dielektrika - Fakult at f ur Physik

Kapitel 6
DIELEKTRIKA
6.1
Dielektrika im elektrischen Feld
Ein Leiter ist dadurch ausgezeichnet, dass sich in ihm Ladungen frei bewegen, deshalb herrscht im Inneren eines Leiter kein Feld (jedenfalls solange kein
Strom fließt). Dielektrika hingegen sind Isolatoren, Ladungsträger sind nicht
frei verschiebbar. Möglich ist aber eine Polarisation mikroskopischer Einheiten
des Materials. Mit Polarisation bezeichnet man die Verschiebung der Ladungsschwerpunkte in einem Atom oder Molekül typischerweise um einen Bruchteil
der atomaren Abmessungen.
Im Folgenden besprechen wir eine Beobachtung von Faraday: Die an einem
Kondensator anliegende Spannung sinkt, wenn ein Isolator in den Plattenkondensator eingebracht wird. Diese Beobachtung macht man auch, wenn ein Leiter
eingebracht wird (ohne dass die Kondensatorplatten dabei kurzgeschlossen werden). Für die Kapazität eines Plattenkondensators (Abstand d, Plattenfläche
A) gilt
C = !0
A
d
(6.1)
Die Ladung an jeder Kondensatorplatte ist:
Q=CU.
(6.2)
Wenn sich die Ladung beim Einbringen des Isolators nicht verändert hat,1 dann
muss die Kapazität steigen, wenn die Spannung sinkt! Da die Spannung sinkt,
muss das Wegintegral des elektrischen Feldes
U=
!
" · d"s
E
(6.3)
zwischen den Platten kleiner geworden sein.
1 Wir nehmen hier an, dass keine Ladungsträger von den Kondensatorplatten auf den eingebrachten Gegenstand springen.
45
46
KAPITEL 6. DIELEKTRIKA
• Im Vakuum gilt für den Kondensator
U=
1 Q
Q
=
d
C
!0 A
(6.4)
• Jetzt bringen wir eine metallische
Platte der Dicke b in das Kondensatorvolumen ein. Da die Leiteroberfläche eine Äquipotentialfläche ist
gilt
U=
1 Q
(d − b)
!0 A
!
(6.5)
Damit ist die Kapazität dieser Anordnung
C = !0
A
1
d 1 − b/d
!
"
(6.6)
wobei b/d der Bruchteil des Kondensatorvolumens ist, der durch den Leiter ausgefüllt wird.
• Wird das Kondensatorvolumen von
einem Isolator gänzlich ausfüllt, gilt
"
A
C = ! !0
d
(6.7)
wobei ! eine charakteristische Größe
des Isolators ist, wobei im allgemeinen gilt, dass
!
!
! > 1.
Wie wird das Feld reduziert, wie wird die Kapazität erhöht?
Modellvorstellung :
Der Isolator besteht aus kleinen, polarisierbaren Kugeln. Damit entstehen Restladungen an der Oberfläche der Kugeln und
ein dem äußeren Feld entgegengesetztes Feld
zwischen den Kugeln. Die Polarisationsladungen an der Isolatoroberfläche und im Inneren erzeugen ein Gegenfeld, das die Kondensatorspannung reduziert.
!
#
47
6.2. DIELEKTRISCHE POLARISATION
Der Fluß des Feldes ist proportional zur
" ·E
" = ρ/!0 ).
eingeschlossenen Ladung (∇
Dazu betrachten wir die Oberfläche S: Zu
" kommt es, wenn die
einer Reduktion von E
Nettoladung im Inneren von S in Anwesenheit des Isolators kleiner ist im Vakuumfall.
Da wir die Ladungen an der Kondensatorfläche nicht verändert haben, müssen positive Ladungen an der Oberfläche des Materials vorliegen. Entgegengesetztes gilt an
einer Oberfläche, welche die andere Kondensatorplatte einschliesst.
6.2
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!
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!
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!
/0 ' (* 1' #
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!
