Angewandte Halbleiterphysik - Technische Physik

Angewandte
Halbleiterphysik
Vorlesung für das
Wintersemester 2006/2007
Martin Kamp
Technische Physik, Universität Würzburg
1. Halbleiter – Materialien
1.1 Elemente und Verbindungen
Periodensystem mit relevanten Elementen
Elementhalbleiter: Si, Ge, C (Diamant)
Binäre Verbindungshalbleiter:
IV/IV
SiC
SiGe
III/V
GaAs
AlAs
InP
GaP
GaSb
InAs
GaN
InN
II/IV
CdS
CsSe
CsTe
ZnS
ZnSe
Znte
IV/VI
PbS
PbTe
III/V Verbindungshalbleiter
•
•
•
•
Binäre Verbindungen: GaAs, InP, GaSb, ....
Ternäre Verbindungen: InxGa1-xAs, AlxGa1-xAs, ...
Quaternäre Verbindungen: InxGa1-xAsyP1-y, (2*III, 2*V), InxAlyGa1-x-yAs (3*III, 1*V)
Quaternäre Verbindungen erlauben Einstellen von Gitterkonstante und Bandlücke
(2 Freiheitsgrade)
-1-
Welches Halbleitermaterial für welche Anwendung?
Si: integrierte Schaltkreise
(CPU, DRAM), Verstärker,
Gleichrichter, …..
GaP, AlP: sichtbare LEDs
GaAs: IR- Laser,
Hochfrequenztransistoren
(Handy)
InP: Höchstfrequenztechnik,
optoelektronische Bauelemente für die Nachrichtentechnik
GaN, SiC: Hochtemperaturund Hochleistungselektronik
Sichtbares
Licht
0.8 µm
1.3 µm
Si
1.5 µm
Bandlücken und Gitterkonstanten von technologisch relevanten Halbleitern.
Licht mit Wellenlängen von 1.3 und 1.5 µm wird für Glasfaserkommunikation
verwendet.
-2-
1.2 Kristallstrukturen, reziproker Raum, erste Brillouinzone
Einfaches kubisches Gitter
Simple cubic (sc)
Ein Atom pro Elementarzelle
Anzahl der nächsten Nachbar: 6
Kubisch raumzentriertes Gitter
Body centered cubic (bcc)
Zwei Atome pro Elementarzelle
Anzahl der nächsten Nachbar: 8
Kubisch flächenzentriertes Gitter
Face centered cubic (fcc)
Vier Atome pro Elementarzelle
Anzahl der nächsten Nachbar: 12
-3-
Diamant-Struktur (C, Si, Ge)
Besteht aus zwei fcc-Untergittern, die um (a/4, a/4, a/4) gegeneinander
verschoben sind. Jedes Atom hat vier tetraederförming angeordnete Bindungen
zu seinem nächsten Nachbarn.
Zinkblende – Struktur (GaAs, GaP, InP, …)
Besteht aus zwei fcc-Untergittern aus unterschiedlichen Atomsorten (z.B. Ga
und As), die um (a/4, a/4, a/4) gegeneinander verschoben sind. Jedes Atom hat
vier tetraederförming angeordnete Bindungen zu seinem nächsten Nachbarn.
-4-
Wurzit Struktur (CdSe, ZnSe)
Reziproker Raum
Jeder Punkt im Ortsraum kann als Linearkombination der drei Basisvektoren des
Kristallgitters dargestellt werden:
r
r
r
r
r = xa1 + ya2 + za3
Die Basisvektoren des reziproken Raums bestimmen sich durch:
r r
r r
r
r
a 2 × a3
a3 × a1
b1 = 2π r r r
b2 = 2π r r r
a1 ⋅ (a2 × a3 )
a1 ⋅ (a2 × a3 )
r r
r
a1 × a2
r r
b3 = 2π r r r
a
a1 ⋅ (a2 × a3 ) Es gilt die Beziehung: i ⋅ b j = 2πδ ij
-5-
Konstruktion der ersten Brillouinzone
Kristallgitter mit rechteckiger Elementarzelle
Gitter im reziproken Raum
Die erste Brillouin Zone konstruiert man als Wigner-Seitz Zelle im reziproken
Raum. Als Wigner-Seitz Zelle bezeichnet man die durch die Mittelsenkrechten
auf den Verbindungslinien zu den nächsten Nachbarn eingeschlossene Fläche.
-6-
Symmetriepunkte in der ersten Brillouin Zone
Konstruktion bei dreidimensionalen Gittern analog zum zweidimensionalen Gitter
Einfach kubisches Gitter
Simple cubic (sc)
Kubisch raumzentriertes Gitter
Body centered cubic (bcc)
Kubisch flächenzentriertes Gitter
Face centered cubic (fcc)
-7-
1.3 Millersche Indizes
Vorschrift zur Ermittlung der Millerscher Indizes:
1) Finde die Schnittpunkte der Ebene mit den drei kartesischen
Koordinatenachsen in Vielfachen der Gitterkonstante.
2) Nimm die reziproken Werte dieser Zahlen und reduziere sie auf die
kleinsten drei Zahlen, wobei die Zahlenverhältnisse gleich bleiben.
3) Schließe das Resultat in Klammern (hkl) als die Miller-Indizes für
eine einzelne Ebene.
Konventionen
(hkl) Millersche Indizes für eine einzelne Ebene
{hkl} Ebenen mit äquivalenter Symmetrie z.B. (100), (010) oder
(00-1)
[hkl] Kristallrichtung, [100]-Richtung ist senkrecht auf (100)-Ebene
<hkl> Richtungen mit äquivalenter Symmetrie
-8-
2. Bandstrukturen
2.1. Entstehung von Bandstrukturen
Die Entstehung von Bandstrukturen kann man auf verschiedene Arten erklären.
Die beiden gängigsten Modelle sind:
1. Überlagerung von Atomorbitalen
Die Orbitale der Atome in einem Festkörper überlagern sich. Durch die
Wechselwirkung mit den benachbarten Atomen werden aus den scharfen
Energieniveaus der isolierten Atome Energiebänder.
2. Elektron in periodischem Potential (Wellenbild)
Hier betrachtet man ein Elektron als eine Welle, die sich in einem periodischen
Potential ausbreitet. Durch das Potential ändert sich die Dispersion des
Elektrons, es kommt zu Bildung von Energiebändern und Bandlücken.
Neben der Veranschaulichung von Bandstrukturen können beide Modelle auch
zur Berechnung von Energiebändern verwendet werden. Bei Rechnungen nach
dem ersten Modell (Überlagerung von Atomorbitalen) spricht man von ‚tight
binding’ Verfahren, Rechnungen im Wellenbild werden als ‚plane wave
expansion’ (Entwicklung nach ebenen Wellen) bezeichnet.
Überlagerung von Atomorbitalen
Orbitale zweier Na-Atome im Abstand von 3.7 Å. Die 3s Orbitale besitzten den
grössten Überlapp. Die Überlagerung der Atomorbitale führt zur Bildung von
bindenden und anti-bindenden Orbitalen.
-9-
Bindungen im Si Kristall. Jedes Si-Atom besitzt vier Bindungen in Tetraederkonfiguration zu
den nächsten Nachbarn.
Energiezustände als Funktion des Atomabstands.
Bei Annäherung der Atome spalten die scharfen atomaren Energieniveaus in
Bänder auf. Im Gleichgewichtsabstand (Gitterkonstante von 5.43 A) sind die
Zustände in komplett mit Elektronen besetztes Valenzband und ein leeres
Leitungsband aufgespalten.
- 10 -
2.2. Materie unter hohen Drücken
Bei extrem hohen Drücken werden alle Elemente zum Halbleiter bzw.
metallisch, da sich der Abstand der Atomkerne verkleinert und damit der
Überlapp der Wellenfunktionen immer grösser wird.
Drücke von über einem Mbar kann man relativ einfach mit DiamantStempelzellen erreichen.
Schmatischer Aufbau und Bild einer Diamant-Stempelzelle
Bei einer Querschnittsflächer von 2.5*10-5 cm2 erreicht man bei einer Kraft von
250 N (25 kg) einen Druck von 1 Mbar.
Widerstand einer Xenonprobe bei T=32 K. Bei einem Druck von 33 Gpa (0.33
Mbar) fällt der Widerstand und mehrere Grössenordungen, die Probe wird
metallisch.
- 11 -
Widerstand von Sauerstoff als Funktion von Druck und Temperatur
Bei ‚kleinen’ Drücken von 55 GPa ist Sauerstoff ein Halbleiter, der Widerstand
sinkt mit steigender Temperatur. Dies ist auf die thermische Anregung von
Ladungsträgern über die Bandlücke zurückzuführen. Bei höherem Druck wird
die Bandlücke immer kleiner, der Verlauf des Widerstandes mit der Temperatur
immer flacher. Bei einem Druck von 115 GPa wird Sauerstoff zum Metall, der
Widerstand sinkt bei kleineren Temperaturen.
- 12 -
2.3 Bandstrukturen von technologisch relevanten Halbleitern
Bandstrukturen für Ge, Si und GaAs
Indirekte Halbleiter (Ge, Si): Leitungsbandminimum liegt nicht
beim gleichen k-Vektor wie Valenzbandmaximum
Direkte Halbleiter (GaAs, InP): Leitungsbandminimum liegt beim
gleichen k-Vektor wie Valenzbandmaximum
Effiziente Lichtemission (LED, Halbleiterlaser) nur mit direkten
Halbleitern möglich, da beim indirekten Halbleiter zusätzlich Phonon
zur Impulserhaltung erforderlich ist.
Bauteile mit Lichtabsorption (Photodioden, Solarzellen) können mit
indirekten Halbleitern realisiert werden.
- 13 -
In der Nähe der Bandminima und –
maxima kann man die Dispersion
durch einen parabolischen
Zusammenhang zwischen Energie
und Impuls annähern.
h 2k 2
E (k ) =
2meff
Für einen idealen Kristall kann man
die gesamte Wechselwirkung der
Ladungsträger mit dem
Kristallgitter durch eine effektive
Masse meff ausdrücken.
Je ‚leichter’ die Ladungsträger,
desto stärker ist das Band
gekrümmt.
Vereinfachte Bandstruktur eines direkten Halbleiters mit Valenzband, leichtem
(lh), schwerem (hh) und abgespaltenem (SO) Valenzband.
Die Bänder enstehen durch die Wechselwirkung der äusseren s und p
Atomorbitale. Aus den vier Orbitalen s, px, py und pz entstehen durch
Linearkombination das Leitungsband und die drei Valenzbänder. Für
verschwindende Spin-Bahn Kopplung wären die drei Lochbänder für k=0
entartet, die Spin-Bahn Kopplung führt zur Abspaltung eines Valenzbandes.
- 14 -
2.4 Anisotropie der effektiven Masse
Die effektive Masse hat im allgemeinen Fall Tensorcharacter:
⎛ ∂ E (k ) ⎞
⎟
mij = h ⎜
⎜ ∂k ∂k ⎟
⎝ i j ⎠
2
−1
2
Flächen konstanter Energie im k-Raum in der Nähe des Leitungsbandminimums
für Ge, Si und GaAs.
Da der Tensor der effektiven Masse symmetrisch ist
⎛ ∂ 2 E (k ) ∂ 2 E (k ) ⎞
⎜
⎟,
=
⎜ ∂k ∂k
⎟
k
k
∂
∂
i
j
j
i
⎝
⎠
sind die
Flächen konstanter Energie Kugeln oder Ellipsoide.
Durch eine Hauptachsentransformation kann der Tensor der effektiven Masse
auf Diagonalform gebracht werden. Je grösser die Halbachse des Ellipsoids in
einer bestimmten Richtung, desto kleiner ist die effektive Masse.
GaAs: isotrope Masse
Ge, Si: anisotrope Masse, transversale Masse mt und longitudinale
Masse ml sind verschieden
Elektronen
Löcher
mt
ml
mhh
mlh
Ge
1,64
0,082
0,28
0,044
- 15 -
Si
0,98
0,19
0,49
0,16
GaAs
0,067
0,45
0,082
2.5 Temperaturabhängigkeit der Bandlücke
Gitterkonstante ändert sich mit der Temperatur
=> Änderung der Bandlücke
Bandlücke von Ge, Si und GaAs als Funktion der Temperatur
T
0K
300 K
Ge
0,743 eV
0,66 eV
Si
1,17 eV
1,12 eV
- 16 -
GaAs
1,519 eV
1,42 eV
3. Ladungsträgerstatistik, Besetzungsdichten
3.1. Fermi – Dirac Verteilung
Elektronen und Löcher sind Fermionen (Spin ½)
=> Pauli Prinzip: Nur ein Teilchen pro Zustand, Fermi-Dirac Verteilungsfunktion
f (E) =
1
⎛ E − EF ⎞
1 + exp⎜
⎟
⎝ kT ⎠
Liegt die Fermienergie EF innerhalb eines Bandes (bei Metallen), so sind bei T=0K alle Zustände
bis EF bestzt und alle energetisch höherliegenen Zustände leer. Die Fermiverteilung weicht nur
innerhalb einer Breite von 2kT um EF nennenswert von 0 bzw. 1 ab. Daher sind nur Elektronen in
der Nähe der Fermienergie sind für die Physik von Metallen relevant (Wärmekapazität,
Stromtransport, Supraleitung, …). Bei Halbleitern liegt EF normalerweise in der Bandlücke. In
diesem Fall kann man für E-EF > 3kT folgende Näherung machen:
⎛ E − EF ⎞
f ( E ) ≈ exp⎜ −
⎟
kT ⎠
⎝
Boltzmannstatistik
Warum?
Zustände sind nur mit geringer Wahrscheinlichkeit bestzt, daher ist Pauli-Prinzip nicht mehr
relevant. Analoge Näherung für Bose-Einstein Verteilung
Î Verdünnte Systeme verlieren ihren Quantencharakter
3.2 Zustandsdichte
Wir betrachten einen potentialfreien, würfelförmigen Kasten mit
Kantenlänge L und Volumen V=L3, der mit Ladungsträgen gefüllt
ist. Die Wellenfunktionen der Teilchen müssen periodische
Randbedingungen erfüllen, d.h. Ψ (x+L, y, z) = Ψ (x, y, z) und
analog für die anderen Koordinaten.
Lösungen der Schrödingergleichung sind daher:
Ψ ( x, y, z ) = Ceik x x e
ik y y ik z z
e
mit kx = 2πm/L, m = 1, 2, 3, … und analog für ky und kz
Die Zustände im k-Raum liegen daher äquidistant, jeder Zustand beansprucht ein Volumen von
Vk = (2π/L)3.
- 17 -
Verteilung der Zustände im reziproken Raum (k-rRaum)
Da die Lösungen der Schrödingergleichung ebene Wellen sind, gilt für die Dispersion die
quadratische Beziehung:
r
r h 2k 2
E (k ) =
2m
Zur Berechnung vieler Eigenschaften des Halbleiters (Stromdichte, Wärmekapazität, ..) muss
man über alle vorhandenen Zustände integrieren. Man möchte aber kein mehrdimensionales
Integral im k-Raum lösen, sondern nur über die Energie integrieren.
Wir müssen daher die konstante Zustandsdichte im k-Raum (D(k) = (L/2π)3 ) in eine von der
Energie abhängige Zustandsdichte D(E) umrechnen.
Dazu betrachten wir eine Kugel im k-Raum mit Radius kmax. Jeder Zustand kann doppelt besetzt
sein (Spin up und Spin down), die Anzahl der Zustände in der Kugel ist daher:
N=
∑2
k < k max
Da die Zustände im k-Raum sehr dicht liegen, kann die Summe durch ein Integral ersetzt werden:
N=
1
Vk
3
2
d
∫ k
k < k max
Mit den folgenden Beziehungen kann man substituieren:
2
dk 3 = 4πk 2 dk , k =
2m
1
E und dk =
2m / h 2 E −1 / 2
2
h
2
- 18 -
und erhält
⎛ L ⎞
N = 2⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
3
∫
4π
E < E max
2m 1 2m
E
dE = V ∫ D ( E )dE
h2 2 h2E
E < E max
Für die Zustandsdiche ergibt sich daher:
1 ⎛ 2m ⎞
D( E ) = 2 ⎜ 2 ⎟
2π ⎝ h ⎠
3/ 2
E
Existieren erst ab einer bestimmten Energie Zustände (z.B. ab EC im Leitungsband), so gilt für die
Zustandsdichte:
1 ⎛ 2m ⎞
D( E ) = 2 ⎜ 2 ⎟
2π ⎝ h ⎠
3/ 2
E − EC
3.3. Ladungsträgerdichten
Nun können wir die Ladungsträgerdichen im Halbleiter berechnen:
Für Elektronen gilt:
∞
n=
∫ D( E ) f ( E )dE
EC
Einsetzen von D(E) und f(E) liefert:
∞
1 ⎛ 2m ⎞
n = ∫ 2 ⎜ 2e ⎟
2π ⎝ h ⎠
EC
3/ 2
E − Ec
1
⎛ E − EF
1 + exp⎜
⎝ kT
⎞
⎟
⎠
dE
Man bekommt als Lösung:
n = NC
⎛ 2πme kT ⎞
mit N = 2⎜
⎟
C
2
h
⎝
⎠
∞
t 1/ 2 dt
F1/ 2 ( x) = ∫
1 + exp(t − x)
0
⎛ E − EC ⎞
F1/ 2 ⎜ F
⎟
kT
π
⎠
⎝
2
und dem Fermi-Dirac Integral
- 19 -
3/ 2
Fermi-Dirac Integral aus Funktion von ηF
Für x < -3 kann man folgende Näherung des Integrals verwenden:
F1/ 2 ( x) ≈
π
2
exp( x)
Für die Elektronendichte ergibt sich damit:
⎛ E − EF
n = N C exp⎜ − C
kT
⎝
⎞
⎟
⎠,
und analog für Löcher:
⎛ E − EV ⎞
p = NV exp⎜ − F
⎟
kT ⎠
⎝
mit
⎛ 2πmh kT ⎞
NV = 2⎜
⎟
2
⎝ h
⎠
Problem: EF ist noch unbekannt.
- 20 -
3/ 2
3.4 Eigenleitung
Neutralitätsbedingung: n = p = ni
(Intrinsische Ladungsträgerdichte)
Daraus ergibt sich:
np = ni2
Diese Beziehung wird als
Massenwirkungsgesetz bezeichnet und gilt
auch für dotierte Halbleiter.
Daraus folgt für das Quadrat der
intrinsischen Ladungsträgerdichte:
⎛ E ⎞
ni2 = n ⋅ p = NC NV exp⎜⎜ − Gap ⎟⎟
⎝ kT ⎠
und damit für die Dichte der Ladungsträger:
⎛ E ⎞
n = p = ni = N C NV exp⎜⎜ − Gap ⎟⎟
⎝ 2kT ⎠
Aus der Neutralitätsbedingung n = p kann
durch Rückeinsetzen EF bestimmt werden:
EF =
⎛N
EC + EV 1
+ kT ln⎜⎜ V
2
2
⎝ NC
⎞
⎟⎟
⎠
EF =
⎛m ⎞
EC + EV 3
+ kT ln⎜⎜ h ⎟⎟
2
4
⎝ me ⎠
Da die effektiven Massen der Löcher grösser sind als die der Elektronen liegt die Fermienergie
beim intrinsischen Halbleiter immer leicht oberhalb der Mitte der Bandlücke.
Da die Zustandsdichte der Löcher grösser als die der Elektronen ist, wäre bei die Lage der
Fermienergie genau in der Mitte der Bandlücke die Dichte der Löcher grösser als die der
Elektronen. Das leichte ‚Verrutschen’ der Fermienergie über die Mitte der Bandlücke nach oben
gleicht die höhere Zustandsdichte der Löcher aus, so dass im intrinsischen Halbleiter die gleiche
Dichte von Elektronen und Löchern vorhanden ist.
- 21 -
3.5. Dotierte Halbleiter
Energetische Lage von Fremdatomen im Si Kristall
Die Zahlen geben den Abstand zur nächsten Bandkante in meV an. Für die Dotierung von
Bauelementen werden Bor, Phosphor und Arsen verwendet. Gold bildet in Si eine tiefe Störstelle,
d.h. das Goldatom fängt Ladungsträger ein und verschlechtert dadurch drastisch die
Eigenschaften von Bauelementen. Zudem besitzt Gold in Si eine grosse Diffusionskonstante, d.h.
wenn man irgendwo Gold im Si Prozess hat, ist es bald überall.
