Lösungsvorschlag zur Klausur vom 13.05.2011

Prof. Dr. Rüdiger Frey
Prof. Dr. Jochen Wolf
CERA - Klausur
Quantitative Methoden des ERM
13.05.2011
Hinweise:
• Als Hilfsmittel ist ein Taschenrechner zugelassen.
• Die Gesamtpunktzahl beträgt 120. Die Klausur ist bestanden, wenn mindestens 48 Punkte erreicht werden.
Aufgaben
1. Risikomaße, Komonotonie. (20 Punkte)
Die Zufallsgrößen X und Y seien komonoton. Die Verteilungsfunktion F von X lautet
0
; x<1
F (x) =
1 − x12 ; x ≥ 1.
Die Verteilungsfunktion G von Y lautet
G(y) =
0
1−
; y<1
y ≥ 1.
1
;
y3
a) (5 Punkte) Definieren Sie Komonotonie und geben Sie eine ökonomische Interpretation an.
b) (8 Punkte) Berechnen Sie Value
at Risk und Expected Shortfall von Y zum Niveau 0,999.
R1
1
(Erinnerung: ESα = 1−α
VaR
z (Y ) dz.)
α
c) (5 Punkte) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion H des Zufallsvektors (X, Y ).
d) (2 Punkte) Stellen Sie das obere partielle Moment 2. Ordnung von X + Y zur Schwelle 5
als Integral bezüglich der gemeinsamen Verteilungsfunktion H von (X, Y ) dar.
2. Risikomaße und multivariate Modellierung
(20 Punkte)
a) (10 Punkte) Zeigen Sie anhand eines selbstgewählten Beispiels, dass der Value at Risk im
Allgemeinen nicht subadditiv ist. Diskutieren Sie kurz die Relevanz der Subadditivität für
praktische Anwendungen.
0
b) (10 Punkte) Der Zufallsvektor X = (X1 , . . . , X
d ) sei multivariat normalverteilt. Sei M die
P
d
Menge aller Risikopositionen der Form L = i=1 λi Xi . Zeigen Sie, dass für α > 0.5 VaRα
kohärent ist auf M.
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3. Bayesianische Statistik. (15 Punkte) Seien X ∼ P ois(λ) und λ ∼ Gamma(2, 1).
Hinweis. Die Dichte der Gamma-Verteilung mit den Parametern α, β > 0 lautet
f (x) =
β α α−1
x
exp(−βx)1(0,∞) (x).
Γ(α)
a) (9 Punkte) Leiten Sie die a-posteriori Verteilung des Parameters und die Randverteilung
von X her.
b) (6 Punkte) Wir testen H0 : λ ≤ 1 gegen H1 : λ > 1. Geben Sie für die Beobachtung x = 1 die
a-posteriori Wahrscheinlichkeit für H0 und die Testentscheindung unter der gewichteten
0-1 Verlustfunktion an.
4. Copulas. (15)
a) (8 Punkte) Die bivariate Pareto-Verteilung hat die Überlebensfunktion
F̄ (x1 , x2 ) =
x
1
β1
+
−α
x2
+1
für x1 , x2 , α, β1 , β2 > 0 .
β2
Berechnen Sie die zugehörige Überlebenscopula Ĉ, d.h. die copula mit der Eigenschaft,
dass
F̄ (x1 , . . . , xd ) = Ĉ(F̄1 (x1 ), . . . , F̄d (xd )).
b) (7 Punkte) Definieren Sie für zwei Zufallsvariablen X1 and X2 mit stetiger Randverteilung
den Koeffizient der lower tail dependence λl . Begründen Sie, dass λl mit Hilfe der copula
von X1 und X2 ausgedrückt werden kann. Warum ist tail dependence potentiell wichtig
bei der Messung von Finanzrisiken?
5. Risk Integration. (18 Punkte) Betrachten Sie eine Versicherung mit zwei business lines
(Investment und underwriting), deren Verlust (negative P& L) durch die Zufallsvariablen Li ,
i = 1, 2 gegeben ist. Jede business line hat ein eigenes Risikomanagement-System und es sei
bekannt, dass L1 ∼ N (µ1 , σ12 ) und dass L2 ∼ LN (µ2 , σ22 ) (d.h. ln L2 ist N (µ2 , σ22 )-verteilt).