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Dielektrische Polarisation
Damit bezeichnen wir die Trennung der
Ladungen q im Atom um eine Distanz z.
Liegen N Atome pro Volumseinheit vor,
dann ist das Dipolmoment pro Volumseinheit:
"
!
" #$ #! #%#&
!
P" = N q "z = N p"
Im Inneren des Isolators schirmen sich die
Ladungen der Dipole gegenseitig ab.
Damit verbleibt eine Flächenladungsdichte
σpol , z. B. auf der oberen Fläche
σpol =
!
" #$ #! #%#&
Qpol
N qzA
=
= N q z = N · |"
p| = |P" |
A
A
(6.8)
wobei P" die vom äußeren Feld induzierte Polarisation angibt. Diese Polarisationsladung ist unabhängig vom Volumen des Dielektrikums. Die Richtung des
Polarisationsvektors ist durch p" festgelegt, der Betrag von P" ist gleich der
Ladungsdichte an der Oberfläche σpol . Bei kleinen Feldstärken reicht der
" ist und die induzierte
lineare Ansatz, dass die Auslenkung z proportional zu E
" zeigt:2
Polarisation in die Richtung von E
" diel .
P" = χ !0 E
(6.9)
Dabei ist χ die dielektrische Suszeptibilität
χ=Nα
1
,
!0
(6.10)
"
wobei α die Polarisierbarkeit eines Atoms (Moleküls) angibt ("
p = α E).
2 Abweichungen zu diesem linearen Ansatz werden in starken Laserfeldern leicht beobachtet
und sind Gegenstand der sogenannten Nichtlinearen Optik.
48
KAPITEL 6. DIELEKTRIKA
In einem Leiter in einem homogenen Feld verschiebt sich die Ladung, bis das
Gegenfeld das äußere Feld vollständig kompensiert ist (Influenz). Für einen Isolator kompensieren die Oberflächenladungen nur teilweise das äußere Feld (die
Ladungen sind nicht beliebig verschiebbar). Im Inneren des Isolators hingegen
kompensieren sich in einem homogenen Feld die Polarisationsladungen.
Im leeren Kondensator gilt
für die Feldstärke
σf rei
Evac =
!0
Im Dielektrikum verringert sich
die Feldstärke
Ediel =
σf rei + σpol
σf rei − P
=
!0
!0
Damit haben wir
"
" diel = E
" vac − P = E
" vac − χ E
" diel
E
!0
(6.11)
Für die Feldstärke im Vakuum erhalten wir
" vac = (1 + χ) E
" diel = ! E
" diel
E
(6.12)
wobei ! = 1 + χ die Dielektrizitätskonstante des Materials ist. Die Dielektrizitätskonstante ist dimensionslos.
Beim Einbringen eines Isolators in einen Kondensator verringert sich (bei
konstanter Ladung auf den Kondensatorplatten) die Potentialdifferenz am Kondensator um den Faktor !. Damit gilt
Eohne
Cmit
=
=!
Cohne
Emit
(6.13)
Typische Größen für ! sind !Luf t ≈ 1, !H2 O ≈ 80, !SrT iO3 ≈ 12000. Daraus ist
ersichtlich, dass sich die Kapazität eines Kondensators durch Einbringen eines
geeigneten Dielektrikums in den Kondensatorspalt gewaltig steigern lässt.
Liegt die Grenzfläche zwischen Dielektrikum und Vakuum senkrecht zum
äußeren Feld, dann macht die elektrische Feldstärke einen Sprung von Evac
zu Ediel = Evac /!. Dieser Sprung entspricht gerade der an der Grenzfläche
vorliegenden Flächenladungsdichte
Evac − Ediel = Evac −
Evac
σpol
=
!
!0
In einem homogenen Feld kompensieren sich die positiven und negativen Polarisationsladungen im Inneren des Isolators. Nur an der Oberfläche des Isolators
treten unkompensierte Polarisationsladungen auf.
