Physik 4, Kapitel 1
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Physik IV: Quantenmechanik Historische Höhepunkte: 1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h (Wirkungsquantum) Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung 1905 Einstein Einführung des Lichtquants (Photon), E h Erklärung des Photoeffekts 1907 Einstein Einführung des Gitterschwingungsquants (Phonon), Evib h Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper 1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h Erklärung des Wasserstoffspektrums 1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p ħk Vorhersage von Materiewellen 1925 Schrödinger Wellen-Quantenmechanik Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik Geburt der modernen Quanten(feld)theorie Vorlesung Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie 1. Die Plancksche Quantenhypothese 1.1. Wärmestrahlung Wärmestrahlung Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern (z.B. Sonne) Folgerung: Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden 1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen Typ 1: Diskrete Frequenzspektren ( Linienspektren) bei atomaren molekularen Gasen nicht zu großen Drucks unabhängige Partikel T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur ( Bohrsches Atommodell ) Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren bei festenflüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks und dichten Plasmen in charakteristischer Weise T-abhängig Beispiele: Glühlampe, Bogenlampe, Metallschmelze, Sonnenplasma Emissionsvermögen: d F , d d dW dPE dt dF Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion Strahlungsrichtung ) von dF in d emittierte Strahlungsleistung Definition: Emissionsvermögen Strahlungsleistung pro Fläche und Raumwinkel Emissionsvermögen: E d PE d F d E E T PE Geometriefaktor E Beobachtung: E hängt von der Oberflächenbeschaffenheit ab schwarze Oberfläche E groß spiegelnde weiße Oberfläche E klein Integrales Absorptionsvermögen: d absorbierte Strahlungsleistung A d auftreffende Strahlungsleistung A AT idealer Spiegel Gedankenexperiment: Vakuum i .a . unterschiedliche Oberflächen ①, ② P1 P2 2. Hauptsatz der Thermodynamik d Q1 A1 P2 k geom A1 E 2 ①: dt dQ 2 A 2 P1 k geom A 2 E1 ②: dt Folgerung: P1 T P2 T A1 T A 2 T d Q1 d Q 2 dt dt T T P2 P1 ① thermisches Gleichgewicht ② kgeom Geometriefaktor E1 T E2 T KT A1 T A 2 T Kirchhoffsches Strahlungsgesetz: unabhängig von Oberfläche E T KT AT Defintion: Ein Körper heißt ideal schwarz, wenn seine Oberfläche alle elektromagnetische Strahlung vollkommen absorbiert, d.h. A 1. Folgerung: Ein ideal schwarzer Körper besitzt das größtmögliche Emissionsvermögen für thermische Strahlung. Technische Realisierungen: a) schwarze Oberfläche großer Rauhigkeit Vielfachstreuung, allmähliche Absorption, keine nennenswerte Reflexion b) Hohlraum mit geschwärzten Innenwänden Prinzip Realisierung kleines Loch WandTemperatur T Thermoelement E* V Heizung Schwarzkörperstrahlung Hohlraumstrahlung universelles Emissionsspektrum für gegebene Temperatur 1.1.2. Charakteristische Größen thermischer Strahlung i ω t k r dω dΩ Strahlungsfeld Überlagerung ebener Wellen E E0 ω, θ, e sin θ sin ω k sin θ cos c cos θ d d d cosθ a) Energiedichte eines Strahlungsfeldes w ε 0 E 02 d ω d Ω w mJ Spezialfall: Isotropes Feld E 0 E 0 ω w 4 πε 0 E dω dw w dΩ 4π 2 0 3 Spektrale Energiedichten eines Strahlungsfeldes i ω t k r E E0 ω, θ, e dω dΩ wν wλ ε E ν dω dΩ 2π ε E ε E λ dω dΩ ε E 0 2 