Materialien zum Modellversuch:
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Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur (19) Zum Themengebiet Vernetzende Aufgaben (Jahrgang 7 –10) (erstellt in Zusammenarbeit mit Gesamtschule Guxhagen) Einleitung ................................................................................................................. 3 Einige Überlegungen und Vorbemerkungen zu Vernetzenden Aufgaben im Mathematikunterricht von der Gesamtschule Guxhagen Vorschlag 19.1: Der Brunnen................................................................................. 5 Ein auszuschachtender Größenumrechnungen Brunnen schafft Verbindungen zu Körperberechnungen und Vorschlag 19.2: St. Cyriakus .................................................................................. 6 Das Dach einer Kirche muss neu eingedeckt werden. Wie groß ist die Dachfläche und wie hoch sind die Kosten? Vorschlag 19.3: Von Würfeln und Wurzeln ......................................................... 7 Wie verhalten sich die Kantenlängen zweier Würfel, deren Volumen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen? Vorschlag 19.4: Bundestagswahl ........................................................................... 8 Die Wahlergebnisse der Bundestagswahl sollen sinnvoll dargestellt werden Vorschlag 19.5: Sektgläser ..................................................................................... 9 Vielfältige Vernetzungen rund um das Sektglas Vorschlag 19.6: Informationsweitergabe ............................................................ 10 Eine Informationsweitergabe verläuft nicht wie gewünscht, schafft aber Verbindungen zu anderen Themengebieten Vorschlag 19.7: Schwierige Pyramide ................................................................. 11 Volumenberechnung einer Pyramide aus Mantelfläche und Seitenkanten Vorschlag 19.8: Parabel durch drei Punkte ....................................................... 12 Welche Parabel verläuft durch drei vorgegebene Punkte? Vorschlag 19.9: Tool Time.................................................................................... 13 Die Dachsanierung eines Einfamilienhauses erfordert eine Menge Mathematikkenntnisse Vorschlag 19.10: Hantelstange ............................................................................. 14 Wie lang muss eigentlich eine Hantelstange sein, damit sie ein sinnvolles Gewicht hat? Vorschlag 19.11: Geometrie ................................................................................. 15 Bestimmungsaufgaben aus dem Bereich der Geometrie Vorschlag 19.12: Unterwegs mit dem Sportverein ............................................ 16 Die Kosten für eine Busfahrt sollen gerecht verteilt werden Vorschlag 19.13: Dem Ingenieur ist nicht zu schwör ........................................ 17 Bei einem Fachwerkträger sind die Längen der einzelnen Stäbe zu berechnen Vorschlag 19.14: Terrassenbau............................................................................ 18 Eine Familie plant einen Terrassenbau und will das Geländer bestellen Vorschlag 19.15: Tarifdschungel im Internet ..................................................... 19 Die Nutzungstarife im Internet sind kaum noch überschaubar: Welcher Anbieter ist der günstigste? Vorschlag 19.16: Spanplatte ................................................................................. 21 Geometrische Extremwertaufgabe mit Verbindungen zur Prozentrechnung Vorschlag 19.17: Highway to Hell ....................................................................... 22 Wie groß ist der Reaktionsweg bei einer Geschwindigkeit von 180 km/h? Vorschlag 19.18: The Wall ................................................................................... 