Einf ¨uhrung in die Logik

Martin Rippel
Einführung in die Logik
Zusammenfassung der Vorlesung von Prof. Dr. Karl Georg Niebergall (SS 2010)
Vorbemerkung :
Dies ist eine Zusammenfassung der wesentlichen Inhalte der Vorlesungen Einführung in die Logik gehalten von
Prof. Dr. Karl Georg Niebergall im Rahmen des Studiengangs Philosophie an der Humboldt-Universität Berlin im
Sommersemester 2010. Sie erhebt weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit.
Inhalt :
In dem Kurs “Einführung in die Logik” soll behandelt werden:
• Syntax der Aussagenlogik und Prädikatenlogik 1. Stufe mit Identität: Vokabular, induktive Definition der Formeln.
• Paraphrasen der Umgangssprache in formale Sprache und umgekehrt.
• Wahrheitswerttafeln und formale Semantik der Aussagenlogik.
• Aussagen- und prädikatenlogische Axiomensysteme (Hilberttyp-Kalküle) und Regelsysteme (KM-Kalkül). Beweisen im Kalkül.
• Induktiv und explizit definierte Theoremmengen.
• Formale Semantik der Prädikatenlogik 1. Stufe mit Identität: Definition von “Belegung h erfüllt A in M”.
• Beweis der Vollständigkeit (Korrektheit und Adäquatheit) der aussagenlogischen und prädikatenlogischen Axiomatisierungen. Beweise im Stile von Henkin über maximal-konsistente Formelmengen und Termmodelle.
Literatur :
Godehard Link, Collegium Logicum - Logische Grundlagen der Philosophie und der Wissenschaften, Band 1, 2009
Urheberrecht :
Diese Zusammenfassung steht unter der Creative Commons Lizenz (by-nc-sa). Es ist Ihnen somit gestattet das Werk
zu vervielfältigen, verbreiten, öffentlich zugänglich zu machen und Abwandlungen bzw. Bearbeitungen des Inhaltes
anzufertigen, solange Sie folgende drei Punkte beachten:
1. Namensnennung Sie müssen den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
2. Keine kommerzielle Nutzung Dieses Werk darf nicht für kommerzielle Zwecke verwendet werden.
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identisch oder vergleichbar sind.
Weitere Informationen dazu finden sie unter:
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.de
Dank :
Mein Dank für Hilfe und Unterstützung geht an Dennis Groh.
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Warum Logik? . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Behauptungssatz / Folgerungsbeziehung
1.3 Wahrheits-Zugang . . . . . . . . . . . . .
1.4 Notation der Junktoren . . . . . . . . . . .
1.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Bermerkungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 de Morgan’sches Gesetz . . . . . . . . .
1.9 Platon und die Griechen . . . . . . . . . .
1.10 Quantifikation . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 naive Mengentheorie
2.1 Extensionalitätsprinzip . . . . . .
2.2 Church’sche Konversionsprinzip
2.3 Leere Menge . . . . . . . . . . .
2.4 Einermenge . . . . . . . . . . . .
2.5 Paarmenge . . . . . . . . . . . .
2.6 Defitionen . . . . . . . . . . . . .
2.7 Teilmenge . . . . . . . . . . . . .
2.8 Potenzmenge . . . . . . . . . . .
2.9 geordnete Paare (Tupel) . . . . .
2.10 Funktion . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Eigenschaften . . . . . .
2.11 Mächtigkeit, Kardinalität . . . . .
2.11.1 unendlich große Mengen
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3 Aussagenlogische Sprache
3.1 Satzkonstanten . . . . . . . .
3.2 Ausdrücke . . . . . . . . . . .
3.3 Formeln/Sätze . . . . . . . .
3.4 Konkardination . . . . . . . .
3.5 Quine-corner . . . . . . . . .
3.6 Definition weiterer Junktoren
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4 formale Semantik
4.1 Wahrheitswerte . .
4.2 Anwednung . . . .
4.3 Belegungen . . . .
4.4 Wert . . . . . . . .
4.5 Tautologie . . . . .
4.6 logische Folgerung
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5 Prädikatenlogische Sprache erster Stufe
5.1 Kennzeichnungsterme . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Vokabular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 induktive Termdefinition . . . . . . . . . . . . . .
5.5 induktive Formeldefinition . . . . . . . . . . . . .
5.6 Prädikatenlogische Sprache der Mengentheorie
5.6.1 Vokabular . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Extensionalitätsprinzip . . . . . . . . . . .
5.6.3 Church’sche Konversionsprinzip . . . . .
5.6.4 Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . .
5.6.5 Paarmenge . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.6.6 leere Menge . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.7 Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Prädikatenlogische Sprache der Zahlentheorie
5.7.1 Vokabular . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Robinson-Arithmetik . . . . . . . . . . .
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6 Kalküle des natürlichen Schließens
6.1 Kalish-Montague-Kalkül (KM-Kalkül) . . . . . . . . .
6.1.1 KM-Kalkül der aussagenlogischen Sprache .
6.1.2 Ableitungsbegriff / Definition der Herleitung .
6.1.3 KM-Kalkül der prädikatenlogischen Sprache .
6.2 Axiomatischer Kalkül oder Hilbert-Typ Kalkül für AL .
6.2.1 Aximomenschemata . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Schlussregel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Dedutktionstheorem . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Induktionsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . .
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14
14
14
16
16
17
18
18
18
18
3
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16.04.2010
1
Einleitung
1.1
Warum Logik?
• Logik wichtig für Verständnis der philosophischen Schriften (z.B. Quine, Davidson, Tarski)
• Erkennen logischer Argumente und zum Verstehen logischer Schlüsse (Prämisse → Behauptung)
1.2
Behauptungssatz / Folgerungsbeziehung
• aus x folgt y
• x impliziert y
1.3
Wahrheits-Zugang
• x ist wahr
– “Berlin ist eine Stadt.” - wahr?
– “Berlin ist ein Wort.” - wahr?
– “Eine Stadt ist ein Wort?” - wahr?
→ Es bleibt unklar was hier bezeichnet wird. Je nach Standpunkt sind Sätze wahr oder nicht.
→ für Logik eigentlich nicht relevant
– “Berlin ist größer als München” - wahr?
→ historischer “Zufall“?
• besser x ist logisch wahr / falsch
– “Wenn Berlin eine Stadt ist, dann ist Berlin eine Stadt.”
→ verallgemeinert: wenn A, dann A → immer richtig → Tautologie
– “Berlin ist eine Stadt oder Berlin ist keine Stadt.”
→ verallgemeinert: A oder nicht A → immer richtig → Tautologie
– “Berlin ist eine Stadt und Berlin ist nicht eine Stadt.”
→ verallgemeinert: A und nicht A → immer falsch → Kontradiktion
• logische Wahrheiten selbst sind trivial, nicht das analysieren dieser
1.4
Notation der Junktoren
• Junktoren sind Satzverknüpfer, die aus zwei Sätzen (z.B. A und B) einen neuen Satz bilden für den bestimmte
Bedingungen gelten
Zeichen
¬A
A⇒B
A⇔B
A∧B
A∨B
Bedeutung
nicht A
wenn A, dann B
A genau dann, wenn B
A und B
A oder B
4
1.5
Beispiele
1.5.1
Beispiel 1
(A ⇒ B) ⇒ (¬A ⇒ ¬B)
• Einfach auflösbar mit naivem Sprachverständnis an Hand von Beispielen.
• Beispiel
– A - ’es regnet’
– B - ’die Straße ist nass’
Wenn ’es regnet’, dann ’ist die Straße nass’ impliziert, wenn ’es nicht regnet’, dann ’ist die Straße nicht nass’.
Dieses Verfahren taugt bestenfalls für einfache Beispiele. Wirklich beweisen lassen sich allgemeine Behauptungen
mit wenn-dann-Konstruktionen durch Zerlegung und mit Hilfe des Modus Ponens.
1. Nimm (A ⇒ B) an und versuche (¬A ⇒ ¬B) zu zeigen
2. Nimm ¬A an und versuche ¬B zu zeigen
3. Schlussregel Modus Ponens (MP)
1.5.2
¬A,A⇒B
¬B
Beispiel 2
(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C))
Das gleiche Verfahren lässt sich bei sturem Verfolgen der Regeln auch für komplexe Beispiele umsätzen:
1. Ann: (A ⇒ (B ⇒ C))
2. Ann: (A ⇒ B)
3. Ann: A
Zeige: (A ⇒ C)
Zeige: C
4. MP
(A,A⇒B)
B
5. MP
(A,(A⇒(B⇒C)))
(B⇒C)
6. MP
(B,(B⇒C))
C
1.6
Zeige: ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C))
Bermerkungen
• Anführungszeichen benötigen eine Konvention! (bsp. ’Berlin’ ist eine Stadt - Kennzeichnung von Namen!)
• Sprechen über Sätze (bsp. ’Berlin ist eine Stadt’ ist wahr)
• Wir verlassen informelles Resonieren und betreten mit Mengentheorie bewaffnet das Gebiet der formalen
Sprache!
19.04.2010
1.7
Wiederholung
• Berlin ist eine Stadt, genau dann wenn es nicht der Fall ist, dass es nicht der Fall ist, dass Berlin eine Stadt ist.
A ⇔ ¬¬A
5
1.8
de Morgan’sches Gesetz
• Zeige de Morgansch’es Gesetz gilt
(¬A ∧ ¬B) ⇔ ¬(A ∨ B)
• Hinweg
Ann: (¬A ∧ ¬B)
Zeige: ¬(A ∨ B)
Widerspruchsbeweis: Ann: (A ∨ B)
Ann: A
→ Widerspruch zu Annahme (¬A ∧ ¬B)
Ann: B
→ Widerspruch zu Annahme (¬A ∧ ¬B)
Widerspruch!
• Rückweg
Ann: ¬(A ∨ B)
Zeige: (¬A ∧ ¬B)
Zeige: ¬(A ∨ B) ⇒ ¬A
Ann: ¬(A ∨ B)
Zeige: ¬A
Zeige: ¬(A ∨ B) ⇒ ¬B
Ann: ¬(A ∨ B)
Zeige: ¬B
Widerspruch!
1.9
Platon und die Griechen
Jeder Mensch ist ein Grieche
vs.
