Erste Annäherung an die Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit
ERSTE ANNÄHERUNG AN DIE
WAHRSCHEINLICHKEIT
Übersetzung: / Tradotto da:
INHALT
1) Einführung in die Wahrscheinlichkeit
2) Zufallsereignisse
3) Rechenbeispiele zur Wahrscheinlichkeit
4) Wert der Wahrscheinlichkeit
5) Das Gesetz der großen Zahlen
6) Inkompatible Ereignisse und kompatible Ereignisse
7) Komplementäre Ereignisse
8) Zusammengesetzte Ereignisse
9) Bedingte Wahrscheinlichkeit und abhängige Ereignisse
Einführung in die Wahrscheinlichkeit
Die meisten Phänomene, die wir täglich erleben, können sich auf
unterschiedliche Weise zeigen, aber es ist fast immer unmöglich
vorher zu sagen, wie sie jedes Mal geschehen.
Wenn man eine Münze wirft und das Ergebnis (Kopf oder Zahl)
notiert, hat man ein so genanntes einfaches Zufallsexperiment
oder ein elementares Zufallsexperiment durchgeführt. Vor dem
Münzwurf sind beide Ergebnisse möglich, sodass das Ergebnis
des Experiment im Voraus unsicher ist.
Ähnliche Situationen ergeben sich beim Würfeln, beim Ziehen
der Nummern bei einer Tombola usw.
Zufallsereignisse
Ein Zufallsereignis (oder aleatorisches Ereignis) kann sein:
 unmöglich, wie z.B. die Zahl 100 bei einer Tombola ziehen
 sicher, wie das Erhalten einer Zahl zwischen 1 und 6 beim
Würfeln
 möglich, wie z.B. eine weiße Kugel aus einer Schachtel mit
weißen und roten Kugeln zu ziehen
Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
Eine erste Definition, die als die „klassische“ bezeichnet wird, ist
jene, welche die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses als
das Verhältnis zwischen der Anzahl der günstigen Fälle und der
Anzahl aller möglichen Fälle definiert, sofern sie dieselbe
Wahrscheinlichkeit haben, einzutreten.
probabilit à 
numero dei casi favorevoli
numero dei casi possibili
Beispiele zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl, welche zu einem Ereignis
E gehört und den Erwartungswert seines Eintretens ausdrückt.
Machen wir ein Beispiel: Wenn ich eine Münze werfe, wie groß
ist da die Wahrscheinlichkeit, dass „Zahl“ geworfen wird?
Es gibt 2 mögliche Fälle: „Kopf“ oder „Zahl“.
Es gibt 1 günstigen Fall: „Zahl“.
Die Wahrscheinlichkeit, dass „Zahl“ geworfen wird, beträgt also
1 zu 2, also 1/2.
Beispiele zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Noch ein Beispiel: Wenn ich würfle, wie groß ist da die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine „gerade Zahl“ würfle?
Es gibt 6 mögliche Fälle (so viele wie Zahlen gewürfelt werden
können).
Es gibt 3 günstige Fälle (also die Zahlen 2, 4 oder 6).
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird,
beträgt also 3 zu 6, also 3/6.
Vom Wahrscheinlichkeitsgrad zum Prozentwert
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, kann wie folgt
ausgedrückt werden:
 Als Bruch, z.B. 3 zu 6:
Wahrscheinlichkeit=3/6
3 = günstige Fälle
6 = mögliche Fälle
 Als Dezimalzahl zwischen 0 und 1.
Z.B.:
3/6 = 0,5
 Als Prozentwert, zum Beispiel:
3/6 = 0,5
0,5x100 = 50%
also
3/6 = 0,5 = 50%
Wert der Wahrscheinlichkeit
Wert der Wahrscheinlichkeit (P)
P=0
0<P<1
P=1
 Die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Zufallsereignisses
ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1.
 Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Zufallsereignisses
ist 1.
 Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Zufallsereignisses ist 0.