23 Vielfältige Vernetzungen bei der Planung einer Begrenzungsmauer Vorschlag 19.19: Freizeitpark .............................................................................. 24 Drei Schüler fehlen beim Ausflug in den Freizeitpark. Wie sollen die Kosten gerecht verteilt werden? Vorschlag 19.20: Baumarkt .................................................................................. 28 Was kostet die Renovierung eines Kinderzimmers? Vorschlag 19.21: Schwimmbad ............................................................................ 28 Wie lange dauert die Befüllung eines Schwimmbads? Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird. 2 Einleitung Die folgenden Bemerkungen orientieren sich an einem Bericht der Lehrer der Gesamtschule Guxhagen über ihre im Rahmen der Modellversuchsarbeit gesammelten vielfältigen Erfahrungen mit vernetzenden Aufgaben: Wie auch in den später dargestellten konkreten Aufgabenvorschlägen deutlich wird, werden häufig „ganz normale“ Aufgaben eingesetzt, die so oder so ähnlich z.T. schon lange in Schulbüchern stehen. Dies geschieht aber – angestoßen durch die Arbeit im Modellversuch – viel bewusster und auch häufiger als bisher. Wenn man sich das Vernetzen in verstärktem Maße als Ziel vornimmt, dann – so die Erfahrungen – kann man auf diesem Gebiet viel erreichen, auch wenn das Ganze natürlich kein „Selbstläufer“ ist. Wichtige Voraussetzungen sind dabei das gezielte und permanente Einbauen entsprechender Aufgaben in den Unterricht und in Klassenarbeiten. Dieser – mittlerweile selbstverständliche – Bestandteil jeder Klassenarbeit ist von besonderer Relevanz, da auf diese Weise die Bedeutung von Vernetzungen manifestiert wird. Ein „Knackpunkt“ bei der Umsetzung im Unterricht besteht darin, dass die Motivation der Schüler trotz der z.T. höheren Anforderungen erhalten bleibt. Die Erfahrungen zeigen aber, dass bei entsprechendem Durchhaltevermögen und mit zeitweiliger Unterstützung durch die Lehrkraft große Erfolge erzielt werden können, die zudem langfristig zur Steigerung des Selbstbewusstseins der Schüler und zur Förderung der Teamfähigkeit führen können. Im Laufe der Zeit wird man – so die bisherigen Erfahrungen – immer sensibler für vernetzende Aufgaben und erkennt, wie eine vorgegebene Schulbuchaufgabe sinnvoll vernetzt werden kann oder wo eine geeignete Aufgabe aus einem anderen Themengebiet steht. Beispiele hierfür finden sich auch in der nachfolgenden Materialsammlung. Im Laufe der Arbeit wird dabei u.a. deutlich, dass in manchen Schulbüchern Vernetzungen nur selten oder gar nicht vorkommen. Dies sollte natürlich aufgebrochen werden. All das bisher Gesagte bedeutet natürlich nicht, dass man nun gewissermaßen „zwanghaft“ bei jeder Aufgabe nach Vernetzungen suchen sollte, sondern nur dann, wenn es sich anbietet oder gerade entsprechende Ziele im Unterricht angestrebt werden. Ebenso sollte man bei einer Aufgabe nicht zu viel vernetzen. Die bisherigen Erfahrungen zeigen, dass die Gefahr groß ist, dass ab einem bestimmten Zeitpunkt „die Luft raus“ ist. Sinnvoller ist es dagegen, in immer wiederkehrenden Abständen „kleinformatigere“ Vernetzungen anzustreben. Eine enge Zusammenarbeit zwischen den beteiligten Lehrkräften kann hierbei – wie ja bei allen anderen Zielen im Rahmen der Modellversuchsarbeit auch – zu einer enormen Arbeitserleichterung führen. 