0 ω 2π 0 2 0 2πc ω w λ λ c ν c λ2 wν ν2 c 0 2πc λ 2 0 dΩ 2 0 λ dΩ w m JHz 3 w mJ w w ν d ν w λ dλ wν Spezialfall: Isotropes Feld dw ν w ν dΩ 4π 2 0 ν E 0 E 0 ω dw λ w λ dΩ 4π 4 i ω t k r E E0 ω, θ, e dω dΩ b) Intensität bzw. Energieflussdichte eines Strahlungsfeldes I S dω E 0 H 0 dω I mW 2 ε 0 c E 02 d ω n k n dF Spezialfall: Isotropes Feld w 4 πε 0 E 02 d ω E 0 E 0 ω 4πI cw c) Messgröße: Strahlungs- bzw. Leuchtdichte einer Quellfläche d dW dt dF dF dW S d t d Ω d Fcosθ W S 2 m Sterad Die Strahlungsdichte S* ist die pro Raumwinkel und projizierter Emissionsfläche in einem weit entfernten Detektor registrierte Leistung Analog: Spektrale Strahlungsdichten ν S d S dν λ S d S dλ Spezialfall: S* ist richtungsunabhängig. Dann heißt die Quellfläche Lambertstrahler. Hohlraumöffnungen sind Lambertstrahler! Zusammenhang mit der Energiedichte des Quellfeldes: dF d V c d t d F cos θ dW dt d dF dW dW dw S c c d t d Ω d Fcosθ d V dΩ dΩ Analog: dw ν S c dΩ ν Spezialfall: Isotropes Quellfeld: dw λ S c dΩ λ d w ν, λ dΩ w ν, λ 4π 4πS ν, λ w ν, λ c Strahlungsleistung auf infinitesimaler Empfängerfläche: 2 dF1 Quelle 1 . dΩ dF2 d F2 cos θ 2 r2 d W1 dt Detektor r d W1 cos θ 2 S1 cos θ1 d F1 dΩ S1 cos θ1 d F1 d F2 2 dt r Bestrahlungsstärke ( Intensität ) am Detektor: d W1 cos θ 2 S1 cos θ1 r 2 d F1 d F2 d t F1 2 Strahlungsleistung auf ausgedehnter Empfängerfläche: d F2 cos θ 2 r 2dφ d cos θ dF2 d W1 d F1 S1 cos θ cosr 2θ 2 d F2 dt F2 1 d F1 S cos θ dcos θ dφ F2 dF1 Lambertstrahler S1 const . φ 0,2π d W1 1 2 2 d F1 S1 dcos θ dφ dt F2 θ 0, θ m Emission in gesamten Halbraum ( m ): d W1 π S1 1 cos 2 θ m d F1 dt d W1 dt π S1 d F1 Halbraum 1.1.3. Hohlraumstrahlung Definition: Der ideale Hohlraum hat das Volumen V und die Wände befinden sich ( durch Wärmestrahlung ) im thermischen Gleichgewicht ( Temeratur T ). Folgerung 1: Leistungsbilanz der Wände an jeder Stelle: d WA ν d WE ν dt dt absorbiert emittiert Folgerung 2: Das Strahlungsfeld ( Hohraumstrahlung ) ist isotrop. Beweis: Betrachte dünne Testscheibe. Thermisches Gleichgewicht Temperatur T. Angenommen, am Ort der Testscheibe wäre die Strahlung anisotrop: Intensität groß Intensität groß Drehung Intensität klein dF T Intensität klein T T dF Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik. Folgerung 3: Das Strahlungsfeld ( Hohraumstrahlung ) ist auch homogen. Beweis: Betrachte dünne Testscheibe. Thermisches Gleichgewicht Temperatur T. Angenommen, es gäbe 2 Orte mit unterschiedlicher Strahlungsintensität: Intensität groß Intensität klein dF Intensität groß Verschiebung dF T T Intensität klein T Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik. Folgerung 4: Leistungsbilanz der Testscheibe an jedem Ort in jeder Orientierung d WA dt A ν Sν d F d Ω d ν d WA dt d dWtE d WE dt E ν d F d Ω d ν Kirchhoffsches Strahlungsgesetz ν ν E S Aν d WE dt Thermische Emission und Absorption eines Körpers der Temperatur T sind über die Strahlungsdichte der zugehörigen Hohlraumstrahlung verknüpft: K T S ν ν d WA dt d T dF Folgerung 5: Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung Wandgeometrie und Beschaffenheit beliebig ( V ) verwende o.B.d.A. ideal leitenden Würfel, Kantenlänge a a a Physik III Eigenfrequenzen der stehenden Wellen ( Moden ) ν nmj c 2a n, m, l ℕ30 \ 0,0,0 n 2 m 2 j2 je 2 Polarisationen pro Mode Modendichte N() Zahl der Moden in [ 0 , ] pro Volumen # Polarisationen Nν 2 lim a 1 a3 4π 8 Kugelkoordinaten r n, m, j 1 2 lim a n ,m , j ν nmj ν Nν 8π 3 ν 3 c 1 a3 d n d m d j 2 lim ν nmj