Energetische Lage von Fremdatomen im GaAs Kristall
Technologisch relevante Materialien zur Dotierung sind Beryllium, Kohlenstoff, Zink und
Silizium. Wird Si auf einem Ga Gitterplatz eingebaut, so wirkt es als Donator, auf einem As Platz
als Akzeptor. Normalerweise wird Si als Donator eingebaut.
- 22 -
3.6. Ladungsträgerdichten im dotierten Halbleiter
Intrinsicher Halbleiter
Elektronen- und Löcherkonzentration sind gleich, die Fermienergie liegt in der Nähe der
Mitte der Bandlücke.
n dotierter Halbleiter
Unterhalb des Leitungsbandes befinden sich die Donatorzustände bei der Energie EE. Ist EcEd von der Grössenordnung kT, so sind die Donatoren ionisiert und die Konzentration der
Elektronen im Leitungsband enspricht der Konzentration der Donatoren. Die Fermienergie
verschiebt sich in Richtung Leitungsbandkante. Da das Produkt aus Elektron- und
Löcherdichte konstant ist (Massenwirkungsgesetz), geht die Löcherdicht stark zurück. Die
Elektronen sind in diesem Fall Majoritätladungsträger, die Löcher Minoritätladungsträger.
- 23 -
p dotierter Halbleiter
Unterhalb des Leitungsbandes befinden sich Akzeptorzustände bei der Energie EA. Die
Fermienergie verschiebt sich in diesem Fall in Richtung Valenzbandkante. Löcher sind nun
Majoritätladungsträger, Elektronen Minoritätladungsträger.
Berechnung der Ladungsträgerdichten
Es gilt weiterhin das Massenwirkungsgesetz np=ni2
Die Dotierung eines Halbleiters ist analog zur Mischung von Wasser mit Säuren oder Laugen,
auch hier können die Konzentrationen der verschiedenen Substanzen durch ein
Massenwirkungsgesetz beschrieben werden. In reinem Wasser ist die Konzentration von OHund H3O+ Ionen gleich gross (10-7 mol/l). Fügt man nun Säuren oder Basen hinzu (enstpricht
der Dotierung beim Halbleiter), so erhöht man die Konzentration von OH- (Base) oder H3O+
(Säure). Das Produkt aus den Konzentrationen von OH- und H3O+ Ionen bleibt jedoch
konstant (10-14 mol2/l2).
Des weiteren gilt Ladungsneutralität: N-A + n = N+D + p
Die Konzentration der ioniserten Akzeptoren und Elektronen muss genau so gross sein wie
die Konzentration von ionisierten Donatoren und Löchern.
Betrachten wir zunächst einen n-dotierten Halbleiter, in diesem Fall gilt für die Ladungsneutralität: n = N+D + p
Für n und p können wir die oben gewonnenen Ausdrücke einsetzen, für N+D gilt:
N D+ =
ND
⎛ E − ED ⎞
1 + 2 exp⎜ F
⎟
⎝ kt ⎠
ED ist die energetische Lage des Donatorniveaus.
- 24 -
Die Lage der Fermienergie kann jetzt graphisch als Schnittpunkt der Kurven von N+D + p und
n bestimmt werden:
Konzentration von ionisierten Donatoren, Elektronen und Löchern als Funktion der Lage der
Fermienergie
Für die Ladungsträgerdiche ergibt sich folgender Temperaturverlauf:
- 25 -
Für tiefe Temperaturen (freeze-out region) ist nur ein Teil der Donatoren ionisiert. Für T->0
geht auch die Ladungsträgerdiche gegen 0.
Für mittlere Temperaturen (extrinsic region) sind alle Donatoren ionisert und die Ladungsträgerdiche ist über einen weiten Temperaturbereich konstant. In diesem Bereich möchte man
normalerweise seine Bauelemente betreiben.
Für hohe Temperaturen werden mehr und mehr Ladungsträger durch thermische Anregung
über die Bandlücke erzeugt. Ist deren Anzahl grösser als die der durch Dotierung erzeugten
Ladungsträger, so ist man im intrisischen Bereich.
3.7 Temperaturabhängigkeit der Fermienergie im dotierten
Halbleiter
Lage der Fermienergie
Dotierkonzentrationen.
in
Si
als
Funktion
der
Temperatur
für
verschiedene
Lage der Fermienergie in GaAs als Funktion der Temperatur für verschiedene
Dotierkonzentrationen. Je schwächer der Halbleiter dotiert ist, desto schneller überwiegt die
Eigenleitung und die Fermienergie verschiebt sich in Richtung Mitte der Bandlücke. In beiden
- 26 -
Abbildungen ist auch die temperaturabhängigkeit der Bandlücke berücksichtigt. Bei
steigender Temperatur wird die Bandlücke kleiner, daher bewegen sich Leitungs- und
Valenband aufeinander zu.
3.8. Entartete Halbleiter
Donator und Akzeptorniveaus als Funktion der Dotierkonzentration
Für kleine Dotierkonzentrationene (<1016 cm-3) können die Donator- und
Akzeptoratome unabhängig betrachtet werden. Bei steigender Konzentration
führt die Wechselwirkung zwischen den Donator- oder Akzeptoratomen zur
Ausbildung von eigenen Bändern (Donator- bzw. Akzeptorband). Je grösser die
Konzentration, desto breiter werden diese Bänder. Überlappen die Donatorbzw. Akzeptorbänder mit dem Leitungs- bzw. Valenzband, so spricht man von
einem entarteten Halbleiter. Die Fermienergie liegt in diesem Fall in einem der
Bänder. Der Halbleiter bleibt daher selbst bei T=0K leitfähig, wird also in
gewisser Hinsicht zum Metall.
Entartete Halbleiter werden vor
Metall/Halbleiterübergängen verwendet.
- 27 -
allem
als
Kontaktschichten
in
4. Ladungsträgertransport
-
Tranport durch elektrische und magnetische Felder => Driftstrom
Tranport duch Diffusion => Diffusionsstrom
4.1. Naives Modell
Drude Modell
- Elektronen werden duch elektrisches Feld beschleunigt
- Stoss mit Gitteratom -> Energieverlust, Umlenkung
Dieses einfache Modell ist falsch, denn für ein perfektes Kristallgitter steckt die gesamte
Wechselwirkung zwischen den Ladungsträgern und dem Gitter in der Bandstruktur bzw. der
effektiven Masse. Stösse der Elektronen mit dem Kristallgitter finden daher nicht statt.
4.2. Ladungsträger in perfekten Kristallen
T = 0K, keine Gitterfehler (keine Dotierung!), keine Wechselwirkung zwischen
Ladungsträgern
Gegeben ist Bandstruktur E(k)
E(k)
Beschreibung des Teilchens als
Wellenpaket mit Gruppengeschwindigkeit vg
r
1 dE
r
vg =
h dk
Für kleine k:
r
r
h2k 2
E (k ) =
2meff
r
r
hk
vg =
meff
-π/a
- 28 -
π/a
k
Beschleunigte Bewegung
Energieübertrag pro Zeiteinheit:
r r
r 1 dE
r dt
1) dE = F ⋅ v g dt = F
h dk
dE r
2) dE = r dk
dk
r r
dk F
=
Aus 1) und 2) =>
dt h
Beschleunigung:
r
r
r
r
r dv d ⎛ 1 dE ⎞ 1 d 2 E dk F d 2 E
F
r =
r⎟=
r
= ⎜
=
a=
dt dt ⎝ h dk ⎠ h dk 2 dt h 2 dk 2 meff
Die effektive Masse meff (m* in der Abbildung) ist
nicht konstant, sondern von k abhängig:
meff
⎛ d 2E ⎞
= h ⎜⎜ r 2 ⎟⎟
⎝ dk ⎠
−1
2
Die Gruppengeschwindigkeit geht am Rand der
Brillouinzone gegen Null und die effektive Masse
wird negativ!
Begründung:
Welle für kleine k (grosse Wellenlänge):
=> Mittelung über viele Gitterperioden, effektive Masse konstant
Welle für k am Rand der Brillouinzone (Wellenlänge vergleichbar mit Gitterperiode):
Reflektion der Welle am Kristallgitter => stehende Welle, vg = 0
- 29 -
4.3. Ladungträger in realen Kristallen
Das unter 4.1 beschriebene Drude Modell kann mit Einschränkungen verwendet werden,
wenn man damit nicht die Streuung von Ladungsträgern an Gitteratomen, sondern Streuung
an
- Gitterschwingungen (Phononen)
- Donatoren, Akzeptoren
- Ladungsträgern
- Kristallfehlern
- Legierungsfluktuationnen in ternären und quaternären Halbleitern
beschreibt.
4.3.1 Thermische Geschwindigkeit
Mittlere thermische Geschwindigkeit:
1
3
mvth2 = kT
2
2
vth =
3kT
m
Für Si bei 300 K ist die mittlere thermische Geschwindigkeit v = 107cm/s=105m/s
Mittlere freie Weglänge: 10-100 nm, Streuzeit ca. 0.1-1 ps
4.3.2 Driftgeschwindigkeit
- 30 -
-
Für kleine Feldstärken (E<103 V/m): vDrift = (qτc/meff)E
Für grosse Feldstärken (E>104 V/m): vDrift = const. ≈ 107 cm/s
In Si und Ge ist die maximale Geschwindigkeit durch Emission von Phononen beschränkt.
In GaAs hat die Driftgeschwindigkeit ein Maximum bei einer gewissen Feldstärke und fällt
dann wieder ab. Der Grund liegt in der Besetzung eines zweiten Bandminimums (‚upper
valley’ in [111] Richtung). Die effektive Masse in diesem Minimum ist wesentlich grösser als
die effektive Masse am Γ-Punkt, daher nimmt die Driftgeschwindigkeit wieder ab. Den
daraus resultierenden negativen differentiellen Widerstand kann man zur Erzeugung von
hochfrequenten Schwingungen nutzen.
Elektronen erreichen höhere Geschwindigkeiten als Löcher, daher werden bei Hochfrequenztransistoren immer Elektronen als Ladungsträger verwendet.
Die erreichbaren maximalen Geschwindigkeiten erlauben eine erste (grobe) Abschätzung der
Schaltzeiten von Transistoren. Bei einem Feldeffektransistor mit einer Gatebreite L braucht
das Elektron die Zeit t = L/vmax zum Passieren des Gates.
Für vmax = 107 cm/s und L = 100 nm ergibt sich eine Transferzeit von 1ps (1THz Grenzfrequenz). Natürlich ist die Schaltzeit von Transistoren noch von vielen anderen Faktoren
abhängig.
4.3.3 Beweglichkeit
Die Beziehung zwischen der Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger und dem elektrischen
Feld wird Beweglichkeit genannt.
Für Elektronen: vn = -µnE
Für Löcher:
vp =µpE
mit µn = eτn/mn
mit µp = eτp/mp
τn,p ist die mittlere Streuzeit:
1
τ n, p
=∑
i
1
τ ni , p
τ n,i p sind die Streuzeiten der verschiedenen Streuprozesse (Streuung an ioniserten Störstellen,
Streuung an Gitterschwingungen, ….)
- 31 -
Beweglichkeit von Elektronen als Funktion der Temperatur für verschiedene
Dotierkonzentrationen.
Für hohe Temperaturen dominiert Streuung an Gitterschwingungen (Phononen), für tiefe
Temperaturen Streuung an ionisierten Störstellen (Donatoren und Akzeptoren).
- 32 -
Beweglichkeiten von Ladungsträgern in Ge, Si und GaAs als Funktion der
Dotierkonzentration
Beweglichkeiten von Elektronen und Löchern bei T = 300 K in Einheiten von cm2/Vs
Material
Diamant
Si
Ge
InSb
InAs
InP
GaAs
GaSb
PbS
SiC
Elektronen
1800
1350
3600
800
30000
4500
8000
5000
550
100
- 33 -
Löcher
1200
480
1800
450
450
100
300
1000
600
10-20
4.3.4. Leitfähigkeit
Zur Verknüpfung der makroskopisch messbaren Leitfähigkeit σ mit den
mikroskopischen Grössen der Beweglichkeit µ und Ladungsträgerkonzentration
n betrachten wir einen Quader mit Querschnittsfläche A, durch den ein Strom I
fliesst. Im Volumen zwischen x und x+∆x befinden sich ∆N = n*∆x*A
Ladungsträger mit der Gesamtladung ∆Q = q*n*∆x*A
Diese Ladungsträger durchqueren in der Zeit ∆t = ∆x /vDrift den Bereich
zwischen x und x+∆x.
Der Strom ist somit I = ∆Q/∆t = q*n*A*vDrift und die Stromdiche j = I/A =
qnvDrift
Mit vDrift = µ E ergibt sich eine Gesamtstromdichte (Elektronen und Löcher):
J = jn + jp = e(nµn + pµp)E = σ E.
Die Leitfähigkeit ist somit σ = e(nµn + pµp)
Aus Messungen der Leifähigkeit kann man keine Rückschlüsse auf die Art der
Ladungsträger, ihre Konzentration und Beweglichkeit machen.
Für eine kleine Ladungsträgerdichte ergibt sich in Kombination mit einer hohen
Beweglichkeit die gleiche Leitfähigkeit wie bei einer grossen Ladungsträgerdiche und kleiner Beweglichkeit.
Zur Bestimmung von Ladungsträgerdiche und Beweglichkeit braucht man daher
neben der Leitfähigkeit mindestens eine zusätzliche Messgrösse.
- 34 -
Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit bei verschiedene Dotierkonzentrationen
- Für tiefe Temperaturen und
Dotierungen bis 5*1017cm-3 nimmt
die Leitfähigkeit mit steigender
Temperatur zu, da mehr und mehr
Donatoren ionisert werden. Für T=0K
wird die Probe zum Isolator, da kein
Donator mehr ionisiert ist
(‚Ausfrieren’ der Ladungsträger)
- Für sehr hohe Dotierkonzentrationen ist der Halbleiter
entartet. Da die Fermienergie im
Leitungsband liegt, bleibt der
Halbleiter selbst bei tiefen
Temperaturen leitfähig.
- Bei höheren Temperaturen ab 100 K
sind alle Donatoren ionisiert und die
Ladungsträgerdichte ist konstant. Bei
steigender Temperatur sinkt in
diesem Bereich die Leitfahigkeit, da
Streuprozesses an Gitterschwingungen zunehmen.
- Für kleinen Dotierkonzentrationen (1.75*1014 cm-3) beginnt ab 300 K der intrinsische
Bereicht, d.h. die Konzentration der durch thermische Anregung über die Bandlücke
erzeugten Ladungsträger wird vergleichbar mit der Dotierkonzentration. Durch die steigende
Ladungsträgerdichte nimmt auch die Leitfähigkeit wieder mit der Temperatur zu.
Die gestrichelte Kurve stellt die Leitfähigkeit bei Eigenleitung (keine Dotierung) dar. Mit
steigender Dotierkonzentration verschiebt sich der Übergang vom extrinischen
(Ladungsträger aus Dotierung überwiegen) zum intrinsischen (Ladungsträger durch
thermische Anregung überwiegen) Bereich zu immer höheren Temperaturen.
Aus den Steigungen der Kurven für sehr kleine und sehr grosse Temperaturen kann der
Abstand des Donatorniveaus von der Bandkante bzw. die Grösse der Bandlücke bestimmt
werden.
- 35 -
4.3.5 Spezifischer Widerstand
Spezifischer Widerstand von n und p dotierten Halbleitern als Funktion der
Dotierkonzentration.
Der Widerstand von p-Halbleitern ist bei gleicher Dotierkonzentration immer höher als der
von n-Halbleitern, da die Beweglichkeit der Elektronen grösser als die Beweglichkeit der
Löcher ist. Für kleine Dotierkonzentrationen ist die Beweglichkeit konstant, die Kurven
werden daher zu Geraden. Für höhere Dotierkonzentration hängt die Beweglichkeit von der
Dotierkonzentration ab, daher werden weichen die Kurven von einem geraden Verlauf ab.
- 36 -
Mathematische Nebenbemerkung zur Herleitung in Punkt 4.2:
dE
r = ∇ k E ist der Gradient der Energie im k-Raum und ein Vektor mit den
dk
folgenden Komponenten:
Der Term
⎛ dE
⎜
⎜ dk x
⎜ dE
dE
r = ∇k E = ⎜
dk
⎜ dk y
⎜ dE
⎜ dk
⎝ z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
d 2E
r ist eine Matrix mit folgenden Komponenten:
dk 2
⎛ d 2E
d 2E
d 2 E ⎞⎟
⎜
⎜ dk x 2
dk x dk y dk x dk z ⎟
⎜ 2
⎟
2
d E ⎜ d E
d 2E
d 2E ⎟
r2 =
2
⎜ dk y dk x
dk y dk z ⎟
dk
dk y
⎜ 2
⎟
2
d E
d 2E ⎟
⎜ d E
2
⎜ dk dk
dk z ⎟⎠
⎝ z x dk z dk y
Der Term
- 37 -
4.3. Hall Effekt
Wir betrachten eine Halbleiterprobe der Länge l, Breite b und Höhe h. In Längsrichtung wird
die Probe von einem Strom I durchflossen, senkrecht zur Probenoberfläche liegt ein
Magnetfeld B an.
r
r
r
Die Ladungsträger werden durch die Lorentzkraft FL = q(v × B) abgelenkt. Tragen
Elektronen und Löcher zum Strom bei, so werden sie in die gleiche Richtung abgelenkt.
Durch die Ansammlung der Ladungsträger an einer Seite der Probe baut sich ein elektrisches
Querfeld (EH Hallfeld) auf, das der Lorentzkraft entgegengesetzt ist. An den Seitenflächen der
Probe kann jetzt eine Hallspannung UH abgegriffen werden. Das Hallfeld hat für Elektronenund Löcherleitung entgegengestztes Vorzeichen, was eine Identifizierung der
Ladungsträgersorte ermöglicht.
Für den Fall, dass das Magnetfeld, die Stromrichtung und das Hallfeld senkrecht zueinander
stehen, besteht folgender Zusammenhang: EH= RHjB (RH – Hallwiderstand, j-Stromdichte).
Nach längerer Rechnung ergibt sich für den Hallwiderstand:
2
2
r pµ p − nµ p
r p − b2n
RH =
=
e ( pµ p − nµ n ) 2 e ( p − bn) 2
b=
µn
µp
Der Koeffizient r ist das Verhältniss des Mittelwerts der Streuzeitquadrate zum Quadrat des
Mittelwerts der Streuzeit:
r=
τ2
τ
2
Es ergeben sich folgende Werte für typische Streumechanismen:
Thermische Streuung (Phononen):
r = 1.18
Streuung an Störstellen:
r = 1.93
Streuung in Metallen und entarteten Halbleitern: r = 1
- 38 -
Für den Fall, dass nur eine Sorte Ladungsträger zum Strom beiträgt, ergibt sich für den
Hallwiderstand:
r
ne
r
RH =
pe
RH = −
Elektronen
Löcher
Aus dem Vorzeichen des Hallwiderstandes kann also auf die Ladungsträgersorte geschlossen
werden. Gleichzeitig erhält man die Ladungsträgerdichte. Zusammen mit einer Messung des
Längswiderstands kann dann die Beweglichkeit der Ladungsträger bestimmt werden.
4.3.1 Inversionspunkt
Unter bestimmten Bedingungen kann der Hallwiderstand gleich Null werden.
Aus RH = 0 folgt:
p µ n2
pµ p2 − nµ n2 = 0
=>
=
n µ p2
Da die Beweglichkeit von Elektronen grösser ist als die von Löchern ist der Quotient der
Beweglichkeiten grösser als 1, daher muss die Löcherdichte am Inversionspunkt grösser als
die Elektronendichte sein => Inversion der Hallspannung nur in p-dotierten Halbleiten
4.4. Diffusion
4.4.1 Diffusionsgleichungen
Wir betrachten einen Bereich im Halbleiter mit nicht konstanter Ladungsträgerdichte n(x).
Die Unterschiede in der Ladungsträgerdichte führen zu einem Diffusionsstrom, den wir im
Folgenden berechnen wollen. Dazu nehmen wir an, dass sich von den am Ort x befindlichen
Teilchen innerhalb der Streuzeit die Hälfe um eine mittlere freie Weglänge nach links und die
andere Hälfte um eine mittlere freie Weglänge nach rechts bewegt.
- 39 -
Der Netto-Teilchenstrom an der Stelle x besteht also aus der Differenz des Teilchenstroms
von links und von rechts.