49
6.3. FELDER AN GRENZFLÄCHEN
6.3
Felder an Grenzflächen
Wir betrachten eine Grenzfläche zwischen
Vakuum (! = 1) und einem Dielektrikum
(! > 1) und werten das Linienintegral entlang des Weges ABCDA aus, wobei wir
den Weg BC und DA gegen Null gehen
lassen.
! D
! B
"
" · d"s =
E||diel dsCD
E
E||vac dsAB +
A
% !&
'( )
! !" !#
- '( )
& 1
.
/
0
& 1
! !$ !#
2 + ,
% !*
+ ,
C
" E
" = 0 und weil d"sAB = −d"sCD
Wegen ∇×
ist, gilt
E||vac = E||diel
(6.14)
vac
diel
E⊥
= ! E⊥
(6.15)
Da im Dielektrikum das elektrische Feld um den Betrag ! geschwächt ist, gilt
Brechungsgesetz:
Ein elektrisches Feld trifft unter dem Winkel α auf die Grenzfläche vom Vakuum
kommend auf das Dielektrikum. Im Dielektrikum beträgt der Winkel mit der
Grenzflächennormalen β.
Aus den Beziehungen
tanα
tanβ
vac
= E||vac /E⊥
diel
= E||diel /E⊥
6.4
&' (
% &' (
"
,
ergibt sich mit den Gleichungen 6.14 und
6.15 als Gesetzmäßigkeit zwischen Einfallswinkel und Ausfallswinkel als
tanβ = ! tanα
!.
,
! !" !#
!-*
+
,
#
$ ,
! !$ !#
! . &' (
!-*+
) * +
,
!
- * +
(6.16)
Elektrische Verschiebung
Im allgemeinen Fall sind das äußere Feld und damit die Polarisation im Dielektrikum nicht räumlich konstant. Für ein inhomogenes Feld ändert sich die
Polarisation P" im Inneren des Dielektrikums. In diesem Fall verbleibt in einem
Volumen ∆V (über das sich die Polarisation ändert) eine Überschussladung
∆Qpol . Diese Überschussladung beschreiben wir durch eine räumliche Dichte
von Polarisationsladung ρpol .
" sei ein Oberflächenelement innerhalb
! "
dS
des Dielektrikums. Wieviel Polarisations#
" (wie viel Polarisaladung tritt durch dS
" verschoben)?
tionsladung wird durch dS
Diese Ladung ist gleich der Normalkompo"
nente, P" · dS.
50
KAPITEL 6. DIELEKTRIKA
#
"
Aus einem geschlossenen Volumen V entkommt so die Ladungsmenge P" · dS
Die aus diesem Volumen verschobene Ladungsmenge bewirkt im Volumen einen
Ladungsüberschuss entgegengesetzten Vorzeichens:
"
!
"
ρpol · dV = − P" · dS
∆Qpol =
(6.17)
V
Neben diesen Polarisationsladungen gibt es aber grundsätzlich auch die Möglichkeit, dass im Dielektrikum freie Ladungen existieren. Diese Ladungsdichte charakterisieren wir mit ρf rei . Insgesamt gibt es also die Ladungsdichte
ρ = ρf rei + ρpol
(6.18)
Für diese Dichte aller Ladungen beschreibt die 1. Maxwell Gleichung die elektrische Feldstärke im Dielektrikum als
" ·E
" diel = ρ = 1 (ρf rei + ρpol ) .
∇
!0
!0
(6.19)
Mit dem Gauß’schen Satz beschreiben wir die Feldstärke als
!
!
"
1
1
"
"
ρf rei dV +
ρpol dV
Ediel · dS =
!0 V
!0 V
!
"
1
1
"
=
ρf rei dV −
P" · dS
!0 V
!0
Wir multiplizieren mit !0 und bringen den Polarisationsterm auf die linke Seite
" $
!
%
"
"
"
!0 Ediel + P · dS =
ρf rei dV
(6.20)
V
"
Mit der Definition einer neuen Größe, der elektrischen Verschiebung D
"
D
" diel + P" = (1 + χ) !0 E
" diel
= !0 E
" diel
= ! !0 E
(6.21)
erhalten wir einen Zusammenhang zwischen der Verschiebung und der freien
Ladungsträgerdichte als
!
