Optics_20

Optische Eigenschaften von Werkstoffen
Brechungsindex
 0   0
sin  0 n1

sin 1 n0
n
c
v
… Reflexion
… Refraktion
(Snell Gesetz)
… Brechungsindex
sin  0 v1

sin 1 v0
Schwächung
(Absorption)
1
Die Maxwellschen Gleichungen




B
  E  rot E  
r
t

 
  D  div D  
r


j  E



D  E   0 r E



B  H  0  r H
¶
¶D
´ H = rot H =
+j
¶r
¶t
¶
× B = div B = 0
¶r
E … elektrische Feldstärke
H … magnetische Feldstärke
D … dielektrische Verschiebung
B … magnetische Induktion
j … Stromdichte
 … Ladungsdichte
 … elektrische Leitfähigkeit
 … Dielektrische Konstante
 … relative Permeabilität
2
Die Maxwellschen Gleichungen



H


E
rot E    0  r
rot H   0 r
 E
t
t



div D   0 r div E  
div H  0

  0  div E  0 … keine freie Ladung


H
rotrot E   0  r rot
t



2
H
 E
E
rot
  0 r 2  
t
t
t


 2E
rotrot E  grad div
E  2

r
0



2
2


 E
 E
E 

 … Wellengleichung
 2   rotrot E   0  r   0 r 2  
r
t
t 

3
Die Wellengleichung



2


 E
 E
E 


 2  E  0 r   0 r 2  
r
t
t 



2
2
 k E  0 r  0 r  i E

 
 
E  E0 exp i k  r  t
2

n2 2
k  2   i 0  r
c
 2  2  r 
2

k  2  n  i
c 
 0 
2


k 2  k02  n 2  i r 
 0 


c
1
 0 0
c2
n  2   r r
v
2
2
 2  
2
k0  
  2
c
  
2


 E
2
 k E
2
r
2



E
 iE
t

2

 E
2
  E
t 2
k 2 ~2 ~ ~

r  1  2  n        i
k0
 0
4
Brechung und Absorption

 0
n~  n  i
~    i
2
n~ 2  n  i   n 2  2i   2
n~ 2  ~   1  i 2

 0

1  n 2   2 ;  2 
 2n
 0
n 2  2in   2   1  i
k … wave vector
 … angular frequency
c … velocity of light
n … index of refraction
 … electrical conductivity
Complex permittivity:
permittivity and losses
Complex index of refraction:
refraction and absorption
5
Amplitude and intensity
of the propagating wave

 
E  E0 exp i t  k  r
k  k0 n  i 




 
 
E  E0 exp i t  k0  r n  i 
 
 
E  E0 exp i t  nk0  r  exp  k0  r
 
 

propagating wave
I  E  E  E

absorption
2
I  E0
2

  


 
 
 
exp i t  nk0  r  exp  i t  nk0  r  exp  2k0  r

6
Relationship between
dielectric and optical constants
1  n 2   2

2 
 2n
 0
  2n 0  4n 0
2
n~ 2  n  i   n 2   2  2in

n~ 2  ~  1  i
  1  i 2
 0
2




1


   1   12  12   22   1
n 2    12  
2
 0 




2




1


   1   12  12   22   1
 2    12  
2
 0 








7
Insulator
 0
  4n 0  2n 0    0;  2  0
… non conducting
  n2  n  
… the index of refraction is a real
quantity
… no absorption, no losses
8
Eindringtiefe
E  E0 exp it  k0 nz   exp  k0 z 
 
die fortlaufende Welle
die Dämpfung
I  E  E  E
2
I  E0 exp it  k0 nz  exp  it  k0 nz  exp  2k0 z 
2
 2 
I  I 0 exp  2k0 z   I 0 exp  
z
c 

1
ze : I  I 0
e
 2  1
I  I 0 exp  
z   I0
c  e

2
c
c

ze  1  ze 


c
2 4 4

40 n
cn 0
ze 


… von der Frequenz (Wellenlänge)
und von der Dämpfung abhängig
9
Eindringtiefe und Dämpfung
(Beispiele)
W  ze
k
10
Reflexion und Transmission

