Physik 4, Kapitel 1

Physik IV: Quantenmechanik
Historische Höhepunkte:
1900
Planck
Einführung der „Hilfsgröße“ h (Wirkungsquantum)
Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung
1905
Einstein
Einführung des Lichtquants (Photon), E  h 
Erklärung des Photoeffekts
1907
Einstein
Einführung des Gitterschwingungsquants (Phonon), Evib  h
Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper
1913
Bohr
Einführung des Drehimpulsquants, ħ h
Erklärung des Wasserstoffspektrums
1924
de Broglie
Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p  ħk
Vorhersage von Materiewellen
1925
Schrödinger Wellen-Quantenmechanik
Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik
Geburt der modernen
Quanten(feld)theorie
Vorlesung  Phänomenologie (mit Experimenten)
Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie
1. Die Plancksche Quantenhypothese
1.1. Wärmestrahlung
Wärmestrahlung  Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern (z.B. Sonne)
Folgerung: Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von
Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden
1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung
Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen
Typ 1: Diskrete Frequenzspektren ( Linienspektren)
bei atomaren molekularen Gasen nicht zu großen Drucks  unabhängige Partikel
T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur ( Bohrsches Atommodell )
Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren
bei festenflüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks und dichten Plasmen
in charakteristischer Weise T-abhängig
Beispiele: Glühlampe, Bogenlampe, Metallschmelze, Sonnenplasma
Emissionsvermögen:
 d F , d
d
dW
dPE 
dt
dF
Oberflächenelement des Strahlers
( Projektion  Strahlungsrichtung )
von dF in d emittierte
Strahlungsleistung
Definition: Emissionsvermögen  Strahlungsleistung pro Fläche und Raumwinkel
Emissionsvermögen: E  
d PE
d F d
E   E  T 
PE  Geometriefaktor  E
Beobachtung: E hängt von der Oberflächenbeschaffenheit ab
schwarze Oberfläche
 E groß
spiegelnde  weiße Oberfläche  E klein
Integrales Absorptionsvermögen:
d  absorbierte Strahlungsleistung 

A
 d auftreffende Strahlungsleistung 
A  AT 


idealer Spiegel
Gedankenexperiment:
Vakuum
i .a .
unterschiedliche Oberflächen ①, ②  P1  P2
2. Hauptsatz der Thermodynamik
d Q1
 A1 P2  k geom A1 E 2
①:
dt
dQ 2
 A 2 P1  k geom A 2 E1
②:
dt
Folgerung:
P1 T  P2 T 

A1 T  A 2 T 

d Q1 d Q 2

dt
dt
T
T
P2
P1
①
thermisches
Gleichgewicht
②
kgeom  Geometriefaktor
E1 T  E2 T 

 KT 
A1 T  A 2 T 
Kirchhoffsches Strahlungsgesetz:
unabhängig von
Oberfläche
E T   KT AT 
Defintion: Ein Körper heißt ideal schwarz, wenn seine Oberfläche alle elektromagnetische Strahlung vollkommen absorbiert, d.h. A  1.
Folgerung: Ein ideal schwarzer Körper besitzt das größtmögliche Emissionsvermögen für thermische Strahlung.
Technische Realisierungen:
a) schwarze Oberfläche großer Rauhigkeit
 Vielfachstreuung, allmähliche Absorption, keine nennenswerte Reflexion
b) Hohlraum mit geschwärzten Innenwänden
Prinzip
Realisierung
kleines
Loch
WandTemperatur T
Thermoelement
E*
V
Heizung
Schwarzkörperstrahlung  Hohlraumstrahlung
 universelles Emissionsspektrum für gegebene Temperatur
1.1.2. Charakteristische Größen thermischer Strahlung



i ω t k r 
dω dΩ
Strahlungsfeld  Überlagerung ebener Wellen E   E0 ω, θ,  e
sin θ sin  
 ω 

k   sin θ cos 
c

cos
θ


d   d  d cosθ
a) Energiedichte eines Strahlungsfeldes
w  ε 0  E 02 d ω d Ω
w   mJ
Spezialfall: Isotropes Feld


E 0  E 0 ω
w  4 πε 0  E dω
dw w

dΩ 4π
2
0
3
Spektrale Energiedichten eines Strahlungsfeldes



i ω t k r 
E   E0 ω, θ,  e
dω dΩ
wν
wλ
 ε  E ν   dω dΩ  2π ε  E
 ε  E λ   dω dΩ  ε  E
0
2
0
ω
2π
0
2
0
2πc
ω
w λ λ c ν 
c
λ2
wν 
ν2
c
0
2πc
λ
2
0
dΩ
2
0 λ
dΩ
w  m JHz
3
w  mJ
w   w ν d ν   w λ dλ
wν
Spezialfall: Isotropes Feld
dw ν w ν

dΩ
4π
2
0 ν


E 0  E 0 ω
dw λ w λ

dΩ
4π
4



i ω t k r 
E   E0 ω, θ,  e
dω dΩ
b) Intensität bzw. Energieflussdichte eines Strahlungsfeldes



