Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Sven Garbade
Fakultät für Angewandte Psychologie
SRH Hochschule Heidelberg
[email protected]
Statistik 1
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Agenda
Wahrscheinlichkeit
Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Permutationen und Kombinationen
Binomialverteilung
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Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
Definition
Relative Häufigkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit
Einteilung
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Wahrscheinlichkeit
Definition
Definition Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeiten (engl.: probability) ergeben sich aus dem Verhältnis
günstiger Ereignisse zu möglichen Ereignissen:
p=
günstige Ereignisse
mögliche Ereignisse
(1)
wobei günstig auch negative Ereignisse sein können, z. B. Patient stirbt,
man besteht die Prüfung nicht, erkrankt etc.
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Wahrscheinlichkeit
Relative Häufigkeiten
Relative Häufigkeiten
Eine Wahrscheinlichkeit wird über die relative Häufigkeit geschätzt:
p(A) =
nA
n
Beispiel
Bei Wurf eines Würfels können folgende mögliche Ereignisse auftreten:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, also n = 6. Die Wahrscheinlichkeit eine 2 zu würfeln
ist damit p(2) = 1/6. Ω wird auch der Ereignisraum genannt.
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Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wenn das Auftreten eines günstigen Ereignisses an Bedingungen geknüpft
ist, beispielsweise der Besitz eines Autos (günstiges Ereignis) unter der
Bedingung, auf dem Land zu wohnen, spricht man von bedingter
Wahrscheinlichkeit.
Definition
Die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B) (sprich A unter der Bedingung B)
kennzeichnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der
Bedingung B.
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Wahrscheinlichkeit
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit
• Liegt immer zwischen 0 und 1.
• Kann als Prozent ausgedrückt werden, wenn Multiplikation mit 100
erfolgt: → 0% bis 100%.
• 0.05 ≡ 5%.
• Die Gegenwahrscheinlichkeit zu einem Ereignis A ist p(Ā). Dabei
gilt p(A) + p(Ā) = 1. Beispiel: Wenn es morgen mit 30%
Wahrscheinlichkeit regnet, regnet es mit einer Wahrscheinlichkeit von
70% nicht.
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Wahrscheinlichkeit
Einteilung
Einteilung
0 - 0.1
0.1 - 0.3
0.3 - 0.7
0.7 - 1
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unbedeutende Wahrscheinlichkeit
geringe Wahrscheinlichkeit
mittlere Wahrscheinlichkeit
hohe Wahrscheinlichkeit
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Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Additionstheorem
Multiplikationstheorem
Sicheres & und unmögliches Ereignis
Stochastische Abhängigkeit
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Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Additionstheorem
Additionstheorem für unabhängige Ereignisse
Wie wahrscheinlich ist es, mit einem Würfel bei einem Versuch eine 1 oder
eine 2 zu würfeln?
Mögliche Ereignisse: Sechs, nämlich die Zahlen 1 bis 6
Günstige Ereignisse: Zwei, nämlich die Zahlen 1 oder 2
p(1 ∪ 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
wobei ∪ die Vereinigung bedeuted.
Additionstheorem für unabhängige Ereignisse
Sind günstige disjunkte Ereignisse durch ein ODER verknüpft, werden die
Einzelwahrscheinlichkeiten addiert:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
(2)
.
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Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Additionstheorem
Additionstheorem
• Wie wahrscheinlich ist es, eine gerade Augenzahl oder eine 1,2 oder 3
zu würfeln?
• 5/6, da die Zahl 5 die einzige Zahl ist, die nach obiger Definition
nicht abgedeckt ist.
• Da die Zahl 2 nach obiger Definition doppelt vorkommt, muss die
Wahrscheinlichkeit eine 2 zu würfeln, bei der Berechnung vermindert
werden.
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Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Additionstheorem
Allgemeine Form des Additionstheorems
Additionstheorem
Die Wahrscheinlichkeit, dass wenigstens eins der Ereignisse A, B, C , D, · · ·
eintrifft, ergibt sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten p(A) und
p(B) abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass A und B gemeinsam auftreten:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
p(gerade ∪ {1, 2, 3}) =
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3
6
+
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3
6
−
1
6
=
(3)
5
6
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Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Multiplikationstheorem
Multiplikationstheorem für unabhängige Ereignisse
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Versuch eine 1 und beim
zweiten Versuch eine 2 zu würfeln?
Multiplikationstheorem für unabhängige Ereignisse
Sind günstige disjunkte Ereignisse durch ein UND verknüpft, werden die
Einzelwahrscheinlichkeiten multipliziert:
p(A ∩ B) = p(A) · p(B)
(4)
Angewendet auf das Beispiel:
p(1.1 ∩ 2.2) = p(1.1) · p(2.2) =
1 1
1
· =
6 6
36
wobei ∩ das logische Produkt ist. Die Bedeutung ist sowohl als auch und
entspricht dem Durchschnitt.