"
" · dS
"=
D
ρf rei dV
(6.22)
V
bzw. die 1. Maxwell Gleichung in allgemeiner Form
" ·D
" = ρf rei
∇
(6.23)
Zuzüglich gilt in der Elektrostatik für jede geschlossene Kurve C die Wirbelfreiheit der elektrischen Feldstärke (sowohl im Dielektrikum als auch im Vakuum)
" ×E
" =0
∇
(6.24)
" und D
" nicht parallel, da
In Materie sind im Allgemeinen die Richtungen von E
" ist gleich der
die Suszeptibilität ! Tensorcharakter hat. Die Dimension von D
einer Ladungsdichte
D = !!0 E]
[
As V
As
C
] = [ 2] = [ 2]
V mm
m
m
51
6.5. DIMENSIONSBETRACHUNGEN
6.5
Dimensionsbetrachungen
Das Dipolmoment pro Volumseinheit
P" = N q "z = N p"
[
Cm
C
] = [ 2]
3
m
m
ist dem Betrag nach gleich der Flächenladungsdichte σpol
σpol =
Qpol
= N q z = N · |"
p|
A
[
C
]
m2
und hat auch die gleiche Dimension wie die mit der allgemeine Dielektrizittskonstante multiplizierten elektrischen Feldstärke
"
!0 E
[
C
As V
] = [ 2]
V mm
m
wobei !0 die Dielektrizitätskonstante des Vakuums ist (auch Permittivität des
Vakuums genannt).
Das in einem einzelnen Atom (oder Molekül) durch ein äußeres elektrisches
Feld induzierte Dipolmoment p" beschreibt man mit dem Ansatz
"
p" = αE
[C m]
wobei α die Polarisierbarkeit ist mit der Dimension
[α] =
[
Cm2
]
V
Als Polarisierbarkeit bezeichnet man häufig auch die Größe
[
V m Cm2
α
]=[
] = [m3 ]
4π!0
As V
mit der Einheit eines Volumens. Typisch liegen Polarisierbarkeiten von Atomen
3
3
im Bereich von einigen Å (1 Å = 10−24 cm3 = 10−30 m3 ). Multipliziert man
diesen Ausdruck mit der Atomdichte erhält man die dimensionslose Zahl χ , die
Suszeptibilität genannt wird.
χ=Nα
1
!0
wobei 1 + χ = ! die materialspezifische Dielektrizitätskonstante (relative Permittivität) genannt wird. Die elektrische Verschiebung hat ebenfalls die dieselbe
"
Dimension wie σpol , P" und !0 E
" = ! !0 E
"
D
[
C
]
m2
Als Einheit für das Dipolment hat man früher (im CGS Masssystem) die
Einheit Debye geführt. Die Umrechnung ist
1 [Debye] = 3.33 × 10−30 [C m]
Dies entspricht einem Dipol, gebildet aus zwei entgegengesetzten Elementarladungen (q = 1.6 × 10−19 C) im Abstand von 0.02 nm.
52
6.6
KAPITEL 6. DIELEKTRIKA
Elektrostatik in Natur und Technik
Kraftwirkung auf Papierschnitzel in der Nähe eines geladenen Stabes
Das Papierschnitzel ist vorher neutral und trägt keine Nettoladung. Eine Kraftwirkung ist nur beobachtbar, wenn das elektrische Feld inhomogen ist. Die induzierten Polarisationsladungen am Papier sind proportional zur lokalen Feldstärke.
Die lokale Kraftwirkung auf die Polarisationsladun!
gen ist proportional zu diesem Feld. Wenn sich das
Feld über die Größe des Objektes ändert, dann
folgt aus den unterschiedlichen Polarisationsladungen, dass eine Nettokraft in Richtung des geladenenen Stabes resultiert. Die elektrostatische Kraft ist
proportional zum Gradienten des elektrische Feldes.