3 Vernetzungen zu gewissen Themengebieten (wie der Prozentrechnung, zu der man fast immer entsprechende Vernetzungsaufgaben finden kann) fallen naturgemäß leichter als solche zu anderen Gebieten (wie der Algebra). Dass dies aber auch möglich ist, wird darin deutlich, dass auch hier einige anregende Beispiele zusammengekommen sind. Zum Abschluss soll auch noch auf einige konkrete Anregungen aus zwei Broschüren des ISB (zu den Themen „Systematisches Wiederholen und Vernetzen“ und „Wiederholen als bewusstes Unterrichtselement“) hingewiesen werden. Zunächst einige Beispiele für Vernetzungsmöglichkeiten innerhalb der Jahrgangsstufe 9: Aktuelle Themen .... Lösen von Ungleichungen Strahlensatz, Satzgruppe des Pythagoras Berechnung von Funktionswerten Bestimmung von Funktionstermen (bei entsprechender Wahl der Maßzahlen) ... greifen zu auf zurückliegenden Stoff Zerlegung in Linearfaktoren Winkel an einer Doppelkreuzung mit parallelen Geraden, Flächenberechnungen (z. B. Trapez, Parallelogramm, Drachenviereck) Rechenregeln für Wurzeln und Wurzelterme Goldener Schnitt Quadratische Gleichungen, Ähnlichkeit Extremwertprobleme geometrischer Art Pyramiden Strahlensatz, Satzgruppe des Pythagoras Daneben erscheinen aber auch Vernetzungen innerhalb gewisser Themenstränge der Schulmathematik (z.B.: Flächeninhalte, Funktionen) wichtig und Erfolg versprechend zu sein, da sich hierbei vorhandenes Wissen besonders gut in das aktuelle Themengebiet integrieren bzw. dadurch kontrastieren lässt. 4 Vorschlag 19.1: Der Brunnen Ein Brunnen soll 12 m tief ausgeschachtet werden. Zum Schutz gegen das Erdreich soll er innen mit einer 38 cm dicken Ziegelwand ausgemauert werden. Die Mauer soll 0,5 m aus dem Erdreich ragen. Der Innendurchmesser des Brunnens soll 2,10 m betragen. a) Wie viel m3 Erdreich sind auszuschachten? b) Pro 1 m3 Mauerwerk werden 380 Ziegelsteine benötigt. Wie viele Ziegelsteine sind nötig? c) Wie viele Liter Wasser stehen in dem Brunnen, wenn der Wasserspiegel 4,20 m von der Oberkante der Mauer entfernt ist? Der Brunnen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Körperberechnung, hier: Hohlzylinder Größen Text umsetzen in geeignete Zeichnung Variationen der Aufgabe: Ziegelsteine mit 5% Bruch Schwankender Wasserspiegel Deckel zur Abdeckung des Brunnens Brunnenhäuschen bauen Seillänge Erdaushub in LKW verladen. Wie oft fahren? (Mögliche) Lösungen: a) Es müssen 77 m³ (Kontrolle: 77,09) Erdreich ausgeschachtet werden. b) Zum Ausmauern des Brunnens werden ca. 14000 (Kontrolle:14063) Steine benötigt. c) Im Brunnen stehen ca. 29000 (Kontrolle: 28747,93) l Wasser Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 10, Kurs A/B/C (Bereits für B-Kurs Schüler schwierige Aufgabe – aber möglich) Recht umfangreiche Aufgabe Gruppenarbeit Bemerkungen: Die größte Schwierigkeit der Schüler ist es eine geeignete Skizze anzulegen. Größenumrechnung bereitet erfahrungsgemäß Probleme. 5 Vorschlag 19.2: St. Cyriakus In Gernrode am Nord-Ost-Rand des Harzes wurde 961 mit dem Bau der Kirche St. Cyriakus begonnen. Sie gehört zu den bedeutendsten Kirchenbauten Deutschlands. St. Cyriakus hat eine Doppelturmfassade mit kegelförmigen Dächern. Ein Dach ist 9 m hoch. Der Durchmesser der Grundfläche beträgt 5,20 m. Aus Gründen des Denkmalschutzes muss eine besondere Dacheindeckung gewählt werden, die pro m² 375 DM kostet. Bei der Materialbestellung wird mit einer 15% größeren Fläche gerechnet (Verschnitt). Das Amt für Denkmalschutz übernimmt 55% der Kosten, die bei der Neueindeckung der beiden Türme anfallen. Wie viel Geld bezahlt das Amt? St. Cyriakus: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Körperberechnung, Prozentrechnung (Mögliche) Lösungen: Die Dachfläche beträgt ca. 153 (Kontrolle: 153,07) m², aber es müssen ca. 176 (Kontrolle: 176,03) m² Material bestellt werden. Das Amt für Denkmalschutz übernimmt von den Gesamtkosten (66011,25 DM) 36306,19 DM Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 10, Kurs A/B Gruppenarbeit Bemerkung: Die Schüler (B-Kurs) haben Schwierigkeiten aus der Fülle der Informationen eine Lösungsstrategie zu entwickeln und in geeigneter Weise aufzuschreiben. Häufig wird die Information Doppelturmfassade überlesen (da macht es die Abbildung leichter) 6 Vorschlag 19.3: Von Würfeln und Wurzeln Wie verhalten sich die Kanten zweier Würfel, deren Rauminhalte (Oberflächen) im Verhältnis