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Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Sicheres & und unmögliches Ereignis
Sicheres & und unmögliches Ereignis
• Ein sicheres Ereignis tritt immmer ein, z. B. fällt beim Würfeln
immer eine Zahl zwischen 1 und 6.
• Ein unmögliches Ereignis kann nicht eintreten, z. B. kann man mit
einem normalen Würfel keine 7 würfeln.
Sicheres & und unmögliches Ereignis
Die Wahrscheinlichkeit für ein sicheres und für das unmögliche Erreignis
beträgt p(Ω) = 1; p(∅) = 0
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Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stochastische Abhängigkeit
Schätzung von Häufigkeiten
mit Stern
ohne Stern
Σ
rot
grün
blau
120
90
90
Σ
200
100
300
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, einen grünen Ball ohne Stern zu
ziehen?
Mögliche Ereignisse: 300
Günstige Ereignisse: ?
Schätzung über die Randwahrscheinlichkeiten und Multiplikationstheorem:
90 100
p(grün ∩ ohne Stern) =
·
300 300
9
9 1
· =
=
30 3
90
1
=
10
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Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stochastische Abhängigkeit
Erwartete Häufigkeiten
• Die Wahrscheinlichkeit p(grün ∩ ohne Stern) beträgt 0.1 bzw. 10%.
Damit sind 30 vom 300 Bällen wahrscheinlich grün und ohne Stern.
• Unter Berücksichtigung der Randsummen ergeben sich damit
folgende erwartete Häufigkeiten:
rot
mit Stern
80
ohne Stern 40
Σ
120
z. B. Anzahl rot ∩ ohne Stern =
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grün
60
30
90
120
300
·
100
300
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blau
60
30
90
Σ
200
100
300
· 300 = 40
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Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stochastische Abhängigkeit
Beobachtete vs. erwartete Häufigkeit
• Die erwarteten Häufigkeiten sind:
mit Stern
ohne Stern
Σ
rot
80
40
120
grün
60
30
90
blau
60
30
90
Σ
200
100
300
• Diese müssen nicht mit den beobachteten Häufigkeiten
übereinstimmen, z. B.:
mit Stern
ohne Stern
Σ
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rot
70
50
120
grün
80
10
90
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blau
50
40
90
Σ
200
100
300
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Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stochastische Abhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit
Entspricht die erwartete Verteilung der beobachteten Verteilung, spricht
man von stochastischer Unabhängigkeit. Entspricht die erwartete
Verteilung nicht der beobachteten, spricht man von stochastischer
Abhängigkeit. Mathematisch ist die erwartete Häufigkeit das Produkt der
jeweiligen Einzelwahrscheinlichkeiten der Ereignisse.
• Später werden wir Verfahren kennen lernen, die eine erwartete
Häufigkeitsverteilung mit einer beobachteten vergleichen.
• Eine Möglichkeit besteht z. B. in χ2 -Verfahren.
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Permutationen und Kombinationen
Permutationen und Kombinationen
Permutationen und Kombinationen
Permutationsregel
Kombinationsregeln
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Permutationen und Kombinationen
Permutationsregel
Permutationsregel
Auf wieviele Arten können 4 Items eines Fragebogens angeordnet werden?
• I1, I2, I3, I4
• I2, I1, I3, I4
• ...
Permutationsregel
n verschiedene Objekte können in n! = 1 · . . . · (n − 1) · n verschiedenen
Abfolgen angeordnet werden. n! bedeutet dabei n Fakultät. Dabei gilt
0! = 1! = 1.
Angewendet auf das Beispiel: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 und für eine beliebige
Kombination p = 1/24 ≈ 0.042.
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Permutationen und Kombinationen
Kombinationsregeln
1. Kombinationsregel
In einem psychologischen Test werden den Testteilnehmern aus 7 Items
per Zufall 3 zugewiesen. Wie wahrscheinlich ist die Kombination zuerst
Item 1, dann Item 2 und zuletzt Item 6?
1. Kombinationsregel
Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig mit einer bestimmten
Reihenfolge aus, so ergeben sich sich
n!
(n − k)!
(5)
mögliche Kombinationen für die k Objekte.
Bezogen auf das Beispiel:
7!
= 7 · 6 · 5 = 210, damit p = 1/210 ≈ 0.0048 bzw. 0.48%
4!
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Permutationen und Kombinationen
Kombinationsregeln
Gedankengang zur 2. Kombinationsregel
Wenn die Reihenfolge der Items keine Rolle spielt, wie groß ist dann die
Wahrscheinlichkeit, die Items 1, 2 und 6 in beliebiger Reihenfolge zu
erhalten?
• Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge von drei Items
ist 1/210.