Teilchenstrom von links: fl = ½ n(-l) vth
Teilchenstrom von rechts: fr = ½ n(l) vth
Der Nettostrom an der Stelle x wird daher: f = fl – fr
Die freie Weglänge l soll klein gegen die Längenskala der Konzentrationsänderung sein,
daher können wir für n(x) eine lineare Entwicklung ansetzen:
n(l ) = n(0) + l
dn
dx
n(−l ) = n(0) − l
und
dn
dx
Der gesamte Teilchenfluss wird daher:
f = fl − f r =
f = − Dn
dn ⎞ ⎛
dn ⎞⎤
dn
dn
1
1
1 ⎡⎛
n(−l )vth − n(l )vth = ⎢⎜ n(0) − l ⎟ − ⎜ n(0) + l ⎟⎥ vth = −vthl
= − Dn
2
2
2 ⎣⎝
dx ⎠ ⎝
dx ⎠⎦
dx
dx
dn
dx
1. Ficksches Gesetz
Dn ist die Diffusionskonstante Dn = l vth
Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung
∂ 2n
∂n
= Dn 2
∂x
∂t
∂n
∂f
=−
ergibt sich das zweite Ficksche Gesetz:
∂t
∂x
(Partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung)
4.4.2 Einstein Beziehungen
Wir betrachen die Diffusion von Teilchen in einer Dimension.
Aus der mittleren thermischen Geschwindigkeit
und der Beweglichkeit µ =
folgt mit l=vth*τ :
D = vth l = vth2 τ =
eτ
m
1 2 1
mvth = kT
2
2
kT
kT
τ=
µ
m
e
Damit gilt für die Diffusionskonstanten von Elektronen und Löchern:
Dn =
kT
µn
e
und D p =
kT
µp
e
Einstein Beziehungen
- 40 -
4.5 Bandverlauf im elektrischen Feld
Für die Behandlung von Halbleiterbauelementen benötigen wir einen
Zusammenhang zwischen dem
elektrischen Feld, dem Potential und
dem Bandverlauf. Dazu betrachten
wir eine Halbleiterprobe der Länge
L, an die eine Spannung U angelegt
wird.
In der Probe ist das elektrische Feld
E konstant und das Potential hat
einen linearen Verlauf.
E=−
dφ
dx
Die Ladungsträger in den Bändern
erhalten durch das Potential
zusätzliche Energie, es gilt:
Ev(x)= Ev0 - eφ(x)
Ei(x)= Ei0 - eφ(x)
Ev(x)= Ev0 - eφ(x)
wobei Ec0 und Ev0 die Valenz- und
Leitungsbandkante im Halbleiter
ohne elektrisches Feld sind. Ei0 ist
die Fermienergie des intrinsischen
Halbleiters.
Ist der Verlauf von Ei im Halbleiter bekannt, so kann man daraus das elektrische Feld
berechnen: E =
1 dEi
e dx
Des Weiteren möchten wir die (ortsabhängige) Ladungsträgerkonzentration durch die
Fermienergie und die Fermienergie des intrinsischen Halbleiters ausdrücken.
- 41 -
Die Konzentration der Löcher ist gegeben durch:
⎛ E − EV ⎞
p = NV exp⎜ − F
⎟
kT ⎠
⎝
Für einen intrinsischen Halbleiter gilt:
⎛ E − EV ⎞
p = ni = NV exp⎜ − i
⎟
kT ⎠
⎝
Damit können wir die erste Gleichung umformen:
⎛ E − EF ⎞
⎛ E − EV ⎞
⎛ E − EF ⎞
⎛ E − EV ⎞
p = NV exp⎜ − F
⎟
⎟ = ni exp⎜ i
⎟ NV exp⎜ − i
⎟ = exp⎜ i
kT ⎠
kT ⎠
⎝ kT ⎠
⎝
⎝ kT ⎠
⎝
Damit erhalten wir (mit expliziter Ortsabhängigkeit der Grössen) für die Konzentration der
Löcher:
⎛ E ( x ) − EF ( x ) ⎞
p( x) = ni exp⎜ i
⎟
kT
⎝
⎠
und für Elektronen:
⎛ E ( x) − Ei ( x) ⎞
n( x) = ni exp⎜ F
⎟
kT
⎝
⎠
Für EF = Ei erhält man wir erwartet n=ni, bzw. p=ni.
Die räumliche Änderung der Ladungsträgerdichte kann man nun durch die Änderung der
Fermienergien ausdrücken:
Für Löcher:
dp d ⎛
⎛ E − EF
= ⎜⎜ ni exp⎜ i
dx dx ⎝
⎝ kT
⎛ E − EF
⎞ ⎞ dEi ni
exp⎜ i
⎟ ⎟⎟ =
⎝ kT
⎠ ⎠ dx kT
dp
p ⎛ dEi dEF ⎞
=
−
⎜
⎟
dx kT ⎝ dx
dx ⎠
und Elektronen:
dn n ⎛ dEF dEi ⎞
=
−
⎜
⎟
dx kT ⎝ dx
dx ⎠
- 42 -
⎛ E − EF ⎞
⎞ dEF ni
exp⎜ i
⎟
⎟−
⎝ kT ⎠
⎠ dx kT
5. PN Übergang
Der pn Übergang ist der Grundbaustein für viele Halbleiterbauelements:
- Gleichrichter, Photodioden, Solarzellen, LEDs, Halbleiterlaser
- Transistoren, Thyristoren, Triacs, …
Betrachten wir zunächst ein p und ein n dotiertes Stück
Halbleitermaterial. Im p Material liegt das Ferminiveau
nahe bei der Valenzbandkante, Löcher sind Majoritätsladungsträger und Elektronen Minoritätsladungsträger.
Im n Material liegt das Ferminiveau in der Nähe der
Leitungsbandkante, Elektronen sind Majoritäts- und
Löcher Minoritätsladungsträger.
Werden nun die beiden Halbleiterstücke in
Kontakt gebracht, so fliesst aufgrund des Konzentrationsunterschiedes ein Diffusionsstrom von
Löchern von der p auf die n Seite und ein
Elektronenstrom von der n auf die p Seite. Dieser
Ladungsträgerstrom führt zur Ausbildung einer
Raumladungszone und einer Potentialdifferenz
zwischen der p und n Seite. Mit steigender
Potentialdifferenz beginnt ein dem Diffusionsstrom entgegengesetzter Driftstrom zu fliessen.
Sobald Drift- und Diffusionsstrom gleich gross
sind, befindet sich der pn Übergang im Gleichgewicht. Die Potentialdifferenz zwischen der p und
n Seite wird mit Vbi (built-in voltage) bezeichet.
Strom-Spannungskennlinie einer Diode
Themen bei der Behandlung des pn Übergangs:
-
pn Übergang im thermischen Gleichgewicht, Potentiale, Drift- und Diffusionsstrom
pn Übergang mit angelegter Spannung, Durchlass- und Sperr-Richtung
Sperrschicht- und Diffusionskapazität
Durchbruchverhalten
- 43 -
Liste der verwendeten Symbole:
Ladungsträgerkonzentrationen
Majoritätsladungsträger
pp0 – Konzentration der Löcher auf der p-Seite im thermischen Gleichgewicht
nn0 – Konzentration der Elektronen auf der n-Seite im thermischen Gleichgewicht
Minoritätsladungsträger
np0 – Konzentration der Elektronen auf der p-Seite im thermischen Gleichgewicht
pn0 – Konzentration der Löcher auf der n-Seite im thermischen Gleichgewicht
np – Konzentration der Elektronen auf der p-Seite (kein Gleichgewicht)
pn – Konzentration der Löcher auf der n-Seite (kein Gleichgewicht)
ni – Ladungsträgerkonzentration im intrinsischen Halbleiter
NA - Akzeptorkonzentration auf der p - Seite
ND - Donatorkonzentration auf der n - Seite
EF - Fermienergie, im thermischen Gleichgewicht über den gesamten Halbleiter konstant,
bei angelegter Spannung ortsabhängig
Ei - Fermienergie des intrinsischen Halbleiters (ortsabhängig)
E – elektrisches Feld
V – Potential
Vbi – Potentialdifferenz zwischen p und n Seite im thermischen Gleichgewicht
ρ - Ladungsdichte
ε = εr ε0 - Produkt aus relativer Dielektrizitätskonstante und Dielektrizitätskonstante des
Vakuums
-xp – Rand der Raumladungszone auf der p-Seite
xn – Rand der Raumladungszone auf der n-Seite
W = xp + xn – Breite der Raumladungszone
Cs – Sperrschichtkapazität
- 44 -
5.2. pn Übergang im thermischen Gleichgewicht
Dotierung:
p-Seite
p p0 = N A , n p0
ni2
=
NA
n-Seite
ni2
nn 0 = N D , p n 0 =
ND
Ladungsträgerdichten
Für den Fall einer äusseren
Spannung (U>0) weichen die
Minoritätsladungsträgerdichten von den Gleichgewichtswerten np0 und pn0 ab.
Ladungsverteilung
Die Fläche unter den Kurven
entspricht der Ladung und ist
auf der p und n Seite ist. Auf
der höher dotierten Seite (hier
n Seite) ist die Raumladungszone dünner, aber die
Ladungsträgerkonzentration
höher.
Elektrisches Feld
Durch die Ladungstrennung in
der Raumladungszone bildet
sich ein elektrisches Feld aus.
Potential
Die Potentialdifferenz
zwischen der p und n Seite
wird mit Vbi bezeichnet.
- 45 -
5.3. Drift- und Diffusionsstrom
Löcherstrom:
j p = j p ( Drift ) + j p ( Diffusion) = 0
j p = eµ p pE − eD p
=>
dp
dx
Das elektrische Feld kann man aus der Ortsableitung der intrinsische Fermienergie erhalten
und die Diffusionskonstante Dp aus dem Diffusionsstrom mittels der Einstein Beziehungen
eliminieren:
dp
⎛ 1 dEi ⎞
j p = eµ p p⎜
⎟ − kTµ p
dx
⎝ e dx ⎠
Mit p = ni exp(( Ei ( x) − E F ( x)) / kt ) und daraus
jp = µ p p
dEF
=0
dx
=>
dp
p ⎛ dEi ( x) dE F ( x) ⎞
=
−
⎜
⎟ folgt:
dx kT ⎝ dx
dx ⎠
dE F
= 0 => E F = const.
dx
Elektronenstrom: je = je ( Drift ) + je ( Diffusion) = 0
dn
jn = eµ n nE + eDn
dx
dE F
jn = µ n n
=0
=> EF = const.
dx
Die Fermieenergie ist im thermischen Gleichgewicht im ganzen Halbleiter konstant.
5.4 Abrupter pn Übergang
Es gilt die Poissiongleichung:
ρ
d 2V − dE
e
=
= − = − − ( N D − N A + p − n)
2
ε
ε
dx
dx
Für die Bereich ausserhalb der
Raumladungszone (x < -xp und x < xn) gilt
Ladungsneutralität, d.h. ND- NA+p-n = 0
d 2V
und damit
=0
dx 2
Da keine äussere Spannung anliegt, ist das
elektrische Feld im Bereich ausserhalb der
Raumladungszone gleich Null und das
Potential konstant. Der Bezugspunkt des
Potentials wird so gewählt, dass es in der
Mitte der Raumladungszone gleich Null ist.
- 46 -
p – Seite (NA = 0, p >> n)
n – Seite (ND = 0, n >> p)
p = N A = ni exp(( Ei − EF ) / kT )
n = N D = ni exp(− ( Ei − E F ) / kT )
1
kT N A
V p = − ( Ei − E F ) = −
ln
e
e
ni
1
kT N D
Vn = − ( Ei − E F ) =
ln
e
e
ni
Das eingebaute Potential wird damit:
Vbi = Vn − V p =
kT N A N D
ln
e
ni2
Berechnung der elektrischen Feldstärke und des Potentialverlaufs in der Raumladungszone
(-xp < x < xn):
d 2V eN A
=
dx 2
ε
d 2V
eN
= − D für 0 < x < xn
2
dx
ε
für -xp < x < 0,
Elektrische Feldstärke
x
dV
eN A
eN
E ( x) = −
=− ∫
dx = − A ( x + x p )
dx
ε
ε
−xp
E ( x) = − Em −
eN A
x
für -xp < x < 0
E ( x ) = − Em +
eN D
x
für 0 < x < xn
mit Em =
ε
ε
eN D xn
ε
=
eN A x p
ε
Eingebautes Potential
xn
0
xn
−xp
−xp
0
Vbi = − ∫ E ( x)dx = − ∫ E ( x)dx − ∫ E ( x)dx =
eN A 2 eN D 2 1
xp +
xn = EmW
2ε
2ε
2
Aus W = xn + x p und N A x p = N D xn (Gesamtladung in der Raumladungszone ist Null) folgt:
xp =
ND
NA
W und xn =
W
N A + ND
N A + ND
Vbi =
e N AND
W 2 und daraus erhält man die Breite der Raumladungszone W:
2ε N A + N D
W=
damit wird
2ε
e
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟Vbi
⎜⎜
+
⎝ N A ND ⎠
- 47 -
5.5 Linearer pn Übergang
Beim linearen pn Übergang hat die Dotierung einen
linearen Verlauf mit dem Dotiergradienten a.
Die Gleichung für das Potential wird somit:
d 2V
ea
= − x für -xp < x < xn
2
dx
ε
Elektrische Feldstärke
x
E ( x) = −
dV
ea
ea 2
= ∫
dx =
( x − x 2p )
dx − x p ε
2ε
E ( x) = − Em +
ea 2
x
2ε
mit xp = xn =W/2 folgt:
eax 2p
eaW 2
Em =
=
2ε
8ε
Eingebautes Potential
Vbi =
eaW 3
12ε
Damit wird die Breite der Raumladungszone:
W =3
12ε
Vbi
ea
Das Potential zwischen p und n Seite ist weiterhin über die Dotierkonzentrationen gegeben:
Vbi = Vn − V p =
kT N A N D kT a(W / 2)a(W / 2) 2kT aW
=
=
ln
ln
ln
e
ni2
e
ni2
e
2ni
Aus den beiden letzten Gleichungen können W und Vbi bestimmt werden.
- 48 -
5.6 Strom-Spannungscharakteristik des pn Übergangs
In Flusspolung werden Minoritätsladungsträger über die Raumladungszone auf die
Gegenseite injiziert (z.B. Elektronen in den p-Bereich)
→ Stromfluss nimmt mit zunehmender Spannung VF zu
In Sperrpolung dehnt sich die RLZ aus
→ Stromfluss nimmt ab mit zunehmender Spannung VR
Die Minoritätsladungsträger sind in der Nähe der Raumladungszone nicht mehr im thermischen
Gleichgewicht, in Flusspolung herrscht ein Überschuss, in Sperrpolung ein Mangel. Die
Berechnung der Ladungsträgerdichten in Abhängigkeit von der Lage der Fermienergie ist daher
nicht mehr möglich. Man kann für Elektronen und Löcher allerdings zwei getrennte
Fermienergien einführen (die Ladungsträger sind unter sich im Gleichgewicht), wir wählen im
folgenden aber einen anderen Weg.
- 49 -
Zur Berechnung der idealen Diodenkennlinie machen wir folgende Annahmen:
- Abrupter pn-Übergang
- Ladungsträgerdichte an den Zonengrenzen gegeben über die Potentialdifferenz
- Niedriginjektion (Minoritätsträgerdichte klein gegenüber Majoritätsträgerdichte)
- Keine Ladungsträgerrekombination und -generation innerhalb der RLZ
Trägerdichten am Rande der RLZ
Die Potentialdifferenz zwischen p und n Seite kann als Funktion der Minoritäts- und
Majoritätsladungsträgerdichten dargestellt werden.
Unter Benutzung der folgenden Beziehungen:
p p0
= N A , nn 0 = N D , pn 0 =
ni2
ni2
n
=
,
, p p 0 n p 0 = ni2 und nn 0 pn 0 = ni2
p0
ND
NA
erhält man für Vbi:
Vbi =
kT N A N D kT p p 0 nn 0 kT nn 0
ln
ln
ln
=
=
e
ni2
e
ni2
e
n p0
Daraus folgt umgekehrt für die Ladungsträgerdichten:
⎛ eV ⎞
⎛ eV ⎞
nn 0 = n p 0 exp⎜ bi ⎟ , bzw. p p 0 = pn 0 exp⎜ bi ⎟
⎝ kT ⎠
⎝ kT ⎠
Beim Anlegen einer externen Spannung ändern sich die Ladungsträgerdichten zu:
⎛ e(V − U ext ) ⎞
nn = n p exp⎜ bi
⎟
kT
⎝
⎠
Im folgenden nehmen wir Niedriginjektion an. Die Löcherdichte, die in die n-Seite injiziert
wird, sei viel kleiner als die Dichte der Elektronen auf der n-Seite (analog für die p-Seite).
Die Majoritätsladungsträgerdichten ändern sich daher nicht:
nn ≈ nn 0 und p p ≈ p p 0
Für den Überschuss an Minoritätsladungsträgern bekommt man nun:
⎛ eV ⎞
⎛ e(Vbi − U ext ) ⎞
n p − n p 0 = nn exp⎜ −
⎟ − n p 0 und daraus mit nn ≈ nn 0 = n p 0 exp⎜ bi ⎟
kT
⎝ kT ⎠
⎝
⎠
⎡ ⎛ eU
n p − n p 0 = n p 0 ⎢exp⎜ ext
⎣ ⎝ kT
⎞ ⎤
⎟ − 1⎥ p-Seite
⎠ ⎦
⎡ ⎛ eU ⎞ ⎤
pn − pn 0 = pn 0 ⎢exp⎜ ext ⎟ − 1⎥ n-Seite
⎣ ⎝ kT ⎠ ⎦
- 50 -
Wenn die Kontakte weit von der Raumladungszone entfernt sind, so wird die Überschussladungsträgerdichte durch Rekombination mit den Majoritätsladungsträgern abgebaut (‚lange
Diode’).
Aus der Kontinuitäts- und Diffusionsgleichung erhält man:
d 2 pn pn − pn 0
−
=0
dx 2
D pτ p
Der zweite Term beschreibt die Rekombinationsrate, mit der der Überschuss an
Ladungsträgern abgebaut wird. Im thermischen Gleichgewicht pn − pn 0 = 0 verschwindet der
Rekombinationsterm.
Als Lösung der Differentialgleichung ergibt sich:
⎛ x − xn ⎞
⎡ ⎛ eU ⎞ ⎤
⎟ , mit der Rekombinationslänge Lp = D pτ p
pn ( x) − pn 0 = pn 0 ⎢exp⎜ ext ⎟ − 1⎥ exp⎜ −
⎜
⎟
L
⎣ ⎝ kT ⎠ ⎦
p
⎝
⎠
⎡ ⎛ eU
Genauso für die Elektronen: n p ( x) − n p 0 = n p 0 ⎢exp⎜ ext
⎣ ⎝ kT
Ladungsträger- und Stromdichten
- 51 -
⎛ x + xp ⎞
⎞ ⎤
⎟⎟
⎟ − 1⎥ exp⎜⎜
L
⎠ ⎦
n
⎝
⎠
Nun berechnen wird den Stromfluss an den Grenzen der Raumladungszone. Am Rand der
RLZ gibt es kein elektrische Feld (nur innerhalb der RLZ), daher ist der Stromfluss durch die
Diffusionsstromdichte bestimmt:
j p ( xn ) = −eD p
Auf der n-Seite:
jn (− x p ) = eDn
Auf der p-Seite:
dpn
dx
=
xn
dn p
dx
eD p pn 0 ⎛
⎛ eU ⎞ ⎞
⎜⎜ exp⎜ ext ⎟ − 1⎟⎟
Lp ⎝
⎝ kT ⎠ ⎠
=
−xp
eDn n p 0 ⎛
⎛ eU ⎞ ⎞
⎜⎜ exp⎜ ext ⎟ − 1⎟⎟
Ln ⎝
⎝ kT ⎠ ⎠
Die Gesamtstromdichte wird damit:
⎛
⎛ eU ⎞ ⎞
j = j p ( xn ) + jn (− x p ) = js ⎜⎜ exp⎜ ext ⎟ − 1⎟⎟
⎝ kT ⎠ ⎠
⎝
⎛ D p pn 0 Dn n p 0 ⎞
⎟
+
js = e⎜
⎜ L
Ln ⎟⎠
p
⎝
mit
Hier wird die Annahme verwendet, dass innerhalb der RLZ keine Ladungsträger erzeugt oder
vernichtet werden, ansonsten könnten wir nicht die Stromdichten an zwei verschiedenen
Stellen (links und rechts der RLZ) zur Gesamtstromdichte addieren.
