WGMS II, Kapitel 3

Kapitel 3
Gleichungen
Inhalt
3.1 Terme, Gleichungen, Lösungen
x2 + y2
3.2 Verfahren zur Lösung von Gleichungen
3x + 5 = 14
3.3 Gleichungssysteme
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 2
3.1 Terme, Gleichungen, Lösungen
Was ist ein Term?
Vorstellung Ein Term ist etwas, was eine Seite einer Gleichung sein
kann. Aber: Wir wollen Gleichungen mit Hilfe von Termen definieren
und nicht umgekehrt.
Erste Definition: Ein Term ist ein Ausdruck, der aus reellen Zahlen
und Variablen zusammengesetzt ist.
Damit haben wir eine Frage beantwortet, indem wir zwei neue
Fragen stellen:
Was ist eine ‚Variable‘? Was heißt ‚zusammengesetzt‘?
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 3
Variable und erste Definition
Definition: Eine Variable (auch Unbekannte genannt)
ist irgend eine Folge von Buchstaben und Zahlen.
Beispiele: x, y, z, X, Y, Z, a, b, c, p, r, x1, f17, SUMME, PRODUKT1-5,
MONTAG, Student, ...
Vorstellung: Statt einer Variablen können wir eine Zahl einsetzen.
Besserer Definitionsanfang: Jede reelle Zahl ist ein Term, jede
Variable ist ein Term.
(Aber Achtung: Es gibt auch noch andere Terme!)
Beispiele: Terme sind 1, 0, p, 65537, x, Y,
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 4
Definition ‚Term‘
1. Fortsetzung der Definition: Wenn man Terme zueinander
addiert, voneinander subtrahiert, miteinander multipliziert oder
durcheinander dividiert, erhält man wieder einen Term.
Beispiele: x+y, f+m, 5a, fit + fun, (a+b)2, x5+3x2+7, (x+1)/(x–1),
jedes Polynom ist ein Term, jede gebrochen rationale Funktion
(„Polynom durch Polynom”) ist ein Term.
2. Fortsetzung der Definition: Wenn man auf einen oder mehrere
Terme ‚in der Mathematik übliche‘ Operationen (Potenzieren,
Differenzieren, sin, cos, mod, ...) anwendet, erhält man einen Term.
Beispiele: xy, sin(x2), (x5–3x+1)‘, 3000 mod 17,
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 5
Polynome
Besonders wichtige Terme sind die Polynome.
Definition (dreistufig): (a) Jede Potenz einer Variablen x ist ein
Polynom (z.B. x3)- (b) Jedes Produkt eines Polynoms mit einer Zahl
ist ein Polynom (z.B. 5x3). (c) Jede Summe von Polynomen ist ein
Polynom (z.B. 5x3 + 7x4).
Beispiele: x3 + x + 1, x, x1000, 5x8 – 3x2 + 4.
Keine Polynome sind 2x, sin(x), ln(x), 1/x, x.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 6
Gleichungen
Definition: Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein
Gleichheitszeichen verbunden sind.
Beispiele: xy+ 5 = t, x = 1, f+m = k, 7 = 5, x2 + y2 = 1, ...
Achtung! In der Regel ist eine Gleichung keine Aussage (d.h. ist nicht
wahr oder falsch,
Beispiele: x2 = 1, f+m = k, ...
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 7
Lösung einer Gleichung
Definition: Eine Lösung einer Gleichung ist ein Satz von reellen
Zahlen (pro Variable eine Zahl), so dass diese in die Gleichung
eingesetzt, die Gleichung zu einer wahren Aussage machen.
Beispiele: Lösungen der Gleichung x2+y2 = 1 sind z.B. die
Zahlenpaare (1, 0), (0, 1), (1/2, 1/2).
Die Gleichung 3x+5 = 14 hat nur die Lösung 3.
Die Gleichungen x2 = –1 bzw. 5 = 7 haben keine Lösung.
Bemerkung: Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung,
endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 8
Variable – Unbekannte
Es gibt einen kleinen Bedeutungsunterschied zwischen den
Ausdrücken ‚Variable‘ und ‚Unbekannte‘:
Bei einer Unbekannten denkt man “das ist eine bestimmte Zahl, die
ich eben noch nicht kenne”. (Beispiel: “Platzhalteraufgaben”)
Bei dem Begriff ‚Variable‘ denkt man daran, dass die Variablen
„variieren“, also viele Zahlen durchlaufen. Prinzipiell kann man alle
Zahlen einsetzen. Manche Einsetzungen sind Lösungen, manche
nicht.
