Komplexe Zahlen

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Die komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in die Analysis: viele bekannte
Funktionen sind in natürlicher Weise auf der Menge C der komplexen Zahlen
definiert; genannt seien für den Augenblick nur die Exponentialfunktion sowie
die trigonometrischen Funktionen. Auch wenn man vorrangig an reellen Funktionen interessiert ist, werden die Eigenschaften oft transparenter, wenn man sie
(auch) als komplexe Funktionen betrachtet. Auf der anderen Seite gehören die
komplexen Zahlen genauso auch in die Algebra und Zahlentheorie: sie stellen eine
natürliche Erweiterung der üblichen Zahlbereiche dar, auf die man beim Lösen
algebraischer Gleichungen geführt wird. In der Linearen Algebra sind die komplexen Zahlen, selbst wenn man vorrangig an reellen Vektorräumen interessiert
ist, eine unverzichtbares Hilfsmittel für die unten folgenden Behandlung von Eigenvektoren und Eigenwerten von Matrizen. Übrigens sind die komplexen Zahlen
auch Standard in vielen Anwendungsbereichen der Mathematik. Z.B. ist die in der
Physik, der Elektrotechnik oder der Informationstechnik verwendete Mathematik
ohne komplexe Zahlen kaum denkbar.
2.9.1 Beschreibung der komplexen Zahlen
1. Auf der Menge C der komplexen Zahlen sind zwei Verknüpfungen + und ·
definiert, d.h.
C × C ∋ (z, w) 7−→ z + w ∈ C
C × C ∋ (z, w) 7−→ z · w ∈ C
2. Für + und · gelten jeweils das Assoziativ- und Kommutativ-Gesetz sowie
das Distributivgesetz z · (w + w ′ ) = z · w + z · w ′ ; es gibt neutrale Elemente
0 für + und 1 für ·.
3. Es gilt R ⊂ C; die Verknüpfungen eingeschränkt auf R sind die dort gegebene Addition und Multiplikation.
4. Es gibt ein Element i ∈ C mit i2 := i · i = −1.
5. Es ist C = {a + b · i | a, b, ∈ R}. Dabei ist
a1 + b1 · i = a2 + b2 · i ⇐⇒ a1 = a2 ∧ b1 = b2
a =: Re z heißt Realteil und b =: Im z Imaginärteil von z = a + b · i = a + bi.
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Beispiel 2 + 3i und 5 − 2i := 5 + (−2)i sind komplexe Zahlen.
(2 + 3i) + (5 − 2i) = (2 + 5) + (3i + (−2)i)
= (2 + 5) + (3 + (−2))i
=7+i
(2 + 3i) · (5 − 2i)
= 2 · 5 + 2 · (−2) · i + 3 · i · 5 + 3 · i · (−2) · i
= 2 · 5 + 2 · (−2) · i + 3 · 5 · i + 3(−2) · i · i
= 10 + (−6)(−1) + (−4 + 15) · i
= (10 + 6) + (15 − 4)i
= 16 + 11i
Allgemein kann man aus der obigen Beschreibung folgende Regeln herleiten:
Satz 2.9.2 Gegeben sein zwei komplexe Zahlen z = a + bi und w = c + di, dabei
a, b, c, d ∈ R. Dann gilt
a) z + w = (a + c) + (b + d)i
b) z · w = (ac − bd) + (ad + bc)i
c) z besitzt ein Negatives −z so, daß z+(−z) = 0, nämlich −z := (−a)+(−b)i.
d) Wenn z 6= 0 ist. so besitzt z ein Inverses z −1 so, daß z · z −1 = 1, nämlich
z −1 :=
a2
1
(a − bi).
+ b2
Folgerung 2.9.3 (C, +, ·) bildet einen Körper.
Aus den obigen Regeln folgt noch nicht die Existenz von C (die Regeln könnten
in sich widersprüchlich sein). Diese wird z.B. geliefert durch folgendes Resultat:
2.9.4 Konstruktion der komplexen Zahlen
Betrachte auf der Menge C := R2 = R × R = {(a, b) | a, b ∈ R} als Verknüpfung
+ die übliche Vektoraddition (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) sowie die folgende
Multiplikation:
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc).
Dann gilt folgender Satz:
a) Die Verknüpfungen erfüllen das Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz.
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b) 1 := (1, 0) ist neutrales Element für die Multiplikation.
c) Mit Elementen (a, 0) wird wie in R gerechnet:
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) · (b, 0) = (a · b, 0).
d) Das Element i := (0, 1) erfüllt i2 = −1.
Insgesamt gelten bei Identifikation von R mit {(a, 0) | a ∈ R} ⊂ C = R2 alle
geforderten Eigenschaften.