Allerdings gibt es kein firmenweites Risikomanagementmodell, so dass die Verteilung von L =
(L1 , L2 ) nicht bekannt ist.
a) (8 Punkte) ( Konstruieren Sie mit Hilfe der Gauss copula mit Parameter ρ ein konsistentes
Modell für die Verteilungsfunktion F von L und beschreiben Sie einen Algorithmus, um
Datenpunkte gemäß F zu simulieren.
b) (6 Punkte) Diskutieren Sie eine Methode zur Schätzung von ρ, falls Beobachtungen L1 , . . . , L10
aus den letzten 10 Jahren zur Verfügung stehen.
c) (4 Punkte) Führen Sie kurz einige Vor- und Nachteile des in a) und b) beschriebenen Ansatzes zur Risikoaggregation auf.
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P(3) (3,4)=1.0467
P(2) (2,4)=0.9941
P(2) (2,3)=0.9998
P(1) (1,4)=0.8569
P(1) (1,3)=0.9047
P(1) (1,2)=0.9525
P(0) (0,4)=0.6703
P(0) (0,3)=0.7408
P(0) (0,2)=0.8187
P(0) (0,1)=0.9048
P(2) (3,4)=0.9420
P(1) (2,4)=0.8052
P(1) (2,3)=0.8998
P(0) (1,4)=0.6247
P(0) (1,3)=0.7328
P(0) (1,2)=0.8572
P(1) (3,4)=0.8478
P(0) (2,4)=0.6523
P(0) (2,3)=0.8099
P(0) (3,4)=0.7630
6. Zinsmodelle. (14 Punkte) Betrachten Sie den obigen Baum der Diskontierungsfaktoren
P (i) (t, T ) in einem Ho-Lee-Modell, wobei der obere Index (i) die Anzahl der bisherigen Aufwärtsbewegungen und [t, T ] das Zeitintervall der Diskontierung angibt. Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit für eine Aufwärtsbewegung beträgt π = 0.5.
Berechnen Sie zum Zeitpunkt 0 den Preis eines Caplets mit Auszahlungszeitpunkt t = 3 und
Strike 0.10.
7. Kreditrisiko. (18 Punkte)
a) (10 Punkte) Beschreiben Sie die Modellierung des Konkurses einer Firma im Merton-Modell.
Zeigen Sie, dass sich der Preis einer Firmenanleihe als Preis eines ausfallfreien Bonds
abzüglich einer Put-Option darstellen lässt und bewerten Sie die Firmenanleihe mit der
Black-Scholes Formel. Wie wirkt sich eine Erhöhung der Volatilität des Firmenwerts auf
den Preis der Firmenanleihe aus? Diskutieren Sie ökonomische Implikationen.
b) (8 Punkte) Betrachten Sie ein einfaches Kreditrisikomodell in reduzierter Form mit konstanter Zinsrate r > 0 und konstanter hazard-rate γ > 0 (unter dem zur Bewertung
verwendeten risikoneutralen Maß Q. Geben Sie in Abhängigkeit von r und γ den Preis in
t = 0 einer ausfallbehafteten Anleihe mit Nennwert 1 an. Nehmen Sie dabei an, dass im
Fall eines Konkurses zum Zeitpunkt τ ≤ T ein Betrag von 0.5 direkt in τ an den Halter
der Anleihe ausgezahlt wird.