 
E  E0 exp i t  k  r
1
i
2

  2   
E  E0 exp i  t 
s  r 

  
 
  s  r 
E  E0 exp i  t 

v 
 
r
t
Gleiche Amplitude und gleiche
Phase der Welle im Punkte „0“
s x(i ) s x( r ) s x(t )


v1
v1
v2
s x  sin 
sin  i sin  r sin  t


v1
v1
v1
Reflexion:
Transmission:
(Snell Gesetz)
sin i  sin  r
sin i v1
 
n

 2 2  2  n12
sin t v 2
11 n1
11
Elektrisches und magnetisches Feld

 
H  sE
Die Vektoren des elektrischen und des
magnetischen Feldes sind senkrecht zu
der Richtung der fortlaufenden Welle
   
EH s E
E
i r
I
R
s
T
H
Die Originalwelle:
E x(i )   A|| cos  i e i i
E y(i )   A e i i
H x(i )   A cos  i 1 e i i
E z(i )  A|| sin  i e i i
H y(i )   A|| 1 e i i
 s (i )  r 


    t  x sin  i  z cos  i 
 i    t 


v1 
v1



H z(i )  A sin  i 1 e i i
12
Elektrisches und magnetisches Feld
Die durchgelassene (transmittierte) Welle:
E x(t )  T|| cos t e i t
E y(t )  T e i t
E z(t )  T|| sin t e i t
H x(t )  T cos t  2 e i t H y(t )  T||  2 e i t
 s (t )  r 


    t  x sin t  z cos t 
 t    t 


v 2 
v2



H z(t )  T sin t  2 e i t
Die reflektierte Welle:
E x( r )   R|| cos  r e i r
E y( r )  R e i r
E z( r )  R|| sin  r e i r
H x( r )   R cos  r 1 e i r H y( r )   R|| 1 e i r
 s ( r )  r 


    t  x sin  r  z cos  r 
 r    t 


v1 
v1



H z( r )  R sin  r 1 e i r
13
Fresnel Gleichungen
… folgen aus der Randbedingung: Tangentialkomponenten von E und H
müssen an der Grenzfläche (Oberfläche) stetig (kontinuierlich) sein.
E x(i )  E x( r )  E x(t )
E y(i )  E y( r )  E y(t )
H x(i )  H x( r )  H x(t )
H y(i )  H y( r )  H y(t )
A||  R|| cosi  T|| cost
 A  R 
A  R  T
1 cos i  T  2 cos t
1 A||  R||    2 T
14
Fresnel Koeffizienten
T|| 
2n1 cos i
A||
n2 cos i  n1 cos t
t|| 
2n1 cos i
n2 cos i  n1 cos t
T 
2n1 cos i
A
n1 cos i  n2 cos t
t 
2n1 cos i
n1 cos i  n2 cos t
R|| 
n2 cos i  n1 cos t
A||
n2 cos i  n1 cos t
r|| 
n2 cos i  n1 cos  t
n2 cos i  n1 cos  t
r 
n1 cos i  n2 cos  t
n1 cos i  n2 cos t
Snell
n cos i  n2 cos t
R  1
A
n1 cos i  n2 cos t
n1 sin  i  n2 sin  t
cos  t 
t|| 
2n1 cos i
1
n22  n12 sin 2  i
n2
n2 cos i  n1 n22  n12 sin 2 i
n
t 
2
n2 cos i  n1 n22  n12 sin 2 i
n
r|| 
2
n2 cos i 
n1
n2
n22
 n12 sin 2  i
r 
2n1 cos i
n1 cos i  n22  n12 sin 2  i
n1 cos i  n22  n12 sin 2 i
n1 cos  i  n22  n12 sin 2 i
15
Brechungsindex
(Experimentelle Beispiele)
16
17
Transmission und Reflexion
I  EE  E
2
R  Ir I0  r
T  It I0  t
2
2
R ||  0
Der Brewster Winkel –
vollständige Polarisation der
reflektierten
elektromagnetischen Welle
(Polarisation des Lichtes)
R 
P
1
2
R ||  R  
R ||  R 
R ||  R 
Vakuum  Glas (n=1,5)
18
Transmission und Reflexion
Vakuum  Germanium (n=5,3)
19
Optische Reflexion
Totalreflexion
Glas (n=1,5)  Vakuum
20
Totalreflexion
n1  n2
n1 sin  i  n2 sin  t
n1
sin  i  sin  t  1
n2
n1
sin  c  sin  t  1
n2
 c  arcsin
n2
c
n2
n1
n1
Glas (n = 1,5): c = 41,8°
Wasser (n = 2): c = 30°
21
Transmission und Reflexion
mit komplexem Brechungsindex
22
Transmission und Reflexion
beim senkrechten Einfall
t|| 
2n1 cos i
n2 cos i  n1 n22  n12 sin 2 i
n
t 
2
n2 cos i  n1 n22  n12 sin 2 i
n
r|| 
2
n2 cos i 
n1
n2
n22
 n12 sin 2  i
r 
2n1 cos i
n1 cos i  n22  n12 sin 2  i
n1 cos i  n22  n12 sin 2 i
n1 cos  i  n22  n12 sin 2 i
i  0 cos i  1 sin i  0
2n1
n2  n1
n n
r||  2 1
n2  n1
t|| 
n n
R 1 2
n1  n2
2n1
n1  n2
n n
r  1 2
n1  n2
t 
2
Grenzfläche Werkstoff – Vakuum:
t||  t
r||  r
n 1
R
n 1
2
23
24
Transmission und Reflexion
mit komplexem Brechungsindex
Kupfer
n = 0.14
k = 3.35
R = 95.6 %
25
Transmission und Reflexion
mit komplexem Brechungsindex
Natrium
n = 0.048
k = 1.86
R = 95.8 %
26
Transmission und Reflexion
mit komplexem Brechungsindex
Gallium
n = 3.69
k = 5.43
R = 71.3 %
27
Transmission und Reflexion
mit komplexem Brechungsindex
Kobalt
n = 2.0
k = 4.0
R = 68.0 %
28
29
Reflexion beim komplexen Brechungsindex