I   S dω  E 0  H 0 dω
I  mW
2
 ε 0 c  E 02 d ω

n


k  n
dF
Spezialfall: Isotropes Feld
w  4 πε 0  E 02 d ω


E 0  E 0 ω

4πI  cw
c) Messgröße: Strahlungs- bzw. Leuchtdichte einer Quellfläche
d
dW
dt



dF
dF
 
dW
S 
d t d Ω d Fcosθ
W
S  2
m Sterad


Die Strahlungsdichte S* ist die pro Raumwinkel und projizierter
Emissionsfläche in einem weit entfernten Detektor registrierte Leistung
Analog: Spektrale Strahlungsdichten

ν
S 
d S
dν

λ
S 
d S
dλ
Spezialfall: S* ist richtungsunabhängig. Dann heißt die Quellfläche Lambertstrahler.
Hohlraumöffnungen sind Lambertstrahler!
Zusammenhang mit der Energiedichte des Quellfeldes:

dF
d V  c d t d F cos θ
dW
dt
d
dF

dW
dW
dw
S 
c
c
d t d Ω d Fcosθ
d V dΩ
dΩ

Analog:
dw ν
S c
dΩ

ν
Spezialfall: Isotropes Quellfeld:
dw λ
S c
dΩ

λ
d w  ν, λ 
dΩ

w  ν, λ 
4π

4πS ν, λ   w  ν, λ  c
Strahlungsleistung auf infinitesimaler Empfängerfläche:
2
dF1
Quelle
1
.
dΩ 
dF2
d F2 cos θ 2
r2
d W1
dt
Detektor
r
d W1
cos θ 2


 S1 cos θ1 d F1 dΩ  S1 cos θ1 d F1 d F2 2
dt
r
Bestrahlungsstärke ( Intensität ) am Detektor:
d W1
cos θ 2

  S1 cos θ1 r 2 d F1
d F2 d t F1
2
Strahlungsleistung auf ausgedehnter Empfängerfläche:
d F2 cos θ 2  r 2dφ d cos θ
dF2
d W1
 d F1 S1  cos θ cosr 2θ 2 d F2
dt
F2

1
 d F1 S
 cos θ dcos θ dφ
F2


dF1
Lambertstrahler
S1  const .
φ 0,2π
d W1 1

2
 2 d F1 S1  dcos θ dφ
dt
F2
θ  0, θ m 
Emission in gesamten Halbraum ( m   ):
d W1
 π S1 1  cos 2 θ m  d F1
dt
d W1
dt
 π S1 d F1
Halbraum
1.1.3. Hohlraumstrahlung
Definition: Der ideale Hohlraum hat das Volumen V und die Wände befinden
sich ( durch Wärmestrahlung ) im thermischen Gleichgewicht ( Temeratur T ).
Folgerung 1: Leistungsbilanz der Wände an jeder Stelle:
d WA ν  d WE ν 

dt
dt
absorbiert
emittiert
Folgerung 2: Das Strahlungsfeld ( Hohraumstrahlung ) ist isotrop.
Beweis: Betrachte dünne Testscheibe. Thermisches Gleichgewicht  Temperatur T.
Angenommen, am Ort der Testscheibe wäre die Strahlung anisotrop:
Intensität
groß
Intensität
groß
Drehung
Intensität
klein
dF
T
Intensität
klein
T  T dF
Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
Folgerung 3: Das Strahlungsfeld ( Hohraumstrahlung ) ist auch homogen.
Beweis: Betrachte dünne Testscheibe. Thermisches Gleichgewicht  Temperatur T.
Angenommen, es gäbe 2 Orte mit unterschiedlicher Strahlungsintensität:
Intensität
groß
Intensität
klein
dF
Intensität
groß
Verschiebung
dF
T  T
Intensität
klein
T
Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
Folgerung 4: Leistungsbilanz der Testscheibe an jedem Ort in jeder Orientierung
d WA
dt
 A ν Sν d F d Ω d ν
d WA
dt
 d dWtE

d WE
dt
 E ν d F d Ω d ν
Kirchhoffsches Strahlungsgesetz

ν

ν
E  S Aν
d WE
dt
 Thermische Emission und Absorption eines Körpers der
Temperatur T sind über die Strahlungsdichte der zugehörigen
Hohlraumstrahlung verknüpft: K T   S
ν
ν
d WA
dt
d
T dF
Folgerung 5: Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung
Wandgeometrie und Beschaffenheit beliebig ( V   )
 verwende o.B.d.A. ideal leitenden Würfel, Kantenlänge a  
a
a
Physik III  Eigenfrequenzen der stehenden Wellen ( Moden )
ν nmj 
c
2a
n, m, l  ℕ30 \ 0,0,0
n 2  m 2  j2
je 2 Polarisationen
pro Mode
Modendichte N()  Zahl der Moden in [ 0 ,  ] pro Volumen
# Polarisationen
Nν   2 lim
a 

1
a3
4π
8
Kugelkoordinaten

r   n, m, j 
 1  2 lim
a 
n ,m , j
ν nmj  ν
Nν  
8π
3

ν 3
c
1
a3
 d n d m d j  2 lim
ν nmj  ν

a 
1
a3
1  2a  3
 ν
3 c 
2a
c
2
d
Ω
r
  d r
n , m , j 0
Spektrale Modendichte
n ν  
dN
dν
ν
 8cπ3 ν 2
0
a
1.1.4. Das Plancksche Strahlungsgesetz
n ν   8cπ3 ν 2
Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung:
Wν T 
Mittlere Energie der Moden:
w ν T   n ν  Wν T 
Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung:
Klassisches Modell: Jede Mode ist an harmonische Schwingungen der Atome in den
Wänden gekoppelt. Im thermische Gleichgewicht folgt (Äquipartitionstheorem):
Wν T  
1
2
k BT 
kinetische
Energie
1
2
k BT  k BT  k T
potentielle
Energie
Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz
w ν T  
8π ν2
c3
kT


