modul 3 : winkelfunktionen 2

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MODUL 3 : WINKELFUNKTIONEN 2
MODUL 3 : WINKELFUNKTIONEN 2
5. WINKELFUNKTIONEN AM EINHEITSKREIS
(WINKELFUNKTIONEN BELIEBIGER WINKEL)
Bis jetzt waren Winkel festgelegt durch Seitenverhältnisse zweier Seiten im
rechtwinkeligen Dreieck. Je nachdem, wie diese zwei Seiten zum Winkel gelegen sind,
hieß dieses Seitenverhältnis sin, cos oder tan. Auf diese Art konnten jedoch nur
Winkel  mit 0°   < 90° (Warum?) beschrieben werden.
Frage : Gibt es aber auch so etwas wie sin 140° ?
Erweitern daher die Definition für sin, cos und tan und stellen uns diese Funktionen
zunächst einmal im Einheitskreis (Radius r = 1) vor :
Stellen uns eine Drehung eines Punktes P um einen festen Punkt O vor und nehmen
an, dass dieser Punkt P am Einheitskreis liegt; sein zugehöriger Drehwinkel sei  .
Man kann nun feststellen :
1. Der Sinuswert ist gleich der y-Koordinate, der Kosinuswert gleich der x-Koordinate
von P.
sin 
2. tan  =
cos 
( Begründung : Stahlensatz : sin  : cos  = tan  : 1 )
( Ebenso cot  = cos  , Begründung ist auch hier der Strahlensatz)
sin 
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BEISPIEL :
Sehen uns jetzt mit dieser Definition die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für
folgende Winkel an :  = 30° ,  = 140° ,  = 200° :
(Zuerst in die Grafik einzeichnen, dann abmessen und dann mit TR kontrollieren !)
Noch einmal zum Abschluss :
Ist P der zum orientierten Winkel  gehörige Punkt des Einheitskreises, so bezeichnet
man die Ordinate ( = y-Koordinate) von P als Sinuswert der Winkels  und die
Abszisse ( = x-Koordinate) als Kosinuswert des Winkels  .
Damit wird jedem Winkel  genau ein Wert sin  , cos  , tan  zugeordnet. Man
spricht daher auch von Winkelfunktionen.
Einige Eigenschaften der Winkelfunktionen :
1. sin und cos haben einen Wertebereich –1   +1 .
2. tan ist nach oben und unten unbeschränkt.
3. sin² + cos² = 1 (wegen S. v. Pythagoras )
sin 
4. tan  =
cos 
cos 
1
5. cot  =

sin
tan
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QUADRANTENREGEL UND REDUKTIONSFORMELN
Die Quadrantenregel und die Reduktionsformeln helfen bei Umkehraufgaben (d.h.
sin,cos,tan-Wert bekannt, Winkel gesucht )
BEISPIELE::
A) Gegeben : cos  = - 0,47712 Gesucht :  , 0°   360°
Zuerst cos  < 0 , also
Dann : Berechnen den Winkel im 1. Quadranten, der – bis auf das Vorzeichen –
selben cos-Wert besitzt :
B) Gegeben : sin  = - 0,32
C) Gegeben : tan  = - 0,45
Gesucht :  , 0°   360°
Gesucht :  , 0°   360°
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D) Setze das richtige Zeichen ein : < , = oder >
sin 20°
sin 30°
cos 20°
cos 30°
tan 20°
tan 30°
sin 40°
sin 140°
cos 40°
cos 140°
tan 40°
tan 140°
sin 50°
sin(-50°)
cos 50°
cos(-50°)
tan 50°
tan (-50°)
E) Bestimme die möglichen Winkel  mit 0°   360° .
(Anleitung :Stelle Dir  jeweils am Einheitskreis vor !)
a) sin  = 0
b) cos = 0
c) sin  = 1
d) cos = 1
e) sin  = -1
f) cos = -10
g) tan  = 0
h) tan = 1
F) In welchem Quadranten kann  liegen, wenn
a) sin  = 0,2
b) cos  = 0,8
c) tan  = 0,3
d) cos  = - 0,5 ?
6. DIE GRAPHEN DER KREISFUNKTIONEN
DER GRAPH DER SINUSFUNKTION
Der Punkt P am Einheitskreis kann natürlich bei seiner Drehung um O auch größere
Winkel als 360° beschreiben. Die Sinuswerte wiederholen sich dann. Man nennt die
Sinusfunktion deshalb auch eine periodische Funktion.