Alternativ kann man schreiben:
Dp =
L2p
τp
, Dn =
L2n
τn
⎛ L p pn 0 Ln n p 0 ⎞
⎜
⎟
j
e
=
+
und damit s
⎜ τ
τ n ⎟⎠
⎝ p
js ist die Sperrstromdichte der Diode (für hohe negative Spannungen geht der Exponentialterm
gegen Null und der Ausdruck für die Stromdichte wird zu j = -js.
Für hohe Ströme in Durchlassrichtung wird die Kennline zu:
⎛
⎛ eU ⎞ ⎞
⎛ eU ⎞
j = js ⎜⎜ exp⎜ ext ⎟ − 1⎟⎟ ≈ js exp⎜ ext ⎟
⎝ kT ⎠ ⎠
⎝ kT ⎠
⎝
In logarithmischer Auftragung erwartet man daher eine Gerade:
log j = log js +
U ext
UT
mit der Temperaturspannung U T =
kT
(ca. 25 mV bei RT)
e
Für reale Dioden führt man den Idealitätsfaktor η ein und setzt folgenden Ausdruck für die
Kennlinie an:
log j = log js +
- 52 -
U ext
ηU T
5.6.1 Strom – Spannungskennlinie einer idealen Diode
- 53 -
5.6.2 Strom – Spannungskennlinie einer realen Diode
Für kleine Spannungen ist der Diodenstrom durch eine reale Diode höher als durch eine ideale
Diode, da durch Rekombination in der Raumladungszone ein zusätzlicher Strom fliesst.
Für mittlere Spannungen und Ströme folgt die Kennlinie recht gut dem Verhalten der idealen
Diode.
Bei höheren Strömen ist die Annahme der Niedriginjektion nicht mehr gegeben:
Die Majoritätsladungsträgerdichte wird durch Rekombination mit den injizierten
Minoritätsladungsträgern vermindert, dadurch sinkt der Stromfluss ab.
Bei sehr hohen Strömen kommen schliesslich die Zuleitungswiderstände in Spiel und führen
zu einer weiteren Begrenzung des Stroms.
- 54 -
5.6.3 Sperrschichtkapazität
Die Breite der Raumladungszone hängt
von der Grösse der externen Spannung
Uext ab:
W=
2ε N A + N D
(Vbi − U ext )
e N AND
Erhöht man die externe Spannung um
dU, so verbreitert sich die
Raumladungszone um dW und die
gespeicherte Ladung um dQ.
Die Sperrschichtkapazität der Diode
dQ
ergibt sich damit zu CS =
.
dU
Abrupter pn Übergang
Die Sperrschichtkapazität (mit der Diodefläche A) ist:
CS = ε
A
1
eε N A N D
=A
W
2 N A + N D Vbi − U ext
Einseitig abrupter Übergang (NA>>ND)
In diesem Fall ist die Sperrschichtkapazität: CS = ε
ND
A
eε
=A
W
2 Vbi − U ext
Linearer pn Übergang
CS = A3
eaε 2
1
12 Vbi − U ext
- 55 -
Anwendungen
1. Bestimmung der Dotierkonzentration
Bei der einseitig abrupten Diode ist
1
1 2(Vbi − U ext )
= 2
2
Cs A
eεN D
1
gegen die externe Spannung liefert also eine Gerade. Aus der Steigung
Cs2
kann die Dotierkonzentation der schwach dotierten Seite bestimmt werden, aus dem
Achsenabschnitt die Kontaktspannung Vbi (und damit die Dotierung der hoch dotierten Seite).
Auftragung von
Eine Verallgemeinerung dieses Verfahrens ist die CV Profilierung, bei der die
Dotierkonzentration in Abhängigkeit vom Ort bestimmt werden kann.
2. Einsatz als Varactor (variable reactor)
Durch die Änderung der Sperrschichtkapazität kann man die Frequenz eines Oszillators (z.B.
eines LC Schwingkreises) abstimmen (VCO-voltage controlled oscillator).
- 56 -
5.7. Durchbruch von Dioden
5.7.1 Thermischer Durchbruch
Der Sperrstrom ist temperaturabhängig:
⎛ DP
Dn
I S = Aeni2 ⎜⎜
+
2
τ n N A2
⎝ τ P ND
⎞
⎟
⎟
⎠
mit
⎛ E ⎞
ni2 = N C NV exp⎜ − G ⎟
⎝ kT ⎠
Die dominante Temperaturabhängigkeit ist durch den Exponentialfaktor in der intrinsischen
Ladungsträgerdichte gegeben, daher:
⎛ E ⎞
I S ∝ exp⎜ − G ⎟
⎝ kT ⎠
Bei konstantem Wärmewiderstand ist die Temperatur proportional zur Leistung P=UI.
Auftragung von Sperrkennlinien und Leistungshyperbeln bei einer konstanten Temperatur.
Die tatsächliche Kennlinie ergibt sich aus den Schnittpunkten.
thermischer Durchbruch nach Überschreiten von Uu.
- 57 -
5.7.2 Zener-Effekt
Bei hohen Sperrspannungen können
Elektronen vom Valenzband direkt ins
Leitungsband tunneln.
Stromfluss durch Tunneleffekt
Hierbei wird die Diode nicht thermisch
zerstört. Der Zener-Effekt ist abhängig
von der Temperatur, da der Bandabstand
temperaturabhängig ist.
Der Zenereffekt setzt bei Ge bzw. Si ab
ca. 106 V/cm ein. Die Durchbruchspannung nimmt mit T ab, da bei
höheren Temperaturen die Bandlücke
kleiner wird.
Zenerdioden werden als Spannungsreferenz oder Spannungsbegrenzer
eingesetzt.
- 58 -
Tunneln durch eine dreieckige Barriere (Fowler-Nordheim Tunneln)
Die Berechnung der Tunnelwahrscheinlichkeit erfolgt mit der Schrödingergleichung:
h2 d 2Ψ
−
+ V ( x)Ψ = EΨ
2m dx 2
d 2 Ψ 2m(V ( x) − E )
=
Ψ
dx 2
h2
bzw.
WKB Näherung (Wentzel, Kramers, Brillouin):
Ψ ( x + dx) = Ψ ( x) exp(−kdx)
mit
k=
für Ausbreitung von links nach rechts.
2m(V ( x) − E )
h
Die Näherung ist exakt für den Fall eines konstanten Potentials. Ist V(x)-E < 0, so wird k
rein imaginär und die Lösung der Schrödingergleichung sind ebene Wellen (freies Teilchen).
Ist V(x)-E > 0, so ist k reel und die Wellenfunkion klingt exponentiell ab (Eindringen des
Teilchens in eine Barriere). Die Näherung ist gerechtfertigt, wenn sich die potentielle Energie
h
V(x) über die Strecke s =
nur geringfügig ändert (für ein freies Teilchen
2m(V ( x) − E )
bedeutes dies, dass die Wellenlänge der ebenen Welle klein ist gegenüber der Strecke, auf der
sich das Potential wesentlich ändert).
Mit der Näherung kann man nun schreiben:
⎛ L 2m(V ( x) − E ) ⎞
dx ⎟
Ψ ( L) = Ψ (0) exp⎜ − ∫
⎜
⎟
h
0
⎝
⎠
⎛ x⎞
Für ein dreieckiges Potential ist V ( x) − E = eφ B ⎜1 − ⎟ mit der Barrierenhöhe eφ B
⎝ L⎠
Die Tunnelwahrscheinlichkeit berechnet sich nun zu:
Θ=
⎛ L 2m
Ψ ( L ) Ψ * ( L)
⎛ x⎞ ⎞
⎜− 2
exp
eφ B ⎜1 − ⎟dx ⎟
=
*
∫
⎜
Ψ (0)Ψ (0)
⎝ L ⎠ ⎟⎠
⎝ 0 h
Und damit:
⎛ 4 2em φ B 3 / 2 ⎞
⎟ mit dem elektrischen Feld E = φ B .
Θ = exp⎜⎜ −
E ⎟⎠
L
⎝ 3 h
Für das Tunneln über die Raumladungszone einer Diode ergibt sich somit:
⎛ 4 2m EG3 / 2 ⎞
⎟ , wobei E das elektrische Feld in der Raumladungszone ist.
Θ = exp⎜⎜ −
⎟
⎝ 3 eh E ⎠
- 59 -
5.7.3 Lawinendurchbruch
Lawineneffekt durch Ladungsträgermultiplikation
Elektron-Lochpaar-Erzeugung durch
Stossionisation (vergleichbar einer
Gasentladung).
Rückkopplung führt zu lawinenartigem
Durchbruch. Der Lawineneffekt
benötigt weite Raumladungszonen
(z.B. in einer PIN Diode) und hohe
Feldstärken.
Die Durchbruchsspannung ist
temperaturabhängigig wegen der
Temperaturabhängigkeit der mittleren
freien Weglänge (Phononenstreuung).
Die Durchbruchspannung nimmt mit T zu, da
bei kürzerer freier Weglänge eine höhere
Feldstärke zur Ladungsgeneration notwendig
ist.
- 60 -
Ladungsträger - Generationsrate:
G=αnn|vn|+ αpp|vp|
mit αn, αp als Ionisationskoeffizienten
Lawineneffekt abhängig von der
Dotierung, da Weite der RLZ
sich ändert.
Niedrige Dotierung:
Hohe Dotierung:
→ Lawineneffekt
→ Zener-Effekt
- 61 -
5.8 Temperatureffekte
Die Kennlinie einer Diode ist von der Temperatur abhängig
⎛ eU ⎞
a) explizit über den Exponentialfaktor exp⎜
⎟
⎝ kT ⎠
⎛ D p pn 0 Dn n p 0 ⎞
⎟
+
b) implizit über Sättigungsstrom js = e⎜
⎜ L
⎟
L
p
n
⎝
⎠
2
2
⎛ − Eg
n
n
3/ 2
Einsetzen von pn 0 = i , n p 0 = i und ni = c1 (kT ) exp⎜⎜
ND
NA
⎝ 2kT
⎛ Dp
Dn
j s = e⎜
+
⎜L N
⎝ p A Ln N D
⎞ 2
⎛ − Eg
⎟ni = c2 (kT ) 3 exp⎜
⎜ kT
⎟
⎝
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
liefert
⎞
⎟⎟
⎠
Die Diffusionskonstanten Dn, p und Rekombinationslängen Ln, p sind zwar auch von der
Temperatur abhängig, dominant ist hier allerding nur der Einfluss der Exponentialfaktoren.
∂j s ⎛ 3 EG ⎞
=⎜ +
⎟ js
∂T ⎝ T kT 2 ⎠
Die relative Änderung der Sättigungsstromdichte mit der Temperatur ist:
∂j s 1 3 EG
= +
∂T j s T kT 2
Die Änderung von js mit der Temperatur wird damit zu
Dies ist gleichzeitig die Abhängigkeit des Sperrstroms von der Temperatur.
kT
In Durchlassrichtung kann man für Spannungen U >>
die Kennlinie durch
e
⎛ eU ⎞
j = j s exp⎜
⎟ approximieren. Man erhält für die Temperaturabhängigkeit:
⎝ kT ⎠
∂j
∂T
=
U = const .
∂j s
eU
⎛ eU ⎞
⎛ eU ⎞
exp⎜
exp⎜
⎟ − js
⎟ und für die relative Temperaturabhängigkeit:
2
∂T
kT
⎝ kT ⎠
⎝ kT ⎠
∂j 1 eU 3 EG − eU
∂j 1
−
= −
= s
kT 2
∂T j U = const . ∂T js kT 2 T
Analog erhält man für die Änderung der Spannung (bei konstanter Stromdichte) mit der
Temperatur:
∂U
∂T
=−
j = const .
EG / e − U
T
Der Wert ist negativ, d.h. bei steigender Temperatur benötigt man weniger Spannung, um
einen bestimmten Strom durch die Diode zu erzielen.
- 62 -
Kennlinie einer Si-Diode bei verschiedenen Temperaturen
Temperaturkoeffizient der
Sättigungsstromdichte bei RT:
Ge:
∂js 1
= 0.11K −1
∂T js
Si:
∂js 1
= 0.17 K −1
∂T js
Temperaturkoeffizient der Diodenspannung bei RT
∂U
∂T
= -1 bis -3 mV/K
j = const .
- 63 -
5.9 Ladungsspeicherung und Diffusionskapazität
Durch die Injektion von Minoritätsladungsträgern in die neutralen Zonen ensteht ein lokaler
Ladungsträgerüberschuss.
∞
p-Überschussladung: Q p = eA ∫ ( pn − pn 0 )dx
xn
∞
⎛ x − xn ⎞
⎛
⎛ eU ⎞ ⎞
⎟dx
Q p = eA ∫ pn 0 ⎜⎜ exp⎜
⎟ − 1⎟⎟ exp⎜⎜ −
⎟
kT
L
⎝
⎠ ⎠
⎝
p
xn
⎝
⎠
⎛
⎛ eU ⎞ ⎞
Q p = eAL p pn 0 ⎜⎜ exp⎜
⎟ − 1⎟⎟
⎝ kT ⎠ ⎠
⎝
In Zusammenhang mit der Injektionsstromdichte j p ( xn ) =
Qp =
AL p
Dp
eD p pn 0 ⎛
⎛ eU ⎞ ⎞
⎜⎜ exp⎜
⎟ − 1⎟⎟ ergibt sich
Lp ⎝
⎝ kT ⎠ ⎠
j p ( xn ) = Aτ p j p ( xn )
Analog erhält man für die n-Überschussladung auf der p-Seite: Qn = Aτ n jn ( x− p )
Beim einseitig abrupten pn-Übergang ist nur eine der Überschussladungen relevant.
Für NA>> ND ist z.B. jp>>jn, und damit auch Qp>> Qn.
Durch die Speicherung der Ladungsträger tritt eine zusätzliche Kapazität auf, die
Diffusionskapazität Cd.
Für den oben angenommen Fall des einseitig abrupten Übergangs ist Cd =
2
Die Diffusionskapazität wird damit: Cd =
Ae L p pn 0
kT
dQ p
dU
⎛ eU ⎞
exp⎜
⎟
⎝ kT ⎠
Die Diffusionskapazität tritt nur in Flusspolung relevant. In diesem Fall ist sie viel grösser als
die Sperrschichtkapazität, d.h. die Kapazität einer Diode in Flusspolung ist durch die
Diffusionskapazität gegeben, die Kapazität einer Diode in Sperrpolung durch die
Sperrschichtkapazität.
- 64 -
5.10 Zeitverhalten
Beim Umschalten von Fluss- auf Sperrpolung muss zunächst der Überschuss von Minoritätsladungsträgern in der Diode abgebaut werden. Eine pn Diode sperrt daher nicht instantan,
sondern erst nach einer gewissen Zeit.
Schaltung zum Test einer Diode in Fluss- und Sperrpolung. Zum Widerstand R tragen auch
interne Widerstände in der Diode (Kontakt- und Serienwiderstände) bei. Der Schalter werde
zum Zeitpunkt t=t0 umgelegt.
Ideale Diode
Strom geht beim Umpolung der Spannung
sofort auf Null
Reale Diode
Nach dem Umpolen fliesst zunächst ein
(grosser) Sperrstrom IR. Die Diode sperrt
erst, wenn der Überschuss von Minoritätsladungsträgern abgebaut ist.
Bei einem einseitig abrupten Übergang mit NA>> ND ist die gespeicherte Ladung im nBereich bei Flusspolung mit Strom IF: Q p = Aτ p j p = τ p I F
Eine grobe Abschätzung für die Abklingzeit ist damit: toff ≈
- 65 -
Qp
IR
=τ p
U
IF
mit I R = R
IR
R
5.11 Kennlinien realer Dioden
⎡ ⎛ U ⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
I = I S ⎢exp⎜⎜
⎣ ⎝ ηU T ⎠ ⎦
kT
UT =
≈ 25.8mV
Temperaturspannung (T=300K):
e
Reale Diodenkennlinie:
Idealitätsfaktor η=1−2
⎛ Dp
Dn
+
Sperrstrom I s = Aeni2 ⎜
⎜ τ p N D2
τ n N A2
⎝
⎞
⎟ für
⎟
⎠
η=1
Das offensichtliche ‚Einsetzen’ des Stromes bei einer bestimmten Spannung US
(Schwellenspannung) liegt an der linearen Auftragung der Kennlinien. In einer
logarithmischen Auftragung ergeben sich Geraden. Die unterschiedlichen Kennlinien für
unterschiedliche Materialsysteme (Ge, Si, GaAs) ergeben sich durch die verschiedenen
intrinsischen Ladungsträgerdichten ni.
Je grösser die Bandlücke des Halbleiters, desto kleiner ist ni und damit auch js und Is. Um den
gleichen Strom zu erreichen benötigt man daher eine grössere Spannung.
- 66 -
Bauformen
Ge-Golddrahtdiode: Durch Verschweißen eines Golddrahtes mit Ge-Oberfläche und
Eindiffusion von Au + im Gold gelösten Dotierstoffen entsteht pn-Übergang.
Si-Flächendiode: Herstellung vergleichbar zu Golddrahtdiode.
Al (Gruppe-III-Element) dient als Dotierstoff und als Metallkontakt.
Si-Planardiode: In einem Fenster der Oxidoberfläche wird ein Dotierstoff einlegiert, z.B. Bor
für p. Die Borkonzentration muss höher sein als die n-Dotierung des Materials.
Si-Leistungsdiode: Großflächige Eindiffusion von Bor.
- 67 -
6. Schottky-Dioden
6.1 Metall – Halbleiter Kontakte
Metall und Halbleiter vor Kontakt: Gleiches Vakuumniveau
Im Metall sind alle Zustände bis zur Fermienergie EF besetzt. Um ein Elektron von der
Fermikante aus dem Metall zu entfernen ist die Austrittsarbeit eφM erforderlich. Auch für den
Halbleiter ist die Austritssarbeit eφS als Abstand von der Fermienergie zum Vakuumniveau
definiert. Die Elektronenaffinität des Halbleiters eχ ist der Abstand des Leitungsbandes zum
Vakuumniveau.
Bringt man Metall und Halbleiter in Kontakt, so stellt sich eine konstante Fermienergie ein.
Zwischen Metall und Halbleiter entsteht die Schottky Barriere.
n-Halbleiter
Für einen n-Halbleiter ist die Barriernhöhe die Differenz aus der Austrittsarbeit des Metals φM
und der Elektronenaffinität des Halbleiters χ (siehe Abbildung):
Φ Bn = Φ M − χ
- 68 -
p-Halbleiter
Für die Barriernhöhe gilt in diesem Fall:
E
Φ Bp = G − (Φ M − χ )
e
Die Summe der Barrierenhöhen eines n und p Halbleiters ist gleich der Bandlücke:
e(Φ Bn + Φ Bp ) = EG
Bei Schottky-Kontakten auf n-Si und n-GaAs nimmt die Barrierenhöhe mit zunehmender
Austrittsarbeit der Metalle systematisch zu. Die Abhängigkeit ist in Realität jedoch schwächer
als theoretisch angenommen. Dies liegt an Oberflächenzuständen an der MetallHalbleitergrenzfläche. Durch diese Oberflächenzustände wird die Fermienergie in der Mitte
der Bandlücke gehalten. Für GaAs erwartet man daher Barrieren im Bereich von 0.7V
(EG=1.42 eV), was gut mit den experimentellen Daten überinstimmt.
- 69 -
Prinzipiell wird die Barrierenhöhe für n-Typ Halbleiter unterschätzt und für p-Typ
überschätzt. Es gilt jedoch immer: EG = e(ΦΒn + ΦΒp).
Genau wie beim pn Übergang entsteht auch beim Metall-Halbleiterkontakt ein
Kontaktpotential. Dieses ist gegeben durch:
Vbi = Φ M − χ −
EC − E F
e
n-Halbleiter
Vbi = χ − Φ M +
EC − E F
e
p-Halbleiter
Wir möchten nun die Kontaktpotentiale in Abhängigkeit von der Dotierkonzentration des
Halbleiters darstellen. Dazu nehmen wir an, dass die Donatoren (Akzeptoren) vollständig
ioniert sind, d.h. für einen n-Halbleiter gelte n=ND und für einen p-Halbleiter p=NA.