ν
S 
wν c
4π

2 ν2
c2
kT
Experiment  stimmt nur für   0 ( z.B. Infrarotbereich bei T  5000 K ) 
Ultraviolett-Katastrophe:
w ν T   ν 2
 w T    w ν T d ν  

Plancksche Hypothese: Jede Mode ist an quantisierte harmonische Schwingungen
der Wandatome gekoppelt:
Wν  n h ν
,,Hilfsgröße” h:
n ℕ
Plancksches Wirkungsquantum: h  6,626 1034 Js
Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagnetischen Feldes,
dem Photon, getragen. Die Energie W  nh entspricht der Energie von n Photonen
der Frequenz  im Hohlraum.
Postulat: Die ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik
Boltzmannsches Verteilungsgesetz 
 
Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n:
p ν n  
en h ν β

jhν β
e

j0

p ν W   exp  kWT  exp  n kh Tν
β
1
kT

p ν n  
Wν T   n h ν
en h ν β
1
β
kT

jhν β
e

j0


Also:
Wν T    p ν n  Wν T  
n 0
n h ν β
n
h
ν
e

n 0

 jh ν β
e

1

1  e h ν β
j 0
geometrische Reihe

n h ν β
n
h
ν
e

n 0

  n h ν β

1
h νe  h ν β
  e


h ν β
h ν β 2
β n 0
β 1  e
1 e

h νe  h ν β
hν
Wν T  
 hν β
h ν β
1 e
e 1

Wν T  
hν
hν
kT
e 1
n ν  
w ν T   n ν  Wν T 
 8cπ3 ν 2
dN
dν
3
c
2
h
ν
1

Sν 
wν  2 hν
4π
c e kT 1
Plancksches Strahlungsgesetz
8π h ν 3 1
w ν T  
hν
3
k
c
e T 1
2
5
ν
2
h
ν
1


Sλ  S ν  3 h ν
c
c e kT 1
Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums
Infrarot-Grenzfall: h ≪ k T 
( klassischer Grenzfall ,,h  0” )
hν
kT
e 1 
Ultraviolett-Grenzfall: h ≫ k T 
hν
kT

w ν T   8cπ3 ν 2 k T
Rayleigh-Jeans-Gesetz
hν
kT
e 1  e
hν
kT
 w ν T  
8π h
c3
hν
3 kT
ν e
Wiensches Strahlungsgesetz
[

λ
S
2 k T 5
h 4 c3
]
1000
Rayleigh-Jeans
100
10
Planck
Wien
1
0,1
0,01
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
λ
 
hc
kT
25
Position des Maximums:

λ
S
20
5
2
h
ν
1

Sλ  3
hν
k
c e T 1

λ
]
10
5
S  Max  ln S  Max
x
h 4 c3
15

λ
Abkürzung:
[
2 k T 5
0
hν
kT
0

0.2
0.4
0.6
0.8

λ
ln Sλ  const .  5 ln x  ln e x  1
!
0

λ
ln S 

5
x

ν max  4,9651
kT
h
d
dλ

dx
ex
e x 1 d λ

 x  5 1  ex
 103GHz  TK

 x  4,9651
λ max  0,2014 khTc 
Wiensches Verschiebungsgesetz
T λ max  2,898 mm K  const .
2 ,898mm
T K 
1
 
hc
kT
1.6
Gesamte Energiedichte:
1.2
8π h ν 3 1
w ν T  
hν
3
k
c
e T 1
Abkürzung:
x
w ν dν 
 x
w
8π h
c3
8 π k T 
4
h c 3


x3
e x 1
[
h 2 c3
]
0.8
hν
kT
kT 3
h
wν
8 π k T 3
0.4
3
1 kT
e x 1 h
dx
0
0
d x  15h 3 c3 k T 
8 π5
4
2

S 
4
c
4π
6
x
8
w  15h 3 c2 k T 
2π4
4
0
1
15
π4
Leistungsabgabe eines Lambertstrahlers der Fläche F in Halbraum:  S F
Stefan-Boltzmann-Gesetz
dW
dt
 σ F T
4
σ  15h 3 c2  5,67 108 W m 2 K 4
2 π5 k 4
Stefan-Boltzmann-Konstante
10
Anmerkungen:
• Experimentelle Messung des Hohraumspektrums
5
2
h
ν
1

Sλ  3
hν
c e kT 1
– Bestätigung der Planckschen Theorie
– Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an gemessene Spektren
• Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?)
– Energie:
E γ  h ν  ω
– Impuls:
 1
| p γ | c E  1c h ν  hλ 



h
2 π | k | | k |
h
2π
vγ  c , mγ  0
• Vorgriff: De Broglies Geniestreich  Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln
( Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ... ), die dann auch Wellennatur haben?
Postulat:
E  ω


p  k
1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern
1.2.1. Klassische Theorie
Avogadrokonstante
Erinnerung: Innere Energie eines Mols ( NA Teilchen ) einer Substanz: U
Molare spezifische Wärme
CV 
U
 T V const.
Äquipartitionstheorem: Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½ RT der inneren
Energie U.
# Freiheitsgrade
Gaskonstante
U  f2 R T