a) 1 : 3 b) 2 : 3 c) 1 : 4 stehen? Von Würfeln und Wurzeln: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Körper (Volumen und Oberfläche) Wurzeln Verhältnisse (Mögliche) Lösungen: a) 1 : 3 3 (1 : 3) b) 3 2 : 3 3 ( 2 : 3) c) 1 : 3 4 (1 : 2) Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 10, Kurs A (mit konkreten Zahlen auch in B-Kurs. Dann Verallgemeinerung) Gruppenarbeit 7 Vorschlag 19.4: Bundestagswahl 1998 verteilten sich die Sitze des deutschen Bundestages nach dem Wahlergebnis wie folgt: SPD: CDU: Bündnis 90/Die Grünen: CSU: FDP: PDS: 294 198 47 47 43 37 Zeichne ein Kreisdiagramm mit r = 5 cm. Bundestagswahl: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Kreisdiagramm Proportionen Prozente Variationen der Aufgabe: Vergleiche mit der unten stehenden Grafik. „Finde Unterschiede und mögliche Gründe.“ (Mögliche) Lösungen: SPD: CDU: Bündnis 90/Die Grünen: CSU: FDP: PDS: 158,92 107,03 25,41 25,41 23,24 20,00 Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 7, Kurs A/B Gruppenarbeit 8 Vorschlag 19.5: Sektgläser Der Kelch eines Sektglases ist 12cm hoch und hat einen oberen Innendurchmesser von 7cm. a) In welchem Abstand vom oberen Rand muss der Eichstrich für 0,1 l Sekt angebracht werden? b) Wie viel Prozent spart man, wenn man die Gläser nur bis 1cm unter den Eichstrich füllt? c) Erkundige dich nach dem Preis für ein Glas Sekt im Lokal und dem Preis für eine Flasche Markensekt im Supermarkt. Berechne den Gewinn in € und in Prozent. d) Wie hoch muss der Preis sein, wenn das Glas mit Sekt und Orangensaft gefüllt wird? Sektgläser: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Volumen Kegel Strahlensätze Prozentrechnung Umrechnung VE Sachrechnen Variationen der Aufgabe: (1) „Bis zu welcher Höhe muss man einschenken, damit das Glas gerade 0,05 l Sekt enthält?“ (Mögliche) Lösungen: a) r = 3,03 cm; h = 10,39 cm; Abstand vom oberen Rand = 1,61 cm b) h’ = 9,39 cm; r’ = 2,74 cm; V’ = 73,82 cm³; 26,18 % (1) ca. 80% der Höhe: 9,6 cm Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 10, Kurs A (Gymnasium) Gruppenarbeit 9 Vorschlag 19.6: Informationsweitergabe Während einer Klassenarbeit wird eine Information von Schüler zu Schüler weiter gegeben. Erfahrungsgemäß wird bei der Weitergabe die Information in 20 % der Fälle verfälscht. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der letzte Schüler der Klasse (18 Schüler) die Information richtig erhält? b) Nach der wievielten Weitergabe sinkt die Wahrscheinlichkeit für eine unverfälschte Information unter 30 % ? Informationsweitergabe: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Wahrscheinlichkeitsrechnung Bruchrechnung Potenzrechnung Logarithmen Ungleichungen Prozentrechnung (Mögliche) Lösungen: a) P = 0,817 0,0225 = 2,25 % b) 0,8x < 0,3 x> lg 0,3 5,4 lg 0,8 ab der 6. Weitergabe Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 10, Kurs A (Gymnasium) Gruppenarbeit Bemerkung: „Sowohl im Jahrgang 10 als auch in der Oberstufe gut gelaufen“ 10 Vorschlag 19.7: Schwierige Pyramide Von einer quadratischen Pyramide sind gegeben: M = 1680 cm² und s = 37 cm. Berechne das Volumen. Schwierige Pyramide: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Körperberechnung Satz des Pythagoras bi-quadratische Gleichungen Lineare Gleichungssysteme (Mögliche) Lösungen: ha4 – 1369 ha2 + 176400 = 0 h = 32,9 cm; V = 6316,8 cm³ ha1 = 35 cm; (ha2 = 12 cm); a1 = 24 cm; (a2 = 70 cm) Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 10, Kurs A (Gymnasium) ohne Anleitung schwer: schwierige Rechnung, allerdings günstige Zahlen Gruppenarbeit Bemerkung: Aufgabe ist aus Schülernachfrage entstanden. Dies war die letzte Teilaufgabe, die als besonders schwierig gekennzeichnet war, was die Schüler enorm motiviert hat. 11 Vorschlag 19.8: Parabel durch drei Punkte Bestimme die Formvariablen a, b, c so, dass