Weiterhin ist:
⎛ E − EF
n = N C exp⎜ − C
kT
⎝
⎞
E − E F kT ⎛ N C ⎞
N
⎛ E − EF ⎞
⎟
=
ln⎜
⎟ , daraus: D = exp⎜ − C
⎟ und somit: C
NC
kT ⎠
e
e ⎜⎝ N D ⎟⎠
⎠
⎝
Somit ergibt sich für die Kontaktpotentiale:
Vbi = Φ M − χ −
kT ⎛ N C ⎞
kT ⎛ N C ⎞
⎟⎟ = Φ Bn −
⎟
ln⎜⎜
ln⎜
e ⎝ ND ⎠
e ⎜⎝ N D ⎟⎠
n-Halbleiter
Vbi = χ − Φ M +
EG kT ⎛ NV ⎞
kT ⎛ NV ⎞
⎟⎟ = Φ Bp −
⎟
ln⎜⎜
ln⎜
−
e
e ⎝ NA ⎠
e ⎜⎝ N A ⎟⎠
p-Halbleiter
- 70 -
6.2 Ladungsträgerdichte, Potential, elektrisches Feld
Die Berechnung obiger Grössen erfolgt analog zum einseitig abrupten pn Übergang. Im
folgenden nehmen wir einen Übergang zwischen einem n-dotierten Halbleiter und einem
Metall an.
Ladungsdichte
Elektrisches Feld
Im Halbleiter entsteht eine Raumladungszone
mit der Ladungsdichte eND und der Breite xd.
Im Metall wird eine Spiegelladung QM
induziert.
Potential
Das elektrische Feld an der Grenzfläche zwischen Metall und Halbleiter ist daher gegeben
durch:
eN x
Emax = − D d
ε
Der Feldverlauf ist linear und gegeben durch: E ( x) = −
eN D
ε
( xd − x )
Integration über liefert den Potentialverlauf:
eN
φ ( x) = D ( xd2 − ( xd − x) 2 ) für 0 < x < xd
2ε
eN D xd2
φ ( x) =
= Vbi
für x > xd
2ε
Damit ergibt sich für die Breite der Raumladungszone:
xd =
2ε
2ε
Vbi ohne externe Spannung bzw. xd =
(Vbi − U ext ) mit externer Spannung
eN D
eN D
- 71 -
6.3 Fluss- und Sperrpolung
Metall – n-Halbleiter
Metall – p-Halbleiter
Keine externe
Spannung
(thermisches
Gleichgewicht)
Flusspolung
Sperrpolung
Für die Ladungsträger in der Schottkydiode gibt es zwei Möglichkeiten, vom Halbleiter in das
Metall zu gelangen:
a) über die Barriere (thermionische Emission)
b) durch die Barriere (Tunneleffekt)
a) Thermionische Emission
Wir betrachen zunächst den Stromfluss über die Barriere in einem Metall – n-Halbleiter
Übergang. Aufgrund der thermischen Verteilung der Ladungsträger besitzten einige von ihnen
genügend Energie, um über die Barriere zu gelangen. Die Berechnung der Dichte der
Ladungsträger mit genügend grosser Energie erfolgt analog zur Berechnung der
Ladungsträgerdichte in den Bändern, nur mit anderen Integrationsgrenzen (und der Annahme,
dass eΦBn >>3kT ist, dann kann man die Fermi- durch eine Boltzmannverteilung ersetzen):
∞
ne =
⎛ eΦ Bn ⎞
D( E ) f ( E )dx = N C exp⎜ −
⎟
⎝ kT ⎠
E F + eΦ Bn
∫
Ohne äussere Spannung ist die Stromdichte vom Metall in den Halbleiter genauso gross wie
die Stromdichte vom Halbleiter in das Metall.
- 72 -
Die Stromdichte ist proportional zur Ladungsträgerdichte, daher kann man schreiben:
⎛ eΦ Bn ⎞
jM → S = jS → M = C1 N C exp⎜ −
⎟
⎝ kT ⎠
Zur Bestimmung des Faktor C1 ist eine längere Rechnung erforderlich, bei der die
Geschwindigkeitsverteilung der Ladungsträger berücksichtigt wird.
Beim Anlegen einer äusseren Spannung ändert sich jM->S nicht, da sich die Höhe der Barriere
relativ zur Fermi-Energie im Metall nicht ändert. Die Höhe der Barriere relativ zum FermiEnergie im Halbleiter hängt dagegen von der äusseren Spannung ab.
Ohne externe Spannung
Flusspolung
Sperrpolung
Beim Anlegen einer Spannung VF (in Flusspolung) können mehr Elektronen vom Halbleiter
über die Barriere in das Metall gelangen:
⎛ e(Φ Bn − VF ) ⎞
ne == N C exp⎜ −
⎟
kT
⎝
⎠
Der Gesamtstrom wird damit:
⎛ e(Φ Bn − VF ) ⎞
⎛ eΦ Bn ⎞
j = jS → M − jM → S = C1 N C exp⎜ −
⎟ − C1 N C exp⎜ −
⎟
kT
⎝
⎠
⎝ kT ⎠
⎛ eΦ Bn ⎞ ⎡ ⎛ eVF ⎞ ⎤
j = C1 N C exp⎜ −
⎟ ⎢exp⎜
⎟ − 1⎥
⎝ kT ⎠ ⎣ ⎝ kT ⎠ ⎦
Das Produkt C1NC schreibt man normalerweise als A*T2, wobei A* die effektive Richardson
Konstante ist.
n
p
⎡ A ⎤
Si
110 32
Typische Werte sind:
in in Einheiten von ⎢ 2 2 ⎥
⎣ K cm ⎦
GaAs
8
74
Der Strom durch die Schottkydiode wird somit zu
⎛ eΦ Bn ⎞
js = A*T 2 exp⎜ −
⎟
⎝ kT ⎠
⎛ eΦ Bn ⎞
In Sperrpolung erhält man für den Strom j = js = A*T 2 exp⎜ −
⎟
⎝ kT ⎠
⎡ ⎛ eV
j = js ⎢exp⎜ F
⎣ ⎝ kT
⎞ ⎤
⎟ − 1⎥
⎠ ⎦
mit
- 73 -
Minoritätsladungsträgerstrom
Neben dem Elektronenstrom gibt es auch einen Löcherstrom. Für Löcher gibt es in einem
Metall – n-Halbleiter Übergang keine Barriere, die Berechnung des Löcherstroms kann daher
mit dem schon beim pn-Übergang verwendeten Drift-Diffusions Modell erfolgen.
Man erhält:
⎡ ⎛ eV
j p = j p 0 ⎢exp⎜ F
⎣ ⎝ kT
⎞ ⎤
⎟ − 1⎥
⎠ ⎦
mit
jp =
eD p ni2
LP N D
Der Löcherstrom ist um viele Grössenordnungen kleiner als der Elektronenstrom. Da nur die
Majoritätladungsträger zum Stromfluss beitragen wird die Schottky-Diode auch als
Majoritätsladungsträgerbauelement bezeichnet. Dies hat entscheidende Auswirkungen auf das
Zeitverhalten beim Umschalten von Fluss- auf Sperrpolung. Bei einer pn-Diode befindet sich
auf beiden Seiten der Raumladungszone ein Überschuss von Minoritätsladungsträgern. Beim
Umschalten auf Sperrpolung müssen die Minoritätsladungsträger zunächst über die
Raumladungszone ‚abgesaugt’ werden, bevor der Stromfluss durch die Diode auf Null geht
(siehe Abschnitt 5.10). Bei Schottky-Dioden liegt kein Minoritätsladungsträgerüberschuss
vor, sie sperren daher wesentlich schneller als pn-Dioden und können als Gleichrichter für
Hochfrequenzsignale eingesetzt werden. Ein Nachteil von Schottky-Dioden ist ihre relativ
geringe Sperrspannung von ca. 50 V.
b) Tunneln
Wenn die Barriere sehr dünn ist (wenige nm), kann sie von Ladungsträgern durchtunnelt
werden. Die Berechnung erfolgt analog zu den bereits beim Zener-Effekt durchgeführten
Betrachtungen. Wir gehen dazu von einer dreieckigen Barriere mit der Breite W aus.
Das ist natürlich nicht exakt, die Form ist eher parabolich, da das Potential quadratisch vom
Ort abhängt, siehe Abschnitt 6.2. Im Sze wird sogar mit einer rechteckigen Barriere
gerechnet. Die folgenden Betrachtungen sind daher eher qualitativ. Für die
Tunnelwahrscheinlichkeit durch die dreieckige Barriere ergibt sich:
⎛ 4 2em Φ 3Bn/ 2 ⎞
⎛ 4 2em
⎞
1/ 2
⎟ = exp⎜ −
⎟
W
Θ = exp⎜⎜ −
Φ
Bn
⎟
⎜ 3 h
⎟
h
E
3
⎝
⎠
⎝
⎠
Mit dem elektrischen Feld E =
Φ Bn
.
W
Der Tunnelstrom ist dann jn = evR nΘ , mit der Richardson-Geschwindigkeit v R =
kT
2πm*
6.4 Ohmsche Kontakte
Es gibt zwei Möglichkeiten, einen guten Kontakt zwischen Halbleiter und Metall
herzustellen:
a) Niedrige Barriere (Anpassung der Austrittsarbeit des Kontaktmetalls an den Halbleiter)
b) Dünne Barriere (Hohe Dotierung des Halbleiters im Kontakbereich)
- 74 -
Der spezifische Kontaktwiderstand ist definiert als:
−1
⎛ ∂j ⎞
RC = ⎜
⎟ in Einheiten von
⎝ ∂V ⎠V =0
⎡ Ω ⎤
⎢ cm 2 ⎥
⎣
⎦
a) Für thermionische Emission (niedrige Barriere) ergibt sich
RC =
k
⎛ eΦ ⎞
exp⎜ Bn ⎟ , d.h. der Widerstand hängt exponentiell von der Barrierenhöhe ab
*
eA T
⎝ kT ⎠
b) Tunneln durch die Barriere
Aus der Formel für den Tunnelstrom
jn = evR nΘ = e
⎛ 4 2em(Φ Bn − V ) ⎞
kT
⎜−
n
W⎟
exp
⎜ 3
⎟
h
2πm*
⎝
⎠
und
W=
2ε
(Φ Bn − V )
eN D
erhält man:
⎛ 4 m*ε Φ ⎞
Bn ⎟
RC ~ exp⎜
⎜
N D h ⎟⎠
⎝
Auch beim Tunneln hängt der Widerstand exponentiell von der Barrierenhöhe ab. Durch eine
hohe Dotierung (und die damit verbundene Reduktion der Barrierendicke) kann man den
Widerstand allerdings reduzieren.
Die Abbildung auf der folgenden Seite zeigt den Kontaktwiderstand als Funktion der
Dotierung für verschiedene Barrierenhöhen. Für hohe Dotierkonzentrationen (ND>1019cm-3)
beobachtet man wie erwartet eine starke Verkleinerung des Kontaktwiderstandes.
- 75 -
- 76 -
7. Bipolartransistor
7.1 Aufbau des Transistors
npn Transistor
pnp Transistor
Alle Betrachtungen werden im folgenden für npn Transistoren durchgeführt.
Schichtaufbau eines npn Transistors
Die Genzen der Raumladungszonen zwischen Emitter-Basis und Basis-Kollektor sind
gestrichelt eingezeichnet.
Bezeichnungen:
wE – Emitterbreite
wB – Basisbreite
wC – Kollektorbreite
Die Breiten der neutralen Bereiche sind:
Emitter: w’E = wE-xn,BE
Basis: w’B = wB-xp,BE-xp,BC
Kollektor: w’C = wC-xn,BC
Die Donatoren und Akzeptoren in Emitter, Basis und Kollektor werden als vollständig
ionisiert angenommen, d.h. die Ladungsträgerkonzentration in der neutralen Zone im Emitter
ist gleich der Emitterdotierung, analog für Basis und Kollektor.
- 77 -
Die Breiten der Verarmungsbereiche sind damit gegeben durch:
xn , BE =
2ε (Vbi , BE − VBE ) N B
1
e
NE NB + NE
x p , BC =
2ε (Vbi , BC − VBC ) N C
1
e
N B N B + NC
x p , BE =
2ε (Vbi , BE − VBE ) N E
1
e
NB NB + NE
xn , BC =
2ε (Vbi , BC − VBC ) N B
1
e
NC N B + NC
Die Kontaktpotentiale sind gegeben durch:
Vbi , BE =
kT N E N B
kT N C N B
und Vbi , BC =
ln
ln
2
e
ni
e
ni2
7.2 Stromfluss im Transistors
Zunächst nehmen wir an, dass die Basis-Emitter Diode in Vorwärtsrichtung gepolt ist und
dass keine äussere Spannung zwischen Basis und Kollektor angelegt wird. Elektronen werden
über die Raumladungszone vom Emitter in die Basis injiziert. Da die Basis sehr dünn ist,
diffundieren sie in die Raumladungszone zwischen Basis und Kollektor, wo sie vom
elektrischen Feld in den Kollektor gezogen werden und so zum Kollektorstrom beitragen. Ein
kleiner Bruchteil der Elektronen rekombiniert in der Raumladungszone zwischen Emitter und
Basis bzw. in der Basis mit den dort vorhandenen Löchern. Des weiteren gibt es noch einen
Löcherstrom von der Basis in Richtung Emitter.
Der Emitterstrom besteht somit aus drei Anteilen:
IE=IE,n + IE,p + Ir,BE
IE,n - Elektronenstrom vom Emitter in die Basis
IE,p - Löcherstrom von der Basis in den Emitter
Ir,BE - Rekombinationsstrom in der Raumladungszone zwischen Emitter und Basis
- 78 -
Der Kollektorstrom ist der Elektronenstrom vom Emitter in die Basis minus dem Basisrekombinationsstrom:
IC=IE,n - Ir,B
Der Transportfaktor α ist definiert als das Verhältniss von Kollektor- zu Emitterstrom:
I
α= C
IE
Weiterhin gilt (Ladungserhaltung): I E = I C + I B
Damit erhalten wir für die Stromverstärkung β des Transistors:
I
α
β= C =
I B 1−α
Typische Werte für β: 20<β<1000
Zur leichteren Berechnung zerlegen wir den Transportfaktor α in ein Produkt von drei
Faktoren: α = γ Eα T δ r
I E ,n
ist das Verhältniss vom Elektronenstrom im Emitter zur
Die Emittereffizienz γ E =
I E ,n + I E , p
Summe von Elektronen- und Löcherstrom.
I −I
IC
= E ,n r , B ist das Verhältniss vom Kollektorstrom zum
I E ,n
I E ,n
Elektronenstrom, der vom Emitter in die Basis injiziert wird.
Der Basistransportfaktor α T =
Der Rekombinationsfaktor δ r =
I E − I r , BE
ist das Verhältniss vom Elektronen- und
IE
Löcherstrom über die Basis-Emitter Raumladungszone zum gesamten Emitterstrom.
7.3 Lange und kurze Dioden
Bei der Berechnung von pn Übergängen hatten wir den Grenzfall der ‚langen’ Diode
angenommen, bei der die über die Raumladungszone injizierten Ladungsträger vollständig
rekombinieren (Länge der Diode viel grösser als Rekombinationslänge der Ladungsträger).
Beim Transistor können wir diese Näherung nicht mehr machen, da die Basis normalerweise
viel dünner als die Rekombinationslänge ist. Wie im folgenden (hoffentlich) klar wird würde
ein Transistor mit einer sehr dicken Basis auch gar nicht funktionieren.
Lange Diode
Bei der Behandlung des pn Übergangs hatten wir den Fall der langen Diode angenommen:
Ln << wp, Lp<<wn
wn, wp: Breite des n bzw. p Bereichs
Ln, Lp: Rekombinationslängen im n bzw. p Bereich
Wenn die Rekombinationslänge viel kleiner ist als die Breite des n bzw. p Bereichs, so
werden die injizierten Minoritätsladungsträger durch Rekombination abgebaut.
- 79 -
Die Ladungsträgerüberschussdichte am Rand der Raumladungszone ist:
⎡ ⎛ eU ⎞ ⎤
pn ( xn ) − pn 0 = pn 0 ⎢exp⎜
⎟ − 1⎥
⎣ ⎝ kT ⎠ ⎦
Aus der Kontinuitätsgleichung erhält man:
d 2 pn pn − pn 0
−
=0
dx 2
D pτ p
Der zweite Term beschreibt die Rekombinationsrate, die den Überschuss an Ladungsträgern
abbaut. Im thermischen Gleichgewicht pn − pn 0 = 0 verschwindet der Rekombinationsterm.
Als Lösung der Differentialgleichung ergibt sich:
⎛ x − xn ⎞
⎡ ⎛ eU ⎞ ⎤
⎟ , mit Lp = D pτ p
pn ( x) − pn 0 = pn 0 ⎢exp⎜
⎟ − 1⎥ exp⎜⎜ −
⎟
L
⎣ ⎝ kT ⎠ ⎦
p
⎝
⎠
Und damit für den Diffusionsstrom an der Stelle xn:
jp =
eDp pn 0 ⎡ ⎛ eU ⎞ ⎤
exp⎜
⎟ −1
Lp ⎢⎣ ⎝ kT ⎠ ⎥⎦
Kurze Diode
Bei einer kurzen Diode ist: Ln >> wp, Lp>>wn
Die Rekombinationslängen sind viel grösser als die Breiten des p und n Bereichs. Die
Minoritätsladungsträger erreichen daher die Kontakte. Dort wird befinden sich die
Ladungsträger im thermischen Gleichgewicht.
- 80 -
Die Diffusionsgleichung vereinfacht sich daher zu:
d 2 pn
= 0 mit der linearen Lösung: pn ( x) = A + Bx
dx 2
Unter Berücksichtigung der Randbedingungen
⎡ ⎛ eU ⎞ ⎤
'
pn ( xn ) − pn 0 = pn 0 ⎢exp⎜
⎟ − 1⎥ und pn ( xn + wn ) − pn 0 = 0
⎣ ⎝ kT ⎠ ⎦
(Am Kontakt ist die Ladungsträgerverteilung im thermischen Gleichgewicht)
ergibt sich
⎡ ⎛ eU ⎞ ⎤ ⎡ x − xn ⎤
pn ( x) − pn 0 = pn 0 ⎢exp⎜
⎟ − 1⎥ ⎢1 −
⎥
wn' ⎦
⎣ ⎝ kT ⎠ ⎦ ⎣
Und damit für den Diffusionsstrom:
jp =
eDp pn 0 ⎡ ⎛ eU ⎞ ⎤
exp⎜
⎟ −1
wn' ⎢⎣ ⎝ kT ⎠ ⎥⎦
Der Ausdruck ist identisch zu dem für die Stromdichte in der langen Diode, nur dass anstelle
der Rekombinationslänge die Breite des neutralen Bereichs hinter der Raumladungszone
steht.
7.4 Ladungsträgerverteilung im Transistor
Wir betrachten wieder einen npn Transistor, bei dem die Basis-Emitter Diode in
Vortwärtsrichtung gepolt ist und keine Spannung zwischen Basis und Kollektor anliegt.
Die folgende Abbildung zeigt die Konzentrationen der Minoritätsladungsträger in Emitter,
Basis und Kollektor. Da keine Spannung zwischen Basis und Kollektor anliegt, sind die
Ladungsträgerdichten im Kollektor im thermischen Gleichgewicht. In Emitter und Basis
dagegen herrscht ein Überschuss an der jeweiligen Minoritätsladungsträgersorte.
- 81 -
Unter Verwendung der Formeln für die kurze Diode ergeben sich folgende Ausdrücke für den
Elektronen-und Löcheranteil des Emitterstroms:
Dn, B ⎡ ⎛ eU BE ⎞ ⎤
exp⎜
⎟ −1
N B wB' ⎢⎣ ⎝ kT ⎠ ⎥⎦
D p , E ⎡ ⎛ eU BE ⎞ ⎤
= eni2 AE
exp⎜
⎟ −1
N E wE' ⎢⎣ ⎝ kT ⎠ ⎥⎦
I E , n = eni2 AE
I E, p
und
AE ist dabei die Fläche des Emitters.
