Massenträgheitsmoment
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Massenträgheitsmoment. 1) Übungsziel: Die Studenten begreifen die Auswirkung der Massenverteilung bei der Rotation um eine Drehachse. Sie üben die Anwendung der Formeln für einfache geometrische Körper Sie ermitteln die Federkonstante eines Drehpendels Sie bestimmen experimentell das Massenträgheitsmoment verschiedener Körper und erkennen die Bedeutung des Satzes von Steiner. 2) Theoretische Grundlagen Während bei der Behandlung der Translation die Masse eines starren Körpers in seinem Schwerpunkt zusammengefasst werden kann, etwa um seine Bewegungsenergie E= ½ M*v2 zu berechnen, ist dies bei der Rotation des Körpers nicht mehr so einfach der Fall. Logisch, denn die einzelnen Massenpunkte haben unterschiedliche Bahn-Geschwindigkeiten. Ihre Winkelgeschwindigkeit ist allerdings für alle Punkte gleich. E 1 2 M v 2 1 2 å m v 2 i i 1 2 å i i 2 v i 2 mi ri r i 1 2 å miri i 1 2 J 2 i n J 2 2 å i1 m r 2 i i Formal gesehen wird die Masse M durch das Massenträgheitsmoment J und die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit ersetzt. Das Massenträgheitsmoment eines Körpers setzt sich also aus dem der einzelnen Massenpunkte zusammen. Am besten lässt sich dies durch ein Integral berechnen: J 2 r dm 2 r d V 2 0 R 0 h 2 r r d dr dz 0 m V Für einen Zylinder mit der Masse M und dem Radius R erhält man somit: 2 V R h Zylindervolumen: J( R M) 2 0 R h 2 1 2 r r d dr dz M R 2 0 0 Die Massenträgheitsmomente für einige gebräuchliche Körper sind bereits berechnet worden und sind in Formelbüchern aufgelistet. http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment 3) 3.1) Übungsdurchführung Stellen Sie diese Vorrichtung zusammen und berechnen Sie das Massenträgheitsmoment aus Stange und den beiden symmetrisch aufgebrachten Gewichten in Abhängigkeit vom Radius. J d 2 dt 2 D Kreisfrequenz Aus der Differenzialgleichung 0der Drehschwingung erhält man einen Ausdruck für die 2 D J 2 Aus der Kreisfrequenz berechnet man die Periodendauer, setzt für J den entsprechenden Ausdruck , z.B. mr²+ mStange*L² /12 ein und erhält damit eine Geradengleichung, wenn man T² = y und r² = x benennt: 2 f T D… Federkonstante (auch oder Richtgröße genannt) 2 T… Periodendauer der Schwingung 2 4 2 mStange L T m r L… Länge der Stange D 12 2 L2 2 m y 4 x mStange D 3D y= k*x + d Die Werte werden in ein x-y –Diagramm gezeichnet. Die Steigung der Ausgleichsgeraden (Trendlinie) wird hinsichtlich D ausgewertet. 2 n r/m m / kg mstange / kg T / s T2 / s2 Messen Sie also die Periodendauer T – Mittel aus 5 Schwingungen - und tragen Sie T2 in einem Diagramm über r2 auf. Die Steigung der Geraden liefert die Federkonstante der Drehfeder. Geben Sie eine andere Messmethode zur Bestimmung von D an! 3.2) Experimentelle Bestimmung der Massenträgheitsmomente einiger Körper: Mit der in 3.1) ermittelten Federkonstante D wird nun J experimentell bestimmt und dem berechneten Wert gegenübergestellt r m T J gemessen J berechnet Kugel 3.3) Satz von Steiner Der Satz von Steiner besagt, dass man bei Kenntnis des Massenträgheitsmoments um eine Achse durch den Schwerpunkt des Körpers das Massenträgheitsmoment um eine beliebige parallele Achse im Normalabstand a berechnen kann. Man spannt die Scheibe in der Mitte ein und misst die Periodendauer. Anschließend lässt man die Scheibe um einen außermittigen Drehpunkt rotieren und misst wieder die Periodendauer der Schwingung. Stellen Sie die so ermittelten Werte für J den berechneten Werten gemäß Tabelle gegenüber. 4) J = Js + m*a2 in einer Ihr Kommentar: Welche Parameter sind für die Genauigkeit der Messungen am einflussreichsten? Wie müsste man die Einrichtungen verbessern, um zu genaueren Ergebnissen zu kommen?