• Nach der Permutationsregel ergeben sich 3! = 1 · 2 · 3 = 6
Möglichkeiten, 3 Items anzuordnen.
• Damit ergibt sich p = 6/210 ≈ 0.029 bzw. 2.9%.
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Permutationen und Kombinationen
Kombinationsregeln
2. Kombinationsregel
2. Kombinationsregel
Wählt man aus n verschiedenen Objekten ohne Berücksichtigung der
Reihenfolge k zufällig aus, ergeben sich
n
n!
=
k! · (n − k)!
k
mögliche Kombinationen (sprich: n über k). kn wird auch
als
n
Binomialkoeffizient bezeichnet. Wenn n < k, dann ist k = 0.
(6)
Fortführung des Beispiels mit n = 7, k = 3:
7!
7·6·5
210
7
7!
=
=
=
= 35
=
3! · (7 − 3)!
3! · 4!
3·2
6
3
und damit p = 1/35 ≈ 0.029 bzw. 2.9%.
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Permutationen und Kombinationen
Kombinationsregeln
Beispiel Lotto: 6 aus 49
Mit dem Binomialkoeffizient kann die Anzahl der Kombinationen von 6
zufälligen Ziehungen aus 49 Zahlen bestimmt werden:
49
49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44
=
= 13983816
6
6·5·4·3·2·1
und damit p = 1/13983816 = 7.151124 · 10−8 .
• Hinweis: Die Wahrscheinlichkeit 5 Richtige zu erhalten, kann nicht
mit dem Binomialkoeffizienten bestimmt werden. Dafür wird die
hypergeometrische Verteilung benötigt.
• Frage: Warum nicht?
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Permutationen und Kombinationen
Kombinationsregeln
3. Kombinationsregel
10 Items eines Test sollen in 2 Blöcken zu jeweils 3 Items und einem Block
zu 4 Items gruppiert werden. Wieviele Kombinationen sind möglich und
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine dieser Kombinationen?
3. Kombinationsregel
Sollen n Objekte in k Gruppen der größe n1 , n2 , . . . , nk eingeteilt werden
(wobei n1 + n2 + . . . + nk = n), ergeben sich
n!
n1 ! · n2 ! · . . . · nk !
(7)
mögliche Kombinationen.
Angewendet auf das Beispiel:
10!
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5
151200
=
=
= 4200,
3! · 3! · 4!
6·6
36
und damit p = 1/4200 ≈ 0.00024 bzw. 0.024%.
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Binomialverteilung
Binomialverteilung
Binomialverteilung
Herleitung der Binomialverteilung
Definition der Binomialverteilung
Bernoulli Prozesse
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Binomialverteilung
Herleitung der Binomialverteilung
Herleitung der Binomialverteilung
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligem Münzwurf
genau einmal Kopf fällt?
• Die Wahrscheinlichkeit für ein günstiges Ereignis, z. B. {Z , Z , K }, ist
p(Z ∩ Z ∩ K ) = p(k = Z ) · p(k = Z ) · p(k = K ) = 0.52 · 0.51 = 0.125.
• Die Anzahl an möglichen Kombinationen, einmal Kopf bei 3 Würfen
zu erhalten, ist
n
k
=
3
1
=
3!
2!·1!
=
3·2·1
2·1
=
6
2
= 3.
• Damit ist p(1 einmal K |3 Würfen) = 3 · 0.125 = 0.375.
• Das Zeichen | bedeutet unter der Bedingung.
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Binomialverteilung
Herleitung der Binomialverteilung
Allgemeine Herleitung
• Die Wahrscheinlichkeit, für ein günstiges Ereignis X = k mit der
Einzelwahrscheinlichkeit p (und Gegenwahrscheinlichkeit q = 1 − p)
in einem Zufallsexperiment mit n Versuchen ist:
p(X = k) = p · p · . . . · p · q · q · . . . · q
{z
} |
{z
}
|
k-mal
k
=p ·q
(n−k)−mal
n−k
= p k · (1 − p)n−k
• Anzahl der möglichen Kombinationen, ohne Berücksichtigung der
Reihenfolge k Objekte aus n Objekten auszuwählen, ist kn .
• Nach dem Additionstheorem werden die Einzelwahrscheinlichkeiten
addiert:
(kn)
X
n
n−k
k
pi · qi
=
· p k · q n−k .
k
i=1
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Binomialverteilung
Definition der Binomialverteilung
Binomialverteilung
Definition der Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeit B(k|p, n), dass ein Ereignis mit einer konstanten
Auftretenswahrscheinlichkeit p genau k-mal auftritt, unter der Bedingung,
dass n Versuche durchgeführt werden, lautet:
n
B(k|p, n) =
· p k · q n−k
(8)
k
mit:
n Anzahl der Versuche
k Anzahl günstiger Ereignisse
p Wahrscheinlichkeit für ein günstiges Ereignis
q Gegenwahrscheinlichkeit 1 − p
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Binomialverteilung
Definition der Binomialverteilung
Beispiel
• Beispiel von eben: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei
dreimaligem Münzwurf genau einmal Kopf fällt?