Die Emittereffizienz wird damit zu:
γE =
I E ,n
I E ,n + I E , p
1
=
1+
D p , E N B wB'
Dn , B N E wE'
Setzt man den Basistransportfaktor und den Rekombinationsfaktor gleich eins, so erhält man
damit für die Stromverstärkung des Transistors:
D N w'
β = n , B E E'
D p , E N B wB
Zur Berechnung des Rekombinationsstroms in der Basis betrachten wir zunächst die
wB − x p ,BC
Überschussladung ∆Qn,B in der Basis. Diese Ladung ist ∆Qn , B = eAE
∫n
p
( x) − n p 0 dx
x p ,BE
Für den Fall der kurzen Diode ergibt sich für die Ladung:
'
ni2 ⎛
⎛ eU BE ⎞ ⎞ wb
⎜ exp⎜
∆Qn , B = eAE
⎟ − 1⎟⎟
N B ⎜⎝
⎝ kT ⎠ ⎠ 2
∆Qn , B
wB'2
Der Emitterstrom wird damit zu I E ,n =
, mit der Basistransitzeit τ T =
τT
2 Dn , B
Mit Rekombination müssen wir die Kontinuitätsgleichung für die Elektronen in der Basis um
einen Rekombinationsterm erweitern:
- 82 -
1 ∂jn ( x) n p ( x) − n p 0
−
τT
e ∂x
∂t
Damit ergibt sich für den Rekombinationsstrom:
∂n p ( x)
=
wB − x p ,BC
I r , B = eAE
∫
x p ,BE
n p ( x) − n p 0
τn
dx =
∆Qn , B
τn
Der Basistransportfaktor wird somit zu:
I E ,n − I r , B
IC
τT
wB' 2
αT =
=
=1− =1−
I E ,n
I E ,n
τn
2 Dn, Bτ n
Je kleiner also das Verhältniss zwischen Basistransitzeit und Rekombinationszeit, desto näher
liegt der Basistransportfaktor bei eins (und desto höher ist die Verstärkung des Transistors).
- 83 -
7.5 Betriebszustände von Transistoren
Je nach Polung der Basis-Emitter und der Basis-Kollektor Diode unterscheidet man vier
Betriebszustände: Aktiv, Sättigung, Invertiert und Abgeschnürt. Normalerweise wird der
Transistor im aktiven Zustand betrieben (Basis-Emitter Diode in Durchlassrichtung, BasisKollektor Diode in Sperrrichtung gepolt).
Betrieb im inversen Zustand
- Emitter und Kollektor sind vertauscht
- Emitter und Kollektor sind nicht identisch (so ist z.B. NE>>NC), die Stromverstärkung ist
daher wesentlich geringer (oder sogar kleiner als eins) als beim Betrieb im aktiven Zustand
Betrieb in Sättigung
- Beide Dioden (Basis-Emitter und Basis-Kollektor) sind in Flussrichtung gepolt. In der Basis
kommt es zu einer starken Anhäufung von Minoritätsladungsträgern. Beim Abschalten des
Transistors führt dies zu einer grossen Verzögerung, da die Minoritätsladungsträger zunächst
aus der Basis geräumt werden müssen.
Betrieb im abgeschnürten Zustand
- Beide Dioden sind in Sperrrichtung gepolt, es fliesst nur ein (sehr kleiner) Sperrstrom durch
den Transistor.
- 84 -
Kennlinienfeld eines Transistors mit gesättigen, aktiven und abgeschnürten Bereich
Ebers-Moll Gleichungen
Kollektorstrom:
⎡ ⎛U
I C = I S ⎢exp⎜⎜ BE
⎣ ⎝ UT
Emitterstom:
IE =
Basisstrom:
IB =
⎡ ⎛ U BC
⎢exp⎜⎜
⎣ ⎝ UT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦
⎡ ⎛U
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥ − I S ⎢exp⎜⎜ BC
⎠ ⎦
⎣ ⎝ UT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦
⎞ ⎤ IS
⎟⎟ − 1⎥ −
⎠ ⎦ αR
I S ⎡ ⎛ U BE
⎢exp⎜
α F ⎣ ⎜⎝ U T
⎡
⎛U
I S ⎢ exp ⎜⎜ BE
αR ⎣
⎝ UT
IS
⎞ ⎤ IS ⎡
⎛ U BC
⎟⎟ − 1⎥ −
⎢ exp ⎜⎜
⎠ ⎦ αR ⎣
⎝ UT
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦
7.6 Basisbreitenmodulation: Early-Effekt
Eine Erhöhung der Kollektor-Basis Spannung von UCB auf U’CB vergrössert die Breite der
Raumladungszone zwischen Basis und Kollektor. Die effektive Basisbreite w’B wird damit
kleiner und der Gradient der Minoritätsladungsträgerkonzentration in der Basis vergrössert
sich. Dies führt zu einem Anstieg des Kollektrostroms. Der Kollektorstrom eines realen
Transistors zeigt daher eine (kleine) Abhängigkeit von der Kollektor-Basis (und damit auch
der Kollektor-Emitter Spannung).
- 85 -
Man definiert die Early-Spannung als die Differenz zwischen der Kollektor-Emitter Spannung
am Arbeitspunkt des Transistors und dem Schnittpunkt der zu negativen Kollektor-Emitter
Spannungen extrapolierten Kennlinie mit der x-Achse.
Extrapolation der Transistorkennlinie zur Bestimmung der Early-Spannung
Die Steigung der Kennlinie ist:
dI C
dI C
wB'2
=
=
dU CE dU CB 2 Dn , Bτ n
Es gilt: UCE= UBE+ UCB, UBE ist in guter Näherung konstant
Nach der Definition der Early-Spannung ist damit:
dI C
I
= C
dU CE U A
Liefert: U A =
Qn , B
C j , BC
=
eN B
ε
=
eN B wb' ( x p , BC + xn , BC )
ε
x p , BC + xn , BC
- 86 -
Typische Werte für UA liegen im Bereich von einigen hundert Volt.
Um eine möglichst hohe Early-Spannung zu erreichen kann man entweder die Basis dünn
machen und hoch dotieren (keine gute Idee, führt zu einer kleinen Stromverstärkung) oder
den Kollektor schwach dotieren (xn,BC wird gross).
Für sehr hohe Kollektorspannungen kann die effektive Breite der Basis gleich Null werden,
d.h. die Raumladungszonen zwischen Basis-Emitter und Basis-Kollektor berühren sich. Es
kommt dann zum sogenannten ‚punch through’, bei dem die Stromstärke im Transistor stark
ansteigt (und nicht mehr durch den Basisstrom kontrolliert wird) und der Transistor zerstört
wird.
7.7 Frequenzverhalten
Die Stromverstärkung eines Transistors nimmt mit zunehmender Betriebsfrequenz ab. Bei der
Frequenz f3dB ist die Stromverstärkung auf die Hälfte der Gleichstromverstärkung β0
abgefallen, bei der Transitfrequenz fT wird die Stromverstärkung gleich eins.
Die Transitfrequenz ist mit der Transitzeit τT (Laufzeit der Ladungsträger durch den
1
, τT =τ E +τ B +τC
Transistor) verknüpft: f T =
2πτ T
Der dominante Term ist die Basistransitzeit τB (Zeit, die die Ladungsträger benötigen, um die
Basis zu durchqueren).
w' 2
Die Basistransitzeit ist gegeben durch: τ B = B
2 Dn , B
Bei schnellen Transistoren muss man daher die Basis sehr dünn machen. Des weiteren sind
npn-Transistoren schneller als pnp-Transistoren, da Elektronen eine grössere Beweglichkeit
als Löcher besitzen (die Diffusionskonstante D ist über die Einsteinbeziehungen mit der
Beweglichkeit verknüpft).
Das Frequenzverhalten wird auch durch parasitäre Effekte beeinflusst (RC-Konstanten).
- 87 -
Als weitere charakteristische Frequenz wird oft fmax angegeben, bei dieser Frequenz erreicht
die Leistungsverstärkung des Transistors den Wert eins. Dies ist auch die maximale Frequenz,
die mit dem Transistor als aktives Element in einem Oszillator erreicht werden kann. fmax
kann grösser als fT sein (muss aber nicht), da selbst bei einer Stromverstärkung unter eins
noch eine Leistungsverstärkung vorhanden sein kann.
Die Abbildung zeigt die Verstärkung als Funktion der Frequenz (Übertragungsfunktion) von
zwei verschiedenen Transistortypen. Die Messpunkte gehen nur bis zu Frequenzen um die
100GHz (es gibt keine Messgeräte für höhere Frequenzen), der weitere Verlauf der Kurven ist
extrapoliert. Beim HBT ist fmax kleiner als fT, der Si-CMOS Transistor ist es umgekehrt
(Begründung folgt im Kapitel über MOS-Transistoren).
Übertragungsfunktion eines Si-CMOS Transistors
Übertragungsfunktion eines InGaAsP/InP HBT
7.8 HBT – Heterostruktur Bipolar Transistor
7.8.1 Halbleiter-Heterostrukturen
Typ I Heteroübergang
Einschluss für Elektronen und Löcher im
Material mit kleinerer Bandlücke
=> Quantenfilm
Typ II Heteroübergang
Einschluss für Elektronen und Löcher in
verschiedenen Schichten
=> räumlich indirekt
Wir betrachten zunächst zwei Halbleiter mit unterschiedlicher Bandlücke vor dem Kontakt. In
diesem Fall ist das Vakuumniveau über beiden Halbleitern gleich.
- 88 -
Halbleiter vor Kontakt
Vor dem Kontakt der beiden Halbleiter ist das Vakuumniveau gleich. Die Abstände der
Fermienergien EF1 und EF2 zum Vakuumniveau sind durch die Austrittsarbeiten ΦS1 und ΦS2
gegegen. Die Elektronenaffinitäten χS1 und χS2 definieren den Abstand der Leitungsbänder
zum Vakuumniveau.
Halbleiter in Kontakt
Bei der Bestimmung des Bandverlaufs im Kontaktfall sind zwei Punkte zu berücksichtigen:
- die Fermienergie ist konstant (thermisches Gleichgewicht)
- der Verlauf des Vakuumniveaus darf keine Sprünge aufweisen
- 89 -
Im Valenz- und Leistungsband treten jetzt Diskontinuitäten der Grösse ∆EV bzw. ∆EC auf.
Es gelten die folgenden Beziehungen:
∆EC = e(χ2 −χ1)
und
∆EV =EG1 + eχ1 - (EG2 +eχ2)=∆ΕG−∆ΕC
∆ΕG ist die Differenz der Bandlücken: ∆ΕG =ΕG1 - ΕG2
Das Kontaktpotential Vbi ist gleich Differenz der Austrittsarbeiten: Vbi = ΦS2 - ΦS1 und kann
als Summe von zwei Beiträgen geschrieben werden: Vbi= Vbi1 + Vbi2 , mit
Vb1 =
ε 2 N 2 (Vbi − U ext )
ε 1 N1 + ε 2 N 2
und
Vb 2 =
ε 1 N1 (Vbi − U ext )
ε 1 N1 + ε 2 N 2
Die Ausdehnung der Raumladungszone (beim Anlegen einer externen Spannung U) in den
beiden Halbleitern ist:
x1 =
2ε 1ε 2 N 2 (Vbi − U ext )
eN1 (ε 1 N1 + ε 2 N 2 )
und
x2 =
2ε 1ε 2 N 2 (Vbi − U ext )
eN 2 (ε 1 N1 + ε 2 N 2 )
N1 und N2 ist dabei die Dotierkonzentration in Halbleiter 1 bzw. 2, ε1, und ε2 die relativen
Dielektrizitätskonstanten (inklusive ε0).
7.8.2 Heterostruktur-Transistoren
Warum kann man durch den Einsatz von Heterostrukturen die Eigenschaften eines Transistor
verbessern? Zur Beantwortung dieser Frage versuchen wir zunächst, die Stromverstärkung
eines ‚normalen’ Transistor zu vergrössern. Die Stromverstärkung eines Transistors war
gegeben durch:
Dn , B n p 0 wE'
Dn , B N E wE'
β=
=
D p , E pn 0 wB'
D p , E N B wB'
Für eine grosse Verstärkung muss man daher die Basis dünn machen. Dies führt zu einem
Anstieg des Basiswiderstandes und damit zu einer Reduktion der maximalen Betriebsfrequenz
aufgrund von parasitären Effekten (RC-Konstanten). Eine Erhöhung der Basisdotierung
verkleinert zwar den Widerstand, aber gleichzeitig auch die Verstärkung.
Die Lösung besteht darin, den Emitter aus einem Material mit grösserer Bandlücke
herzustellen. Der Bandverlauf im Transistor sieht dann wie folgt aus:
- 90 -
Wichtig ist hier die Barriere ∆EV im Valenzband, die den Löcherstrom IE,p von der Basis in
den Emitter unterdrückt.
I E ,n
Die Emittereffizienz des Transistors war gegeben durch: γ E =
I E ,n + I E , p
IE,n ist dabei der ‚gute’ Anteil des Emitterstroms, den dieser ist, falls wir den
Basistransportfaktor αT und Rekombinationsfaktor δr gleich eins setzten, gleich dem
Kollektorstrom. IE,p ist der ‚schlechte’ Anteil, denn er trägt nur zum Basisstrom bei (den wir
ja möglichst klein haben wollen), aber nicht zum Kollektorstrom. Durch die Barriere im
Valenzband wird IE,p unterdrückt, damit steigt die Emittereffizienz und somit auch die
Verstärkung, die durch β =
γE
gegeben ist (αT und δr seien gleich eins).
1− γ E
Für den Fall, dass Basis und Emitter aus verschiedenen Materialien bestehen, muss man für
die Minoritätladungsträgerdichen folgende Formeln verwenden:
n p0 =
pn 0 =
ni2, B
NB
ni2,E
NE
=
=
N C ; B NV ; B exp(− EG , B / kT )
NB
und
N C ; E NV ; E exp(− EG , E / kT )
NE
Die intrinsischen Ladungsträgerdichten sind nicht mehr gleich, und kürzen sich daher auch
nicht mehr aus der Formel heraus.
Die Stromverstärkung des HBT wird damit:
β Hetero =
Dn, B n p 0 wE' N C , E NV , E
'
B
D p , E pn 0 w N C , B NV , B
⎛ ∆E ⎞
⎛ ∆E ⎞
exp⎜ G ⎟ ≈ β exp⎜ G ⎟
⎝ kT ⎠
⎝ kT ⎠
Der erste Term in der Formel ist die Stromverstärkung eines ‚normalen’ Transistors. Der
Quotient der effektiven Zustandsdichten ist von der Grössenordnung eins. Die Verstärkung
des HBT ist damit um den Faktor höher als die Verstärkung eines ‚normalen’ Transistors.
Für typische Bandlückendifferenzen ∆EG von einigen 100meV ist die Verstärkung um den
Faktor 103-105 höher. Man kann daher die Basisdotierung erhöhen, ohne dass die Verstärkung
zu klein wird. Ein weiterer Vorteil des HBT ist die hohe Early Spannung, da die Ausdehnung
der Basis-Kollektor Raumladungszone in die Basis aufrund der hohen Basisdotierung sehr
klein ist.
In der Praxis verwendet man meist keinen abrupten Übergang, sondern einen graduellen
Übergang zwischen Emitter und Basis. Auf diese Weise kann man die Barriere im
Leitungsband vermeiden. Weiterhin wird oft ein Dotier- oder Materialgradient in der Basis
eingebaut. Dieser erzeugt in der Basis ein elektrisches Feld, das die Ladungsträger zusätzlich
zum Konzentrationgradienten in Richtung Kollektor beschleunigt. Dies führt zu einer
Reduktion der Basistransitzeit und damit zu einer höheren Transitfrequenz fT.
- 91 -
7.8.3 HBTs auf III/V Basis
Die folgenden Abbildungen zeigen einige Bauformen von HBTs auf III/V Basis
Schichtaufbau eines GaAs/AlGaAs HBTs. Über dem AlGaAs Emitter befindet sich eine
hochdotierte GaAs-Kontaktschicht, um einen kleinen Kontaktwiderstand zu realisieren. Die
Basis- und Kollektor-Kontakte sind als Ringkontakte ausgeführt. Unter dem niedrig dotierten
Kollektor (hohe Early-Spannung) befindet sich ein hoch dotierter Sub-Kollektor, um den
Kollektorwiderstand klein zu halten.
- 92 -
Elektronenmikroskopische Aufnahme eines InGaAsP/InP HBTs für 100 GHz Betriebsfrequenz. Genau wie beim GaAs/AlGaAs sind die Kontakte zur Basis und zum Kollektor als
Ringkontakte ausgeführt. Der Anschluss an die Zuleitungen erfolgt in Form von Luftbrücken,
um parasitäre Kapazitäten möglichst klein zu halben.
7.8.3 HBTs auf Si Basis
Zeitliche Entwicklung der Grenzfrequenz
von SiGe-HBTs
Elektronenmikroskopische Aufnahme eines
SiGe-HBTs
Bei Heterostrukturen auf Si Basis (SiGe oder SiC Schichten auf Si) ist eine Anpassung der
Gitterkonstanten nicht möglich, man verwendet verspannte SeGe Schichten auf Si als
Basismaterial
- 93 -
Bandlücke von Si1-xGex als Funktion des Germaniumgehalts.
Schichtaufbau eines SiGe Heterostruktur-Transistors
- 94 -
7.9 Durchbruch von Transistoren
Bei Bipolartransistoren können bei hohen Stromdichten zwei
Durchbruchphänomene auftreten:
1. Durchbruch verursacht durch Lawineneffekt in der Basiszone
2. Durchbruch durch Überschreiten der kritischen Stromdichte bzw. Temperatur
- 95 -
7.10 Herstellung von Transistoren
a) As- oder Sb-Implantation
für n+-Subkollektor durch
SiO2-Fenster.
b) Si-Epitaxie mit n-Dotierung; Si3N4-Maskierung und
Strukturierung mit
Trockenätzverfahren
c) SiO2-Abscheidung zur
lateralen Isolierung;
Fensteröffnung für
Kollektorkontakt
d) Implantation des Kollektorbereichs; Bor-Implantation
für Basisbereich.
e) As- oder P-Implantation des
Emitterbereichs; Abscheidung
von polykristallinem Silizium
als Diffussionsquelle.
(f) Metallisierungs- und
Isolationsschritte in 2 Ebenen
inkl. Einlegierungsschritte.
- 96 -
7.11 Selbstjustierender Polysilizium-Herstellungsprozess
- 97 -
7.12 Leistungstransistoren
Ziel: Steuerung möglich hoher Ströme mit geringen Schaltleistungen
In planar aufgebauten Transistoren muss der Basisstrom einen relativ langen
Weg zum Emitter zurücklegen. Durch den Spannungsabfall wird insbesondere
bei starker Flusspolung die effektive Transistorfläche stark reduziert.
Intergitital Transistor
Durch einen fingerstrukturartigen Aufbau von
Emitter und Basiskontakten
kann bei relativ großen
Kontaktflächen der EmitterBasis-Widerstand klein gehalten
werden.
→ Ideal für Hochleistungs- und
Hochfrequenzanwendungen
- 98 -
7.13 Darlington Schaltung
Durch eine Reihenschaltung von 2 Transistoren in Emitterfolge kann eine erheblich höhere
Stromverstärkung erzielt werden.
β ≈ β · β = 3000 (Leistungsdarlingtons) - 20000 (Kleinsignal-Transistoren).
1
2
Beispiel für hybrid aufgebauten Leistungsdarlington (Valvo BDV 67 B):
- 99 -
8. Thyristoren
8.1 Aufbau von Thyristoren
Ein Thyristor besteht aus zwei ineinander verschachtelten Transistoren (npn und pnp).
Thyristoren werden als steuerbare Gleichrichter verwendet.
Typisches Dotierprofil eines Thyristors
Die mittleren Zonen sind in der Regel schwach dotiert.
- 100 -
8.2 Raumladungszonen und Potentiale
Sperrzustand in Vorwärtspolung
Die innere Diode ist in Sperrrichtung gepolt. Wegen der geringen Dotierung der mittleren
Schichten ist die Raumladungszone weit ausgedehnt.
Sperrzustand in Rückwärtspolung
Zwei Dioden sind in Sperrrichtung gepolt.
In Vorwärtspolung existiert noch ein zweiter Betriebszustand, der durch Überschwemmung
der schwach dotierten Schaltdiode snsp mit Ladungsträgern erreicht wird.