Wert der Wahrscheinlichkeit
Zum besseren Verständnis für das Verhältnis zwischen dem
Eintreten oder nicht Eintreten der Ereignisse und für die
jeweilige Zuverlässigkeitsschwelle können wir die folgende
Skala verwenden:
0  P 1
P0
Unmögliches
Ereignis
0  P 1 2
P 1 2
1 2  P 1
P 1
Wenig
wahrscheinliches
Ereignis
Unsicheres
Ereignis
Sehr
wahrscheinliches
Ereignis
Sicheres
Ereignis
Das Gesetz der großen Zahlen 1/1
Das wichtigste Gesetz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist
das Gesetz der großen Zahlen. Es stellt eine Beziehung zwischen
der theoretischen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der
statistischen Häufigkeit, mit der es eintritt, her.
Beispiel: Beim Münzwurf sind diese Ereignisse möglich:
E1=«Kopf» und E2=«Zahl»
Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten sind:
P(E1)=1/2 und P(E2)=1/2
Selbstverständlich können wir nicht mit Sicherheit sagen, dass
bei zwei Münzwürfen, bei dem beim ersten „Kopf“ geworfen
wird, beim zweiten Wurf sicher „Zahl“ erscheint!
Das Gesetz der großen Zahlen 1/2
Wir nehmen an, dass wir 10 Mal eine Münze werfen und dabei 6
Mal „Kopf“ und 4 Mal „Zahl“ erhalten. Wir können also sagen:
 Die Anzahl der Male, wie oft ein Ereignis E während einer bestimmten Anzahl n von durchgeführten Versuchen eingetreten
ist, wird absolute Häufigkeit des Ereignisses genannt.
 Das Verhältnis zwischen der absoluten Häufigkeit des
Ereignisses E und der Anzahl n der durchgeführten Versuche
heißt relative Häufigkeit F(E) des Ereignisses:
F (E) 
frequenza assoluta
n
In unserem Fall können wir Folgendes schreiben:
«Kopf geworfen»
«Zahl geworfen»
P(E1)=1/2,
F(E1)=6/10
P(E2)=1/2,
F(E2)=4/10
Das Gesetz der großen Zahlen 1/3
Wenn man eine Münze sehr oft wirft, kann man beobachten,
dass sich der Wert der relativen Häufigkeit an den Wert der
Wahrscheinlichkeit annähert. Deshalb kann man sagen:
Bei einer Versuchreihe, die sehr oft wiederholt wird und immer
unter denselben Voraussetzungen stattfindet, nähert sich die
relative Häufigkeit immer mehr an die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses selbst an.
Bei zunehmender Versuchszahl tendiert diese Annäherung
dazu, mit der mathematischen Wahrscheinlichkeit übereinzustimmen.
Diese Definition führt zum frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff.
Einführung des Begriffs der inkompatiblen
Ereignisse 1/1
Nehmen wir an, wir würfeln. Dabei betrachten wir zwei mögliche
Ereignisse:
 E1: «4 wird gewürfelt»
 E2: «1 wird gewürfelt»
Es ist klar, dass nur eines der beiden Ereignisse eintreten kann,
da bei einem einzigen Wurf 4 und 1 nicht gleichzeitig auftreten
können. Das Eintreten von E1 schließt also aus, dass E2 eintritt. Es
ist aber auch möglich, dass keines der beiden Ereignisse eintrifft,
da auch 3, 2, 5 oder 6 gewürfelt werden könnte.
Solche Ereignisse nennt man inkompatibel.
Zwei Zufallsereignisse E1 und E2 sind inkompatibel, wenn das
Eintreten des einen verhindert, dass das andere eintritt und
wenn es auch sein kann, dass keines von beiden eintritt.
Inkompatible Ereignisse 1/2
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei zwei inkompatiblen
Ereignissen, dass eines der beiden eintritt?
Denken wir nochmals an das Beispiel:
 E1: «4 wird gewürfelt»
P(E1)=1/6
 E2: «1 wird gewürfelt»
P(E2)=1/6
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses «es wird 4 oder 1 gewürfelt» beträgt:
P(E1oder E2)=1/6+1/6=2/6=1/3
Wenn zwei inkompatible Zufallsereignisse, E1 und E2, gegeben
sind, entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden
eintritt der Summe der Wahrscheinlichkeiten für jedes
einzelne der zwei Ereignisse:
P(E1oder E2)=P(E1)+P(E2)
Kompatible Ereignisse 1/1
Nehmen wir an, es wird eine Karte aus einem Stapel
napoletanischer Karten gezogen. Betrachten wir zwei
mögliche Ereignisse:
 E1: «es wird ein Schwert gezogen»
 E2: «es wird ein Ass gezogen»
Beide Ereignisse können gleichzeitig stattfinden: Wenn die
Karte Schwert-Ass gezogen wird, tritt sowohl das Ereignis E1
(es wird eine Karte mit Schwertern gezogen) als auch das
Ereignis E2 (es wird ein Ass gezogen) ein.
