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Übungsbeispiele Wahrscheinlichkeitsrechung und Statistik Maturavorbereitung 8. Klasse 1. Laut Statistik 1986 rauchen in Österreich 30% der Bevölkerung über 16 Jahren. (a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 18 Schülern einer 8. Klasse mehr als 4 rauchen. (0,66735) (b) In einer Umfrage wurden 200 Schüler der 6. bis 8. Klassen zum Thema Rauchen befragt. In welchem symmetrischen Bereich um den Erwartungswert liegt mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Raucher? ([47;73]) (c) Von 18 Schülern einer Klasse rauchen 7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 4 zufällig ausgewählten Schülern höchstens einer raucht? (0,494) 2. Auf Grund einer Untersuchung wurde festgestellt, dass 15% der verwendeten Mopeds nicht den technischen Vorschriften der Straßenverkehrsordnung entsprechen, also defekt sind. (a) Von einem Polizisten wurden 25 Mopeds kontrolliert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 3 defekte darunter sind? (0,25374) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 25% der kontrollierten Mopeds defekt? (0,15638) (b) Wie viele Mopeds müssen kontrolliert werden, damit mit mindestens 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens ein defektes Moped dabei ist? (29) Die Lebensdauer von Mopedreifen ist normalverteilt mit σ=450km. Die mittlere Lebensdauer eines Reifens beträgt 5500km. (c) In welchem Bereich liegt die Lebensdauer eines Reifens mit 95%iger Wahrscheinlichkeit? ([4618;6382]) (d) Bei wie viel Prozent der Reifen übersteigt die Lebensdauer 6500km? (1,32%) (e) Wie groß muss die mittlere Lebensdauer einer Produktserie sein, damit höchstens 2% der Reifen eine Lebensdauer von weniger als 4600km haben? (5522,5km) 3. Ein Kartenspiel besteht aus 6 schwarzen und einer roten Karte. Aus dem Stapel wird wiederholt eine Karte zufällig gezogen. Ist die Karte rot, wird sie in den Stapel zurückgelegt; ist die gezogene Karte schwarz, wird sie beiseite gelegt und im Stapel durch eine neue rote Karte ersetzt. (a) Beim ersten Spiel wird dreimal gezogen. Zeichne ein Baumdiagramm und berechne folgende Wahrscheinlichkeiten: E1: Genau eine der gezogenen Karten ist rot. (0,5248) E2: Mindestens eine der gezogenen Karten ist rot. (0,6501) E3: Nur die zweite gezogene Karte ist schwarz. (0,035) E4: Die zweite gezogene Karte ist rot. (0,2653) (b) Es wird unter gleichen Bedingungen so lange gezogen bis eine rote Karte erscheint. X sei die Anzahl der notwendigen Ziehungen. Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und berechne den Erwartungswert. (µ=3,0179) (c) Eine Bank bietet folgendes Glücksspiel an: Nach einem Einsatz von k Euro wird nach oben angeführter Regel dreimal gezogen. Die Bank zahlt 100€ für 3 rote Karten, 5€ für 2 rote Karten und 2€ für eine rote Karte. Ab welchem Einsatz k gewinnt langfristig die Bank? (k=1,96€) 4. Beim Drehen eines Glücksrades treten die Ziffern 0 und 1 mit den Wahrscheinlichkeiten 3 und 1 auf. 4 4 (a) Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten: E1: Die Null tritt mehr als zweimal auf. (0,84375) E2: Jede der beiden Ziffern 0 und 1 tritt mindestens einmal auf. (0,5625) E3: Die erste oder die dritte Ziffer ist eine 1. (0,4375) (b) Wie oft muss das Glücksrad mindestens gedreht werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95% mindestens einmal die Ziffer 1 erscheint? (11) (c) Zwei Spieler A und B machen folgendes Spiel: Jeder dreht das Glücksrad einmal. Ist die Summe der beiden Ziffern ungerade, gewinnt der Spieler B vom Spieler A die Ziffernsumme