- 101 -
8.3 Thyristorkennlinie
Die Thyristorkennlinie besitzt 5 Betriebszustände:
(a) Blockierter Zustand in Vorwärtspolung
(b) Negativer Widerstandsbereich
(c) Durchlassbereich nach Zündung
(d) Gesperrter Zustand in Rückwärtspolung
(e) Durchbruchbereich in Rückwärtspolung
Ohne Spannung am Gate erfolgt der Durchbruch in Rückwärtsrichtung bei der Spannung VBR
und in Vorwärtsrichtung bei der Spannung VBF. In Vorwärtsrichtung kann der Durchbruch für
Anoden-Kathoden Spannungen grösser als UH (Haltespannung) auch durch einen positiven
Strompuls auf das Gate ausgelöst werden. Auch nach dem Strompuls bleibt der Thyristor
leitend. Er geht erst wieder in den sperrenden Zustand über, wenn die Haltespannung UH oder
der Haltestrom IH unterschritten werden.
- 102 -
8.4 Zündverhalten
Der Thyristor wird durch Strominjektion in Zone II gezündet.
8.4.1 Zwei Transistormodell der Zündung
-
Beim Anlegen einer positiven Spannung an das Gate schaltet der npn Transistor durch
Die Basis des pnp Transistors wird vom npn Transistor mit negativer Spannung
versorgt, so dass auch der pnp Transistor durchschaltet
Wenn der pnp Transistor leitet, versorgt er die Basis des pnp Transistors mit positiver
Spannung, so dass dieser auch nach Abschalten der positiven Gatespannung leitfähig
bleibt
- 103 -
8.4.2 Zeitverlauf des Zündvorgangs
- Einschaltverzugszeit td, bis Zündvorgang startet (ca. 100 µs). In dieser Zeit wird die Ladung
Qst in den schwach dotierten mittleren Bereich des Thyristors injiziert
- Die eigentliche Zündung erfolgt in der Durchschaltzeit tr. In dieser Zeit fällt die
Blockierspannung auf 1/10 des ursprünglichen Wertes ab.
- Große Strompulse (z.B. durch Zündthyristor) können td auf 1 µs reduzieren
- In der Durchschaltzeit entsteht im Thyristor eine hohe Verlustleistung, da UAK noch hoch ist,
aber schon Strom durch den Thyristor fliesst. Daher sollte tr möglichst kurz sein.
8.5 Abschaltverhalten
Der Thyristor geht wieder in den gesperrten Zustand über, wenn Haltespannung oder
Haltestrom unterschritten werden. Da im mittleren Bereich des Thyristors noch Ladung
gespeichert ist, geht der Strom durch den Thyristor erst nach nach einiger Zeit auf Null
zurück.
Sperrverzögerung: trr (charakteristische Zeit für Rückgang des Stroms)
Spannungsnachlauf: ts (Zeit bis volle Sperrspannung erreicht)
Freiwerdezeit:
tq (Zeit bis volle Blockierfähigkeit erreicht)
- 104 -
8.6 Hochleistungsthyristoren
8.6.1 Zündverhalten
Die endliche Durchschaltzeit wird verursacht durch die
geschwindigkeit des Zündzustands in transversaler Richtung.
→ Abhilfe: optimierte geometrische Anordnung der Elektroden
1 - Emitterstreifen, 2 - Gate-Streifen, 3 - Gate-Kontaktierung
- 105 -
endliche
Ausbreitungs-
8.6.2 Oberflächendurchbruch
Durch Reduktion des Abschrägwinkels kann die Position der maximalen Feldstärke in den
Halbleiter verschoben werden. Ein Durchbruch an der Oberfläche wird damit vermieden.
8.6.3 Herstellung
- Herstellung der n-Zone aus Reinst-Silizium und Neutronenbeschuss
=> Entstehung von Phosphor durch radioaktiven Zerfall
- p-Dotierung durch beidseitige Eindiffusion von Ga oder Al
- n-Dotierung an der Kathode durch Eindiffusion von Phosphor
- 106 -
8.6.4 Aufbau und Gehäuse
Linkes Bild:
1 Kupferboden (Anode), 2 Druckglasdurchführung, 3 Druckfedern,
4 Thyristortablette, 5 Kathodenstempel (Molybdän mit Silberauflage),
6 Ausgleichsglied, 7 Kathodenanschluss, 8 Hilfskathodenanschluss,
9 Steueranschluss.
Rechtes Bild:
1 Thyristortablette, 2 obere Kontaktscheibe, 3 Halte-und Zentrierhilfskörper,
4 keramischer Isolierring, 5 Flansche, 6 Steuerelektrodenanschluss,
7 untere Verschlussklappe, 8 vakuumdichte Schweißnaht,
9 isolierte Steuerelektrodendurchführung, 10 beidseitige Elektroden (bereits Teil des
Kühlkörpers), 11 Spannkörper, 12 zentraler Druckkontakt,
13 obere Kontaktfläche (Kathode), 14 untere Kontaktfläche (Anode)
- 107 -
8.6.5 Kenndaten
Spannung: 8500 V
Strom: 2700A
Gewicht: 3.6 kg
- 108 -
8.7 Abschaltbarer Thyristor (GTO)
GTO – Gate Turnoff Thyristor
Durch eine Vergrösserung des Gates ist es
möglich, den Thyristor durch einen negativen
Strompuls abzuschalten.
Typische Kenndaten
Blockierspannung: 1400V
Durchlassstrom:
300A
Abschaltzeit:
10 µs
Abschaltstrom:
60A
Durchspannung
Gate-Kathode:
24 V
Thyristor mit Lichtzündung
- 109 -
8.8 Zweiweg-Thyristor (Triac)
Um einen symmetrischen Betrieb für beide Polaritäten zu ermöglichen, müssen
zwei Thyristoren antiparallel verschaltet werden.
Integration von 2 antiparallel geschalteten Thyristoren ohne Zündelektrode
ergibt einen Diac, mit Zündelektrode einen Triac.
Symmetrisch aufgebauter Triac
Im Prinzip sind hier 4 Thyristoren
integriert, wobei jeweils 2 den
Laststrom und 2 den Zündstrom
transportieren. Dadurch existieren
auch vier Zündmöglichkeiten.
- 110 -
8.9 Schaltverhalten von Transistor, Thyristor und Triac
Mit einem Bipolar- oder Feldeffekttransistor können Gleichströme geregelt (verstärkt)
werden.
Mit Thyristoren, GTOs oder Triacs können Wechselströme geschaltet werden.
Thyristoren bzw. GTOs schalten nur eine Polarität aber bei hohe Leistungen, Triacs beide
Polaritäten, aber nur bei mittleren Leistungen.
- 111 -
9. Feldeffektransistoren
9.1 Aufbau
Ein FET (field effect transistor) besteht im allgemeinen aus einer Metall-IsolatorHalbleiterstruktur (MIS - metal, insulator, semiconductor).
Feldeffekttransistoren sind unipolare Bauelemnte, d.h. für die Funktion sind nur die
Majoritätsladungsträger relevant (im Gegensatz zu Bipolar-Transistoren, bei denen beide
Ladungsträgersorten eine Rolle spielen). Der (Majoritätsträger-) Strom zwischen Quelle
(Source) und Senke (Drain) wird über die Steuerspannung am Gate kontrolliert.
Die Ansteuerung erfolgt leistungs- und stromlos, da das Gate elektrisch vom Halbleiter
isoliert ist. Der FET ist damit von der Funktiosweise mit einer Vakuumröhre vergleichbar, bei
der die Steuerung des Strom ja auch durch eine Gateelektrode erfolgt.
Man unterscheidet die folgende Realisierungsformen:
- JFET (junction field effect transistor)
- MESFET (metal semiconductor FET)
- MOSFET (metal oxide semiconductor FET)
- MISFET (metal insulator semiconductor FET)
Der JFET war die erste Bauform des FETs (Schockley, 1952). Bei ihm sind Gate und Kanal
durch einen in Sperrichtung gepolten pn Übergang isoliert.
Technologisch relevant sind heute vor allem MOSFETs, die in Form von komplementären
Transistoren (p- und n-Kanal) als Grundbausteine für komplexe Logigschaltungen, CPUs,
Speicher, etc. verwendet werden.
Auf III/V-Materialien werden vor allem MEFETs und MISFETs hergestellt, da diese
Materialien im Gegensatz zum Silizium nicht über stabile Oxide verfügen. Mit FETs auf
GaAs und InP Basis erreicht man Frequenzen bis zu einigen 100 GHz, die Anwendungen
dieser Bauelemente liegen im Bereich von Radar, mobiler Kommunikation und schneller
Datenübertragung.
- 112 -
9.2 Sperrschicht Feldeffekttransistor (JFET)
JFET – Junction Field Effect Transistor
Aufbau eines JFET
-
Ausbildung eines n-Kanals zwischen Source und Drain
Kanalbreite ist über die Breite der Raumladungszone einstellbar => steuerbarer
Widerstand
Der Widerstand zwischen Source und Drain ist gegeben durch:
R=ρ
L
1
L
=
A eµn N D 2Z (a − W )
2a - Dicke der n dotierten Halbleiterschicht
W- Breite der Raumladungszone
L - Kanallänge
Z - Breite des FET
- 113 -
9.3 Funktionsprinzip eines JFET
Linearer Bereich
VG = 0
VD klein
Abschnürung
VG = 0
VD = Vsat
Sättigung
VG = 0
VD > Vsat
Einfluss der
Gatespannung
VG = 0, -1 V
VD klein
Aufgrund des Spannungsabfalls der Drain-Source Spannung entlang des Kanals ist die
Potentialdifferenz zwischen Gate und Kanal ortsabhängig. Damit ändert sich auch die Breite
der Raumladungszone entlang des Kanals.
Ab der Sättigungsspannung Vsat berühren sich die Raumladungszonen und der Sättigungsfall
ist erreicht. Der Strom fliesst jenseits der Abschnürstelle in einem extrem dünnen Kanal durch
den Transistor.
Mit steigender Drain Spannung wird die Länge des abgeschnürten Bereichs im Kanals
grösser, damit steigt der Widerstand. Die Folge ist ein konstanter Strom Isat für Drain-Source
Spannungen überhalb der Vsat.
Der maximale Strom fliesst beim JFET für VG= 0. Über die Gatespannung kann der Kanal
zusätzlich abgeschnürt werden. Beim Anlegen eines positiven Gatespannung wird die GateKanal Diode leitend und es kommt zu einem (unerwünschten) Leckstrom. Der pn Übergang
zwischen Gate und Kanal wird daher immer nur in Sperrrichtung betrieben.
- 114 -
9.4 Abschnürverhalten
Da die Breite des leitenden Kanals immer dünner wird, nimmt bei gleicher Stromdichte die
Geschwindigkeit der Ladungsträger zu. Jenseits des Abschnürpunkts ist die Geschwindigkeit
konstant und entspricht der Sättigungsgeschwindigkeit.
Geschwindigkeitsprofil
der Ladungsträger
Kanalbreite b im
Sättigungsbereich
b = 2(a-W)
9.5 Kennlinienfeld eines JFET
Der linke Teil der Abbildung zeigt den Drainstrom bei eines Drain-Source Spannung von 15V
als Funktion der Gate-Source Spannung. Unterhalb der Spannung UE (Einsatzspannung)
sperrt der FET völlig.
Im rechten Teil der Abbildung ist der Drainstrom als Funktion der Drain-Source Spannung für
verschiedene Gatespannungen aufgetragen. Für kleine Drain-Source Spannungen ist der FET
ein steuerbarer Widerstand (analog zur Vakuumröhre, daher die Bezeichnung
Triodenbereich). Bei Spannungn über der Sättigungsspannung Usat fliesst ein konstanter
Drainstrom. Bei zu hohen Drain-Source Spannungen bricht der FET durch.
- 115 -
9.6 Strom-Spannungskennlinie
Das Potential V(y) im Kanal ist wegen des Spannungsabfalls zwischen Source und Drain
ortsabhängig. Damit ändert sich auch die Breite der Raumladungszone W(y). Wir nehmen an,
dass das Gate und Substrat viel höher dotiert sind als der Kanal, d.h. der pn Übergang
zwischen Gate und Kanal kann als einseitig abrupter Übergang betrachtet werden.
Bei den folgenden Berechnungen ist für alle Spannungen (VD, VG, Vbi,.. ) der Betrag zu
verwenden (d.h. alle Spannungen sind positiv). Dies ist ohne Beschränkung möglich, da der
pn Übergang zwischen Gate und Kanal immer in Sperrrichtung betrieben wird und Drain und
Source symmetrisch sind. Auf diese Weise gelten die Gleichungen für n- und p-Kanal FETs.
Wir nehmen zunächst an, dass sich der Transistor im Triodenbereich befindet, d.h. der Kanal
ist nicht abgeschnürt. Für die Breite der Raumladungszone W in Abhängigkeit von der
2ε rε 0 (V ( y ) + VG + Vbi )
Position y ergibt sich in diesem Fall: W ( y ) =
eN D
Am Sourcekontakt (y=0) hat der Kanal die Breite W1 =
am Drainkontakt (y=L) die Breite W2 =
2ε r ε 0 (VG + Vbi )
und
eN D
2ε r ε 0 (VD + VG + Vbi )
eN D
- 116 -
Der Kanal schnürt am Drainkontakt ab, wenn die Breite der Raumladungszone W die halbe
Kanaldicke a erreicht. Man definiert die Abschnür- oder ‚pinch-off’ Spannung VP als Summe
der drei Spannungen VD, VG und Vbi für den Fall, dass W=a wird.
Damit ergibt sich folgendes Kriterium für das Abschnüren des Kanals:
a=
2ε r ε 0VP
eN D
eN D a 2
Daraus ergibt sich für die ‚pinch-off’ Spannung V p =
2ε r ε 0
Die Sättigungsspannung Vsat wird damit zu Vsat = VP-VG-Vbi
9.6.1 Berechnung des Sättigungsstroms
Die Änderung der Kanalbreite bei Änderungen des Potentials im Kanal ergibt sich durch
εε
dW
Ableiten nach V zu:
= r 0
dV eN DW
Der differentielle Spannungsabfall dV entlang der Wegstrecke dy im Kanal ist:
dV = I D dR =
mit dV =
I D dy
und damit: I D dy = 2eµn N D Z (a − W ( y ))dV
2eµn N D Z (a − W ( y ))
eN D
ε rε 0
WdW ergibt sich: I D dy = 2eµ n N D Z (a − W )
eN D
ε rε 0
WdW
Integration entlang des Kanals liefert:
L
I D ∫ dy =
0
2Ze 2 µ n N D2
ε rε 0
W2
∫ (a − W )WdW
W1
Daraus ergibt sich der Drainstrom zu:
Ze 2 µ n N D2
ID =
ε rε 0 L
(
) (
)
2 3
⎡
2
2
3 ⎤
⎢⎣a W2 − W1 − 3 W2 − W1 ⎥⎦
Einsetzen von W1 =
2ε r ε 0 (VG + Vbi )
2ε r ε 0 (VD + VG + Vbi )
und W2 =
in die obige Formel
eN D
eN D
3/ 2
3/ 2
⎡V
2 ⎛ VD + VG + Vbi ⎞
2 ⎛ VG + Vbi ⎞ ⎤
D
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ⎥
liefert I D = I P ⎢ − ⎜⎜
VP
3
V
⎢⎣ VP 3 ⎝
P
⎠
⎝
⎠ ⎥⎦
Zµ n e 2 N D2 a 3
IP =
Dabei ist IP die ‚pinch-off’ Stromstärke
ε rε 0 L
VP die ‚pinch-off’ Spannung
und
eN D a 2
Vp =
2ε r ε 0
Für die Sättigungsstromstärke Isat erhält man durch Einsetzen von Vsat für VD in obige Formel:
- 117 -
I D , sat
⎡ 1 ⎛ V + V ⎞ 2 ⎛ V + V ⎞3 / 2 ⎤
bi
bi
⎟⎟ + ⎜⎜ G
⎟⎟ ⎥
= I P ⎢ − ⎜⎜ G
3
V
3
V
⎢⎣ ⎝
P
P
⎠
⎝
⎠ ⎥⎦
a) Linearer Bereich
Es gilt: VD << (VG+Vbi)
In diesem Fall kann man für den zweiten und dritten Term in der Formel für den Drainstrom
eine lineare Näherung durchführen:
ID
ID
ID
ID
3/ 2
3/ 2
⎡V
2 ⎛ VD + VG + Vbi ⎞
2 ⎛ VG + Vbi ⎞ ⎤
D
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ⎥
= I P ⎢ − ⎜⎜
VP
3
V
⎢⎣ VP 3 ⎝
P
⎠
⎝
⎠ ⎥⎦
3/ 2
3/ 2
3/ 2
⎡V
VD ⎞ ⎛ VG + Vbi ⎞
2⎛
2 ⎛ VG + Vbi ⎞ ⎤
D
⎟⎟ ⎜⎜
⎟ ⎥
⎟⎟ + ⎜⎜
= I P ⎢ − ⎜⎜1 +
3 ⎝ VP ⎟⎠ ⎥
⎢⎣ VP 3 ⎝ VG + Vbi ⎠ ⎝ VP ⎠
⎦
3/ 2
3/ 2
⎡V
2 ⎡ 3 VD ⎤⎛ VG + Vbi ⎞
2 ⎛ VG + Vbi ⎞ ⎤
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎥
≈ I P ⎢ D − ⎢1 +
+
⎥⎜
⎟
3 ⎜⎝ VP ⎟⎠ ⎥
⎢⎣ VP 3 ⎣ 2 VG + Vbi ⎦⎝ VP ⎠
⎦
V + Vbi ⎤
I ⎡
≈ P ⎢1 − G
⎥VD
VP ⎣
VP ⎦
Der Ausgangsleitwert ist definiert als die Änderung des Drainstroms bei Änderung der
V + Vbi ⎞
I ⎛
∂I
⎟
gD = D
= P ⎜⎜1 − G
Drain-Source Spannung:
VP ⎟⎠
∂VD V =const VP ⎝
G
Die Steilheit des Transistors ist definiert als die Änderung des Drainstroms bei Änderung der
I
VP
∂I
gm = D
VD
= P2
Gatespannung:
∂VG V =const 2VP VG + Vbi
D
b) Sättigung
Wird die Drain-Source Spannung grösser als die Sättigungsspannung Vsat = VP-VG-Vbi, so
erreicht man die Bereich der Sättigung.
Den (konstante) Drainstrom im Sättigungsbereich errechnet man durch Einsetzen von Vsat für
VD in die Formel für den Drainstrom:
I D , sat
⎡V
2 ⎛ V + VG + Vbi
= I P ⎢ sat − ⎜⎜ sat
VP
⎢⎣ VP 3 ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
2 ⎛ V + Vbi
+ ⎜⎜ G
3 ⎝ VP
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
⎡1 ⎛ V + V
⎤
bi
⎥ = I P ⎢ − ⎜⎜ G
⎢⎣ 3 ⎝ VP
⎥⎦
Für die Steilheit ergibt sich der gleich Wert wie im linearen Bereich:
I
VP
∂I
gm = D
VD
= P2
∂VG V =const 2VP VG + Vbi
D
- 118 -
⎞ 2 ⎛ VG + Vbi
⎟⎟ + ⎜⎜
⎠ 3 ⎝ VP
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
⎤
⎥
⎥⎦
9.7 Metall – Oxid - Halbleiterkontakt
Für die ideale MOS Struktur gilt:
- Ladungen existieren nur im Halbleiter und Metall (keine Ladungen im Oxid)
- kein Ladungsträgertransport durch die Oxidschicht (perfekter Isolator)
Wir betrachten zunächst den sogenannten Flachbandfall. Dieser stellt sich ein, wenn die
Austrittsarbeit (d.h. der Abstand der Fermienergie zum Vakuumniveau) von Metall und
Halbleiter identisch sind. Unter diesen Bedingungen sind ohne Anlegen einer äusseren
Spannung die Bänder flach (flat band condition).
Ohne externe Spannung sind die Bänder flach, wenn die Austrittsarbeit des Metalls ΦM gleich
⎡
E
⎛
⎞⎤
e(Φ M − Φ S ) = e ⎢Φ M − ⎜ χ + G + ΨB ⎟⎥ = 0
der Austrittsarbeit ΦS des Halbleiters ist:
2e
⎝
⎠⎦
⎣
χ ist die Elektronenaffinität des Halbleiters, ΨB der Abstand der Fermienergie des Halbleiters
zur intrinsischen Fermienergie (siehe Skizze).
