1 Johann Wolfgang Goethe - Universität Frankfurt am Main

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Prof. Dr. H. Rommelfanger
MATHEMATIK I FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
1. Übungsblatt
SS 2001
A.
Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Gegeben seien die Mengen
A = {2, 4, 6, 8},
C = {6, -3, 2},
B = {-3, -2, +2, 8},
D = {-2, +3}.
Bilden Sie die Mengen:
a. A \ D
b. A  D  B
c. (C  D)  B
d. B  D
e. D  A  C
f. (B \ C)  A
g. E = A  B
h. F = C  B
i. D  (A \ D)
Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig und welche sind falsch? (Begründen Sie Ihre
Antwort!)
j. A  B
k. 2  A
l. (-2)  B
m. E  A
n. D  C
o. F  B
p. 0  
q. F  A
r. 3  B  D
s. D  E  F
t.   C  D
u. 6  C  A
2.
Schraffieren Sie in folgendem VENN-Diagramm die entsprechenden Mengen:
A
B
C
a. A
d. C \ B
g. (B  C) \ A
j. A  (B  C)
b. B  C
e. B  A
h. A \ (B  C)
k. (B  A) \ (B  A)
c. A  C
f. A  B  C i. (A  B)  (A  C)
Vergleichen Sie die Mengen in den Teilaufgaben e. und k. bzw. i. und j.
3.
a. Bei einer empirischen Befragung von 1.000 Professoren gaben 400 an, daß sie weder Golf
noch Tennis oder Squash spielen.
80 der 480 Tennis spielenden Professoren spielen zusätzlich Golf. Dagegen gibt es keinen
Golfspieler, der auch Squash spielt.
Insgesamt spielen 140 Professoren Golf, während lediglich 100 Befragte sich zum
Squashspiel bekannten.
i. Wieviele der befragten Personen spielen Tennis und Squash?
ii. Wieviele Professoren spielen ausschließlich Tennis?
(Lösung dieser Aufgabe anhand eines geeigneten VENN-Diagramms erwünscht!)
2
b. Bilden Sie die symmetrische Differenz der Mengen
A = {x  Z | -3 < x < 5} und B = {x  R | 2 < x < 8}.
Wie groß ist Inf A, Min B, Max A, Sup B?
Lösungshinweise: a. i. 40, ii. 360; b. Inf A = -2,  Min B , Max A = 4, Sup B = 8,
A  B = {-2, -1, 0, 1, 2}  (]2, 8[ \ {3, 4}).
4.
x sei eine reelle Zahl. Lesen Sie die folgenden mathematischen Aussagen:
a. x < 4  x  0
b.  x | x2 = 4
c. 2x + 3 = 7  x = 2
d.  x < 0 : x2 > 0

e.
 x  0 x2 + x = 6

f.
 x x2 - x = 2
g.  x | x2 = -4
h.  x > 0  y > 0 | x < y  x2 < y2
Welche der vorstehenden Aussagen ist richtig und welche falsch?
5.
Benutzen Sie mathematische Symbole, um die folgenden Aussagen in abgekürzter Form
darzustellen.
a. Für jede reelle Zahl x gilt: Aus x größer als 2 folgt, daß x nichtnegativ ist.
b. Es existiert mindestens eine reelle Zahl y mit der Eigenschaft, daß die Quadratwurzel aus y
kleiner gleich 1 ist.
c. Die Aussage, daß das Produkt einer reellen Zahl z mit sich selbst gleich 9 ist, ist
gleichwertig mit der Aussage: z ist gleich +3 oder z ist gleich -3.
d. Für jede positive reelle Zahl x existiert genau eine negative Zahl y, so daß minus x gleich y
ist.
e. Für alle negativen reellen Zahlen a gilt: Es gibt keine reelle Zahl x, deren Produkt mit sich
selbst gleich a ist.
6.
Welche reellen Zahlen x genügen der Ungleichung
3x  1
a. 15 (x + 1) > x – 7
b.
 1 und x < 0 und x  Z
11  2 x
Lösungshinweise: a. ]-, 9[;
7.
b. {-1, -2, -3, ...};
c.
2 x  24
 2x ?
5 x
c. ]-, -2]  ]5, 6].
Graf Algebra unterhält seine Gäste gerne mit kleinen mathematischen Spielereien. Dazu läßt
er sich von ihnen eine Zahl nennen, die er mit 8 multipliziert. Dann vermindert er das Produkt
um 3 und teilt das Ergebnis durch die um 4 erhöhte Zahl. Wenn der so gebildete Quotient
mindestens so groß wie das 4-fache der genannten Zahl ist, dürfen die Gäste ihren Einsatz
behalten, andernfalls wandert der Einsatz in die Kasse, die der Graf zur Sanierung seiner
Finanzen angelegt hat. Bei welchen reellen Zahlen dürfen die Gäste ihren Einsatz behalten?
Lösungshinweis: ]-, -4[  [  23 ,  12 ].
8.
Schreiben Sie die folgenden Summen unter Verwendung des Summenzeichens. Versuchen
Sie dabei zunächst herauszufinden, welcher Folgentyp hinter den jeweiligen Summen steckt
und wie das allgemeine Glied der jeweiligen Folge aussieht. Berechnen Sie dann die
Summationsgrenzen.
a. 4 + 6 + 8 + ... + 36
b. -5 - 2 + 1 + ... + 25
c. 14 + 10 + ... + 2 - 2 ... - 22
d. 1 + 2 + 4 + ... + 128
e.
1 1
1
  1  2187
3 9 27
f.
1 3 5
33
    34
2 4 6
3
Berechnen Sie die Summen a., b., c., d. und e.
Lösungshinweise:
9.
2

d. 255;