Der Sinuswert y kann für jeden Winkel x   gebildet werden. Der Graph der
Sinusfunktion (Abb. 5.42) wird auch als Sinuslinie bezeichnet. Man kann an ihr alle
Eigenschaften der Sinuswerte ablesen, wie schon am Einheitskreis.
Bei der grafischen Darstellung der Kreisfunktionen wird üblicherweise der Winkel im Bogenmaß
verwendet. Dadurch können die Längeneinheiten auf beiden Achsen gleich groß gewählt werden.
Eigenschaften der Sinusfunktion :
1. Die Sinusfunktion ist periodisch mit Periode 2  (bzw. 360°)
2. Ihre Werte liegen zwischen –1 und + 1
3. Nullstellen : k mit k = 0 , +/-1 , +/-2 , +/- 3 , ....
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DIE GRAPHEN VON SINUSFUNKTION, KOSINUSFUNKTION UND
TANGENSFUNKTION
Eigenschaften der Kosinusfunktion :
1. Die Kosinusfunktion ist periodisch mit Periode 2  (bzw. 360°)
2. Ihre Werte liegen zwischen –1 und + 1

3. Nullstellen :
+k mit k = 0 , +/-1 , +/-2 , +/- 3 , ....
2
Eigenschaften der Tangensfunktion :
1. Die Tangensfunktion ist für die Werte 
 3 5
,
,
,...nicht definiert
2
2
2
(-> Unendlichkeitsstellen )
2. Die Kosinusfunktion ist periodisch mit Periode  (bzw. 180°)
3. Ihr Wertebereich umfasst ganz 
4. Nullstellen : k mit k = 0 , +/-1 , +/-2 , +/- 3 , ....
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7. DIE ABLEITUNG DER KREISFUNKTIONEN
DIE ABLEITUNGSREGELN
Achtung !
Hier bedeutet x immer
die Größe des Winkels
im Bogenmaß !!
y = sin x
y´= cos x
y = cos x
y´= - sin x
y = tan x
y´= 1 + tan²x =
Beweis :
tan x =
y = cot x
sin x
cos x
1
cos ²x
 sin x 
(tan x)´ = 
 =
 cos x 
y´=
BEISPIELE
Gesucht ist jeweils die Ableitungsfunktion y´:
a) y = 3 sinx
b) y = sin(3x)
c) y = - cosx + 3 tan x
d) y = cos³(x)
e) y = cos(x³)
f) y = tan(2x)
g) y = tan(
1
)
x
h) y = x sin(2x)
i) y = cosx sinx
j) y = cos²x – sin²x
k) y = x² cos(2x)
l) Bestimme die ersten 3 Ableitungen der Funktion f(x) = cos²x
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8. DIE ALLGEMEINE SINUSFUNKTION y = a . sin(bx + c)
Um die Bedeutung der Parameter a, b und c zu erkennen, kann man schrittweise
vorgehen :
DIE FUNKTION y = a . sin(x)
BEISPIEL
DIE FUNKTION y = sin(bx)
BEISPIEL
DIE FUNKTION y = a . sin(bx+c)
BEISPIEL
Zusammenfassung der Bedeutung der Größen a, b und c :
y = a . sin(bx + c)
Streckung/Stauchung
in y – Richtung
Änderung der Periode
von 2  auf 2
b
Verschiebung bis
x0 = - c
b
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BEISPIEL :
Skizzieren Sie in das Koordinatensystem unterhalb die Graphen der folgenden
Funktionen f1 : y = 3 sin x
f3 : y = sin (2x)
f5 : y = sin (x/2)
f2 : y = - sin x
f4 : y = ½ sin (2x)
f6 : y = ½ sin (2x+1)
BEISPIEL :
Finden Sie die zu den unten abgebildeten Sinusfunktionen passenden
Funktionsgleichungen
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Kontrollfragen zu MODUL 3 : WINKELFUNKTIONEN 2
Aufgabe 1 :
Aufgabe 2 :
Die Lufttemperatur y (in °C) in Abhängigkeit von der Zeit x ( es sei näherungsweise 1 Tag =
1 Winkelgrad gesetzt d.h. 1 Monat = 30 Tage) hat näherungsweise einen sinusförmigen
Verlauf, nämlich y=a*sin(x+c)+d .
Für München lässt sich etwa die Gleichung y = 9,8*sin(x-90)+7,7 ermitteln .
Berechnen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichung
a) die Zeitspanne im Laufe eines Jahres, in der die Lufttemperatur in München unter 0°C
liegt .
b) den Zeitraum im Lauf eines Jahres, in dem es in München wärmer als 10°C ist.
c) die Lufttemperatur in München am 1. August
Vergleichen Sie anschließend mit der untenstehenden Graphik !