Dieser Aspekt tritt bei Gleichungen des Typs y = mx + b oder
x2 + y2 = 1 in den Vordergrund.
Es ist wichtig, an beide Aspekte zu denken.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 9
Wie erhält man Lösungen?
• Probieren (oder “Finden”): Ich habe einfach Glück und finde auf
Anhieb eine Lösung, ... In diesem Fall muss man nur die Probe
machen (ist das, was ich gefunden habe, wirklich eine Lösung?) Dies
geschieht dadurch, dass man die vermutete Lösung einsetzt.
• Systematisches Testen, etwa mit Hilfe einer Wertetabelle
• Graphische Lösungsverfahren
• Algebraische Lösungsverfahren
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 10
3.2 Verfahren zur Lösung von Gleichungen
Wir betrachten vorerst nur Gleichungen in einer Unbekannten x.
Definitionen. Lineare Gleichung: Die Unbekannte kommt nur in der
ersten Potenz (also nicht in zweiter, dritter, ...) vorkommt.
Beispiele: 3x + 5 = 14, 512x – 7 = 13.000 + 11x, ...
Quadratische Gleichung: Die Unbekannte kommt in zweiter Potenz
(also als x2) vor; kleinere Potenzen dürfen auch vorkommen.
Beispiele: x2 = 2, 7x2 + 13x + 2 = 0, 7x + 5x2 = 5 – 1000x2, ...
(Kubische Gleichung: Die Unbekannte kommt in 3. Potenz vor.)
Wurzelgleichungen: In ihr kommt ein Ausdruck der Unbekannten
als Quadratwurzel vorkommt; lineare Summanden sind erlaubt.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 11
Lineare Gleichungen
3.2.1 Satz. Jede lineare Gleichung hat höchstens eine Lösung.
Anwendung: Wenn wir eine Lösung einer linearen Gleichung
gefunden haben, brauchen wir nicht weiter zu suchen, denn es kann
keine andere Lösung geben. Wir sprechen von der Lösung.
Beweis. Wir betrachten eine Gleichung des Typs ax + b = 0 (a  0).
Angenommen, diese Gleichung hat zwei Lösungen x0 und x1 (also
zwei verschiedene Zahlen, die die Gleichung erfüllen). Dann gilt
ax0 + b = 0 und ax1 + b = 0.
Zusammen folgt ax0 + b = ax1 + b, somit ax0 = ax1, also (da a  0)
x0 = x1. ein Widerspruch. 
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 12
Quadratische Gleichungen
3.2.2 Satz. Jede quadratische Gleichung hat höchstens zwei
Lösungen.
Anwendung: Wenn wir zwei Lösungen einer quadratischen
Gleichung gefunden haben, sind wir fertig.
Beweis. Wir betrachten eine Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit a  0.
Idee: Sei x0 eine Lösung. Wir zeigen, dass jede andere Lösung x1
eindeutig durch x0 bestimmt ist; also gibt es keine dritte Lösung!
Da x0 und x1 Lösungen sind, gilt
ax02 + bx0 + c = 0 und ax12 + bx1 + c = 0,
also ax02 + bx0 = ax12 + bx1.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 13
Beweis (Fortsetzung)
Dies formen wir um zu a(x02 – x12) = b(x1 – x0)
und (3. binomische Formel!) a(x0 – x1)(x0 + x1) = –b(x0 – x1).
Da x0 und x1 verschiedene Lösungen sind, ist x0 – x1  0, also darf
man durch x0 – x1 dividieren. Wir erhalten a(x0 + x1) = –b.
Da a  0 ist, folgt schließlich x0 + x1 = –b/a oder x1 = –x0 –b/a.
Also ist x1 durch x0 (und a und b) eindeutig bestimmt; also ist x1
die einzig mögliche andere Lösung. 
Bemerkung: Allgemein gilt, dass eine Gleichung n-ten Grades (das
ist eine Gleichung, in der xn vorkommt, aber keine höhere Potenz
von x) höchstens n Lösungen hat.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 14
Nullstellen
3.2.3 Satz. Sei f ein Polynom,
(a) Sei x1 eine Lösung der Gleichung f = 0. Dann kann man f
schreiben als f = (x – x1)g, wobei g ein Polynom ist.