CV  f2 R
R  NA k
1-atomige Gase
f  3 (Translation: 3, Rotation: 0 )
CV  32 R
2-atomige Gase
f  5 (Translation: 3, Rotation: 2 )
CV  52 R
mehratomige Gase
f  6 (Translation: 3, Rotation: 3 )
CV  3 R
Festkörper
f6
CV  3 R
( Schwingungen der Gitteratome )
(Ekin: 3, Epot: 3)
Experimenteller Befund:
CV
3R
klassische Theorie

Pb
C
0
1000
T [K]
Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei
• kleinen Temperaturen
• Festkörpergitter aus leichteren Atomen
 hohe Schwingungsfrequenzen
• stark gebundenen Festkörpergittern
Déjà-vu: Ultraviolettkatastrophe !! ??
Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne  Photonen
Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze
 Phononen ???
1.2.2. Das Einstein-Modell
Postulat ( Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese ):
• Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren ( Eigenkreisfrequenz ) ist
stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants  ω .
• Bei Festkörpern ergibt sich  aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den
Gitterplatz und das Grundquant der Energie  ω heißt Phonon. Ein SchwingungsZustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen:
E vib  n  ω
Vorgriff: Quantenmechanisch korrektes Resultat für harmonische Oszillatoren
E n  n  12  ω
 macht hier keinen Unterschied ( Glück gehabt )
Mittlere Schwingungsenergie: Analog zu Wν T  bei Hohlraumstrahlung
E vib 
hν
hν
kT
e 1

ω

θE
T
e 1
1
2
ω 
Einstein-Temperatur
θ E ω  kω
NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung 
U  3N A E vib
ω
kθ E
θE
 3N A θ E T
 3N A θ E T
 3R θ E T
e
1
e
1
e
1
 
θE 2
T
θE
T
e
U
CV 
 3R θE
T V
e T 1

Klassischer Grenzfall: T ≫ E
  32 NA ω 
quantenmechanische
Grundzustandsenergie

2
  0 
Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ E
CV  3R
C V  3R

 e
θ E 2 θ E T
T
Experiment  C V  T  0
3
0

1.2.3. Das Debye-Modell
Einstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt  1 Kopplungsfrequenz
Debye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt  stehende Wellen  -Spektrum
2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung:
a
λ max  2a
a
a
ν Tmin 
vT
2a
ν Tmax
a
1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung:
λ max  2a
ν Lmin 
a ≫ Atomabstand 
vL
2a
V
Effektive Grenzfrequenz
νg
ν Lmax
ν Tmin  ν Lmin  0
a
freier Modellparameter
(wie bei Hohlraumstrahlung)
Kontinuumsgrenzfall
1.1.3.  Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: 4 3π
n ν   4 π ν 2

2
v 3T

 v13  4 π ν 2
L
c
3
v3
ν2
( c  Phasengeschwindigkeit )
Planck
nν   4π ν 2 c23
Debye
n ν   4 π ν 2
Einstein
nν   ν  ν 0 
3
v3
g 

0

νg
Normierung von n() im Debye-Modell: V  n ν d ν  3N A  # Schwingungsmoden
V 12v3π 13 ν 3g
Folgerung:
0


1
3
Debye-Grenzfrequenz:
νg  v
Debye-Temperatur:
θ D  k ωg  hk ν g
3 NA
4π V

ωg  v 6 π
2 NA
V

1
3
12π ν
n ν  
v3
Wν T  
2
νg  v
νg
UV
Subst.
x

12 π h
v3
hν
kT
9h NA
ν 3g

0
  1 d ν
 
e 1
3 NA
4π V

0
1
3
νg
g

ν3
exp
0
h νg
kT
x3
ex  1
U  V  n ν  Wν T d ν
hν
kT
3NA
hν
kT
kT 4
h
hν
 12π h 4 π ν 3
ν3
exp

νg
  1 d ν
hν
kT
h νg
k
θD 
R  NAk
dx
0
U
θD T
9R
θ 3D
T
4
0
Spezifische Wärme:
U
CV 
T V
θ T x

9R
θ 3D

T
θD

0
θ
3
exp ( Tθ ) 1
3 θ T
D
T
CV  9R   
 θD 
dθ  θ 3
9R
D
0
θD
x 4 ex
x
 1
2
θ 3 exp ( Tθ )

0
 e

exp (
dx
θ
T
θ
T2
2
) 1
dθ
x3
ex  1
dx
3 θ T
D
T
CV  9R   
 θD 
Klassischer Grenzfall: T ≫ D
3 θ T
D
T
C V  9R   
 θD 

0
x 4 ex
 e
x
0
 1
2
dx
  0 
3 θ T
D
T
x 4 1
  
d
x

9
R
2
1  x  1
 θD 
3
 T  1  θD 
2
      3R
x
d
x

9
R
0
 θD  3  T 
Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ D
3
3
 T   x 4 ex
12 4  T 
3


CV  9 R    
d
x

π
R

T
2
θ 
x
5
 θ D  0 e  1
 D
4
15

π4
Erweiterungen:
• Mehrere Grenzfrequenzen ( z.B. für anisotrope Kristalle )