ν a 1 a3 1 2a 3 ν 3 c 2a c 2 d Ω r d r n , m , j 0 Spektrale Modendichte n ν dN dν ν 8cπ3 ν 2 0 a 1.1.4. Das Plancksche Strahlungsgesetz n ν 8cπ3 ν 2 Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung: Wν T Mittlere Energie der Moden: w ν T n ν Wν T Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung: Klassisches Modell: Jede Mode ist an harmonische Schwingungen der Atome in den Wänden gekoppelt. Im thermische Gleichgewicht folgt (Äquipartitionstheorem): Wν T 1 2 k BT kinetische Energie 1 2 k BT k BT k T potentielle Energie Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz w ν T 8π ν2 c3 kT ν S wν c 4π 2 ν2 c2 kT Experiment stimmt nur für 0 ( z.B. Infrarotbereich bei T 5000 K ) Ultraviolett-Katastrophe: w ν T ν 2 w T w ν T d ν Plancksche Hypothese: Jede Mode ist an quantisierte harmonische Schwingungen der Wandatome gekoppelt: Wν n h ν ,,Hilfsgröße” h: n ℕ Plancksches Wirkungsquantum: h 6,626 1034 Js Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagnetischen Feldes, dem Photon, getragen. Die Energie W nh entspricht der Energie von n Photonen der Frequenz im Hohlraum. Postulat: Die ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik Boltzmannsches Verteilungsgesetz Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n: p ν n en h ν β jhν β e j0 p ν W exp kWT exp n kh Tν β 1 kT p ν n Wν T n h ν en h ν β 1 β kT jhν β e j0 Also: Wν T p ν n Wν T n 0 n h ν β n h ν e n 0 jh ν β e 1 1 e h ν β j 0 geometrische Reihe n h ν β n h ν e n 0 n h ν β 1 h νe h ν β e h ν β h ν β 2 β n 0 β 1 e 1 e h νe h ν β hν Wν T hν β h ν β 1 e e 1 Wν T hν hν kT e 1 n ν w ν T n ν Wν T 8cπ3 ν 2 dN dν 3 c 2 h ν 1 Sν wν 2 hν 4π c e kT 1 Plancksches Strahlungsgesetz 8π h ν 3 1 w ν T hν 3 k c e T 1 2 5 ν 2 h ν 1 Sλ S ν 3 h ν c c e kT 1 Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums Infrarot-Grenzfall: h ≪ k T ( klassischer Grenzfall ,,h 0” ) hν kT e 1 Ultraviolett-Grenzfall: h ≫ k T hν kT w ν T 8cπ3 ν 2 k T Rayleigh-Jeans-Gesetz hν kT e 1 e hν kT w ν T 8π h c3 hν 3 kT ν e Wiensches Strahlungsgesetz [ λ S 2 k T 5 h 4 c3 ] 1000 Rayleigh-Jeans 100 10 Planck Wien 1 0,1 0,01 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 λ hc kT 25 Position des Maximums: λ S 20 5 2 h ν 1 Sλ 3 hν k c e T 1 λ ] 10 5 S Max ln S Max x h 4 c3 15 λ Abkürzung: [ 2 k T 5 0 hν kT 0 0.2 0.4 0.6 0.8 λ ln Sλ const . 5 ln x ln e x 1 ! 0 λ ln S 5 x ν max 4,9651 kT h d dλ dx ex e x 1 d λ x 5 1 ex 103GHz TK x 4,9651 λ max 0,2014 khTc Wiensches Verschiebungsgesetz T λ max 2,898 mm K const . 2 ,898mm T K 1 hc kT 1.6 Gesamte Energiedichte: 1.2 8π h ν 3 1 w ν T hν 3 k c e T 1 Abkürzung: x w ν dν x w 8π h c3 8 π k T 4 h c 3 x3 e x 1 [ h 2 c3 ] 0.8 hν kT kT 3 h wν 8 π k T 3 0.4 3 1 kT e x 1 h dx 0 0 d x 15h 3 c3 k T 8 π5 4 2 S 4 c 4π 6 x 8 w 15h 3 c2 k T 2π4 4 0 1 15 π4 Leistungsabgabe eines Lambertstrahlers der Fläche F in Halbraum: S F Stefan-Boltzmann-Gesetz dW dt σ F T 4 σ 15h 3 c2 5,67 108 W m 2 K 4 2 π5 k 4 Stefan-Boltzmann-Konstante 10 Anmerkungen: • Experimentelle Messung des Hohraumspektrums 5 2 h ν 1 Sλ 3 hν c e kT 1 – Bestätigung der Planckschen Theorie – Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an gemessene Spektren • Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?) – Energie: E γ h ν ω – Impuls: 1 | p γ | c E 1c h ν hλ h 2 π | k | | k | h 2π vγ c , mγ 0 • Vorgriff: De Broglies Geniestreich Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln ( Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ... ), die dann auch Wellennatur