(b) Sei n der Grad von f. Wenn f die n verschiedene Lösungen
x1, x2, …, xn hat, dann gilt
f = a(x – x1) (x – x2) … (x – xn) mit a  R.
(c) Sei f = x2 + px + q ein quadratisches Polynom mit Nullstellen x1
und x2. Dann gilt f = (x – x1) (x – x2).
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 15
1. Lösungsmethode: Systematisches Probieren
Grundidee: Man rechnet für einige Werte von x die rechte und die
linke Seite aus und „pirscht“ sich so an eine Lösung „heran”.
Beispiel 1: Wir wollen die Gleichung 6x – 7 = 101 – 3x lösen.
x
L.S.
R.S.
0 5 10 11 12
–7 23 53 59 65
101 86 71 68 65
Lösung: 12.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 16
Weitere Beispiele
Beispiel 2. Wir wollen die Gleichung x2 +3x = 108 lösen.
x
L.S.
R.S.
0
–1 1
20 10 8
9 –10 –12
0
–2 4
460 130 88 108 70 108
108 108 108 108 108 108 108 108 108
Lösungen: 9 und –12.
Wichtiger Spezialfall: R.S. = 0. Beispiel: x2 – 10x + 9 = 0. Man
schreibt y = x2 – 10x + 9 und sucht die x mit y = 0 (Nullstellen).
x
y
0
9
1
0
5
10
–16 9
9
0
Also sind die Lösungen 1 und 9.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 17
2. Lösungsmethode: Graphisches Verfahren
Rezept: Man fasst L.S. und R.S. als Funktion auf und zeichnet die
Graphen. Die Stellen, an denen sich die Graphen schneiden, sind
die Lösungen.
Klar: An diesen Stellen gilt: L.S. = R.S.
Beispiel 1: 3x + 5 = 14.
Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist y = 3x + 5, die
Gleichung einer Geraden der Steigung 3 mit y-Achsenabschnitt 5.
Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist die Funktion y = 14,
also die Gleichung einer Parallelen zur x-Achse im Abstand 14.
Wenn man beide Geraden zeichnet, sieht man, dass sie sich bei x =
3 schneiden. Also ist 3 die Lösung dieser Gleichung.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 18
Quadratische Gleichungen
Beispiel 2. x2 = 10x – 9.
Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist y = x2, also die
Normalparabel. Die Funktion, die der rechten Seite entspricht, ist y =
10x – 9: die Gleichung einer Geraden mit Steigung 10 und yAchsenabschnitt –9.
Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich an den Stellen
x = 1 und x = 9; also sind dies die Lösungen.
Bemerkung: Man wendet die graphische Lösungsmethode bei
quadratischen Gleichungen in der Regel dann an, wenn auf der
einen Seite nur x2 steht.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 19
3. Lösungsmethode: Algebraische Methoden
Der entscheidende Begriff ist der einer Äquivalenzumformung.
Definition: Eine Gleichung geht aus einer anderen durch eine
Äquivalenzumformung hervor, wenn beide Gleichungen die
gleichen Lösungen haben. D.h.: Jede Lösung der einen ist eine
Lösung der anderen, und umgekehrt.
Die Idee ist, eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen solange
umzuformen, bis man zu einer so einfachen Gleichung kommt,
an der man die Lösungen direkt ablesen kann. Dazu müssen wir
allerdings wissen, was konkret Äquivalenzumformungen sind.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 20
Konkrete Äquivalenzumformungen
3.2.4 Satz. Folgende Operationen sind Äquivalenzumformungen:
(0) Vertauschung der beiden Seiten.
(1) Addition oder Subtraktion einer Zahl.
(2) Multiplikation mit einer Zahl  0 oder
Division durch eine Zahl  0.
Beweis. (0) Vertauschung: Eine Zahl ist eine Lösung, wenn diese, in
die Gleichung eingesetzt, L.S. = R.S. ergibt. Bei Vertauschung der
beiden Seiten lautet die Bedingung dann R.S. = L.S.. Also sind
genau diejenigen Zahlen Lösungen der „vertauschten“ Gleichung,
die Lösungen der Ausgangsgleichung waren.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 21
Beweis (Fortsetzung)
(1) Addition: Sei x0 eine Lösung der Gleichung. Dann haben linke
Seite und rechte Seite den gleichen Wert, sagen wir: b. Wenn wir zu
beiden Seiten eine Zahl a addieren, dann ergibt sich jetzt beim
Einsetzen von x0, dass sowohl die L.S. als auch R.S. den Wert a+b
haben. Also ist x0 auch eine Lösung der neuen Gleichung.