Platon ist ein Grieche
• ’Platon ist ein Grieche’ zerlegbar in Prädikat ’ist ein Grieche’ und Term ’Platon’
• ’Jeder Mensch ist ein Grieche’ nicht so einfach zerlegbar, da ’jeder Mensch’ kein einfacher Term
→ Umformulierung: ’Für jedes Objekt gilt: Wenn es ein Mensch ist, ist es ein Grieche.’
1.10
Quantifikation
• ’Für jedes Objekt gilt: Wenn es ein Mensch ist, ist es ein Grieche.’
• ’für jede’ lässt sich vereinfacht durch den Allquantor ∀ ausdrücken
∀x(x ist ein Mensch ⇒ x ist ein Grieche)
• ’Für jede natürliche Zahl gibt es eine, die Größer ist.’
• ’gibt es’ lässt sich vereinfacht durch den Existenzquantor ∃ ausdrücken
∀x∃y(x < y)
• entspricht notwendiger
• ♦ entspricht möglicherweise
• die letzten beiden (modalen) Quantoren werden jdeoch nicht behandelt
6
1.11
Identität
• ’A = A’ ist eine logische Wahrheit
• die Identitätsbeziehung ist eine Typus logischer Wahrheiten, die sich nicht durch Quantoren und Junktoren
ausdrücken lassen
2
naive Mengentheorie
• Möglichkeit ein Element einer Menge zuzuschreiben: x ∈ A
Beispiel
2.1
– 5∈N
Die Zahl 5 ist ein Element der Menge der natürlichen Zahlen
– Berlin ∈ {Berlin, München}
Berlin ist ein Element der Menge der Elemente Berlin und München
Extensionalitätsprinzip
∀x :
(x ∈ A ⇔ x ∈ B) ⇒ A = B
Wenn für alle x gilt, genau dann wenn x ein Element von A ist, ist x auch ein Element von B,
dann sind die Mengen A und B gleich.
2.2
Church’sche Konversionsprinzip
a ∈ {x, ϕ(x)} ⇔ ϕ(a)
• Nehmen wir an a steht für ’Berlin’ und ϕ(x) steht für ’x ist eine Stadt’ so ergibt sich demnach:
’Berlin’ ist genau dann ein Element der Menge bestehend aus x und ’x ist eine Stadt’,
wenn ’Berlin ist eine Stadt’.
2.3
Leere Menge
• Eine besonderen Typ Menge erhalten wir, wenn wir nach Church’schem Konversionsprinzip folgende Klassenbzw. Komprehentionsterm betrachten:
a ∈ {x, x 6= x} = a 6= a := ∅
• Da es kein Element geben kann, das von sich selbst verschieden ist, erhalten wir die leere Menge (∅).
2.4
Einermenge
• Die Menge deren einziges Element A ist, also
{A} := {x | x = A}
• daraus ergibt sich zum Beispiel ∅ 6= {∅} 6= {{∅}}, denn die Einermenge der leeren Mengen selbst ist nicht
leer sondern enthält ein Element - die leere Menge. Statt dessen gilt ∅ ∈ {∅} ∈ {{∅}}.
7
23.04.2010
2.5
Paarmenge
{A, B} := {C | C = A ∨ C = B}
Die Paarmenge bildet sich aus der Menge der Einermengen von A und B.
2.6
Defitionen
1 := S(0)
Das Definiendum (1) wird definiert durch das Definiens (S(0)). Wichtig ist, das hier nicht die Identität (siehe oben)
gemeint ist. Diese wird durch die Aussage erst erzeugt.
x ist eine gerade Zahl :⇔ ∃y(x = 2y) ⇔ ∃y(x = y + y)
2.7
Teilmenge
A ⊆ B :⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
A ist genau dann eine Teilmenge von B, wenn für alle x, die Element A sind gilt, dass sie auch ein Element von B
sind.
2.8
Potenzmenge
P(A) := {B | B ⊆ A}
So gilt zum Beispiel P(∅) = {∅}.
2.9
geordnete Paare (Tupel)
Im Gegensatz zu Mengen gilt bei Paaren die Ordnung der Komponenten strikt und darf nicht vertauscht werden, also
ha, bi =
6 hb, ai aber (ha, bi = hc, di) ⇔ (a = c ∧ b = d). Mengentheoretisch lassen sich geordnete Paare folgender
Maßen definieren:
ha, bi := {{a}, {a, b}}
2.10
Funktion
Funktionen (Abbildungen), ein Sondertyp der Relation, lassen sich folgender Maßen mit mengentheoretischen Mitteln
erklären.
f = {hx, 2xi | x ∈ N}
8
2.10.1
Eigenschaften
• surjektiv := jedes Element der Zielmenge wird erreicht
• injektiv := jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen
• bijektiv := surjektiv und injektiv
2.11
Mächtigkeit, Kardinalität
Der Begriff der Kardinalität bezeichnet die Größe der Anzahl der Elemente einer Menge.
2.11.1
unendlich große Mengen
Nach Dedekind lässt sich Unendlichkeit einer Menge wie folgt definieren:
x ist unendlich :⇔ ∃y(x ∼
= y ∧ y ⊂ x)
26.04.2010
3
Aussagenlogische Sprache
3.1
Satzkonstanten
Alle Sätze ohne Junktoren, mit gewisser grammatischer Komplexität, die aus aussagenlogischer Perspektive ignoriert
wird. Als Zeichen werden p0 , p1 , p2 , ..., woraus folgt, dass die Menge der Satzkonstanten abzählbar unendlich sein
muss. Diese Satzkonstanten können mittels Junktoren (¬, →) zu Sätzen (φ, ψ) verknüpft werden. Alle darüber hinaus
bereits eingeführten Junktoren lassen sich aus den beiden genannten Junktoren ableiten, z.B. (∧, ∨, ↔).