Reibungselektrizität Elektronen gehen von einem Matrial auf das andere
über. Die Richtung ist von der relativen Elektronenaffinität abhängig. (Extreme
Werte der Austrittsarbeit: Cs 2.0 eV, Pt 5.6 eV).
Elektrischer Durchbruch (Breakdown)
Eine Oberfläche mit einem spitzen Ende führt
nach Aufladung bevorzugt zur Funkenentladung.
Näherung: Eine große Kugel (Radius R) und eine
kleine(Radius r) werden mit einem Draht verbunden. Damit liegen beide Kugeln auf gleichem Potential, tragen aber unterschiedlich große Ladungen (Q
und q). Die Potentiale sind
φr = fc
q
r
und
φR = fc
! " #$" %
Q
R
Wegen φr = φR ist Q/q = R/r. Das Feld ist in der Umgebung der Kugeloberfläche ist proportional zur lokalen Oberflächenladungsdichte
E∝
σ
.
!0
Damit sind die Felder invers proportional zu den Radien der Kugeln
q/4πr2
Er
R
∝
=
2
ER
Q/4πR
r
Überschreitet die Feldstärke einen kritischen Wert, dann werden lokal in der
Luft vorhandene Ladungsträger beschleunigt und bilden über Stoßionisation
N2 + e → N2+ + 2e
Elektronenlawinen. Die Leuchterscheinung erfolgt, da neben der Ionisation auch
elektronische Anregung stattfindet, die in Folge zur Photonenemission führt
N2 + e →
N2∗ + e
*→ N2 + hν
53
6.6. ELEKTROSTATIK IN NATUR UND TECHNIK
Feldemissionsmikroskop
Eine metallische Spitze mit etwa 100 nm Radius erzeugt ein lokales Feld bis 108 V/cm.
Elektronen werden aus der Spitze heraus gesaugt (Tunneleffekt) und bilden das Emissionsvermögen der Spitze am Phosphorschirm
ab. Die Abbildung der kleinen Spitze (Radius r) auf den großen Phosphorschirm (Radius R = 5 cm) führt zu einer Vergrösserung
um den Faktor G = R/r = 5 × 105 . Damit
entspricht einem Abstand von 1 mm am Bildschirm eine Größe von 2 nm auf der Spitze.
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3 45 (
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Wegen Beugung und der breiten Verteilung der Startgeschwindigkeit der Elektronen wird aber keine atomare Aufösung erreicht. Dies erreicht man nach Umpolen und einer Füllung mit Helium:
Ein He Atom kommt zufällig in die Nähe der Spitze, die Spitze zieht dem
He Atom ein Elektron heraus. He+ fliegt auf den Phosphorschirm. Beugungseffekte und Verschmierung durch die Anfangsverteilung sind beim vergleichsweise
schweren He-Atom kleiner als bei Elektronen. Man erreicht atomare Auflösung.
Das Bild am Phosphorschirm zeigt die räumliche Verteilung der Wahrscheinlichkeit, mit der dem Heliumatom in der Umgebung der Spitze ein Elektron
entrissen wird.
Rastertunnelmikroskop
Wie im Feldemissionsmikroskop spielt auch hier der quantenmechanische Tunneleffekt die wesentliche Rolle.
Bei genügender Annäherung zwischen einer
Metallspitze und einer leitenden Oberfläche
kommt im Falle einer Potentialdifferenz zwischen beiden ein Stromfluss zustande, ohne
dass sich die Leiter berühren. Der Strom steigt
bei Annäherung exponentiell an und ist ein
Maß für den Abstand von der Oberfläche. Rastern der Tunnelspitze parallel zur Oberfläche
führt je nach Oberflächenbeschaffeneheit zu
einer Änderung des Tunnelstroms. Fährt man
piezomechanisch den Abstand nach um konstanten Strom zu einzustellen, erhält man aus
dem Piezosignal ein Abbild der Oberfläche.
Damit ist atomare Ortsauflösung erreichbar.