Umgekehrt: Sei x0 eine Lösung der Gleichung, zu der auf beiden
Seiten a addiert wurde. Also ergibt sich beim Einsetzen von x0 auf
beiden Seiten der gleiche Wert, sagen wir: c. Dann ergibt sich in der
Ausgangsgleichung beim Einsetzen von x0 auf beiden Seiten der
Wert c –a. Also ist x0 auch eine Lösung der Ausgangsgleichung.
Also haben beide Gleichungen genau die gleichen Lösungen.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 22
Beweis (Ende)
(2) Multiplikation: Sei x0 eine Lösung der Gleichung. Dann haben
L.S. und R.S. den gleichen Wert b. Wenn wir beide Seiten mit einer
Zahl a multiplizieren, dann ergibt sich jetzt beim Einsetzen von x0,
dass beide Seiten den Wert ab haben. Also ist x0 eine Lösung der
neuen Gleichung.
Umgekehrt: Sei x0 eine Lösung der Gleichung, deren beide Seiten
mit a multipliziert wurden. Das bedeutet, dass sich beim Einsetzen
von x0 auf beiden Seiten der gleiche Wert c ergibt. Dann ergibt
sich in der Ausgangsgleichung beim Einsetzen von x0 auf beiden
Seiten der gleiche Wert c/a (beachte: a  0). Somit ist x0 auch eine
Lösung der Ausgangsgleichung. 
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 23
Addition von x
3.2.5 Satz. Folgende Operationen sind Äquivalenzumformungen:
(1) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen der Unbekanten x.
(2) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen von x2.
Beweis. (1) Wenn x0 eine Lösung der Gleichung ist, dann haben
beide Seiten den gleichen Wert b. Wenn wir zu beiden Seiten ein
Vielfaches von x, sagen wir ax addieren, dann ergibt sich jetzt beim
Einsetzen von x0, dass beide Seiten den Wert ax0+b haben. Also
ist x0 auch eine Lösung der neuen Gleichung.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 24
Beweis (Fortsetzung)
Umgekehrt: Sei x0 eine Lösung der Gleichung, zu der auf beiden
Seiten ax addiert wurde.
Das ergibt sich beim Einsetzen von x0 auf beiden Seiten der gleiche
Wert c.
Dann ergibt sich aber in der Ausgangsgleichung beim Einsetzen von
x0 auf beiden Seiten der Wert c –ax0.
Somit ist x0 auch eine Lösung der Ausgangsgleichung.
(2) ÜA. 
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 25
Die Lösung linearer Gleichungen
3.2.6 Satz. Jede lineare Gleichung hat genau eine Lösung.
Beweis. Sei ax + b = cx + d eine lineare Gleichung. Nach 3.2.1 hat
diese Gleichung höchstens eine Lösung. Zu zeigen: sie hat auch
wirklich eine Lösung (Existenz). Dazu wenden wir solange
Äquivalenzumformungen an, bis wir eine Lösung gefunden haben.
Wir subtrahieren auf beiden Seiten cx und erhalten (a–c)x + b = d.
Wir subtrahieren b auf beiden Seiten und erhalten (a–c)x = d–b.
Wenn a–c  0 ist, erhalten wir die Lösung x = (d–b)/(a–c).
Wenn a = c ist, dann reduziert sich die Gleichung auf b = d, die
Gleichung war also gar keine lineare Gleichung. 
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 26
Quadratische Gleichungen
Durch Äquivalenzumformungen nach 3.2.3. und 3.2.4 können wir
jede quadratische Gleichung auf die Form ax2 + bx + c = 0 bzw.
(indem wir durch a dividieren) auf die Form x2 +px + q = 0
bringen.
Der Grundmechanismus für alle Lösungsverfahren für quadratische
Gleichungen ist die quadratische Ergänzung.
Diese beruht auf der 1. bzw. 2. binomischen Formel.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 27
Ein Beispiel
Wir betrachten x2 – 10x + 9 = 0.
Wenn die linke Seite x2 – 10x + 25 wäre, dann würden wir
schreiben: x2 – 10x + 25 = (x – 5)2, und könnten die Gleichung lösen.