3.2
Ausdrücke
Ausdrücke sind eine beliebige Aneinanderreihung von diesen verschiedenen Zeichen. Sie müssen nicht zwingend
wohlgeformte Sätze sein.
3.3
Formeln/Sätze
Für die Menge der aussagenlogischen Formeln (Sätze) gilt:
1. Jede Satzkonstante ist eine Formel
2. Wenn φ eine Formel ist, dann ist auch ¬φ eine Formel
3. Wenn φ und ψ eine Formel sind, dann ist auch (ψ → φ) eine Formel
4. Nichts ist eine Formel, dass nicht eine endliche Kombination dieser drei Regeln ist.
26.04.2010
3.4
Konkardination
Um Anführungs- und Negationszeichen innerhalb der Regeln auch bei induktiver Anwendung dieser sinnvoll verwenden zu können, ist es nötig das Konkardinationszeichen ’_’ einzuführen. Es stellt die Verknüpfung der Variable mit
dem Anführungszeichen dar.
9
3.5
Quine-corner
Als Vereinfachung lassen sich auch Quine-corner verwenden, die den Vorteil haben wesentlich übersichtlicher zu
sein.
pp3 → p2 q
3.6
Definition weiterer Junktoren
Zeichen wie ’∧’, ’∨’ und ’↔’ sind bisher ohne Bedeutung in unserer Notation, da diese jedoch häufig verwendet
werden können, um komplizierte Kombinationen aus ’→’ und ’¬’ einfacher schreiben zu können.
pA ∧ Bq :⇔ p¬(A → ¬B)q
4
4.1
pA ∨ Bq :⇔ p(¬A → B)q
pA ↔ Bq :⇔ p¬((A → B) → ¬(B → A))q
formale Semantik
Wahrheitswerte
Um den eingeführten Zeichen eine Bedeutung zu zu weisen und diese später zu Überprüfen, werden Wahrheitswerte
bzw. Wahrheitswertetabellen (bzw. -tafeln) verwendet. Die bisher eingeführten Zeichen haben also folgende Wahrheitswerte
und definieren sich darüber (w bzw. 1 := wahr, f bzw. 0 := falsch)
ϕ
w
w
f
f
ψ
w
f
w
f
¬ϕ
f
f
w
w
ϕ∧ψ
w
f
f
f
ϕ∨ψ
w
w
w
f
ϕ→ψ
w
f
w
w
ϕ↔ψ
w
f
f
w
03.05.2010
4.2
Anwednung
Mit den Wahrheitswerten und deren semnatischer Zuordnung lassen sich nun komplexere Ausdrücken analysieren,
ob sie wahr sind oder nicht. So lässt sich zum Beispiel die komplexe Aussage (p1 → (¬p1 → p2 )) über einfachere
Zwischenschritte analysieren.
p1
w
w
f
f
4.3
p2
w
f
w
f
¬p1
f
f
w
w
¬p1 → p2
w
w
w
f
p1 → (¬p1 → p2 )
w
w
w
w
Belegungen
Unter Belgungen wollen wir beliebige Zuordnungsvorschriften (Funktionen) von Elementen der Menge der Satzkonstanten zu Elementen der Menge bestehend aus 0 und 1 verstehen.
f ist eine Belegung :⇔ f : Menge der SK → {0, 1}
10
Durch die Belgungen der Satzkonstanten können im Folgenden die Wahrheitswerte komplexerer Formeln in Abhängigkeit
von den ensprechenden Belgegungen gefunden werden.
ϕ ist eine aussagenlogische Wahrheit :⇔ ∀f (f ist eine Belegung ⇒ Wertf (ϕ) = 1)
4.4
Wert
Sei ϕ eine Formel und f eine Belegung, dann
1. ϕ ≡ pi ⇔ Wertf (ϕ) = f (ϕ)
(
Wertf (ψ) = 0 ⇒ Wertf (ϕ) = 1
2. ϕ ≡ ¬ψ ⇔
Wertf (ψ) = 1 ⇒ Wertf (ϕ) = 0
(
Wertf (α) = 0 ⇒ Wertf (ϕ) = 1
3. ϕ = (α → β ⇔
Wertf (α) = 1 ⇒ Wertf (ϕ) = 0
07.05.2010
4.5
Tautologie
Unter Tautologien verstehen wir Formeln, die unter allen Belegungen immer den Wert 1 aufzeigen, also wahr sind.
Formal lassen sie sich folgender Maßen definieren: Sei ϕ eine LAL -Formel. Dann heißt
ϕ ist logische Wahrheit (Tautologie):⇔ ∀f (f Belegung ⇒ Wertf (ϕ) = 1)
Daraus e¡rgibt sich, wie leicht zu erkennen ist, dass Satzkonstanten alleine keine Tautologien sind. Zur Vereinfachung
werden wir Tautologien im Folgenden
ϕ ist eine Tautologie :⇔|= ϕ
Wobei mit |= kein weiteres Zeichen in LAL eingeführt wird. Hierbei handelt es sich lediglich um ein Metasprachliches
Prädikat, dass in der Objektsprache nicht verwendet wird.
