösung der Chern-Simons Theorie Seite 13 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Einschub: Zustandssumme und Pfadintegral −βH Z −βH Z β −N H Z = sp e = dx < x|e |x| >= dx < x|ΠN |x > i=1 e Z Z Z β β = dx dx1 ... dxN−1 < x|e− N H |x1 >< x1 |e− N H |x2 > ...... β < xN−1 |e− N H |x > I = D[x]e−SE Mit der euklidischen Wirkung (Funktional) SE Z SE [x] = ~β Z dτ d 2 r Le (x, τ ) 0 Integriert wird über alle möglichen Pfade des Phasenraums unter periodischen Randbedingungen Seite 14 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Einschub: Zustandssumme und Pfadintegral Abbildung: Unterschiedliche Pfade. Periodische Randbedingungen wurden nicht beachtet. Seite 15 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Einschub: Lösung des Pfadintegrals I Wesentlicher Beitrag liefert der Pfad xcl mit der Bedingung δx SE = 0 (Mean-Field Näherung) I Entwicklung um Pfad minimalster Wirkung bis zur zweiten Ordnung in Fluktuationen η (Sattelpunkt-Methode) x(τ ) = xcl (τ ) + η(τ ) mit η(~β) = η(0) = 0 Entwicklung des euklidischen Funktionals 1 SE [x] = SE [xcl ]+ 2 Z δ 2 SE [x] dτ1 dτ2 η(τ1 )η(τ2 ) δx(τ1 )δx(τ2 ) x=xcl Seite 16 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Zustandsumme der Chern-Simons Theory ~ = Z [A0 , A] Z D[Φ]D[Φ∗ ]D[a0 ]D[~a]e− R ~β 0 dτ R d 2 r LE [Φ,Φ∗ ,a0 ,~a] Mit der euklidischen Lagrange-Dichte LE = LΦ + La Z ∂ e~ e 1 ∗ ~~ 1 ∗ =Φ + eA0 + ea0 Φ + φ ∇ + A + ~a Φ + .. ∂τ 2m i c c 2 eπ µνρ aµ ∂ν aρ + 2Φ0 θ Seite 17 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Chern-Simons Feld als weiterer Freiheitsgrad Bis jetzt war das Chern-Simons Feld festgelegt durch θ αβ ∂ α aβ (~r ) = −Φ0 ρ(~r ) π Mit Hilfe des Chern-Simons Term La = eπ µνρ aµ ∂ν aρ 2Φ0 θ Wird aν zu weiterem Freiheitsgrad. a0 sichert Eichinvarianz (bzgl. δaν = ∂ν Λ) und spielt die Rolle eines Lagrange-Multiplikators (Zwangsbedingung). Seite 18 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Mean-Field Näherung Betrachtung eines äußeren elektromagnetischen Feldes mit den Eigenschaften: I A0 6= 0 I Eµ = −∂µ A0 I αβ ∂α Aβ = Bz = konst. Weiter gilt nach dem Prinzip der minimalen Wirkung für die dominante Konfiguration I δΦ SE = 0 I δΦ∗ SE = 0 I δ~a SE = 0 und δa0 SE = 0 Seite 19 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Mean-field Lösung Man erhält als Lösungen √ I Φ= ρ̄ = konst. ~ ; a0 = −A0 → b = −B = − θ Φ0 ρ̄ I ~ a = −A π Für den Füllfaktor erhält man mit θ = (2k + 1)π ν= Ne 1 = Φ/Φ0 2k + 1 Lösung ist homogene Dichte von Bosonen, welche ein Magnetfeld tragen, welche das Externe gerade kompensiert. Seite 20 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Darstellung der Mean-Field Lösung Abbildung: Das Composite Boson in Mean-Field Näherung Seite 21 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Betrachtung der Stromdichte < jα (~r ) >=< δSE > ·c δAα Wobei der Erwartungswert auch durch das Pfadintegral berechnet werden kann: R D[ ]Ae−SE 1 −βH < A >= sp e A = Z Z Weiter gilt für den Erwartungswert (Mean-Field Näherung) δSE δSE < >≈ δAα δAα Sattelpunkt Seite 22 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Betrachtung der Stromdichte in Mean-Field-Näherung Und durch das hamiltonsche Prinzip gilt: δSE δAα = Sattelpunkt δSEa δSEΦ δS Φ =− E = δAα δaα δaα Durch Berechnung der Ableitung erhält man: δSEa eπ αβ = 2∂β a0 2θΦ0 δaα (~r ) Seite 23 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Quantisierung des Hall-Widerstandes Und es folgt für den Erwartungswert des Stroms mit a0 = −A0 und E α = −∂ α A0 : < jα (~r ) >= e2 1 αβ Eβ h q q = (2k + 1) und für den Füllfaktor ν = 2k1+1 Daraus folgt für den Leitfähigkeitstensor I σxx = 0 I σxy = e2 1 h q Seite 24 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Zusammenfassung I keine Verunreinigungen I Betrachtungen basieren auf einem unendlich ausgedehntem 2-D System I Spin wurde vernachlässigt (Zeeman Aufspaltung sei riesig) I Mean-Field Lösung kann Quantisierung des Hall-Widerstandes erklären Seite 25 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Ausblick I Beachtung von quadratischen Fluktuationen und kollektiven Anregungen ⇒ Laughlin-Wellenfunktion I Störungsbasierende Anregungen (Dichtefluktuationen) I Vortex Anregungen ⇒ Quasiteilchen mit fraktionaler Statistik und fraktionaler Ladung I ... Alle Anregungen, welche aus dem Kondensat(Mean-Field Lösung) heraus entstehen sind energetisch Lücken-behaftet. Das Kondensat ist inkompressibel. Seite 26 Chern-Simons Theorie | Thomas Unden, Sabrina Kröner | 01. Feb. 2012 Chern-Simons Ginzburg-Landau Theorie, Vorlesungsmitschrift, Prof. Joachim Ankerhold Chern-Simons Ginzburg-Landau Theorie, Präsentation, Nikolai Hlubek, 25.06.2003 Chern-Simons Theory of Fractional Quantum Hall Effect, Kalin Vetsigian, 07.05.2001 The Chern-Simons-Landau-Ginzburg Theory Of The Fractional-Quantum Hall Effect, Shou Cheng Zhang, 18.09.1991 Quantum Hall Effects, Zyun F. Ezawa, World Scientific 2008 Field Theory A Path Integral Approach, Ashok Das, World Scientific 2006