Wir addieren auf jeder Seite die Zahl 16 (Äquivalenzumformung)
x2 – 10x + 25 = x2 – 10x + 9 + 16 = 16,
also
(x – 5)2 = 16.
Wir „ziehen auf beiden Seiten die Wurzel“ und erhalten x – 5 = 4.
Achtung: Die Gleichung x2 = 16 hat zwei Lösungen, 4 und –4.
Die Gleichung hat die Lösungen x = –4+5 = 1 und x = 4+5 = 9.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 28
Die p,q-Formel
3.2.7 Satz. Sei x2 + px + q eine quadratische Gleichung. Diese hat
die Lösungen
x1,2 = –p/2  (p /2)2 – q
Insbesondere gilt: Die Gleichung ist genau dann lösbar, wenn p2/4 
q ist. In diesem Fall hat sie genau dann nur eine Lösung, wenn p2/4
= q ist, und sonst zwei Lösungen.
Beweis. Wir führen die quadratische Ergänzung durch, indem wir auf
beiden Seiten p2/4 – q addieren:
x2 + px + p2/4 = x2 + px + q + p2/4 – q = p2/4 – q.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 29
Beweis
Daraus folgt (x + p/2)2 = p2/4 – q,
also
x + p/2 =  (p/4)2 – q, und somit x1,2 = –p/2  (p/4)2 – q
Die Wurzel hat genau dann eine Lösung, wenn p2/4 – q  0, also
p2/4  q ist.
Die Lösung ist genau dann eindeutig, wenn die Wurzel gleich Null ist,
also wenn p2/4 = q ist. 
Achtung! Der Übergang von x2 = a zu x = a (“auf beiden Seiten
die Wurzel ziehen”) ist keine Äquivalenzumformung, sondern eine
Verlustumformung. Denn die Lösung x = –a geht dabei verloren.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 30
Wurzelgleichungen
Idee: Man isoliert die Wurzel, quadriert dann die Gleichung und
rechnet dann weiter.
Achtung: Beim Quadrieren gewinnt man eine Lösung (Gewinnumformung). Daher muss man am Ende überprüfen, ob die
gefundenen Zahlen wirklich Lösungen der Ausgangsgleichung sind.
Beispiel: x – x + 2 = 0.
Isolieren der Wurzel: x = x + 2.
Quadrieren: x2 = x + 2
Lösen: x1,2 = 2, –1
Probe: nur 2 ist eine Lösung.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 31
3.3 Gleichungssysteme
Definition. (a) Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren
Gleichungen, in denen in der Regel mehrere Variable vorkommen.
(b) Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle Gleichungen in ihm
lineare Gleichungen sind. Wir betrachten nur lineare Gleichungssyst.
Beispiel: Folgendes Gleichungssystem ist linear
3x + 2y + z = 5
2x + 7y – 3z = 0
x + 2z = 2
Folgendes Gleichungssystem ist nicht linear:
x2 + 2z = 1
3x + yz = 0.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 32
Lösungen linearer Gleichungssysteme
Probleme: 1. Ist ein gegebenes lineares Gleichungssystem lösbar?
D.h.: besitzt es (mindestens) eine Lösung? Eine Lösung besteht
dabei aus einem Satz von Zahlen (für jede Unbekannte eine), die
Lösung jeder Gleichung des Systems sind.
2. Wie berechnet man die Lösungen?
Bemerkung: Es gibt lineare Gleichungssysteme, die keine Lösung
haben, solche, die genau eine Lösung haben und solche, die
unendlich viele Lösungen haben.
Beispiele:
x+y=1
x+y=1
x+y=1
x+y=2
x–y=1
2x + 2y = 2
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 33
Idee der Lösungsverfahren
Es gibt verschiedene Lösungsmethoden.
Mathematisch laufen letztlich alle auf das Gleiche hinaus.
Grundlegende Idee: Forme das Gleichungssystem so um,
dass am Ende nur eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig
bleibt.
Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additions(Subtraktions-)verfahren, Verfahren von Gauß
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 34
Einsetzungsverfahren
Rezept: Man löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, setzt
dann dies anstelle der Unbekannten in die anderen Gleichungen ein.
So erhält man ein Gleichungssystem, das eine Unbekannte und eine
Gleichung weniger hat.
Dann kann man auf das neue System dieses Verfahren (oder ein
anderes) anwenden.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 35
Beispiel zum Einsetzungsverfahren
x+y–z=1
2x + 3y + 4z = 5
x + 2y + z = 2
Wir lösen die erste Gleichung nach z auf und erhalten z = x + y – 1.