Folgerung Komplexe Zahlen können als Punkte oder Vektoren der Ebene interpretiert werden. Dabei entspricht die Addition der Vektoraddition.
p
Definition 2.9.5 Für z = x + yi ∈ C heißt |z| := x2 + y 2 der Betrag von z.
Der Betrag einer komplexen Zahl ist also die übliche Länge des zugehörigen Vektors (siehe Definition 2.8.15), bzw. der Abstand des entsprechenden Punktes von
Nullpunkt.
Die Zahl |z|2 = x2 + y 2 kann man auch als (x + yi)(x − yi) schreiben. Der
zweite Faktor war uns schon beim Inversen einer komplexen Zahl begegnet. Für
diese Zahl gibt es einen eigenen Namen.
Definition 2.9.6 (Konjugiert-komplexe Zahl) Für eine gegebene komplexe
Zahl z = x + yi, x, y ∈ R heißt z := x − yi die zu z konjugierte oder konjugiertkomplexe Zahl.
Für die komplexe Konjugation (also die Abbildung C → C, z 7→ z) gelten die
folgenden Rechenregeln:
Bemerkung 2.9.7
z + w = z + w, z · w = z · w, |z|2 = zz, z −1 = z/|z|2 falls z 6= 0.
Geometrisch entspricht der Übergang zur konjugiert-komplexen Zahl der Spiegelung an der reellen Achse (x-Achse).
Im
6
1
b
|z |
a + ib = z
-
a
−b
q
Re
a − ib = z
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Die Betragsfunktion hat die folgenden Eigenschaften, von denen a), b) und d)
schon aus der Vektorrechnung bekannt sind. Eigenschaft c) bezieht sich auf die
Multiplikation und ist neu. Sie folgt sofort aus der entsprechenden Eigenschaft
für die komplexe Konjugation, die wir gerade festgestellt haben.
Satz 2.9.8 Für alle komplexen Zahlen z, w ∈ C gilt:
a) |z| ≥ 0
b) |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
c) |zw| = |z||w|
d) |z + w| ≤ |z| + |w| (Dreiecksungleichung)
Man kann die komplexen Zahlen z = x + yi statt in “kartesischen Koordinaten”
(x, y) auch in sog. Polarkoordinaten darstellen. Dazu betrachten wir den Winkel
ϕ, den der Vektor (a, b) ∈ R2 mit der x-Achse einschließt. Er wird mit arg(z)
bezeichnet (Argument von z).
Im
6
1
y
ϕ
|z |
x + yi = z
ϕ = arg(z)
-
x
Re
Aus dem Bild liest man ab
cos ϕ =
x
y
, sin ϕ =
.
|z|
|z|
Satz 2.9.9 (Polarkoordinaten-Darstellung komplexer Zahlen)
a) Jede komplexe Zahl z 6= 0 kann eindeutig geschrieben werden als
z = r · (cos ϕ + i sin ϕ) mit r ∈ R, ϕ ∈ [0, 2π[.
Dabei ist r = |z|, und ϕ entspricht dem Winkel zwischen z und der reellen Achse.
Die Zahlen (r, ϕ) heißen Polarkoordinaten von z.
b) Für die Multiplikation komplexer Zahlen gilt
z · z ′ = rr ′ · (cos(ϕ + ϕ′ ) + i sin(ϕ + ϕ′ )
D.h. die Beträge der beiden komplexen Zahlen werden multipliziert und die Winkel
addiert.
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Im
z · z′
z′
ϕ + ϕ′
*
z
ϕ′
ϕ
-
Re
Die Formel unter b) für das Produkt beweist man durch einfaches Nachrechnen
mittels der Additionstheoreme für Cosinus und Sinus.
√
√
Beispiel. Wir betrachten die komplexe Zahl ω = 21 + 12 −3 = 12 + 12 3 · i. Mit
etwas Rechnung zeigt man ω 3 = −1, ω 6 = 1. Mit
√ Polarkoordinaten geht dieses
1
π
ohne Rechnung: es ist |ω| = 1 und 2 = cos( 3 ), 23 = sin( π3 ), also
ω = cos
π
π
+ i sin .
3
3
Also ist ω 3 = cos π + i sin π = −1, ω 6 = cos(2π) + i sin(2π) = 1.
Im
6
ω=
−1
1
2
π
3
+i
3
2
-
Re
− π3
U
√
ω=
1
2
−i
√
3
2
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2.9.10 (Die Formel von Euler - de Moivre) Die Darstellung in den Polarkoordinaten ϕ = arg(z) und |z| lässt sich einprägsamer schreiben mit Hilfe der
komplexen Exponentialfunktion. Die Herleitung der entsprechenden Formel wollen wir im folgenden kurz skizzieren.