haben? Postulat: E ω p k 1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern 1.2.1. Klassische Theorie Avogadrokonstante Erinnerung: Innere Energie eines Mols ( NA Teilchen ) einer Substanz: U Molare spezifische Wärme CV U T V const. Äquipartitionstheorem: Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½ RT der inneren Energie U. # Freiheitsgrade Gaskonstante U f2 R T CV f2 R R NA k 1-atomige Gase f 3 (Translation: 3, Rotation: 0 ) CV 32 R 2-atomige Gase f 5 (Translation: 3, Rotation: 2 ) CV 52 R mehratomige Gase f 6 (Translation: 3, Rotation: 3 ) CV 3 R Festkörper f6 CV 3 R ( Schwingungen der Gitteratome ) (Ekin: 3, Epot: 3) Experimenteller Befund: CV 3R klassische Theorie Pb C 0 1000 T [K] Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei • kleinen Temperaturen • Festkörpergitter aus leichteren Atomen hohe Schwingungsfrequenzen • stark gebundenen Festkörpergittern Déjà-vu: Ultraviolettkatastrophe !! ?? Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne Photonen Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze Phononen ??? 1.2.2. Das Einstein-Modell Postulat ( Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese ): • Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren ( Eigenkreisfrequenz ) ist stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants ω . • Bei Festkörpern ergibt sich aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den Gitterplatz und das Grundquant der Energie ω heißt Phonon. Ein SchwingungsZustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen: E vib n ω Vorgriff: Quantenmechanisch korrektes Resultat für harmonische Oszillatoren E n n 12 ω macht hier keinen Unterschied ( Glück gehabt ) Mittlere Schwingungsenergie: Analog zu Wν T bei Hohlraumstrahlung E vib hν hν kT e 1 ω θE T e 1 1 2 ω Einstein-Temperatur θ E ω kω NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung U 3N A E vib ω kθ E θE 3N A θ E T 3N A θ E T 3R θ E T e 1 e 1 e 1 θE 2 T θE T e U CV 3R θE T V e T 1 Klassischer Grenzfall: T ≫ E 32 NA ω quantenmechanische Grundzustandsenergie 2 0 Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ E CV 3R C V 3R e θ E 2 θ E T T Experiment C V T 0 3 0 1.2.3. Das Debye-Modell Einstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt 1 Kopplungsfrequenz Debye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt stehende Wellen -Spektrum 2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung: a λ max 2a a a ν Tmin vT 2a ν Tmax a 1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung: λ max 2a ν Lmin a ≫ Atomabstand vL 2a V Effektive Grenzfrequenz νg ν Lmax ν Tmin ν Lmin 0 a freier Modellparameter (wie bei Hohlraumstrahlung) Kontinuumsgrenzfall 1.1.3. Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: 4 3π n ν 4 π ν 2 2 v 3T v13 4 π ν 2 L c 3 v3 ν2 ( c Phasengeschwindigkeit ) Planck nν 4π ν 2 c23 Debye n ν 4 π ν 2 Einstein nν ν ν 0 3 v3 g 0 νg Normierung von n() im Debye-Modell: V n ν d ν 3N A # Schwingungsmoden V 12v3π 13 ν 3g Folgerung: 0 1 3 Debye-Grenzfrequenz: νg v Debye-Temperatur: θ D k ωg hk ν g 3 NA 4π V ωg v 6 π 2 NA V 1 3 12π ν n ν v3 Wν T 2 νg v νg UV Subst. x 12 π h v3 hν kT 9h NA ν 3g 0 1 d ν e 1 3 NA 4π V 0 1 3 νg g ν3 exp 0 h νg kT x3 ex 1 U V n ν Wν T d ν hν kT 3NA hν kT kT 4 h hν 12π h 4 π ν 3 ν3 exp νg 1 d ν hν kT h νg k θD R NAk dx 0 U θD T 9R θ 3D T 4 0 Spezifische Wärme: U CV T V θ T x 9R θ 3D T θD 0 θ 3 exp ( Tθ ) 1 3 θ T D T CV 9R θD dθ θ 3 9R D 0 θD x 4 ex x 1 2 θ 3 exp ( Tθ ) 0 e exp ( dx θ T θ T2 2 ) 1 dθ x3 ex 1 dx 3 θ T D