Handout - KIT - Fakultät für Mathematik
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Didaktikzirkel Mathematik an der Universität Karlsruhe Regionale Lehrerfortbildung zum Thema „Computerunterstütze Analytische Geometrie des Raums“ Ernestina Dittrich, Abteilung für Didaktik der Mathematik, Universität Karlsruhe Die Unterlagen zur Fortbildung können Sie downloaden unter: http://www.mathematik.unikarlsruhe.de/didaktik/ DreiDGeo Das Programm DreiDGeo ist ein Programm zur Analytischen Geometrie für den Mathematikunterricht der Sekundarstufen II. Geometrische Objekte (z. B. Punkt, Pfeil, Gerade, Ebene) können dargestellt und mit Hilfe der Maus beliebig im Raum gedreht werden. Die Objekte lassen sich mit Hilfe von Operationen (z. B. Schneiden, Lot bilden) miteinander verknüpfen. Geometrische Abbildungen (z. B. Spiegelung, Streckung, Projektion) können durchgeführt werden. Kostenloses Download des Programms unter: www.trisi.de/3dgeo.exe Ein weiteres kostenloses Programm ist „Vektor“, zu erhalten unter: http://www.lehrer.unikarlsruhe.de/~za186/#geosek Beispiel a) b) c) d) e) f) g) h) Legen Sie die Punkte A(1|1|5) und B(4|1|8) und die Ebene E: x-2y-3z+2=0 fest. Zeichnen Sie den Schnittpunkt von der Gerade g durch A und B mit E. Welchen Abstand hat der Punkt A von der Ebene E? Wie groß ist der von der Ebene E und der Geraden g eingeschlossene Winkel? Spiegeln Sie den Punkt C(6|-2|4) an g. Zeichnen Sie das Dreieck ABC und bestimmen Sie seinen Flächeninhalt. Zeichnen Sie die Pyramide mit der Spitze S(1|2|1) und der Grundfläche ABC. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide. Übung a) b) c) d) e) f) Legen Sie die Ebene E1: 3x-6y+2z = 4 und den Punkt P(8|-7|7) fest. Messen Sie den Abstand von P zu E1. Bestimmen Sie den Bildpunkt P’ bei der Spiegelung von P an der Ebene E1. Zeichnen Sie die Ebene E2, die durch die Punkte P, P’ und Q(10|10|0) festgelegt ist. Zeichnen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1 und E2. Bestimmen Sie den Schnittwinkel von E1 und E2. Didaktikzirkel Mathematik, Dittrich, 17.1.06 und 7.2.06 -1- Ein Spaziergang durch das "Paket" geom3d von Maple Einführung Das Paket geom3d liefert über 140 Befehle zur Bearbeitung von Objekten der Analytischen Geometrie im dreidimensionalen Raum. Einige davon wollen wir auf einem Spaziergang durch eine Aufgabe kennen lernen. Eine Übersicht findet man in der Hilfe unter geom3d Grundlegende Besonderheiten bei Maple: Zwei wichtige Dinge vorneweg: - Maple unterscheidet zwischen Groß- und Kleinschreibweise. - Maple rechnet (soweit wie möglich) symbolisch. Maple unterscheidet zwischen drei Darstellungsformen: - Text (standardmäßig schwarz dargestellt) - Maple-Input (standardmäßig rot dargestellt) - Maple-Output (standardmäßig blau dargestellt) Zu den Befehlen in Maple: - Jeder (rot dargestellte) Maple-Befehl MUSS durch ; oder : abgeschlossen werden! - Der Abschluss mit : unterdrückt den (blau dargestellten) Output. - Eine Variablenzuweisung wird durch ":=" vorgenommen. Maple-Befehle aus geom3d: restart; with(geom3d): Mit diesen Befehlen wird das System neu gestartet und das Paket eingebunden. Zuerst müssen alle Objekte (Punkte, Geraden, Ebenen, Kugeln) vereinbart werden. Danach können die Objekte gezeichnet und mit ihnen gerechnet werden. Vereinbahrung von Objekten Punkte point(A, 1,3,-2) ... legt den Punkt A(1|3|-2) fest. coordinates(A) ... liefert die Koordinaten von A. Geraden line(g, [A,B]) ... legt die Gerade g = AB fest. u:=[2,1,-3] ... legt den Vektor u fest. line(h,[A,u])... legt die Gerade h mit den Aufpunkt A und dem Richtungsvektor u fest. Strecken, Dreieck segment(AB,[A,B])... legt eine Streck AB mit den Endpunkten A und B fest. triangle(T, [A, B, C])... legt ein Dreieck T mit den Eckpunkten A, B, C fest. Didaktikzirkel Mathematik, Dittrich, 17.1.06 und 7.2.06 -2- Ebenen plane(E, [A,B,C]) ... legt die Ebene E durch drei Punkte A, B, C fest. plane(F, [A,u]) ... legt die Ebene F durch den Punkt A und den (Normalen-)Vektor u fest. plane(H, [g,h]) ... legt die Ebene H durch zwei Geraden g und h fest. Liegen die Geraden parallel oder schneiden sie sich, ist die Festlegung klar. Liegen die beiden Geraden dagegen windschief, wird die Ebene so gelegt, dass sie g enthält und parallel zu h ist. plane(G, 2*x+y-3*z=4, [x,y,z]) ... legt eine Ebene G durch die Koordinatenform fest. Kugeln sphere(K, [A,3]) ... liefert die Kugel K mit dem Mittelpunkt A und den Radius 3. sphere(K, [A,B,C,S]) ... liefert die Kugel K durch die Punkte A,B,C und S. sphere(K, [A,B]) ... liefert die Kugel K mit dem Durchmesser AB. sphere(K1,x^2+y^2+z^2+x+y+z-3=0,[x,y,z],'centername'=M1) ... legt die Kugel K1 mit der angegebenen Gleichung fest und benennt den Mittelpunkt mit M1. center(K); radius(K) ... liefert Mittelpunkt und Radius der Kugel K. Zeichnen von Objekten draw([A,g,E,K]) ...zeichnet den Punkt A, die Gerade g, die Ebene E und die Kugel K. draw([E(color=blue),h(color=red),A(symbol=cross)],labels=[x,y,z],view=[-5..3,-2..1,0..3]) ...zeichnet die Ebene E blau, die Gerade h rot, und den Punkt A als Kreuz; die Achsen werden mit x,y,z bezeichnet und danach folgt der Zeichenbereich In runden Klammern stehen die lokalen Optionen für das jeweilige Objekt, nach der Liste der Optionen die, die global für die ganze Zeichnung gelten sollen. Umgang mit Objekten detail(C) ... gibt die Eigenschaften des geometrischen Objektes C an. distance(A, E) ... liefert den Abstand von Punkt A und Ebene E. intersection(S, g,E) ... liefert den Schnittpunkt S von der Geraden g und Ebene E. FindAngle(g, E) ... liefert den Winkel zwischen g und E im Bogenmaß. IsOnObject(A,g) ... prüft ob der Punkt A auf dem Objekt g liegt. NormalVector(E) ...liefert den Normalenvektor der Ebenen E simplify(%) ... der letzte Ausdruck wird vereinfacht evalf(%)... gibt den letzen Wert gerundet an Didaktikzirkel Mathematik, Dittrich, 17.1.06 und 7.2.06 -3- Beispiel Gegeben sind die Punkte A(1|1|5) und B(4|1|8) und die Ebene E:x-2y+2z = 0. a) Untersuchen Sie, ob sich die Geraden g durch A und B und E schneiden. b) Welchen Abstand