in €, andernfalls zahlt der Spieler B an den Spieler A die Ziffernsumme in €. Wie groß ist die Gewinnerwartung für Spieler B in drei Spielen? (0,75€) Übungsbeispiele Wahrscheinlichkeitsrechung und Statistik Maturavorbereitung 8. Klasse 5. Ein Supermarkt bezieht Glühbirnen von den zwei Herstellerfirmen A und B und lässt sie mit ihrem eigenen Logo versehen, sodass die Herstellerfirma nicht mehr zu erkennen ist. Von A werden 70% des Bedarfs bezogen, die restlichen 30% liefert B. Unter den von A hergestellten Glühbirnen sind im Mittel 3% bereits bei der Anlieferung defekt, bei den Glühbirnen von der Firma B beträgt der Anteil an defekten durchschnittlich sogar 6%. (a) Zeichne ein Baumdiagramm und berechne, wie viel Prozent aller Glühbirnen bereits bei der Anlieferung defekt sind. (3,9%) (b) Dem Lager wird zufällig eine Glühbirne entnommen und man stellt fest, dass sie defekt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie vom Hersteller B? (0,4615) (c) Der Markt bezieht einer Lieferung von 72 Glühbirnen, die alle von A hergestellt wurden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind dabei mehr als zwei Glühbirnen defekt? (0,36719) (d) Der Einkaufspreis einer von A hergestellten Glühbirne beträgt 0,56€, bei B kostet sie 0,52€. Der Verkaufspreis einer Glühbirne im Supermarkt beträgt 0,80€. Wegen Reklamationen der Kunden muss der Markt erfahrungsgemäß bei 80% der verkauften defekten Glühbirnen den Kaufpreis zurückerstatten. Berechne den durchschnittlichen Gewinn pro verkaufter Glühbirne. (0,227) (e) Die Brenndauer einer intakten Glühbirne ist näherungsweise normalverteilt und beträgt bei Hersteller A durchschnittlich 1100 Stunden bei einer Standardabweichung von 120 Stunden; die von B hergestellten Glühbirnen brennen im Durchschnitt 1020 Stunden bei einer Standardabweichung von 80 Stunden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit brennt eine von A hergestellten Glühbirne länger als 1250 Stunden? (0,1056) Ermittle das zum Erwartungswert symmetrische Intervall, so dass die Brenndauer einer von B hergestellten Glühbirne mit der Wahrscheinlichkeit von 0,75 in dieses Intervall fällt. ([928; 1112]) 6. Ein Diskettenhersteller garantiert, dass 96% der von ihm gelieferten Disketten fehlerfrei sind. (a) Für ein Softwareprodukt werden drei Disketten benötigt und einer Großpackung entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten, dass genau einer der entnommenen Disketten, bzw. höchstens eine defekt ist. (0,1106; 0,9953) (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Großpackung von 50 Stück mehr als eine Diskette defekt ist. (0,5995) (c) Der Disketten-Hersteller konnte die Qualität verbessern und behauptet nun, dass unter 50 Disketten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,364 alle Disketten fehlerfrei sind. Berechne in welcher Höhe nunmehr eine Garantie für fehlerfreie Disketten übernommen werden kann. (98%) (d) Ein Kunde behauptet, dass der Hersteller nicht recht hat und führt einen Test mit 1000 Disketten durch, wobei er 22 fehlerhafte Disketten findet. Teste mit α0 = 0,05. (0,3264>0,05; Behauptung darf nicht verworfen werden) (e) Ab wie vielen fehlerhaften Disketten unter 1000 darf die Behauptung des Herstellers verworfen werden? (27) 7. In einem Betrieb wird ein Test entworfen, der die Eignung für einen bestimmten Aufgabenbereich ermittelt. Die Ergebnisse dabei sind normalverteilt mit einem Mittelwert μ = 154 und einer Standardabweichung σ = 22. (a) Berechne, wie viel Prozent der Mitarbeiter einen Wert zwischen 120 und 175 erreicht haben! (Lsg. 76,84%) (b) Welchen Wert muss jemand erreichen, damit er zu den besten 15 Prozent gehört? (Lsg. mind. 176,88) Übungsbeispiele Wahrscheinlichkeitsrechung und Statistik Maturavorbereitung 8. Klasse 8. In einem Geschäft werden Überraschungseier verkauft. Man weiß aus Erfahrung, dass die Anzahl der an einem Tag verkauften Eier eine normalverteilte Zufallsvariable ist, wobei µ = 350 und = 80. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 230 Eier verkauft werden? (0,0668) (b) In welchem Bereich liegt mit 90%iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der verkauften Eier? (218,482) In jedem 7. Überraschungsei ist eine Sammelfigur. Susi kauft 10 Eier. (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau zwei (0,268) (d) mindestens eine Figur findet? (0,786) (e) Wie viele Eier muss sie kaufen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Sammelfigur zu finden, 90% (oder mehr) beträgt? (15) 9. Ein Kunde eines Kaufhauses benutzt mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% die hauseigene Tiefgarage. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 bleibt ein Kunde länger als 30 Minuten Im Kaufhaus (Langzeitbesucher). (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein beliebiger Kunde weder Tiefgaragenbenutzer noch Langzeitbesucher? (0,15) (b) An einer Kasse stehen drei Kunden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens einer davon ein Tiefgaragenbenutzer und nicht gleichzeitig Langzeitbesucher? (0,8336) (c) In der Tiefgarage sind noch 16 Plätze frei. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese freien Plätze für die nächstens 20 Kunden des Kaufhauses reichen? (0,775) (d) Mit einer elektronischen Anlage wird am Ausgang geprüft, ob ein Kunde unbezahlte Ware bei sich führt. Bei Kaufhausdieben spricht die Anlage mit einer Wahrscheinlichkeit Von 95% an, allerdings auch bei ehrlichen Kunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 1%. 40% der Verdachtsfälle erweisen sich als gerechtfertigt. Wie groß ist demnach der Anteil der Diebe unter allen Kunden? (0,7%) (e) Durch Verbesserungen soll der Anteil von 40% der überführten Diebe unter den verdächtigen Kunden erhöht werden. Wie viele Diebe müssen mindestens unter 256 Verdächtigen sein, damit die Behauptung, dass die Verbesserungsmaßnahmen keine Erhöhung des besagten Anteils erbringen, auf dem Signifikanzniveau von 5% abgelehnt werden kann? (116) 10. In einer Zuckerfabrik wird Zucker in Packungen zu 1 kg abgefüllt. Im Mittel wird jedem zehnte Paket ein Gutschein beigelegt. (a) Ein Kunde kauft 20 Pakete. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er mindestens einen Gutschein dabei? (0,8784) (b) Wie viele Pakete müsste er mindestens kaufen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens einen Gutschein erhält? (29) (c) 100 Gutscheine werden nun durch einen Zufallsmechanismus auf die 1000 Pakete eines Containers so verteilt, dass jeder Gutschein unabhängig von den anderen in jedes Paket gelangen kann. Ein Paket kann also auch mehr als einen Gutschein enthalten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in ein bestimmtes Paket mehr als ein Gutschein gelangt? (0,0046) (d) Die Zuckerfabrik behauptet, ihre Abfüllanlage arbeite so, dass höchstens 4% der Pakete weniger als 1000g enthalten. Die prüfende Behörde will diese Behauptung nur dann akzeptieren, wenn in einer Stichprobe von 400 Paketen höchstens k Pakete mit einer Masse unter 1000g zu finden sind. Bestimme zu α0 = 0,01 einen möglichst großen Wert für k. (26) 11. Vom statistischen Amt des Magistrates Linz wurde