T CV 9R θD Klassischer Grenzfall: T ≫ D 3 θ T D T C V 9R θD 0 x 4 ex e x 0 1 2 dx 0 3 θ T D T x 4 1 d x 9 R 2 1 x 1 θD 3 T 1 θD 2 3R x d x 9 R 0 θD 3 T Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ D 3 3 T x 4 ex 12 4 T 3 CV 9 R d x π R T 2 θ x 5 θ D 0 e 1 D 4 15 π4 Erweiterungen: • Mehrere Grenzfrequenzen ( z.B. für anisotrope Kristalle ) • Beachte Phonon-Dispersion ω ω k in spektraler Dichte 3 Rätsel: Das freie Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei. Klassische Erwartung: CV 3 2 kT Elektronen Quantenmechanische Erklärung: Elektronen besitzen den Spin ( Drall) 1 2 Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden. Theorie des Fermigases ( VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik ) Die Dichte n() der Energiezustände wächst mit ½ an. n() FermiKante T 0K n() T0 kT nicht anregbar kT angeregt FermiEnergie voll besetzt F F F ≫ kBZimmertemperatur nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante 1.3. Photonen Newton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes nicht erfolgreich Huygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie des Lichtes erfolgreich Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen Zündung einer anderen Funkenstrecke; ,,Photonen” (Licht-Korpuskel) schlagen Elektronen aus der Elektrode 1.3.1. Der Photoeffekt Experiment von Hallwachs ( 1887): Metallplatte Elektrometer UV-Licht Plattenladung Beobachtung negativ Entladung positiv keine Entladung neutral positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential” Die Photozelle ( Lenard, 1902 ) Strahlungsdichte S* Photokathode Vakuumröhre R Iph Photostrom Sättigung Elektronen Iph U U0 Kompensations -Spannung U S* Befunde: Iph Iph U U0 U Wellenbild Korpuskelbild a) S*↗ Iph↗ ✔ ✔ b) Sättigungsstrom unabhängig von U sobald Raumladungseffekte klein ✔ ✔ ↯ ✔ c) e U0 max. kinetische Energie ausgelöster Elektronen abhängig von , nicht aber von S* S* Iph Iph U0 U U Wellenbild d) Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g ein. g hängt vom Kathodenmaterial ab. Iph S* g1 g2 Korpuskelbild ↯ ✔ ↯ ✔ S* Iph Iph U0 U U Wellenbild e) Die Gegenspannung hängt charakteristisch von der Frequenz ab. eU0 ↯ ✔ ↯ ✔ tan α h 0 Korpuskelbild g Austrittsarbeit S* Iph Iph U U0 U Wellenbild f) Zwischen Lichteinfall und Photostrom gibt es keine messbare Verzögerung Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode Hohe Bestrahlunsintensität Elektronendichte Zeitverzögerung ( Wellenbild) Korpuskelbild ↯ 2 eV 3 1019 Ws I 1mW cm2 n 1015 cm2 t 100 ms ✔ Hypothese (Einstein, 1905; Nobelpreis 1912): Licht ist in Photonen der Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung. Einstein-Gleichung E Eγ h ν Ekin h ν E kin Vakuum-Potential 0 Fermi-Kante EF Leitungselektronen Grenzfrequenz: ν g h Grenzwellenlänge: λ g hc S* Iph Iph U0 U U Messung von U0 als Funktion von h, Oberfläche eV g nm e U 0 E kin h ν eU0 Au 5,3 234 UV Nb 4,3 288 UV Cs 2,14 579 Visible Ta / Cs 1,3 954 Near IR Anwendung: Cs-aktivierte Photokathoden Quanteneffizienz typisch 25 ν g h tan α h 0 g Austrittsarbeit λg hc nm 1240 [ eV ] Anwendung: Photomultiplier Experiment: Korpuskelnatur des Lichts PM 0 Punktquelle ( Spalt ) Hohe Intensität kontinuierlicher Photostrom in allen PMs Kleine Intensität statistisch verteilte, kurze Stromstöße in einzelnen PMs Moderner Detektor für geladene und neutrale Korpuskelstrahlung ( Teilchen): LEP-Speicherring, CERN, Genf: e E 50100 GeV e E 50100 GeV e e Absorptionssignal eines weniger harten Photons, abgestrahlt