• Beachte Phonon-Dispersion ω  ω k in spektraler Dichte
3

Rätsel: Das freie Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei.
Klassische Erwartung: CV
3

2 kT
Elektronen
Quantenmechanische Erklärung: Elektronen besitzen den Spin ( Drall)
1
2

Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen)
können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden.
Theorie des Fermigases ( VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik )  Die Dichte n()
der Energiezustände  wächst mit ½ an.
n()
FermiKante
T  0K
n()
T0
kT
nicht
anregbar
kT
angeregt
FermiEnergie
voll
besetzt
F

F

F ≫ kBZimmertemperatur
 nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante
1.3. Photonen
Newton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes  nicht erfolgreich
Huygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie des Lichtes  erfolgreich
Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen
Zündung einer anderen Funkenstrecke; ,,Photonen” (Licht-Korpuskel)
schlagen Elektronen aus der Elektrode 
1.3.1. Der Photoeffekt
Experiment von Hallwachs ( 1887):
Metallplatte
Elektrometer
UV-Licht
Plattenladung
Beobachtung
negativ
Entladung
positiv
keine Entladung
neutral
positive Aufladung bis
zum ,,Haltepotential”
Die Photozelle ( Lenard, 1902 )
Strahlungsdichte S*
Photokathode


Vakuumröhre
R
Iph
Photostrom
Sättigung
Elektronen
Iph
U
U0
Kompensations
-Spannung
U
S*
Befunde:
Iph
Iph
U
U0
U
Wellenbild
Korpuskelbild
a) S*↗  Iph↗
✔
✔
b) Sättigungsstrom unabhängig von U
sobald Raumladungseffekte klein
✔
✔
↯
✔
c) e U0  max. kinetische Energie
ausgelöster Elektronen
 abhängig von , nicht aber von S*
S*
Iph
Iph
U0
U
U
Wellenbild
d) Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g ein.
g hängt vom Kathodenmaterial ab.
Iph
S*
g1
g2

Korpuskelbild
↯
✔
↯
✔
S*
Iph
Iph
U0
U
U
Wellenbild
e) Die Gegenspannung hängt charakteristisch
von der Frequenz ab.
eU0
↯
✔
↯
✔
tan α  h

0

Korpuskelbild
g
  Austrittsarbeit

S*
Iph
Iph
U
U0
U
Wellenbild
f) Zwischen Lichteinfall und Photostrom
gibt es keine messbare Verzögerung
Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode
Hohe Bestrahlunsintensität
Elektronendichte
Zeitverzögerung ( Wellenbild)
Korpuskelbild
↯
  2 eV  3 1019 Ws
I  1mW cm2
n 1015 cm2
 t  100 ms
✔
Hypothese (Einstein, 1905; Nobelpreis 1912): Licht ist in Photonen der
Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht
mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der
Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung.
Einstein-Gleichung
E
Eγ  h ν
Ekin  h ν  
E kin
Vakuum-Potential
0

Fermi-Kante
EF
Leitungselektronen
Grenzfrequenz: ν g 

h
Grenzwellenlänge: λ g 
hc

S*
Iph
Iph
U0
U
U
Messung von U0 als Funktion von   h, 
Oberfläche
 eV
g nm
e U 0  E kin  h ν  
eU0
Au
5,3
234
UV
Nb
4,3
288
UV
Cs
2,14
579
Visible
Ta / Cs
1,3
954
Near IR
Anwendung: Cs-aktivierte Photokathoden
Quanteneffizienz typisch 25 
ν g  h
 tan α  h
0

g

  Austrittsarbeit
λg 
hc

nm
 1240
 [ eV ]
Anwendung: Photomultiplier
Experiment: Korpuskelnatur des Lichts
PM 0
Punktquelle
( Spalt )
 Hohe Intensität  kontinuierlicher Photostrom in
allen PMs
 Kleine Intensität  statistisch verteilte, kurze
Stromstöße in einzelnen PMs
Moderner Detektor für geladene und neutrale Korpuskelstrahlung (  Teilchen):
LEP-Speicherring, CERN, Genf:
e
E  50100 GeV
e
E  50100 GeV
e e     
Absorptionssignal eines
weniger harten Photons,
abgestrahlt vom 
Ionisationsspur des
positiven Myons 
Absorptionssignal eines
sehr harten Photons,
abgestrahlt vom 
Ionisationsspur des
negativen Myons 
1.3.2. Der Comptoneffekt
Messprogramm:
Für jeden fest eingestellten
Streuwinkel  drehe
Monochromator/DetektorArm (), bis das DetektorSignal maximal ist.
( Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927 )
Blende
drehbarer
Monochromator/
Detektor-Arm
PhotonDetektor
λS  λS α 


Blende
RöntgenQuelle
Bragg-Kristall
(Monochromator)
Blende

Ungestreute
Strahlung
λ0
Target-Material
( Substanz mit schwach gebundenen
Elektronen in Atomhüllen )
Klassische Theorie:
ebene Welle