der Graph von y ax 2 bx c durch die Punkte a) P(1 | 3) Q( 2 | 4) R( 1 | 5) b) P( 3 | 1) Q( 1 | 3) R(3 | 5) verläuft. Berechne das Extremum der Funktion. Stelle eine Wertetabelle auf und zeichne den Graphen. Parabel durch drei Punkte: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Funktionen Gleichungen Lineare Gleichungssysteme Extremwerte Variationen der Aufgabe: (Mögliche) Lösungen: a) y x 2 4 x 1 5 b) y x 2 x 2 2 Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 9/10, Kurs A 12 Vorschlag 19.9: Tool Time 2m Ein Einfamilienhaus (Maße siehe nebenstehende Skizze!) soll im Dachbereich saniert und dann vermietet werden. Es besteht aus dem bewohnbaren Teil und dem nicht zu Wohnzwecken nutzbarem Dachboden. 3,8 m 9m 10 m Die Dacheindeckung wird 38,50 € pro m2 angeboten. für Die Mietkosten pro m2 betragen 6,60 €, aber die Dachbodenfläche wird nur zu 30% angerechnet. Erstelle eine Zeichnung im Maßstab 1:100 und berechne! Tool Time: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Räumliche Zeichnung Maßstab Berechnung von Rechtecksflächen Prozentrechnung Anwendung „Satz des Pythagoras“ (Mögliche) Lösungen: (1) Berechnung der Dachfläche: 2m 2 4,52 x 2 24,25m 2 x 4,92m x A 10m 4,92m 2 A 98,4m 2 (3) Berechnung der Mietkosten AW ohnbereich 10m 9m 90m 2 ADachboden 90m 2 Wohnbereich: 90 6,6 € 594 € Dachboden: 30 % von 594 € 178,2 € Mietkosten: 772,20 € (2) Berechnung der Kosten für die Dacheindeckung 38,5 € 98,4 3788,40 € Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang , Kurs A/B/C (schon mehrfach erfolgreich im C-Kurs eingesetzt) Partnerarbeit Ein Problem bei dieser Aufgabe ist oft die Prozentrechnung, aufgrund ihrer relativ weit zurückliegenden Behandlung 13 Vorschlag 19.10: Hantelstange a) Welche Länge muss eine (zylindrische) Hantelstange aus Stahl mit dem Durchmesser 28 mm besitzen, damit ihr Gewicht exakt 10kg beträgt (Spezifisches Gewicht von Stahl: 7,86 kg/cm3)? b) Runde das Ergebnis auf mm. Berechne jetzt das Gewicht er Hantelstange. Wie groß ist die prozentuale Abweichung durch das Runden? Hantelstange: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Größen Volumina Dichte (Mögliche) Lösungen: Länge = ca. 206 cm (Kontrollergebnis: 206,619 cm) Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 9, Kurs A/B Einzel- oder Partnerarbeit Bemerkungen: Aufgabe ist im Konditionsraum der Schule entstanden. Der Durchmesser von Hantelstangen ist genormt. Die Länge wirklich so gewählt, dass sich ein rundes Gewicht ergibt. 14 Vorschlag 19.11: Geometrie a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 48 cm lang, das 4fache der anderen übertrifft die Hypotenuse um 6 cm. Gib die fehlenden Lösungen an. b) Bei einer quadratischen Säule ist die Höhe um 5 cm größer als die Grundkante. Die Oberfläche beträgt 434 cm2. Wie groß ist das Volumen? Geometrie: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Quadratische Gleichungen Satz des Pythagoras Körper und Volumen Variationen der Aufgabe: Solche Aufgaben können zu nahezu jeder geometrischen Form formuliert werden. (Mögliche) Lösungen: a) (4x – 6)2 = x2 + 482 → Die Hypotenuse ist 50 cm, die andere Kathete 14 cm lang. b) 2[x2 + 2x(x + 5)] = 434 → Die Grundkante ist 7 cm, die Höhe 12 cm lang; das Volumen beträgt V = 588 cm3. Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang , Kurs A Einzel- oder Partnerarbeit 15 Vorschlag 19.12: Unterwegs mit dem Sportverein Ein Sportverein mietet einen Bus für 120€. Diese Kosten werden gleichmäßig verteilt. Wären 2 Personen mehr mitgefahren, hätten sich die Kosten für jeden Teilnehmer um 0,25€ verringert. Bestimme die Teilnehmerzahl und den Preis, den jeder zahlen muss. Quelle: Elemente 9, S. 180. Unterwegs mit dem Sportverein: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Quadratische Gleichungen Antiproportionale Zuordnungen Lineare Gleichungssysteme (Mögliche) Lösungen: x sei die Teilnehmerzahl, y der Preis in € 1) x y = 120 2) (x + 2) (y - 0,25) = x y x² + 2x - 960 = 0 x = 32 ; y = 3,75 → 32 Teilnehmer Auch systematisches Probieren ist ein legitimer Lösungsansatz Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 9, Kurs A Einzel- oder Partnerarbeit 16 Vorschlag 19.13: Dem Ingenieur ist nichts zu schwör Berechne bei dem Fachwerkträger die Längen der einzelnen Stäbe (Maße in m). Quelle: Lambacher Schweitzer 9 Dem Ingenieur ist nichts zu schwör: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Strahlensätze Satz des Pythagoras (Mögliche) Lösungen: Senkrechte Stäbe: 1,2 und 2,2 m Schräge Stäbe: 2,77 m, 3,33 m und 8,62 m. Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 9, Kurs A/B Routineaufgabe, die gut funktioniert Einzel- oder Partnerarbeit 17 Vorschlag 19.14: Terrassenbau Familie Koch plant den Bau einer Terrasse an ihr Haus. Das Geländer hat insgesamt eine Länge von 16 m. Die Fläche der Terrasse soll 24 m² betragen. Wie lang müssen die drei Teile des Terrassengeländers beim Hersteller bestellt werden? Gibt es bei der Lösung der Aufgabe nur eine Möglichkeit? Haus b Terasse b a Terrassenbau: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Quadratische Funktionen Gleichungssysteme Flächenberechnungen Variationen der Aufgabe: Da Terrassen nur sehr selten Geländer haben und die Aufgabe nicht nur deshalb sehr konstruiert wirkt, sollte man vielleicht ehrlicherweise auf den Kontext verzichten und die Aufgabe rein innermathematisch behandeln. (Mögliche) Lösungen: I. a + 2b = 16 II. a b = 24 b1 in I ' a1 16 2 6 a1 4 I.’ a = 16 – 2b I.’ in II. ( 16 – 2b ) b = 24 16 b – 2b2 = 24 | -24 -2b2 – 16b – 24 = 0 | : (-2) b2 – 8b +12 = 0 p p2 b1/ 2 q 2 4 b1/ 2 4 16 12 b2 in I ' a2 16 2 2 a2 12 1. Möglichkeit: a1 = 4 m und b1 = 6 m er muss 1 X 4 m und 2 X 6 m bestellen. 2. Möglichkeit: a2 = 12 m und b2 = 2 m er muss 1 X 12 m und 2 X 2 m bestellen. b1/ 2 4 4 b1/ 2 4 2 b1 6 und b2 2 Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 9, Kurs B Partnerarbeit 18 Vorschlag 19.15: Tarifdschungel im Internet Tarifdschungel Internet – Lohnt sich der Vergleich?? Preis/Leistung T-Online eco Neu! T-Online by day Rund um die Uhr Mo.-Fr. 7-17 Uhr übrige Zeit Neu! T-Online by night täglich täglich 23 - 9 Uhr 9 - 23 Uhr Grundgebühr/ Monat 4€ 7,45 € 4,95 € Nutzungsentgeld bei Zugang über Analogmodem (ct / min ) 1,5 0,8 1,5 0,8 1,5 Nutzungsentgeld bei Zugang über T-DSL–Anschluss (ct /min) 1,5 0,8 1,5 0,8 1,5 Mindestvertragslaufzeit keine keine keine PC - Schutzbrief enthalten enthalten enthalten Du verfügst über ein Analogmodem und bist täglich im Durchschnitt 40 Minuten in den Nachmittagstunden im Internet. Berechne die Kosten für alle für dich möglichen Tarife und vergleiche deine Ergebnisse! Welcher Tarif ist am günstigsten für dich? Löse die Aufgabe auch grafisch und bestimme für jeden Tarif die Funktionsgleichung! Wie viel Prozent der Kosten können gegenüber dem ungünstigsten Tarif gespart werden? Tarifdschungel im Internet: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Lineare Funktionen Größen Prozentrechnung Variationen der Aufgabe: Ähnliche Aufgaben sind zu Tarifen aus anderen Kontexten leicht zu konstruieren. Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 8, Kurs A/B Partner- oder Gruppenarbeit 19 (Mögliche) Lösungen: 40 min 30 Tage = 1200 min pro Monat T- Online eco 4 Euro Grundgebühr und 1,5 Cent pro Minute 1200 min 1,5 T – Online by day ct = 1800 ct; 4 € + 18,00 € = 22,00 € min 7,45 Euro Grundgebühr und 0,8 Cent pro Minute 1200 min 0,8 T – Online by night ct = 960 ct; 7,45 € + 9,60 € = 17,05 € min 4,95 Euro Grundgebühr und 0,8 Cent pro Minute 1200 min 1,5 G = 22,95 € W = 17,05 € Ersparnis: p ct = 1800 ct; 4,95 € + 18,00 € = 22,95 € min p 74,3% Ersparnis : 27, 7% W 100 G Grafische Darstellung: Internettarife 25 y=0,015x+4,95 y=0,015x+4 Kosten in Euro 20 y=0,008x+7,45 15 10 5 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 Zeit in Minuten Wertetabellen T-Online eco Zeit in 0 min Kosten in € 100 Funktionsgleichung: y = 0.015x + 4 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 200 Funktionsgleichung: y = 0.008x + 7,45 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 7,45 8,25 9,05 9,85 10,65 11,45 12,25 13,05 13,85 14,65 15,45 16,25 17,05 T-Online by night Zeit in 0 100 min Kosten in € 300 4,00 5,50 7,00 8,50 10,00 11,50 13,00 14,50 16,00 17,50 19,00 20,50 22,00 T-Online by day Zeit in 0 100 min Kosten in € 200 200 Funktionsgleichung: y = 0.015x + 4,95 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 4,95 6,45 7,95 9,45 10,95 12,45 13,95 15,45 16,95 18,45 19,95 21,45 22,95 20 Vorschlag 19.16: Spanplatte Aus einer rechteckigen Spanplatte (siehe Skizze) zu einem Preis von 22 € soll eine möglichst große runde Platte ausgeschnitten werden. Zeichne den Ausschnitt in die Skizze ein! Berechne den Abfall in %! 1,8 m 2m Spanplatte: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Flächenberechnung Rechteck Flächenberechnung Kreis Prozentrechnung (Mögliche) Lösungen: (1) Berechnung Kreisfläche AKreis = 0,9 m 0,9 m AKreis = 2,54 m2 (2) Berechnung Rechteck ARechteck = 2 m 1,8 m ARechteck = 3,6 m2 (3) Berechnung Abfall in % 3,6 m2 - 100 % 100 1 m2 % 3,6 100 1,06 1,06 m2 = 29,44 % 3,6 Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 8, Kurs C Wurde verwendet als Zusatzaufgabe in einer Klassenarbeit Einzel- oder Partnerarbeit 21 Vorschlag 19.17: Highway To Hell Herr Müller fährt mit seinem Wagen auf der Autobahn mit einer Geschwindigkeit von 180 km/h. Die Reaktionszeit auf plötzliche Ereignisse beträgt 0,7 s. Wie viele Meter legt Herr Müller in dieser Zeit mit seinem Wagen zurück? Highway To Hell: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Zuordnungen Größen (hier: Zeit und Längen) Physik (Reaktionszeit) (Mögliche) Lösungen: Der Wagen legt 35 m in 0,7 Sekunden zurück. Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 7, Kurs A/B Einzel- oder Partnerarbeit Problematisierung: Durch den Begriff km/h (Stundenkilometer) sehen Schüler eventuell nicht, dass man, wenn man eine Stunde fährt, man eine bestimmte Strecke zurücklegt. 22 Vorschlag 19.18: The Wall Planung und Bau einer Begrenzungsmauer am Ende einer Terrasse: Um eine 6,5m lange Terrasse vom Garten zu trennen, soll eine 90 cm hohe und 30 cm breite Mauer gebaut werden. Die Mauer soll über die ganze Länge der Terrasse gehen. Sie soll oben mit Buntsandsteinplatten abgedeckt und an den Seiten weiß geputzt werden. Damit das Bauwerk frostsicher ist, muss das Fundament 80 cm tief in den Boden eingelassen werden. Die einzelnen Arbeitsschritte: 1. Der Fundamentgraben muss ausgehoben werden. Damit Platz zum Arbeiten ist und die Erdwände nicht einstürzen, muss das 1,5-fache der eigentlich notwendigen Erdmenge ausgehoben werden. Der Erdaushub hat 30% mehr Volumen als der gewachsene Boden. Er wird mit einer Schubkarre abtransportiert. Jede Ladung beträgt 80 l. 2. Nachdem der zukünftige Fundamentsockel eingeschalt wurde, wird er mit Fertigbeton ausgegossen. Um Verunreinigungen der geputzten Wände zu vermeiden, ragt das Betonfundament 5 cm über den Erdboden heraus. 3. Auf das Betonfundament wird, zum Schutz gegen aufsteigende Nässe, eine Schicht Isolierpappe gelegt. 4. Nach der ersten Schicht Ziegelsteine wird noch einmal eine Schicht Isolierpappe gelegt. 5. Dann wird bis zu der gewünschten Höhe von 90 cm, vom Boden ab gemessen, gemauert. Pro m³ Mauerwerk werden 102 Ziegelsteine (12cm X 30cm X 24cm), plus ein Zehntel der notwendigen Menge für Verschnitt, und für die ganze Mauer 9 Sack Speis benötigt. 6. Die Mauer wird mit Buntsandsteinplatten abgedeckt. An beiden Enden der Mauer soll diese Abdeckung 5 cm überstehen. 