Solche Ereignisse werden kompatibel genannt.
Zwei Zufallsereignisse E1 und E2 sind kompatibel, wenn das
Eintreten des einen nicht das Eintreten des anderen ausschließt
und wenn es also möglich ist, dass beide gleichzeitig auftreten.
Kompatible Ereignisse 1/2
Angenommen, es sind zwei kompatible Zufallsereignisse gegeben:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt eines der beiden ein?
Betrachten wir nochmals das Beispiel:
 E1: «es wird ein Schwert gezogen»
p(E1)=10/40=1/4
 E2: «es wird ein Ass gezogen»
p(E2)= 4/40=1/10
Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses «es wird ein Schwert oder
ein Ass gezogen» zu berechnen, müssen wir die beiden Wahrscheinlichkeiten (E1+E2) addieren und die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen
Ereignisses «es wird das Schwert-Ass gezogen» von der Wahrscheinlichkeit p(E)=1/40 subtrahieren.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden kompatiblen Ereignisse
eintritt, beträgt:
P(E1oder E2)=P(E1)+P(E2)-P(E)=1/4+1/10-1/40=13/40
Wenn zwei kompatible Ereignisse E1 und E2 gegeben sind, entspricht
die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden eintritt der Summe der
Wahrscheinlichkeiten jedes einzelnen der beiden Ereignisse minus
der Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig
eintreten:
P(E1oder E2)=P(E1)+P(E2)-P(E1e E2)
Komplementäre Ereignisse 1/2
Wir nehmen an, dass wir einen Buchstaben aus einem Säckchen
ziehen, das die folgenden Buchstaben enthält:
Wir betrachten zwei mögliche Ereignisse:
 E1: «einen Konsonanten ziehen»
 E2: «einen Vokal ziehen»
Die beiden Ereignisse sind inkompatibel: Das Auftreten von E1
schließt das Auftreten von E2 aus, aber eines der beiden tritt mit
Sicherheit ein; das Ereignis «einen Konsonanten oder einen
Vokal ziehen» ist ein sicheres Ereignis.
Solche Ereignisse werden komplementäre Ereignisse genannt.
Zwei Zufallsereignisse E1 und E2 sind komplementär, wenn
das Auftreten eines Ereignisses das Eintreten des anderen
ausschließt, aber wenn eines der beiden mit Sicherheit eintritt.
Komplementäre Ereignisse 2/2
Betrachten wir nochmals das Beispiel «Ziehung eines Buchstabens
aus einem Säckchen, das die Buchstaben S T A T I S T I C A
enthält» und berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten:
 E1: «einen Konsonanten ziehen»
P(E1)= 6/10
 E2: «einen Vokal ziehen»
P(E2)= 4/10
Wenn wir das Ereignis E «einen Konsonanten oder einen Vokal
ziehen» berücksichtigen, erhalten wir ein sicheres Ereignis, für
das Folgendes gilt P(E)=1; wenn wir die Wahrscheinlichkeiten
addieren erhalten wir genau das:
P(E)=P(E1)+P(E2)=6/10+4/10=1
Zwei komplementäre Ereignisse sind immer inkompatibel,
aber zwei inkompatible Ereignisse sind nicht unbedingt komplementär.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von zwei komplementären Ereignissen beträgt 1.
P(E)=P(E1)+P(E2)=1
Zusammengesetzte Ereignisse
Wenn man eine Münze wirft, können zwei einfache Ereignisse
eintreten
E1 = Kopf ; E2 = Zahl
Wirft man dieselbe Münze zwei Mal, sind die folgenden
Ereignisse möglich
E1,1=(K, K); E1,2=(K, Z); E2,1=(Z, K); E2,2=(Z, Z)
Ein Ereignis, das in einfache Ereignisse unterteilt werden kann,
ist ein zusammengesetztes Ereignis.