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Lufttemperatur in München im Verlauf zweier
Jahre (langjährige monatliche Durchschnitte)
20
15
10
5
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
750
780
0
-5
Welche Bedeutung haben die Parameter a,c und d der Funktion
y = a*sin(x+c)+d im Hinblick auf den tatsächlichen Temperaturverlauf ?
Aufgabe 3 :
Versuchen Sie aus den Zeichnungen der Temperaturverläufe die Parameter a, c und d der
Temperaturverlaufsfunktionen für Nizza und Helsinki zu ermitteln und geben Sie
anschließend die passenden Funktionsgleichungen an !
Berechnen Sie mit Hilfe der Funktionsgleichungen
a) die Zeitspanne im Laufe eines Jahres, in der die Lufttemperatur in Nizza unter 20°C
liegt .
b) den Zeitraum im Lauf eines Jahres, in dem es in Helsinki wärmer als 10°C ist.
c) die Lufttemperatur in Nizza und die in Helsinki am 1. August
Vergleichen Sie anschließend mit der untenstehenden Graphik !
25
20
15
10
5
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
720
750
780
0
-5
-10
T(x)nizza
T(x)helsinki
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Aufgabe 4 :
Das nebenan abgebildete Alternativauto (eigentlich eher ein
Kabinenmotorrad) gibt es noch nicht. Ein Automobil der Zukunft
könnte aber durchaus eine ähnliche Form haben, dazu noch eine
„ultraleichte“ Bauweise und einen umweltschonenden Antriebsmotor.
a) Bei den angegebenen Daten ist die Leistung P als Funktion der
Fahrgeschwindigkeit x gegeben durch
P(x) = (60 cos + 3000 sin) x + 0,125 x³
x ... in m/s
P(x) ... in Watt
 ... Steigungswinkel der Straße in Grad
Berechnen Sie
a1) welche Leistung das Alternativauto bei einer Geschwindigkeit von
10 m/s (= 36 km/h) auf ebener Straße erbringt !
a2) welche Leistung das Alternativauto bei einer Geschwindigkeit von
10 m/s aber einer Straßensteigung von 5 % erbringt !
b) Der Kraftstoffverbrauch V1 (in Liter/100km) als Funktion der Fahrgeschwindigkeit
x ist bei einem Wirkungsgrad von 30 % gegeben durch
V1 (x) = 0,6 + 0,00125x²
Der konstante Bestandteil kommt vom Rollwiderstand, der quadratische
Bestandteil vom Luftwiderstand.
b1) Bei welcher Geschwindigkeit sind die beiden Verbrauchsanteile gleich groß ?
b2) Wie weit könnte man mit diesem Fahrzeug auf horizontaler Straße mit einem
Liter Kraftstoff und einer Geschwindigkeit von 10 m/s fahren ?
c) Es hat sich gezeigt, daß der Motorwirkungsgrad sich mit der Geschwindigkeit des
Fahrzeugs verändert. Demzufolge ergibt sich für den Verbrauch pro 100 km
die gebrochen-rationale Funktion
V2 (x) =
x 2  480
2 x ²  80 x  40
x .... Geschwindigkeit in m/s
V2 ... Kraftstoffverbrauch in l/100km
Bei welcher Geschwindigkeit ist der Verbrauch V2 minimal und wie viel Liter /!00km
beträgt er da ?
Aufgabe 5 :
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Lösungen zu den Kontrollfragen :
Aufgabe 1 : a) 5,24m² b) ca. 94 % c) (1) 6,65 m (2) 735 Tafeln (3) 3851 m²
Aufgabe 2 : a) ca. 1. Jänner bis 8. Februar und ca. 21 November bis 31. Dezember
b) ca 13. April bis 16. Oktober
c) 16,2 °C
Aufgabe 3 : Bitte mit Grafik vergleichen
Aufgabe 4 : a) 6125 Watt bzw 7614 W
b) bei 21,9 m/s bzw. ca 137 km weit
c) bei 12,7 m/s ein Verbrau von 0,87 l/100km
Aufgabe 5 : a) y = 2sinx b) y = -1,5cosx c) y = cos(x/2) d) y = 0,5sin(2x+Pi/4)
___________________________________________________________________________
LITERATUR :
www.mathe-online.at
www.wikipedia.org
Timischl/Kaiser ; Ingenieur-Mathematik 1-4 , Schulbuch Dorner Verlag
ARGE HLA 1 – 4 , Schulbuch Reniets Verlag
dtv-Atlas zur Mathematik , Band 1
W. Timischl ; Biomathematik , Wien 1988 , Springer Verlag