Quadratische Textgleichungen – Zahlrätsel

Quadratische Textgleichungen – Zahlrätsel – Lösungen
1. Addiert man zu einer Zahl ihre Quadratzahl, so erhält man 56.
Gesuchte Zahl: x
x + x² = 56
hat als Lösung:
x1 = –8
x2 = 7
Antwort: Die Zahl ist 8 oder –7.
2. Addiert man zu einer Zahl ihre Quadratzahl, so erhält man 132.
Gesuchte Zahl: x
x + x² = 132
hat als Lösung:
x1 = 11
x2 = –12
Antwort: Die Zahl ist 11 oder –12.
3. Multipliziert man zwei aufeinander folgende Zahlen, so erhält man 812. Wie
heißen die Zahlen?
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 1
x(x + 1) = 812
hat als Lösung:
x1 = 28
x2 = –29
Die Zahlen sind 28 und 29 bzw. –29 und –28.
4. Das Produkt zweier aufeinander folgender Zahlen ist 552.
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 1
x(x + 1) = 552
hat als Lösung:
x1 = 23
x2 = –24
Die gesuchten Zahlen sind 23 und 24 bzw. –24 und –23.
5. Multipliziert man eine Zahl mit der um 5 größeren Zahl, so erhält man 374.
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 5
x(x + 5) = 374
hat als Lösung:
x1 = 17
x2 = –22
Die gesuchten Zahlen sind 17 und 22 bzw. –22 und –17.
6. Von zwei Zahlen ist die eine um 7 kleiner als die andere. Ihr Produkt beträgt
368.
1. Zahl: x
2. Zahl: x – 7
x(x – 7) = 368
hat als Lösung:
x1 = 23
x2 = –16
Die gesuchten Zahlen sind 23 und 16 bzw. –16 und –23.
7. Die Summe zweier Zahlen ist 15, ihr Produkt ist 56.
1. Zahl: x
2. Zahl: 15 – x
x(15 – x) = 56
hat als Lösung:
x1 = 7
x2 = 8
Die gesuchten Zahlen sind 7 und 8 (bzw. 8 und 7).
8. Die Summe zweier Zahlen ist 33, ihr Produkt ist 162.
1. Zahl: x
2. Zahl: 33 – x
x(33 – x) = 162
hat als Lösung:
x1 = 6
x2 = 27
Die gesuchten Zahlen sind 6 und 27 (bzw. 27 und 6).
9. Die Differenz zweier Zahlen ist 4, ihr Produkt ist 221.
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 4
x(x + 4) = 221
hat als Lösung:
x1 = 13
x2 = –17
Die gesuchten Zahlen sind 13 und 17 bzw. –17 und –13.
10. Die Quadrate zweier Zahlen ergeben 164. Dabei unterscheiden sich die beiden
Zahlen um 2.
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 2
x² + (x + 2)² = 164
hat als Lösung:
x1 = 8
x2 = –10
Die gesuchten Zahlen sind 8 und 10 bzw. –10 und –8.
11. Zwei Zahlen unterscheiden sich um 5. Die Summe ihrer Quadrate ist 625.
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 5
x² + (x + 5)² = 625
hat als Lösung:
x1 = 15
x2 = –20
Die gesuchten Zahlen sind 15 und 20 bzw. –20 und –15.
12. Wenn man in dem Produkt aus 13 und 17 jeden Faktor um die gleiche Zahl
vergrößert, so erhält man als Ergebnis 396.
Gesuchte Zahl: x
(13 + x)(17 + x) = 396
hat als Lösung:
x1 = 5
x2 = –35
Die Faktoren wurden um 5 bzw. um –35 vergrößert.
13. Verkleinert man in dem Produkt aus 23 und 35 jeden Faktor um die gleiche
Zahl, so erhält man als Ergebnis 589.
Gesuchte Zahl: x
(23 – x)(35 – x) = 589
hat als Lösung:
x1 = 4
x2 = 54
Die Faktoren wurden um 4 bzw. um 54 verkleinert.
14. Das Produkt zweier Zahlen ist 1596. Die eine Zahl liegt genau so weit über 40
wie die andere unter 40.
Gesuchte Zahl: x
(40 + x)(40 – x) = 1596
hat als Lösung:
x1 = 2
x2 = –2
Die Zahl 40 muss um 2 (bzw. –2) vermehrt bzw. vermindert werden. Somit
heißen die beiden Zahlen 42 und 38 (bzw. 38 und 42).
15. Das Produkt zweier Zahlen ist 899. Die eine Zahl liegt genau so weit über 30
wie die andere unter 30.
Gesuchte Zahl: x
(30 + x)(30 – x) = 899
hat als Lösung:
x1 = 1
x2 = –1
Die Zahl 30 muss um 1 (bzw. –1) vermehrt bzw. vermindert werden. Somit
heißen die beiden Zahlen 31 und 29 (bzw. 29 und 31).
16. Addiert man die Kehrwerte zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen, so
erhält man
7
.
12
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 1
1
1
7