vom Ionisationsspur des positiven Myons Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom Ionisationsspur des negativen Myons 1.3.2. Der Comptoneffekt Messprogramm: Für jeden fest eingestellten Streuwinkel drehe Monochromator/DetektorArm (), bis das DetektorSignal maximal ist. ( Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927 ) Blende drehbarer Monochromator/ Detektor-Arm PhotonDetektor λS λS α Blende RöntgenQuelle Bragg-Kristall (Monochromator) Blende Ungestreute Strahlung λ0 Target-Material ( Substanz mit schwach gebundenen Elektronen in Atomhüllen ) Klassische Theorie: ebene Welle E S 0 quasi-freies Elektron in Atom Schwingung des Elektrons Hertzscher Dipol Streuwellenlänge: S 0 Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute Komponente mit S > 0. Diese nicht-klassische Komponente wird umso stärker, desto härter (desto kleiner ) die einfallende Strahlung ist. Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild: k0 λS kS λ0 2πc ω0 2πc ωS E S ωS pS k S E S c pS me e Eγ ω pγ k0 Eγ c pγ pe Ee schwach gebunden: EB ≪ E quasi-frei, in Ruhe Physik 3 Compton-Wellenlänge des Elektrons λ S λ 0 2 λ C sin 2 φ 2 λ C mhe c 2,426 1012 m Bemerkungen: Δλ λS λ 0 2 λ C sin 2 φ2 , λ C mhe c a) Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom ≫me. b) Compton-Formel experimentell bestätigt noch eine unabhängige Messung von h. c) Δλ λ0 2 λλC0 sin 2 φ nur groß falls 0 ≲OC X- und -Strahlung 2 E γ ω0 hc λ0 λC λ0 mec2 λC λ0 511 keV d) Ein Photon mit 0 C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S . Hier: Δλ 2 λ C sin 2 180 λS 3 λ C 2 2 λC e) Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen/Positronen (z.B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen) an weichen Photonen (z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7-Hintergrundstrahlung). Zurückführung auf Compton-Streuung durch Lorentztransformation ins Ruhesystem des e. AGN Cas A Jet elliptische Galaxie 1.3.3. Photonen im Gravitationsfeld Relativistische Photonmasse: Turm E hν m 2 2 c c Detektor 2 E im Gravitationsfeld: Δ E m Δ G mg H h ν1 h ν 2 h Δ ν mg H ν g H Δ ν g H Δ G Δν 2 2 2 h c ν c c Bestätigt mittels Mößbauer-Spektroskopie Bemerkungen: • Rotverschiebung bei Abstrahlung von Sonne: Δν M G 2 ν Rc • 2 0 unendliche Rotverschiebung Schwarzschildradius RS GMc2 Schwarze Löcher • Wellenbild ergibt gleiches Resultat mittles Zeitdilatation im Gravitationsfeld ( Physik III) H ν ν1 ν 2 1 Quelle R.V. Pound and G.A. Rebka: Phys. Rev. Lett. 4 (1960) 337 1.3.4. Der Mößbauer-Effekt ( Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961 ) Atomhülle / Atomkerne quantisierte Energieniveaus ( z.B. aus Linienspektren) Beispiel: Fixiertes Atom Emission E E1 Iω e h ν ΔE E1 E 0 E0 Resonanzabsorption e ω Iω E1 E E0 T1 δE1 1 T1 Lebensdauer T1 E1 E1 ω Lebensdauer T1 ω h ν ΔE 1 T1 e a ω , 2, E1 h Natürliche Linienbreite (Heisenbergsche Unschärfe) Beispiel: Atomhülle Emission /Absorption im sichtbaren Bereich (typisch) E γ Ο1eV Na-D-Linie: Δν 10 10 ν Δ ν 1107 Hz λ 589 nm Δν ν ν 5 1014 Hz 2 108 Beispiel: Atomkern Emission/Absorption im Röntgen-/Gamma-Bereich E γ Ο10 k eV Ο1MeV 57Fe-Linie: 57 27 57 26 Co K - Einfang Fe Abregung 57 26 57 26 Fe ν e Fe γ14,4 k eV Δν ν 3 1013 E Rückstoßeffekt bei freien Atomen: M Absorption: ωa Mv E1 ω , k e E0 ωa ω 12 M v 2 k a M v k a ωca Emission: k a2 ωa ω 2M ω v2 v2 1 1 c 2 M c k 2 M c k Mv ωe ω 12 M v 2 k k e M v M k2 ωa ω 2M E ωe k2 ωe ω 2M E1 E0 e ω , k k2 ωa ω 2M k2 ωe ω 2M Rückstoßeffekt: Atomhülle: Na-D-Linie Δω ω Iω 1010 2 108 Δωω e a k 2 ω2 Δ ω ωa ωe M Mc 2 Δω ω ω Mc 2 Atomkern: nat. ω Emission und Reabsorption möglich Δω ω Iω 57 27 Co 2,7 107 3 1013 Δωω e a nat. ω Reabsorption nicht möglich Rückstoßfreie Emission/Absorption (Mößbauer-Effekt): Δω Atom im Kristallgitter M MKristall 0 ω a) keine Phonon-Anregung b) Phonon-Anregung EG ( überwiegt bei T ≪ D ) ωa ωe ωa ωe Δ E G Messvorrichtung: v ≲ O (1 ms) Absorber a Emitter e Detektor Zählrate v R c ν aνeν e ν 1 vc ν e Dopplereffekt Anwendungen: • • • • • Kernniveaus in e.m.-Feldern des Gitters Kernstruktur (Quadrupolmoment) Gitterdynamik ( Phonon-Anregung) Gravitationsrotverschiebung v 1.3.5. Röntgenbeugung ( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 ) • 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung ( Röntgen, Gamma ) hat Teilchencharakter • Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter? • Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man Beugungsgitter her? • Max von Laue Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung! Röntgenstrahlen Beugungsbild v. Laue, Friedrich, Knipping (1912) Kristall e Vakuumröhre Fotoplatte Resultat: a) Welle/Teilchen Dualität der e.m. Strahlung b) Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur a) Kristalle und Netzebenen: • Einheitszelle: aufgespannt durch Gittervektoren a , b , c Gitterkonstanten a a , b b , c c Einheitsvolumen VE c a b c b a Unendliche Folge von Einheitszellen Translationsgitter: Tm1 m2 m3 m1a m 2 b m3c , m1 , m 2 , m3 ℤ • Netzebenen: Durch beliebige drei nicht-kollinieare Gitterpunkte wird eine Netzebene aufgespannt, die unendlich viele Gitterpunkte enthält. Beliebige Gittertranslationen verschieben die Netzebene in parallele Netzebenen. So entsteht die zugehörige Netzebenenschar. Beispiel: 2-D Gitter • Flächennormalen: a 2π VE bc , b 2π VE c a , c 2π VE ab c b a Eigenschaften: a a b b c c 2π a ba cb a b cc a c b0 • Reziprokes Gitter: Reziproke Gittervektoren: a , b , c Reziprokes Gitter: 2 π 3 c a b VE ( Handout ) G n1 n 2 n 3 n1a n 2 b n 3c , n1 , n 2 , n 3 ℤ Eigenschaft: Das reziproke Gitter zum reziproken Gitter ist das Ursprungsgitter a a b b c c • Anschauliche Bedeutung des reziproken Gitters: Reziprokes Gitter: G n1 n 2 n 3 n1a n 2 b n 3c , n1 , n 2 , n 3 ℤ Die Vektoren a , b , c stehen senkrecht auf den Flächen der Einheitszelle Die Vektoren G n1 n 2 n 3 0 stehen senkrecht auf Netzebenenscharen des Gitters Unschön: G k n1 k n 2 k n 3 k G n1 n 2 n 3 G n1 n 2 n 3 die Zuordnung zwischen Netzebenenschar und Vektoren im reziproken Gitter ist uneindeutig. • Millersche Indizes einer Netzebenenschar: h, k, l Wähle beliebigen Vektor G n n n 0 senkrecht auf der Netzebenenschar. 1 2 3 Wähle q: | q| GGT n1 , n 2 , n 3 ( Vorzeichen von q identisch mit dem des ersten nicht-verschwindenden Index n1, n2, n3 ) Millersche Indizes: h nq1 k nq2 Richtung senkrecht zur Netzebene: nq3 teilerfremd hk Gh k Gh k h, k, l eindeutig • Eigenschaften der Millerschen Indizes dhk l b 1 h 1 k a a b Ebene: n3 0 a Achsabschnitte der ersten Netzebene vom Ursprung aus gemessen: , h 2π d Abstand benachbarter Netzebenen: hk Ghk b , k c • Konstruktion der Millerschen Indizes Schreibweise: 210 2b m1 1 m2 2 m3 p 2 a b a h2 k 1 0 Ebene: n3 0 Suche Achsgitterpunkte auf einer Netzebene: m1 a , m2 b , m3 c Suche kleinstes p ℕ mit p m1,2,3 ℤ h p m1 , k mp2 , mp3 Dieses Beispiel: m1 1, m2 2, m3 p 2 h 2, k 1, l 0 b) Monochromatische Röntgenbeugung: Bragg-Reflexion konstruktive Interferenz einer Netzebene d hkl Glanzwinkel Gitterpunkte punktförmige Streuer dhkl Netzebenenschar h k l Konstruktive Interferenz aller Netzebenen: , Messung von dhkl dhkl , fest Monochromator für Bragg-Bedingung 2d hk sin θ mλ m 1, 2 , c) Spektral kontinuierliche Röntgenbeugung: Laue-Beugung Bremsstrahlung in Röntgenröhre oder Synchrotronstrahlung Bei der Laue-Beugung überlagern sich die Bragg-Reflexe aller Netzebenen für die jeweils passenden Wellenlängen. 