Formelheft

Formelheft
bfi
('11/'12/’13)
zuletzt aktualisiert: 2.2.12
Kap. 1 Potenzen
1
S.2
Potenzen
a, b  IR+;
r, s  IR;
a0
= 1;
1
an
a1
=
n
k  Z;
m, n  IN
=a
a-n
a
k
an
=
=
n
1
an
1 
=  
a
ak =
n
 a
k
n
ar · as = ar+s
ar : as = ar-s
(ar)s = ar·s
(a·b)r = ar · br
r
ar
a
=
 
br
b
n
ak =
 a
n
k
nm
=
n
ak  m
n m
ak
n
n
a
=
b
n
a
n
b
a =
n m
n
a ·
ab =
a
n
b
a, b, c  IR
(a + b)² = a² + 2·a·b + b²
(a – b)² = a² – 2·a·b + b²
(a + b)³ = a³ + 3·a²·b + 3·a·b² + b³
(a – b)³ = a³ – 3·a²·b + 3·a·b² – b³
(a + b + c)² =
a² + b² + c² + 2·a·b + 2·a·c + 2·b·c
a² – b² = (a – b) · (a + b)
a² + b² = nicht zerlegbar
a³ – b³ = (a – b) · (a² + a·b + b²)
a³ + b³ = (a + b) · (a² – a·b + b²)
a4 – b4 = (a² + b²) · (a² – b²) = (a² + b²) · (a + b) · (a – b)
2
Gleichungen
lineare Gleichungssysteme
Additionsverfahren, Substitutionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren
bei mehreren Variablen:
schrittweise Reduktion um jeweils eine Variable
Kap. 2 Gleichungen
S.3
quadratische Gleichungen
p, q, b, c  IR;
a  IR \ {0}
x² + p·x + q = 0
x1/2 = 
a·x² + b·x + c = 0
x1/2 =
p

2
p2
q
4
 b  b2  4  a  c
2a
Satz von Vieta:
x1, x2 sind Lösungen einer quadratischen Gleichung x² + p·x + q = 0
Es gilt:
1.
x² + p·x + q = (x – x1) · (x – x2)
2.
x1 + x2 = - p
3.
x 1 · x2 = q
andere Gleichungen (höheren Grades)
exakte Lösung durch:
Herausheben gemeinsamer Faktoren (x, x2, …)
Substitution (x2 = u, x3 = u, sin(x) = u, …)
Probieren (mit Wertetabelle)
… anschließend eventuell Polynomdivision
näherungsweise Lösung durch: Newton’sches Näherungsverf.
3
f ( xn )
f ' ( xn )
Wichtige Formeln aus der Physik
Dichte =
Masse
:
Volumen
Geschwindigkeit =
Beschleunigung =
Weg
:
Zeit
Geschwindi gkeitsänd .
Zeit
Freier Fall: h =
4
xn+1 = xn –
g  t2
:
2
=
m
V
v=
s
t
a=
v 2  v1
t
 g 
 3
 cm 
m 
s
 
≠
m
 2
s 
Fallbeschleunigung
Funktionen
Gerade:
Konstante Funktion:
f1(x) = d
(Bsp.: f1(x) = -4 )
Inhomogene lineare Funktion:
f2(x) = k·x+d
(Bsp.: f2(x) = - 1 ·x+2)
2
Homogene lineare Funktion:
f3(x) = k·x
(Bsp.: f3(x) = 2·x )
 kg 

 dm3 
 km 
 h 


= 
g = 9,81 m/s²
Kap. 4 Funktionen
S.4
Parabel:
Quadratische Funktion f1(x) = x²:
Scheitel S(0/0); nach oben offen
Allgemeine quadratische Funktion
f2(x) = a·x² + b·x + c
b
f2(x) = a·(x² + a ·x) + c
b
b2
·x
+
)
a
4  a2
b2
b 2
f2(x) = a· x  2  a + c  4  a
b
b2
Scheitel: S  2  a c  4  a
f2(x) = a·(x² +


 