Die Wahrscheinlichkeit von voneinander
unabhängigen Ereignissen
Ein Ereignis E2 ist unabhängig von einem Ereignis E1, wenn das
Eintreten von E1 nicht die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von
E2 beeinflusst.
Wenn wir einen Behälter mit 10 Kugeln haben, die von 1 bis 10
nummeriert sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass wir die
Kugel Nr. 3 oder Nr. 10 ziehen 1/10.
Wenn die Kugel Nr. 3 gezogen wird und wieder zurück in den
Behälter gelegt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten
Ziehung die Nr. 8 zu ziehen immer noch bei 1/10. Die beiden
Ereignisse sind unabhängig und werden auch «gedächtnislose
Ereignisse» genannt.
Die Ziehung mit Wiederholung (also mit Zurücklegen) führt zu
unabhängigen Ereignissen, da die Zusammensetzung im
Behälter immer gleich bleibt bei den verschiedenen
nachfolgenden Ziehung und da sich die Wahrscheinlichkeit der
berücksichtigten Ereignisse nicht ändert.
Die Wahrscheinlichkeit von voneinander
unabhängigen Ereignissen
Wenn die gezogene Kugel Nr. 3 jedoch nicht wieder in den Behälter gelegt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten
Ziehung die Nr. 8 zu ziehen bei 1/9.
Die Wahrscheinlichkeit hat sich geändert und die Ereignisse
sind voneinander abhängig geworden.
Die Ziehung ohne Wiederholung führt zu abhängigen
Ereignissen.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit 1/2
Wenn es sich um abhängige Ereignisse handelt, muss man den
Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit einführen.
In Bezug auf zwei Ereignisse E1 und E2 wird angenommen, dass
E1 bereits eingetreten ist: Wenn man nun die Wahrscheinlichkeit
bestimmen will, die als P(E2|E1) angegeben wird, mit der das
Ereignis E2 eintritt unter der Bedingung, dass E1 eingetreten ist,
wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit dann?
Nehmen wir nochmals das vorhergehende Beispiel der wiederholten Ziehungen, aber ohne Zurücklegen der Kugeln Nr. 3 und
Nr. 8:
-
die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(E2 und E1) = 1/90,
da 90 Fälle möglich sind (diese ergeben sich, indem man jede
der 10 Kugeln bei der ersten Ziehung mit jeder der 9
verbleibenden der zweiten Ziehung verbindet), während es
nur einen einzigen günstigen Fall gibt (Ziehung der Nr. 3 bei
der ersten Ziehung und der Nr. 8 bei der zweiten);
Die bedingte Wahrscheinlichkeit 2/2
 Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E1 bei der ersten
Ziehung beträgt 1/10.
 Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E2 bei der zweiten
Ziehung, die vom Eintreten des Ereignisses E1 bei der ersten
abhängt, also die Wahrscheinlichkeit E2|E1, beträgt 1/9, da 9
Fälle möglich sind, aber nur einer günstig ist (Ziehen der Nr.
8).
Deshalb
1/9= 1/90 / 1/10
P(E2|E1)=P(E2 und E1)/P(E1)
Subjektivistische Definition der Wahrscheinlichkeit
In bestimmten Fällen sind die Voraussetzungen nicht gegeben,
um die Wahrscheinlichkeit nach der klassischen oder frequentistischen Definition zu berechnen, wie z.B.
• wenn wir wissen wollen, welche Fußballmannschaft die
Meisterschaft gewinnen wird
• wenn wir wissen wollen, ob eine neue Fernsehsendung
erfolgreich sein wird oder nicht
In solchen Fällen wird der subjektivistische Ansatz der Wahrscheinlichkeit gewählt.
Die subjektivistische Definition der Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses wird definiert als das Maß des Vertrauens, in
dem eine Person aufgrund der ihr verfügbaren Informationen
und aufgrund ihrer Meinung darauf vertraut, dass ein Ereignis
eintritt.
…und jetzt…
Gute Arbeit!
Übersetzung: / Tradotto da:
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