4.6
logische Folgerung
Nun wollen wir dahin kommen zu sagen, was eine logische Folgerung ist. Dazu definieren wir: Sei Σ eine Menge von
LAL -Formeln und ψ eine LAL -Formel. Dann gilt:
Σ |= ψ :⇔ ∀f (f Belegung ∧ ∀α(α ∈ Σ ⇒ Wertf (α) = 1) ⇒ Wertf (ψ) = 1)
Das heißt, dass jede Belegung f , die alle Präamissen α wahr macht, auch ψ wahr machen soll.
31.05.2010
5
Prädikatenlogische Sprache erster Stufe
Die Aussagenlogische Sprache, wie wir sie behandelt haben, unterscheidet nur zwischen Satzkonstanten und Junktoren. Die innere Struktur der Sätze wird dabei ignoriert, denn sie werden als nicht weiter in Einzelteile zerlegbar begriffen. Die prädikatenlogische Sprache bietet nun die Möglichkeit durch Prädikation auch diese bisher nur als ganze
Einheit begriffenen Sätze zu zerlegen in Prädikate und singuläre Terme (auch Konstanten oder (Eigen-)Namen).
Folgende bisher nur als Satzkonstanten betrachbare Sätze lassen sich nun formal in folgender Weise formulieren:
11
’Berlin ist eine Stadt’ ≡ Sb
’Berlin ist größer als München’ ≡ Gbm
’a liegt zwischen b und c’ ≡ Babc
’Julius Cäsar ist eine Primzahl’ ≡ P j
Wie die ausdifferenziert Prädikate formalisiert werden ist immer kontextbezogen.
’a ist ein Pferdekopf’ ≡ P a
5.1
“a ist ein Pferdekopf“ ≡ Kpa
Kennzeichnungsterme
In dem Beispielsatz ’Berlin ist größer als München’ ließe sich Berlin durch ’Die Hauptstadt Deutschlands’. Dieser
letzte Term ist kein singulärer wie ’Berlin’ sonder ein Kennzeichnungsterm, der sich wiederum zerlegen lässt.
5.2
Vokabular
Typ
Individumkonst.
Vairablen
n-stellige Prädikate
spez. 2-stelliges Prädikat
Junktoren
Quantoren
Klammern
Formalisierung
k1 , k2 , . . . ki
v1 , v2 , . . .
P1n , P2n , . . . Pin
=
→, ¬
∀
(, )
Anzahl
0≤i≤∞
abzählbar unendlich
0≤i≤∞
2
1
2
1. Variante: Die Restlichen Zeichen wie ∧, ∨, ↔ und ∃ lassen sich aus dem Vokabular erzeugen und als Abkürzung
vereinbaren. Genausogut könnte das Vokabular schon an dieser Stelle ergänzt werden, was allerdings zur
Folge hätte, dass auch die induktive Definition der Formeln ergänzt werden müsste.
2. Variante: Das Vokabular ließe sich auch um die Menge der Funktionszeichen fin erweitern. Dies bietet den
Vorteil, dass sich auch die Menge der Terme induktiv definieren ließe. (siehe unten)
Prinzipiell sind beide Ergänzungsvarianten nicht nötig, denn für Variante 1 wurde bereits im Rahmen der Aussagenlogischen Sprachen gezeigt, dass sich die zusätzlichen Zeichen aus den eingeführten Grundzeichen herleiten lassen.
Variante 2 ist obsolet, da die Menge der Funktionszeichen auf den Relationen aufbaut, die in unserer Menge der Vokabeln bereits enthalten sind. Für die induktive Termdefintion bietet die Menge der Funktionszeichen jedoch Vorteile.
5.3
Syntax
Begriff
Prädikate
Funktionszeichen
5.4
Formalisierung
P n k1 . . . kn
f l k1 . . . kl
Folge
atomare Formel
Term
induktive Termdefinition
Unter Berücksichtigung der oben als Variante 2 bezeichneten Bedingung ließe sich folgende induktive Definition der
Terme angeben:
1. Jede Variable ist ein Term
2. Jede Konstante ist ein Term
3. Ist fin ein n-stelliges Funktionszeichen und sind s1 , . . . , sk Terme, dann ist pfin s1 , . . . , sk q ein Term
4. Nichts weiter ist eine Formel
12
5.5
induktive Formeldefinition
1. Ist P ein n-stelliges Prädikat und sind v1 . . . vn Varibalen, dann ist P v1 . . . vn eine Formel.
2. Sind s und t Terme, so ist p(s = t)q eine Formel.
3. Ist ϕ eine Formel, so ist p¬ϕq eine Formel.
4. Sind ϕ und ψ Formeln, so ist p(ϕ → ψ)q eine Formel.
5. Ist ϕ eine Formel und x eine Variable, so sind auch p∀xϕq und p∃xϕq Formeln.
6. Nichts weiter ist eine Formel.
04.06.2010
5.6
5.6.1
Prädikatenlogische Sprache der Mengentheorie
Vokabular
Typ
2-stelliges Relationszeichen
Vairablen
spez. 2-stelliges Prädikat
Formalisierung
∈
v1 , v2 , . . .