n  1
n  i  1  n  i  1 n  12   2
R 


n  i  1  n  i  1 n  12   2
n  1
2
Einfluss der Absorption
(Schwächung,
Dämpfung) auf die
Reflexion
30
Reflexion beim komplexen Brechungsindex
Die totale Reflexion verschwindet
31
Reflexionsvermögen als Funktion des
Brechungsindexes und der Dämpfung
Das Reflexionsvermögen (die
Reflektivität) steigt sowohl mit
dem Brechungsindex als auch
mit der Dämpfung
32
Abhängigkeit des Brechungsindexes von der
Wellenlänge
Farbe der
Werkstoffe
33
Reflexion und Transmission
eines dünnen Films
Fresnel Koeffizienten an
den Grenzflächen:
t
t12t23ei
1  r12 r23e 2i
T 
n3 cos 3 2
t
n1 cos 1
Phasenverschiebung:
r
r12  r23e 2i
1  r12 r23e 2i
R r

t12

2n1 cos 1
n1 cos 1  n2 cos  2
r12 
n1 cos 1  n2 cos  2
n1 cos 1  n2 cos  2

t23

2n2 cos  2
n2 cos  2  n3 cos 3

r23

n2 cos  2  n3 cos 3
n2 cos  2  n3 cos 3
2
  k  nk0t cos  
2

nt cos 
34
Reflexion und Transmission
eines dünnen Films
Eine konstante
Wellenlänge
(monochromatische
Strahlung)
Dicke des Films ist
10x die Wellenlänge
35
Reflexion und Transmission
eines dünnen Films
Eine konstante
Wellenlänge
(monochromatische
Strahlung)
Dicke des Films ist
2x die Wellenlänge
36
Reflexion und Transmission
eines dünnen Films
Eine konstante
Wellenlänge
(monochromatische
Strahlung)
Dicke des Films ist
40x die Wellenlänge
37
Reflexion und Transmission
eines dünnen Films
Verschiedene
Wellenlängen
(polychromatische
Strahlung)
Dicke des Films ist
1,2 m
Verschiedene
„Farben“ werden
unterschiedlich stark
reflektiert oder
durchgelassen.
38