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Lösungen
1. Risikomaße, Komonotonie.
a) Zwei Zufallsvariablen X1 und X2 sind komonoton, falls es eine Zufallsvariable Z und wachsende Funktionen v1 , v2 mit Xi = vi (Z), i = 1, 2, gibt. Komonotonie stellt eine perfekte
Abhängigkeit dar; insbesondere ist bei komonotonen Risiken keine Diversifikation möglich.
b) Die Gleichung
1−
1
(VaR0,999 (Y ))3
= 0, 999
führt auf den Value at Risk VaR0,999 (Y ) = 10. Der Expected Shortfall ergibt sich zu
Z 1
1
ES0,999 (Y ) =
VaRz (Y ) dz
1 − 0, 999 0,999
1/3
Z 1 1
= 1000 ·
dz
0,999 1 − z
= 1500 · [−(1 − z)2/3 ]10,999
= 15.
c) Wegen der Komonotonie hat der Zufallsvektor (X, Y ) die Copula C(u, v) = min(u, v), so
dass wir die gemeinsame Verteilungsfunktion
1 − y13 ; x2 > y 3
H(x, y) = C(F (x), G(y)) =
1 − x12 ; x2 ≤ y 3
erhalten.
d) Das obere partielle Moment 2. Ordnung von X + Y zur Schwelle 5 ist gegeben durch
Z ∞Z ∞
UPM2,5 (X + Y ) =
(x + y − 5)2 · 1[5,∞) (x + y) dH(x, y).
1
1
2. Risikomaße, multivariate Modelle. a) Hier gibt es viele Möglichkeiten. Im folgenden
betrachten wir zwei ausfallbehaftete Anleihen mit unabhängigem default und identischer Ausfallwahrscheinlichkeit von p = 0.9%. Der heutige Preis der Anleihen sei gleich 100, der Nennwert
sei 105, und die recovery rate sei gleich Null. Sei Li der ‘Verlust’ (negative P&L) von Anleihe
i. Es gilt e
(
−(105 − 100) = −5 (no default, probability 1 − p = 0.991)
Li =
−(0 − 100) = 100
(default, probability p = 0.009) .
Setze α = 0.99. Es gilt P (Li < −5) = 0 und P (Li ≤ −5) = 0.991 > α und daher t VaRα (Li ) =
−5.
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Betrachte nun L = L1 + L2 , d.h. ein Portfolio das je eine Anleihe jeder Firma enthält. Wegen
der vorausgesetzten Unabhängigkeit der Ausfälle folgt


(no default, probability (1 − p)2 = 0.982)
−10
L = −(105 − 200) = 95 (exactly 1 default, probability 2p(1 − p) )


200
(2 defaults, probability p2 )
Insbesondere ist P (L ≤ −10) = 0.982 < 0.99 und P (L ≤ 95) > 0.99 und somit VaRα (L) = 95
Daher ist V aRα in diesem Beispiel nicht kohärent.
Subadditivität eines Risikomaßes ist insbesondere wesentlich wenn risk taker (Händler/underwriter)
gemäß risikoadjustierten Performance-Maßen bewertet werden und wenn gleichzeitig mit sehr
schiefen Verlustverteilungen operiert wird. Ein nicht-subadditives Maß kann in solchen Situationen zu ‘optimalen’ (aus Sicht des risk takers) Portfolien führen, die hohe Konzentrationsrisiken
aufweisen. Wichtig
Pd ist1 Subadditivität auch bei limit-Systemen.
2
b) Sei L1 =
j=1 λj Xj und analog für L2 , und sei L = L1 + L2 Es gilt Li ∼ N (µi , σi ) ,
2
i = 1, 2 und L ∼ N (µL , σL ) (hier verwendet man, dass Linearkombinationen von multivariat
normalverteilten Zufallsvariablen wieder multivariat normal sind). Es gilt offensichtlich µL =
µ1 + µ2 und
σL2 = σ12 + 2ρσ1 σ2 + σ22 ≤ (σ1 + σ2 )2
Hier bezeichnet ρ ∈ [−1, 1] die Korrelation zwischen L1 und L2 . Es folgt VaRα (Li ) = µi +
σi φ−1 (α) und somit wegen φ−1 (α) > 0 (da α > 0.5)
VaRα (L) = µL + σL φ−1 (α) ≤ µ1 + µ2 + (σ1 + σ2 )φ−1 (α) = VaRα (L1 ) + VaRα (L2 )