=
Anzahl
1
abzählbar unendlich
1
Des weiteren gilt die Formeldefinition der prädikatenlogischen Sprachen erster Stufe.
In der naiven Mengentheorie haben wir bereits wesentliche Gesetze (Axiome) kennen gelernt, die auch in unserer prädikatenlogischen Sprache der Mengentheorie gelten sollen. Aber erst jetzt, nach dem wir ein Vokabular zur
Verfügung haben können wir sie formal korrekt einführen:
5.6.2
Extensionalitätsprinzip
∀v0 ∀v1 (∀v3 (v3 ∈ v0 ↔ v3 ∈ v1 ) → v0 = v1 )
5.6.3
Church’sche Konversionsprinzip
∃v0 ∀v1 (v1 ∈ v0 ↔ ϕ(v1 ))
5.6.4
Vereinigungsmenge
v0 ∪ v1 := ∀v0 ∀v1 ∃v2 ∀v3 (v3 ∈ v2 ↔ v3 ∈ v0 ∨ v3 ∈ v1 )
5.6.5
Paarmenge
{v0 , v1 } := ∀v0 ∀v1 ∃v2 ∀v3 (v3 ∈ v2 ↔ v3 = v0 ∨ v3 = v1 )
5.6.6
leere Menge
∅ := ∃v∀v1 ¬(v1 ∈ v)
13
5.6.7
Potenzmenge
P(v0 ) := ∀v0 ∃v1 ∀v2 (v2 ∈ v1 ↔ ∀v3 (v3 ∈ v2 → v3 ∈ v0 )
5.7
5.7.1
Prädikatenlogische Sprache der Zahlentheorie
Vokabular
Typ
Kosntante
1-stellige Funkt. (Succesor)
2-stellige Funktionszeichen
2-stellige Relationszeichen
Vairablen
spez. 2-stelliges Prädikat
Formalisierung
0
S
+, ·
<
v1 , v2 , . . .
=
Anzahl
1
1
2
1
abzählbar unendlich
1
Des weiteren gilt die Formeldefinition der prädikatenlogischen Sprachen erster Stufe unter Beachtung der induktiven
Termdefinition. Diese Beachtung ist notwendig, weil wir in unser Vokabular Funktionszeichen aufgenommen haben.
5.7.2
Robinson-Arithmetik
Folgendes Axiomensystem wurde durch Robinson aufgestellt und bietet gegenüber der Peano-Arithmetik den Vorteil
der Endlichkeit der Axiome.
1. ∀v0 (¬(v0 = 0) → ∃v1 (v0 = Sv1 ))
2. ∀v0 ∀v1 (Sv0 = Sv1 → v0 = v1 )
3. ∀v0 (¬Sv0 = 0)
4. ∀v0 (v0 + 0 = v0 )
5. ∀v0 (v0 · 0 = 0)
6. ∀v0 ∀v1 (v0 + Sv1 = S(v0 + v1 ))
7. ∀v0 ∀v1 (v0 · Sv1 = v0 · v1 + v0 )
21.05.2010
6
Kalküle des natürlichen Schließens
Bisheriges Schließen funktionierte nur auf Basis des metasprachlichen Sprachverständnisses. Die Kalküle des natürlichen
Schließens formalisieren dieses Schließen und beweisartiges Argumentierens.
6.1
Kalish-Montague-Kalkül (KM-Kalkül)
6.1.1
KM-Kalkül der aussagenlogischen Sprache
• Beweisbeispiele:
14
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
zeige
zeige
zeige
zeige
zeige
zeige
zeige
zeige
zeige
zeige
zeige
zeige
zeige
zeige
(ϕ → (ψ → ϕ)
ϕ
ψ→ϕ
ψ
ϕ
(P → Q) → (¬Q → ¬P )
P →Q
¬Q → ¬P
¬Q
¬P
(P → Q) → (¬Q → ¬P )
P →Q
¬Q → ¬P
¬Q
¬P
P
Q
¬Q
(P → Q) → ((¬P → Q) → P )
P →Q
(¬P → Q) → Q
¬P → Q
Q
¬Q
¬P
¬¬P
(P → Q) ∧ (P → ¬Q) → ¬P )
(P → Q) ∧ (P → ¬Q)
¬P
P
P →Q
Q
P → ¬Q
¬Q
A-BA
A-BA
2 WH
A-BA
A-BA
2,4 MT
A-BA
A-BA
A-IA
2,6 MP
4 WH
A-BA
A-BA
A-IA
2,6 MT
4,7 MT
A-BA
A-IA
2 ∧B
4,5 MP
2 ∧B
4,2 MP
• Abkürzungen:
MT Modus Tollens
Er besagt, dass aus den Voraussetzungen nicht B und Wenn A, dann B auf nicht A geschlossen werden
kann.
MP Modus Ponens
Der Modus ponens erlaubt es, aus zwei Aussagen der Form Wenn A, dann B und A (den beiden Prämissen
der Schlussfigur) eine Aussage der Form B (die Konklusion der Schlussfigur) herzuleiten
WH Wiederholung
einfache Wiederholung einer vorherigen Annahme
A-BA Annahme zur bedingten Ableitung
A-IA Annahme zur indirekten Ableitung
∧B Konkjunktions-Beseitigung
15
28.05.2010
6.1.2
Ableitungsbegriff / Definition der Herleitung
Der folgende Beweis läuft Analog zu Link-Script (ab Seite 208). Dort wird der Begriff der Herleitung im KM-Kalkühl
definiert. Es soll verdeutlicht werden, wie die sich diese induktive Definition der Herleitung auf einen konkreten Beweis
anwenden lässt.