7. Das Mauerwerk wird geputzt. Für die Mauer werden 2 Sack Fertigputz benötigt. Preisliste: Fertigbeton, pro m³ Anfahrt des Betonwagens 1 Ziegelstein 1 Sack Speis 1 m Isolierpappe 1 Sack Fertigputz 1 m Sandsteinabdeckung 140 € 80 € 2€ 7€ 0,6 € 42 € 120 € Arbeitsaufträge: 1. Lege eine geeignete und vollständig beschriftete Skizze an. 2. Berechne das Volumen des Erdaushubes und die Zahl der Schubkarren. 3. Berechne den Materialpreis der Mauer. 23 The Wall: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Berechnung am Quader (Teiloberfläche und Teilvolumen) Bruchrechnung (Teil 1 und 5) Größen (Mögliche) Lösungen: 2. 2,34 m³ gewachsener Boden müssen ausgehoben werden. Der Erdaushub beträgt dann 3042 Es werden also 38 bzw. 39 Fuhren (38,025 genau) mit der Schubkarre benötigt. 3. Beton: V = 6,5 m 30 cm 85 cm = 1,6575 m³ Preis für den Beton: 1,6575 140 € + 80 € = 312,05 € 2 Schichten Isolierpappe: 13 0,6 € = 7,8 € Steine: V = 6,5 m 30 cm 85 cm = 1,6575 m³ Anzahl der Steine: 1,6575 102 1,1 = 185,97 Steine Preis für die Steine: 186 2 € = 372 € Preis für den Speis: 9 7 € = 63 € Preis für die Abdeckplatten: 6,6 120 € = 792 € Preis des Putzes: 42 € 2 = 84 € Gesamtpreis: 1630,85 € Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 7, Kurs A/B/C Partner- oder Gruppenarbeit Die Schüler hatten, unabhängig vom Kursniveau, Schwierigkeiten den Text in eine geeignete Skizze umzusetzen. Diese Aufgabe ist geeignet Schülern deutlich zu machen, dass die übersichtliche Gliederung einer Seite und die Markierung von Zwischenergebnissen notwendig sind. Vorschlag 19.19: Freizeitpark Die Klasse 7a besteht aus 27 Schülern und will in den Hansa-Park fahren. Jeder Schüler muss für den Bus 18 € bezahlen. Am Abfahrtstag fehlen drei Schüler. Wie viel Prozent muss jeder Schüler mehr bezahlen? Freizeitpark: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Dreisatz Prozentrechnung Antiproportionale Zuordnungen (Mögliche) Lösungen: 27 18 € 20,25 € 24 2,25 0,125 12,5 % 18 Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 7 , Kurs A/B/C Gruppenarbeit 24 Vorschlag 19.20: Baumarkt Ein Kinderzimmer soll renoviert werde. Das Zimmer ist 4,2 m lang und 3,2 m breit. Das Fenster ist 1,5 m² groß, die Türfläche beträgt 2 m². Der Raum ist 2,5 m hoch. Decke und Wände sollen gestrichen, der Teppichboden erneuert werden. Ein 5 Liter Eimer Farbe kostet 17,95 € und reicht für 30 m² Fläche. Ein Quadratmeter Teppichboden kostet 19,95 €, die Rollenbreite ist 4 m. Wie viel € kannst du sparen, wenn du die Ware im Ausverkauf mit einem Rabatt von 20 % kaufen kannst? Baumarkt: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Prozentrechnung Flächeninhalt Sachrechnen Runden (Mögliche) Lösungen: A 14,8 2,5 13,44 3,5 46,94m² 4 4,2 16,8m² Teppichboden Wandfarbe: 2mal 17,95€ = 35,90 € 335,16 € 371,06 € 371,06€ 0,2 74,21€ Ersparnis Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 7, Kurs A/B Gruppenarbeit 25 Vorschlag 19.21: Schwimmbad Das Schwimmbecken des Schwimmbads Guxhagen (siehe Skizze) ist 25 m lang, 8 m breit und 2 m tief. Es wird bis zu einer Höhe von 1,8 m gefüllt. Die Feuerwehr setzt zwei Stahlrohre ein, die pro Stunde zusammen 9000 Liter schaffen. Wie lange dauert die Befüllung? Welche Zeit würde benötigt, wenn ein weiteres Stahlrohr eingesetzt werden könnte? 2m 8m 25 m Schwimmbad: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Vernetzungen: Volumenberechnung Quader Maßumwandlung Dreisatz (Mögliche) Lösungen: (1) Berechnung Volumen V = 25 m 8 m 1,8 m V = 28,8 m3 (2) Berechnung Zeit 9000 l 1h 28800 l 3,2 h Zeit bei zwei Stahlrohren: 3,2 h 2 R. 3,2 h 1 R. 3,2 2 h 3 R. 2,13 h Zeit bei drei Stahlrohren: 2,13 h Eignung, (mögliche) Methoden: Jahrgang 7, Kurs C Wurde bisher „erfolgreich“ verwendet als Zusatzaufgabe in einer Klassenarbeit Einzel- oder Partnerarbeit 26