Dies setzen wir in die zweite und dritte Gleichung ein und erhalten
5 = 2x + 3y + 4(x + y – 1)
2 = x + 2y + x+y – 1,
also
9 = 6x + 7y
3 = 2x + 3y
Daraus erkennt man die Lösung x = 3/2, y = 0, z = 1/2.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 36
Gleichsetzungsverfahren
Rezept: Man löst alle Gleichungen nach einer Unbekannten (oder
einem Vielfachen der unbekannten auf). Dann setzt man die
erhaltenen Gleichungen gleich und erhält dadurch eine System mit
einer Unbekannten weniger und einer Gleichung weniger.
Beispiel. Wir benutzen obiges Beispiel.
Wir multiplizieren die erste und die dritte Gleichung mit 2 (dabei
verändern sich die Lösungen dieser Gleichungen nicht –
Äquivalenzumformungen!), und also auch die Lösung des gesamten
Systems nicht.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 37
Beispiel
Danach sieht das Gleichungssystem so aus:
2x + 2y – 2z = 2
2x + 3y + 4z = 5
2x + 4y + 2z = 4
Nun lösen wir die drei Gleichungen nach 2x auf:
2x = 2 – 2y + 2z
2x = 5 – 3y – 4z
2x = 4 – 4y –2z
Wir setzen die erste und zweite, sowie die erste und dritte Gleichung
gleich (man könnte auch andere Paare wählen) und erhalten
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 38
Beispiel (Fortsetzung)
2 – 2y + 2z = 5 – 3y – 4z
2 – 2y + 2z = 4 – 4y –2z,
also
y + 6z = 3
2y + 4z = 2
das heißt
y + 6z = 3
y + 2z = 1.
Daraus ergibt sich (Gleichsetzungsverfahren) 3 – 6z = 1 – 2z,
also 2 = 4z, d.h. z = ½. Damit folgt y = 0 und also x = 3/2.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 39
Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
Rezept: Wir multiplizieren eine Gleichung so, dass bei Addition oder
Subtraktion mit einer anderen Gleichung eine Unbekannte wegfällt.
Beispiel. Wieder verwenden wir obige System. Wir multiplizieren die
erste und die dritte Gleichung jeweils mit 4 und erhalten
4x + 4y – 4z = 4
2x + 3y + 4z = 5
4x + 8y + 4z = 8
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 40
Beispiel (Fortsetzung)
Jetzt addieren wir die ersten beiden Gleichungen und subtrahieren
die zweite von der letzten:
6x + 7y = 9
2x + 5y = 3.
Nun multiplizieren wir die letzte Gleichung mit 3 und subtrahieren
davon die erste; wir erhalten 8y = 0, also y = 0.
Damit ist x = 3/2 und z = ½.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 41
Der Gauß-Algorithmus
Rezept: Multipliziere die erste Gleichung so, dass beim Addieren
bzw. Subtrahieren von der zweiten Gleichung in dieser (zweiten)
Gleichung die Unbekannte x wegfällt. Dann multipliziere die erste
Gleichung so, dass bei Addition (bzw. Subtraktion) zu der dritten
Gleichung in dieser die Unbekannte x wegfällt. Usw.
Nun betrachten wir die (neue) zweite Zeile. Multipliziere diese so,
dass bei Addition bzw. Subtraktion mit der dritten Gleichung in dieser
die Unbekannte y wegfällt. Multipliziere nun die zweite Gleichung
so, dass bei Addition bzw. Subtraktion zur vierten Gleichung in dieser
die Unbekannte y wegfällt. Usw.
Usw.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 42
Der Gauß-Algorithmus (Fortsetzung)
Am Ende hat man ganz unten eine Gleichung mit einer
Unbekannten.
Man löst diese Gleichung und setzt die Lösung in die zweitunterste
Gleichung ein.
Dann ist auch dies nur eine Gleichung mit einer Unbekannten.
Usw.
Bemerkung: C.F. Gauß hat die gesamten vorigen
Lösungsverfahren, die oft auch einen ‚guten Blick‘ erfordern,
systematisiert. Im Grunde ist sein Verfahren ein perfektioniertes
Additions- bzw. Subtraktionsverfahren.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 43
Beispiel 1
Gleichungssystem:
–x + 2y + z = –2
3x –8y –2z = 4
x
+ 4z = –2
1. Schritt:
–x + 2y + z = –2
–2y + z = –2
2y + 5z = –4
2. Schritt:
–x + 2y + z = –2
–2y + z = –2
6z = –6.