E

S
0
quasi-freies
Elektron in Atom
Schwingung des Elektrons
 Hertzscher Dipol
Streuwellenlänge:
S  0
Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute
Komponente mit S > 0. Diese nicht-klassische Komponente
wird umso stärker, desto härter (desto kleiner  ) die einfallende
Strahlung ist.
Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild:

k0
λS 

kS
λ0 

2πc
ω0
2πc
ωS
E S   ωS


pS   k S

E S  c pS

me
e

Eγ   ω


pγ   k0

Eγ  c pγ

pe
Ee
schwach gebunden: EB ≪ E
 quasi-frei, in Ruhe
Physik 3 
Compton-Wellenlänge
des Elektrons
λ S  λ 0  2 λ C sin 2
φ
2
λ C  mhe c  2,426 1012 m
Bemerkungen:
Δλ  λS  λ 0  2 λ C sin 2 φ2 , λ C  mhe c
a) Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom ≫me.
b) Compton-Formel experimentell bestätigt  noch eine unabhängige Messung von h.
c) Δλ
λ0
 2 λλC0 sin 2
φ
nur groß falls 0 ≲OC  X- und -Strahlung
2
E γ   ω0 
hc
λ0

λC
λ0
mec2 
λC
λ0
 511 keV
d) Ein Photon mit 0 C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen
elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S .

Hier: Δλ  2 λ C sin 2 180
 λS  3 λ C
2  2 λC
e) Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen/Positronen
(z.B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen) an weichen
Photonen (z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7-Hintergrundstrahlung).
Zurückführung auf Compton-Streuung durch
Lorentztransformation ins Ruhesystem des e.
AGN Cas A
Jet
elliptische Galaxie
1.3.3. Photonen im Gravitationsfeld
Relativistische Photonmasse:
Turm
E hν
m 2  2
c
c
Detektor
2
E im Gravitationsfeld: Δ E  m Δ G  mg H
 h ν1  h ν 2  h Δ ν
mg H ν g H
Δ ν g H Δ G
 Δν 
 2 
 2  2
h
c
ν
c
c
Bestätigt mittels Mößbauer-Spektroskopie
Bemerkungen:
• Rotverschiebung bei Abstrahlung von Sonne:
Δν
M
G 2
ν
Rc
• 2  0  unendliche Rotverschiebung
 Schwarzschildradius RS  GMc2
 Schwarze Löcher
• Wellenbild ergibt gleiches Resultat mittles
Zeitdilatation im Gravitationsfeld (  Physik III)
H
ν  ν1  ν 2
1
Quelle
R.V. Pound and G.A. Rebka:
Phys. Rev. Lett. 4 (1960) 337
1.3.4. Der Mößbauer-Effekt
( Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961 )
Atomhülle / Atomkerne  quantisierte Energieniveaus ( z.B. aus Linienspektren)
Beispiel: Fixiertes Atom
Emission
E
E1
Iω
e
h ν  ΔE  E1  E 0
E0
Resonanzabsorption
e
ω
Iω
E1
E
E0
T1 δE1  
1
T1
Lebensdauer T1
E1
E1
ω 
Lebensdauer T1
ω 
h ν  ΔE
1
T1
e
a
ω
,   2, E1  h  Natürliche Linienbreite (Heisenbergsche Unschärfe)
Beispiel: Atomhülle  Emission /Absorption im sichtbaren Bereich (typisch)
E γ  Ο1eV 
Na-D-Linie:
Δν
 10 10
ν
Δ ν  1107 Hz
λ  589 nm
Δν
ν
ν  5 1014 Hz
 2 108
Beispiel: Atomkern  Emission/Absorption im Röntgen-/Gamma-Bereich
E γ  Ο10 k eV Ο1MeV 
57Fe-Linie:
57
27
57
26
Co K

- Einfang
Fe Abregung


57
26
57
26
Fe  ν e
Fe  γ14,4 k eV 
Δν
ν
 3 1013
E
Rückstoßeffekt bei freien Atomen:
M
Absorption:
 ωa

Mv
E1
ω , k
e
E0
 ωa   ω  12 M v 2
k a  M v
k a   ωca
Emission:
 k a2
 ωa  ω 
2M
ω
v2
v2
1
1
  c  2 M c  k  2 M c  k

Mv
 ωe   ω  12 M v 2
k  k e  M v
M
 k2
ωa  ω 
2M
E
 ωe
 k2
 ωe  ω 
2M
E1
E0
e
ω , k
 k2
ωa  ω 
2M
 k2
ωe  ω 
2M
Rückstoßeffekt:
Atomhülle: Na-D-Linie
Δω
ω
Iω
 1010  2 108  Δωω
e a
 k 2  ω2
 Δ ω  ωa  ωe 

M
Mc 2
Δω  ω

ω Mc 2
Atomkern:
nat.
ω
Emission und Reabsorption möglich
Δω
ω
Iω
57
27
Co
 2,7 107  3 1013  Δωω
e
a
nat.
ω
Reabsorption nicht möglich
Rückstoßfreie Emission/Absorption (Mößbauer-Effekt):
Δω
Atom im Kristallgitter  M  MKristall   
0
ω
a) keine Phonon-Anregung 
b) Phonon-Anregung EG