3. Bayesianische Statistik.
a) Wir rechnen jeweils modulo einer Konstanten und nutzen bei der Identifikation der Ergebnisse aus, dass eine Dichte entsteht. Wir bezeichnen die a-priori Dichte mit π(λ), die
Beobachtungsdichte mit f (x|λ), die Randverteilungsdichte mit m(x) sowie die a-posteriori
Dichte mit π(λ|x). Wir erhalten
f (x|λ)π(λ)
m(x)
∝ f (x|λ)π(λ)
π(λ|x) =
∝ λx exp(−λ)λ2−1 exp(−λ)
= λ1+x exp(−2λ)
22+x
∝
λ(2+x)−1 exp(−2λ)
Γ(2 + x)
Die a posteriori Verteilung ist also Gamma(2 + x, 2).
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Für die Randverteilung m(x) erhalten wir
m(x) =
=
=
f (x|λ)π(λ)
π(λ|x)
1 . 22+x
x!Γ(2) Γ(2 + x)
Γ(2 + x) 1 2+x
.
x!
2
b) Da λ|x a posteriori Gamma(2 + x, 2)-verteilt ist, erhalten wir
1
Z
π
P (λ ∈ H0 | x = 1) =
0
=
=
23 2
λ exp(−2λ) dλ
Γ(3)
Z
1 2 2
λ exp(−λ) dλ
2 0
Γ(2, 3)
,
2
Rz
wobei Γ(z, α) = 0 λα−1 exp(−λ) dλ die unvollständige Gammafunktion bezeichnet. Unter
der gewichteten Verlustfunktion

 0 ; ϕ = 1H0 (θ)
a0 ; θ ∈ H0 , ϕ = 0
L(θ, ϕ) =

a1 ; θ ∈ H1 , ϕ = 1
erhalten wir die Testentscheidung
ϕπ (1) = 1
a1
a0 +a1
,∞
Γ(2, 3)
2
,
wobei ϕπ (1) = 1 Annahme von H0 bzw. ϕπ (1) = 0 Ablehnung von H0 aufgrund der
Beobachtung x = 1 bedeuten.
4. Copulas.
a) Wir verwenden die Formel
Ĉ(u1 , . . . , ud ) = F̄ (F̄1−1 (u1 ), . . . , F̄d−1 (ud )) .
1
Eine direkte Rechnung liefert Fi−1 (u) = βi (u− α − 1). Einsetzen ergibt
−1/α
Ĉ(u1 , u2 ) = (u1
−1/α
+ u2
dies ist die Clayton copula mit Parameter θ = α1 .
− 1)−α ;
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b) Der Koeffizient der lower tail dependence des Zufallsvektors (X1 , X2 )0 ist
λl (X1 , X2 ) = lim P (X2 ≤ F2← (q) | X1 ≤ F1← (q))
q→0+
= lim
q→0+
C(q, q)
q
nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit. Lower tail dependence ist ein Indikator
für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von gemeinsamen Extremereignissen im linken
tail der Verteilung.
5. Risk-Integration.
a) Verwendet man die Gauss copula CρGa zur Konstruktion eines mathematischen Modells, so
ergibt sich für die gemeinsame Verteilung
F (l1 , l2 ) = CρGa (F1 (l1 ), F2 (l2 ))
mit F1 (l) = Φ (l − µ)/σ , F2 = Φ (ln l − µ)/σ und Φ der VF der Standardnormalverteilung. Für die Gauss-copula ergibt sich folgende explizite Formel
CρGa (u1 , u2 )
Z
Φ−1 (u1 ) Z Φ−1 (u2 )
==
−∞
−∞
1
exp
2π(1 − ρ2 )1/2
−(s21 − 2ρs1 s2 + s22 )
2(1 − ρ2 )
ds1 ds2 .
Zur Simulation verwendet man die inverse Aussage von Sklars Theorem:
• Schritt
1. Simuliere Z1 , Z2 unabhängig, ∼ N (0, 1) und setze X1 = Z1 , X2 = ρZ1 +
p
1 − ρ2 Z2 . Dann ist U = (Φ(X1 ), Φ(X2 ))0 gemäß CρGa -verteilt.