x x  1 12
hat als Lösung:
x1 = 3
4
x2 =  (entfällt)
7
Die gesuchten Zahlen sind 3 und 4
17. Zwei natürliche Zahlen unterscheiden sich um 2. Addiert man ihre Kehrwerte,
so erhält man als Ergebnis
12
.
35
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 2
1
1
12


x x  2 35
hat als Lösung:
x1 = 5
7
x2 =  – entfällt als Lösung
6
Die Zahlen sind 5 und 7.
18. Addiert man zum Quadrat einer Zahl 96, so erhält man 321.
Gesuchte Zahl: x
x² + 96 =321
hat als Lösung:
x1 = 15
x2 0 = –15
Die Zahl ist 15 oder –15.
19. Das Quadrat aus der Summe einer Zahl und der Zahl 5 hat den Wert 64.
Gesuchte Zahl: x
(x + 5)² = 64
hat als Lösung:
x1 = 3
x2 = –13
20. Zerlege 96 in zwei ganzzahlige Faktoren, deren Differenz 4 beträgt.
1. Zahl: x
2. Zahl: x – 4
x  (x  4)  96
hat als Lösung:
x1 = –8
x2 = 12
Die Zahlen sind –8 und –12 bzw. 8 und 12.
21. Für welche Zahlen a hat die Gleichung x² + 22x + a = 0
a) keine Lösung,
b) eine Lösung,
c) zwei Lösungen?
Aus
22  484  4  a
x1;2 
2
ergibt sich:
a > 121: keine Lösung
a = 121: eine Lösung
a < 121: zwei Lösungen
22. Wie heißen die Zahlen, deren Quadrat um 24 größer ist als ihr 10-faches?
Gesuchte Zahl: x
x² – 24x = 10x
hat als Lösung:
x1 = –2
x2 = 12
Die Zahl ist –2 oder 12.
23. Die Summe zweier Zahlen ist 50. Vermindert man die erste Zahl um 4,
vergrößert aber die zweite Zahl um 4, so entstehen zwei neue Zahlen. Bildet
man nun von diesen neuen Zahlen die Kehrwerte, so ist die Summe der
1
Kehrwerte
.
12
Wie heißen die ursprünglichen Zahlen?
1. Zahl: x
2. Zahl: y
I.
x  y  50
1
1
1