( überwiegt bei T ≪ D )
 ωa   ωe
 ωa   ωe  Δ E G
Messvorrichtung:
v ≲ O (1 ms)
Absorber a
Emitter e
Detektor
Zählrate
v R  c ν aνeν e
ν  1  vc  ν e
Dopplereffekt
Anwendungen:
•
•
•
•
•
Kernniveaus in e.m.-Feldern des Gitters
Kernstruktur (Quadrupolmoment)
Gitterdynamik ( Phonon-Anregung)
Gravitationsrotverschiebung

v
1.3.5. Röntgenbeugung
( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 )
• 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung ( Röntgen, Gamma ) hat Teilchencharakter
• Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter?
• Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man
Beugungsgitter her?
• Max von Laue  Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung!
Röntgenstrahlen
Beugungsbild
v. Laue, Friedrich,
Knipping (1912)
Kristall
e
Vakuumröhre
Fotoplatte
Resultat: a) Welle/Teilchen Dualität der e.m. Strahlung
b) Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur
a) Kristalle und Netzebenen:
• Einheitszelle:
  
aufgespannt durch Gittervektoren a , b , c



 Gitterkonstanten a  a , b  b , c  c



 Einheitsvolumen VE  c  a  b


 
c
b

a
Unendliche Folge von Einheitszellen 




Translationsgitter: Tm1 m2 m3  m1a  m 2 b  m3c , m1 , m 2 , m3  ℤ
• Netzebenen:
Durch beliebige drei nicht-kollinieare Gitterpunkte
wird eine Netzebene aufgespannt, die unendlich viele
Gitterpunkte enthält. Beliebige Gittertranslationen
verschieben die Netzebene in parallele Netzebenen.
So entsteht die zugehörige Netzebenenschar.
Beispiel: 2-D Gitter
• Flächennormalen:

a 
2π
VE
  
bc , b 
2π
VE
  
c  a , c 
2π
VE
 
ab
 
c
b

a
Eigenschaften:
     
a a  b b  c c  2π
         
a ba cb a b cc a c b0
• Reziprokes Gitter:
   
Reziproke Gittervektoren: a , b , c
Reziprokes Gitter:
      2 π 3
c  a b 
VE


(  Handout )




G n1 n 2 n 3  n1a  n 2 b  n 3c , n1 , n 2 , n 3  ℤ
Eigenschaft: Das reziproke Gitter zum reziproken Gitter ist das Ursprungsgitter
 
  
a  a
 
  
b b
c 
 

c
• Anschauliche Bedeutung des reziproken Gitters:




Reziprokes Gitter:
G n1 n 2 n 3  n1a  n 2 b  n 3c , n1 , n 2 , n 3  ℤ
   
 Die Vektoren a , b , c stehen senkrecht auf den Flächen der Einheitszelle


 Die Vektoren G n1 n 2 n 3  0 stehen senkrecht auf Netzebenenscharen des Gitters



Unschön: G k n1 k n 2 k n 3  k G n1 n 2 n 3  G n1 n 2 n 3  die Zuordnung zwischen
Netzebenenschar und Vektoren im reziproken Gitter ist uneindeutig.
• Millersche Indizes einer Netzebenenschar: h, k, l


Wähle beliebigen Vektor G n n n  0 senkrecht auf der Netzebenenschar.
1 2 3
Wähle q: | q|  GGT n1 , n 2 , n 3  ( Vorzeichen von q identisch mit dem des
ersten nicht-verschwindenden Index n1, n2, n3 )
Millersche Indizes:
h  nq1
k  nq2
Richtung senkrecht zur Netzebene:
  nq3
teilerfremd
hk 

Gh k 

Gh k 
h, k, l eindeutig
• Eigenschaften der Millerschen Indizes
dhk l

b
1
h
1
k

a

a

b
Ebene: n3  0

a
Achsabschnitte der ersten Netzebene vom Ursprung aus gemessen:
,
h
2π
d


Abstand benachbarter Netzebenen:
hk
Ghk

b
,
k

c

• Konstruktion der Millerschen Indizes
Schreibweise:
210

2b
m1   1
m2  2
m3  
p  2

a

b

a
h2
k  1
0
Ebene: n3  0



 Suche Achsgitterpunkte auf einer Netzebene: m1 a , m2 b , m3 c
 Suche kleinstes p ℕ mit p  m1,2,3 ℤ  h 
p
m1
, k  mp2 ,   mp3
Dieses Beispiel: m1  1, m2  2, m3    p  2 
h  2, k  1, l  0
b) Monochromatische Röntgenbeugung: Bragg-Reflexion
konstruktive
Interferenz einer
Netzebene


 d
hkl
Glanzwinkel


Gitterpunkte  punktförmige Streuer
dhkl
Netzebenenschar  h k l 
Konstruktive Interferenz aller Netzebenen:
 ,   Messung von dhkl
dhkl ,  fest  Monochromator für 
Bragg-Bedingung
2d hk sin θ  mλ
m  1, 2 , 
c) Spektral kontinuierliche Röntgenbeugung: Laue-Beugung
Bremsstrahlung in Röntgenröhre oder Synchrotronstrahlung
 Bei der Laue-Beugung überlagern sich die Bragg-Reflexe aller Netzebenen
für die jeweils passenden Wellenlängen.
 2π 
 
 
 
k λn
α 0  n 0 , a  β 0  n 0 , b γ 0  n 0 , c 

 
 
 
n 1
  n, a  β 
n, b
γ  n, c 
 
 


k 0  2λπ n 0

n0  1

k

k0

n

n0
 
 

Δ s1  T n 0 n 0
 
T  Tm1 m2 m3


 

Δ s2   T n n
Laue-Bedingung: Für alle m1, m2, m3 ist der Gangunterschied der Streuwellen
ein Vielfaches der Wellenlänge  des betrachteten Laue-Reflexes.
 
