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Methoden IV
Mathematik IV
W = Wertemenge = W(x) = X(S) X=Zufallsgrösse, x=Wert
den Wert, welcher X annehmen kann
S = Ereignisraum
Alle möglichen Ereignisse = {..,…,…}
P(x) Wahrscheinlichkeit, dass der Wert x vorkommt
k = jede beliebige Zahl
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wahrscheinlichkeiten P(x)
Verteilfunktion
kummulierte Wahrscheinlichkeiten  P(ek )
Standartabweichungen von zwei Standartabweichungen =
 12   22
ek =einzelnes Ereignis
UTPN berechnet immer Wahrscheinlichkeit, dass mindestens X eintrifft. (Siehe
Normalverteilung)
n
E(x) = Erwartungswert =
x
i 1
i
* p ( xi )  
 ( a * x  b)  a *  ( x )  b
 ( x   ( x))  0
x1    x2    0
wobei x eine Zufallsgrösse ist
Varianz
N
V x   ( x   ) 2 * p( xi ) Varianz
i 1
n
V x   2   x 2 P( xi )   2 Varianz
Streuung darf nicht addiert werden, Varianz
schon:
 V1  V2   12
i 1
 ( x)  V ( x) =Streuung
Eigenschaft der Varianz und Streuung
1. V (a * b  b)  a 2V ( x)
2.  (a * x  b) | a |  ( x)
Standartisiertisierte Zufallsgrösse
x 
x  ( X )
Z
Zi  i
 (X )

n
Wie das

funktioniert:
i 1
n=Anzahl Werte i= Abstand. Also:
x1  1, x2  2,....x10
entspricht einer Kette von 10 Variabeln mit den Werten 1-1
7
bei

i2
werden nun die Werte von x2  x7 addiert (die Summe gebildet)
STAT Menu in Rechner:
C1 links -> X- Werte / C2 rechts N(x)&P(x)- Werte (C1&C2 sind voneinander
abhängig)
Gilles Hirt
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Mathematik IV
Rechnerangaben Statistik:
MeanΣ
= μ = Arithmetisches Mittel
SSDEV
= Stichprobe
PSDEV
= Grundgesamtheit = Standartabweichung
PVAR
= Varianz
SVAR
=Varianz aus Stichprobe (von 3 Schülern aus einer Klasse)
NΣ
=μ
Summe errechnen (in Rechner)
n
 ausdruck
ist in Rechner so: Σ(k=startwert,n,ausdruck) wobei k fungiert als
k
Variable im Ausdruck der Summe (für Poisson sehr nützlich!)
Kombinatorik
10  10!  Anzahl Versuche 
  

-> 
 6  6!4!  Anzahl Erfolge 
Eingabe in Rechner:
Comb(,)
Binominalverteilung
Definition
Bei Experimenten mit Zurücklegen, Zufallsexperiment mit 2 Ergebnissen).
Ergebnis=E, gilt wenn 0  p  1
Variabeln
Formeln
a
= Abweichung
Was?

= Erwartungswert
S  E  E mitE  E  0
2

= Varianz

= Streuung (Standartabweichung) P( E )  p und P ( E )  p  1  q
n
= Anzahl Versuche
g=Gewinne, n-g=Nieten
Erwartungswert
  E( X )  n * p
Varianz
 2  n* p*q
Streuung
  n* p*q
p( E )  1  p  q 
ng
n
p(E)=p=
g
n
n
b( x)    * p x * (1  p) n  x
 x
 b(x) 1
Eingabe in Rechner:
-
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Mathematik IV
Gleichverteilte Zufallsgrössen
Definition
Gilt dann, wenn die Wertemenge W(x) endlich/abzählbar ist und jeder Wert gleich
wahrscheinlich auftritt.
Variabeln
a
= Abweichung

= Erwartungswert
2

= Varianz

= Streuung
(Standardabweichung)
Formeln
Was?
1
für i=1,2,3,…,r
r
Erwartungswert
r 1
Ex 
2
Standartabweichung / Streuung
P ( X  xi ) 
r 2 1
r 2 1
2 
12
12
Varianz
r 2 1
Vx 
12

Eingabe in Rechner:
Tschebyschew’sche Ungleichung
Definition
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine verlangte Normgrösse eingehalten
wird.
Variabeln
Formeln
a
= Abweichung
Was?

