Übungsaufgaben zum Stoff der zweiten bis dritten Vorlesungswoche

Übungsblatt 1, Statistik II: Wahrscheinlichkeiten bei gleich möglichen
Elementarereignissen
Hinweise: Wenn Sie sich bei der Lösung EXCEL bedienen wollen, so können Sie die
n(n  1) (n  r  1)  n 
folgenden Funktionen nutzen:
   =Kombinationen(n,r) und
r!
r
n! =Fakultät(n).
Dies ist für wiederholte Rechnungen wie unter Aufgabe 8. sinnvoll. Für die Klausur machen
Sie sich aber trotzdem vertraut, wie Sie auf Ihrem Taschenrechner zu den Lösungen kommen.
In der Klausur werden aber keine wiederholten Rechnungen verlangt.
1. Die Telefonnummern der Universität Frankfurt beginnen mit der Kombination 798. Wenn
alle vier darauffolgenden Ziffernkombinationen der Durchwahl gleich möglich sind, was
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine zufällig ausgewählte Uni-Telefonnummer
sieben verschiedene Ziffern enthält?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim 5 maligen Wurf einer fairen Münze (Kopf und
Zahl) drei mal hintereinander „Kopf“ zu werfen (Ereignis A). Hinweis: Zählen Sie die für
das Ereignis A günstigen Elementarereignisse auf.
3. Sie arbeiten in der Personal-Einsatzplanung und sollen 6 Servicetechniker 6
Verkaufsgebieten zuordnen. Wieviele mögliche Kombinationen gibt es?
4. Unter Vernachlässigung von Schaltjahren (also ein Jahr von 365 Tagen angenommen) und
angenommen, daß alle Geburtstage gleich möglich sind:
4.1 Wie viele Menschen müssen Sie ansprechen, bis Sie mit Wahrscheinlichkeit von 0,5
einen Menschen treffen, der am gleichen Tag wie Sie Geburtstag hat.
4.2 Wie viele Menschen müssen mindestens zusammenkommen, so daß die
Wahrscheinlichkeit, daß mind. zwei der Anwesenden am gleichen Tag Geburtstag
haben mind. 0,5 ist?
5. In der Marketingforschung konstruiert man im Rahmen der sogenannten „ConjointAnalyse“ fiktive Produktprofile, die aus Kombinationen von Eigenschaftsausprägungen
bestehen. Diese werden Konsumenten zur Bewertung vorgelegt. Man definiert hierzu die
für das Produkt-Design wichtigen Eigenschaften des Produkts (Attribute) und die dazu
gehörigen Eigenschaftsausprägungen. Ein Pharma-Unternehmen hat vier wichtige
Eigenschaften für ein neu entwickeltes Medikament identifiziert.
1. Preis (4 Eigenschaftsausprägungen: Preis wie Generika-Präparat, Generika-Preis+10%,
Preis wie Marktführer-Medikament und Preis wie Marktführer-Medikament + 10 %).
2. Wirkstärke (3 Eigenschaftsausprägungen: halb so wirksam, genau so wirksam, oder
doppelt so wirksam wie das Präparat des Marktführers)
3. Nebenwirkungen (3 Ausprägungen: Kopfschmerz, Kopfschmerz und Erbrechen, keine
Nebenwirkungen)
4. Anwendungshäufigkeit (2 Ausprägungen: 1 x täglich, 2 x täglich).
5.1 Wie viele mögliche Produktprofile können aus den Kombinationen der genannten
Eigenschaftsausprägungen gebildet werden?
5.2 Das Produkt der Pharmafirma besitzt das folgende Profil. Doppelt so wirksam wie das
Produkt des Marktführers, keine Nebenwirkungen, Anwendung 2 x täglich. Der Preis
ist noch nicht entschieden. Wenn aus den möglichen Produktprofilen eines zufällig
ausgewählt wird, wie wahrscheinlich ist es, das dieses dem Profil des Produktes der
Pharmafirma entspricht?
6. Zeigen Sie an Hand eines eigenen Beispiels (n=5, r=3), daß die Zahl der ungeordneten
Anordnungen von r Objekten aus n Objekten mit Zurücklegen mit
n(n  1) (n  r  1)  n 
   berechnet werden kann.
r!
r
7. Bei der Besetzung von vier Aufsichtsratsposten wird aus den Vertretern von vier Banken
per Losverfahren entschieden. Bank 1 hat fünf Bewerber, Bank 2 zwei Bewerber, Bank 3
drei Bewerber und Bank 4 zwei Bewerber im Lostopf. Wie wahrscheinlich ist es, daß im
4er Aufsichtsrat Vertreter von allen vier verschiedenen Banken sitzen?
8. Sie untersuchen den Insider-Handel nach einem Börsengang.
In einer Grundgesamtheit von 100 Händlern befanden sich n „Insider“, die ein nichtöffentliches, den Wert einer Aktie beeinflussendes Ereignis kannten. Sie ziehen eine
zufällige Auswahl von 10 Händlern und erhalten das Ergebnis, daß 2 der ausgewählten
Händler „Insider“ waren (durch ex-post Prüfung Ihres Händlerverhaltens, kriminalistische
Untersuchungen o.ä.) . Sie versuchen nun den Anteil der Insider an der Gesamtheit der
Händler zu schätzen. Gehen Sie wie folgt vor:
8.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß in Ihrer Zufallsauswahl von 10 Händlern 2
Insider waren für verschiedene n. (Hinweis: Variieren Sie n von 15 bis 25) .
8.2 Zeigen Sie graphisch den Verlauf der Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von n.
8.3 Verdeutlichen Sie graphisch die Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit von n. Welche
Schätzung für den Anteil informierter Händler in der Grundgesamtheit würden Sie
abgeben?
Hinweis: Bei der Lösung haben Sie sich des Maximum-Likelihood-Prinzips bedient.