Δs  Tn 0  Tn  mλ , m ℤ
α0 

 
n 0 , a  β0 
n , a  β 

2π 
k0  λ n0

n0  1
 
 
 
n0 , b
 
n, b
γ0 
γ
 
n 0 , c 
n , c 

k

k0
 2π 
k λn

n 1

n

n0
 
Δs  Tn 0  Tn  mλ , m ℤ
 
 

Δ s1  T n 0 n 0
 
T  Tm1 m2 m3

 
   
 
 
T Δk  Tk 0  Tk  2π m  m1 a Δk  m2 b Δk  m3 c Δk  2π m
m1, m2, m3 beliebig  es gibt h, k, l ℤ mit


 

Δ s2   T n n
 
a Δ k  2π h
 
b Δ k  2π k
 
c Δ k  2π 
α0 

 
n 0 , a  β0 
n , a  β 
 
 
 
n0 , b
 
n, b
 
a Δ k  2π h
 
b Δ k  2π k
 
c Δ k  2π 
 
n 0 , c 
n , c 
γ0 
γ
Formulierung 1:
      2π     2π
2 π h  a Δ k  a k 0  a k  λ a n 0  a n   λ a cos α 0  cos α 
      2π     2π
2 π k  b Δ k  b k 0  b k  λ b n 0  b n  λ bcos β 0  cos β 
      2π     2π
2 π   c Δ k  c k 0  c k  λ c n 0  c n   λ ccos γ 0  cos γ 

Laue-Gleichungen:
cos α 0  cos α  h λa
cos β 0  cos β  k λb
cos γ 0  cos γ   λc

Für feste Einfallsrichtung (  0, 0, 0 ) und jede feste
Wahl von h, k, l:
• 4 Unbekannte: , , , 
• 3 Laue-Gleichungen
 
• 1 Normierungsgleichung: n  ncos α, cos β, cos γ   1
Für jede Wahl von h, k, l existiert genau ein LaueReflex bei einer ganz spezifischen Wellenlänge
Formulierung 2:


   
Darstellung von Δ k in Basis a , b , c




Δk  u a  v b  w c

 
a Δ k  2π h
 
b Δ k  2π k
 
c Δ k  2π 
0
0
2



 
 
 
2πh  a Δ k  u a a  v a b  w a c  2 π u  u  h
0
0
 
 
2

 
2 π k  b Δ k  u ba  v b b  w b c  2 π v  v  k
0
0
2



 
 
 
2π  c Δ k  u ca  v c b  w c c  2 π w  w  
 
Δk  G h k 

Laue-Reflexe treten genau dann auf, wenn Δ k ein
Gittervektor des reziproken Gitters ist.
Beziehung zur Bragg-Bedingung:

Δ k  2 2λπ sin θ


Δk  G h k 

Δk



k0

k
~ ~ ~
h, k, 

k
( Millersche Indizes )

~~~
h, k,    m  h ,k , 
m  GGT h,k, 



2π
 2 λ sin θ  G h k   m  G ~h ~k ~  m  d2~ ~π~

hk 

2 d ~h ~k ~ sin θ  m λ
d~~~
Folgerung: Für λ  2 sup
~ ~ ~ hk 
Bragg-Bedingung
existieren keine Bragg-Reflexe mehr.
h ,k , 
Das Medium wird optisch homogen.
Typischer Wert: dmax  51010 m

Vergleich: vis  5107 m
d) Analyseverfahren:
Laueverfahren ( Punktreflexe)

kontinuierliche
Röntgenstrahlung
Kristall
( fest orientiert )
Drehkristall-Verfahren ( Punktreflexe)
feste
Drehachse

monochromatische
Röntgenstrahlung
Kristall
Debye-Scherrer-Verfahren ( Linienreflexe)
Kristallpulver
( orientierungslos )
Film
e) Fazit: Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter ( Kristallbeugung...) als
auch Teilchencharakter ( Comptoneffekt,...). Das gilt auch generell für
elektromagnetische Strahlung ( Interferenz vs. Photoeffekt).


pγ   k
Eγ   ω

| pγ | 
2π
λ

h
λ
Kernreaktor
T  300K  En  25meV  pn  2mn E n  7 keV c
Detektor
Neutronen-Absorber
Kollimator
Moderator
 Neutronen-Abbremsung
(Thermalisierung)
thermische
Neutronen
Kristall
h
pn
 1,8 1010 m
Knüller: LaueReflexe wie bei
Röntgenstrahlung
mit   1,81010 m
Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter!
... und Elektronen ?
Dito !
Hypothese: Alle ,,Teilchen” (Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen,
Planeten, ... ) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeldwellen” (elektromagnetisch,
Gravitation, …) haben Teilchencharakter.
Quantentheorie
 Teilchen sind Wellen
Quantenfeldtheorie  Kraftfeldwellen sind Teilchen