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
zeige
zeige
(P → Q) ∧ (P → ¬Q) → ¬P
(P → Q) ∧ (P → ¬Q)
¬P
P
P →Q
Q
P → ¬Q
¬Q
6.0
6.1
6.3
6.1
6.4
6.5.1
6.5.1
6.5.1
6.5.1
6.6.2 (3)
A-IA
2, ∧B
4,5 MP
2,∧B
4,7 MP
einkästeln
Im Link-Script ist 7.0 etwas ungünstig formuliert. Wir verwenden die semantisch gleiche aber syntaktisch glücklicher
formulierte Aussage
7.0 α ist eine KM-Ableitung von ϕ aus Σ ⇔ α sK zu Σ
Es wird in der Vorlesung nicht gezeigt, dass die Menge der im KM-Kalkül herleitbaren Formeln der Menge der
logischen Wahrheiten entspricht. Dies wird erst für das axiomatische Hilberttyp-Kalkül bewiesen.
11.06.2010
6.1.3
KM-Kalkül der prädikatenlogischen Sprache
• Beweisbeispiele:
∀xϕ → ∀xϕ
1. zeige
∀xϕ
∀xϕ
2.
3.
1.
2.
3.
zeige
1.
2.
3.
zeige
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
zeige
zeige
zeige
∀x(ϕ → ϕ)
ϕ
ϕ
∀x(ϕ ∧ ψ → ϕ)
ϕ∧ψ
ϕ
∀x(ϕ → ψ) → (∀xϕ → ∀xψ)
∀x(ϕ → ψ)
∀xϕ → ∀xψ
∀xϕ
∀xψ
ϕ→ψ
ϕ
ψ
A-BA
A-BA
A-BAA
2 ∧B
A-BA
A-BA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
zeige
1.
2.
3.
4.
5.
6.
zeige
zeige
zeige
zeige
∀x(ϕ → ψ) → (∃xϕ → ∃xψ)
∀x(ϕ → ψ)
∃xϕ → ∃xψ
∃xϕ
∃xψ
ϕ( xa )
ϕ( xa ) → ψ( xa )
ψ( xa )
∃xψ
∃x¬ϕ → ¬∀xϕ
∃x¬ϕ
¬∀xϕ
∀xϕ
¬ϕ( xa )
ϕ( xa )
A-BA
A-BA
4 ∃B ’a’ neu
2 ∀B
6,7 MP
8 ∃E
A-BA
A-IA
2 ∃E
4 ∀B
2 ∀B
4 ∀B
6,2 MP
14.06.2010
• doppelte Quantifizierung:
16
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
zeige
zeige
zeige
zeige
∀x∀yP 2 xy → ∀y∀xP 2 xy
∀x∀yP 2 xy
∀y∀xP 2 xy
∀yP 2 xy
P 2 xy
∃x∃yP 2 xy → ∃y∃xP 2 xy
∃x∃yP 2 xy
∃y∃xP 2 xy
∃yP 2 ay
P 2 ab
∃xP 2 xb
∃y∃xP 2 xy
A-BA
2 ∀B
4 ∀B
A-BA
2 ∃B
4 ∃B
5 ∃E
6 ∃E
18.06.2010
• weitere Beispiele:
¬∃x∀y(Ryx ↔ ¬Ryy)
1. zeige
2.
3.
4.
6.2
∃x∀y(Ryx ↔ ¬Ryy)
∀y(Rya ↔ ¬Ryy)
Raa ↔ ¬Raa
..
.
A-IA
2 ∃B
3 ∀B
von hier an
reine AL (trivial)
Axiomatischer Kalkül oder Hilbert-Typ Kalkül für AL
• induktive Definition
1. Σ ⊆ Theo(Σ)
2. ∀ϕ(ϕ AL-Axiom ⇒ ϕ ∈ Theo(Σ))
3. ∀ϕ∀ψ(ϕ ∈ Theo(Σ) ∧ p(ϕ → ψ)q ∈ Theo(Σ)) ⇒ ψ ∈ Theo(Σ)
4. nichts sonst
• Der Vorteil von Theo(Σ) ist, dass es sich rein syntaktisch definieren lässt. Diesen Vorteil biete CN (Σ) nicht.
Theo(Σ) enthält nach Definition Σ (1.), die Menge der aussagenlogischen Axiome (2.) und ist unter Modus
Ponens abgeschlossen (3.).
• Beispiele für AL-Axiome: α, α → β, . . .