x  4 54  x 12
führt zu:
x² – 58x + 816 = 0
hat als Lösung:
x1 = 24
(y1 = 26)
x2 = 34
(y2 = 16)
Die Zahlen sind 24 und 26 bzw. 34 und 16.
II.
24.
a) Vermehrt man eine Zahl um ihre Quadratzahl, so erhält man 30. Wie
heißt die Zahl?
b) b) Welche Zahl ist um 42 kleiner als ihre Quadratzahl?
a) Gesuchte Zahl: x
b) Gesuchte Zahl: x
x²  x  30
x²  42  x
x²  x  30  0
x²  x  42  0
a  1; b  1; c  30
a  1; b  1; c  42
1  1  20
2
1  11
x1,2 
2
x1  5; x 2  6
x1,2 
25.
1  1  168
2
1  13
x1,2 
2
x1  7; x 2  6
x1,2 
a) Welche Zahl muss man mit der um 4 größeren Zahl multiplizieren, um
das Produkt 21 zu erhalten?
b) b) Welche Zahl muss man mit der um 5 kleineren Zahl multiplizieren, um
das Produkt 36 zu erhalten?
a) Gesuchte Zahl: x
b) Gesuchte Zahl: x
x  x  4   21
x  x  5   36
x²  4x  21  0
p
 2; q  21
2
x1,2  2  4  21
x1,2  2  5
x1  3; x 2  7
Die Zahlen sind 3 und 7 bzw. –3 und
–7.
x²  5x  36  0
a  1; b  5;c  36
5  25  144
2
5  13
x1,2 
2
x1  9; x 2  4
x1,2 
Die Zahlen sind 9 und 4 bzw. –4 und
–9.
26. Welche zwei aufeinanderfolgenden ganze Zahlen haben das Produkt 56 (132)?
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 1
x  x  1  56
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 1
x  x  1  132
x²  x  56  0
a  1; b  1; c  56
x²  x  132  0
a  1; b  1; c  132
1  1  224
2
1  15
x1,2 
2
x1  7; x 2  8
x1,2 
Die Zahlen sind 7 und 8 bzw.
–7 und –8.
1  1  528
2
1  23
x1,2 
2
x1  11;
x1,2 
x 2  12
Die Zahlen sind 11 und 12 bzw.
–11 und –12.
27.
a) Zerlege 48 in zwei Faktoren, deren Summe 14 beträgt.
b) Zerlege 48 in zwei Faktoren, deren Differenz 8 beträgt
1. Faktor: x
1. Faktor: x
2. Faktor: 14 – x
2. Faktor: x – 8
x 14  x   48
x  x  8   48
x²  14x  48  0
p
 7;
q  48
2
x²  8x  48  0
p
 4;
q  48
2
x1,2  7  49  48
x1,2  4  16  48
x1,2  7  1
x1,2  4  8
x1  8; x 2  6
x1  12;
Die Faktoren sind 8 und 6.
Die Faktoren sind 12 und 4 bzw.
–12 und –4.
x 2  4
28. Zerlege 8 (12) in zwei Summanden, deren Quadrate zusammen 40 (90)
ergeben.
1. Summand: x
2. Summand: 8 – x
x²   8  x  ²  40
1. Summand: x
2. Summand: 12 – x
x²  12  x  ²  90
x²  8x  12  0
p
 4;
q  12
2
x²  12x  27  0
p
 6;
q  27
2
x1,2  4  16  12
x1,2  6  36  27
x1,2  4  2
x1,2  6  3
x1  6; x 2  2
x1  9; x 2  3
Die Summanden sind 6 und 2.
Die Summanden sind 9 und 3.
29. Verkleinert man in dem Produkt 11 9 (17  23) jeden Faktor um eine Zahl, so
wird das Produkt 35 (160). Wie heißt die Zahl?
Gesuchte Zahl: x
Gesuchte Zahl: x
11  x  9  x   35
17  x  23  x   160
x²  20x  64  0
p
 10;
q  64
2
x²  40x  231  0
p
 20;
q  231
2
x1,2  10  100  64
x1,2  20  400  231
x1,2  10  6
x1,2  20  13
x1  16;
x2  4
Die Zahl ist 16 bzw. 4.
x1  33;
x2  7
Die Zahl ist 33 bzw. 7.
30. Addiert man zu einer Zahl ihre Kehrzahl, so erhält man 5  29  . Wie heißt die
2  10 
Zahl?
Gesuchte Zahl: x
1 5
x 
x 2
2x²  5x  2  0
Gesuchte Zahl: x
1 29
x 
x 10
10x²  29x  10  0
a  10; b  29; c  10
a  2; b  5;c  2
5  25  16
4
53
x1,2 
4
1
x1  2; x 2 
2
29  841  400
20
29  21
x1,2 
20
5
2
x1  ; x 2 
2
5
x1,2 
Die Zahlen sind 2 bzw.
x1,2 
1
.
2
Die Zahlen sind
5
2
bzw. .
2
5
31. Der Zähler eines Bruches ist um 3 (2) kleiner als der Nenner. Addiert man zu
5  34 
. Wie heißt der Bruch?
2  15 
Zähler: x
x
x  2 34