= Erwartungswert
2
P( x   )  a  2
2
= Varianz
a

= Streuung (Standartabweichung) Was?
P( x    k *  )  a 
1
k2
Eingabe in Rechner:
UTPN(Wie/Wert)
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Mathematik IV
Parametertests-Vertrauensintervalle (Sehr ähnlich!)
Definition
Überprüfung der Brauchbarkeit von stat. Material. Für eine Vermutung wird die
Gegenhypothese H 0 aufgestellt. In anderen Worten: Wie wahrscheinlich ist, dass
eine Stichprobe repräsentativ innerhalb der verlangen Streuung liegt?
zwischen   c und   c , also mit welcher Wahrscheinlichkeit x in der Toleranz
liegt.
Variabeln

= Irrtumswahrscheinlichkeit
n
= Umfang der Stichprobe
= Ergibt sich aus  mit gelber
Z
Tabelle
=Abweichung von x
C
u=?
Formeln
C 

* Z  Z findet sich auf Liste
n
I 
 (Z  ) 
2
x 
1 
u
u



 (Z )  1 
2
bei Vertrauensintervallen sind die
Variabeln statt  
Eingabe in Rechner:
-
Bernouli-Ketten (zu Binominalverteilung)
Definition
n Wiederholung welche unabhängig sind, mit Zurücklegen. Nach dem Urnenmodell:
g
g=Gewinne, n-g=Nieten, p(E)=p= (Immer, wenn genau so viele)
n
ng
p( E )  1  p  q 
n
Binomominalverteilung gilt, wie erwähnt, wenn 0  p  1
Variabeln
Formeln
X
= Anzahl bei welcher x eintrifft
n
b( x)    und p x (1  p) n x
n
= Anzahl Versuche
 x
p
= Wahrscheinlichkeit, dass x
eintrifft
Erwartungswert:
  E( X )  n * p
Varianz:
V (X )   2  n * p * q
1
n * p(1  p) p(1  p)
V ( x)  2 

n
n
n2
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Mathematik IV
Streuung:
  n* p*q
Wahrscheinlichkeit, dass genau 1
Erfolg eintritt:
P( x  1)  1  (1  p) n
rel. Häuffigkeit von Erfolgen bei nfacher Wiederholung:
x
x
n
Erwartungswert von x
1
1
 ( x)  *  ( x)  * n * p  p
n
n
p(1  p)
P(| x  p | a) 
n * a2
p(1  p)
P(| x  p | a)  1 
n * a2
1
P(| x  p | a) 
4na 2
1
P(| x  p | a)  1 
4na 2
Bei einer grossen Anzahl von n
Versuchen geht die Stichprobe gegen
P
lim ( P| x  p | a)  1
n  
Eingabe in Rechner:
-
Hypergeometrische Verteilung
Definition
bei Ziehung wird nicht zurückgelegt, für kleinere oder deifinierte Mengen, (Ersatz für
Bernouliketten).
Variabeln
N
= Gesamtzahl
n
= Umfang der Stichprobe
M
= Wert A (z.B. wie viele weisse
Kugeln
x
= Anzahl Werte (Wie viele Male
weiss gezogen wird)
Formeln
 M  N  M 
 

x  n  x 

P( x) 
N
 
n 
N
  Anzahl, wie viele aus Gesamtmenge
n 
Eingabe in Rechner:
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Mathematik IV
Poissonverteilung
Definition
Wie wahrscheinlich ist, dass ein Ereignis mindestens einmal eintrifft (Bei 400
Einwohnern jemand am 25. Dez. Geburtstag hat)
Variabeln
N
= Gesamtzahl
n
= Umfang der Stichprobe
M
= Wert A (z.B. wie viele weisse
Kugeln
x
= Anzahl Werte (Wie viele Male
weiss gezogen wird)
Formeln
Höchstens:
n( x)    lim( b( x))  e

*
x
x!
Mindestens:
1-
  n* p
Eingabe in Rechner (Summe aller Poissonverteilungen):
n
 ausdruck
ist in Rechner so: Σ(k=startwert,n,ausdruck) wobei k fungiert als
k
Variable im Ausdruck der Summe (für Poisson sehr nützlich!)
Der zentrale Grenzwertsatz
Definition
Es definiert, die Wahrscheinlichkeit dass ein Wert zwischen zwei Werten * und * liegt
Variabeln
N
= Gesamtzahl
n
= Umfang der Stichprobe
M
= Wert A (z.B. wie viele weisse
Kugeln
x
= Anzahl Werte (Wie viele Male
weiss gezogen wird)
Eingabe in Rechner:
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Formeln
P(| X  x) 
1
x

x
P(| X  x)   (
)

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
(
) und
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Mathematik IV
Gesetz der grossen Zahlen
Definition
Je mehr Versuche vorliegen, desto weniger ändert sich die relative Häufigkeit eines
Ereignisses.
Variabeln
N
= Gesamtzahl
n
= Umfang der Stichprobe
M
= Wert A (z.B. wie viele weisse
Kugeln
x
= Anzahl Werte (Wie viele Male
weiss gezogen wird)
Formeln
Arithmetisches Mittel:
1 n
x  *  xi ->Summe der Zufallsgrössen
n i 1
Erwartungswert
E( x )  
P(| x   |  ) 
2
n * 2
Wie gross muss Umfang der
Stichprobe sein?
-> lim ( P( x     ))  0,   0
n  
Eingabe in Rechner:
Normalverteilung
Definition ->Summe aller Wahrscheinlichkeiten=1
Variabeln
u
= Normalverteilung
x
= transformierte Zufallsgrösse
nicht gleich Abstand von 

= Varianz
 Erwartungswert liegt an Stelle 0
 Streuung = 1
Formeln
b(x)  1
u
x

Eingabe in Rechner:
UTPN(,  2 ,x)
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