• Damit k = 1, n = 3, p = 0.5:
3
B(1|0.5, 3) =
· 0.51 · 0.52
1
3!
=
· 0.5 · 0.25
1! · 2!
= 3 · 0.5 · 0.25
= 0.375
• Damit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 37.5%.
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Binomialverteilung
Bernoulli Prozesse
Bernoulli Prozess
• Abfolge zufälliger, unabhängiger Ereignisse mit konstanter
Wahrscheinlichkeit p (bzw. 1 − p) werden Bernoulli Prozess genannt.
• Die Binomialverteilung wird daher auch als Bernoulli-Verteilung
bezeichnet.
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Binomialverteilung
Bernoulli Prozesse
Bernoulli Prozesse und Binomialverteilung
• Ein einfaches Beispiel für einen Bernoulli-Prozesse ist ein mehrfacher
Münzwurf.
• Z. B. Wie wahrscheinlich ist es, bei zwei Münzwürfen genau einmal
Kopf zu erhalten?
• Damit: k = 1, n = 2, p = 0.5:
2
B(k = 1|n = 2, p = 0.5) =
· 0.51 · 0.52−1
1
= 2 · 0.5 · 0.5
= 0.5
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Binomialverteilung
Bernoulli Prozesse
Bernoulli Prozesse und Binomialverteilung
• Nun wird eine falsche Münze verwendet, z. B. für Kopf p = 0.7.
• Damit:p = 0.7, k = 1, n = 2, p = 0.7:
2
B(1|2, 0.7) =
· 0.71 · 0.32−1
1
= 2 · 0.7 · 0.3
= 0.42
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Binomialverteilung
Bernoulli Prozesse
Multiple Choice Test
• Ein Multiple-Choice Test besteht aus 20 Fragen mit jeweils 4
Antwortmöglichkeiten.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, per raten genau 5 richtige
Antworten zu erhalten?
• Damit:n = 20, k = 5, p = .25:
5 15
3
20
1
·
B(k = 5|p = 0.25, n = 20) =
·
4
4
5
20!
=
· 0.000977 · 0.013363
5! · (20 − 5)!
20 · 19 · 18 · 17 · 16
=
· 0.000013
5·4·3·2
= 0.20
• Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 20%.
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Binomialverteilung
Bernoulli Prozesse
Beispiele für Binomialverteilungen, n=20
0.15
0.10
0.00
10
15
20
0
5
10
k
k
p = 0.75
p = 0.33
15
20
15
20
0.15
0.10
0.05
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
Wahrscheinlichkeit [0, 1]
0.20
5
0.20
0
Wahrscheinlichkeit [0, 1]
0.05
Wahrscheinlichkeit [0, 1]
0.15
0.10
0.05
0.00
Wahrscheinlichkeit [0, 1]
0.20
p = 0.25
0.20
p = 0.5
0
5
10
15
20
0
5
k
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10
k
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Binomialverteilung
Bernoulli Prozesse
Lösungsskizzen für weitere Beispiele
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand per Zufall
höchstens 5 Antworten ankreuzt?
Lösungsskizze:
• Höchstens fünf heißt 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 richtige Antworten.
• Es müssen also die Werte für k = {0, 1, 2, 3, 4, 5} mit n = 20 und
p = .25 anhand der Binomialverteilung berechnet werden.
• Die so errechneten Wahrscheinlichkeiten sind zu addieren.
• Lösung: 0.6135 bzw. 61%.
Die Einzelwahrscheinlichkeiten:
B(k = 0|p = 0.25, n = 20) = 0.003171, B(1|0.25, 20) = 0.02114, B(2|0.25, 20) =
0.06688, B(3|0.25, 20) = 0.13338, B(4|0.25, 20) = 0.188955, B(5|0.25, 20) = 0.2
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Binomialverteilung
Bernoulli Prozesse
Lösungsskizzen für weitere Beispiele
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand per Zufall
mindestens 6 Antworten ankreuzt?
• Man könnte jetzt anhand der Binomialverteilung für k = {6, . . . , 20}
wieder die Einzelwahrscheinlichkeiten bestimmen und addieren.
• Aber: Mindestens 6 ist die Gegenwahrscheinlichkeit von maximal 5.
• Also: 100% - 61% = 39%.
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37 / 38
Binomialverteilung
Bernoulli Prozesse
Literaturverzeichnis
Bortz, J. & Schuster, C. (2010). Statistik für Human- und
Sozialwissenschaftler (7. Auflage). Berlin: Springer.
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38 / 38