vor einigen Jahren die Größe von 50 18jährigen Mädchen erhoben. Es wurde folgende Urliste (Maße in cm) erstellt: 161 166 171 160 165 178 156 172 162 156 177 167 157 176 171 155 158 167 172 161 164 170 165 159 166 170 165 174 156 160 172 173 164 175 163 166 162 171 158 168 162 172 170 158 162 165 155 159 163 166 Berechne die mittlere Körpergröße und die Standardabweichung. (166,1; 6,32) Übungsbeispiele Wahrscheinlichkeitsrechung und Statistik Maturavorbereitung 8. Klasse 12. Die Wahrscheinlichkeit, dass Mitarbeiter in Kaufhäusern bereit sind, auch abends zu arbeiten, sei p. (a) Wie groß ist im Fall p=0,8 die Wahrscheinlichkeit, dass von 12 neuen Mitarbeitern mindestens 10 bereit sind, auch abends zu arbeiten? (0,5584) (b) Wie groß müsste p sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% alle 12 Mitarbeiter bereit sind, auch abends zu arbeiten? (0,9439) Die Kaufhausleitung will die verlängerten Öffnungszeiten nur beibehalten, wenn diese von wenigstens 40% der Kunden erwünscht werden. Dazu werden 200 zufällig ausgewählte Kunden befragt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, irrtümlich von den verlängerten Zeiten abzugehen, soll höchstens 5% betragen. (c) Wie viele Kunden müssen die längeren Zeiten wünschen, damit kein Irrtum besteht? (69) 13. Eine Urne enthält eine rote, eine schwarze und eine grüne Kugel. Es wird solange ohne zurücklegen eine Kugel gezogen, bis eine grüne Kugel erscheint. Wird die grüne Kugel im 1. Zug gezogen, so ist die Ausspielung 2 €. Wird die grüne Kugel im 2. Zug gezogen, so ist die Ausspielung 1 €. Wird die grüne Kugel im 3. Zug gezogen, so ist die Ausspielung 0 €. Wie hoch muss der Einsatz sein, damit es sich um ein faires Spiel handelt? (1€) 14. Glücksspiele erfreuen sich in Österreich immer größerer Beliebtheit. Zwei beträchtliche Einnahmequellen für den Staat sind dabei das Roulettespiel in den Casinos bzw. das österreichische Lotto “6 aus 45“. (a) Ist es günstiger, beim Roulette einen Betrag B stets auf “Rouge“ zu setzen und im Falle des Gewinns das Doppelte des Einsatzes zu erhalten oder denselben Betrag B immer auf eine einzelne Zahl zu setzen und gegebenenfalls das 36-fache des eingesetzten Betrages zu erhalten? Vergleiche zur Beantwortung jeweils den Erwartungswert des Gewinns! (egal, beide Varianten haben E(G)= 1 B) 37 (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 Spielen i) nur beim ersten, dritten und fünften Spiel (0,0011) ii) dreimal (0,1301) iii) mindestens einmal (0,9987) die Kugel auf “Rouge“ fällt? Seit der Einführung des Lottospiels in Österreich wurden (ohne Zusatzzahl) in 546 Runden 3276 Kugeln gezogen. Nimm zur Beantwortung der beiden folgenden Fragen näherungsweise Normalverteilung an: (c) In welchem um den Erwartungswert symmetrischen Intervall sind die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Zahlen mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit zu erwarten? ([56;89]) (d) Die Zahl “14“ wurde bisher am seltensten, nämlich 59mal, und die Zahl “26“ am öftesten, nämlich 99mal, gezogen. Ist der Ziehungsmechanismus in Ordnung? Teste auf 1% Signifikanzniveau. (nicht in Ordnung, da P(H 99)=0 < 0,005) 15. Eine Kommission besteht aus 15 Personen: 12 einfachen Mitgliedern und 3 Vorstandsmitgliedern. Wegen Krankheit, Terminproblemen usw. fehlt jede Person durchschnittlich bei jeder fünften Sitzung. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Kommission beschlussfähig, wenn statuarisch mindestens 2/3 der einfachen Mitglieder und ein Vorstandsmitglied anwesen sein müssen? (0,92) (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist kein Vorstandsmitglied anwesend? (0,008) (c) Wie viele Personen sind durchschnittlich bei einer Sitzung anwesend, und mit welcher Streuung hat man zu rechnen? (12, 1,55) Übungsbeispiele Wahrscheinlichkeitsrechung und Statistik Maturavorbereitung 8. Klasse 16. Für den Kauf einer Maschine hat der Kaufinteressent mit dem Verkäufer folgende Vereinbarung getroffen: Die Maschine wird beim Interessenten aufgestellt, dann werden 20 Stück probeweise produziert. Im Falle, dass (1) alle Stück in Ordnung sind, beträgt der Kaufpreis 1800000€. (2) genau 1 Stück Ausschuss ist, wird der Kaufpreis um 10% gesenkt. (3) genau 2 Stück Ausschuss sind, wir der Kaufpreis um 20% gesenkt. (4) genau 3 Stück Ausschuss sind, wir der Kaufpreis um 30% gesenkt. (5) mehr als 3 Stück Ausschuss sind, wird die Maschine nicht gekauft. Der Verkäufer weiß aus Erfahrung, dass ein fehlerhaftes Stück mit der Wahrscheinlichkeit p=0,05 auftritt. (a) Gib den Erwartungswert und die Standardabweichung der fehlerhaften Stücke im Probebetrieb an. (1; 0,975) (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Stück Ausschuss sind? (0,0025) (c) Wie groß ist die Chance, dass es zu keinem Verkauf kommt? (0,0159) (d) Welchen Gewinn darf der Händler erwarten, wenn sein Einstandspreis für die Maschine 1500000€ beträgt, und wenn er in jedem Fall die Kosten von 40000€ für Transport, Probebetrieb usw. tragen muss? (63359€) 17. Aus einer Urne mit 7 schwarzen und 6 weißen Kugeln werden 8 Kugeln mit einem Griff gezogen. Hat der Spieler darunter 3 oder mehr schwarze Kugeln, so gewinnt er 10€. Ansonsten zahlt er 5€. (a) Welchen Gewinn (bzw. Verlust) hat der Spieler bei diesen Spielregeln? (9,76€) (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Spielers i) 3mal ii) 5mal zu spielen, ohne am Ende Verlust erlitten zu haben? (1; 1) 18. Drei Maschinen M1, M2 und M3 stellen ein Produkt mit der relativen Häufigkeit 0,45; 0,20 bzw. 0,35 her. Produkte der Maschine M1 sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02; der Maschine M2 mit einer WK von 0,05 und der Maschine M3 mit einer WK von 0,03 defekt. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt von M2 hergestellt wird und in Ordnung ist? (0,19) (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gekauftes Produkt fehlerhaft ist? (0,0295) (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Kiste mit 10 Stück, die zufällig der Gesamtproduktion entnommen wurden, i) mindestens 2 defekte ii) weniger als 2 defekte Produkte enthalten sind? (0,03346; 0,96654) (d) Wie viel Stück müssen untersucht werden, dass mit 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eins Ausschussstück darunter ist? (77) 19. Der Durchmesser eines auf einer alten Drehbank produzierten zylindrischen Werkstücks ist normalverteilt mit µ=10mm und σ=1mm. (a) Welcher Prozentsatz der Gesamtproduktion erfüllt die Toleranzauflage, dass der Durchmesser nicht weniger als 9,7mm und nicht mehr als 10,1mm betragen darf? (15,8%) (b) Um welchen Preis muss der Produzent die normgerechten (d.h. innerhalb des Toleranzintervall liegenden) Werkstücke verkaufen, wenn er damit bei einer Gesamtproduktion von 1000 Stück wenigstens seine Kosten hereinbekommen will? Die Produktionskosten je Stück betragen 5,6€. (35,5€) (c) Um wettbewerbsfähig bleiben zu können, will er eine mikroprozessorgesteuerte Drehbank kaufen, deren Anbieter eine Ausschussquote von höchstens 10% verspricht. Ab welcher Anzahl an Ausschussstücken kann er die Behauptung des Anbieters Verwerfen, wenn 150 Stück probeweise produziert werden? (22)