2π k λn α 0 n 0 , a β 0 n 0 , b γ 0 n 0 , c n 1 n, a β n, b γ n, c k 0 2λπ n 0 n0 1 k k0 n n0 Δ s1 T n 0 n 0 T Tm1 m2 m3 Δ s2 T n n Laue-Bedingung: Für alle m1, m2, m3 ist der Gangunterschied der Streuwellen ein Vielfaches der Wellenlänge des betrachteten Laue-Reflexes. Δs Tn 0 Tn mλ , m ℤ α0 n 0 , a β0 n , a β 2π k0 λ n0 n0 1 n0 , b n, b γ0 γ n 0 , c n , c k k0 2π k λn n 1 n n0 Δs Tn 0 Tn mλ , m ℤ Δ s1 T n 0 n 0 T Tm1 m2 m3 T Δk Tk 0 Tk 2π m m1 a Δk m2 b Δk m3 c Δk 2π m m1, m2, m3 beliebig es gibt h, k, l ℤ mit Δ s2 T n n a Δ k 2π h b Δ k 2π k c Δ k 2π α0 n 0 , a β0 n , a β n0 , b n, b a Δ k 2π h b Δ k 2π k c Δ k 2π n 0 , c n , c γ0 γ Formulierung 1: 2π 2π 2 π h a Δ k a k 0 a k λ a n 0 a n λ a cos α 0 cos α 2π 2π 2 π k b Δ k b k 0 b k λ b n 0 b n λ bcos β 0 cos β 2π 2π 2 π c Δ k c k 0 c k λ c n 0 c n λ ccos γ 0 cos γ Laue-Gleichungen: cos α 0 cos α h λa cos β 0 cos β k λb cos γ 0 cos γ λc Für feste Einfallsrichtung ( 0, 0, 0 ) und jede feste Wahl von h, k, l: • 4 Unbekannte: , , , • 3 Laue-Gleichungen • 1 Normierungsgleichung: n ncos α, cos β, cos γ 1 Für jede Wahl von h, k, l existiert genau ein LaueReflex bei einer ganz spezifischen Wellenlänge Formulierung 2: Darstellung von Δ k in Basis a , b , c Δk u a v b w c a Δ k 2π h b Δ k 2π k c Δ k 2π 0 0 2 2πh a Δ k u a a v a b w a c 2 π u u h 0 0 2 2 π k b Δ k u ba v b b w b c 2 π v v k 0 0 2 2π c Δ k u ca v c b w c c 2 π w w Δk G h k Laue-Reflexe treten genau dann auf, wenn Δ k ein Gittervektor des reziproken Gitters ist. Beziehung zur Bragg-Bedingung: Δ k 2 2λπ sin θ Δk G h k Δk k0 k ~ ~ ~ h, k, k ( Millersche Indizes ) ~~~ h, k, m h ,k , m GGT h,k, 2π 2 λ sin θ G h k m G ~h ~k ~ m d2~ ~π~ hk 2 d ~h ~k ~ sin θ m λ d~~~ Folgerung: Für λ 2 sup ~ ~ ~ hk Bragg-Bedingung existieren keine Bragg-Reflexe mehr. h ,k , Das Medium wird optisch homogen. Typischer Wert: dmax 51010 m Vergleich: vis 5107 m d) Analyseverfahren: Laueverfahren ( Punktreflexe) kontinuierliche Röntgenstrahlung Kristall ( fest orientiert ) Drehkristall-Verfahren ( Punktreflexe) feste Drehachse monochromatische Röntgenstrahlung Kristall Debye-Scherrer-Verfahren ( Linienreflexe) Kristallpulver ( orientierungslos ) Film e) Fazit: Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter ( Kristallbeugung...) als auch Teilchencharakter ( Comptoneffekt,...). Das gilt auch generell für elektromagnetische Strahlung ( Interferenz vs. Photoeffekt). pγ k Eγ ω | pγ | 2π λ h λ Kernreaktor T 300K En 25meV pn 2mn E n 7 keV c Detektor Neutronen-Absorber Kollimator Moderator Neutronen-Abbremsung (Thermalisierung) thermische Neutronen Kristall h pn 1,8 1010 m Knüller: LaueReflexe wie bei Röntgenstrahlung mit 1,81010 m Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter! ... und Elektronen ? Dito ! Hypothese: Alle ,,Teilchen” (Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen, Planeten, ... ) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeldwellen” (elektromagnetisch, Gravitation, …) haben Teilchencharakter. Quantentheorie Teilchen sind Wellen Quantenfeldtheorie Kraftfeldwellen sind Teilchen