Daraus folgt z = –1, y = 1/2, x = 2.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 44
Beispiel 1 – bessere Schreibweise
–1
3
1
2
–8
1
–2
4
=
=
=
–2
4
–2
1. Schritt:
–1
2
–2
2
1
1
5
=
=
=
–2
–2
–4
2. Schritt:
–1
2
–2
2
1
1
6
=
=
=
–2
–2
–6
Daraus folgt z = –1, y = 1/2, x = 2.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 45
Beispiel 2
Gleichungssystem:
2x + y + z = 1
5x + 4y – 2z = –1
3x + 2y – z = 1
1. Schritt:
2
1
–3/2
–1/2
1
9/2
5/2
=
=
=
1
7/2
1/2
2. Schritt:
2
1
–3/2
1
9/2
–1
=
=
=
1
7/2
2/3
Lösungen: z = –2/3, y = –13/3, x = 3.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 46
Gleichungssysteme mit Parameter
• In vielen Gleichungssystemen steckt noch ein zusätzlicher
Parameter (meist t oder a o.ä. genannt).
• Je nach dem, wie der Parameter gewählt wird, ist das
Gleichungssystem eindeutig lösbar, unlösbar oder hat unendlich
viele Lösungen.
• Man löst das Gleichungssystem ganz normal, indem man den
Parameter als Konstante („wie eine Zahl“) mitschleppt.
• Manchmal muss man durch einen Term dividieren. Dazu muss dieser
Term ungleich Null sein. Die Fälle, in denen der Term gleich Null ist,
untersucht man dann getrennt.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 47
1. Einfaches Beispiel
x+y=a
2x + ay = 1
Schematisch:
1
2
1
a
=
=
3
1
1
1
=
a
0
2–a =
5.
Also folgt y = 5/(2 – a), falls a ≠ 2 ist. Dann folgt x = 3 – y =
(1–3a)(2–a).
Im Fall a = 2 ergibt sich 0∙y = 5, ein Widerspruch. Also hat das
Gleichungssystem im Fall a = 2 keine Lösung.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 48
2. Einfaches Beispiel
Schematisch:
1
2
x + 3y = a+2
2x + (a+3)y = 10
3
=
a+2
a+3 =
10
1
3
=
a+2
0
3–a =
2a – 6.
Also folgt y = (2a + 6)/(3 – a) = –2, falls a ≠ 3 ist.
Dann folgt x = a+2 - 3y = a+8.
Im Fall a = 3 lauten die Gleichungen x + 3y = 5 und 2x + 6y = 10.
Also ist die zweite nur das doppelte der ersten. Es gibt also unendlich
viele Lösungen, nämlich (x, (5–x)/3) für x  R.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 49
Beispiel mit vier Variablen x, y, z, w
Gleichungssystem:
x + y + z –w = 0
x + y –z + w = 0
x –y + z + w = 0
–x + y + z + tw = 1
Schematisch
1
1
1
–1
1
1
–1
1
1
–1
1
1
–1
1
1
t
=
=
=
=
0
0
0
1
1
1
1
2
–1
–2
–2
t–1
=
=
=
=
0
0
0
1
1. Schritt
2
2
Kapitel 3
2
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 50
Beispiel mit … (Fortsetzung)
2. Schritt
1
1
2
2
3. Schritt
1
1
2
1
2
2
1
2
–2
4. Schritt
1
1
2
1
2
Kapitel 3
–1
–2
–2
t–1
=
=
=
=
0
0
0
1
–1
–2
–2
–(t+1)
=
=
=
=
0
0
0
–1
–1
–2
–2
–(t+3)
=
=
=
=
0
0
0
–1
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 51
Beispiel mit … (Schluss)
Die letzte Zeile lautet (t+3)w = 1.
Das bedeutet: Wenn t = –3 ist, dann ist das Gleichungssystem
unlösbar.
Wenn t  –3 ist, dann ist das System eindeutig lösbar:
w = 1/(t+3), z = w = 1/(t+3), y = w = 1/(t+3), x = w – y – z = –1/(t+3).
Zum Beispiel: Wenn t = –2 ist, dann ist w = z = y = 1, x = –1.
Kapitel 3
© Beutelspacher
Mai 2004
Seite 52