7
e. 14 (1  13 ).
18
b.
i  1 k  3
a. 1430;
 ( 2 k 1  5k  4 7 )
k 3
b. 836.
Berechnen Sie die folgenden Summen und Produkte:
4
a.
c.
5
18
  ( 7 j  2k 2j  10)
b.
k 1 j 3
4  5 k 
1

 3 k 
2 4 k 1 
3 
Lösungshinweise:
a. 936;
d.
b. 169;
 ( 4  3k 1  k  316)
k 1
3 2( k  4 )
3

4 5 k  2
3k
c. 53 ; d. 35.
Berechnen Sie die folgenden Summen:
22  20 
20  17 
 23 k ( 1)19  k
a.  
b.  
 ( 2) 24  j
k

2
j

3




k 3
j 3
Lösungshinweise:
12.
c. -40;
7
 ( 2k 2  3i 2 k  5)
Lösungshinweise:
11.
b. 110;
Berechnen Sie die folgenden Summen:
a.
10.
a. 340;
a. -16;
b. 0;
16
c.
13
k 1
  k  3 ( 2)


k 5
c. 96.
Die bezaubernde Scheichin Fatima aus dem fernen Orient ist stolze Besitzerin eines Harems
mit 100 Haremsherren.
a. Wie viele Möglichkeiten der nächtlichen Auswahl bestehen, wenn sie pro Nacht jeweils
fünf der Haremsherren in ihren Gemächern erwartet?
b. Die Haremsherren tragen farblich abgestufte Pantoffeln:
 Blaue Pantoffeln: 20 Herren
 Rote Pantoffeln: 30 Herren
 Gelbe Pantoffeln: 50 Herren.
Wie viele Möglichkeiten hat Fatima, wenn sie nacheinander zwei blaue, einen roten und
zwei gelbe “Pantoffelhelden” zu sehen wünscht?
c. Wieviele verschieden (zumeist sinnlose) Wörter kann man durch Umstellen der
Buchstaben des Wortes “PANTOFFELHELDEN” erhalten?
Lösungshinweise:
a. 75.287.520;
b. 6.982.500.
B.
Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten
Bearbeitung
13.
a. Für die Fastnachtsveranstaltung “Quartier Latin” wurden 1988 insgesamt 2500
Eintrittskarten verkauft, darunter 900 ermäßigte Karten für Studierende.
Während insgesamt mehr Personen, nämlich 1500, den Ball am Samstagabend besuchten,
bevorzugten die Personen mit ermäßigten Karten die Freitagsveranstaltung, denn für
Samstag wurden nur 300 ermäßigte Karten gekauft. Waren auf dem Ball am Freitag mehr
4
Personen mit oder mehr Personen ohne ermäßigte Karten anwesend? (Begründen Sie Ihre
Antwort anhand eines VENN-Diagramms, indem für jede Teilmenge die Mächtigkeit
eingetragen ist!)
b. Bestimmen Sie - soweit vorhanden - das Maximum und das Infimum der Menge
M = {x  Z | 1  x < 11}.
c. Welche reellen Zahlen x genügen der Ungleichung 2x + 3  3x - 1.
Lösungshinweise:
14.
Für welche reellen Zahlen x gilt:
a.
2x + 7  11
c.
2x  1
3
x
x2 + 6x + 9 = 0 und x  Z
e.
Lösungshinweise:
15.
5
c.
a. ]-, 2];
d. x < 1 und 1 < x + 4 und x  Z
b. ]-1, 23 [;
3
c. R\[0, 1[;
4
  ( jk 2  2 jk  3)
b.
  ( ij2  3j)
d.
j 3 k 1
3 4
i 1 j 2
Lösungshinweise:
d. {-2, -1, 0};
e. {-3};
a. 51;
i 1 j  2
5
3

b. 640;
c. 93;
5
e.
j 2
a. 44;

k 2

b. 45;
c. 66,8;
18
21  j
  j  2  ( 2)

j 2 
a. 27
;
4
10
c.
 14  2 k  2  3k  5
19
Lösungshinweise:
d. 748.

 
 3

k 3  k  2
Berechnen Sie die folgenden Summen:
23  20 
a.  
b.
 3 j ( 2)21 j
j

3


j 3
c.
 (2k + 4i 2 k  5i)
12  k 2  2 k
7
j j 3
 ( 1) 2
Lösungshinweise:
6
  ( 2ij  3j)
k =2 i=1
Berechnen Sie die Summen:
8 k 2  2k  1
a. 
b.
k 1
k 1
d.
17.
x  11
2
3  2x
b.
Berechnen Sie die Doppelsummen
a.
16.
a. Es waren mehr Personen mit ermäßigten Karten anwesend;
b. Max M = 10, Inf M = 1; c. L = [4, +[.
b. -1;
c. 0.
13
d. - 52 ;
 15 (3k  5  5)
k 5
11
f.
k 7
e. 66,75;
12 13  j ( 1) j
  j  1 2

j1 


 3k  6  2k  15
f. 378.