• Schritt 2. Setze L = (F1−1 (U1 ), F2−1 (U2 ))0 .
b) Die einfachste Methode zur Schätzung von ρ basiert auf Kendall’s τ . Es gilt ρτ (L1 , L2 ) =
2
π arcsin ρ. Ein Momentenschätzer für ρτ ist Kendall’s Rangkorrelationskoeffizient. Für die
gegebenen 10 Beobachtungen erhält man
ρ̂τ =
10 −1
2
X
sign((Ln,1 − Lm,1 )(Ln,2 − Lm,2 ))
1≤n<≤m≤q10
Alternativ können natürlich auch Maximum Likelihood Methoden verwendet werden.
c) Vorteile des Ansatzes: Man hat ein mathematisch konsistentes Modell und eine Prinzipienbasierte Methode zur Bestimmung der Gesamtverlustverteilung und des aggregierten Risikokapitals.
Nachteil: Die Ergebnisse (Gesamtkapital und Kapitalallokation) hängen natürlich von der
Wahl der copula und ihrer Parameter ab so dass der skizzierte Aggregationsansatz ein
substantielles Modellrisiko beinhaltet.
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6. Zinsmodelle. Die Auszahlung eines Caplets mit Strike K zum Zeitpunkt t ist
(L(i) (t − 1, t) − K)+
mit dem variablen Zins
1
−1 .
P (i) (t, T )
Wir erhalten für den Preis P des Caplets mit Auszahlungszeitpunkt t = 3:
h
P = (0, 0114 · 0, 5 + 0, 0114 · 0, 5) · P (1) (2, 3) · (0, 5 · P (0) (1, 2) + 0, 5 · P (1) (1, 2))
i
+ (0, 1347 · 0, 5 + 0, 1347 · 0, 5) · P (0) (2, 3) · 0, 5 · P (0) (1, 2) · 0, 5 · P (0) (0, 1)
1
L (t, T ) =
T −t
(i)
= 0, 0254
Auszahlungsprofil Caplet für
t=3
0
L(2) (2,3) = 0.0002
0
L(1) (1,2) = 0.0499
0,0114
L(1)
L(0) (0,1) = 0.1052
(2,3) = 0.1114
0,0114
L(0) (1,2) = 0.1666
0,1347
L(0) (2,3) = 0.2347
0,1347
7. Kreditrisiko.
a) In Merton’s Modell tritt der Ausfall der betrachteten Firma im Zeitpunkt T ein, falls der
Wert VT der assets kleiner als der Nennwert B der Verbindlichkeiten ist. Man erhält für
den Wert der Firmenanleihe bei Fälligkeit, dass
BT = min(VT , B) = B − (B − VT )+ .
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Unter den Annahmen des Merton-Modells folgt für den Preis in t < T ,
Bt = Bp0 (t, T ) − P BS (t, Vt ; r, σV , B, T ),
wobei der Preis eines Europ. Puts im Black-Scholes Modell gegeben ist durch
P BS (t, Vt ; r, σV , B, T ) = Be−r(T −t) Φ(−dt,2 ) − Vt Φ(−dt,1 ),
Vereinfachen liefert Bt = p0 (t, T )BΦ(dt,2 ) + Vt Φ(−dt,1 ).
Der Preis des Bonds ist fallend in σ. Dies ist sinnvoll, da eine höhere Volatilität zu einer
höheren Ausfallwahrscheinlichkeit führt, und da die bondholder an dem upside potential
höherer Volatilität nicht partizipieren, denn die maximal mögliche Auszahlung ist durch
B beschränkt.
b) Die Auszahlung der Anleihe kann in zwei Teile zerlegt werden. Falls kein Ausfall eintritt so
erhält man den Nennwert; der Preis dieses survival claims ist (mit T = 1)
E Q (e−rT 1{τ >T } ) = e−rT Q(τ > T ) = e−(r+γ)T .
Der Preis des recovery payments ist
E
Q
−rτ
0.5e
Z
1{τ ≤T } = 0.5
0
T
e−rt γe−γt dt = 0.5
γ
1 − e−(r+γ)T .
r+γ