Übersicht Mathe 12 GK 4 - Johannes-Kepler

M13 06/07 02 Koordinatensystem
Information/Aufgaben
Punkte im Koordinatensystem
Information
Die Position eines Flugzeugs in der Nähe eines Flugplatzes kann man mit Koordinaten
beschreiben (Fig. 6.1). Das Flugzeug A fliegt im Augenblick 2,7 km östlich und 2 km nördlich
vom Tower in einer Höhe von 4 km, es hat also die Position (2,7|2|4). Welche Position hat
das Flugzeug B bzw. das Flugzeug C, wenn es, wie in Fig. 6.2, in 3 km Höhe bzw. in 800 m
Höhe fliegt?
Um Punkte in einer Ebene oder im Raum angeben zu können, führt man ein ebenes bzw.
räumliches Koordinatensystem ein.
Dazu wählt man einen Punkt als Ursprung des Koordinatensystems und zwei bzw. drei
zueinander rechtwinklige Geraden durch den Ursprung als Koordinatenachsen. Jede
Koordinatenachse wird zu einer Zahlengeraden, indem man dem Ursprung die Zahl 0 und
einem weiteren Punkt auf ihr die Zahl 1 zuordnet, wobei die Längen der Strecken von 0 bis 1
auf den Koordinatenachsen gleich sein sollen. Man spricht dann von einem kartesischen
Koordinatensystem1. Erreicht man in einem räumlichen Koordinatensystem einen Punkt P
vom Ursprung aus, indem man
p1 Einheiten in Richtung der ersten Achse (x1-Achse) geht,
p2 Einheiten in Richtung der zweiten Achse (x2-Achse) geht,
p3 Einheiten in Richtung der dritten Achse (x3-Achse) geht,
dann schreibt man P(p1|p2|p3) und nennt p1, p2 und p3 die
Koordinaten von P in dem gegebenen Koordinatensystem.
In der Regel zeichnet man ein räumliches
Koordinatensystem so, dass die x1-Achse nach vorne, die
x2-Achse nach rechts und die x3-Achse nach oben weist.
Dabei schließen die x1-Achse und die x2-Achse auf dem
Zeichenblatt einen Winkel von 135° ein; die
Längeneinheit auf der x1-Achse ist mit dem Faktor ½
verkürzt dargestellt. Wenn man auf Kästchenpapier
zeichnet, ist es einfacher und üblich für die x2- und x3Achse 2 Kästchen für eine Einheit zu wählen und für die
x1-Achse ein Kästchen diagonal für eine Einheit.
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nach René Descartes, genannt Cartesius (1596 – 1650), franz. Philosoph und Mathematiker
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Anke Braun und Göde Klöppner, Johannes-Kepler-Gymnasium Ibbenbüren
M13 06/07 02 Koordinatensystem
Information/Aufgaben
Aufgabe 1
Zeichne in ein räumliches Koordinatensystem folgende Punkte ein:
P1(2/3/4), P2(1/6/3), P3(2/0/-3), P4(4/4/4), P5(-3/1/-1), P6(-2/-4/-1), P7(-4/2/-2,5)
Aufgabe 2
In der nebenstehenden Figur befinden sich
die Punkte P,Q in der x1x2-Ebene
die Punkte R,S in der x2x3-Ebene
die Punkte T,U in der x1x3-Ebene
Lies die Koordinaten der Punkte ab.
Aufgabe 3
Ein Würfel hat in einem Koordinatensystem die Punkte O(0/0/0), E1(1/0/0), E2(0/1/0)
und E3(0/0/1) als Eckpunkte (Einheitswürfel). Zeichne diesen Würfel und bestimme die
Koordinaten aller Kantenmittelpunkte und aller Diagonalenmittelpunkte.
Aufgabe 4
Welche Koordinaten haben die Bildpunkte von A(2/0/0), B(-1/2/-1), C(-2/3/4) und
D(3/4/-2) bei Spiegelung
a) an der x1x2-Ebene,
b) an der x2x3-Ebene,
c) an der x1x3-Ebene?
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Anke Braun und Göde Klöppner, Johannes-Kepler-Gymnasium Ibbenbüren