21.06.2010
• Übersicht:
Cn(Σ)
semantisch, infinitär
Theo(Σ)
syntaktisch, infinitär
Σ̂
syntaktisch, finitär
Σ ⊆ Cn(Σ)
AX ⊆ Cn(Σ)
MP-Abgeschlossen
Σ ⊆ Σ0 ⇒ Cn(Σ) ⊆ Cn(Σ0 )
Cn(Cn(Σ) = Cn(Σ)
Σ ⊆ Theo(Σ)
AX ⊆ Theo(Σ)
MP-Abgeschlossen
Σ ⊆ Σ0 ⇒ Theo(Σ) ⊆ Theo(Σ0 )
Theo(Theo(Σ)) = Theo(Σ)
Σ ⊆ Σ̂
AX ⊆ Σ̂
MP-Abgeschlossen
Σ ⊆ Σ0 ⇒ Σ̂ ⊆ Σ̂
Σ̂ = Σ̂
• Σ̂ ist die Menge der Fromeln, die aus Σ herleitbar sind
• AX := {ϕ | ϕ AL-Axiom}
• Theo(Σ) ⊆ Cn(Σ) und Theo(Σ) ⊆ Σ̂
• es wird sich zeigen, dass Cn(Σ), Theo(Σ) und Σ̂ identisch sind...
17
6.2.1
Aximomenschemata
1. ϕ → (ψ → ϕ)
2. (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ))
3. (¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ)
6.2.2
Schlussregel
• nur Modus Ponens als Schlussregel gegeben und erlaubt.
• dient auch zur Vereinfachung der teilweise komplexen Axiome
• Beispiele:
Behaupt.:
1.
2.
3.
4.
5.
`H ϕ → ϕ
(ϕ → (ψ → ϕ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → ϕ))
ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ)
ϕ → ((ϕ → ϕ) → (ψ → ϕ)
ϕ → (ϕ → ϕ)
ϕ→ϕ
Ax2
Ax1
1,0 MP
Ax1
3,4 MP
• Umformungen von Schlussregeln aus KM-Kalkül:
ϕ∧ψ →ϕ
ϕ∧ψ →ψ
ϕ → (ψ → ϕ ∧ ψ)
ϕ→ϕ∨ψ
ψ →ϕ∨ψ
6.2.3
¬(ϕ → ¬ψ) → ϕ
¬(ϕ → ¬ψ) → ψ
ϕ → (ψ → ¬(ϕ → ¬ψ))
ϕ → (¬ϕ → ψ)
ψ → (¬ϕ → ψ)
Dedutktionstheorem
• Σ ∪ {ϕ} ` ψ ⇔ Σ ` ϕ → ψ
• Beweisskizze:
1. Umformung in ψ ∈ ...
2. Spezialisierung auf Theo(Σ)
3. Hinrichtung mittels Church’schem Konversionsschema
4. Es folgt: Theo(Σ ∪ {ϕ} ⊆ A := {α | p(ϕ → ψ)q ∈ Theo(Σ)}
5. zz. ∆Σ∪{ϕ} (A), denn dann Theo(Σ ∪ {ϕ}) ⊆ A
6. d.h. zz. Σ ∪ {ϕ} ⊆ A, AX ⊆ A und A abgeschlossen unter MP
25.06.2010
6.2.4
Induktionsbeweis
• Sei Σ eine Formelmenge, dann gilt ∀ψ(Σ ` ψ ⇒ ψ ∈ Theo(Σ))
1. ∀ψ(∃a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ ∧ ∃n(l(a) ≤ n) ⇒ ψ ∈ Theo(Σ)))
2. ∀ψ(∃n∃a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ ∧ l(a) ≤ n ⇒ ψ ∈ Theo(Σ)))
3. ∀ψ(∃n∃a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ ∧ l(a) ≤ n ⇒ ψ ∈ Theo(Σ)))
4. ∀ψ(∀n∀a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ ∧ l(a) ≤ n ⇒ ψ ∈ Theo(Σ)))
5. Γ(n) := ∀ψ(∀a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ ∧ l(a) ≤ n ⇒ ψ ∈ Theo(Σ)))
18
6. Behauptung: Γ(0)
mit Induktion: ∀nΓ(n)
∀n(Γ(n) ⇒ Γ(n + 1))
7. Hinweis: (n ≤ k), Γ(k) ⇒ Γ(n)
8. Hinweis: Γ(0) uninteressant, weil Beweis der Länge 0 nicht denkbar ist.
9. (a) zz. Γ(1) = ∀ψ(∀a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ ∧ l(a) ≤ 1 ⇒ ψ ∈ Theo(Σ)))
(b) l(a) ≤ 1 ⇒ l(a) = 1, d.h. a =< a0 >, a0 = ψ also a =< ψ >
(c) ψ AL-Axiom ∈ Theo(Σ)
(d) ψ ∈ Σ ∈ Theo(Σ)
(e) ψ durch MP entstanden entfällt, da Länge 1
(f) also, ψ ∈ Theo(Σ)
10. (a) zz. Γ(n + 1)
(b) Sei dazu â, ψ̂ beliebig, so â Herleitung, von ψ̂ aus Σ
(c) l(â) ≤ n + 1 zz. ψ̂ ∈ T heo(Σ)
(d) also zz. l(â) = n + 1 oder l(â) ≤ n
(e) ψ̂ AL-Axiom ∈ Theo(Σ)
(f) ψ̂ ∈ Σ ∈ Theo(Σ)
(g) ψ̂ durch MP entstanden
(h) für l(â) = n + 1 gilt, da auch kürzere Bestandteile der Herleitung als Herleitung gelten, gilt auch hier
zz. ψ̂ ∈ Theo(Σ)
(i) also, ψ̂ ∈ Theo(Σ)
19