x2
x
15
x²  2x  15  0
dem Bruch seinen Kehrwert, so erhält man
Zähler: x
x
x3 5


x3
x
2
x²  3x  18  0
a  1; b  3; c  18
3  9  72
2
3  9
x1,2 
2
x1  3; x 2  6
x1,2 
3
6
.
Der Bruch ist bzw.
6
3
p
 1; q  15
2
x1,2  1  1  15
x1,2  1  4
x1  3; x 2  5
Der Bruch ist
3
5
bzw.
.
5
3
32. Die Summe der Quadrate zweier Zahlen beträgt 3,2; ihr arithmetisches Mittel
1,2. Wie heißen die Zahlen?
1. Zahl: x
2. Zahl: y
x²  y²  3,2
xy
 1,2
2
 2,4  y  ²  y²  3,2
y²  2,4y  1,28  0
y1  1,6;
y 2  0,8
x1  0,8;
x 2  1,6
Die Zahlen sind 1,6 und 0,8 bzw. 0,8 und 1,6.
33. Zwei Zahlen verhalten sich wie 5 : 7. Die Summe ihrer Quadrate beträgt 1.850.
Wie heißen die Zahlen?
1. Zahl: x
2. Zahl: y
x:y  5:7
x²  y²  1850
5 
 7 y  ²  y²  1850


y²  1225  0
y1  35;
y 2  35
x1  25;
x 2  25
Die Zahlen sind 35 und 25 bzw. –35 und –-25.
34. Das Produkt zweier Zahlen beträgt 836. Die eine Zahl liegt ebensoviel über 30
wie die andere unter 30. Wie heißen die Zahlen?
Gesuchte Zahl: x
30  x 30  x   836
x²  64  0
x1  8;
x 2  8
Gesuchte Zahlen: 38 und 22 bzw. 22 und 38.
35. Der dritte und der vierte Teil einer Zahl ergeben einzeln ins Quadrat erhoben
und dann addiert 12,25. Wie heißt die Zahl?
Gesuchte Zahl: x
x x
 3  ²   4  ²  12,25
   
x²  70,56  0
x1  8,4;
x 2  8,4
Die Zahl ist 8,4 bzw. –8,4.
36. Die Summe der Quadrate von vier aufeinander folgenden geraden natürlichen
Zahlen ist 1176. Wie heißen diese Zahlen?
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 2
3. Zahl: x + 4
4. Zahl: x + 6
x² + (x + 2)² + (x + 4)² + (x + 6)² = 1176
x1 = 14
(x2 = –20)
Die Zahlen heißen 14, 16, 18 und 20.
37. Die Summe zweier Zahlen beträgt 94, ihr Produkt 2109.
Wie heißen die Zahlen?
1. Zahl: x
2. Zahl: y
I. x  y  94
II.
x  y  2109
x  57
y  37
Die Zahlen heißen 57 und 37.
38. Von zwei Zahlen ist die eine um 12 größer als die andere. Das Produkt der
beiden Zahlen beträgt 864.
Berechne die Zahlen.
1. Zahl: x
2. Zahl: x + 12
x(x + 12) = 864
x1 = 24
x2 = –36
Die Zahlen heißen 24 und 36 bzw. –36 und –24.
39. Von zwei Zahlen ist die eine ebensoviel größer wie andere kleiner als 35. Das
Produkt beider Zahlen beträgt 1104.
Wie heißen die Zahlen?
1. Zahl: 35 + x
2. Zahl: 35 – x
(35 + x)(35 – x) = 1104
x1 = 11
x2 = –11
Die Zahlen heißen 46 und 24 bzw. 24 und 46.
40. Um welche Zahl muss der erste Faktor des Produktes 16 · 17 vermindert und
der zweite Faktor vermehrt werden, damit der Wert des Produktes um 30
kleiner wird?
Gesuchte Zahl: x
(16 – x)(17 + x) = 242
x1 = 5
x2 = –6
Die Zahl ist 5 bzw. –6.
41. Der Zähler eines Bruches ist um 3 kleiner als der Nenner. Vermehrt man
gleichzeitig den Zähler und den Nenner um 10, so entsteht ein Bruch, der
doppelt so groß ist wie der erste Bruch.
Wie heißen die Brüche?
(x  3)  10
x 3
 2
x  10
x
x1  5
x 2  12
Die Brüche heißen :
2
12
und
5
9