54
KAPITEL 6. DIELEKTRIKA
Flüssig-Metallionenquelle
Ein kleiner flüssiger Metalltropfen wird einem Feld der Grössenorndung von
103 V /cm ausgesetzt. Das Gleichgewicht zwischen Oberflächenspannung und
elektrostatischer Anziehung führt zur Bildung eines Konus auf der Tropfenoberfläche mit einem Krümmungsradius im Bereich von 100 Å.
Auf Grund der hohen lokalen Feldstärke
kommt es zur Feldemission von Ionen. Tech/ ) 0
nische Anwendung zur Feinsteuerung von Satelliten (gezielter elektrisch kontrollierbarer
Schub). Anwendung in der Ionenlithographie,
da dieser Ionenstrahl auf Grund der sehr klei!"# $ $ %
nen Fläche der Quelle sehr scharf fokussiert
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, - .
werden kann (Satz von Liouville: Das Volumen eines beliebigen Gebietes im Phasenraum
* ) + ' "
bleibt in der zeitlichen Entwicklung konstant)
Elektrisches Feld der Erde
An der Erdoberfläche ist das Feld typischerweise im Bereich von 100 V /m,
dabei ist die Erdoberfläche negativ geladen. Warum spüren wir das nicht?
Körperleitfähigkeit. Die Erde trägt eine mittlere Ladung von Q = −6 · 105 C.
Das Feld nimmt mit der Höhe ab, bei 50 km ist das Potential etwa 400000 V
relativ zur Erdoberfläche.
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Zur Abnahme kommt es wegen eine Ladungsträgerüberschußes von positiven
Ladungsträgern in der unteren Atmosphäre. Die positiven Ionen werden auf die
Erde beschleunigt. Gewitter bewirken, daß sich die Erde nicht entläd, etwa 100
Blitze pro Sekunde bringen negative Ladungen auf die Erde.
Leitfähigkeit der Luft: In Erdnähe liegen typisch 10 Ionenpaare pro cm3
vor. In ≈70 km Höhe (Ionosphäre) ist die Atmosphäre stark ionisiert durch die
Sonnen- und Höhenstrahlung (etwa 105 Ionenpaare pro cm3 ).
Erdradius: R = 6 · 105 m
Erdfeld: E = 130 V /m
Erdkapazität: C = 4π!0 R = 700 µF
damit lässt sich die Erdladung bestimmen: E = fc Q/R2 → Q = 6 · 105 C
Erdpotential: φ = Q/C = 7 · 108 V
55
6.6. ELEKTROSTATIK IN NATUR UND TECHNIK
Mechanismus der Ladungstrennung beim Gewitter: Wassertropfen fällt im
Feld von 100 V /m in Richtung Erde. Die Erde ist negativ geladen, die Unterseite des Tropfens ist positiv. Dieses Ende des Tropfens sammelt während des
Herunterfallens negative Ionen aus der Atmosphäre ein.
Elektrostatische Staubfilter
Negativ geladener Draht, Gasentladung, e− wandern nach außen und bilden
durch Anlagerung (Attachment) negative Ionen. Diese polarisieren Staubteilchen und ziehen sie an. Die Staubteilchen lagern sich an den negativen Ionen
an und werden zur Wand abgeführt.
Xerokopie
Von einem lichtelektrischen Halbeiter (im Dunkeln ist es ein Nichtleiter) wird
eine etwa 5 µm dicke Schicht permanent auf eine Walze aufgebracht. Eine positive Koronaentladung 5 kV erzeugt positive Ionen. Die Ionen laden Schicht
auf etwa +1 kV auf. Durch Influenz baut sich im Metall der Walze eine gleich
große Gegenladung auf. Nach lokaler Belichtung entstehen Ladungsträgerpaare
im Halbleiter, die abgelenkt werden und die Oberflächenladung neutralisieren.
Das Ladungsbild wird mit negativ geladenem Toner-Staub belegt und positiv
geladenes Papier zieht die Toner-Teilchen an.
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