Algorithmen der Computeralgebra und Schulmathematik
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Algorithmen der Computeralgebra und Schulmathematik Prof. Dr. Wolfram Koepf Fachbereich Mathematik/Informatik Universität Gh Kassel [email protected] http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf T3 - Tagung Ludwig-Windthorst-Haus Lingen (Ems) 19. Oktober 2001 Fachgruppe Computeralgebra • • • • Fachgruppe der DMV, GI, GAMM Regelmäßige Herausgabe des Rundbriefs Referent für Didaktik Regelmäßige Tagungen zum Thema „Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung“ • Informationen auf meiner Homepage http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf • Homepage http://www.gwdg.de/~cais Mein persönlicher ComputeralgebraWerdegang • 1988: Erster Kontakt mit Computeralgebra (Reduce, Maple, Mathematica, DERIVE) • 1990: Stipendium der Alexander von Humboldt-Stiftung. Forschungsprojekt zur Verwendung von Computeralgebrasystemen im Mathematikunterricht • 1992: Analysis-Vorlesungen an der Freien Universität Berlin mit DERIVE • 1993: Lehrbuch Mathematik mit DERIVE • 1993-1997: Mitarbeiter am Konrad-ZuseZentrum für Informationstechnik in Berlin • 1994: Buch Höhere Analysis mit DERIVE • 1996: Buch DERIVE für den Mathematikunterricht • 1996-heute: Gewähltes Mitglied der Leitung der Fachgruppe Computeralgebra der DMV/GI/GAMM, Referent für Lehre und Didaktik • 1997-2000: Professor für Angewandte Mathematik an der Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig • 1998: Buch Hypergeometric Summation • seit 2000: Professor für Computational Mathematics an der Universität Gh Kassel • 2000: Buch Die reellen Zahlen als Fundament und Baustein der Analysis Kleiner Satz von Fermat • Für eine Primzahl p und a gilt ap = a (mod p) • Fermattest: Ist diese Beziehung für eine Zahl a nicht erfüllt, so ist p keine Primzahl! Euklidischer Algorithmus • Den größten gemeinsamen Teiler von a und b berechnet man so: • • • • ggT(a,b) = ggT(|a|,|b|), falls a<0 oder b<0 ggT(a,b) = ggT(b,a), falls a<b ggT(a,0) = a ggT(a,b) = ggT(b, a mod b) Effiziente Berechnung von Potenzen • Die modulare Potenz an (mod p) berechnet man am besten durch Zurückführen auf Exponenten der Größe n/2 (Divide-andConquer-Algorithmus): • a0 mod p = 1 • an mod p = (an/2 mod p)2 mod p für gerade n • an mod p = (an-1 mod p) . a mod p Algebraische Zahlen • Algebraische Zahlen sind als Nullstellen ganzzahliger Polynome erklärt, z. B. • 2: x2 - 2 • i: x2 + 1 • 2 + 3: x4 - 10 x2 + 1 • 2 + 3 + 5 : x8 - 40 x6 + 352 x4 - 960 x2 + 576 Faktorisierung von Polynomen • Polynome mit rationalen Koeffizienten können algorithmisch faktorisiert werden! • Dies funktioniert sogar, wenn mehrere Variablen im Spiel sind. • Algorithmische Faktorisierungen über dagegen sind nur unter Verwendung algebraischer Zahlen möglich, z. B. x2-2 = (x-2)(x+2). • Moderne schnelle Algorithmen gibt es nicht in DERIVE, aber in Maple, Mathematica, ... Wo ist der zweite Pol? • Während graphische Taschenrechner und Computeralgebrasysteme im Allgemeinen auf Anhieb Funktionsgraphen darstellen, gibt es auch Fälle, wo hierzu Kurvenuntersuchungen nötig sind. • Wo ist der zweite Pol der Funktion 1000( x 1) (101x 100)(100x 99) Lineare Gleichungssysteme • Lineare Gleichungssysteme sind schlecht konditioniert, wenn die zugehörigen Geraden bzw. Ebenen etc. fast parallel sind. • Dann lassen sich offenbar die Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden etc. nur ungenau bestimmen. Kondition einer Matrix • Eine Matrix ist schlecht konditioniert, wenn sie oder ihre Inverse Eingabefehler stark vergrößern. • Für eine Matrixnorm, z. B. A : a jk max a jk ist die Konditionszahl 1 A : A A cond ein Maß für die Kondition der Matrix A. Hilbertmatrix • Die n n Hilbertmatrix 1 1 2 : 1 n 1 2 1 3 .. : 1 j k 1 1 n 1 .. .. : 1 2 n 1 1 n 1 n 1 ist schlecht konditioniert. Daher ist die Numerik instabil. Rationale Arithmetik lässt ein Studium der Matrizen aber zu. Differentiation • Ableiten ist algorithmisch, wenn wir die üblichen Ableitungsregeln verwenden: • Konstantenregel c´ = 0 • Potenzregel (xn)´ = n xn-1 • Linearität (f + g)´ = f ´ + g´ • Produktregel (f · g)´ = f ´·g + g´·f • Quotientenregel (f / g)´ = (f ´·g - g´·f)/g2 • Kettenregel f(g)´ = f ´(g) · g´ • Ableitungen spezieller Funktionen Integration • Auch für die Integration gibt es Algorithmen, welche entscheiden, ob ein Integral eine elementare Funktion ist. • Die übliche Methode zur rationalen Integration benötigt eine reelle Faktorisierung des Nenners und ist daher kein guter Algorithmus. • Der Risch-Algorithmus und seine Verwandten sind erheblich komplizierter, verwenden aber nur quadratfreie Faktorisierungen. Vereinfachung • Rationale Funktionen lassen sich durch Bestimmung des ggT vereinfachen. • Trigonometrische Polynome lassen sich durch Anwendung der Additionstheoreme vereinfachen. • Man kann zeigen, dass es für allgemeine Terme keinen generellen Vereinfachungsalgorithmus geben kann. Das Hofstadterproblem • Hofstadters geometrische Vermutung ist richtig, wenn die Determinante der Matrix sin(r ) sin((1 r ) ) sin(r ) sin((1 r ) ) sin(r ) sin((1 r ) ) sin(2 ) sin( ) sin(2 ) sin( ) sin(2 ) sin( ) sin((2 r ) ) sin((r 1) ) sin((2 r ) ) sin((r 1) ) sin((2 r ) ) sin((r 1) ) gleich 0 ist, sofern + + = ist. Reihenentwicklungen • In der speziellen Relativitätstheorie ergibt sich die Energie aus der Formel 1 E (v) mc v2 1 1 2 c 2 • Wie erhält man hieraus die klassische Formel E 12 mv 2 ?