Banddiagramm eines Metall-Oxid-Halbleiters im Flachbandfall ohne externe Spannung
- 119 -
Sind die Austrittsarbeiten nicht identisch, so stellt sich der Flachbandfall beim Anlegen der
Flachbandspannung Vfb (Differenz der Austrittsarbeiten) ein. Ladungen im Oxid oder an den
Grenzflächen führen zu einer zusätzlichen Verbiegung der Bänder, verbunden mit einer
Änderung von Vfb.
Flachbanddiagramm eines Alumium-Oxid-Silizium (p-dotiert) Übergangs. In diesem Fall
wird die Flachbandbedingung nur unter Anlegen eines äusseren Spannung Vfb erreicht.
9.8 Anreicherung, Verarmung, Inversion
Zur Vereinfachung der nehmen wir im Folgenden an, dass sich der Flachbandfall ohne
Anlegen einer äusseren Spannung einstellt.
Beim Anlegen eines äusseren Spannung unterscheidet man die folgenden drei Fälle:
Anreicherung
Bei negativer Gatespannung verbiegt sich
das Valenzband in Richtung Fermienergie und Löcher werden an die
Grenzfläche gezogen. An der OxidHalbleitergrenzfläche bildet sich eine
Oberflächenladung QS aus.
Verarmung
Beim Anlegen einer positiven Spannung
biegt sich das Valenzband von der
Fermienergie weg und die Konzentration
der Löcher sinkt. Die negative Ladung
der ionisierten Akzeptoren jetzt nicht
mehr durch die Ladung der Löcher
kompensiert, es ensteht ein Bereich mit
negativer Ladung.
- 120 -
Inversion
Eine hohe positive Gatespannung zieht
das Leitungsband in die Nähe der Fermienergie, es bildet sich eine Schicht von
Elektronen an der Halbleiter-Oxid
Grenzfläche.
In allen drei Fällen wir durch die Ladungsverteilung im Halbleiter eine Spiegelladung im
Metall induziert, die sich an der Metall-Oxid Grenzfläche ansammelt.
9.9 Ladungsdichten, Potentiale und Felder im Inversionsfall
Für den Betrieb von MOSFETs ist nur der Inversionsfall relevant. Man unterscheidet
zwischen schwacher Inversion (Elektronenenkonzentration grösser als Löcherkonzentration,
d.h. EF liegt knapp über Ei) und starker Inversion (Elektronenkonzentration grösser als
Akzeptorkonzentration).
Schwache Inversion
EF und Ei kreuzen sich, d.h. an der Halbleiter-Oxid
Grenzfläche ist die Elektronendichte grösser als die
Löcherdichte
Starke Inversion
Die Elektronenkonzentration übersteigt die Akzeptorkonzentration
Setzt man als Kriterium für den Beginn der starken Inversion die Elektronenkonzentration
gleich der Akzeptorkonzentration, so beginnt das Regime der starken Inversion, wenn die
Fermienergie EF an der Oberläche genausoweit über Ei liegt wie EF im neutralen Bereich
unter Ei.
⎛ E − EF ⎞
Im neutralen Bereich ist: N A = p = ni exp⎜ i
⎟
⎝ kT ⎠
Das Potential ΨS an der Oxid-Halbleitergrenzfläche daher zu:
Ψs (inv) = 2ΨB = 2( Ei − E F . ) =
2kT ⎛ N A ⎞
⎟⎟
ln⎜⎜
e
⎝ ni ⎠
Im Bereich der starken Inversion bleibt die Breite der Verarmungszone Wm konstant, da das
Gatepotential von der Inversionsschicht abgeschirmt wird. Die Breite der Verarmungsschicht
- 121 -
errechnet sich analog zur Breite der Verarmungszone im pn Übergang durch Integration der
Poissongleichung zu: Wm =
2ε 0ε r , s Ψs (inv)
eN A
=2
⎛ NA ⎞
⎟⎟
n
⎝ i ⎠
ε 0ε r , s kT ln⎜⎜
e2 N A
εr,s ist die relative Dielektrizitätskonstande des Halbleiters
Banddiagramm für den Beginn der starken
Inversion: ΨS= 2ΨB
Verteilung der Ladungsdichte
Elektrisches Feld
Potential
Die gesamte Flächenladungsdichte im Halbleiter ist die Summe aus der Ladung der
Inversionsschicht und der Ladung der ionisierten Akzeptoren:
⎛N ⎞
Qs = Qn − eN AWm = Qn − 2 ε 0ε r , s kTN A ln⎜⎜ A ⎟⎟
⎝ ni ⎠
Die Spannung zwischen Gate und Halbleiter, ab der starke Inversion auftritt, nennt man
Schwellenspannung (threshold voltage) VT. Der Spannung zwischen Gate und Halbleiter ist
die Summe aus der Potentialdifferenz über dem Oxid VO und der Potentialdifferenz zwischen
der Oxid-Halbleiter Grenzfläche und dem neutralen Bereich ΨS: VG=VO + ΨS
VT kann aus der Flächenladungsdichte im Halbleiter und der Kapazität pro Fläche der
Oxidschicht CO berechnet werden:
- 122 -
VO =
Qs d
ε 0ε r ,ox
=
Qs
CO
εr,ox – ist die relative Dielektrizitätskonstante des Oxids
Bei Beginn der starken Inversion ist die Ladung im Halbleiter durch die Ladung der
Verarmungszone dominiert, für die Berechnung der Inversionsspannung nähert man daher:
QS=-eNAW
Für VT ergibt sich dann:
VT = VO + ΨS (inv) =
Qs
CO
+ ΨS (inv) =
2ε 0ε r , s eN A (2ΨB )d
ε 0ε r ,Ox
+ 2ΨB
9.10 Aufbau eines MOSFETS
Beim MOSFET besteht im Gegensatz zum JFET keine leitende Verbindung zwischen Gate
und Halbleitermaterial.
Ohne Gatespannung sperrt einer der beiden pn Übergänge auf dem Weg zwischen Drain und
Source, es fliesst daher nur ein (kleiner) Sperrstrom.
Durch Anlegen einer genügend hohen Sperrspannung kann der ein Kanal unter dem Gate
invertiert werden, der Transistor schaltet durch.
- 123 -
9.11 Funktionsprinzip
Genau wie beim JFET kann auch beim MOSFET der Widerstand des Kanals über die
Gatespannung gesteuert werden. Für kleine Drain-Source Spannungen zeigt der MOSFET
ohmsches Verhalten (steuerbarer Widerstand), bei grösseren Spannungen schnürt der Kanal
unter dem Gate ab und der Drainstrom wird konstant ID = ID,sat.
Linearer Bereich
RDS = const.
Sättigungspunkt
xinv-> 0 für y = L
ID = ID,sat
Sättigungsbereich
L nimmt ab, aber
Spannung bei y = L’
bleibt unverändert
ID = ID,sat
Im linearen Bereich ist der Kanal vollkommen durchgeschaltet (VG > VT) und eine geringe
Spannungserhöhung von VD ändert nichts am Kanalwiderstand, bzw. am Source-Drain
Widerstand.
Ab einer bestimmten Drain-Spannung wird die Weite der Inversionsschicht am Ort y = L auf
0 reduziert, der Kanal schnürt ab (‚pinch-off’).
Eine weitere Erhöhung der Drain-Spannung verschiebt nur den Abschnürpunkt nach links.
Die Spannung am Abschnürpunkt bleibt aber unverändert. → Der Strom sättigt
- 124 -
9.12 Strom-Spannungskennlinie
Querschnitt durch einen
MOSFET
Kanalbereich
Potential entlang
des Kanals
Die Berechnung der Strom-Spannungskennlinie im linearen Bereich erfolgt analog zum JFET,
nur dass sich beim MOSFET nicht die Breite des leitfähigen Kanals zwischen Drain und
Source ändert, sondern die Flächenladungsdichte.
Wir müssen daher die Flächenladungsdichte im invertierten Kanal Qn als Funktion der
Position berechnen. Wir betrachten dazu zunächst die gesamte Flächenladungsdichte im
Halbleiter. Auch diese ist ortsabhängig, da die Source-Drain Spannung entlang des Kanals
abfällt:
Qs ( y ) = −[VG − ΨS ( y )]C0
Wobei ΨS(y) das Oberflächenpotential am Punkt y und C0 die Kapazität pro Fläche zwischen
Gate und Kanal ist.
Die Ladungsdichte im Kanal ist die Differenz aus der gesamten Ladungsdichte QS und der
Ladungsdichte der Verarmungszone QSC :
Qn ( y ) = QS ( y ) − QSC ( y ) = −[VG − ΨS ( y )]C0 − QSC ( y )
- 125 -
Unter Inversion ist das Potential Ψs,inv an der Oxid-Halbleitergrenzfläche in guter Näherung
gleich 2ΨB+V(y), wobei V(y) das Potential zwischen dem Punkt y und Source ist.
Für die Flächenladungsdichte Qsc in der Verarmungszone erhält man:
Qsc ( y ) = −eN AWm = − 2ε 0ε r , S eN A (2ΨB + V ( y ))
durch Einsetzen von Wm =
2ε 0ε r , s Ψs ,inv
eN A
Damit wird die Flächenladungsdichte des invertierten Kanals:
Qn ( y ) = −[VG − V ( y ) − 2ΨB ]C0 + 2ε 0ε r , s eN A (2ΨB + V ( y ))
Die Leitfähigkeit des Kanals an der Stelle x, y, z gegeben durch:
σ ( x, y, z ) = en( x, y, z ) µ n ( x, y, z )
Die Beweglichkeit wird als konstant angenommen, aber die Elektronenkonzentation hängt
vom Abstand zum Oxid x und von der Position im Kanal y ab. Wir integrieren über die
gesamte Ausdehnung der Inversionschicht und erhalten für die Leitfähigkeit des Kanals pro
Länge an der Stelle y:
Z xinv
xinv
0 0
0
g ( y ) = ∫ ∫ σ ( x, y, z )dxdz = Zeµ n ∫ n( x, y )dx
Das Integral enspricht der Flächenladungsdichte Qn(y) im invertierten Kanal, man kann daher
vereinfachen: g ( y ) = Zµ n Qn ( y )
Der differentielle Widerstand des Kanals an der Stelle y und entlang der Strecke dy ist damit:
dR( y ) =
dy
dy
=
g ( y ) Zµ n Qn ( y )
Der Spanngsabfall entlang der Strecke dy ist damit: dV ( y ) = I D dR( y ) =
I D dy
Zµ n Qn ( y )
Integration über die Länge L des Kanals liefert genau wie beim JFET den Drainstrom als
VD
L
I D dy
Funktion der Drainspannung: ∫ dV = ∫
dy
Z
Q
y
µ
(
)
n
n
o
o
Einsetzen von Qn ( y ) = −[VG − V ( y ) − 2ΨB ]C0 + 2ε 0ε r , s eN A (2ΨB + V ( y )) und Integration
liefert schliesslich:
ID =
⎛⎛
V ⎞
2 2ε 0ε r , s eN A
Z
(VD + 2ΨB )3 / 2 − (2ΨB )3 / 2
µ n C0 ⎜ ⎜VG − 2ΨB − D ⎟VD −
⎜
2 ⎠
3
C0
L
⎝⎝
[
- 126 -
⎞
]⎟⎟
⎠
a) Näherung für den linearen Bereich
Für kleine Drainspannungen kann man eine lineare Näherung durchführen und erhält:
ID =
Z
µ n C0 (VG − VT )VD
L
für VD<<(VG-VT)
VT war die Schwellenspannung (threshold voltage) des Transistors:
VT =
2ε 0ε r , s eN A (2ΨB )
C0
+ 2ΨB
Der Ausgangsleitwert ist definiert als die Änderung des Drainstroms bei Änderung der
∂I
Z
= µ n C0 (VG − VT )
gD = D
Drain-Source Spannung:
∂VD V =const L
G
Die Steilheit des Transistors ist definiert als die Änderung des Drainstroms bei Änderung der
∂I
Z
= µ nC0VD
gm = D
Gatespannung:
∂VG V =const L
D
b) Sättigung
Bei Erhöhung der Drainspannung verkleinert sich die Potentialdifferenz zwischen dem Gate
und dem Kanal. Schliesslich wird die Ladungsdichte der Inversionsschicht Qn am Punkt y=L
gleich Null. Dieser Punkt wird (genau wie beim JFET) Abschnürpunkt (pinch-off) genannt.
Ab diesem Punkt steigt der Widerstand des Kanals mit steigender Source-Drain Spannung
und der Strom bleibt konstant (Sättigungsbereich).
Unter der Bedingung, dass Qn (L) = 0 wird, erhält man für die Sättigungsspannung:
⎛
2V
VD , sat = VG − 2ΨB + K 2 ⎜⎜1 − 1 + G2
K
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
mit
K2 =
ε 0ε r , S eN A
C0
Der Sättigungsstrom ergibt sich durch Einsetzen in die Formel für die Kennlinie:
⎛ Zµ C ⎞
2
I D , sat = ⎜ n 0 ⎟(VG − VT )
⎝ 2L ⎠
Im Bereich der Sättigung ist der Ausgangsleitwert eines idealen MOSFETs gleich Null
(Strom ist konstant), und die Steilheit ist gegeben durch:
Zµ ε ε
∂I
= n o r ,ox (VG − VT )
gm = D
∂VG V =const
dL
D
- 127 -
Kennlinienfeld eines MOSFETs
- 128 -
9. 13 FET Typen
JFET: nur selbstleitend (Kanal leitet bei UG = 0V)
MOSFET: selbstleitend (Kanal leitet bei UG = 0V) und selbstsperrend (Kanal sperrt bei UG =
0V)
Bei JFET ist nur ein eine Polarität der Gatespannung (positiv für p-Kanal, negativ für n-Kanal)
möglich, da sonst Diode zwischen Gate und Kanal leitfähig wird.
Beim MOSFET sind beide Polaritäten möglich (Oxidschicht zwischen Gate und Kanal).
- 129 -
9.14 Kennlinienvergleich JEFT – MOSFET
n-Kanal Sperrschicht-FET (BFW 11, Valvo)
n-Kanal MOSFET (BFS 28, Valvo)
Die Kennlinien eines JFETs und MOSFETs zeigen vergleichbares Verhalten.
Im Unterschied zu Bipolartransistoren nimmt der Strom mit der Temperatur ab.
Ursache ist im wesentlichen die Abnahme der Beweglichkeit. FETs haben daher
keinen thermischen Durchbruch.
- 130 -
9.15 Einstellen der Einsatzspannung
Die Einsatzspannung UE kann durch feste Ladungen im Gate-Oxid oder
Implantation von Dotierung in den Kanal auf negative (selbstleitend, depletion)
und positive Werte (selbstsperrend, enhancement) eingestellt werden.
Die rechte Auftragungsart der Steuerkennlinie erlaubt durch den linearen
Zusammenhang die direkte Bestimmung von UE.
9.16 Si MOSFET Technologie
Typische Dimensionen eines MOSFETs
- 131 -
- 132 -
VMOS (vertical oder V-shaped grooved MOS)
Durch Ätzen von V- oder U-Nuten ([111]-Kristallrichtung) kann ein vertikaler
Gate-Kontakt hergestellt werden.
VMOS-Strukturen mit parallel geschalteten Kanälen können wesentlich höhere
Ströme steuern → Leistungsanwendungen
- 133 -
DMOS (double diffused MOS) und DIMOS (double implanted MOS)
Herstellung der Kanalzone durch unterschiedliche Diffusionstiefen
→ Kanallänge nicht durch Lithographie bestimmt
Kanallänge wird eingestellt durch unterschiedliche Ionenenergien bei der
Implantation. Die Maskierung erfolgt über das Poly-Si-Gate.
→ Sehr kurze Kanallängen möglich.
- 134 -
SIPMOS (symmetrical DIMOS)
HEXFET
- 135 -
Dünnschichttransistoren (TFT – thin film transistor)
Durch Abscheidung einer dünnen Poly-Siliziumschicht auf einem isolierendem
Substrat können FETs auch auf Fremdmaterialien aufgebracht werden.
Die Eigenschaften von einkristallinem Bauelementen können jedoch nicht
erreicht werden.
→ Anwendung z.B. bei Flüssigkristallanzeigen (TFT-Displays).
- 136 -
10. Integrierte Schaltkreise
Notwendig für Integration:
- passive Bauelemente (Widerstände, Kapazitäten, Induktivitäten)
- meist realisiert durch Transistorfunktionen
- 137 -
10.1 Integrierte Widerstände
Gesamtwiderstand R = R + 2R
0
K
Der Bahnwiderstand R ist im wesentlichen von der Schichteigenschaft
0
(Dotierungsprofil, Beweglichkeit) und der Geometrie ab.
Schichtwiderstand:
⎛ xj
⎞
⎜
rs = ∫ σ ( x)dx ⎟
⎜0
⎟
⎝
⎠
Bahnwiderstand:
1
R0 = rs
b
Typische Werte für r :
s
2-10 Ω/□ Basisdiffusionsschicht)
100-300 Ω/□ (Emitterdiffusionsschicht)
3-10 kΩ/□ (Basis-/Emitterzwischensch.)
- 138 -
−1
10.2 FET als Lastwiderstand
Ein Lastwiderstand kann durch die Transistorausgangsfunktion eines selbstleitenden oder
eines selbstsperrenden FETs simuliert werden. Allerdings ist der Einsatz nur in
Digitalschaltungen sinnvoll, da die Kennlinien stark nichtlinear sind.
Einsatz eines Last-FETs bei einem MOS-NAND-Gatters
mit zwei Eingängen (A, B)
und einem Ausgang Q.
Der Last-FET limitiert den Ausgangsstrom in Q
Die Schwellenspannung US für einen Inverter mit n
Eingängen wird über das Verhältnis L/W zwischen LastFET und Schalt-FETs eingestellt.
- 139 -
US =
U batt
( L / W ) Last
n( L / W ) Schalt
10.3 Kapazitäten
Basis-Kollektor Sperrschichtkapazität
Basis-Emitter Sperrschichtkapazität
MOS Kapazität
Basis-Kollektorkapazität: 10 nF/cm2, Umax = 20-100 V
Basis-Emitterkapazität: 50 nF/cm2, Umax = 5-10 V
MOS-Kapazität: 35 nF/cm2, Umax hoch
- 140 -
10.4 Prozesstechnologie für integrierte Schaltungen
Isolationstechniken: pn Übergänge
SBC (standard buried collector) Prozess zur Integration von Bipolartransistoren
- 141 -
Parasitäre Effekte
Die zur Isolation verwendeten pn Übergänge
können zur Ausbildung von unerwünschten
Dioden (1, 2) und Transistorfunktionen
führen.
Oxidisolation
Ätzen eines
Isolationsrahmens
SiO -Isolation bis
2
ins p-Substrat
Draufsicht
- 142 -
Logikfamilien
Integrierte Injektionslogik
Logikzustand über Stromfluss codiert: Logisch 0: I ≈ 0,
Logisch 1: I = I
0
2
I L-Schaltungen lassen sich kompatibel zu Bipolar-Prozesstechnologie
herstellen.
Da keine zusätzlichen Serienwiderstände notwendig sind und der Stromfluss im
2
wesentlichen vertikal stattfindet, ist I L sehr platzsparend.
Leistungsverbrauch typisch 200 µW/Gatter bei 1 V Schaltspannung.
Nachteil: Bipolare Transistoren können nicht beliebig klein gebaut werden,
daher Limitierung der maximalen Integrationsdichte
- 143 -
I2L-NOR-Gatter mit
den beiden Eingängen
A, B und Ausgang Q.
Der Injektortransistor
ist zentral als
Streifenkontakt
ausgeführt
I2L Schaltung mit Mehrfachkollektor, um homogenes Emitterpotential zu
ermöglichen.
- 144 -
Complementary MOS (CMOS)
Kombination von n-MOS und p-MOS Transistoren
n-MOS Inverter
Übertragungsfunktion
Schalttransistor A
Lasttransistor B
CMOS Inverter
Übertragungsfunktion
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Stromfluss im CMOS Inverter
Beim CMOS – Inverter sperrt in beiden Zuständen jeweils ein Transistor
-> Nur kurzzeitiger Stromfluss beim Umladen der Gates
-> Verlustleistung proportional zur Taktfrequenz
Vergleich der Leistungs-Schaltzeitprodukte für die
verschiedenen Logikfamilien
- 146 -
Herstellung eines CMOS Inverters
Bei dieser p-Wannen-methode entsteht ein parasitärer p+npn+-Thyristor.
Dieser Thyristor kann im ungünstigen Fall zünden und bewirkt einen
sogenannten "Latch-up"-Effekt.
- 147 -