+c–
b2
4 a
a > 0 … nach oben offen; a < 0 … n. unten offen; a = 0 … keine Parabel! (Gerade)
Potenzfunktion:
f(x) = a·xn
mit a  IR; n  Z
f1(x) = x4
für alle n  INg
f2(x) = x3
für alle n  INu
f3(x) = x-1
für alle n  Z-
Wurzelfunktion:
f(x) = n x
mit n  IN
f4(x) =
x
Exponentialfunktion:
f(x) = ax
mit a  IR+
f5(x) = ex
5
Basis e = 2,718
Ebene Figuren
A … Flächeninhalt
u … Umfang
Rechtwinkliges Dreieck:
A=
ab
2
a² + b² = c²
[Satz d. Pythagoras]
h² = p·q
[Höhensatz]
a² = p·c, b² = q·c
[Kathetensatz]
Kap. 5 Ebene Figuren
S.5
Gleichseitiges Dreieck:
A=
a2  3
4
h=
a
 3
2
b  hb
a  ha
c  hc
=
=
2
2
2
A
Inkreisradius:  =
s
Allgemeines Dreieck:
Umkreisradius:
r=
A=
abc
4A
Kreis:
A = r²·
u = 2·r·
Kreissektor:
br
r2    
A=
=
360
2
Kreisbogen:
b=
Ellipse:
A = a·b·
r
180
Rechteck:
A=a·b
u = 2·a + 2·b
Quadrat:
A = a²
u = 4·a
d = a· 2
Parallelogramm:
A = a  h a = b  hb
u = 2·a + 2·b
Raute (Rhombus):
A = ah =
ef
2
u = 4·a
Kap. 5 Ebene Figuren
Trapez:
S.6
A=
(a  c)  h
2
Deltoid:
6
A=
ef
2
Körper
G … Inhalt der Grundfläche
M … Inhalt der Mantelfläche
O … Inhalt der Oberfläche
Gerades Prisma:
O = 2·G + M
V = G·h
Pyramide
(beliebige
Grundfläche):
O=G+M
Gh
V=
3
Drehkegel:
O = r²· + r··s
r2    h
V=
3
M = r··s
Drehkegelstumpf:
O = r1²+r2²+(r1+r2)s
M = (r1+r2)s
h
V=
·(r12+r1r2+r22)
3
V … Volumen
h … Höhe
r … Radius
Quader:
O = 2·(a·b + a·c + b·c)
V = a·b·c
Würfel:
O = 6·a²
V = a³
Raumdiagonale d = a· 3
Drehzylinder:
O = 2·r²· + 2·r··h
V = r²··h
M = 2·r··h
Kugel:
O = 4·r²·
4  r3  
V=
3
Kap. 6 Körper
S.7
Querschnitt:
Kugelsegment:
(Kugelmütze)
O = 2·r··h + 2·
  h2
V=
·(3·r – h)
3
7
Kugelschichte:
O = 2rh + 12+ 22
h
V=
·(312+322+h2)
6
Trigonometrie - Winkelfunktionen
sin() =
Gegenkathete
Hypotenuse
cos() =
Ankathete
Hypotenuse
tan() =
Gegenkathete
Ankathete
Bogen-/Winkelmaß:
[rad] =
sin2() + cos2() = 1
tan() =
  grad
180
sin( )
cos( )
Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte besonderer Winkel:

0°
30°
45°
60°
sin()
0
1
2
2
2
3
2
1
cos()
1
3
2
2
2
1
2
0
-
tan()
0
3
3
1
3
∞
- 3
Sinussatz:
a
sin( )
90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
=
3
2
2
2
1
2
0
2
3
1
2
2
2
-1
3
3
0
b
sin()
-1
=
-
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos()
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos()
c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cos()
Flächeninhalt: A =
b  c  sin( )
2
a  c  sin()
2
Heron’sche Flächenformel: A =
-
2
3
1
2
2
2
-1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
3
∞
- 3
-1
3
3
1
-
-
3
2
2
2
-
-
1
2
0
3
2
1
3
3
0
c
sin( )
Kosinussatz:
=
-
=
a  b  sin( )
2
s  (s  a)  (s  b)  (s  c) , wobei s =
abc
2
Kap. 8 Differentialrechnung
8
S.8
Differentialrechnung
Ableitungsfunktionen:
konstante Funktion
f(x) = c
f’(x) = 0
lineare Funktion
f(x) = k∙x + d
f’(x) = k
Potenzfunktion
f(x) = xn
f’(x) = n∙xn-1
Summen-/Differenzenregel
f(x) = g(x) ± h(x)
f’(x) = g’(x) ± h’(x)
konstante Faktoren (k  IR)
f(x) = k∙g(x)
f’(x) = k∙g’(x)
f(x) = g(x)∙h(x)
f’(x) = g’(x)∙h(x) + g(x)∙h’(x)
Ableitungsregeln:
Produktregel
g( x )
h( x )
Quotientenregel
f(x) =
Kettenregel
f(x) =g(h(x))
f’’(x) > 0  linksgekrümmt
9
f’(x) =
g'( x )h( x )  g( x )h'( x )
[h( x )] 2
f’(x) = g’(h(x))∙h’(x)
f’’(x) < 0  rechtsgekrümmt
Kosten-/Preistheorie
Kosten:
degressive Kosten
K’’(x) < 0
lineare Kosten
progressive Kosten
K’’(x) = 0
Stückkosten = Kosten einer Mengeneinheit:
K’’(x) > 0
K (x) =
K (x)
x
Erlös/Gewinn:
p … Stückpreis
p(x) … Nachfragefunktion (variabler Stückpreis)
Erlösfunktion: E(x) = x∙p(x)
Elastizität:
Gewinnfunktion: G(x) = E(x) – K(x)
=
p(x)
p' ( x)  x
10 Integralrechnung
Stammfunktionen:
konstante Funktion
lineare Funktion
f(x) = d
f(x) = k∙x + d
F(x) = d∙x + C
F(x) =
k x 2
2
+ d∙x + C
Kap. 10 Integralrechnung
S.9
Potenzfunktion
f(x) = xn
Sonderfall der Potenzfunktion:
f(x) =
F(x) =
1
x
x n 1
n 1
+C
F(x) = ln |x| + C
Integrationsregeln:
Summen-/Differenzenregel
f(x) = g(x) ± h(x)
F(x) = G(x) ± H(x)
konstante Faktoren (k  IR)
f(x) = k∙g(x)
F(x) = k∙G(x)
b
bestimmtes Integral:
 f ( x ) dx
= F(b) – F(a)
a
Volumsberechnung:
b
Q(x) … Querschnittsfunktion
V =  Q( x ) dx
a
Rotationskörper (um die x-Achse)
b
V = ∙  [ f ( x )]2 dx
a
Rotationskörper (um die y-Achse)
V = ∙
h2
2
 [x ( y )] dy
h1
11 Kombinatorik
n! = n∙(n-1)∙(n-2)∙ … ∙3∙2
n  IN\{0}, k  IN, n≥k
n =
k 
 
n!
k! (n k )!
=
0! = 1
n(n 1)(n  2)... (n k 1)
k (k 1)(k  2)... 32
 n  =  n  =1
n 0
   
 n  =  n  =n
 n  1  1 

  
n =  n 
k  n  k 
  

(a ± b)n =  n  ∙an∙b0 ±  n  ∙an-1∙b1 +  n  ∙an-2∙b2 ±  n  ∙an-3∙b3 + … +/±  n  ∙a0∙bn
0
 1
 2
3
n
Ermitteln der Anzahl möglicher Stichproben:
n Elemente werden angeordnet:
n! Möglichkeiten
Von n Elementen werden k Elemente mit Zurücklegen ausgewählt:
Es gibt nk geordnete und  n  k  1 ungeordnete Stichproben.

k

Von n Elementen werden k Elemente ohne Zurücklegen ausgewählt:
Es gibt
n!
(nk )!
geordnete und  n  ungeordnete Stichproben.
k
 
Kap. 12 Wahrscheinlichkeitsrechnung
S.10
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung
E, E1, E2 … Ereignisse
E’ … Gegenereignis
E1  E2 … E1 oder E2
 … Ereignisraum
E1  E2 … E1 und E2
P(E) = W(E) … Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E
P(E1|E2) … Wahrscheinlichkeit von E1, wenn E2 eingetreten ist
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten:
P(E’) = 1 – P(E)
P(E1  E2) = P(E1) + P(E2)
P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1  E2)
, wenn E1 und E2 einander ausschließen
P(E1  E2) = P(E1)∙ P(E2|E1) = P(E2)∙ P(E1|E2)
P(E1  E2) = P(E1)∙P(E2)
, wenn E1 und E2 voneinander unabhängig sind
Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
E(X),  … Erwartungswert
X … Zufallsvariable
V(X), 2 … Varianz
,
V
… Standardabweichung
E(X) = a1∙P(X=a1) + a2∙P(X=a2) + a3∙P(X=a3) + … + ak∙P(X=ak)
V(X) = (a1 – E(X))2∙P(X=a1) + (a2 – E(X))2∙P(X=a2) + … + (ak – E(X))2∙P(X=ak)
Binomialverteilung:
P(X=k) = bn;p(k) =  n  ∙pk∙(1–p)(n–k)
k 
E(X) = n∙p
V(X) = n∙p∙(1–p)
Hypergeometrische Verteilung:
P(X=k) =
K  N  K 
 

k   n k 
N
 
n
E(X) = n∙
K
N
V(X) = n∙
K  K  Nn
∙ 1  ∙
N  N N 1