hat der Punkt A von der Ebene E? c) Wie groß ist der von der Ebene E und der Geraden g eingeschlossene Winkel? d) Gib die Gleichung der Kugel K an um den Punkt A, die die Ebene E berührt. e) Zeichne die Gerade, die Ebene und die Kugel. Arbeitsblatt Übungen zu geom3d Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit der Grundfläche ABC und der Spitze S. A(5|0|0), B(2|6|1), C(1|2|0), S(3|1|5). a) Zeichne die Eckpunkte in ein Koordinatensystem. b) Zeichne ein Kantenmodell des Körpers. c) Zeichne ein Flächenmodell des Körpers. d) Vereinbare die Geraden g1 = AB, g2 = BC, g3 = CA, g4 = AS, g5 = BS, g6 = CS und gib die Gleichung von g1 an. e) Vereinbare die Ebenen E1 = ABC, E2 = ABS, E3 = BCS, E4 = CAS und gib die Gleichung von E1 und E2 an. f) Bestimme den Abstand des Punktes S vom Punkt A. g) Bestimme den Abstand des Punktes S von der Ebene E1. h) Bestimme den Abstand des Punktes B von der Geraden g3. i) Bestimme den Abstand der windschiefen Geraden g2 und g4 und zeichne sie. j) Bestimme den Winkel zwischen g2 und g4. k) Bestimme den Winkel zwischen g2 und E4 l) Bestimme den Winkel zwischen E1 und E3. m) Bestimme den Schnittpunkt S1 von g1 und g2 (S1 = B) n) Bestimme den Schnittpunkt S2 von g4 und E1 (S2 = A) o) Bestimme den Schnittpunkt S3 der Ebenen E1, E3 und E4 (S3 = C) p) Bestimme die Schnittgerade h von E2 und E4 (h = g4) q) Bestimme die Gleichung der Kugel K, die durch die Eckpunkte ABCS geht. r) Bestimme den Mittelpunkt M der Kugel K. s) Bestimme den Radius r der Kugel K. t) Prüfe, ob A auf g1 liegt. Didaktikzirkel Mathematik, Dittrich, 17.1.06 und 7.2.06 -4- Abituraufgaben und Beispiele Abitur 2005 II 1 Gegeben sind eine Pyramide ABCDS mit den Punkten A(0|0|0), B(8|0|0), C(8|8|0), D(0|8|0) und S(4|4|8) sowie für jedes r R eine Ebene Er : rx+3z=8r a) Stellen Sie die Pyramide in einem Koordinatensystem dar. Die Ebene E2 enthält die Pyramidenkante BC und schneidet die Kante DS in F die Kante AS in G. Geben Sie die Koordinaten der Punkte F und G an. Zeichen das Viereck BCFG ein. Zeigen Sie, dass dieses Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist. Wie groß sind die Innenwinkel dieses Trapezes? b) Bestimmen Sie r* so, dass die Pyramidenspitze S von der Ebene Er* den Abstand 4 hat. Geben sie die Koordinaten desjenigen Punktes in dieser Ebene Er* an, der von S den Abstand 4 hat. Kugeln, Berührpunkt, Schnittkreis Gegeben sind die Kugel KA mit dem Mittelpunkt A(-1|3|-2) und Radius 4 und die Kugel KB um B(3|1|2) und den Radius 2. a) Zeichnen Sie die beiden Kugeln. Zeigen Sie, dass sich die Kugeln berühren und bestimmen Sie den Berührpunkt. b) Ändern Sie den Radius der Kugel B so, dass die Kugel KA innerhalb der Kugel KB liegt. Fertigen Sie eine geeignete Zeichnung an. c) Ändern Sie den Radius der Kugel B so, dass die Kugel KA die Kugel KB schneidet. Fertigen Sie eine geeignete Zeichnung an. Bestimmen Sie den Radius und Mittelpunkt des Schnittkreises und fertigen Sie eine geeignete Zeichnung an. Didaktikzirkel Mathematik, Dittrich, 17.1.06 und 7.2.06 -5-