Aus der Analysis sind die Reihenentwicklungen der Exponentialfunktion, des
Sinus und des Cosinus bekannt: für beliebige reelle x gilt
∞
X
1 n
x
e
=
n!
n=0
∞
X
(−1)n 2n
cos x =
x
(2n)!
n=0
∞
X
(−1)n 2n+1
x
sin x =
(2n + 1)!
n=0
x
Diese Reihen kann man sich übrigens leicht als Taylorreihen herleiten.
Lassen wir in der Reihenentwicklung für die Exponentialfunktion statt x ∈ R
auch x = iϕ zu, dann entsteht formal die Reihe
eiϕ =
=
+
=
∞ n n
X
i ϕ
n!
n=0
∞ 2k
X
i ϕ2k
(2k)!
(n ist gerade, n = 2k,
i
ϕ2k+1
(2k + 1)!
... oder ungerade, n = 2k + 1)
k=0
∞ 2k+1
X
k=0
∞
X
k=0
+ i·
(−1)k ϕ2k
(2k)!
∞
X
(−1)k ϕ2k+1
k=0
(2k + 1)!
= cos ϕ + i · sin ϕ
(weil i2k = (i2 )k = (−1)k )
(weil i2k+1 = i · i2k = i(−1)k )
(cos- und sin-Reihe von oben)
Für zwei beliebige komplexe Zahlen z, w ∈ C kann man aufgrund der in Satz
2.9.8 festgestellten Eigenschaften die Zahl |z − w| sinnvoll als den Abstand der
Elemente z und w in C interpretieren (siehe auch 2.8.15); hiermit kann man die
Konvergenz von Folgen und den Grenzwert-Begriff für Funktionen (und weiter
auch Stetigkeit und Differenzierbarkeit) wie im Reellen definieren. Man kann dann
zeigen, daß Reihen für die Exponentialfunktion, für Cosinus und für Sinus auch für
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komplexe Argumente konvergieren und man die eben gemachten Umformungen
durchführen darf. Es ergibt sich also die einprägsame
Formel von Euler - de Moivre: eiϕ = cos ϕ + i · sin ϕ.
Die Polarkoordinaten-Darstellung z = r · (cos ϕ + i · sin ϕ) kann man daher auch
kürzer schreiben als
z = r eiϕ = |z|ei arg(z)
für beliebiges z ∈ C.
′
Die Formel für das Produkt z · z ′ = rr ′ ei(ϕ+ϕ ) benötigt nun nicht mehr die Additionstheoreme für Cosinus und Sinus, sondern einfach die Funktionalgleichung
eu+v = eu · ev der Exponentialfunktion, die für beliebiges u, v ∈ C gilt. In der Tat
kann man die Additionstheoreme, wenn man sie einmal vergessen hat, jederzeit
′
′
aus der Funktionalgleichung ei(ϕ+ϕ ) = eiϕ · eiϕ und der Formel von Euler - de
Moivre wieder herleiten.
Eine sehr wichtige Folgerung der Polarkoordinaten-Darstellung ist der folgende
Satz.
Satz 2.9.11
a) Jede komplexe
√Zahl a =ϕ r · (cos ϕϕ + i sin ϕ) besitzt eine Qua√
dratwurzel, nämlich a := r · (cos 2 + i sin 2 ).
b) Allgemeiner besitzt a für jedes n ∈ N n-te Wurzeln, also Zahlen c ∈ C mit
cn = a. Dieses sind die Zahlen
√
ϕ
2kπ
2kπ
ϕ
n
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
ck := r · (cos + i sin ) · cos
+ i · sin
n
n
n
n
Die Zahlen
ωnk := cos
2kπ
2kπ
2kπ
+ i · sin
= ei n ,
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1
heißen auch n-te Einheitswurzeln. Sie sind die Lösungen der Gleichung z n = 1.
In der Tat gilt mit ωn := ωn1 , daß ωnk wirklich die k-te Potenz (ωn )k ist.
In Wirklichkeit gilt in C noch viel mehr als nur die Existenz wun Wurzeln: jede
Gleichung n-ten Grades
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 mit ak ∈ C, an 6= 0
besitzt in C wenigstens eine Lösung. Wenn man die Lösungen mit geeigneten
Vielfachheiten versieht, so besitzt die Gleichung sogar n Lösungen. Die genaue
Formulierung des Sachverhaltes geben wir im folgenden Satz.
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Theorem 2.9.12 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom
f (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
mit komplexen Koeffizienten aj und an 6= 0 besitzt eine Darstellung
f (z) = an (z − c1 )(z − c2 ) · · · (z − cn )
mit n komplexen Zahlen c1 , . . . , cn .
Für diesen Satz gibt es unterschiedliche Beweise, die aber alle recht kompliziert
und voraussetzungsreich sind und den Rahmen dieser Vorlesung sprengen würden.
Der Satz 2.9.11 b) ist in dem Theorem natürlich enthalten: Durch Lösen von
zn − a = 0
kann man die n-ten Wurzeln einer beliebigen komplexen Zahl a finden.